八年级因式分解培优教学内容
初二培优----因式分解及配方
初二培优---------配方与因式分解龙泉市育才学校 方伟民内容提要配方：指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2±2ab+b 2写成完全平方式 （a ±b ）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a 2+b 2配上2ab ， ②由2 ab 配上a 2+b 2， ③由a 2±2ab 配上b 2 例、22(1)9x k x --+若是完全平方式，求k 的值例、2223,411()x y xy x y x y x y +==+=+=-=已知，求一、因式分解及其运用441、对于多项式x +4，请你配上适当的项，使它成为完全平方式，并对多项式x +4进行因式分解2、322213,,228a b ab a b a b ab +==++已知求的值3、若3256x x x x a ++++有一因式1x +。
求a 的值4、已知( a+1)4=a 4+4a 3+6a 2+4a+1, 若S=(x －1)4+4(x －1)3+6(x －1)2+4x －3. 则S 等于( )(A) (x －2)4 . (B) (x －1)4 . (C) x 4 . (D) (x+1)4.5、22若多项式kx -6xy-8y 可分解写成(2mx+2y)(x-4y)，求k,m 的值6、n 是自然数，如果n+20和n-21都是完全平方数，求n 的值7、222244ABC ∆∆已知a,b,c 是的三边长，且满足a c -b c =a -b ，试ABC 判断的形状二、配方（1）求代数式的最大(小)值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值 1、求代数式a 2+2a －2 的最值.2、求下列代数式的最大或最小值：221x 求y=x ++2010的最小值（2）运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零. 3、求方程x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解x, y.4、223894613x y x xy y x y -+-++、为实数，说明的值恒为非负数的理由 （3）其它222,,333,,a b c a b c πππ5、设为实数，x=a -2b+,y=b -2c+,z=c -2a+则中至少有一个值( )A 、大于0 B 、等于0 C 、不大于0 D 、小于06、2已知，求x -2x-3的值（3）合理运用典型公式()()()22222212a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-⎣⎦1、例4.已知a=1999x+2000, b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式222a b c ab bc ca ++---的值为( )A. 0B. 1C. 2D. 32、.已知x-y=a, z-y=10,则代数式222x y z xy yz zx ++---的最小值为( )A.75B.80C.100D.1053、如果a+2b+3c=12，且222a b c a b b c c a ++=++则23a bc ++=（ ）A.12B.14C.16D.18三、配方与因式分解综合运用1、直角三角形的周长是24cm ，斜边上的中线长为5cm ，求此三角形的面积2、在∆ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++=求证：a c b +=23、 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。
因式分解优秀教案通用
因式分解优秀教案通用一、教学内容本节课的教学内容选自人教版初中数学八年级上册第四章第二节《因式分解》。
本节课的主要内容有：因式分解的定义、因式分解的方法及应用。
通过本节课的学习，使学生掌握因式分解的基本方法，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 知识与技能目标：理解因式分解的概念，掌握因式分解的基本方法，能对一些简单的多项式进行因式分解。
2. 过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生的合作意识，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
三、教学难点与重点重点：因式分解的基本方法。
难点：如何运用因式分解解决实际问题。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体课件。
学具：课本、练习本、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：教师出示一些生活中的实际问题，如“一根木头锯成3段需要3分钟，那么锯成5段需要几分钟？”让学生尝试用数学知识解决问题。
2. 自主学习：学生自主阅读课本，了解因式分解的定义及方法。
3. 课堂讲解：教师通过多媒体课件，讲解因式分解的基本方法，如提公因式法、公式法等，并结合例题进行讲解。
4. 随堂练习：教师出示一些随堂练习题，让学生运用所学的因式分解方法进行解答。
5. 小组合作：教师出示一些实际问题，让学生以小组为单位进行讨论交流，运用因式分解的方法解决问题。
6. 课堂小结：7. 布置作业：教师布置一些因式分解的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、板书设计因式分解的定义及方法1. 提公因式法2. 公式法3. 分组分解法七、作业设计1. 请用提公因式法对下列多项式进行因式分解：（1）x^2 5x + 6（2）x^2 + 2x 32. 请用公式法对下列多项式进行因式分解：（1）a^2 4（2）b^2 9答案：1. （1）x^2 5x + 6 = (x 2)(x 3)（2）x^2 + 2x 3 = (x + 3)(x 1)2. （1）a^2 4 = (a + 2)(a 2)（2）b^2 9 = (b + 3)(b 3)八、课后反思及拓展延伸本节课通过实例引入，让学生了解因式分解的定义及方法，通过小组合作、讨论交流，使学生掌握因式分解的基本方法，并能运用因式分解解决实际问题。
八年级因式分解培优
(a + b )2 = a 2 + 2 ab + b 2(a - b)2 = a2 - 2ab + b22、整式乘法的分类:单项式义单项式单项式义多项式多项式义多项式3、因式分解概念：将某个多项式分解成几个因式的积的形式就叫做〜例：a2—b2= (a + b)(a—b)a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b )2a 2一2ab + b2 = (a一b)24、因式分解与整式乘法之间的关系：彼此互为逆向运算5、因式分解的常用方法介绍①提公因式法②公式法③十字相乘法第一种：提公因式法典型例题因式分解：2a(b +c ) -3 (b+c ) 总结：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的 第一项系数是负的一般要提出“－"号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式 后得到的另一个因式必须按降幂排列。
练习巩固1、把下列各式因式分解(1) 2(x - y )2-(x - y )3 (2) m(a - b)-n(b - a)第二种：公式法典型例题1：用平方差公式进行因式分解⑴ m 2 - 9n 2 ⑵ 4m 2 - 25n 2(3) m 4 - n 4 (4) -1 +16m 4总结:能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式。
注意多项式 有公因式时，首先考虑提取公因式,有时还需提出一个数字系数.练习巩固6(x -2) + x (2 -x )(3) 3(y - x)2 + 2(x - y) (4) m(a -b)2 + n(b - a)2(5) mn(a -b) - m(b - a)2 (6) 2x(x + y)2 + (x + y)3典型例题2：用完全平方公式进行因式分解(1) (p - q)2 - 2(p - q) +1 ( 2 )(m + n)2一2(m2一n2) + (m-n)2总结:整体代换思想：a、b比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母。
8年级(下)培优课程【4】因式分解
【4】因式分解考点一：应用因式分解恒等变形求值例1.若多项式x2﹣x+a可分解为（x+1）（x﹣2），则a的值为．例2.已知二次三项式x2+ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为．变式1：若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a＝，b＝．变式2：若x2+2（m﹣3）x+16＝（x+n）2，则m＝．考点二：待定系数法、赋值法在因式分解中的运用例1.若多项式x2﹣px+q（p、q是常数）分解因式后，有一个因式是x+3，则3p+q的值为．变式1：已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n＝17，试求m、n 的值．变式2：因为（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝x+2，这说明x2+x﹣2能被x﹣1整除，同时也说明多项式x2+x﹣2有一个因式为x﹣1，另外当x＝1时，多项式x2+x﹣2的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）已知x﹣2能整除x2+kx﹣16，求k的值；（2）已知（x+2）（x﹣1）能整除2x4﹣4x3+ax2+7x+b，试求a、b的值．考点三：根据完全平方公式求值(配方法)例1.已知x2﹣2（m﹣3）x+25是完全平方式，则m＝；若关于x、y的多项式9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则常数k的值为．