多边形内角和
已知多边形内角和求边数公式
已知多边形内角和求边数公式
已知多边形内角和求边数公式是指，如果知道一个多边形所有内
角的度数总和，可以通过一个公式来推导出这个多边形的边数。
假设一个多边形有n个内角，那么它的内角度数之和为（n-2）
×180度。
例如，一个四边形有4个内角，它的内角度数之和为（4-2）×180度=360度。
接下来，我们可以使用如下公式来求解多边形的边数：
边数 =（n×180度）/（n-2）
其中，n为多边形的内角个数，即多边形的边数加上2。
例如，如果一个多边形的内角度数之和为720度，那么它的内角
个数为（720/180）-2=4，即它是一个四边形，边数可以通过公式得到：边数=（4×180度）/（4-2）=360度/2=180度。
这个公式对于解决关于多边形的几何问题非常有用，例如计算多
边形的内角或者边长等。
多边内角和公式
多边内角和公式多边形内角和公式是我们在数学学习中一个非常重要的知识点。
咱们先来说说什么是多边形。
简单来讲，多边形就是由多条线段首尾顺次连接所围成的封闭图形。
那多边形的内角和公式又是啥呢？这公式就是：(n - 2)×180°，其中 n 表示多边形的边数。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，发生了一件特别有意思的事儿。
那是一个阳光明媚的上午，我像往常一样走进教室。
当我在黑板上写下多边形内角和公式的时候，下面的同学们一脸迷茫。
于是我决定用一个实际的例子来帮助他们理解。
我拿出了一个六边形的纸模型，问同学们：“大家猜猜这个六边形的内角和是多少度？”同学们开始七嘴八舌地讨论起来，有的说500 度，有的说 800 度。
我笑着摇摇头，然后把六边形沿着对角线剪成了四个三角形。
我指着这四个三角形问：“一个三角形的内角和是 180 度，那四个三角形的内角和是多少度呢？”同学们恍然大悟，纷纷算出是 720 度。
接着我又说：“那咱们再看看这个公式，六边形的边数 n 是 6，代入公式 (6 - 2)×180 = 720 度，是不是和咱们刚才算的一样呀？”同学们这下子眼睛都亮了，纷纷点头。
其实啊，多边形内角和公式不仅仅是一个数学公式，它在我们的生活中也有很多的应用呢。
比如说，建筑师在设计房屋的时候，需要考虑到房间的角度和形状，这时候多边形内角和公式就能派上用场。
再比如，我们在制作拼图或者镶嵌图案的时候，也需要用到这个公式来保证图案的完美拼接。
咱们再回过头来仔细想想这个公式。
为什么是 (n - 2)×180°呢？这是因为从一个 n 边形的一个顶点出发，可以引出 (n - 3) 条对角线，把 n边形分成 (n - 2) 个三角形。
而每个三角形的内角和是 180 度，所以 n边形的内角和就是 (n - 2)×180 度。
对于这个公式，同学们在刚开始学习的时候可能会觉得有点难理解。
多边形内角和公式与计算
多边形内角和公式与计算多边形是数学中常见的几何形状，它由若干条边和相应的顶点组成。
在学习多边形的性质时，我们经常会遇到计算多边形内角和的问题。
本文将介绍多边形内角和的公式和计算方法，并通过实例进行说明。
一、三角形的内角和公式三角形是最简单的多边形，它由三条边和三个顶点组成。
三角形的内角和公式是一个基础且重要的知识点。
我们知道，三角形的内角和等于180度，即三个内角的和为180度。
例如，已知一个三角形的两个内角分别为60度和80度，我们可以通过使用内角和公式计算出第三个内角的度数。
首先，将已知的两个内角的度数相加，得到140度。
然后，用180度减去已知的度数，即180度减去140度，得到第三个内角的度数为40度。
因此，这个三角形的三个内角分别为60度、80度和40度。
二、四边形的内角和公式四边形是具有四条边和四个顶点的多边形。
四边形的内角和公式是一个重要的知识点，它可以帮助我们计算出四边形内角和的度数。
对于任意一个四边形，我们可以将它划分为两个三角形。
根据三角形的内角和公式，我们知道一个三角形的内角和等于180度。
因此，一个四边形的内角和等于两个三角形的内角和之和。
举个例子，假设我们有一个四边形，其中三个内角的度数分别为60度、80度和100度。
我们可以将这个四边形划分为两个三角形，其中一个三角形的内角和为60度+80度=140度，另一个三角形的内角和为100度。
将两个三角形的内角和相加，得到这个四边形的内角和为240度。
三、五边形及以上多边形的内角和公式对于五边形及以上的多边形，我们可以通过将其划分为若干个三角形来计算其内角和。
具体的计算方法是：将多边形的顶点连接起来，形成若干个三角形，然后计算每个三角形的内角和，最后将所有三角形的内角和相加，得到多边形的内角和。
举个例子，假设我们有一个五边形，其中四个内角的度数分别为60度、80度、100度和120度。
我们可以将这个五边形划分为三个三角形，其中一个三角形的内角和为60度+80度=140度，另一个三角形的内角和为100度，第三个三角形的内角和为120度。
多边形的内角和与外角和
多边形的内角和与外角和多边形是几何学中的一个基本概念，它是由多条线段连接而成的封闭图形。
在这篇文章中，我们将探讨多边形的内角和与外角和的关系。
【引言】多边形的内角和与外角和是几何学中的一个基本定理，它是研究多边形性质的重要基础。
了解内角和与外角和的关系，可以帮助我们更好地理解多边形的形状和特性。
【多边形的内角和】多边形的内角和是指多边形内部各个角度的和。
对于 n 边形来说，它的内角和可以用以下公式表示：内角和 = (n-2) * 180°。
这个公式的推导可以通过将多边形分解成 n-2 个三角形，再计算每个三角形的角度和得出。
