第三章 3.2 第一课时 函数的零点,二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

3.2函数与方程、不等式之间的关系

第一课时函数的零点，二次函数的零点及其与对应方程、

不等式解集之间的关系

课标要求素养要求

1.理解函数零点的概念，会求简单函数的零点.

2.理解二次函数的零点与对应方程、不

等式解集之间的关系，能借助二次函数

的图像求一元二次不等式的解集.

1.通过求函数的零点，培养数学运算素

养.

2.通过二次函数的图像、零点、方程、

不等式解集之间关系的对应，培养联系、

转化的思想观点，提升逻辑推理、直观

想象素养.

教材知识探究

如图已知函数f(x)＝x＋1的图像.

问题(1)写出方程f(x)＝0的解集A；

(2)写出不等式f(x)>0的解集B；

(3)写出不等式f(x)<0的解集C；

(4)A∩B，B∩C，A∩C有什么关系？

(5)A∪B∪C与f(x)的定义域集合R有什么关系？

提示(1)A＝{－1}(2)B＝(－1，＋∞)

(3)C＝(－∞，－1)(4)A∩B＝B∩C＝A∩C＝∅

(5)A∪B∪C＝R

1.函数的零点零点不是点

(1)定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点.

(2)α是函数f(x)的零点⇔(α，0)是函数图像与x轴的公共点.

(3)当函数图像通过零点且穿过x轴时，函数值变号，该零点称为函数的变号零点；当函数图像通过零点但不穿过x轴时，函数值不变号，该零点叫做函数的不变号零点.

(4)两个零点把x轴分为三个开区间，在每个开区间上所有函数值保持同号.

2.二次函数的零点与其对应的二次方程、不等式的解集之间的关系

a>0与a<0时不等式的解集不同

对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：

(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2(x10，则不等式f(x)>0的解集为(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，f(x)<0的解集为(x1，

x2)；,

若a<0，则不等式f(x)>0的解集为(x1，x2)，f(x)<0的解集为(－∞，x1)∪(x2，

＋∞).

(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有一个公共点(x0，0).,若a>0，则不等式f(x)>0的解集为(－∞，x0)∪(x0，＋∞)，f(x)<0的解集为∅；,若a<0，不等式f(x)>0的解集为∅，f(x)<0的解集为(－∞，x0)∪(x0，＋∞).

(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图像与x轴没有公共点.,若a>0，不等式f(x)>0的解集为R，f(x)<0的解集为∅；,若a<0，不等式f(x)>0的解集为∅，f(x)<0的解集为R.

教材拓展补遗

[微判断]

1.函数的零点就是函数的图像与x轴的交点.(×)

提示 函数的零点是函数的图像与x 轴交点的横坐标. 2.一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)只有一个零点.(√) 3.一次不等式的解集不可能为∅，也不可能为R .(√)

4.对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝0时，此函数有两个零点，对应的方程有两个相等的实数根.(×)

提示 对f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝0时，函数只有一个零点. [微训练]

1.函数y ＝2x －1的图像与x 轴的交点坐标及其零点分别是________. 解析 令y ＝0，得2x －1＝0，∴x ＝12，与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，0.

答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，0，1

2

2.不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是________.

解析 由9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≤0，∴只有3x ＋1＝0即x ＝－1

3时，不等式才成

立，即其解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

－13.

答案

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

－13 3.设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13，则ab 的值为________.

解析 由题意知a <0，且－1，1

3为方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根， 根据根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧－1＋13＝－b a ，

－1×13＝1

a ， ∴⎩⎨⎧a ＝－3，

b ＝－2，∴ab ＝6. 答案 6 [微思考]

1.求一元二次不等式解集的常用方法是什么？ 提示 因式分解法、配方法、图像法.

2.ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)在R 上恒成立的充要条件是什么？ 提示 ⎩⎨⎧a >0，Δ<0.

3.二次函数常有几种设法？

提示 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a ⎝ ⎛

⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)；

(3)零点式(两根式)：

f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2是二次函数的零点.

题型一 求一元二次不等式的解集

二次项系数为负时，可先化为正，再解不等式.别忘了前面学过的配方法和因式分解法

【例1】 求下列一元二次不等式的解集： (1)x 2－5x >6；(2)4x 2－4x ＋1≤0；(3)－x 2＋7x >6. 解 (1)由x 2－5x >6，得x 2－5x －6>0. ∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6. ∴原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}. (2)4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0， 方程(2x －1)2＝0的根为x ＝1

2.

∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

12.

(3)由－x 2＋7x >6，得x 2－7x ＋6<0， 而x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6， ∴不等式x 2－7x ＋6<0的解集为{x |1

规律方法 当所给不等式不是一般形式的不等式时，应先化为一般形式.在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要结合相对应的一元二次方程的根的情况以及对应的二次函数的图像. 【训练1】 求下列不等式的解集： (1)2x 2－x ＋6>0；