计算机图形学课件二维图形变换分解

2 2 U U U ux u y uz 2
单位矢量 矢量的夹角
cos
矢量的叉积
U V U V
i U V ux vx
j uy vy
k uz vz
变换的数学基础

矩阵

m n
阶矩阵
n阶方阵
零矩阵 行向量与列向量
单位矩阵
矩阵的加法 矩阵的数乘
几何关系
x' x y ' y y 令 b ctg y xctg bx x' x y ' y bx
△y
y

x
矩阵形式
1 b 0 x bx y 1 x y 1 x y 1 0 1 0 0 0 1
P x y
P x y
5.2.2几种典型的二维图形几何变换
1.平移变换（translation）
Tx 平行于x轴的方向上的移动量 Ty 平行于y轴的方向上的移动量
几何关系
y
P
x' x Tx y ' y Ty 矩阵形式
Ty
（5-7）
P
x
y x
上面讨论的五种变换给出的都是点变换的公式，对
于线框模型，图形的变换实际上都可以通过点变换来完
成。例如直线段的变换可以通过对两个顶点坐标进行变 换，连接新顶点得到变换后的新直线；多边形的变换可 以通过对每个顶点进行变换，连接新顶点得到变换后的 新多边形来实现。曲线的变换可通过变换控制多边形的
控制点并重新画线来完成。
S x y 0
0 Sy
（5-10）
x
相对于重心的比例变换

比例变换的性质
当 S x S y 时，变换前的图形与变换后的图形相似 当 S x S y 1 时，图形将放大 当 0 S x S y 1 时，图形将缩小 当 S x S y 时，图形将发生畸变
矩阵的乘法
矩阵的转置 矩阵的逆
变换的数学基础
矩阵的含义 矩阵：由m×n个数按一定位置排列的一个 整体，简称m×n矩阵。
A=
a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n ... ... ... a m 1 a m 2 ... a mn
C=Cm×p = Am ×n · Bn×p cij = ∑aik*bkj k=1,n 单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余 皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常 记作In 。 Am ×n = Am ×n · In
变换的数学基础


逆矩阵 -1 -1 -1 若矩阵A存在A· A =A · A=I，则称A 为A的逆矩 阵 矩阵的转置 把矩阵A=(aij)m×n的行和列互换而得到的 n×m矩阵称为A的转置矩阵,记作AT 。 (AT) T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (A· B)T = BT · AT 当A为n阶矩阵，且A=AT ，则 A是对称矩阵。
（1）沿 x 轴方向关于 y 轴错切
将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成θ角的 倾斜线，而保持y坐标不变。
y
几何关系
x' x x y' y 令 a ctg 有 x yctg ay
x ' x ay y' y

△x
x
矩阵形式
x
y 1 x
• 所谓图形的几何关系可以改变是指图形的点与点之 间的位置和距离可以改变。例如：
D1 D
C1 C D1 D
C1 C B1
ห้องสมุดไป่ตู้A A1
B B1
A A1 B
图形变换
•图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产生 新的图形。 •图形变换的两种形式： •1.图形不变，坐标系改变；变动后该图形在新的坐 标系下具有新的坐标值 。 •2.图形改变，坐标系不变，变动后的图形在坐标系 中的坐标值发生变化。
a b T1 c d
的非对角线元素大多为零，如果c和b不为零，则意味着 对图形进行错切变换。 令b＝0可以得到沿x方向的错切变换，c>0是沿x正向的错 切变换，c<0是沿x负向的错切变换. 令c＝0可以得到沿 y方向的错切变换，b>0是沿y正向的错切变换，b<0是 沿y负向的错切变换.
错切变换（2）
沿x，y方向的错切变换的坐标表示为： x' 相应的齐次坐标矩阵表示为：
?
y ' bx y
x cy
沿x，y两个方向的二维错切变换矩阵为：
1 b 0 T c 1 0 0 0 1
其中c、b为错切参数。
在前面的变换中，子矩阵
x o
对称变换（1）
（2）相对于x轴对称
y
几何 关系
x' x y' y
o
x
对称变换（2）
（3）相对于原点对称（即中心对称）
y
几何 关系
x' x y' y
o
x
对称变换（3）
（4）相对于直线y=x对称
y
y=x
几何 关系
x' y y' x
o
x
对称变换（4）
（5）相对于直线y=-x对称
y=-x
y
几何关系
x' y y' x
o
x
对称变换（5）
错切变换（shear） 错切变换是将坐标点沿x和y轴发生不等量的变换， 得到点的过程 。
y y
y
O
x
O
x
O
x
（a）正方形
（b）沿+x方向错切
（c）沿-x方向错切
错切变换
处理形式不统一，将很难把它们级联在一起。 2.变换具有统一表示形式的优点
便于变换合成 便于硬件实现

3.齐次坐标技术的基本思想
把一个n维空间中的几何问题转换到n+1维空间中解决
4.齐次坐标表示
( x1 , x2 ,..., xn )
有n个分量的向量
(x1 , x2 ,..., xn , )

