两个重要极限-重要极限
两个重要极限
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
两个重要极限
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
sin x 1. lim =1 x0 x
1 0.75 0.5 0.25
f ( x)
5
s i nx x
10 15
-15
-10
-5
o
-0.25 -0.5
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
例10
解
求极限
2x 3 x lim( ) . x 2 x 1
2x 3 x 2 l i m( ) l i m(1 )x x 2 x 1 x 2x 1
2 x 1 2 x 2 2 x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 lim(1 ) x 2x 1
2 x 1 1 2 2
e
2x x 2 x 1 lim
e.
2 (1 ) 2x 1 lim 1 x 2 2 (1 ) 2x 1
2 x 1 2
e.
高等数学
advanced mathematics
3 1 另解: 2x 3 x 2x )x l i m( ) l i m( x 2 x 1 x 1 1 2x 3 x 3 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2 x lim x 1 x 1 x l i m(1 ) (1 ) x 2x 2x
4x 1 5 x
解
4 2 (2)求 lim(1 ) x 3x 3x 3x 4 2 4 4 2 e2 lim(1 ) lim(1 ) x x 3x 3x
e .3 x
第五节 两个重要极限
类型5： 幂指式的极限，先利用幂的有关运 算把式子变换成含有标准式，再用公式
求.
练习
3 x 2x 求 lim( ) . x 2 x
极限的常用计算方法
1.代入法
x 4 3x 8 lim 2 x 2 x x 3
0 2.多项式的 型，分子分母同时分解， 0 约掉同为无穷小的公因
第5节 两个重要极限
sin x 1. lim 1. x 0 x
sin x 观察函数 当 x 0时的变化趋势 . x
y sin x x
sin x 重要极限lim 1的使用要求: x 0 x
1、式中含有三角函数的分式； 2、分母与正玄函数的角变量相同； 3、角变量趋近于0. sin x 重要极限lim 1的推广(类型四) : x 0 x 公式 要求
x
1 2
例5
计算li m 1 x .
x 0 2 x
解 方法1 令 u = -x,因为 x 0 时 u 0，
( 所以 l i m 1 x l i m 1 u)
x 0 2 x u0
2 u
lim
u0
1
(1 u)
1 . 2 2 1 e u
x 0
2 5 x
答案： e
6
有时，所给函数在自变量的某个趋向 下，底的极限为1，指数的极限为无穷，
人们称这类极限为1 ”型未定式. “
1 重要极限lim 1 e的使用要求: x x
(1)幂指式的底是由1与一个接近于0的变量和 (2)底中的变量与指数间互为倒数.
sin x x 0 lim lim 1 ( 型) x 0 x 0 sin x x 0 sin 推广： lim lim 1(上下一致) 0 0 sin
两个重要极限课件
解答
解答二
$lim_{x to infty} frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = 1$
解
当$x$趋向于无穷大时，$x^2$趋向于无穷 大，而$1$和$-1$相对于$x^2$来说是微小 的。
解答
解答三
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$是正确的。
解
根据三角函数的性质和极限的运算法则，当 $x$趋向于零时，$sin x$与$x$等价无穷小，
两个重要极限的应 用
在求极限中的应用
第一个重要极限
当x趋向于0时，sin(x)/x的极限是1。 这个极限在求某些复杂函数的极限时 非常有用，例如当x趋向于0时， (1+x)^(1/x)的极限就是e。
第二个重要极限
当x趋向于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限是e。这个极限在求某些复杂函数 的极限时也非常有用，例如当n趋向 于无穷大时，n*(1-1/n)^n的极限就 是1/e。
学习目标
掌握两个重要极限的公式和证明过程，理解其数学意义。
01
02
能够运用极限理论解决实际问题，培养数的兴趣和热爱，提高数学素养和数学审美能力。
03
01
两个重要极限的介 绍
第一个重要极限
总结词
第一个重要极限是当x趋近于0时，sinx/x的极限值。
详细描述
01
03 02
回顾
01 第一个重要极限：lim x->0+ sin(x)/x = 1
02 =第二e 个重要极限：lim x->0+ (1+x)^(1/x)
03
两个重要极限的证明方法和思路
04
两应个用重和要实极例限在微积分、概率论等领域的
两个重要极限-重要极限
两个重要极限-重要极限
1、无穷小
如果f(x)在x→x0时的极限为0，则称f(x)为x→x0时的无穷小。
在x趋于x0的同一变化过程中，f(x)有极限的充要条件为f(x)=A+α（α为无穷小）。
2、无穷大
如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大，反之亦然。
3、极限运算法则
（1）有限个无穷小的和（或乘积）也是无穷小。
（2）有界函数和无穷小的乘积是无穷小。
（3）两个函数的和（或乘积）的极限等于两个函数的极限的和（或乘积），当然，比值也如此，只是需要额外要求分母上的极限不能为0。
（3‘）函数的n次幂的极限等于函数的极限的n次幂（n为正整数）。
（4）如果函数A(x)≥B(x)，则A的极限也大于等于B的极限。
4、极限存在准则
（1）设数列X处于两个数列之间，即Yn≤Xn≤Zn，如果数列Y和Z 都有极限为a，则X也有极限为a。
（1’）设函数f(x)，在x0的某去心邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)，如果g和h都有极限为A，则f(x)也有极限为A。
上述两条准则统称为夹逼准则。
（2）单调有界数列必有极限。
（3）柯西极限存在准则。
函数两个重要极限公式
函数两个重要极限公式函数两个重要极限公式：第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。
极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
2.6两个重要极限
第一个重要极限
sin x lim =1 x→0 x
1. 涉及的基本不等式 sin x , x , tan x的关系） 的关系） （
1 sin x, x, tan x的各自图形如下： ） 的各自图形如下：
2） x与x的比较图如下： x与tan x的比较图如下： sin 的比较图如下： 的比较图如下：
x →0
sin x 2. 现证 lim =1 x →0 x
sin x ≤ x , x ≤ tan x ,
x ∈R x<
π
只需考虑 x → 0的过程 , 故不妨仅在 0 < x < 内讨论 , 2 π x sin x sin x 0< x < , ≤ = 1, ∵ cos x = ≤ 2 x x tan x
1 2 3 1 例如 un = 1 − : 0, , , ,⋯ 2 3 4 n 显然， 单调增， 显然， un单调增，且 0 < un < 1, 故由定理 2.12知 lim un存在
n→∞
且 lim un = 1
n→ ∞
第二个重要极限
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x — — Eular常数 e的计算来源
1 x
=e
lim(1 + x) = ?
x→0
ϕ( x)→0
lim [1 + ϕ( x)]
1 ϕ ( x)
=e
先判断极限类型！ 先判断极限类型！
例1 求极限
1 1） (1 + sin x ) ） lim∞Fra bibliotekx →0
1 sin x
= e
e
2 x
x 2
2 1 lim ） 1 2） 1 + = lim + x →∞ x x →∞
2.5两个重要极限
= e 时，
条件： ） 条件：1）1∞ 型幂指函数 f ( x ) g ( x ) ( f ( x ) > 0 ); 2）括号里第一项为 ，第二项与括号 ）括号里第一项为1， 外的指数互为倒数关系。 外的指数互为倒数关系。 变形： 变形：
推广： 推广：
1 lim 1+ f ( x)→∞ f (x)
2
( 2 + t )t (4 + t ) ( 2 + t )t (4 + t ) ====== lim = lim t → 0 sin π ( 2 + t ) t →0 sin πt = 8 .
令x − 2 = t
π
1 + x sin x − cos x ex5.计算 lim . x →0 x sin x
小结： 小结： 结论1 结论 sin nx n sin x lim lim =1 = x→0 x → 0 mx x m 结论2 结论
tan x 结论3 结论 tan nx n lim =1 lim = x→0 x x→0 m m
例3 求下列函数的极限
1 − cos x (1) lim x →0 x2
.
k lim 1 + x→ ∞ x
x
=e
k
例2 求下列极限
x + 1 ( 3) lim x→∞ x − 1
2 x (1)lim(1 − ) x →∞ x −1
x
x2 x (2) lim( 2 ) x →∞ x − 1
( 4 ) lim 1 − x 2
x→ 0
于是有sin x = BD,
x = 弧 AB,
tan x = AC,
第5节 两个重要极限
sin( x 2 − 1) 例6 lim = 1. 2 x →1 x −1
二.极限存在准则II及重要极限II 极限存在准则II及重要极限II II及重要极限 准则II 单调有界准则) 准则 (单调有界准则)
单调有界, 存在. 若数列 {a n } 单调有界,则 lim a n 存在.
