南航矩阵论研究生试卷及答案
矩阵论去年试题
南昌航空大学硕士研究生 2009/2010 学年第 一 学期考试卷学生姓名： 所在学院： 学号： 课程名称： 矩阵论 班级： 成绩： 任课教师姓名： 艾小伟 任课教师所在学院： 数信学院一．设矩阵A=010110122---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的值域与核。
（10分）二．设1α=(1,1,1,0)T , 2α=(-1,-2,-1,-1)T , 1β=(2,1,3,-1)T , 2β=(1,-1,0,-2)T , V 1=span(1α,2α), V 2=span(1β,2β)，分别求V 1∩V 2 ，V 1+V 2 的一组基和维数。
（12分）三．在22R ⨯中，定义线性变换Г(X) =1102X -⎛⎫ ⎪⎝⎭，求Г在基E 11=1000⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 12=0100⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 21=0010⎛⎫ ⎪⎝⎭, E 22=0001⎛⎫ ⎪⎝⎭下的矩阵。
（10分）四．求矩阵A=040140122----⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的Smith 标准形和Jordan 标准形J ，并求可逆矩阵P ，使P -1AP=J 。
（18分）五．求矩阵A=123002111021-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的满秩分解。
（10分）六．设║•║是n n C ⨯上的矩阵范数,对于非零向量n C α∈，定义：T ,n x x x C αα=∀∈，证明：x α是n C 上的向量范数（8分）七．求正规矩阵A=010100000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的谱分解式。
（10分）八．设‖•‖是n nC⨯上的相容矩阵范数，A是n阶可逆矩阵，λ为A的任一特征值，证明：‖A-1‖-1≤|λ|≤‖A‖。
（10分）九．已知A=100100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭,求A的奇异分解和广义逆矩阵A+。
（12分）。
南航矩阵论研究生试卷及答案
(2)求广义逆矩阵 ;
(3）求该线性方程组的极小最小二乘解.
解答：(1) 矩阵 ， 的满秩分解为
．…………………(5分)
(2) .……………………（10分)
(３）方程组的极小最小二乘解为 ．…………(5分)
共６页第5页
四、(２0分)已知幂级数 的收敛半径为3,矩阵 .
(1) 求 ;
，
证明 是 的一个内积;
(3)求 在题(2)所定义的内积下的一组标准正交基；
(4)证明 是 的线性变换，并求 在题（1)所取基下的矩阵.
解答：(１) 的一组基为 维数为3.
……………………………………(5分）
(2)直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………(4分)
(3) 标准正交基 .…………（５分）
(4）由于 ，所以 是 的一个变换.又直接验证,知
,
因此 是 的一个线性变换.………………………………（3分)
线性变换 在基 下的矩阵为
.……………………………………………(3分)
二、(2０分）设三阶矩阵 ， ， .
(１)求 的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan标准形;
(2)利用 矩阵的知识，判断矩阵 和 是否相似，并说明理由.
南京航空航天大学２012级硕士研究生
共６页 第１页
20１２~201３学年第１学期《矩阵论》课程考试A卷
考试日期:2013年１月15日课程编号:Ａ080０0１命题教师:阅卷教师:
学院专业学号姓名成绩
一、(20分)设 是 的一个线性子空间,对任意 ，定义： ,其中 .
(1)求 的一组基和维数；
（2)对任意 ，定义：
解答: ( 的行列式因子为 ;…(3分)
南航双语矩阵论matrixtheory第五章部分习题参考答案
第五章部分习题参考答案#2. Find determinant divisors and elementary divisors of each of the following matrices.(a) 1000100015432λλλλ-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪+⎝⎭ (b)001010100000λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Solution（a ） 100010()0015432A λλλλλ-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪+⎝⎭det (())A λ4322345λλλλ=++++100det 10101λλ-⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭. Hence, the determinant divisors are 123()()()1D D D λλλ===,4324()2345D λλλλλ=++++. Invariant divisor are 123()()()1d d d λλλ===,4324()2345d λλλλλ=++++Unfortunately, it is not easy to factorize 4324()2345d λλλλλ=++++ by hand. With the help of Maple or Matlab, we can see that ()A λ has four distinct linear elementary divisors. (b) 44()D λλ=, 123()()()1D D D λλλ===. There is a unique elementary divisor 4λ #3. Let11a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , a a B a εε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ be n n ⨯ matrices, where 0ε≠. Show that A and B are similar.Proof The Smith normal forms of both I A λ- and I B λ-are11()n a λ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. A and B have the same set of elementary divisors. Hence they are similar to each other. #4. Let11a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ , 11a a B a ε⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭be n n ⨯ matrices, where 0ε≠. Show that A and B are NOT similar. ProofThe determinant of I A λ- is ()n a λ- . The determinant of I B λ- is ()n a λε--. A and B have distinct characteristic polynomials. Hence, they are not similar.#11. How many possible Jordan forms are there for a 66⨯ complex matrix with characteristic polynomial 42(2)(1)x x +-?Solution The possibilities for the sets of elementary divisors are { 42(2),(1)x x +-}, {4(2),(1),(1)x x x +--}{32(2),(2),(1)x x x ++-}, {3(2),(2),(1),(1)x x x x ++--} {222(2),(2),(1)x x x ++-}, {22(2),(2),(1),(1)x x x x ++--},{22(2),(2),(2),(1)x x x x +++-}, {2(2),(2),(2),(1),(1)x x x x x +++--}{2(2),(2),(2),(2),(1)x x x x x ++++-}, {(2),(2),(2),(2),(1),(1)x x x x x x ++++--}. For each set of elementary divisors, there is a Jordan canonical form up to similarity. There are 10 Jordan canonical forms up to similarity.#12. Classify up to similarity all 33⨯ complex matrices A such that 3A I =. Solution An annihilating polynomial of A is 321(1)()()x x x x ωω-=---, where ω A is diagonalizable.The possibilities for the minimal polynomial of A are1x -, x ω-, 2x ω-;(1x -)(x ω-), (x ω-)(2x ω-), (1x -)(2x ω-);2(1)()()x x x ωω---Up to similarity, all 33⨯ complex matrices A are100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 000000ωωω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 222000000ωωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 10001000ω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 1000000ωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 22000000ωωω⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭, 2000000ωωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;221000000ωω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,210001000ω⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭21000000ωω⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭#14. If