变式：若多项式x2+（m﹣1）x+25是一个完全平方式，那么m＝．考点四：根据完全平方公式求值(知二求二)例1.已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，求a2+b2和ab的值．变式：（1）已知a﹣b＝6，a2+b2＝10，求ab，（a+b）2的值；（2）x+＝3，求x2+．（3）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，求a2+b2与ab的值；（4）若a+b＝﹣3，ab＝2，求a2+b2与（a﹣b）2的值．考点五：运用配方法求最值例1.阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）求代数式x2+4x+2020最小值．（2）求代数式3x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值，并求出此时xy的值．（3）设a＞0，求a2+的最小值，并求出此时a的值．（4）仿照上述方法求代数式﹣x2﹣14x+10的最大（或最小）值，并写出相应的x的值．考点五：几何图形面积中运用因式分解例1.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：①若要拼出一个面积为（3a+b）（a+2b）的矩形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为6a2+7ab+2b2，并利用你画的图形面积对6a2+7ab+2b2进行因式分解．变式：我们知道，对于一个图形通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，请解答下列问题：（1）写出图2所表示的数学等式：；（2）已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝40，利用（1）中所得结论．求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片、若干个长为b宽为a 的长方形纸片，选用这些纸片拼出一个图形，使得它的面积是2a2+7ab+3b2．画出该图形，并利用该图形把多项式2a2+7ab+3b2分解因式．DM AP课堂练习1．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．m2﹣2m﹣1 D．2．x2﹣5x+k中，有一个因式为（x﹣2），则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣63．不等式组：的解集是x＞4，那么m的取值范围是（）A．m≥4 B．m≤4 C．m＜4 D．m=44．如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．605．如果a＜b＜0，下列不等式中错误的是（）A．ab＞0 B．a+b＜0 C．＜1 D．a﹣b＜06．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图9所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．无法确定7．如图10，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA,点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2 B． C． D．8．若x2+mx﹣n能分解成（x﹣1）（x+4），则m= ，n= ．9．若x同时满足不等式2x+3＞0与x﹣2＜0，则x的取值范围是．10．已知：x2﹣y2=8，x ﹣y=4，则x+y= ．11．已知21012a b-=，20232024ab=，则2224a b ab-的值为．12. 已知12-=m , 则2023202220212m m m +-的值是 ．13．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为52°，则底角B 的大小为 ．14．如图，已知一次函数y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠）的图象与x 轴相交于点A （3，0）．若正比例函数y mx =（m为常数，且0m ≠）的图象与一次函数的图象相交于点P ，且点P 的横坐标为1，则关于x 的不等式()0k m x b -+>的解集为 ，关于x 的不等式组0,0mx kx b <⎧⎨-<⎩的解集为 ．15．若关于x 的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m 的取值范围是 ．16．已知关于x 的不等式组只有4个整数解，则a 的取值范围是 ．17．解不等式组，并把解集在所给数轴上表示出来．253(2)(1)123x x x x 523(1)(2)131522x x x x18. 分解因式.（1）4x 2（y ﹣2）+9（2﹣y ） （2）4﹣m 2+2mn ﹣n 2(3) 321025x x x -+； （4）()()224292m n m n ---．19．我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：（1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y．求y与x的函数关系式；（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．物资种类 A B C每辆汽车运载量（吨）12 10 8每吨所需运费（元/吨）240 320 20020．如图，直线MN与x轴，y轴正半轴分别交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，已知AC=10，OA=8．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．21．如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P 与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．（1）如图1，猜想∠QEP＝°（2）如图2、3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC＝120°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长．22．背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC ＝∠CPA＝120°，此时，PA+PB+PC的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB ＝；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．。
八年级因式分解教案(1)
因式分解一、教学目的：1、使学生能明确因式分解与整式乘法之间的关系，让学生在探索中进行新知识的比较，理解因式分解的过程，发现因式分解的基本方法；2、使学生明白可以将因式分解的结果现乘出来就能检验因式分解的正确性。
3、激发学生的兴趣，让学生体会到数学的应用价值。
二、教学分析：重点：掌握提公因式法，公式法进行因式分解；难点：怎么样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底；关键：灵活应用因式分解的常用方法，对于每个多项式分解因式分解彻底。
三、教学过程：1、知识回顾：运用前两节课的知识填空：（1）()m a b c ++= ；（2）()()a b a b +-= ；（3）2()a b += ；2、探索问题：请完成以下填空：（1）()()ma mb mc ++= （2）22()()a b -= （3）2222()a ab b ++= 通过学生的动手，发现：运用多项式乘法的逆思维来探索出因式分解的新知识，“探索”与“回忆”正好相反，它是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就是因式分解。
（1）中的多项式ma mb mc ++中的每一项都含有相同因式m ，称m 为公因式，把公因式提出来，多项式ma mb mc ++就可以分解成两个因式m 与a b c ++的积了，这种因式分解的方法，叫做提公因式法；（2）、（3），是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法称之为公式法。
3、动手体验：试一试，对下列多项式进行因式分解（1）33a b += ；（2）555x y z -+= ；（3）224x y -= ；（4）2269m mn n ++= ；4、举例分析：例1 对下列多项式进行因式分解（1）2525a a -+（2）239a ab -（3）222516x y -（4）2244x xy y ++思考：如何验证因式分解的结果是否正确？由学生总结出结论：可以将因式分解的结果现乘出来就能检验因式分解的正确性。
人教版八年级上册数学《整式的乘法》整式的乘法与因式分解培优说课教学复习课件提高
解：(1) a8aa2a81a2a7a2a72a5
或 a8aa2a812a5
(2) (xy)7(xy)2(xy)72(xy)5
(1)同底数幂的公式可以推广到三个及以上的同底数幂相除； (2)公式中的底数a，可以是数、单项式，也可以是多项式.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究
1.计算：
(1) 2722 29 (2) a5·a2a7
(3) 5m5n5mn
2.填空
（m，n是正整数）
(1) (27)2229 (2) ( a5)·a2a7 (3) (5m)5n5mn
（a0）
（m，n是正整数）
除法是乘法的逆运算
(1) 2922( 27) (2) a7a2(a5 )
（a0）
(3) 5mn5n(5m)
归纳
多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除 以这个单项式，再把所得的商相加.
