行列式的性质及展开计算讲解

注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
n阶行列式的定义
定义 由 n2 个数组成的 n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
的代数和
(1) a a L i1i2L in 1i1 2i2
anin .
i1i2L in
a11 a12 L a1n
1 r1 r2 r3 r4 1
6 3
6 1
6 1
1131
1131
1113
1113
1 1 1 1 r2 r1 1 1 1 1
r1 6 1 3 1 1 r3 r1 0 2 0 0
6
6
1 1 3 1 r4 r1 0 0 2 0
1113
0002
48.
例2 计算行列式
abbb babb D bbab bbba
17 5 71 5 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 D D,
D 0.
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式.
a11 a12 L a1n LLLLLLL
D
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
证明：a11 a12 a1n

as1 as2 asn
设 D 交换s、t 两行，得
at1 at 2 atn
a11 a12 a1n
an1
an2
ann
at1 D1
at 2
a2n DT a12 a22


an2
an1 an2 ann
a1n a2n ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
a11 a12 a13
D a21
a22
a a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 23
由行列式定义
DT
(1) b b b ( j1 j2 jn )
1 j1 2 j2
njn
j1 j2 jn

(1) ( j1 j2
a a jn ) j1 1 j2 2
a jnn

D
j1 j2 jn
说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质
对列也成立，反之亦然。
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 .
证明：
a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
b11 b12 b1n 设 DT b21 b22 b2n
bn1 bn2 bnn
则 bij a ji (i, j 1,2, , n)
记作 D a21 a22 L a2n
MM
M
an1 an2 L ann 简记作 det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
上三角行列式
a11 a12 L a1n 0 a22 L a2n LLLLLLL
a11a22 L ann .
0 0 L ann
a11 0 L 下三角行列式 a21 a22 L
1 b b b 1 a b b
a (n 1)b 1 b a b
1 b b a
1b b b
ab
a (n 1)b
0 a b
a (n 1)b(a b)n1.
0 ab
三、小结
行列式的性质 (行列式中行与列具有同 等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也 同样成立).
a b b b
b a b b
例3 计算 n 阶行列式 D b b a b

b b b a 解 将第 2,3, ,n 都加到第一列得
a n 1b b b b a n 1b a b b D a n 1b b a b


a n 1b b b a
a11 a12 L a1n LLLLLLL
kai1 kai2 L kain k ai1 ai 2 L ain
LLLLLLL
LLLLLLL
an1 an2 L ann
an1 an2 L ann
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．
性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零．
1 15 1 2 5 0 3 7 0 2 7 .
2 11 2 2 1
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
例如
a11 a1i a1 j a1n
a21
a2i
k

a2 j

a2 j




an1 ani anj anj
奇偶性相反，所以项（1）与项（3）相差一符号，这就证明
了D的任一项的反号是 D1 中的项，同样可以证明 D1 中的
任一项的反号也是D中的项。
因此，D＝－D1
记法 行列式的第s行： rs 行列式的第s列： c s
交换s、t两行： rs rt 交换s、t两列： cs ct
例如 1 7 5 1 7 5 6 6 2 3 5 8, 358 662
证明 a11 a12 L a1n LLLLLLL ai1 ai 2 L ain LLLLLLL
a11 a12 L a1n LLLLLLL ai1 ai 2 L ain k L L L L L L L 0.
kai1 kai 2 L kain LLLLLLL
ai1 ai 2 L ain LLLLLLL
交换2，3行
a11 a12 a13
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 D1 a31 a32 a33
a31 a32 a33
a21 a22 a23
a11 a12 a13
D a a a a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
21
22
23
a a a 31
L LL
0 0
L a11a22 L ann .
an1 an2 L ann
特别的，
对角行列式
1 2
O
12 L n .
n
第二节 行列式的性质
一、行列式的性质 二、应用举例 三、小结
一、行列式的性质
改变书写方向
记
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
D a21 a22
a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n
ri

krj
Baidu Nhomakorabea
a21

(a2i ka2 j )
a2 j
a2 j
an1 (ani kanj ) anj anj
性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变．
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 D1 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32
a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22
a11a32a23 a12a33a21 a13a31a22 a13a32a21 a11a33a22 a12a31a23
1 2 (3 4) 7
例如
6 3 (5 2) 8
D 5
9
6 1
5
4 2 (4 8) 6
则D等于下列两个行列式之和：
1237 1247
6358 6328
D

5965 5915
4246 4286
性质5动画演示
例 1 1 2 5 1 1 2 5 0 3 2 7 0 3 (2) 7 2 1 2 1 2 1 ( 2) 1
a21
b1 b2 . a12 a22
三阶行列式的计算-------对角线法则
a11 a12 a13
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
2a12 a22 a32
10a13
3a11
5a23 2 3a21
5a33
3a31
a11
a12 5a13 a22 5a23 a32 5a33
a12 a13
2 (3) 5 a21 a22 a23
a31 a32 a33
2 (3) 5 1 30.
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和.
显然这是 D1 中取自不同行、不同列的n个元素的乘积，而且
（2）式右端的n个元素是按它们在 D1 中所处的行标为自然顺序
排好的。因此
(1) a a a a ( j1 jt js jn )
1 j1
tjt
sjs
njn
是 D1 中的一项。
（3）
因为，排列 j1 js jt jn 与排列 j1 jt js jn 的
12 3 4
12 3 4
0 1 1 3
0 1 1 3
10
二阶行列式的计算 对角线法则
a11
a12
a11a22 a12a21.
a21
a22
二元线性方程组
a11 x1 a21 x1

a12 x2 a22 x2

b1 , b2 .
的解为
b1
x1

D1 D

b2 a11
a21
a12 a22 , a12 a22
a11
x2

D2 D

a21 a11
解 将第2,3,4列都加到第1列得
a 3b b b b
D a 3b a b b a 3b b a b
a 3b b b a
1bbb
1b b b
a 3b 1
1
a b
b a
b b


a

3b
0 0
ab 0
0 ab
0 0
1bba
0 0 0 ab
a 3b(a b)3.
计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用 性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行 列式的值．
1234 Ex1.
1 2 3 4 1
3412 4123
0111
2 1 0 1 1
1101 1110
1234
12 3 4
1 2
3
4
1
1 10
3
4
1
3412
14 1 2
4123
11 23
a31 a32 a33
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
a11 a21 a31 a11 a21 a31 a11 a21 DT a12 a22 a32 a12 a22 a32 a12 a22
a13 a23 a33 a13 a23 a33 a13 a23
a11a22a33 a13a21a32 a12a23a31
an1 an2 L ann
an1 an2 L ann
a11 a12 a13
6a11
Ex.1设 a21 a22 a23 1, 求 3a21
a31 a32 a33
3a31
解 利用行列式性质, 有
2a12 a22 a32
10a13 5a23 . 5a33
6a11 3a21 3a31

atn s行

as1 as2 asn t行

an1 an2 ann
由行列式定义可知，D中任一项可以写成
(1) a a a a ( j1 js jt jn ) 1 j1
sjs
tjt
njn （1）
因为
a1 j1 asjs atjt anjn a1 j1 atjt asjs an（jn 2）
例如
3 2 1
D 1 1 2 8
2 1 1
2c2 c1
7 2 1
1 1 2 8
0 1 1
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式 化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
3111
1311
例１
D
1131
1113
解
3 1 D
1 3
1 1
1
6
32
33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
a11 a12 a13
D a a a a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
21
22
23
a a a 31
32
33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .