误差理论与测量平差习题01

误差理论与测量平差习题编写葛永慧付培义胡海峰太原理工大学测绘科学与技术系第一章 绪论习题..................................................... 2 第二章 平差数学模型与最小二乘原理习题............................... 3 第三章 条件平差习题................................................. 4 第四章 间接平差习题................................................. 7 第五章附有限制条件的条件平差习题.................................... 2 第六章 误差椭圆习题................................................. 4 第七章 误差分布与平差参数的统计假设检验习题......................... 6 第八章 近代平差理论习题 (7)第一章 绪论习题1.1 举出系统误差和偶然误差的例子各5个。

1.2 已知独立观测值1L 、2L 的中误差分别为1m 、2m ，求下列函数的中误差：（1） 2132L L x -=； （2）212132L L L x -=； （3）)cos(sin 211L L L x +=1.3 已知观测值L 及其协方差阵LL D ，组成函数AL X =和BX Y =，A 、B 为常数阵，求协方差阵XL D 、YL D 和XY D 。

1.4 若要在两坚强点间布设一条附合水准路线，已知每公里观测中误差等于mm 0.5±，欲使平差后线路中点高程中误差不大于mm 0.10±，问该路线长度最多可达几公里？ 1.5 有一角度测20测回，得中误差24.0''±，问再增加多少测回，其中误差为82.0''±？ 1.6 设对某量进行了n 次独立观测，得观测值i L ，权为),,2,1(n i p i =，试求加权平均值[][]p pL x =的权x p 。

1.7 取一长度为d 的直线之丈量结果的权为1，求长度为D 的直线之丈量结果的权。

1.8 设有函数y f x f F 21+=，其中⎩⎨⎧+++=+++=n n n n L L L y L L L x βββααα (22112211)i α、i β是无误差的常数，i L 的权为i p ，)(0j i p ij ≠=。

求函数F 的权倒数F p 1。

1.9 已知观测值向量L ，其协因数阵为单位阵。

有如下方程：L BX V -=，0=-L B BX B TT ，L B B B X TT1)(-=，V L L+=ˆ 式中：B 为已知的系数阵，B B T为可逆矩阵。

求（1）协因数阵XX Q 、L L Q ˆˆ；（2）证明V 与X 和Lˆ均互不相关。

1.10 设分5段测定A 、B 两水准点间的高差，每段各测两次，高差观测值和距离如下：试求：(1)每公里观测高差的中误差；(2)第二段观测高差的中误差；(3)第二段高差的平均值的中误差；(4)全长一次(往测或返测)观测高差的中误差；(5)全长高差平均值的中误差。

第二章 平差数学模型与最小二乘原理习题2.1在图2.1中，A ，B 点为已知水准点，P 1，P 2，P 3，P 4为待定水准点，观测高差向量为[]Th h h L 8211,8~,~,~ =，试列出条件平差的平差函数模型（将条件方程写成真值之间的关系式）。

2.2 为确定某航摄像片中一块梯形的面积，用卡规量得上底边长为1l ，下底边长为2l ，高为h ，并用求积仪量得面积为S （见图2.2），若设梯形面积为未知参数X ~，试按附有参数的条件平差法列出平差函数模型。

2.3 在如图 2.3的水准网中，A 为已知水准点，321P P P ，，为待定点，观测高差向量为T h h h h h L ]~~~~~[~54321，，，，=，现选取321P P P ，，点高程为未知参数TX X X X ]~~~[~321，，=，试列出间接平差的函数模型。

2.4 在图2.4的水准网中，A ，B 点为已知水准点，P 1，P 2点为待定水准点，观测高差为321,,h h h 和4h 。

若设三段高差为未知参数，[]TX X X X 3211,3~,~,~~=如图所示，试按附有限制条件的间接平差列出平差函数模型。

2.5 在图 2.5的水准网中，A ，B 点为已知点，321P P P ，，点为待定点，观测高差为()6,5,4,3,2,1=i h i ，若选AP 1，P 1P 2及P 2B 路线的三段高差为未知参数，[]TX X X X 3211,3~,~,~~=试按附有限制条件的条件平差列出条件方程和限制条件。

第三章 条件平差习题3.1 如图3.1所示水准网，A 、B 两点为高程已知，各观测高差及路线长度如表3.1所列。

用条件平差法计算求知点的高程平差值及p 2和p 3之间平差后高差值7ˆh 的中误差。

表3.1图3.13.2图3.2中所示的中点三边形，其内角观测值为等精度独立观测值（如表3.2所示），计算各观测角值的平差值及CD边长平差后的相对中误差。

表3.23.3如图3.3所示单一附合导线，起算数据和观测值如表3.3所示，测角中误差为±3″，测边标称精度为±(5+5D)mm，按条件平差法计算各导线点的坐标平差值，并评定3点平差后的点位精度。