N is a nilpotent (幂零的) 33⨯ matrix over C , prove that 21128A I N N =+- satisfies2A I N =+, i.e., A is a square root of I N +. Use the binomial series for 1/2(1)t + to obtain asimilar formula for a square root of I N +, where N is any nilpotent n n ⨯ matrix over C .Use the result above to prove that if c is a non-zero complex number and N is a nilpotent complex matrix, then cI N +has a square root. Now use the Jordan form to prove that every non-singular complex n n ⨯ matrix has a square root.Solution If N is an n n ⨯ matrix and k N O =, then k x is an annihilating polynomial for N . The minimal polynomial of N must be of the form p x , where p n ≤ and p k ≤ since the minimal polynomial of a matrix divides its characteristic polynomial. Thus, n N O =.(1) If N is a nilpotent 33⨯ matrix, then 3N O =. By straightforward computation, we can verify that 2A I N =+.(2) If N is an n n ⨯ nilpotent matrix, n N O =.1/22111111(1)(1)((1)1)122222(1)122!(1)!n n t t t t n -----++=+++++- 1/22111111(1)(1)((1)1)122222()22!(1)!n n I N I N N N n -----++=++++-(3) Since1N c is a nilpotent matrix, 1I N c + has a square root 1/21()I N c+. cI N + has a square root 1/21/21()c I N c+.(4) Suppose that 12121()0()000()r d d d r J J P AP J J λλλ-⎛⎫ ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. Then each ()k d k J λ has asquare root 1/2()k d k J λ since ()k d k J λ is of the form k I N λ+, where 0k λ≠ because A is nonsingular and N is nilpotent.Let 121/211/2211/2()000()000()r d d d r J J B P P J λλλ-⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪⎪⎝⎭, then 2B A =. Hence, A has a squareroot.#20. Prove that the minimal polynomial of a matrix is equal to the characteristic polynomial if andonly if the elementary divisors are relatively prime in pairs.Proof Suppose that a Jordan canonical form of A is1212()000()000()r d d d r J J J J λλλ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(where 12,,,r λλλ are not necessarily distinct. Each ()i d i J λ is a Jordan block.)The minimal polynomial of A is the same as that of J . The characteristic polynomial of A is the same as that of J . The elementary divisors of A are 11()d λλ-, , ()rd r λλ-The minimal polynomial of ()i d i J λ is ()i d i λλ-. The minimal polynomial of J is the least common multiple (最小公倍式) of 11()d λλ-, , ()rd r λλ-. The characteristicpolynomial of J is 1212()()()()rd d d r p λλλλλλλ=--- .The least common divisor of 11()d λλ-, , ()rd r λλ- is equal to the product of11()d λλ-, , ()r d r λλ- if and only if ()j dj λλ-and ()k d k λλ-are relatively prime forj k ≠. Thus the minimal polynomial of a matrix is equal to the characteristic polynomial ifand only if the elementary divisors are relatively prime in pairs.。
南航矩阵论课后习题答案
南航矩阵论课后习题答案南航矩阵论课后习题答案矩阵论是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学、计算机科学等等。
南航的矩阵论课程是培养学生数学思维和解决实际问题的重要环节。
在课后习题中，学生需要运用所学的矩阵理论知识，解答各种问题。
下面是南航矩阵论课后习题的一些答案和解析。
1. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求A的逆矩阵。
解析：要求一个矩阵的逆矩阵，需要先判断该矩阵是否可逆。
一个矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零。
计算矩阵A的行列式，得到det(A) = -3。
因此，矩阵A可逆。
接下来，我们可以使用伴随矩阵法求解逆矩阵。
首先，计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，然后将其除以行列式的值，即可得到逆矩阵。
计算得到A的伴随矩阵为Adj(A) = [-3 6 -3; 6 -12 6; -3 6 -3]。
最后，将伴随矩阵除以行列式的值，即可得到矩阵A的逆矩阵A^-1 = [-1 2 -1; 2 -4 2; -1 2 -1]。
2. 已知矩阵A = [2 1; 3 4]，求A的特征值和特征向量。
解析：要求一个矩阵的特征值和特征向量，需要先求解其特征方程。
特征方程的形式为|A - λI| = 0，其中A为给定矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。
计算得到特征方程为|(2-λ) 1; 3 (4-λ)| = (2-λ)(4-λ) - 3 = λ^2 - 6λ + 5 = 0。
解这个二次方程，得到特征值λ1 = 1，λ2 = 5。
接下来，我们可以求解对应于每个特征值的特征向量。
将特征值代入(A - λI)x = 0，即可求解出特征向量。
对于特征值λ1 = 1，解得特征向量x1 = [1; -1]；对于特征值λ2 = 5，解得特征向量x2 = [1; 3]。
3. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的奇异值分解。
解析：奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。
习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （3）求与之间的距离；221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。
南航07-14矩阵论试卷
南航07-14矩阵论试卷南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》课程考试A 卷一、（20分）设矩阵-----=111322211A ，（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22?R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合，证明：W 是22?R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22?R 上的线性变换T ：22,)(?∈?+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ；（2）设nn ij C a A ?∈=)(，令ijji a n A ,*max ?=，证明：*是n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵-=100100011111A ，向量=2112b ，（1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵=????? ??=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>=A A A A A H，其中k k C A ?∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
南航双语矩阵论-matrix-theory第三章部分题解精选全文