n→ ∞
几何解释: 几何解释:
BD = sin x , 弧 AB = x ,
AC = tan x , 证 当 x ∈ ( 0 , π ) 时, 2 的面积＜ 圆扇形AOB的面积 ＜△AOD的面积 △AOB 的面积＜ 圆扇形 的面积 的面积 C 1 sin x < 1 tan x , < 即 2 2 B 故有 sin x < x < tan x ,
第五节 两个重要极限
一.极限存在准则I及重要极限I 极限存在准则I及重要极限I 准则I 夹逼准则) 准则 (夹逼准则)
如果函数 f ( x ) , g ( x ) , h( x ) 在同一变化过程中满足 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) , 且
lim g ( x ) = lim h( x ) = A , 那么 lim f ( x ) 的极限存在且等于 A .
当 x → 0 时, t → 0, t t = lim ln a ⋅ = ln a . 原式 = lim t →0 t → 0 log (1 + t ) ln(1 + t ) a
特殊地, 特殊地,
ex − 1 lim = 1. x→0 x
2
π
4
π
8
π
16
π
32
π
64
π
128
⋯
⋯
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
极限存在准则两个重要极限公式
极限存在准则两个重要极限公式极限存在准则是数学中的一个重要概念，用于判断一个函数在其中一点处的极限是否存在。
在实际应用中，掌握极限存在准则对于求解极限问题非常重要。
在极限存在准则中，有两个非常重要的极限公式，分别是极限的保号性和夹逼定理。
首先，我们来介绍一下极限的保号性。
设函数f(x)在点x0的一些去心邻域内有定义，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)>L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≥L；反之，如果存在一个常数L，使得当x在x0的一些去心邻域内取值，并且f(x)<L，那么可以得出极限lim(x→x0)f(x)≤L。
这就是极限的保号性。
保号性的一个重要应用是判断函数的极值。
如果在x0的一些去心邻域中，函数f(x)>0或f(x)<0，并且极限lim(x→x0)f(x)存在，那么就可以得出f(x)在x0处的极限是f(x0)。
这是因为根据保号性，当f(x)在x0的一些去心邻域内取正值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≥0；同理，当f(x)在x0的一些去心邻域内取负值时，可以推出极限lim(x→x0)f(x)≤0。
由于极限存在，所以这时候只有一个可能，即极限lim(x→x0)f(x)等于0，即f(x)在x0处的极限是f(x0)。
下面我们来介绍夹逼定理。
设函数f(x)、g(x)和h(x)在其中一点x0的一些去心邻域内有定义，并且对于x在该邻域内取值，有f(x)≤g(x)≤h(x)。
如果极限lim(x→x0)f(x)和lim(x→x0)h(x)都存在，并且它们的极限值相等，即lim(x→x0)f(x)=lim(x→x0)h(x)=L，那么可以得出lim(x→x0)g(x)=L。
这就是夹逼定理。
夹逼定理常用于求极限的问题中，特别是当函数的表达式较复杂时，可以用一个更容易处理的函数夹逼该函数，从而求得极限。
夹逼定理的原理是通过限制函数g(x)在f(x)和h(x)之间，确定了极限的上下界。
1.4两个重要极限
x
于是
3 x lim (1 + ) = lim(1 + t ) t = lim[(1 + t ) t ]3= [lim(1 + t ) t ]3 = e 3 x →∞ t →0 t →0 t →0 x x 3 x 3 3 3 或 lim(1 + ) = [lim(1 + ) ] = e3 x →∞ x →∞ x x
π
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第一个重要 极限 第一个重要
x 1 2 cos 另一方面， x = 1 − 2 sin > 1 − x ，于是有 另一方面， 2 2 1 2 sin x 1 − x < cos x < <1． 2 x
2
1 2 由准则Ⅰ 因为 lim (1 − x ) = 1 ，由准则Ⅰ可得 x →0 2 sin x =1． lim x →0 x
n →∞
ESC
二.第一个重要 极限 第一个重要
sin x =1 1. lim x→0 x
(1.4.1)
