浦东初一数学补习班 东南数理化 因式分解授课讲义及习题

因式分解 授课讲义

因式分解是初中数学中的基础知识和基本技能。初学上手有一定难度，必须熟练掌握技巧，为初二初三的学习打下基础。

本讲义主要介绍如下几种因式分解方法：（其中，一到四为教材要求的基础方法）

一、提公因式法

二、运用公式（平方差公式、平方和公式等）法

三、分组分解法

四、十字相乘法（交叉相乘法）

五、换元法

六、“添”“拆”“配”法

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；

(2)(a ±b)2=a 2±2ab+b 2———a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；

(3)(a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；

(4)(a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．

下面再补充两个常用的公式：（碰到难题可查询）

(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

=))((b a n m ++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-

=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---

=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --

练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：ay ax y x ++-22

例4、分解因式：2222c b ab a -+-

思考：这两题，将哪些项分在一组？

解：原式=)()(22ay ax y x ++- 解：原式=222)2(c b ab a -+- =)())((y x a y x y x ++-+ =22)(c b a --

=))((a y x y x +-+ =))((c b a c b a +---

练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---

练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22

（3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++-

（5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+--

（7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a

（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

例5、分解因式：652++x x

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3

=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672+-x x

解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1

=)6)(1(--x x 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习5、

分解因式(1)542-+x x (2)36152+-a a

(3) 24142+-x x (4) 24112+-x x

练习6、

分解因式(1)22-+x x (2)1522--x x

(3)24102--x x (3)2422--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a =1a 1c

（2）21c c c =2a 2c

（3）1221c a c a b +=1221c a c a b +=

分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++

例7、分解因式：101132+-x x

分析： 1 -2

3 -5

（-6）+（-5）= -11

解：101132+-x x =)53)(2(--x x

练习7、分解因式：

（1）6752-+x x （2）2732+-x x

（3）317102+-x x （4）101162++-y y

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：221288b ab a --

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b

1 -16b

8b+(-16b)= -8b

解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++