可编辑修改精选全文完整版Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P(a) (())'()p x xp x σ=(b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=.(())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-.(())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ=The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈=(c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++.(())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ=The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by10()(())(0)p x dx p x p σ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭⎰ Find a matrix A such that()x A ασαββ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.Solution1(1)1σ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1/2()0x σ⎛⎫= ⎪⎝⎭11/211/2()1010x ασαβαββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Hence, 11/210A ⎛⎫= ⎪⎝⎭#10. Let σ be the transformation on 3P defined by(())'()"()p x xp x p x σ=+a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -=d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ.Solution (a) (1)0σ= ()x x σ=22()22x x σ=+002010002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(b) (1)0σ=()x x σ=22(1)2(1)x x σ+=+000010002B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(c)2[1,,1]x x +2[1,,]x x =101010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭The transition matrix from 2[1,,]x x to 2[1,,1]x x + is101010001S ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1B S AS -=(d) 2201212((1))2(1)n n a a x a x a x a x σ+++=++#11. Let A and B be n n ⨯ matrices. Show that if A is similar to B then there exist n n ⨯ matrices S and T , with S nonsingular, such thatA ST =andB TS =.Proof There exists a nonsingular matrix P such that 1A P BP -=. Let 1S P -=, T BP =. Then A ST =and B TS =.#12. Let σ be a linear transformation on the vector space V of dimension n . If there exist a vector v such that 1()v 0n σ-≠ and ()v 0n σ=, show that(a) 1,(),,()v v v n σσ- are linearly independent.(b) there exists a basis E for V such that the matrix representing σ with respect to the basis E is000010000010⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭Proof(a) Suppose that1011()()v v v 0n n k k k σσ--+++= Then 11011(()())v v v 0n n n k k k σσσ---+++=That is, 12210110()()())()v v v v 0n n n n n k k k k σσσσ----+++==Thus, 0k must be zero since 1()v 0n σ-≠. 211111(()())()v v v 0n n n n k k k σσσσ----++==This will imply that 1k must be zero since 1()v 0n σ-≠.By repeating the process above, we obtain that 011,,,n k k k - must be all zero. Thisproves that1,(),,()v v v n σσ- are linearly independent.(b) Since 1,(),,()v v v n σσ- are n linearly independent, they form a basis for V .Denote 112,(),,()εv εv εv n n σσ-=== 12()εεσ= 23()εεσ= …….1()εεn n σ-= ()ε0n σ=12[(),(),,()]εεεn σσσ121[,,,,]εεεεn n -=000010000010⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭#13. If A is a nonzero square matrix and k A O =for some positive integer k , show that A can not be similar to a diagonal matrix.Proof Suppose that A is similar to a diagonal matrix 12diag(,,,)n λλλ. Then for each i , there exists a nonzero vector x i such that x x i i i A λ= x x x 0k k i i i i i A λλ=== since k A O =.This will imply that 0i λ= for 1,2,,i n =. Thus, matrix A is similar to the zero matrix. Therefore, A O =since a matrix that is similar to the zero matrix must be the zero matrix, whichcontradicts the assumption.This contradiction shows that A can not be similar to a diagonal matrix. OrIf 112diag(,,,)n A P P λλλ-= then 112diag(,,,)k k k k n A P P λλλ-=. k A O = implies that 0i λ= for 1,2,,i n =. Hence, B O =. This will imply that A O =.Contradiction!。
南京航空航天大学2007-2014硕士研究生矩阵论matrixTheory试题
2 3 4 A 4 6 8 6 7 8 。 一（20 分） （1）设
2010 ~ 2011 学年《矩阵论》 课程考试 A 卷
（i）求 A 的特征多项式和 A 的全部特征值； （ii）求 A 的行列式因子，不变因子和初等因子； （iii）写出 A 的 Jordan 标准形；
1 A* A2 A* （3）证明： n 。
1 1 1 1 A 0 0 0 0 四、 （20 分）已知矩阵
（1）求矩阵 A 的 QR 分解；
1 2 0 1 b 1 1 2 1 ，向量 ，
（2）计算 A ；
17 6 14 60 A , B 45 16 3 13 ，试问 A 和 B 是否相似？并说明 （2）设
原因。
2 1 A 1 2 3 1 ，求 A 1 ， A 2 ， A ， A F ； 二（20 分） （1）设
（3）用广义逆判断方程组 Ax b 是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、 （20 分）
（1）设矩阵
问当 t 满足什么条件时, A B 成立？
5 3 2 0 1 A 3 2 t , B 1 1 2 t 2 2 0 .5 t
五（20 分）设
A ( a ij )
为 n 阶 Hermite 矩阵，证明：
3
存在唯一 Hermite 矩阵 B 使得 A B ；
2
（2）
（3） 如果 A 0 ，则 tr ( A)tr ( A ) n 。
1
如果 A 0 ，则 tr ( A ) (tr ( A)) ；
2
南航双语矩阵论matrix theory第4章部分习题参考答案
)
If i is a root of p( ) 0 , then p(i ) 0 . We obtain that eigenvalue of C T with eigenvector x (1, i ,, in 2 , in 1 )T .
Exercise 16
Let be an orthogonal transformation on a Euclidean space V (an inner product space over the real number field). If W is a -invariant subspace of V, show that the orthogonal complement of W is also -invariant. Proof Let V W W , where W is -invariant. Let {u1 , u2 ,, uk } be an orthonormal basis for
0 1 T C x 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 an 0 an 1 0 an 2 1 a1
T
i i 1 2 2 i i i n2 n 1 n 1 i i i n 1 n n 1 a a a p ( i n i n 1 i 1 i i
C T x i x . Then i is an
(b) If p( ) has n distinct roots, then all roots of p( ) are eigenvalues of C T . We obtain that the characteristic polynomial of C T and p( ) have the same n distinct roots. And also they have the same degree and the same leading coefficient. Hence, the characteristic polynomial of C T is the same as p( ) . Since C and C T have the same characteristic polynomial, we know that p( ) is the characteristic polynomial of C.
