11第2章导数与微分函数性态单调性极值精品PPT课件

定理 2.10(第一充分条件 第一判别法)设 f (x) 在 点 x0 的某一邻域内可导且 f (x0 ) 0 ：
，显然 x
0 是函数的不可导点,
当 x ,0 时， y 0 ，所以函数单调递增;
当 x 0,时， y 0 ，所以函数单调递增.
例3 证明 x 1 时， 2 x 3 1 . x
分析：
欲证明本结论，则须构造一函数 f (x) ，根据 其单调性，当 x 1（已知）时，总有 f (x) f (1) 或
x1, x2 [a,b] 且 x1 x2 ，则由拉格朗日中值定理知：
f (x2 ) f (x1) f ( )( x2 x1) [x1, x2 ] [a,b], x1 x2
显然，若 f ( ) 0 ，则 f (x2 ) f (x1) 函数单调增加；
若 f ( ) 0 ，则 f (x2 ) f (x1) 函数单调减少.
同理，在 x 2 的左侧单调减少，右侧单调增加，
即存在 x 2 的某邻域，使得在该去心邻域内有
f x f 2。
象这样的点，称之为极值点．
定义2.4 设 函 数 f (x) 在 区 间 a,b 内 有 定 义 ，
x0 是(a,b) 内一点，若 x0 的一个去心邻域 u(xˆ0 ) ， 使得对 x u(xˆ0 ) 总有：
解: 函数的定义域为 ,
又 y 6x2 18 x 12 6x 1x 2
令 y 0 ，即: x 1, x 2 ,
以此两点将定义域分成三部分: (,1), 1,2, (2,)
当 x (,1) 时, y 0 ,所以函数单调递增;
当 x 1,2 时, y 0 ,所以函数单调递减;
当 x (2, ) 时, y 0 ,所以函数单调递增.
f(x)f(x0)， 称f (x0 )为f (x)的一个极大值．
若有 f x f x0 ，称 f x0 为 f x 的一个极小值.
二者通称为极值，
使函数取得极值的点称为极值点．
这样 例 2 中函数 f (x) 2x3 9x2 12 x 3 在点 x 1, x 2 处分别取得极大值和极小值。(如图)
B．这里的闭区间可以为其它任何区间；
C．若仅有有限个点的导数为零，其余点的导数恒
正或恒负，不改变其单调性； y
如：y x3在(,)上 除 x 0
y x3
外，其余点均 y 0 .故为递 增。（如图）
Ox
D．单调增加或减少的分界点要么是导数为零的点， 要么是导数不存在的点．因此，常常把这种点 作为讨论函数性质的分界点.
则有如下定理：
定理2.8 设 y f (x) 在[a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，则
⑴若在 (a,b)内 f (x) 0 ， 则 y f (x) 在[a,b] 上单调增加；
⑵若在 (a,b)内 f (x) 0 ，
▲理解
则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少.
A．在满足前提条件下，反之也成立；
y
2
1
O 12
x
★理解 依定义 A.极值是一个局部概念，是函数局部范围内的
最值，而不是区间或定义域内的最值；
B.极值不一定唯一；
C.对于极值点，仅有定义即可，不必连续或可 导．故极值点可能是间断点，不可导点，或 导数为零的点，但不可能为端点．（如图）
A B
y C
D
F
G
E
H
yfx
J
I
a
O
bx
其中， 导数为零的点称为函数的驻点.
例1 讨论 y e x x 的单调性．
解：函数的定义域为 ,
又 y ex 1， 令 y 0 ，即： ex 1 0 ，所以 x 0
当 x ,0 时， y 0 ，所以函数单调递减； 当 x 0,时， y 0 ，所以函数单调递增.
例2 讨论 y 2x3 - 9x2 12x 3 的单调区间.
小结讨论函数单调性的步骤：
A.求函数的定义域,找出无定义的点;
B.求函数的导数,找出驻点、不可导点;
C.以无定义点、驻点、不可导点为分界点分割 定义域所给区间;
D.按分割的不同分段逐一讨论.(对多项式情形 可用穿针法)
练习: 讨论 y 3 x 的单调性.
解：函数的定义域为 ,
又
y
3
1 3 x2
高等数学
第2章 导数与微分
第5节 利用导数研究函数的性态
主要内容： 一、函数单调性的判定 二、函数的极值、最值
如图：
y
一、函数的单调性
y
O
xO
x
若 y f (x) 在某区间上单调增加，则 y 0 .
若 y f (x)在某区间上单调减少，则 y 0 .
反之，
若 y f (x) 在 a,b 上 c.t. , 在 (a,b) 内 可 导 ， 若
此外，从图中还可以看出：在函数取得极值的
点处，若有切线（可导）的话，该切线是水平的；
但是，有水平切线的点未必是极值点，这就有：
定理2.9（必要条件）设 f (x) 在点 x0 处可导且取得极值，
则在该点处有 f (x0 ) 0 .
证明 不妨设 f (x)在x0处 取得极小值，依定义 x0 的
某一去心邻域，使得在该邻域内：
当
x
x0时,
f
(x) f (x0 ) x x0
0
；当 x
x0时,
f
(x) f (x0 ) x x0
0
由极限的不等式性质：f(x0)xl x i0 m f(xx) xf0(x0)0
从而
f
(x0 )
f ( x0
0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) 0 x x0
那么如何判断某点是否取得极值呢？
所以当 x 1时， f x f 1 ，即：2 x 3 1 0 ，
x 从而有： 2 x 3 1
x
这是一种非常典型的题目，须掌握其方法.
二、函数极值、最值
1、极值
由例 2，函数 f (x) 2x3 9x2 12x 3的单 调性在点 x 1处分界：在 x 1 左侧单调增加， x 1右侧单调减少，即存在 x 1 的一个去心邻 域，使得在该邻域内总有 f (x) f (1);
f x f (1) ，它就是欲证明的式子。
一般地， f 1 或 f x0 应为零，否则难于构造 f x .
Байду номын сангаас
例3 证明 x 1 时， 2 x 3 1 .
x
证明 设 f x 2 x 3 1 ，则 f 1 0 ，
又 f x
1 x
1 x2
x
，显然当 x
1时，
f
x
0，
即当 x 1时，函数为增函数。