证 因为 sin( − x) = − sin x = sin x ，所以 −x −x x 由正值趋于零的情形． 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 作单位园O 作单位园O， 设圆心角 ∠AOB = x ,延长 OB交过 A点的切线于于 D ， 面积＜ 则 ∆AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ 面积． 面积＜ ∆AOD 面积．即 ESC
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第二个重要 极限 第二个重要
lim x 2. x→∞(1+ 1)x = e
表1
(1.4.7)
1 x x → ∞ 时 (1 + ) 之值的变化情况 x
高等数学1.7 极限存在准则 两个重要极限
一、准则 I
准则 I： 如果数列{xn }、{yn}及{zn}满足下列条件：
( ynxnzn(n=1，2，3，…)，
lim (2) lim yn=a，n zn=a，
n
lim 那么数列{xn }的极限存在，且 x n=a ． n
．
例8
sin x ． x x tan x 求 lim ． x0 x 1 - cos x 例 2 求 lim ． 2 x 0 x
求 lim
5 求 lim
6
7
7 x + 5x - 3 3x 2 - 2 x - 1 求 lim ． x 2 x 3 - x 2 + 5 2x 3 - x 2 + 5 求 lim ． 2 x 3 x - 2 x - 1
例2 求lim
1 - cos x ． 2 x 0 x
2
解
x sin x 2 x sin 2 sin 1 1 1 - cos x 2 2 = lim 2 = lim lim = lim x0 x0 x2 2 x 0 1 2 2 x 0 x x2 2 2 1 2 1 = 1 = ． 2 2
n
根据准则II，数列{x n}必有极限． 这个极限我们用e 来表示．即
lim 1 + n 1 =e ． n
n
e 是个无理数，它的值是e=2.718281828459045 ···．
还可证明
1 lim1 + =e ． x x
x
第二个重要极限： lim1 + x
准则 I： 如果函数g(x)、f(x)及h(x)满足下列条件：
高数 极限存在准则两个重要极限
2x lim[(1 ) x 0 1 x
1 x 2 cos x x 2x 1 x sin x
]
e
2
14
例11 lim 3 x 9
x
1 x x
1 x
lim 9
x
1 x x
1 x 1 3
3x
1 9 lim 1 x x 3
2
).
解
n n2 n
1 n2 1
1
1 n2 n
n n2 1
n 又 lim 2 lim n n n n
1 1, 1 n n 1 lim 2 lim 1, 由夹逼定理得 n n 1 n 1 1 2 n
lim(
n
1 n 1
17
11
例6. 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim t 0 sin t
例7. 求
解: 原式 =
x 2 sin 2 2 lim 2 x0
sin t t
1
x
sin 1 lim x 2 x 0 2
x 2
1 2 2 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
) 1.
4
记住结果：
(1) lim n n 1
n
n
( 2) lim n a 1 ( a 0)
例2
lim 1 2 3 4
n n n n
n
解： 4 n 1 2 n 3n 4 n 4n 4
高等数学：两个重要极限
两个重要极限一、基本内容1. 第一重要极限 ：1sin lim0=→x xx特征 ：（1）是“00”型极限，但并不代表所有的“0”型；（2）无论x 趋于何值，只要0)(α→x ，就有1)(α)(αsin →x x 。
2. 第二重要极限： e x x x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim ，e nnn =+∞→)11(lim特征 ：（1）是“∞1”型极限，但并不代表所有的∞1；（2）无论x 趋于何值，只要0)(α→x ，就有e x x →+)(α1)](α1[。
二、学习要求能够灵活运用两个重要极限求极限。
三、基本题型及解题方法 题型1 求“”型极限 解题方法：以第一重要极限为基础，同时要注意该重要极限的推广应用即0)(α→x ，有1)(α)(αsin lim0)(α=→x x x 。
【例1】 计算下列极限（1） 2-)1-sin(lim21x x x x +→ (2) xx xx sin 2cos 1lim0-→ 解：(1) 原式211-)1-sin(lim1+⋅=→x x x x 31= (2) 原式= x x x x sin sin 2lim 20→=xxx sin lim 20→=2题型2 求“∞1”型极限解题方法：以第二重要极限为基础，同时也要注意该重要极限的推广应用即0)(α→x ，有e x x x =+→)(α10)(α)](α1[lim 。