南航07-14矩阵论试卷
南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》 课程考试A 卷一、（20分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=111322211A ， （1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22⨯R 是实数域R 上全体22⨯实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22⨯R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22⨯实对称矩阵的集合， 证明：W 是22⨯R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22⨯R 上的线性变换T ： 22,)(⨯∈∀+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ； （2）设nn ij C a A ⨯∈=)(，令ijji a n A ,*max ⋅=，证明：*是n n C ⨯上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100100011111A ，向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2112b ， （1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A A A H，其中k k C A ⨯∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
矩阵论试卷(2012A)答案(1[1].5)
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2
17 分
⇒ 由（1）的证明知，“=”成立时，有 A 酉相似于一对角阵，根据定理 4.5.2，A 为
正规阵 20 分
2× 2
三．（1） 对任意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都有 X1 + X 2 ∈ W , kX1 ∈ W , 所以， W 是 R ⎛ x11 线 性 子 空 间 ， 设 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 ⎛ x11 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 0 ⎞ ⎟, x11 + x21 ⎟ ⎠
的
x12 ⎞ ⎟ ∈ W , 因 为 AX = XA, 所 以 ， x22 ⎟ ⎠
⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ 5分 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎟ , X = ⎜ 2 ⎜0 1⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 维数是 2. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （ 2 ） 对 任 意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都 有 T ( X 1 + X 2 ) = T ( X1 ) + T ( X 2 ) ， 9分 T ( kX1 ) = kT ( X1 ) ，所以， T 为线性变换 ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （3）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 有： ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 0⎞ ⎛ − 1 0⎞ T ( X 1) = ⎜ ⎜ 0 0⎟ ⎟ = 0X1 + 0 X2 ， T ( X 2 ) = ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ = −1 X1 + 2 X 2 ， ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 0 −1⎞ T ( X 1 , X 2 ) = ( X 1 , X 2 )⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ ， T 在（1）中所取基下的矩阵是 A = ⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ 14 分 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （4）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − b 0⎞ ⎛ 0 0⎞ 若 T ( aX 1 + bX 2 ) = ⎜ ⎟ ⎜ 2b b ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ，则有： b = 0 ， ⎝ ⎠ ⎝ 0 0⎠ 所以， Ker (T ) = {kI2 : k ∈ R )} ，维数为 1, 17 分 ⎛ −1 0⎞ R (T ) = {T ( X ) : X ∈ W } = span{T ( X 1 ), T ( X 2 )} = {k ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ : k ∈ R} ， ⎝ ⎠
南航双语矩阵论matrixtheory第7章部分习题参考答案
南航双语矩阵论matrixtheory第7章部分习题参考答案第七章部分习题参考答案Exercise 1Show that a normal matrix A is Hermitian if its eigenvalues are all real.Proof If A is a normal matrix, then there is a unitary matrix that diagonalizes A . That is, there is a unitary matrix U such that H A UDU =where D is a diagonal matrix and the diagonal elements of D are eigenvalues of A . If eigenvalues of A are all real, then ()H H H H H H A UDU UD U UDU A ====Therefore, A is Hermitian.Exercise 2Let A and B be Hermitian matrices of the same order. Show that AB is Hermitian if and only if AB BA =. ProofIf AB BA =, then ()()H H H H AB BA A B AB ===. Hence, AB is Hermitian. Conversely, if AB is Hermitian, then ()H AB AB =. Therefore, H H AB B A BA ==.Exercise 3Let A and B be Hermitian matrices of the same order. Show that A and B are similar if they have the same characteristic polynomial.Proof Since matrix A and B have the same characteristic polynomial, they have the same eigenvalues 12,,,n λλλ . There exist unitary matrices U and V such that12diag(,,,)H n U AU λλλ= , 12diag(,,,)H n V BV µµµ= .Thus,H H U AU V BV =. (11,H H U U V V --==)That is 1()H H UV AUV B -=. Hence, A and B are similar.Exercise 4Let A be a skew-Hermitian matrix, i.e., H A A =-, show that (a) I A - and I A + are invertible.