数乘 kA = [ k*aij]|i=1...m,
j=1,.. n
变换的数学基础
乘法 设A为3×2矩阵，B为2×3矩阵

a11b11 a12 b21 a13 b31 C = A ·B = a 21b11 a 22 b21 a 23 b31
a11b12 a12 b22 a13 b32 a21b12 a 22 b22 a 23 b32
（5-12）
将式（5-11）代入式（5-12）得：
（5-13）
矩阵形式
x
y x
cos y sin
sin cos
（5-14）
5.2.3 齐次坐标（homogeneous coordinates）技术
1.齐次坐标技术的引入
平移、比例和旋转等变换的组合变换
0 1 Ty
0 0 1

比例变换
x
y 1 x
S x y 1 0 0
0 Sy 0
0 0 1

旋转变换：
x
y 1 x
逆时针为正
cos sin 0 y 1 sin cos 0 0 1 0
Sx S y 1
Sx S y
3.旋转变换（rotation）
点P绕原点逆时针转θ角 （设逆时针旋转方向为正方向）
y
P

P
几何关系
x
x r cos y r sin
（5-11）
旋转变换
3.旋转变换（rotation）
x' r cos( ) r cos cos－r sin sin y ' r sin( ) r cos sin ＋r sin cos x' x cos y sin y ' x sin y cos
到有限点的一般特性。平移、比例、旋转、反射和
错切五种变换都是二维仿射变换的特例，任何一组 二维仿射变换总可表示为这五种变换的组合。因此， 平移、比例、旋转、反射的仿射变换保持变换前后 两直线间的角度、平行关系和长度之比不改变。
1 0 0 x ay y 1 a 1 0 0 0 1
错切变换（1）
y 1
y
y
y
O
x
O
x
O
x
（d）沿+y方向错切
（e）沿-y方向错切
（f）沿+x和+y方向错 切
（2）沿 y 轴方向关于 x 轴错切 将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成Ψ角的倾斜线， 而保持x坐标不变。
有n+1个分量的向量 哑元或标量因子
( x1 , x2 ,..., xn , )
( x1 / , x2 / ,..., xn / )
齐次坐标表示不是唯一的
1 规格化的齐次坐标
5.基本几何变换的齐次坐标表示

平移变换
x
y 1 x
1 y 1 0 Tx
y Tx

Ty

（5-8）
Tx
平移变换
x
2.比例变换（scale）
y
指相对于原点的比例变换
S x平行于x轴的方向上的缩放量
x
S y 平行于y轴的方向上的缩放量
相对于原点的比例变换
几何关系
x' x S x y' y S y 矩阵形式
（5-9）
y
重心
x
y x
其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素
变换的数学基础
矩阵运算 加法 设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵
a11 b11 A+B = ... am1 bm1

a12 b12 ... a1n b1n ... ... am 2 bm2 ... amn bmn
变换的数学基础
矩阵运算的基本性质 交换律与结合律师 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C 数乘的分配律及结合律 a(A+B) = aA+aB; a(A · B) = (aA) · B=A · (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A
变换的数学基础


矩阵乘法的结合律及分配律 A(B · C) = (A · B)C (A+B) · C = A · C+ B · C C · (A+B) = C · A + C ·B 矩阵的乘法不适合交换律
5.2 二维图形几何变换
5.2.1 二维图形几何变换的原理
二维图形由点或直线段组成
直线段可由其端点坐标定义 二维图形的几何变换：对点或对直线段端点的变换
符合下面形式的坐标变换称为二维仿射变换（Affine Transformation）。
x' a11x a12 y a13 y ' a21x a22 y a23
变换后的坐标x’和y’都是变换前的坐标x和y的线
性函数。参数aij是由变换类型确定的常数。
仿射变换具有平行线变换成平行线，有限点映射
图形变换



大多数几何变换（如平移、旋转和变比）是保 持拓扑不变的，不改变图形的连接关系和平行 关系 对于线框图形，通常是以点变换为基础，把图 形的一系列顶点作几何变换后，连接新的顶点 序列即可产生新的变换后的图形。 对于用参数方程描述的图形，可以通过参数方 程几何变换，实现对图形的变换（基于效率的 考虑）。
图形变换
图形变换
图形变换是计算机图形学基础内容之一。 内容： 几何变换； 视图变换； 投影变换。 作用： 把用户坐标系与设备坐标系联系起来； 可由简单图形生成复杂图形； 可用二维图形表示三维形体； 动态显示。
图形变换的基本原理是： （1）图形的拓扑关系不变； （2）图形的几何关系可以改变。 所谓图形拓扑关系不变是指图形的连边规则不变， 即原来是相邻的点变换后依然相邻，原来不相交的 线变换后依然不相交。
6. 无穷远点或无穷远区域的齐次坐标表示
0时，齐次坐标 ( x1 , x2 ,..., xn , ) 表示一个n维的无穷远
点
5.2.3常用的二维几何变换 y 1.对称变换（symmetry）（反射变换或镜像变换） （1）相对于y轴对称
几何 关系
x' x y' y
变换的数学基础
矢量的数乘
kux k U ku y kuz
矢量的点积
U V uxvx u y vy uz vz
性质
U V V U U V 0 U V U U 0 U 0
变换的数学基础
矢量的长度