复变函数第5讲.ppt

在区域 - argz< 内，w ln z 是单值函数，其导数
可由反函数得求导法则给出：
பைடு நூலகம்
dw dz
d ln z dz
1 dew
1 ew
1 z
dw
显然， lnz在除去原点与负实轴的复平面解析，Lnz的其 它分支也是如此，且它们有相同的导数值。今后我们在 应用Lnz时，总是指它在除去原点和负实轴的平面内的 某一分支。
1. 定义：记z x iy，则复指数函数为：
定义
e z e xiy e x (cos y i sin y)
注：这里ez没有幂的含义，仅仅是一个记号，关于 幂的意义后面再讲。
2. 性质：由定义，复指数函数有以下特性： 1） ez ex , Argez y 2k ,
即x, y分别决定ez的模和辐角，并且显然有ez 0。
---- n值函数
3. 幂函数及其性质
1）当a z为一复变量时，可得到一般幂函数w zb。
不难证明，幂函数运算满足
2、计算公式：
给定一复数z，如何计算其对数Lnz ?
记 z r(cos i sin ), w Lnz u iv,
则由对数定义：
ew eu (cos v i sin v) z r(cos i sin )
两端比较得： eu r u ln r, 及v 2k
至此，我们得到对数函数的计算公式：
或者 z Lnei Ln(cos1 i sin1)
ln1 i(1 2k ) i(1 2k )
3、运算性质
（1） Ln(z1z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
Ln
z1 z2
Lnz1
Lnz2
应当注意，由于对数函数的多值性，对于上述等式的 理解应与复数的乘积和商中关于辐角的等式一样。
（2） 特别注意：对正整数n，Lnzn nLnz，
• a (n个a相乘）
当b 1 (n为正整数）时， n
a e e 1 n
1 n
Lna
1 n
(ln
a
i
arg
a
2k
i
)
e e 1 n
ln
z
i
arg
a2 k n
arg z 2k
arg z 2k
n z (cos
i sin
)
n
n
n z
当b m (n 1, m与n为互质自然数)时,
n
m
z n n zm
ez1 ez2的充要条件是z1 z2 2k i, k为整数.
映射的几何特点 wez 带形区域
y
(z)
y y2
w ez
角形区域
v
(w)
y y1
x
y2 y1
u
特点:把夹在y y1和y y2(0 y1 y2 2 )之间的 水平带形域映成平面的顶点在原点夹角为y2 -y1
的角形域,因此若需把
Ln(3 4i) ln 3 4i [arg( 3 4i) 2k ]i ln 5 ( arctan 4 2k )i 3
例2：解方程 （1）ez i, （2）ez ei
解：(1）z Lni ln1 ( 2k )i (1 2k)i
2
2
(2) 注意到ez为周期函数，故有z i 2k i
Lnz ln r i( 2k )
ln z i(arg z 2k ), (k 0,1,2,)
注: 1）对数函数 Ln z为多值函数，每两个值相差2i
的整数倍。 2）特别的，当k 0时，称 ln z ln | z | i arg z
为Lnz主值。显然有 Lnz ln z 2k i
上式中，对于每一个固定的k，称为Lnz的一个单值分支。
3) Lnz的定义域为z 0，即任意非零复数皆有对数。
4）特别地，当z x 0时，Lnz ln x i(0 2k ),
ln z ln x。 这正说明了复变数对数函数是实变数对数函数 的推广。
例1：Ln(1) ln1 ( 2k )i (2k 1)i
实际上，由于对数函数的多值性，即使考虑Lnz2 Lnz Lnz，因为是二集合相加，都不能简单的合并为2Lnz。
（3） 可以证明，如下等式成立 Ln n z 1 Lnz n
4、分析性质
考虑其主值分支 ln z ln | z | i arg z
容易看出，除去原点与负实轴外，lnz在其它点处处连续
§3 五类初等解析函数
本节内容：介绍几类基本初等函数，应注意各类 函数的定义及特性。
一、 指数函数
思想：在复平面内，定义一个类似于实函数中 ex的函数，使它满足下列条件
i）f (z)在复平面内处处解析； ii）f (z) f (z) iii) 当Im(z) 0时，f (z) ex , 其中，x Re(z)
2) 加法定理: e ez1 z2 ez1z2
3) ez处处解析，且(ez ) ez
以上三条性质与实指数函数相同 4) 欧拉公式 eiy cos y i sin y
5) ez为周期函数，周期为2 i, 因为e z2ki e x( y2k )i e xiy e z
这个性质是实变指数函数所没有的！ 容易得出如下结论
带形域映射成角形域常用指数函数.
例题
(1) e z ez e zz e0 1,
ez
1 ez
.
(2) 证明： e z e z .
ez e x (cos y i sin y) e xiy ez .
二、对数函数 1、定义：若ew z,则称w为z的对数函数
记为：w Lnz 即对数函数是指数函数的反函数。
2) b p ( p和q为互质整数，q 0) 时, ab具有q个值： q
p ln|a|i p (arg a2k )
ab eq q
p ln|a|
eq
cos
p q
(arg
a
2k
)
i sin
p q
(arg
a
2k
)
3) b为其他值时ab为无穷多个值。
4) 特别地，当b为正整数n时，
an enLna en(lna+i2k ) enlna elna • elna • • elna =a • a •
思考
eLnz ? Lnez ?
三、幂函数
1. 定义：复乘幂 ab ebLna , 其中，a, b为复数 且 a 0。
显然这一定义是由实数公式 xy eylnx推广而来。
2. 计算公式：
a e b
b[ln a i arg a2ki]
e e b[ln a i arg a] 2kbi
说明
1) b为整数时ab为单值， ab eblna。