(b) 1()()I A I A --+ is a unitary matrix with eigenvalues not equal to 1-. Proof of Part (a)Method 1: (a) since H A A =-, it follows that()()H I A I A I AA I A A -+=-=+For any x 0≠()()0x x x x x x x x x x H H H H H H H I A A A A A A +=+=+>Hence, ()()I A I A -+ is positive definite. It follows that ()()I A I A -+ is invertible. Hence, both I A - and I A + are invertible. Method 2:If I A - is singular, then there exists a nonzero vector x such that()x 0I A -=. Thus, x x A =,x x x x H H A =. (1)Since x x H is real, it follows that()x x x x H H H A =.That is x x x x H H H A =. Since H A A =-, it follows thatx x x x H H A -= (2)Equation (1) and (2) implies that 0x x H =. This contradicts the assumption that x is nonzero. Therefore, I A - is invertible. Method 3:Let λ be an eigenvalue of A and x be an associated eigenvector. x x A λ=x x x x H H A λ=. ()x x x x x x x x x x x xH H H H H H H H A A A λλ===-=-Hence, λ is either zero or pure imaginary. 1 and 1- can not be eigenvalues of A . Hence, I A -and I A + are invertible.Method 4: Since H A A =-, A is normal. There exists a unitary matrix U such that 12diag(,,,)H n U AU λλλ=12()()diag(,,,)H H H H H H n U AU U A U U AU ==-= 12diag(,,,)n λλλ= 12diag(,,,)n λλλ- Each j λ is pure imaginary or zero. 12(diag(,,,))H n I A U I U λλλ-=-12diag(1,1,,1))H n I A U U λλλ-=---Since 10i λ-≠ for 1,2,,j n = , det ()0I A -≠. Hence, I A - is invertible. Similarly, we can prove that I A + is invertible.Proof of Part (b) Method 1:Since ()()()()I A I A I A I A +-=-+, it follows that11[()()]()()H I A I A I A I A ---+-+11()()()()H H I A I A I A I A --=+--+ ( Note that 11()()H H P P --= if P is nonsingular.)11()()()()I A I A I A I A --=-+-+ 11()()()()I A I A I A I A I --=--++=Hence, 1()()I A I A --+ is a unitary matrix. Denote 1()()B I A I A -=-+.Since 111(1)(1)()()()()2()I B I I A I A I A I A I A I A -----=---+=-++-+=-+,1det()(2)det[()]0n I B I A ---=-+≠Hence, 1- can not be an eigenvalue of 1()()I A I A --+. Method 2:By method 4 of the Proof of Part (a),12diag(1,1,,1))H n I A U U λλλ-=---12diag(1,1,,1))H n I A U U λλλ+=+++1()()I A I A --+1212111diag(,,,))111H n nU U λλλλλλ---=+++ The eigenvalues of 1()()I A I A --+ are1212111,,,111n nλλλλλλ---+++ , which are all not equal to 1-.Method 3: Since ()()()()I A I A I A I A +-=-+, it follows that11()()()()I A I A I A I A ---+=+-If 1- is an eigenvalue of 1()()I A I A --+, then there is a nonzero vector x , such that1()()x x I A I A --+=-. That is 1()()x x I A I A -+-=-.It follows that()()x x I A I A -=-+.This implies that x 0=. This contradiction shows that 1- can not be an eigenvalue of1()()I A I A --+.Exercise 6If H is Hermitian, show that i I H - is invertible, and 1(i )(i )U I H I H -=+- is unitary. Proof Let i A H =-. Then A is skew-Hermitian. By Exercises #4, I A - and I A + are invertible, and 1()()U I A I A -=-+ is unitary. This finishes the proof.Exercise 7Find the Hermitian matrix for each of the following quadratic forms. And reduce each quadratic form to its canonical form by a unitary transformation (a) 12312131213(,,)i i f x x x x x x x x x x x =+-+ Solution()1123123230i 1(,,)i 00100x f x x x x x x x x ???? ???=- ??? , 0i 1i 00100A ?? ?=- ? ???3d e t ()2I A λλλ-=-. Eigenvalues of Aare 1λ=2λ=30λ=.Associated unit eigenvectors are1i 1,)22u T =-, 2i 1,)22u T =-, and3u T =, respectively. 