平面图形直观图的画法

平面图形直观图的画法
先观察下面的图形，总结投影变化规律。

投影规律：
1.平行性不变;但形状、长度、夹角
会改变；
2.平行直线段或同一直线上的两条
线段的比不变
3.在太阳光下，平行于地面
的直线在地面上的投影长不变
表示空间图形的平面图形，叫做
空间图形的直观图
画空间图形的直观图，一般都要
遵守统一的规则，
1．斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
2．平面图形直观图的画法
斜二测画法的步骤：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝_45°(或135°)_，它们确定的平面表示_水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_平行
于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变_，_垂直于x轴的线段，长度为原来的_一半_．
注意点：
1．斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指什么？
提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半。

2．圆的斜二测画法，其图形还是圆吗？
提示：不是圆，是一个压扁了的“圆”，即椭圆。

3．立体图形直观图的画法
由于立体图形与平面图形相比多了一个z轴，因此，用斜二测画法画立体图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．平行于x轴和z 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
解：
第一步：在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN 所在的直线为Y轴，两轴交于点O。

画相应的X’轴和Y’轴，两轴交于点O’，使∠x’Oy’=45°
第二步：以O’点为中心，在X’上去A’D’=AD，在y’轴上去M’N’=。

以点N’为中心，话B’C’平行于x’轴，并且等于BC，再以M’为中心，画E’F’平行于X’轴，并且等于EF。

第三步：连接A’B’,C’D’,E’F’,F’A’。

第四步：擦去辅助线x’轴和y’轴，便获得六边形ABCDEF水平放置的直观图A’B’C’D’E’F’
总结画法规则：
1、在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z 轴，使∠xoz=900,且∠yoz=900；
2、画直观图时把它们画成对应的x’轴、y’轴和z’轴,它们交于O’,并使∠x’oy’=450(或1350),∠x’oz’=900, x’轴和y’轴所确定的平面表示水平平面。

3、已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴、y’轴或z’轴的线段。

(即平行性不变）。

4、已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半(即横不变纵折半）。

是为斜二测画法。

平面图形直观图的画法
基本步骤：
（1）建系；
（2）画轴；
（3）作平行线段（横不变纵减半）；
（4）连线；
（5）擦去辅助线（也可保留辅助线）；
课堂检测：
1关于斜二测画法的下列结论：
（1）三角形的直观图还是三角形；
（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；
（3）正方形的直观图还是正方形；（
（4）菱形的直观图还是菱形
其中正确的是（）
A（1）（2）B（1）（3）C（3）（4）D（1）（2）（3）（4）2 下列说法中正确的是（）
A水平放置的矩形的直观图可能是梯形
B 水平放置的梯形的直观图可能是平行四边形
C 水平放置的平行四边形的直观图可能是矩形
D 水平放置的菱形的直观图不可能是平行四边形
重要规律：在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．
对于直观图，除了了解其画图规则外，还要了解原图形面积S 与其直
观图面积S′之间的关系S′＝24S ，能进行相关问题的计算．
已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图
△A′B′C′的面积为 ( ) a 2 2 Ca 2 a 2
解析：如图①、②所示的实际图形和直观图．
由②可知，A′B′＝AB ＝a ，O′C′＝12OC ＝34a ，
在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.
∴S △A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a ＝616a 2.
答案：D
将直观图还原为平面图
把一个水平放置的平面图形的直观图，通过逆向思维，逆 用斜二测画法规则可还原为原来的图形．
例题2、如图是一梯形OABC 的直观图，其直观图面积为S ，求梯形OABC 的面积．
【思路点拨】 还原→求原图形的高→求原图形的面积
【解】 设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为′B ′＝CB ，O ′A ′＝OA .
过C ′作C ′D ⊥O ′A ′于D ，则C ′D ＝22h .
由题意知12C ′D (C ′B ′＋O ′A ′)＝S ，
即24h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S .
又原直角梯形面积为
S ′＝12·2h (CB ＋OA )
＝h(C′B′＋O′A′)＝4S
2
＝22S，
所以梯形OABC的面积为22S.
注意：由直观图还原为平面图形时，注意平行y′轴的线段，要变为2倍长度．
如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个
平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，
O′C′＝2 cm，则原图形
是
()
A．正方形B．矩形
C．菱形D．一般的平行四边形
解析：将直观图还原得?OABC，则
∵O′D′＝2O′C′＝22(cm)，
OD＝2O′D′＝42(cm)，
C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，
OC＝CD2＋OD2＝22＋?42?2＝
6(cm)，
OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC，
故原图形为菱形．
答案：C
立体图形直观图的画法
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于o 点．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使
，它确定的平面表示水平平面。

（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．
例：用斜二测画法画长,宽,高分别是
4cm,3cm,2cm 的长方体ABCD -A’B’C’D’的直观图
解：
第一步：画轴。

画x 轴，y 轴，z 轴，三轴交
于点O ，使得∠xOy=45°，∠xOz=90°
第二步：画底面。

以O 为中心，在x 轴上取
线段MN ，使得MN=4cm ，在y 轴上取线段
PQ ，使得PQ=；分别国电作y 轴的平行线，
过点P ,Q 作x 轴的平行线，作出平行四边形
ABCD
第三步：画侧棱，过点A,B,C,D,分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段AA’,BB’,CC’,DD’。

()
x Oy =45135''∠或
第四步：成图，连接A’,B’,C’,D’去掉辅助线，即
可画出直观图
总结基本步骤：
（1）画轴；
（2）画底面；
（3）画侧棱；
（4）成图；
总结：
斜二测画法的规则；关键是“平行性不变；横不变纵折半”。