转化
多项式除以单项式
单项式除以单项式
示例： (28x3y14x2y27x)7x 28x3y7x14x2y27x7x7x 4x2y2xy21
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
课件
c
课件
巩固新知
课堂小结
布置作业
讨论 尝试归纳单项式除以单项式的运算法则.
单项式除以单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商 的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 指数作为商的一个因式.
被除式的系数 除式的系数
底数不变， 保留作为商 指数相减. 的一个因式.
商式系数·同底的幂·被除式里单独有的幂 示例：6x4y6z8x2y2(68)·(x4x2)·(y6y2)·z3x2y4z
因式分解教案(优秀4篇)
因式分解教案（优秀4篇）初二数学因式分解教案篇一1、lie动词，意为“躺”，过去式和过去分词分别为lay和lain，现在分词为lying。
I found he was lying on the ground.我发现他躺在地上。
【拓展】(1)lie有“位于”的意思。
A temple lies on the top of the mountain.一座寺庙位于山顶之上。
(2)lie作动词时，也可意为“撒谎”，过去式和过去分词是规则的，均为lied。
lie也可用作名词，意为“谎言”。
Don’t lie to me.不要向我撒谎。
The boy told a lie to me.这个男孩向我撒了谎。
(3)英语中，部分以-ie结尾的动词的-ing形式必须改ie为y再加-ing。
die → dying tie → tying lie → lying2、hopehope意为“希望”，用于表示有可能实现的愿望，其后可接不定式或宾语从句，但表达“希望别人做某事”时，则需用hope that从句。
I hope you can pass the exam.我希望你能通过考试。
【拓展】hope与wish的辨析：so hope+ to do sth.注意：没有hope sb. to do sth.的用法that从句表示很有可能实现的主观愿望for sth.sb. to do sth.能接sb.的复合结构wish+ sb. sth.能接双宾语to do sth.可与hope互换that从句用虚拟语气表示不太可能实现的愿望My mother wishes/hopes to find her lost watch swh..我妈妈希望在什么地方找到她丢失的手表。
I wish you to finish the work in time.我希望你及时完成这项工作。
3、adviceadvice是不可数名词，意为“意见、建议、劝告、忠告”，不能与不定冠词a连用。
初二数学(下)：因式分解-培优②公式法(含答案)
完全平方公式2 2 2a _2ab b =(a _b)【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
2 2主要有：平方差公式a -b ^(a b)(a -b)立方和、立方差公式补充：欧拉公式：3 3 3a b c -3abc=(a b c)(a b c -ab-bc-ca)1 (a b c)[( a -b) (b - c) (c - a)]2特别地：(1)当 a b0 时，有 a 3 b 3 c^ 3abc(2)当c = 0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公 式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】2 2C. (a -b)(a ■ b) 2D. (a -2b)(b - 2a)2 2 2 2 2 2 分析：a 2a -b - 2b = a 2a 1 - b - 2b - 1 = (a 1) - (b 1) ° 再利用平方差公式进行分解，最后得到(a - b)(a b 2)，故选择B 。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的 形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式 2x 3 - x 1 2 • m 有一个因式是2x 1，求m 的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系 数法即可求出m 的值。
3 2 2解：根据已知条件，设 2x 「x • m 二(2x1)(x ax b)3232则 2x - x m = 2x (2a 1)x (a 2b)x b把a - -1代入(2)，得b -1把b =~代入(3)，得m =—2”2a + 1 = —1 (1)由此可得S a +2b = 0 ⑵_m = b (3) 由(1)得 a = T1.把a2 +2 a —b2 -2b分解因式的结果是( )A. (a -b)(a 2)(b 2)B. (a -b)(a b 2)初二数学（下）•培优•因式分解•公式法3.在几已知a、b、c 是厶ABC 的三条边且满足2 2则(2n 3) -(2n 1)a2 b2 c2-ab -be -ac = 0，试判断ABC 的形状。
八年级上册数学同步培优：第12讲 因式分解二--尖子班
第12讲 因式分解（二）⎧⎪⎨⎪⎩十字相乘法因式分解法（二）分组分解法因式分解的综合应用 知识点1 十字相乘法对于像2ax bx c ++这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数a 分解成两个因数12a a ，的积，把常数项c 分解成两个因数12c c ，的积，并使1221a c a c +正好等于一次项的系数b ．那么可以直接写成结果：1122((²ax bx c a x c a x c ++=++））．【典例】1.因式分解：x 2﹣x ﹣12= ．【方法总结】用十字相乘法对一个形如2ax bx c ++的二次三项式进行因式分解，关键是找出二次项系数，一次项系数和常数项之间的数量关系，此题中，-12可以分为多个有理数相乘的形式，但是满足其他条件的只能选取-4×3的形式，以后做题时，需要多试一下，找到满足题意的那一组.2.因式分解：4a 2+4a ﹣15= ．【方法总结】这类题和上类题相比，最主要的区别是二次项的系数不是1，而是其他整数，所以在做这类题时，我们不仅要对常数项进行拆分因数，还需要对二次项系数拆分因数（上类题都拆分成1×1），然后在寻找符合条件的因数. 方法与上类题类似，只是需要分析更多的可能性.3.分解因式：3x 3﹣12x 2﹣15x= ． 【方法总结】利用十字相乘进行因式分解，该式子必须满足十字相乘的相关条件，对于这种高次（大于二次）三项式，我们得先降次，对于有公因式的，通常做法是先提取公因式，再利用十字相乘因式分解；除此之外，有的虽然是二次三项式，但每项都含有公因式，我们第一步也得先提取公因式，然后再进行下面的计算.4.因式分解：（x+y）2+5（x+y）﹣6= ．【方法总结】如果式子2ax bx c++可以利用十字相乘因式分解，那么式子中的x既可以是一个字母，也可以是一个式子. 该题中x就是一个式子，我们可以先把这个式子用一个字母代替，，然后进行因式分解，当分解到最后时，再把式子的值带回最后的结果中即可.【随堂练习】1．（2018春•安丘市期末）阅读下面的材料，解答提出的问题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为（x+n），由题意，得：x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：m=﹣21，n=﹣7∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．