123,,u u u form an orthonormal set.Let 123(,,)u u u U =, and x y U =. Then we obtain the canonical form1122y yExercise 9Let A and B be Hermitian matrices of order n , and A be positive definite. Show that AB issimilar to a real diagonal matrix.Proof Since A is positive definite, there exists an nonsingular Hermitian matrix P such that H A PP = 1()H H AB PP B P P BP P -==AB is similar to H P BP . Since H P BP is Hermitian, it is similar to a real diagonal matrix. Hence, AB is similar to a real diagonal matrix.Exercise 10Let A be an Hermitian matrix of order n . Show that there exists a real number 0t such that t I A +is positive definite.Proof 1: The matrix t I A + is Hermitian for real values of t . If the eigenvalues of A are12,n λλλ，，, then the eigenvalues of t I A +are 12,,n t t t λλλ+++ ，. Let 12max{,,}n t λλλ> ，Then the eigenvalues of t I A + are all positive. And hence, tI A +is positive definite.Proof 2: The matrix t I A + is Hermitian for real values of t . Let r A be the leading principle minor of A of order r .d e t ()r r r I A t +=+terms involving lower powers in t . Hence, det()r r t I A + is positive for sufficiently large t .Thus, if t is sufficiently large, all leading principal minors of t I A + will be positive.That is, there exists a real number 0t such that det()r r t I A + is positive for 0t t > and for each r . Thus t I A + is positive definite for 0t t >.Exercise 11 Let11121222H A A A A A ??=be an Hermitian positive definite matrix. Show that 1122det()det()det()A A A ≤Proof We first prove that if A is Hermitian positive definite and B is Hermitian semi-positivedefinite, then det()det()A B A +≥. Since A is positive definite, there exists a nonsingular hermitian matrix P such thatHA P P =11(())H H A B P I P B P P --+=+ 11det()det()det(())H A B A I P B P --+=+11()H I P B P --+ is positive semi- definite. Its eigenvalues are all greater than or equal to 1.Thus11det(())1H I P B P --+≥111121112112111222H H I O A A I A A A A I A A O I --??-?-11112111112112212111222121112H H A A A O I A A O A A A A O A A A A O I ---??-== ? ? ?--?122121112H A A A A -- is positive definite, and 1121112H A A A - is positive semi-definite, and11122121112det()det()det()H A A A A A A -=- Hence, 111222212111212111222121112det()det()det(H H H A A A A A A A A A A A A ---=-+≥-）This finishes the proof.Exercise 12Let A be a positive definite Hermitian matrix of order n . Show that the element in A with the largest norm must be in the main diagonal.Proof Let ()ij A a =. Suppose that 00i j a is of the largest norm, where 00i j ≠. Consider theprincipal minor 00000000i i i j i j j j a a a a ??. It must be positive definite since A is positive definite. (Recall that an Hermitian matrix is positive definite iff all its principal minors are positive.) Thus, 00000000det 0i i i j i j j j a a a a ??>. On the other hand, 000000000000002det 0i i i j i i j j i j i j j j a a a a a a a ??=-≤since 00i j a is of the largest norm.(Remark: The diagonal elements in an Hermitian matrix must be real.)This contradiction implies that the element in A with the largest norm must be in the main diagonal.。
南航矩阵论考试试题
南航矩阵论考试试题南航矩阵论考试试题南航矩阵论考试是一门重要的数学课程，旨在培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将介绍一些典型的南航矩阵论考试试题，帮助读者更好地理解这门课程的内容和要求。
一、基础知识部分1. 请解释矩阵的定义和基本性质。
矩阵是由数个数按矩形排列而成的表格。
它的定义包括行数和列数两个维度，记作m×n。
矩阵有很多基本性质，如加法、数乘、转置等。
矩阵的加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律。
矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
2. 什么是方阵和单位矩阵？方阵是行数等于列数的矩阵。
单位矩阵是一个对角线上全为1，其余元素全为0的方阵。
单位矩阵在矩阵运算中起到了重要的作用，类似于数学中的“1”。
二、矩阵运算部分1. 请计算以下矩阵的和：A = [1 2 3; 4 5 6]，B = [7 8 9; 10 11 12]。
矩阵的和等于对应位置元素相加得到的新矩阵。
根据题目给出的矩阵，可以计算得到A + B = [8 10 12; 14 16 18]。
2. 请计算以下矩阵的积：C = [1 2; 3 4]，D = [5 6; 7 8]。
矩阵的乘法需要注意行列对应元素的乘积。
根据题目给出的矩阵，可以计算得到C × D = [19 22; 43 50]。
三、线性方程组部分1. 请解以下线性方程组：2x + 3y = 8，4x - 5y = 7。
线性方程组可以转化为矩阵的形式，即AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
根据题目给出的线性方程组，可以得到矩阵形式为：[2 3] [x] [8][4 -5] [y] = [7]通过矩阵的逆运算，可以解得x = 3，y = 2。
2. 请解以下线性方程组：x + 2y + 3z = 6，2x - y + z = 1，3x + 4y + 5z = 10。
同样地，将线性方程组转化为矩阵形式：[1 2 3] [x] [6][2 -1 1] [y] = [1][3 4 5] [z] [10]通过矩阵的逆运算，可以解得x = 1，y = 2，z = 1。