表3.33.4 设某平差问题是按条件平差法进行的，其法方程式为：试求：（1 ，[]p bf/3.5 i L （i =1E LL =，已知方位角BC a 无误差，试求平差后BE a 的权倒数。

3.6 试按条件平差法求证在单一水准路线（如图3.6）中，平差后高程最弱点在水准路线中央。

3.7 已知条件式为0=+W AV ,其中AL W =，观测值协因数阵为1-=PQ LL ，现有函数式)(V L fF T+=，（1） 试求：FF Q ；（2） 试证： V 和F 是互不相关的。

3.8 有独立测边网（如图3.8），边长观测值列于表3.8。

试按条件平差法求出改正数iS V 以及边长平差值。

（已知E Q S =）。

表3.8第四章 间接平差习题一、 公式汇编与示例（一）、公式汇编附有限制条件的间接平差法的数学模型,ˆ1,1,,1,n u u n n l xB V -= （4-5-4） ,0ˆ1,1,,=-s x u u s W xC（4-5-5） .,120,20,nn nn nn PQ D -==σσ（4-5-6）其中 ).(),(0X ΦW X F L l x -=-= 法方程,0ˆ1,1,1,,1,,u u s s s u T u uu bb W K C xN =-+ （4-5-13） .0ˆ1,1,1,,s s x u u s W xC =-（4-5-14） 式中 .,Pl B W PB B N TT bb ==（4-5-12）其解为xcc T bb bbcc T bb bb u W N C N W CNN C N N x 1111111,)(ˆ------+-=,11ˆˆx cc T bb X X W N C N W Q --+=（4-5-19） ).(111,x bbcc s s W W CNN K -=--（4-5-18） 式中 .1Tbbcc C CNN -=（4-5-16）观测值和参数的平差值,ˆ1,V L Ln += （4-5-20） .ˆˆ01,xX Xu +=（4-5-21）单位权方差的估值,ˆ2s u n PVV rPV V TT+-==σ（4-5-22） .ˆs T x TTTK W x WPl l PV V --=（4-5-23）协因数阵见表4-10。

参数平差值函数：).ˆ(ˆX Φ=ϕ（4-5-24）平差值函数的权函数式.ˆˆX d F d T =ϕ（4-5-25）式中.ˆˆˆ21,1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂=uuTXΦXΦX ΦF（4-5-26）平差值函数的协因数.ˆˆˆˆF Q F Q X X T=ϕϕ（4-5-27）平差值函数的中误差.ˆˆˆ0ˆϕϕϕσσQ = （4-5-28）（二）、示例例[4-6] 在图4-11的三角网中，A 、B 为已知点，CD 为基线边，又已知B-E 的方位角BE α，观测了全部角度值列于表4-12，试求各待定点坐标的平差值和F 点点位中误差。

解：（1）绘制平差略图（图4-11）。

（2）编制起算数据表（表4-11）。

（3）计算近似坐标（计算过程略，近似坐标列于表4-13）。

（4）计算近似边长和近似方位角（计算过程略，结果列于表4-14）。

（5）计算a 、b 系数，例中xˆ、y ˆ以cm 为单位，故a 、b 系数按下列计算： .)(cos 06265.2,)(sin 06265.20km S b km S a ik ikik ik ikik αα-==计算结果见表4-14。

起 算 数 据 表 表4-11角 度 观 测 值 表4-12待定点近似坐标与最后坐标 表4-13 图4-11a，b系数的计算表4-14（6）编制误差方程系数和常数项表（表4-15），其中).(0ij ik i i L l αα--=（7）列立条件方程。

由于选取了全部待定点坐标为参数，所以在基线边的两端点的参数C xˆ、C y ˆ、D x ˆ、D y ˆ之间存在着一个基线条件，而在已知点坐标B X 、B Y 与参数E x ˆ、E y ˆ之间存在一个方位角条件。

基线条件为222)ˆˆ()ˆˆ(CD C DCD Y Y X XS -+-=，方位角条件为.ˆˆarctanBEB E BE X X Y Y --=α它们线性化后的形式为,0ˆsin ˆcos ˆsin ˆcos 0000=-++--s D CD D CD C CD C CD w yx y x αααα.0ˆˆ=-+αωE EB E EB y b xa式中，,)()(0200200CD CD C D C DCD sS S Y Y X XS -=-+--=ω.arctan00BE BE BEB E BE XXY Y αααωα-=---=。

EB a 与EB b 的计算与误差方程系数相同。

（8）组成法方程并进行解算。

结果为,]206.0195.0122.0099.0308.0155.0273.0142.0349.0002.0[ˆcm xT = .]040.0010.0[Ts K -=（9）将坐标改正数列入表4-13，计算平差后坐标。

（10）计算观测角改正数（表4-15）和平差后的角值（略）。