提出问题：（1）已知：二次三项式x2+5x﹣p有一个因式是（x﹣1），求p的值．（2）已知：二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式及k的值．2．（2018春•邗江区期中）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+7x+12=____；（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是_____．3．（2017春•吴兴区校级期中）题目：“分解因式：x2﹣120x+3456．”分析：由于常数项数值较大，则常采用将x2﹣120x变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．解：x2﹣120x+3456=x2﹣2×60x+602﹣602+3456=（x﹣60）2﹣144=（x﹣60）2﹣122=（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）=（x﹣48）（x﹣72）通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：（1）x2﹣140x+4875（2）4x2﹣4x﹣575．4．（2017秋•射洪县校级期中）因式分解：（1）x2﹣6x﹣27（2）4a3﹣16a2b+16ab2．知识点2 分组分解法分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.【典例】1.多项式ab﹣bc+a2﹣c2分解因式的结果是（）【方法总结】对于多项式（大于三项）分组时，尽量：有公因式的分在一组，可以利用公式法的分在一组（有平方和的一般用完全平方公式，有平方差的一般用平方差公式），然后根据实际情况选取其他的因式分解的方法进行计算.2.把多项式x2+y2﹣2xy﹣1因式分解的结果是（）【方法总结】对式子进行分组时，有平方和的一般利用完全平方公式，这时需要再找到两个底数乘积的2倍（负2倍也行）即可. 利用完全平方公式因式分解之后，再根据题意继续因式分解.3.分解因：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2= ．【方法总结】在进行分组时，有平方和的，如果还能找到两个平方底数的（负）2倍的项，那么这三项就可以分到一组，利用完全平方公式进行因式分解.4.分解因式：a2+4a﹣b2﹣2b+3= ．【方法总结】在利用分组法因式分解时，有时需要对式子中的一些数或者式子进行简单的拆分，拼凑出可以因式分解的式子（如果式子中含有平方项且无法直接使用公式法因式分解的，一般都需要进行拆分其他的式子或数字进行拼凑）.【随堂练习】1．（2017春•江永县校级期中）因式分解．（1）﹣4x3+16x2﹣20x（2）a2（x﹣2a）2﹣2a（2a﹣x）3（3）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1（4）x2+2x+1﹣y2（5）x3+3x2﹣4 （拆开分解法）2．（2017秋•广州期中）已知：当x=﹣2时，多项式x3﹣3x2﹣4x+m的值为0．（1）求m的值．（2）把这个多项式分解因式．3．（2017春•江阴市校级月考）因式分解（1）x3﹣4x（2）﹣2a2+4a﹣2（3）x2﹣5x﹣6（4）x2﹣4y2+x+2y．知识点3 因式分解的综合应用【典例】1.已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值______【方法总结】这类题主要考察因式分解和三角形的三边关系，首先先要对式子因式分解，分解完之后，再根据三角形三边关系来判断式子中各项的正负. 有时也会考察判断三角形的形状，同样，先因式分解题干中的式子，在利用三角形的边关系来判断.2阅读材料：方程x2﹣x﹣2=0中，只含有一个未知数且未知数的次数为2．像这样的方程叫做一元二次方程．把方程的左边分解因式得到（x﹣2）（x+1）=0．我们知道两个因式乘积为0，其中有一个因式为0即可，因此方程可以转化为：x﹣2=0或x+1=0．解这两个一次方程得：x=2或x=﹣1．所以原方程的解为：x=2或x=﹣1．上述将方程x2﹣x﹣2=0转化为x﹣2=0或x+1=0的过程，是将二次降为一次的“降次”过程，从而使得问题得到解决．仿照上面降次的方法，解决下列问题：（1）解方程x2﹣3x=0；（2）2a2﹣a﹣3=0；【方法总结】此类题属于“新定义题型”，首先要读懂题意，明白题干中告知的对于新题型的解题思路是什么，然后根据已经学习过的知识，进行分析解答，此类题认真审题读懂题意是关键.3.阅读理解以下文字：我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．例如：方程2x2+3x=0就可以这样来解：解：原方程可化为x（2x+3）=0，所以x=0或者2x+3=0．解方程2x+3=0，得x=﹣．所以解为x1=0，x2=﹣．根据你的理解，结合所学知识，方程x2﹣5x=6的解是________【随堂练习】1.（2018•重庆模拟）任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y 均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．综合运用1.因式分解：x2﹣x﹣12= ．2.因式分解：﹣2x2+12x﹣18= ．3.分解因式：4x2﹣4x﹣3= ．4.因式分解：（k+1）x2+（3k+1）x+2k﹣2= ．5.分解因式：（a﹣b）2+6（b﹣a）+9= ．6.分解因式：2m2﹣mn+2m+n﹣n2= ．7.分解因式：a2﹣b2+4a+2b+3= ．8.分解因式：a2﹣4ab+4b2+3a﹣6b= ．9.已知△ABC的三边长分别为a、b、c，判断式子b2﹣a2+2ac﹣c2的结果是______（填正负性）10.若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是_______。
八年级培优--因式分解之配方法法与待定系数法
因式分解------配方法与待定系数法配方法把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法。
配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式。
例1、分解因式： (1)44x +(2)、344422-+--y y x x(3)、1232234++++x x x x (3)`、()()22221x x x x ++++ （另见最后一题）练习 ：分解因式： (1)4416b a +；(2)4224y y x x ++；(3)432234232a a b a b ab b ++++；(4)、1724+-x x ；(5)、22412a ax x x -+++；(6)、24222)1()1(2)1(y x y x y -+--+。
待定系数法对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是： 1、根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的多项式； 2、利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；3、解方程组，求出待定系数，再代人所设问题的结构中去，得到需求问题的解。
例1、如果823+++bx ax x 有两个因式1x +和2x +，则a b +＝( )。
A 、7B 、8C 、15D 、2l练习1、如果3233x x x k +-+有一个因式1x +，求k 。