【例2】 计算下列极限 （1）xx x2)51(lim -∞→+； （2）()xx x 2031lim -→解：（1）原式)10(5)51(lim -⋅∞→+=xx x10)10(5)51(lim --∞→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=e x xx（2）原式)6(31)31(lim -⋅-→-=xx x =6e四、同步练习 （一）填空题： 1．若53sin lim0=→kxxx ，则=k 。
2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0,sin 10,0,)(x x xx k x e x f x，若()x f x 0lim →存在，则=k 。
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
准则的适用范围与注意事项
适用范围
夹逼准则适用于被夹逼的数列或函数在某点的极限求解；单调有界准则适用于单调且有界的数列极限求解。
注意事项
在使用夹逼准则时，需要找到合适的夹逼数列，并确保它们的极限相等；在使用单调有界准则时，需要证明数列 的单调性和有界性。同时，两个准则都只能用于求解数列或函数的极限值，不能用于求解其他数学问题。
数列极限存在的条件可以归结为数列 的单调性和有界性。如果数列单调增 加（或减少）且有上界（或有下界） ，则数列收敛，即存在极限。
03
序列极限的求法
可以通过对数列进行变形、放缩、裂 项、分组等方法来求解数列的极限。
其他相关的重要极限
第一个重要极限
lim(x→0)sinx/x=1，这个极限在三角 函数的求导以及某些复杂极限的求解 过程中有重要作用。
第一个重要极限可以用于求解三角函数的极限问题，也可以用于证明一 些三角恒等式和不等式。
第二个重要极限是自然对数的底数e的定义基础，也是求解一些复杂极限 问题的重要工具。同时，它也与指数函数、对数函数等有着密切的联系。
准则一：夹逼准则
01 02
定义
如果数列${x_n}$、${y_n}$和${z_n}$满足条件$y_n leq x_n leq z_n$， 且$lim_{n to infty} y_n = lim_{n to infty} z_n = a$，则数列${x_n}$ 的极限存在且等于$a$。
02 两个重要极限的详解
第一个重要极限：sinx/x的极限
01
02
03
定义与表达式
当x趋近于0时，sinx/x的 极限值为1，即lim(x->0) sinx/x = 1。
几何意义
《两个重要极限》课件
两个极限的联系与应用举例
在这一节中，我们将探讨第一个和第二个极限之间的联系以及它们在实际问题中的应用。通过生 动的例子和详细的解析，帮助您更好地理解和运用这些概念。
两个极限的证明过程
本节将深入讨论两个极限的证明过程。我们将通过严谨的数学推导和逻辑推 理，展示这些极限的数学原理和证明方法。
解决问题的思路和方法
在这一节中，我们将分享解决问题的思路和方法。通过分析和归纳，培养您 的问题解决能力和的学习，您将全面掌握《两个重要极限》的概念和应用。未来， 您可以将所学知识运用到更广泛的数学和科学领域。
《两个重要极限》
在这个PPT课件中，我们将介绍两个重要极限的概念和应用。通过丰富的内容 和精美的图片，让您轻松理解和掌握这些重要概念。
第一个极限的定义和解释
第一个极限是在函数逼近某个值时的极限值。它在数学和科学领域中具有广 泛的应用，我们将通过例子和图表来说明其原理和特点。
第二个极限的定义和解释
1.4两个重要极限
sin 5 x sin 5 x lim lim 5 5 x 0 x 0 x 5x
7
二、两个重要极限
sin x 例3 求lim . x 0 x
解：原式= lim sin x x x 0 x sin x
sin x x = lim lim x 0 x x 0 sin x
5
二、两个重要极限
注意：
x 1 成立。 1.公式变形 lim x 0 sin x
2.若将极限中的自变量 x 换成 x 的函数 ( x) ,
sin ( x) 则公式: lim 1成立. ( x ) 0 ( x )
二、两个重要极限
sin 5 x 例2 求lim . x0 x
1
11
二、两个重要极限
1 2. 第二个重要极限： lim 1 e. x x 1 型. 注：(1)当 x ,1+ , 所以该极限是 1 1 x 求幂指函数 f ( x) g ( x ) 极限时,若 lim f ( x) 1,lim g( x)
二、两个重要极限
第一个重要极限：lim sin x 1.