【多边形的外角和】多边形的外角是指多边形内部的一条边与其邻近两条边所成的角。
对于任意多边形来说，它的外角和总是等于360°。
这个定理可以通过多边形的逆时针顺序求和得出。
将每一个外角相加，总和一定等于完整的一圈360°。
【内角和与外角和的关系】多边形的内角和与外角和存在着一定的关系。
考虑一个 n 边形，它共有 n 个内角和 n 个外角。
每个内角和对应一个外角，它们的差值总是等于180°，即：内角和 - 外角和 = 180°。
举例来说，对于三角形来说，它的内角和是180°，外角和是360°，二者之差为180°，符合上述的关系。
同样地，四边形的内角和是360°，外角和也是360°，差值为0°。
这一关系同样适用于五边形、六边形以及更多边形。
【应用举例】1. 设想一个六边形，已知其中一个内角为120°，我们可以计算出该六边形的内角和为 (6-2) * 180° = 720°。
同时，根据内角和与外角和的关系，我们可以推断出该六边形的外角和为 720° - 120° = 600°。
2. 推广到任意 n 边形，我们可以利用内角和与外角和的关系来解决各种几何问题。
多边形内角和公式的推导及应用
多边形内角和公式的推导及应用n边形的内角和公式：n边形的内角和＝n－2×180°一、其推导方法如下：方法1：从一个顶点出发可以引出n－3条对角线，这样把多边形分割成了n－2个三角形如图1，由图可知这n－2个三角形的内角的总和恰好是n边形的内角和，故而可得n边形的内角和为n－2×180°方法2：在多边形的内部任取一点G，和各个顶点连接，这样把多边形分割成了n个三角形如图2，由图可知这n个三角形的内角的总和恰好比n边形的内角和多一个周角，故而可得n边形的内角和为n×180°－360°＝n－2×180°方法3：在多边形的边上任取一点G，和各个顶点连接，这样把多边形分割成了n－1个三角形如图3，由图可知这n－1个三角形的内角的总和恰好比n 边形的内角和多一个平角，故而可得n边形的内角和为n－1×180°－180°＝n－2×180°方法4：在多边形的外部任取一点G，和各个顶点连接，这样把多边形分割成了n个三角形如图4，由图可知这n个三角形的内角的总和比n边形的内角和多以下几局部：①三角形AFG的内角和180°；②各个三角形的一个角组成的和∠AGF；③∠GAF和∠AFG，而且∠AGF＋∠GAF＋∠AFG＝180°，故而可得n边形的内角和为n×180°－180°－180°＝n－2×180°二、n边形的内角和公式的应用：1、求n边形的边数：例1、假设n边形的内角和是它外角和的2倍，那么n等于解：有题意可知，n－2×180°＝2×360°，解得n＝62、求角度数:例2、如图求角∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H 的度数？分析：所求的八个角的度数可以通过作辅助线如右图，很容易的转化成了求六边形的内角和的度数了所以∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝6－2×180°＝72021复杂的图形内角和可以通过巧妙地转化构成了我们熟悉的根本图形的内角和了例3、用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝ 度分析：有题意知：ABCDE 为正五边形，所以其内角和为 5－2×180°＝540°且五个角相等于540°5＝108°，故∠BAC ＝108°思考题：请同学们思考下面的一个问题，看谁说得又对又好：把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为2880°，请问原来的多边形的边数是几？答案：17、18、19三种可能，你答对了吗？你能想出其中的奥秘吗？如下列图的三种情况：图 2图1。
多边形的内角和与外角和
多边形的内角和与外角和多边形是指由若干直线段连接而成的封闭图形，其中的每个直线段被称为边，相邻两个边交汇的点称为顶点。
多边形的内角和与外角和是几何学中关于多边形角度性质的重要定理之一，本文将详细论述这一定理的推导及其应用。
首先，我们来看一下多边形的内角和。
对于一个n边形（n≥3），我们可以通过连接其中的每一对顶点得到n个三角形。
由于三角形的内角和为180度，因此n边形的内角和可以表示为180度的n-2倍。
即内角和 = (n-2) × 180度。
接下来，我们来探讨一下多边形的外角和。
对于一个n边形，我们可以在每个顶点处延长一条边，从而形成一些外角。
显然，每个外角等于其对应的内角的补角。
由于一个完整的圆周角是360度，因此n 边形的外角和可以表示为360度减去各个内角。
即外角和 = 360度 - 内角和。
综上所述，我们可以得出多边形的内角和与外角和的关系：内角和 + 外角和 = (n-2) × 180度 + 360度 - 内角和化简得：内角和 + 外角和 = (n-2) × 180度 + 360度这个定理的一个重要推论是：n边形的外角和等于360度。
由于每个外角等于其对应的内角的补角，因此外角和一定等于内角和的补角和。
即外角和 = 内角和的补角和 = 360度。
多边形的内角和与外角和的关系在几何学中有广泛的应用。
以正多边形为例，正n边形的内角和等于(n-2) × 180度，而每个内角又相等于360度除以n。
因此可以计算出正n边形的每个内角大小。
同时，正多边形的外角和等于360度，即每个外角的大小也可以计算出来。
除了正多边形，对于任意的n边形，我们也可以利用内角和与外角和的关系来计算其中的角度。
通过测量或计算几个已知角度，我们可以推导出其他未知角度的大小，从而解决与多边形角度相关的问题。