课后练习、已知是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的一个因式为62-+x x ，求a 的值。
例2、k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积?练习：1、已知代数式 22342x xy y x by ---+-能分解成两个关于 , y x 一次因式的积求 b 的值。
人教版八上数学整式的乘法及因式分解单元培优
第1讲 整式的乘法知识点梳理：复习回顾：整式的加减：同类项，合并同类项 新课要点：（1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加。
nm n m a a a +=⋅(m 、n 都是正整数) 注意公式逆用。
（2）幂的乘方：底数不变，指数相乘。
mnnm a a =)(（m 、n 都是正整数) 注意公式逆用。
（3）积的乘方：nnnb a ab =)(（n 是正整数） 注意公式逆用。
（4）整式的乘法：①单项式和单项式相乘：把它们的系数、相同的字母分别相乘，对于只在一个单项式出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
例如：)3(2322bc a ab -⋅=3336c b a -②单项式与多项式相乘，先用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
即mb ma b a m +=+)(③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积再相加。
即nb na mb ma b a n m +++=++))((经典例题例1．（1）-x 3·x 5 （2）x m ·x 3m+1 （3）2×24×23（4）31++••m m ma a a （5）n m m m m a a a a 321⋅⋅例2．计算： ①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅例3.计算：⑴()33x - ⑵()25ab - ⑶()22xy ⑷()4322xy z-（5）()()4234242a a a a a ⋅⋅++- （6）()()()2323337235xx xx x ⋅-+⋅例4.计算：⑴()()2353a b a -⋅- ⑵()()3225x x y ⋅-（3）()()152n a b a +-- （4）()()()232236ab a cab c --⋅（5）()()24231x x x -⋅+- （6）221232ab ab ab ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭（7）()22221252a ab b a a b ab ⎛⎫-⋅+-- ⎪⎝⎭（8）()()32x y x y +-（9）()()22m n m n +- （10）2)2(b a +例5．若20x y +=，则代数式3342()x xy x y y +++的值为 。
初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题04 和差化积----因式分解的方法(2)
专题04 和差化积----因式分解的方法（2）阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法 1．主元法所谓主元法，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式，使问题获解的一种方法． 2．待定系数法即对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出一个或几个待定的字母系数，把所求问题用式子表示，然后再利用已知条件，确定或消去所设系数，使问题获解的一种方法，用待定系数法解题的一般步骤是：（1）在已知问题的预定结论时，先假设一个等式，其中含有待定的系数；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得出需求问题的解．例题与求解【例l 】xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是（ ）．A ．()()()z x y x z y -+-B ．()()()z x y x z y +--C ．()()()z x y x z y +-+D ．()()()z x y x z y -++（上海市竞赛题）解题思路：原式是一个复杂的三元二次多项式，分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列，改变原式结构，寻找解题突破口．【例2】分解因式：（1）bc ac ab c b a 54332222+++++；（“希望杯”邀请赛试题）（2）z y xy xyz y x z x x 222232242-++--．（天津市竞赛题）解题思路：两个多项式的共同特点是：字母多、次数高，给分解带来一定的困难，不妨考虑用主元法分解．【例3】分解因式1)12()12(2223-+-++++a x a a x a x ．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：因a 的最高次数低于x 的最高次数，故将原式整理成字母a 的二次三项式．【例4】k 为何值时，多项式k y x y xy x +++-+108222有一个因式是?22++y x（“五羊杯”竞赛试题）解题思路：由于原式本身含有待定系数，因此不能先分解，再求值，只能从待定系数法入手．【例5】把多项式12544234+-+-x x x x 写成一个多项式的完全平方式.（江西省景德镇市竞赛题）解题思路：原多项式的最高次项是44x ，因此二次三项式的一般形式为b ax x ++22，求出b a 、即可．【例6】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +，)(c x +的乘积（c b ,为整数），则a 的值应为多少？（江苏省竞赛试题）解题思路：由待定系数法得到关于a c b ,,的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出a c b ,,的值．能力训练A 级1．分解因式：222449c bc b a -+-＝___________________________．（“希望杯”邀请赛试题）2．分解因式：22635y y x xy x ++++＝_______________________（河南省竞赛试题）3．分解因式：)(3)(322y x y y x x -+-+++＝____________________________．（重庆市竞赛试题）4．多项式78622++-+y x y x 的最小值为____________________．（江苏省竞赛试题）5．把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（ ）A ．)2)(4(+---y x y xB ．)8)(1(----y x y xC ． )2)(4(--+-y x y xD ．)8)(1(--+-y x y x6．已知122-+ax x 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（ ）．A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6个 7．若4323+-kx x 被13-x 除后余3，则k 的值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．9 D ．