南京航空航天大学07-08矩阵论答案(B)
∞
= 5； A
= 23 ；
T 1 2
∵ λ ( A A) = {3, 5,15} ， ∴ A 2 = [λmax ( A A)] = 15 。
的特征向量， （2）设 x ∈ C 是 A 相应于特征值 λ 的特征向量，∴ Ax = λ x , x ≠ 0 ， ）
n
两 边 取 矩 阵 范 数 导 出 的 C 上 向 量 范 数 可 得 ： λ x = λ x = Ax ≤ A x ，
Ik
0 , In−k
使得 PAP
H
A11 = 0
=B， A22 − A A A12 0
H 12 −1 11
H − ∵ A11 > 0, A22 − A12 A111 A12 > 0,∴ B > 0, 从而有 A > 0 。
5 ∆ 1 = 5 > 0, ∆ 2 = 1 > 0 ， ∆ 3 = A − B = 1 − t 2 > 0 4
即−
2 2 成立。 <t< 时 A > B 成立。 5 5
H
矩阵， （2）∵ A 是 Hermite 矩阵，∴ 存在酉矩阵 U ，使得 U AU = diag{λ1 , λ2 ,⋯ , λn } ， ） 由此可知： 由此可知： λmin ( A) I ≤ A ≤ λmax ( A) I ，
共 3 页 ∴ ∀x ∈ C n , x ≠ 0 ，有 λmin ( A) ≤ R( x ) =
−1
第 3 页
x H Ax ≤ λmax ( A) 。 xH x
− 存在，构造可逆矩阵 （3）∵ A11 > 0,∴ A11 存在，构造可逆矩阵 P = ） − A H A− 1 12 11
南京航空航天大学2009_矩阵论考试考题及答案
二、 （1பைடு நூலகம் 分）设矩阵
考试试卷 A
(考试时间：2009 年 11 月？日 晚 7：00-9：00 考试方式：闭卷 A)
成绩：
一、 （15 分）在 R 4 中有两组基，
1 0 2 A 0 1 1 ， 0 1 0
计算： 2 A8 3 A5 A4 A2 4E 。
1 1 4 4
(3) ， 因 容 易 验 证 AA b b ， 故 方 程 组 Ax b 相 容 ， 最 小 范 数 解 为
1 1 3 3 y1 0 1 1 x A b E2 A A y 3 1 3 y 2 34 0 3 3 3 1 y3 4
个基有相同坐标的非零向量为 k x1 x2 x3 x4 ， k 非零常数。
（5 分）
共 4 页，第 1 页
学院 年级 班 学号 姓名 ------------------------------线--------------------------------- ---------- -----------------------封--------------------------------------- --------------------------------------密--------------------------------
(3)，判断方程组 Ax b 是否相容？若相容，求其最小范数解；若不相容，求其极小最小二乘 解。(4 分)
解：
2 0 0 8 1 0 0 4 行 (1): A 0 2 8 0 0 1 4 0 ,故矩阵 A 的满秩分解为： 2 2 8 8 0 0 0 0 2 0 2 0 1 0 0 4 1 0 0 4 A 0 2 CD, C 0 2 , D 。 0 1 4 0 0 1 4 0 2 2 2 2
历年矩阵论试题
南京航空航天大学矩阵论历年试题整理者：王正华2007.1.28一 设2615115126A −=− −（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式、不变因子，初等因子； （3）求A 的最小多项式； （4）写出A 的Jordan 标准形二（1）设210121A= −，1）求12,,,F A A A A ∞；（2）设A 为n阶矩阵，证明21,max ij i j na A∞≤≤≤≤三（1）111111112A − =− −，作出A 的满秩分解并求出A +；（2）利用该矩阵判断如下方程组1231231231121x x x x x x x x x −+=−++=− −+= ，是否相容？若相容求通解；若不相容，求极小最小二乘解四 设V 是数域P 上全体3阶实对称矩阵作成的线性结构（1）求V 的维数，并写出一组基（2）在V 中定义变换100100()011010001011T X X=，证明T 是线性变换，并求T 在（1）中所取基下的矩阵五（1）设2010252,022024220t A t B −==，其中t 是实数，t 满足什么条件时A B >成立？（2）设,A B 均为Hermite 半正定矩阵，证明：○1若A >0, 则AB 相似于半正定对角阵； ○2若A >0, 则()00tr AB B =⇒=； ○3若()0,tr AB = 则0AB =一（20分） 已知 A =1001225i i −，其中i（1）求12,,,F A A A A ∞（2）证明：A ≥0 （3）设,,nH c B αβαβ∈=，证明22FBαβ=二（20分） 设A ＝110101101211 ，b ＝314(1)作出A 的满秩分解 (2) 计算A +(3)利用广义逆矩阵方法判断线性方程组A x ＝b 是否相容？若相容，求其通解，若不相容，求其极小最小二乘解三（20分） 设A ＝110430211− − −（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值（2）求A 的不变因子、初等因子和最小多项式 （3）写出A 的Jordan 标准形（4）设A 为n 阶矩阵，证明：A 非奇异的充要条件是存在常数项不为零的多项式()f x ，使()f x ＝0 四（20分） （1）设A 、B 均为Hermite 矩阵（n 阶），且A B ＝B A ，证明： （a ）如果A >0,且A B >0 , 则B >0（b ）如果A >0, B >0,且33A B >，则A B >（2）若A 是2阶实正规矩阵，且i αβ±是A 的一对共轭实特征值，证明：存在正交矩阵Q ，使得Q AQ αββα+ =−五（20分） 设实数域上线性空间32R ×的子集W ＝22{,()0}A R tr A ×∈=（1）W 是22R×的子空间（2）给出W 的变换T （A ）＝A A ++，A W ∀∈，证明：T 是W 上的线性变换 （3）求Ker （T ）及其维数（4）求W 的一组基和维数，并写出线性变换T 在所取基下的矩阵一 （20分）设[]n R X 表示实数域R 上次数小于n 的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）（1）求[]n R X 的维数并写出[]n R X 的一组基；（2）在[]n R X 中定义线性变换D ：(())'(),()[]n D f x f x f x R x =∈，求D 在（1）中所取基下的矩阵表示，并求R （D ）和Ker （D ）（3）证明D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵（4）在[]n R X 中定义内积11(,)()(),f g f x g x dx −=(),()[]n f x g x R X ∈,求出3[]R X 的一组标准正交基二 （20分）设A ＝3615125125− −−三 （16分）（1）设A ＝11121013 − −，求12,,,F A A A A ∞ （2）设A 为n 阶矩阵，证明：()1A ρ<的充要条件是存在某种相容矩阵范数.，使得1A <四（14分）设111021111021A − −−=（1） 作出A 的一个QR 分解，即求满足T Q Q I =的4×3矩阵和3阶上三角矩阵R ，使得A QR ＝ （2） 计算A +五 （16分）（1）设311120102A − = − ，121211111B =，问A ≥B 是否成立 （2）设A 为n 阶Hermite 正定矩阵，B 为n 阶Hermite 半正定矩阵，并且AB BA =，证明 （i ）AB 为Hermite 半正定矩阵 （ii ）如果A ≥B ，则2A ≥2B六 （14分）（1）设222i i A i i i i =− −−，其中i =，证明A 是正定矩阵； （2）若n n A C ×∈，且21A<，则A >B ≥0(3)设,n n A B C ×∈是Hermite 矩阵，证明如果A >B ≥0，则A B −≤A ，且等号成立一（20分）（1）设A 为n 阶非奇异复矩阵，试述矩阵A 的QR 分解定理；（2）设110101111010A= −（i ）作出A 的一个满秩分解 （ii ）计算广义逆矩阵A +二（18分）（1）设210123032A=− −，求12,,,F A A A A ∞；（2）设A 为n 阶可逆矩阵，.