总结起来，多边形的内角和为(n-2) × 180度，外角和为360度，这个定理为我们研究和解决多边形角度问题提供了重要的理论基础，并在实际应用中发挥着重要的作用。
7.3.2 多边形的内角和
7.3.2多边形的内角和Ⅰ．核心知识扫描1．n 边形的内角和等于(n －2)·180°．2．n 边形的外角和等于360°．Ⅱ．知识点全面突破知识点1：n 边形的内角和等于(n －2)×180°（重点、难点）每一个多边形都可以按照如图7-3-2-1的方法分割成若干个三角形．根据这种方法，可以把每一个n 边形分割成(n －2)个三角形． 图7-3-2-1这些三角形的内角和恰好是多边形的内角和．所以我们可以得到：多边形○C 内角和定理：n 边形的内角和等于(n －2)·180°例：已知一个n 边形的内角和是1080°，求n ．解：由多边形内角和公式得：(2)n -×180°=1080°，解得n =8.点拨：多边形的内角和公式有两个方面的应用：①已知多边形的边数，计算多边形的内角和；②已知多边形的内角和，求多边形的边数．知识点2：n 边形的外角和等于360°（重点、难点）由于n 边形的每个内角和与它相对应的外角之和为180°，所以n 边形的外角和与内角之和应该为n ×180°．于是有：n 边形的○C 外角和等于360°．例：如果一个各边都相等的多边形，若它的每一个内角是144°，则这个多边形是（ ）A ．正十边形B ．正九边形C ．正八边形D ．正七边形 解法一：设这个多边形为n 边形．则180(n －2)＝144n ，解得：n ＝10．答：这个多边形是十边形．解法二：因为这个多边形的每一个内角是144°，所以这个多边形每个外角等于36°，360°÷36°＝10答：这个多边形是十边形． 点拨：思路一是用两种方法计算多边形的内角和为180(n －2)°或144n °，然后得到方程180(n －2)＝144n ，求出这个多边形的边数；思路二是利用正多边形的外角和不变和每个外角相等这一特性来解决问题的，尽管多边形的内角和度数随着边数的增加而增加，但是多边形的外角和的度数始终保持不变，利用这一不变性，可使问题变得简单．知识点3：多边形的内角与外角的联系1．多边形同一个顶点的一个内角和一个外角恰好是一对邻补角；2．n边形的内角和与外角和总共是180n°．例：已知五边形内角度数之比为4∶4∶5∶5∶6，求该五边形各外角对应度数之比．解：设这个五边形五个内角的度数分别为4x°、4x°、5x°、5x°、6x°，则4x°＋4x°＋5x°＋5x°＋6x°＝540°解得：x＝22.5°∴这个五边形五个内角度数分别为90°、90°、112.5°、112.5°、135°对应的五个外角的度数分别为90°、90°、67.5°、67.5°、45°∴五边形各外角对应度数之比为4∶4∶3∶3∶2点拨：求五边形的外角度数之比，先根据内角和公式求出五个内角，根据相邻外角和内角是一对邻补角这一特征可求出五个外角．Ⅲ．提升点全面突破提升点1：增加或减少一个角对内角和的度数的影响例1：如果一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为1190°，则这个多边形的边数是多少？这个内角是多少度？解：设这个多边形为n边形由题意：这个多边形的内角和为1260°∴180（n－2）＝1260，解得：n＝91260°－1190°＝70°答：这个多边形为九边形，这个内角为70°．点拨：从n边形的内角和我们可以看出两方面内容：一是多边形的内角和是180的倍数；二是多边形的内角和和多边形边数有关，如果将内角和除以180°，然后加2后就等于多边形边数；在本题中，这个多边形的内角和是比1190°大，是180°的倍数，而且是与1190°最接近的那个180°的倍数，所以这个多边形的内角和为1260°．例2：一个多边形○C截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能【答案】D【点拨】设新多边形的边数为n，则180(n－2)＝1620，解得n＝11，所以原多边形边数为10、11或12．提升点2：根据多边形的外角推断多边形边数例3：如图7-3-2-3，小明在操场上从A 点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿直线前进10米后，又向左转40°，……，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米．图7-3-2-3【答案】90 【点拨】当回到出发点时，所经过的路线是一个正多边形，这个多边形的每个外角都等于40°，由于多边形的外角和是360°，所以这个多边形的边数为9．例4：一个正多边形的一个外角等于它的相邻的内角的41，则这个多边形是（ ）． A ．正十二边形 B ．正十边形C ．正八边形D ．正六边形 【答案】C【点拨】设这个n 边形外角为x °，有x ＋4x ＝180°，x ＝36，1036360==n ． 提升点3：求不规则图形的角度之和例5：如图7-3-2-4，∠B ＋∠F ＝55°，求∠A ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数．A B C D E F图7-3-2-4【解】连结BE∵∠A ＋∠F ＝∠FEB ＋∠ABE∴∠A ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠C ＋∠D ＋∠DEB ＋∠CBE ＝360°【点拨】此题的图形为一不规则图形，对于不规则图形，常常可利用“化归思想”，通过添加辅助线将其转化为规则图形，连结BE ，即可把所求的4个角之和转化为四边形的内角和．