10（“CASIO 杯”选拔赛试题）8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值是（ ）． A ．92 B ．32 C ．54D ．0（大连市“育英杯”竞赛试题）9．分解因式：（1）ac bc ab b a 2222++--；（吉林省竞赛试题）（2）))((4)(2b ac b a c ----；（昆明市竞赛试题）（3）a x a x x 2)2(323-++-；（4）12267222--++-y x y xy x ；（四川省联赛试题）（5）2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy（天津市竞赛试题）10．如果1)4)((---x a x 能够分割成两个多项式b x +和c x +的乘积（c b 、为整数），那么a 应为多少？（兰州市竞赛试题）11．已知代数式24322-+---by x y xy x 能分解为关于y x ,的一次式乘积，求b 的值．（浙江省竞赛试题）B 级1．若k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则k ＝_______________．（“希望杯”邀请赛试题）2．设y kx xy x x 42323---+可分解为一次与二次因式的乘积，则k ＝_____________．（“五羊杯”竞赛试题）3．已知4+-y x 是4322+++-y mx y x 的一个因式，则m ＝________________________． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 4．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值为__________．5．若823+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +＝（）．A ．8B ．7C ． 15D ．21E ．22（美国犹他州竞赛试题）6．多项式251244522+++-x y xy x 的最小值为（ ）． A ．4 B ．5 C ．16 D ．25（“五羊杯”竞赛试题）7．若136498322++-+-=y x y xy x M （y x ,为实数），则M 的值一定是（）．A ．正数B ．负数C ．零D ．整数(“CASIO 杯”全国初中数学竞赛试题） 8．设n m ,满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m ＝（）A ．（2，2）或（－2，－2）B ．（2，2）或（2，－2）C ．（2，－2）或（－2，2）D ．（－2，－2）或（－2，2）（“希望杯”邀请赛试题）9．k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）10．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++．（北京市竞赛试题）11．已知整数c b a ,,，使等式)1)(11()10())((+-=-+++x x x c b x a x 对任意的x 均成立，求c 的值．（山东省竞赛试题）12．证明：对任何整数y x ,，下列的值都不会等于33．543223451241553y xy y x y x y x x ++--+（莫斯科市奥林匹克试题）。
初二数学知识点专题讲解与练习3---因式分解的方法(培优版)
．分解因式： ＝ ． 3
a2 − b2 + 4a + 2b + 3 ____________________________
．多项式 与多项式 的公因式是 ． 4
ax3 − 8a
x2 − 4x + 4
____________________
5．在 1~100 之间若存在整数n ，使 x2 + x − n 能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的 n 有_______ 个．
ห้องสมุดไป่ตู้
10．已知二次三项式21x2 + ax −10 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．
A．a 一定是奇数 C．a 可为奇数也可为偶数 11．分解因式：
B．a 一定是偶数 D．a 一定是负数
（ ） ； 1 (2x2 − 3x +1)2 − 22x2 + 33x −1
（ ） ； 2 (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) − 90
【例 4】把多项式 x2 − y2 − 2x − 4y − 3因式分解后，正确的结果是（ ）．
． ． A (x + y + 3)(x − y −1) B (x + y −1)(x − y + 3)
． ． C (x + y − 3)(x − y +1) D (x + y +1)(x − y − 3) （“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．
【例 5】分解因式：
（ ） ； 1 x5 + x +1 （扬州市竞赛题）
初二数学培优因式分解4大培优方法
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在初二数学学习中，因式分解是一个非常重要的知识点。
8年级(下)周末培优课程【3】因式分解、三角形、一次函数
【3】因式分解、三角形、一次函数考点一：因式分解求参数1．如果多项式6x2﹣kx﹣2因式分解后有一个因式为3x﹣2，则k＝（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．72．已知1﹣2x+y是4xy﹣4x2﹣y2﹣k的一个因式，则常数k的值是．3．若多项式x2﹣mx+6分解因式后，有一个因式是x﹣3，则m的值为．4．如果二次三项式3a2+7a﹣k中有一个因式是3a﹣2，那么k的值为．5．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b＝．6．将多顶式x2﹣3x+2分解因式x2﹣3x+2＝（x﹣2）（x﹣1），说明多顶式x2﹣3x+2有一个因式为x﹣1，还可知：当x﹣1＝0时x2﹣3x+2＝0．利用上述阅读材料解答以下两个问题：（1）若多项式x2+kx﹣8有一个因式为x﹣2，求k的值；（2）若x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值．考点二：因式分解与降次1．如果x2+x﹣1＝0，那么代数式x3+2x2﹣7的值为（）A．6 B．8 C．﹣6 D．﹣82．已知x2﹣x﹣1＝0，则﹣x3+2x2+2005的值为．3．若m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．考点三： 完全平方式1.当m =______时，()22325x m x +-+是完全平方式；2.若16)4(292+-+x a x 是一个完全平方式，则a 的值为___________。
