圆锥曲线中的轨迹方程(带答案)

第六讲求轨迹方程的六种常用技法

1直接法

根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列

出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。

例1.已知线段AB =6，直线AM ,BM相交于M，且它们的斜率之积是4，求点M 的轨迹方程。

9

练习：

1 .平面内动点P到点F(10, 0)的距离与到直线x=4的距离之比为

2 ,则点P的轨迹方程

2 •设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2 2y^4交于A、B两点，P是I上满足PA・PB=1的点，求点P的轨

迹方程。

3.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨

迹是( )

A .直线

B .椭圆C.抛物线 D .双曲线

2 •定义法

通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。

例2 .若B(£,0), C(8,0)为ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30，则ABC的重心轨迹方程是________________________ 。

练习：

4.方程2,(x-1)2 (y T)2 Tx y 2|表示的曲线是 ( )

A •椭圆

B •双曲线

C •线段

D •抛物线

3.点差法

圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 A(x 1,y 1), B(x 2, y 2)的坐

标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得

x-i x 2， y 1 y 2， X r - x 2， y 1 - y 2等关系式，由

于弦AB 的中点P(x, y)的坐标满足2x =为• x 2， 2y =% • y 2且直线AB 的斜率为

AB 中点

的轨迹方程。

X ? — X -

-1中，过P (I ,I )的弦恰被P 点平分，则该弦所在直线方程为

练习：

2 2

5.已知以P(2, 2)为圆心的圆与椭圆x 2y 二m 交于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。

2

6.已知双曲线x 2-' 1,过点P(1,1)能否作一条直线I 与双曲线交于 A,B 两点，使P 为线段AB

2

的中点？

4. 转移法

转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。 当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程:

① 某个动点P 在已知方程的曲线上移动； ② 另一个动点 M 随P 的变化而变化； ③ 在变化过程中P 和M 满足一定的规律。

X 2

例3 .椭圆—

4

2 2

X y

1上的动点，求.F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程。 16 9

练习：

7 .已知A(-1,0), B(1,4)，在平面上动点 Q 满足QA =4，点P 是点Q 关于直线y=2(x-4)的 对称点，求动点

P 的轨迹方程。

5. 参数法

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是 利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时 题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲 线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。

例6 •过点M ( -2,0)作直线I 交双曲线X 2 - y 2 =1于A 、B 两点，已知

(1)求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线;

(2)是否存在这样的直线I ，使OAPB 矩形？若存在，求出I 的方程；若不存在，说明理由。

已知P 是以F I ,F 2为焦点的双曲线

0?总 OB 。

练习：

2

&设椭圆方程为X 11,过点M(0,1)的直线I交椭圆于点A、B, O是坐标原点，点P满足

4

--- 1 -------- ------ 1 1

»2(0A6)，点N的坐标为(产)，当1绕点M旋转时,求:

(1)动点P的轨迹方程; ⑵| NP |的最小值与最大值。

9 •设点A和B为抛物线y2 =4px(p 0)上原点O以外的两个动点，且OA_OB ,过O作OM _ AB于M，

求点M的轨迹方程。

6.交轨法

若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。

2 2

例7.已知MN是椭圆- y 1中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA

2 . 2

a b

和NB的交点P的轨迹方程。

练习：

10 .两条直线ax+ y+1=0和x _ay _1 =0（a式±1）的交点的轨迹方程是_________

总结归纳

1•要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围•由曲线和方程的概念可知，在求

曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x, y的取值范围。

2 •“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。