x 0
注：若在极限式中有三角函数、 反正弦函数、
0 反正切函数，且为 0
x
型，常用该公式。
tan x 例1 求 lim . x 0 x tan x sin x 1 lim 解: lim x 0 x cos x x 0 x sin x 1 1 lim lim x 0 x x 0 cos x
1 2. lim x sin ____ ; 1 x x 1 1 n e ; 4. lim (1 ) ____ n n
两个重要极限-重要极限
（第一课时）之阳早格格创做——新浪微专：月牙LHZ 一、教教目标1.复习该章的沉面实量.2.明白要害极限公式.3.使用要害极限公式供解函数的极限. 二、教教沉面战易面 沉面：公式的生记取明白. 易面：多种变形的应用. 三、教教历程 1、复习导进（1）极限存留性定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=-+→→→)(lim )(lim )(lim 0（2）无贫洪量取无贫小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则）（00)(1x x x f →→（3）极限的四则运算：（4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论） （5）[][]kkx f x f )(lim )(lim =（乘法推论）（6）[]0lim =⨯有界变量无穷小量（无贫小量的本量）eg:0sin 1lim sin lim=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=∞→∞→x x x x x x那么，？=→x xx sin lim0呢，那是咱们原节课要教的要害极限2、掌握要害极限公式公式的特性：（1）0型极限；（2）分子是正弦函数；（3）sin 后里的变量取分母的变量相共. 3、典型例题 【例1】 供 kx xx sin lim0→()0≠k解：kx x x sin lim0→=k kx x k x 111sin lim 10=⨯=→ 【例2】 供 x xx tan lim→解：x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=⨯=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→x x x x x x x x x（推导公式：1tan lim0=→x xx ）【例3】 供 x xx 5sin lim0→ 解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim000=⋅=⋅=⋅=→→→x xx x x x x x x4、加强训练（1）x x x 3sin lim0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）xxx 35sin lim0→ (4)x xx 2tan lim→解：（1）x x x 3sin lim0→=31131sin lim 310=⨯=→x x x （2） kk kx kxk kx kx k x kx x x x =⋅=⋅=⋅=→→→1sin lim sin lim sin lim000（3）3513555sin lim 353555sin lim 35sin lim000=⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→x x x x x x x x x（4）x x x 2tan lim 0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=⨯⨯=⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→x x x x x x x x x四、小结:原节课咱们教习了一个要害的极限，并使用那个公式供解一些函数的极限.正在使用那个公式时，要注意二面：一是分子中的三角函数变换为正弦函数，二是分子sin 后里的变量取分母的变量相共. 五、安插做业:（1）x x x 5sin lim0→（2）xxx 3sin lim0→ （3）xxx 25sin lim0→ (4)x x x 3tan lim→（第二课时）————新浪微专：月牙LHZ一、教教目标 1.明白要害极限公式.2.使用要害极限公式供解函数的极限. 二、教教沉面战易面 沉面：公式的生记取明白. 易面：多种变形的应用. 三、教教历程 1、复习导进：原节课咱们教习一个要害的极限公式.最先咱们所有复习一下指数运算.(1)()n n n b a b =a (2)m n m n a a a ⋅=+(3)()mn nm a a =2、掌握要害极限公式3、典型例题 【例1】 xx x )21(lim +∞→解：22222])211(lim [])211[(lim )21(lim e x x xxx xx x x =+=+=+∞→∞→∞→（构制法）【例2】xx x 10)1(lim +→解：e z x z z x z xx =+=+∞→=→)11(lim )1(lim 110（换元法） （推导公式：ex xx =+→10)1(lim ）【例3】 xx x )11(lim -∞→解：e e x x xx x x x x x 1])11(lim [])11[(lim )11(lim 111==-+=-+=----∞→--∞→∞→（构制法） 【例4】 x x x x )1(lim +∞→解：e x x x x x x x x x x 1111lim )111(lim )1(lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+∞→∞→∞→（构制法）4、加强训练（1）x x x )51(lim +∞→（2）x x x 20)1(lim +→（3）x x x )21(lim -∞→ (4)xx x x )12(lim +∞→解：（1）55555])511(lim [])511[(lim )51(lim e x x xxx x x x x =+=+=+∞→∞→∞→（2）2221021020)11(lim )1(lim )1(lim )1(lim e z x x x zz x x x x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+∞→→→→(3)2222221])211(lim [])211[(lim )21(lim ee x x x xx xx x x ==-+=-+=----∞→--∞→∞→(4)e e e e x e x x x x x x x xx xx x x x x x x x x ==+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→22222])211(lim [])211[(lim 11lim 21lim )1121(lim )12(lim四、小结:原节课咱们教习了另一个要害的极限，并使用那个公式供解一些函数的极限.教会巧妙天使用换元法战构制法把它转移为公式的形式，进而供得极限. 五、安插做业:（1）x x x )31(lim +∞→（2）x x x 10)21(lim +→（3）x x x 2)11(lim -∞→ (4)xx x x )13(lim ++∞→。
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2.5.1两个重要极限（第一课时）
——新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标
1.复习该章的重点内容。