40A4040Ⅳ．提升点全面突破例1：（2011，江苏海安七校联考，阅读题）小明和小华一起做功课，小明对小华说：“我给出一道题给你做做！一个多边形各内角都等于72°，求这个多边形的边数．”小华想了又想，答不出来，他灵机一动，对小明说：“我也考考你，一个凸四边形的四个内角的度数比为1∶2∶3∶8，求这个四边形四个内角的度数．”小明想了想说：“你这道题出错了！”小华马上反击道：“你才出错了呢！”他俩说得对吗？若题目正确，请给出回答；若题目不正确，试改变题目中数据使其变成正确的题目，并给出解析．【解】他俩说得都对，小明的题目：设多边形为n边形，则72n＝180(n－2)，解得n＝103，所以小明的题目错误．小华的题目：设四边形的四个角分别为x°，2x°，3x°，8x°，则x＋2x＋3x＋8x＝360，解得x＝1807，所以最大的角等于14407，由于14407＞180°，所以这个四边形不是凸四边形．题目可改为：“一个多边形各内角都等于108°，求这个多边形的边数”，“一个凸四边形的四个内角的度数比为1∶2∶3∶2，求这个四边形四个内角的度数．”【点拨】判断题目是否出错，可由题目做做看，如果能做出合适而定结果则题目正确，如果题目做不出结果，或做出的结果不符合要求，则题目不正确．Ⅴ．分层实战A组．基础训练1．（知识点1）四边形的内角和为（）A．90°B．180°C．360°D．720°2．（知识点3）已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）A．八边形B．十二边形C．十边形D．九边形3．（知识点1）一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为（）．A．9B．8C．7D．64．（知识点2）如果一个多边形的每个外角都相等，且小于45°，那么这个多边形的边数最少是（）A．8 B．9 C．10 D．115．（知识点3）一个多边形的每一个外角的度数等于其相邻内角度数的13，则这个多边形是_________边形．6．（知识点2）n边形的每个外角都为24°，则边数n为___________．7．（知识点2）四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1∶2∶3∶4，那么∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝．8．（知识点1）如图7-3-2-5，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，则∠C的度数是，∠D的度数是．图7-3-2-5 9．（知识点1）两个多边形的边数之比为1：2，内角和度数之比为1：3，这两个多边形分别是_____边形和_____边形．B组．培优训练1．（提升点1）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为1800°，你知道原多边形的边数为（）A．11 B．12 C．13 D．11或12或132．（提升点2）某花园内有一块五边形的空地如图7-3-2-6所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2 m长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（）A．6πm2B．5πm2C．4πm2D．3πm27-3-2-63．（提升点1）一个多边形恰好有三个角是钝角，这个多边形最多有________条边．B组．培优训练1．D，点拨：先求出截后的多边形边数为12，因为截取一个角后，多边形有可能增加、减少一条边或者边数不变．2．A，点拨：本题中暗含了一个条件是：各个扇形的圆心角之和为360°，即各个扇形的面积正好等于一个半径为2m长的圆的面积．4．（提升点1）多边形的内角和与某一个外角的度数之和为1350°，求这个多边形的边数．5．（提升点3）如图7-3-2-7，在四边形ABCD中，∠C与∠D的平分线相交于P，且∠A＝70°，∠B＝80°，求∠P的度数．图7-3-2-7 6．（提升点1）在一个凸n边形中，有（n－1）个内角的和恰为8 940°，求边数n的值．7．（提升点3）如图7-3-2-8，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠AGF 的度数．图7-3-2-87.3.2多边形的内角和A 组．基础训练1．C ，点拨：四边形的内角和等于180°×(4－2)＝360°．2．C ，点拨：设多边形的边数为n ，则有（n －2）×180＝360×4，解得n ＝10．3．D ，点拨：设这个多边形的边数为n ，则有120n ＝(n －2)180，解得n ＝6．4．B ，点拨：正多边形的边数越多，每个外角度数就越小，当每个外角度数为45°，这个多边形是8边形，当每个外角小于45°时，那么这个多边形的边数最少为9．5．八，点拨：先求出每个外角等于45°．6．15，点拨：由于多边形的外角和为360°，360÷24＝15，所以多边形有15条边．7．4∶3∶2∶1，点拨：设四个外角分别为x°、2x°、3x°、4x°，则x ＋2x ＋3x ＋4x ＝360，解得x ＝36，则四个外角分别为36°、72°、108°、144°，则这四个角的度数为144°、108°、72°、36°．8．160°，120°，点拨：延长AB 交DC 的延长线于点G ，因为AF ∥CD ，∠A ＝120°，所以∠G ＝60°，因为∠B ＝80°，∠G ＝60°，所以∠BCG ＝20°，所以∠BCD ＝160°，因为AB ∥DE ，所以∠D ＝180°－∠G ＝120°．