矢量微分算子和拉普拉斯算子
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矢量微分算子和拉普拉斯算子
一、矢量微分算子
（一）形式定义：
x y z
∂∂∂∇=
++∂∂∂i j k 我们发现矢量微分算子算子在形式上是个矢量。
（二）用法定义
1.铺垫定义:
2.跟标量函数(),,u x y z 相乘
3.跟矢量()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 点乘
4.跟矢量()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 叉乘
（三）按照以上定义，我们容易得出：
1.根据下图所示梯度定义可知，可以用矢量微分算子表示标量函数()
,,
u x y z 的梯度，即()
grad u u
=∇
2.根据下图所示散度定理可知，可以用适量微分算子表示矢量函数
()()()
,,,,,,
P x y z Q x y z R x y z
=++
A i j k的散度，即()
div=∇⋅
A A
3.根据下图所示旋度定义可知，可以用矢量微分算子表示矢量函数
()()()
,,,,,,
P x y z Q x y z R x y z
=++
A i j k的旋度，即()
rot=∇⨯
A A
二、拉普拉斯算子
（一）形式定义：
（二）用法定义：
1.铺垫定义:
2.跟标量函数(),,u x y z 相乘
3.跟矢量函数()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 数乘
（三）注意
1.()2u u ∇=∇⋅∇
2.()2∇≠∇∇⋅A A 且()()2=∇∇⋅-∇∇⨯∇⨯A A A
3.()()2∇⨯∇⨯=∇∇⋅-∇A A A
k ()()()()()()()()()()2222
222222222222222222222222
22222,,,,,,,,,,,,,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z x y z P x y z Q x y z R x y z x y z x y z x y z P x y z P x y z P x y z x y z Q x y x ⎛⎫
∂∂∂∇++++=
⎪∂∂∂⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++++++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂⋅+⋅+⋅+ ⎪∂∂∂⎝⎭∂⋅∂A =i j k i j +k =i ()()()()()()22
22222
222222222222222222222,,,,,,,,,,,z Q x y z Q x y z y z R x y z R x y z R x y z x y z P P P Q Q Q R R R x y z x y z x
y z ⎛⎫∂∂++ ⎪∂∂⎝⎭
⎛⎫∂∂∂⋅+⋅+⋅=
⎪∂∂∂⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂++++++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭j +
k i +j +k