2.理解重要极限公式。
3.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程 1、复习导入
（1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x
x ==⇔=-
+→→→)(lim )(lim )(lim 000
（2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则
）（00)
(1
x x x f →→ （3）极限的四则运算：
[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=± [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ⋅=⋅ )
(lim )
(lim )()(lim
x g x f x g x f = ()()0lim ≠x g （4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论） （5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论）
（6）[]0lim =⨯有界变量无穷小量（无穷小量的性质）
eg: 0sin 1lim sin lim
=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=∞→∞
→x x x x x x 那么，？
=→x
x
x sin lim
0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim
0=→x
x
x 公式的特征：（1）0
型极限；
（2）分子是正弦函数；
（3）sin 后面的变量与分母的变量相同。
3、典型例题
【例1】 求 kx
x
x sin lim
0→()0≠k
解：kx x x sin lim 0→=k
k x x k x 1
11sin lim 10=⨯=→ 【例2】 求 x
x
x tan lim 0→
解：x x x tan lim
→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=⨯=⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim
0=→x x
x ） 【例3】 求 x
x
x 5sin lim 0→
解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=⋅=⋅=⋅=→→→x
x
x x x x x x x 4、强化练习
（1）x x x 3sin lim
0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x
x
x 2tan lim 0→
解：（1）x x x 3sin lim 0→=3
1
131sin lim 310=⨯=→x x x （2） k k kx
kx
k kx kx k x kx x x x =⋅=⋅=⋅=→→→1sin lim sin lim sin lim
000 （3）3513555sin lim 35
3555sin lim 35sin lim 000
=⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→x
x x x x x x x x
（4）x x x 2tan lim
0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=⨯⨯=⋅⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛→→→x x x x x x x x x 四、小结:
本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子sin 后面的变量与分母的变量相同。
五、布置作业: （1）x x x 5sin lim 0→（2）x x x 3sin lim 0→ （3）x x x 25sin lim 0→ (4) x
x
x 3tan lim 0→
2.5.2两个重要极限（第二课时）
————新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标 1.理解重要极限公式。
2.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程 1、复习导入：
本节课我们学习一个重要的极限公式。
首先我们一起复习一下指数运算。
(1)()n n n b a b =a (2) m n m n a a a ⋅=+ (3) ()m
n nm a a =
2、掌握重要极限公式
e x
x x =+∞→)1
1(lim 3、典型例题
【例1】 x x x
)21(lim
+∞
→
解：22222])2
1
1(lim [])211[(lim )21(lim e x x x
x
x x x x x =+=+=+∞→∞→∞→（构造法） 【例2】x
x x 10
)1(lim
+→ 解：e z
x z z x z x
x =+=+∞
→=
→)11(lim )1(lim 1
10（换元法） （推导公式：e x x
x =+→10
)1(lim ） 【例3】 x x x
)1
1(lim -∞→
解：e
e x x x x x x x x x 1])11(lim [])11[(lim )11(lim 111==-+=-+
=----∞→--∞→∞→（构造法） 【例4】 x
x x x )1
(
lim +∞
→ 解：e x x x x x x x x x x 1
111lim )111(lim )1(
lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=+∞→∞→∞
→（构造法） 4、强化练习
（1）x x x )51(lim +∞→（2）x x x 2
0)1(lim +→（3）x x x )21(lim -∞→ (4) x
x x x )12(lim +∞→ 解：（1）55555])5
1
1(lim [])511[(lim )51(lim e x x x
x
x x
x x x =+=+=+∞→∞→∞→ （2）222
1
02
102
0)11(lim )1(lim )1(lim )1(lim e z x x x z z x x x x x
x =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+∞→→→→ (3) 2222221])2
11(lim [])211[(lim )21(lim e
e x x x x
x x x x x ==-+=-+=----∞→--∞→∞→ (4)
e e e e x e x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x ==+=+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→22
222]
)211(lim [])211[(lim 11lim 21lim )1121(lim )12(lim 四、小结:
本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从而求得极限。
五、布置作业:
（1）x x x )31(lim +∞→（2）x x x 1
0)21(lim +→（3）x x x
2)11(lim -∞→ (4) x x x x )13(lim ++∞→。