9．四；八，点拨：设这两个多边形的边数分别为n °、2n °，所以180(n －2)∶180(2n －2)＝1∶3，解得：n ＝4．B 组．培优训练1．D ，点拨：先求出截后的多边形边数为12，因为截取一个角后，多边形有可能增加、减少一条边或者边数不变．2．A ，点拨：本题中暗含了一个条件是：各个扇形的圆心角之和为360°，即各个扇形的面积正好等于一个半径为2m 长的圆的面积．3．6，点拨：由于这个多边形有三个角是钝角，则这个多边形有三个外角是锐角，由于多边形的外角和为360°，所以其他最多有3个钝角或直角．4．解：设多边形的边数为n ，由题意，这个多边形内角和小于1350°，且是180°的倍数，所以这个多边形的内角和180(n －2)＝1260，解得：n ＝9．AEF BG DC所以这个多边形的边数为9．5．解：∠P＝180°－12∠ACD－12∠CDB＝180°－12(∠ACD＋∠CDB)＝180°－12(360°－∠A－∠B)＝180°－12(360°－150°)＝75°6．解：设此凸n边形中有一个内角为α，剩余（n－1）个内角之和恰好8940°．∴α=（n－2）·180°－8940°．∵0°＜α＜180°，内角和比8940大，且是180°的倍数，∴（n－2）·180°＝9000°∴n－2＝50，∴n＝52．∴这个凸多边形是凸52边形．7．解：连结BF，设AB与FG相交于O点，在△AOG和△BOF中，∵∠AOG = ∠FOB，∴∠A＋∠AGF =∠1＋∠2，∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠AGF=（∠1＋∠ABC）＋（∠2＋∠EFG）＋∠C＋∠D＋∠E=∠CBF＋∠BFE＋∠C＋∠D＋∠E．而这5个角之和为五边形BFEDC的内角和，故为（5－2）×180°＝540°．∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠AGF＝540°．。
多边形内角和公式推导方法公式总结
多边形内角和公式推导方法公式总结一、多边形内角和公式推导在平面几何中，多边形是指由若干条线段组成的图形，每条线段都与相邻的两条线段相交。
对于一个n边形（n≥3），可以通过求解其内角和来研究多边形的性质。
1.1三角形的内角和公式三角形是最简单的多边形，由三条线段组成。
对于任意一个三角形，其内角和为180度或π弧度。
这个结论可以通过以下推导得出：假设三角形的内角分别为A、B、C，则按定义有A+B+C=π弧度，而π弧度相当于180度，因此三角形的内角和为180度。
1.2四边形的内角和公式四边形由四条线段组成，可以是平行四边形、矩形、正方形、梯形等不同形状的四边形。
对于任意一个四边形，其内角和是一个固定值360度或2π弧度。
这个结论可以通过以下推导得出：假设四边形的内角分别为A、B、C、D，则按定义有A+B+C+D=2π弧度，由于2π弧度相当于360度，所以四边形的内角和为360度。
1.3n边形的内角和公式对于一个n边形（n≥3），我们可以通过在其中任选一顶点，将其余的n-1条边分别延长，从而把n边形分割成n-2个三角形。
设这个n边形的内角和为S，则每个三角形的内角和为180度，则有(n-2)×180度。
每个三角形的内角和等于180度，所以(n-2)×180度=S或(n-2)×π弧度=S。
因此，n边形的内角和公式可以表示为：S=(n-2)×180度或S=(n-2)×π弧度。
二、多边形内角和公式应用举例2.1五边形的内角和公式对于五边形，根据n边形的内角和公式，它可以表示为S=(5-2)×180度=3×180度=540度。
所以五边形的内角和为540度。
2.2六边形的内角和公式对于六边形，根据n边形的内角和公式，它可以表示为S=(6-2)×180度=4×180度=720度。
所以六边形的内角和为720度。
2.3正多边形的内角和公式对于正n边形，指的是所有边长相等、所有内角相等的n边形。
多边形内角和的计算方法
多边形内角和的计算方法
嘿，恁问多边形内角和咋算啊？那咱就好好唠唠。
多边形内角和嘞计算方法啊，其实有个小窍门。
咱先从三角形说起哈，三角形嘞内角和是一百八十度，这咱都知道。
那要是四边形嘞？咱可以把四边形分成两个三角形。
一个三角形内角和是一百八十度，那两个三角形内角和就是三百六十度，所以四边形嘞内角和就是三百六十度。
再看五边形，咱可以把五边形分成三个三角形。
那三个三角形内角和就是五百四十度，所以五边形嘞内角和就是五百四十度。
这么一琢磨啊，咱就发现规律咧。
多边形嘞内角和嘞计算方法就是：（边数减二）乘以一百八十度。
为啥是边数减二嘞？因为咱可以把多边形分成（边数减二）个三角形，每个三角形内角和是一百八十度，这么一乘，就得到多边形嘞内角和咧。
比如说六边形，边数是六，那就是（6 减2）乘以一百八十度，等于七百二十度。
八边形嘞，就是（8 减2）乘以一百八十度，等于一千零八十度。
咱举个例子哈。
俺有个小外甥，上数学课学多边形内角和。
一开始他可糊涂咧，不知道咋算。
俺就给他讲了这个方法，他一下子就明白咧。
后来老师出了个题，让算十边形嘞内角和。
他就用（10 减2）乘以一百八十度，算出是一千四百四十度。
所以啊，多边形内角和嘞计算方法不难，只要掌握了这个规律，啥多边形嘞内角和都能算出来。
多边形的内角和与外角和的计算
多边形的内角和与外角和的计算多边形是指由多条线段组成的封闭图形，其中每条线段称为边，相邻的边之间的交点称为顶点。
在数学中，多边形是一个经典的几何概念，它具有许多独特的性质和特征。
