完整word版证明圆的切线经典例题

证明圆的切线方法及例题

证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.

例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.

求证：EF与⊙O相切.

证明：连结OE，AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC.

AB=BC，又∵

4.

3=∠∴∠

⌒⌒，∠1=∠2. ∴BD=DE 又∵OB=OE，OF=OF，

∴△BOF≌△EOF（SAS）.

∴∠OBF=∠OEF.

∵BF与⊙O相切，

∴OB⊥BF.

0. ∴∠OEF=90

∴EF与⊙O相切.

说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的

1

例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.

求证：PA与⊙O相切.

证明一：作直径AE，连结EC.

的平分线，AD是∠BAC ∵

DAC. ∠∴∠DAB=

，∵PA=PD

DAC. ∠∠1+ ∴∠2=

，∠DAB∵∠2=∠B+

B. ∠∴∠1=

E，又∵∠B=∠

E 1=∠∴∠

O的直径，∵AE是⊙

0. E+∠EAC=90 ∴AC⊥EC，∠

0. 1+∠EAC=90 ∴∠

PA. ⊥即OA

. 相切与⊙O ∴PA

OE. OA，E交⊙O于，连结证明二：延长AD

的平分线，∵AD是∠BAC ⌒⌒

∴BE=CE，

∴OE⊥BC.

0. BDE=90E+∠∴∠

∵OA=OE，

∴∠E=∠1.

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA.

又∵∠PDA=∠BDE,

2

0∴∠1+∠PAD=90

PA. ⊥即OA

相切PA与⊙O ∴. 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用说明：M ⊥DMAC于O交BC于D，3 例如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙. 与⊙O相切求证：DM

OD. 证明一：连结∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

，∵OB=OD

∠B.

∴∠1=D

C. ∴∠1=∠∴OD∥AC.

，∵DM⊥AC

OD. DM ∴⊥相切O ∴DM与⊙AD. OD证明二：连结，

是⊙ABO的直径，∵BC. ⊥AD ∴AB=AC,

又∵

2. ∠∴∠1= ∵DM⊥AC，

0∴∠∠4=902+ OA=OD，∵ C

3. 1=∠∴∠

0.

∴∠4=903+∠3

DM. OD⊥即

O 的切线∴DM 是⊙证明二是通过证两角互余证明垂直的，证明一是通过证平行来证明垂直的.说明：.

解题中注意充分利用已知及图上已知0，CAB=30BD=OB，O的直径，点C在⊙O上，且∠4 例如图，已知：AB是⊙.

的延长线上D在AB 的切线DC是⊙O求证：BC. 、证明：连结OC

OA=OC，∵

0. 30A=∠1=∠∴∠0. ∠A+∠1=60 ∴∠BOC=D

又∵OC=OB，

. ∴△OBC是等边三角形

OB=BC. ∴

OB=BD，∵OB=BC=BD. ∴

CD. ⊥∴OC

.

是⊙∴DCO 的切线

但这种方法较此题解法颇多，说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，.

好2OP. =OD，且CD⊥ABOA·的直径，如图，例5 AB是⊙O. 的切线是⊙求证：PCOOC 连结证明：2，OA=OC∵OA=OD·OP，

2 OPOC ∴=OD·，4

OCOP

?. OCOD又∵∠1=∠1，

∴△OCP∽△ODC.

∴∠OCP=∠ODC.

∵CD⊥AB，

0. ∴∠OCP=90

∴PC是⊙O的切线.

说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的

例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.

求证：CE与△CFG的外接圆相切.

分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.

证明：取FG中点O，连结OC.

∵ABCD是正方形，

∴BC⊥CD，△CFG是Rt△

∵O是FG的中点，

∴O是Rt△CFG的外心.

∵OC=OG，

∴∠3=∠G，

∵AD∥BC，

∴∠G=∠4.

∵AD=CD，DE=DE，

0，ADE=∠CDE=45 ∠∴△ADE≌△CDE（SAS）

5

∴∠4=∠1，∠1=∠3.

0, 3=902+∠∵∠

0. 2=901+ ∠∴∠即CE⊥OC.

∴CE与△CFG的外接圆相切

二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”

例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.

求证：AC与⊙D相切.

. 是垂足AC，F连结证明一：DE，作DF⊥的切线，AB是⊙D ∵

AB. ⊥∴DE

，⊥AC ∵DF

0. ∠DFC=90 ∴∠DEB=

AB=AC，∵C.

B=∠∴∠

BD=CD，又∵

）CDF（AAS ∴△BDE≌△

DF=DE. ∴

. 上在⊙D ∴F