是满足1I =的矩阵范数，证明11AA −−≥，21A ≤三（22分）设3117937100480024A −−−−−= − −（1） 求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2） 求A 的不变因子、初等因子和最小多项式； （3） 写出A 的Jordan 标准形； （4） 求lim k k A →∞；（5） 计算Ae 四（20分）（1）设622250207A −=−，证明A 为正定矩阵；（2）设A ，B 均为Hermite 矩阵，证明：（i ） 如果A >0, 则A B 相似于对角矩阵；（ii ） 如果A >0, B >0, 则A B 的特征值均为正数；（iii ） 如果A >0, B >0,且A B ＝B A ，则A B 是Hermite 正定矩阵五（20分）设V 是实数域R 上全部3阶实反对称矩阵作成的线性空间（按矩阵的加法和数量乘法）（1） 求V 的维数，并写出V 的一组基；（2） 证明：若A 是3阶实对称矩阵，且X V ∈，则必有AX XA V +∈； （3） 作映射T 如下：011011()101101,110110T X X X X V −−=+∈ −−证明：T 是V 上的线性变换；（4） 求T 在（1）中所取基下的矩阵表示。
矩阵论考试题和答案(详细)
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课程编号: A000003 考试日期: 2009 年 1 月 13 日
λ I − A = λ (λ + 1)2
---------------3 ----------------3 -------------6 --------------2 ---------------2
= P −1 AP 满足相容矩阵范数的四个条件。
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三、 （20 分）
（1） A 的满秩分解为 1 0 − 1 0 1 A = 0 1 0 1 0 − 1 0
A + = C T ( CC
T
-----------------5
1 4 0 1 − 4
(tr ( A))2 = (λ1 + L + λn ) 2 ≥ λ12 + L + λn2 = tr ( A2 ) 。 ---------------4
（3）因为 A > 0 ，则 A 可逆，并且 A−1 > 0 。由 I = AA−1 ，可得
n = tr ( I ) = tr ( AA−1 ) = tr ( AH A−1 ) ≤ tr ( AH A)tr ( A− H A−1 ) 2 = tr ( A2 )tr ( A−2 ) 2
由（2）知 tr ( A2 ) ≤ tr ( A), tr ( A−2 ) ≤ tr ( A−1 ) ，因此n ≤ tr ( A)tr ( A−1 ) 。 -则存在与 . 相容的向量范数 . a ，从而
| λ | x a = λ x a = Ax a ≤ A x a , | λ −1 | x a ≤ A−1 x
南京航空航天大学2018矩阵论试卷2018A
南京航空航天大学2018级硕士研究生 共 5 页 第 1 页2017 ~ 2018学年第1学期 《矩阵论》 课程考试A 卷考试日期：2018年1月5日 课程编号：6A080001 命题教师： 阅卷教师： 学院 专业 学号 姓名 成绩一、(20分) 设阶矩阵．4⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1000110010100001A 1．求的特征多项式以及特征值的几何重数与代数重数；A 2．求的初等因子、最小多项式；A 3．求的Jordan 标准形；A 4．问：与矩阵是否相似？并说明理由．A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=1000010000100661B二、(20分) 设，在中定义映射：T )1,1,1(-=α3R .3,)(32)(R x x x x T ∈∀-=αασ1.证明是的线性变换；σ3R 2.求在基下的矩阵；σT T T )3,0,0(,)1,2,0(,)1,1,1(321==-=αααA 3.证明是的正交变换.σ3R三、(20分) 设列满秩矩阵，四维列向量.34⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100111100111A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111b 1．作出的分解；A QR 2．求的加号逆；A +A 3．证明方程组不相容，并求其极小最小二乘解．b Ax =四、(20分) 设.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111201111A 1．求；21,,,A A A A F ∞2．证明矩阵幂级数绝对收敛，并求其和；∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛131k kA 3．设是阶矩阵，证明．A n 111A n A A n F ≤≤五、(20分) 设是两个n 阶Hermite 正定矩阵，是n 阶酉矩阵，证明：B A ,C 1．存在n 阶Hermite 正定矩阵，使得；S 2S A =2．；021≥-+-I A A 3．若，则；BC C A H >H C CA B 11-->4．题1中的Hermite 正定矩阵唯一存在．S。
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当 时，有 ,从而 .设 这里 也是Hermｉｔe矩阵,则
.
于是 ,由此得到 .…………(２分)
.
(1)求系数矩阵 的满秩分解;
（２)求广义逆矩阵 ；
（3)求该线性方程组的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小最小二乘解.
解答:(1) 矩阵 , 的满秩分解为
.…………………(5分)
(2) ．……………………（1０分）
(3）方程组的极小最小二乘解为 ．…………(５分）
共６页第5页
四、(2０分)已知幂级数 的收敛半径为３,矩阵 .
(１） 求 ;
（４) 由于 ,所以 是 的一个变换.又直接验证,知
，
因此 是 的一个线性变换.………………………………（3分)
线性变换 在基 下的矩阵为
．……………………………………………(３分)
二、(20分)设三阶矩阵 ， ， .
(1)求 的行列式因子、不变因子、初等因子及Jorｄan标准形;
（2)利用 矩阵的知识，判断矩阵 和 是否相似,并说明理由.
南京航空航天大学2012级硕士研究生
共6页第１ 页
２0１2 ~２０１3学年第1学期《矩阵论》课程考试A卷
考试日期:201３年1月1５日课程编号：A08００01命题教师:阅卷教师:
学院专业学号姓名成绩
一、(20分)设 是 的一个线性子空间，对任意 ,定义： ,其中 .
(1)求 的一组基和维数；
(2)对任意 ,定义:
（３)若 都是Ｈerｍｉtｅ半正定矩阵,则 ,并且当等号成立时，必有 .
解答:
(1)由 可得， ,由于 是相容范数,则 ， 的特征值都不为零,因此 可逆．………………………（6分）
(２） ,这里 是可逆的Hermｉte矩阵，从而 .由于 与 有相同的特征值，且 ，所以 的特征值均为正数.
………………（８分)
解答: (1) 的行列式因子为 ;…(３分)
不变因子为 ;…………………（3分）
初等因子为 ;……………………(2分)
Jordan标准形为 .……………………（２分)
(２） 不相似,理由是２阶行列式因子不同;…………………（5分)
相似,理由是各阶行列式因子相同．…………………(5分)
共６页第 ４页
三、(２0分)已知线性方程组 不相容.
,
证明 是 的一个内积;
(3）求 在题（2）所定义的内积下的一组标准正交基;
(4)证明 是 的线性变换，并求 在题（1)所取基下的矩阵.
解答：（１） 的一组基为 维数为３．
……………………………………(5分)
(2）直接验证内积定义的四个条件成立.……………………………(4分)
(3) 标准正交基 .…………(5分)
(２） 证明矩阵幂级数 收敛；
(3） 求矩阵幂级数 的和.
解答:(1） .………(10分)
(２)因为 是相容范数,且 ,则 在收敛半径内,因此级数收敛.……………(５分)
(3) ．……………(5分）
共6页第6页
五、(２0分)设 是两个 阶矩阵,其中 ,证明:
(１) 若对任意 ,有 则 可逆；
（2)若 都是Ｈｅrｍｉｔe正定矩阵，则 的特征值均为正数；