在研究多边形时，我们经常涉及到内角和与外角和的计算。
内角是指多边形内部相邻两条边所夹的角，而外角是指一条边的延长线与相邻边所夹的角。
首先，我们来讨论多边形的内角和。
对于任意一个n边形（n≥3），我们可以通过以下公式计算其内角和：内角和 = (n - 2) × 180°这个公式的推导思路如下：将n边形划分为n-2个三角形，每个三角形的内角和为180°。
由于n边形可以被划分为n-2个三角形，因此多边形的内角和等于(n-2) × 180°。
举个例子，我们考虑一个三角形（3边形）。
根据上述公式，三角形的内角和为(3-2) × 180° = 180°。
这符合我们对三角形内角和的直观认识。
接下来，让我们转向多边形的外角和。
对于每个顶点而言，其外角与相邻的两条边构成一条直线，因此外角和等于360°（一个完整的圆）。
与内角和相对应，我们可以利用以下公式计算n边形的外角和：外角和 = n × 360°例如，考虑一个四边形（四边形）。
根据上述公式，四边形的外角和为4 × 360° = 1440°。
也就是说，四边形的外角和等于四个直角。
在实际应用中，我们经常需要计算多边形的内角和和外角和以解决一些几何问题。
例如，在测量地理形状或建筑设计中，了解多边形的内角和和外角和可以帮助我们更好地理解和分析这些形状。
总结起来，多边形的内角和和外角和的计算分别遵循如下公式：内角和 = (n - 2) × 180°外角和 = n × 360°通过计算多边形的内角和和外角和，我们可以更好地理解和评估多边形的特征，为问题的解决提供有效的数学工具。
多边形的内角和外角性质
多边形的内角和外角性质多边形是由若干条线段依次连接而成的图形，它具有许多有趣的性质。
其中，关于多边形的内角和外角性质是我们探讨的重点。
在本文中，我们将会详细介绍多边形内角和外角的定义、计算方法以及它们之间的关系。
一、多边形的内角性质多边形的内角是指多边形内部两条相邻边所形成的角。
对于n边形(n≥3)，它的内角和公式为：(n-2) × 180°。
举例来说，三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，以此类推。
在多边形的内角性质中，有一个重要的定理是内角和定理。
该定理表明，任意n边形的内角和等于(n-2) × 180°。
通过这个定理，我们可以推导出各种多边形的内角和。
二、多边形的外角性质多边形的外角是指多边形内部的一条边与其相邻边的延长线所形成的角。
与内角不同，多边形的外角是通过延长边而得到的。
多边形的外角性质有一个重要的定理是外角和定理。
该定理表明，任意n边形的外角和等于360°，即多边形外角的总和始终等于一个圆周角。
三、内角和与外角和的关系多边形的内角和与外角和之间存在着紧密的联系。
我们可以通过比较发现，对于任意一个n边形，其内角和与外角和之间存在以下关系：内角和 + 外角和 = n × 180°这个关系式可以通过多边形的特殊情况来验证。
例如，对于三角形而言，内角和为180°，外角和也是180°，符合上述的关系式。
四、常见多边形的内角和与外角和计算在实际应用中，常见的多边形包括三角形、四边形、五边形和六边形。
对于这些多边形，它们的内角和和外角和计算如下：1. 三角形：内角和为180°，外角和也为180°。
2. 四边形：内角和为360°，外角和为360°。
3. 五边形：内角和为540°，外角和为360°。
多边形边数和内角和的关系
多边形边数和内角和的关系
多边形边数和内角和的关系：
1、三角形：三条边和三个内角的和为180°。
2、正方形：四条边和四个内角的和为360°。
3、正多边形：n条边和(n-2)个内角的和为180°(n-2) 。
4、任意多边形：多边形边数和内角和满足了巴罗定理：任意多边形有n条边，有(n-2)个内角，它们的和等于(n-2)×180°。
从上面可以看出，不管是三角形、正方形还是正多边形，任意多边形都有一个共同的特点，就是多边形边数和内角和之间都有着密切的联系。
巴罗定理可以简化为：多边形内角和等于除外的边的数乘以180度，它能够应用于多角形的推理和证明运算。
再来看看举个例子，如果一个四边形有4条边，那么它有2个内角，由巴罗定理可知，四边形的内角和为2×180°，即360°。
可见多边形边数和内角和之间的联系非常的重要，并且能够被准确的表达出来，使计算的结果能够获得准确的结果。
总结：
1、三角形：三条边和三个内角的和为180°。
2、正方形：四条边和四个内角的和为360°。
3、正多边形：n条边和(n-2)个内角的和为180°(n-2) 。
4、任意多边形：多边形边数和内角和满足了巴罗定理：任意多边形有n条边，有(n-2)个内角，它们的和等于(n-2)×180°。
从以上可以看出，不论是三角形、正方形、正多边形，还是任意多边形，都存在着多边形边数和内角和之间的紧密联系，巴罗定理可以准确的表达出它们之间的关系，为多角形的计算和推理提供强有力的依据。
多边形的内角和是多少度
多边形的内角和是多少度
多边形的内角和＝（n-2)×180°，其中n表示多边形的边数。
任意正多边形的外角和＝360°正多边形任意两条相邻边连线所构成的三角形是等腰三角形。
多边形内角和定理证明：
在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形。
因为这n个三角形的内角的和等于n×180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°。
所以n边形的内角和是n×180°-2×180°=
（n-2）·180°。
即n边形的内角和等于（n-2）×180°。
内角间接：