3.代数式x 2+（m ﹣1）xy+y 2为完全平方式，则m ＝ ．考点四： 因式分解计算1.把下列各式因式分解：（1）()()2222m a b n a b +++； （2）3218()12()a b b b a ---；（3）(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+； （4）2()()()x x y x y x x y +--+．2．把下列各式因式分解：（1）2()()xy x y x x y ---； （2）221236xy x y -++；（3）2414a a ++； （4）22816a ab b -+．3.把下列各式分解因式：(1)1522--x x （2） 2310x x +- (3)892++x x（4）37832--x x (5) 22712x xy y -+ (6) 42718x x +-考点五：不等式含参1．已知不等式{2x−a＜1x−2b＞3的解集为﹣1＜x＜1，求（a+1）（b﹣1）的值为．2．若不等式组无解，则a的取值范围为_______.3．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则常数m的取值范围是．考点六：三角形综合1．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将三角形CDE 绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则OCCD的值为．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（3，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等边△APQ，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为．3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为．4．如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．（1）求∠DCE的度数；（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．5．已知，△ABC中，AB＝AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）如图①，求证：AE＝AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′、BF′．①若BF′＝6，求CE′的长；②若∠EBC＝∠BAC＝36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．考点七：一次函数1．如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．（1）求m，k，b的值；（2）根据图象，直接写出1＜kx+b＜2x﹣2的解集．2．如图①，平面直角坐标系中，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A （﹣10，0），与y 轴交于点B ，与直线y ＝﹣x 交于点C （a ，7）．（1）求点C 的坐标及直线AB 的表达式；（2）如图②，在（1）的条件下，过点E 作直线l ⊥x 轴，交直线y ＝﹣x 于点F ，交直线y ＝kx ＋b 于点G ，若点E 的坐标是（﹣15，0）．①求△CGF 的面积；②点M 为y 轴上OB 的中点，直线l 上是否存在点P ，使PM ﹣PC 的值最大？若存在，直接写出这个最大值；若不存在，说明理由；7373检测：1.如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．2.如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为．3.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值＝．4.新定义：对非负数x“四舍五入“到个位的值记为＜x＞，即当n为非负数时，若n﹣≤x＜n+，则＜x＞＝n．例如＜0＞＝＜0.49＞＝0，＜0.5＞＝＜1.49＞＝1，＜2＞＝2，＜3.5＞＝＜4.23＞＝4，…试回答下列问题：（1）填空：①＜9.6＞＝；②如果＜x＞＝2，实数x的取值范围是．（2）若关于x的不等式组的整数解恰有4个，求＜m＞的值；（3）求满足＜x＞＝x的所有非负实数x的值．。
《因式分解》优秀教案一等奖
《因式分解》优秀教案一等奖1、《因式分解》优秀教案一等奖教学目标：1、掌握用平方差公式分解因式的方法；掌握提公因式法，平方差公式法分解因式综合应用；能利用平方差公式法解决实际问题。
2、经历探究分解因式方法的过程，体会整式乘法与分解因式之间的联系。
3、通过对公式的探究，深刻理解公式的应用，并会熟练应用公式解决问题。
4、通过探究平方差公式特点，学生根据公式自己取值设计问题，并根据公式自己解决问题的过程，让学生获得成功的体验，培养合作交流意识。
教学重点：应用平方差公式分解因式．教学难点：灵活应用公式和提公因式法分解因式，并理解因式分解的要求．教学过程：一、复习准备导入新课1、什么是因式分解？判断下列变形过程，哪个是因式分解？2、我们已经学过的因式分解的方法有什么？将下列多项式分解因式。
x2+2xa2b-ab3、根据乘法公式进行计算：(1)（x＋3）(x－3)= (2)(2y＋1)(2y－1)= (3)(a＋b)(a－b)=二、合作探究学习新知(一) 猜一猜：你能将下面的多项式分解因式吗？（1）= (2)= (3)=(二)想一想，议一议: 观察下面的公式:＝（a＋b）（a—b）（这个公式左边的多项式有什么特征：_____________________________________公式右边是__________________________________________________________ 这个公式你能用语言来描述吗？_______________________________________(三)练一练：1、下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？① ② ③ ④2、你能把下列的数或式写成幂的形式吗？(1)( ) (2)( ) (3)( ) (4)= ( ) (5) 36a4=( )2 (6) 0.49b2=( )2 (7) 81n6=( )2 (8) 100p4q2=( )2（四）做一做：例3 分解因式：(1) 4x2- 9 (2) (x+p)2- (x+q)2（五）试一试：例4 下面的式子你能用什么方法来分解因式呢？请你试一试。
北师大版八年级下册数学《提公因式法》因式分解培优说课教学复习课件
(6)mn(m－n)－m(n－m)2
＝mn(m－n)－m(m－n)2
＝m(m－n)[n－(m－n)]
＝m(m－n)(n－m＋n)
＝m(m－n)(2n－m)．
课堂小结
确定公因式的方法：三定，
公因式为
多 项 式
因 式
分 解
注
意
即定系数；定字母；定指数
分两步：（整体思想）
第一步找公因式；第二步提
公因式
1.分解因式是一种恒等变形；
C．x＋y
D．x－y
导引：因为y－x＝－(x－y)，所以若将－b(y－x)转
化为＋b(x－y)，则多项式出现公因式x－y，
由此可确定剩余的因式．
归纳总结
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一
个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
练一练
把下列各式因式分解：
（1） x(a+b)+y(a+b)
(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)．
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)．
(4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)
＝(m－2)(a－b)．
(5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)
＝(x－y)[2(x－y)＋3]＝(x－y)(2x－2y＋3)．
(n是奇数）
(2) a+b与b+a 相等.
(a+b)n = (b+a)n
(n是整数）
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”
号，使等式成立：
－
(1) (a-b) =___(b-a);
八年级数学上册《因式分解》教案
八年级数学上册《因式分解》教案一、教学目标1.理解什么是因式分解，能够分解出给定数的因式；2.掌握因式分解的方法，能够根据题目要求进行因式分解计算；3.能够在实际问题中应用因式分解解决问题。
二、教学内容1.因式分解的概念和原则；2.因式分解的方法；3.因式分解计算练习；4.因式分解在实际问题中的应用。
三、教学重点1.因式分解的概念和原则；2.因式分解的方法。
四、教学难点1.因式分解计算；2.因式分解在实际问题中的应用。
五、教学方法1.讲授法；2.案例分析法；3.对话式教学法。
六、教学过程1. 导入环节教师可通过黑板报告、视频等方式给出数学问题，鼓励学生尝试使用已学内容解决问题，并引出今天的主题。
2. 新概念学习（1）阐述因式分解的概念和原则因式分解就是把一个数分解成几个数的乘积，这几个数叫做这个数的因子。
而这些数的乘积就是因式分解。
比如，12=2×3×2，就是在把12拆成质因子2和3的乘积。
（2）讲解因式分解的方法在因式分解的过程中，要先进行质因数分解，然后再根据已有的质因数按照一定的规律组合得到各个因式。
我们来看一个例子:把180分解成质因数：180=22×32×5再根据已有的质因数按照乘法结合律进行组合：180=22×5×32因此，180的因式分解式为：180=22×5×323. 训练练习教师可以进行简单的练习教学，如：1.把60分解成质因数。
2.把54分解成质因数。
3.把63分解成质因数和次数。
同时，要注意在训练练习中可以进行多种题型的训练，如选做题、填空题、解答题等。
在训练的过程中会发现一些学生在质因分解的时候存在各种错误和错误的思维方式。
这时应当及时指出学生的问题，并给出正确的方法，让学生及时纠正自己的错误。
4. 延伸应用在延伸应用环节中，教师可以以实际问题为案例，让学生通过因式分解的方法去解决问题。
如：一块房屋用地，长和宽之比为3:2，则房屋长度为24米，那么这块地的面积是多少？解：设房屋宽为x米，则房屋长为3x米。
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1、整式乘法
22
()()
a b a b a b
+-=-
222
()2
a b a ab b
+=++
222
()2
a b a ab b
-=-+
2、整式乘法的分类：单项式×单项式
单项式×多项式
多项式×多项式
3、因式分解
概念：将某个多项式分解成几个因式的积的形式就叫做~
例：
22()() a b a b a b
-=+-222 2() a ab b a b
++=+
222 2() a ab b a b
-+=-
4、因式分解与整式乘法之间的关系：彼此互为逆向运算
5、因式分解的常用方法介绍
①提公因式法②公式法③十字相乘法
第一种：提公因式法
典型例题
因式分解： 2a (b +c) – 3(b +c ) 6(x –2) + x (2 –x )
总结：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的
第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因
式后得到的另一个因式必须按降幂排列.
练习巩固
1、把下列各式因式分解
(1) y)–(x - y)–2(x 32 (2)a)–n(b - b)–m(a
(3) y)–2(x + x )–3(y 2 (4) 22a)–n(b + b)–m (a
(5) a)–m(b - b)–mn(a 2 (6) 32y)+(x + y)+2x (x
第二种：公式法
典型例题1：用平方差公式进行因式分解
⑴229n m - ⑵22254n m -
⑶44n m - （4）4161m +-
总结：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式.注意多项式
有公因式时，首先考虑提取公因式，有时还需提出一个数字系数.
练习巩固
（1）916222-z y x （2）22)(9)25(4b a b a --+
典型例题2：用完全平方公式进行因式分解
（1）1)(2)(2+---q p q p （2）
2222()2()()m n m n m n +--+-
总结：整体代换思想：a b 、比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替
代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止.
练习巩固
（1）424
1a a ++ （2）249114x x --
（3）4224168b b a a +- （4）63362b b a a ++
（5）1)1(2)1(24++-+x x （6）1)2(2)2(2+---n m n m
第三种：十字相乘法
十字相乘法方法总结
1．用十字相乘法把某些形如ax 2+bx+c 的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：
（1）正确的十字相乘必须满足以下条件：
在十字相乘式中，竖向的两个数必须满足关系a 1a 2=a ，c 1c 2=c ；在上式中，
斜向的两个数必须满足关系a 1c 2+a 2c 1=b ，分解思路为“看两端，凑中间。
”
（2）由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a 1是第一个因式中的一次项系数，c 1是常数项；在下一行的两个数
中，a 2是第二个因式中的一次项的系数，c 2是常数项。
（3）二次项系数a 一般都把它看作是正数（如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数），只需把经分解在两个正的因数。
2．形如x 2+px+q 的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。
3．凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax 2+bx+c 的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式.
请计算：()()x p x q ++=
典型题析1：将下列各式化简
(1) 3)+2)(x +(x (2) 6)-5)(x -(x
(3) 4)-3)(x -(x (4)4)+3)(x -(x
(5) 2)+3)(x -(2x (6) 2)+1)(x -(3x
典型题析2：将下列各式因式分解（都是加号）
（1）232x x ++ （2）221x x ++
（3）298x x ++ （4）265x x ++
典型题析3：将下列各式因式分解（加减号）
（1）256x x -+ （2）256x x -- （3）
289x x --
典型题析4：把下列各式因式分解（最高次项的系数不为一）
（1） 15+ x 2+ x -2 （2） 3+7x -2x 2 （3） 18-7x -x 24
（4） 5-7x -6x 2 （5） 8y -6x y +5x 22 （6）
226y +5x y -x
典型题析5：分组分解法
（1）22244z y xy x -+-； （2）b a b a a 2322-+-
（3）322222--++-y x y xy x
巩固练习
1．用十字相乘法分解因式：
（1）1+3x +2x 2 （2） 6-y +2y 2 （3） 6+13x -6x 2
（4）6-7a -3a 2 （5） 3y +11x y -6x 22 （6） 3n +8mn +4m 22
2、已知a-b=1, 则代数式2a-2b-3=（ ）
A -1
B 1
C -5
D 5
3、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。
4、22)(n x m x x -=++则m =____n =____
5、232y x 与y x 612的公因式是＿
6、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。
7、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的
有________________________ ，其结果是 _____________________。
8、若22(3)16x m x +--是平方差形式，则m=_______。
9、. 已知a-b=5, ab=3, 求代数式a 3b-2a 2b 2+ab 3的值
10、已知a 2+2ab+b 2=0, 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值
课后作业
1、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x
2、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x
3、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。
4、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。
5、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）
A 、－a 、
B 、))((b x x a a ---
C 、)(x a a -
D 、)(a x a --
6、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ）
A 、m=—2，k=6，
B 、m=2，k=12，
C 、m=—4，k=—12、
D m=4，k=12、
7、因式分解下列式子
234352x x x -- 2633x x -
22)2(4)2(25x y y x ---
22414y xy x +-- 提高题
8、已知3
12=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -的值。
9、若x 、y 互为相反数，且4)1()2(22=+-+y x ，求x 、y 的值 100、已知2=+b a ，求)(8)(22222b a b a +--的值。