内角，数学术语，多边形zhi相邻的两边组成的角叫dao 做多边形的内角。
在数学中，三角形内角和为180°，四边形（多边形）内角和为360°。
以此类推，加回一条边，内角和就加180°。
内角和公式为：（n －2）×180°正多边形各内角度数为：（n－2）×180°÷n
例如三角形内角和就是一个△内部的三个角的和，一个内角就是其中任意一个角。
1。
多边形及其内角和知识点总结
多边形及其内角和知识点总结一、知识点1、多边形的定义：由在同一平面内，不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2、多边形的分类：根据边数的不同，可以将多边形分为三角形、四边形、五边形、六边形等等。
3、多边形的内角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点相连所形成的角称为该多边形的内角。
4、多边形的内角和公式：n边形的内角和为(n-2)×180°，其中n为多边形的边数。
5、多边形的外角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点之间的夹角称为该多边形的外角。
6、多边形的外角和公式：多边形的外角和为360°，与多边形的边数无关。
7、勾股定理：在直角三角形中，勾股定理指出两个直角边的平方和等于斜边的平方。
二、重难点精析1、多边形的定义和分类是基础知识，需要理解并掌握不同类型多边形的特点。
2、多边形的内角和公式是重点，需要牢记并能够熟练运用该公式进行计算。
同时，也需要理解该公式的推导过程。
3、多边形的外角和公式是重点，需要理解并掌握该公式的应用。
同时，也需要掌握通过多边形的内角和公式和外角和公式之间的联系，进行计算和推导。
4、勾股定理是重点，需要理解并掌握其应用，特别是在解决与直角三角形相关的问题时。
5、对于一些复杂的多边形问题，需要掌握分解和组合的思想，将复杂的多边形分解为简单的三角形或四边形，从而解决问题。
6、在解决与角度制相关的问题时，需要注意角度制的计算方法和单位转换。
7、在解决与对称性相关的问题时，需要结合多边形的定义和性质进行思考和分析。
总之，对于八年级数学中的多边形及其内角和知识点，学生需要牢固掌握基础知识，理解公式的推导过程，熟练运用公式进行计算和推导，同时还需要灵活运用各种解题技巧和方法，才能够真正掌握该部分知识点的核心内容。
多边形的内角和及外角和
DB OC A ② C O A BD ③ 多边形的内角和及外角和知识体系：1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段；首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，在多边形中，组成多边形的各条线段叫做多边形的边，每相邻两条边的公共点叫做多边形的顶点，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和：n 边形的内角和=(n －2)180°．3．正多边形：在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形．4．多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角．在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做多边形的外角和，多边形的外角和都等于360°．5．过n 边形的一个顶点共有(n －3）条对角线，n 边形共有(3)2n n 条对角线． 6．过n 边形的一个顶点将n 边形分成(n －2)个三角形．题型体系：例1.正n 边形的内角和等于1080°，那么这个正n 边形的边数n=______解：8 点拨：主要考查n 边形的内角和公式．例2.四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论.问题的提出：四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形，其中相对的两对三角形的面积之积有何关系？你能探索出结论吗？（1）为了更直观的发现问题，我们不 妨先在特殊的四边形――平行四边形中，研究这个问题：已知：在平行四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图①）；求证：S △OBC ·S △OAD =S △OAE ·S △OCD .（2）有了（1）中的探索过程作参照，你一定能类比出在一般四边形（如图②）中，解决问题的办法了吧！填写结论并写出证明过程。
已知：在四边形ABCD 中，O 是对角线BD 上任意一点（如图②）求证：_________________。
等边多边形的内角和公式
等边多边形的内角和公式
等边多边形是指所有边长度相等的多边形。
内角和公式可以通
过以下方式来计算：
首先，我们知道一个多边形的内角和公式为，(n-2) 180°，
其中n代表多边形的边数。
对于等边多边形来说，每个内角的大小可以通过以下公式计算，内角度数 = (n-2) 180° / n，其中n代表多边形的边数。
举个例子，对于一个正三角形（也就是边长相等的三角形），
它有3条边，根据公式，每个内角的度数为，(3-2) 180° / 3 = 60°。
同样地，对于正方形（四边形），每个内角的度数为，(4-2) 180° / 4 = 90°。
因此，对于任意等边多边形来说，可以使用上述公式来计算内
角的度数。
这些公式可以帮助我们快速计算出等边多边形内角和的
大小，而不需要逐个角度进行计算。
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多边形内角和多边形内角和定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于：（n － 2）×180°则正多边形各内角度数为：（n － 2）×180°÷n已知正多边形内角度数则其边数为：360÷（180－内角度数）推论任意多边形的外角和=360正多边形任意两个相邻角的连线所构成的三角形是等腰三角形多边形的内角和教学目标1．理解多边形及有关概念，掌握多边形内角和定理及推论，理解其推导过程，并能较熟练地使用它们进行有关计算。
2．在多边形内角和定理的推导过程中，培养学生类比、转化、归纳的科学思想方法；在定理及推论的应用过程中培养建立方程的思想。
教学重点和难点重点是多边形内角和定理及推论的应用。
难点是多边形内角和定理的推导及运用方程的思想来解决多边形内、外角的计算。
教学过程设计一、多边形及有关要领的教学1．复习四边形、凸多边形及有关概念。
F2．通过实例引入多边形、凸多边形及明关概念。
A（1）举出生活中多边形的实例；（2）类比定义多边形式、凸多边形的概念，并指出如果 B E没有特别说明，多边形一般指凸多边形；（2）将四边形的有关概念逐项扩展到多边形情况，如顶 C D点、边、内角、对角线表示方法等；图 4-10（4）简单练习，巩固多边形的表示方法及有关元素的辨认。
（投影）练习1 填空：如图4-10，此多边形应记作边形，AB边的邻边有、，顶点F处的内角为，画出顶点D处的两个外角，过顶点A画出这个多边形的对角线，共有条，它们把多边形分在了个三角形，这个多边形共有条对角线。
二、探索凸多边形的内角和的性质并进行推导1．提出问题。
由三角形内角和为180°，四边形内角和为360° ，猜想多边形的内角和度数与边数有关。
具体是什么关系？2．启发学生猜想证明的思路。
（1）复习四边形内角和定理的证明过程，强调把四边形分割成三角形，从而“把四边形内角和转化为三角形内角和来研究”这种化归的思想。
（2）引导学生类比联想，用化归的思想和从特殊到一般的方法研究五边形、六边形、七边形……的情况。
①教师应帮助学生分析出解决问题的关键是多边形分割转化成有公共顶点的三角形的方法，以及割成三角形的个数与多边数的关系；②引导学生认识分割方法的多样性（见设计说明），选择其中较为简单并顺庆大部分学生认识过程的分割方法，推导五边形、六边形……的情况，归纳出n边形内角和的结论。
3．得到定理：n这形的内角和等于（n-2）?180°。
说明：（1）多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；（2）强调凸多边形的内角a的范围：0°＜α＜180°。
三、凸多边形外角和性质的猜想和推导1．复习多边形外角和的含义及三角形、四边形外角和的性质，猜想凸多边形的外角和的结论。
2．以六边形为例，推导外角和性质。
3．将推导方法推广到一般情况，得出结论：任意多边形的外角和等于360°。
4．教师强调“任意”两字，说明书凸多边形的外角和与边数无磁，因此，比内角和定理使用起来更为方便。
四、应用举例、变式练习例1（1）22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？（1）几边形的内角和是八边形内角和的2倍？（4）已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求边数。
分析：①引导学生利用方程的思想，根据多边形的内角和、外角和的性质及题目中提供的等量关系得出关于未知数的方程去求解；②对于利用多边形内角和公式反求国数的题目，需注意：只有求出的边数n是大于2的正整数时，问题才有解；③灵活运用“多边形的我角和与边数无关的性质”简化计算。
例2 （1）已知多边形的每个内角都是135°，求这个多边形的边数；（2）每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数。
分析：①每个内角或外角都相等的多边形，它的每个内角为（n-2）?180°/n，从而利用360°/n，利用这两点就可以列出关于边数n的方程，其中第二种方法较为简单。
②对于第（1）题，可将“每个角都是135°”转达化为“每个外角都为45°”，从而利用360°/n=45°，得出n的值为8。
③若设边数为n，则方程为（n-2）?180°/n=9×360°/n得出n=20。
（选用）例3 （1）某多边形除一个内角a外，其余内角的和是2 750°。
求这个多边形的边数。
（2）已知n边形恰有四个内角是钝角。
这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？分析：利用多边形每个内角a的范围，0°＜α＜180°，以及题目所提供的角度关系列不等式解决问题。
解：（1）由题意得（n-2）?180°=α+2 750°，∴α=（n-2）?180°-2 750°。
又∵0°＜α＜180°，∴0°＜（n-2）?180°-2 750°＜180°，∴17 5/18＜n＜18 5/18。
因此这个多边形为18边形。
（2）设四个钝角分别为α，β，γ，δ。
则∵360°＜α+β+γ+δ＜720°。
而另外n-4个内角都是直角或锐角，∴（n-4）×0°＜其余（n-4）个内角的和≤（n-4）×90°，∴360°＜（n-2）?180°＜720°+（n-4）×90°，即360°＜（n-2）?180°＜720°+（n-4）×90°，∴4＜n＜8。
∵4＜n＜8的整数n有5，6，7三个，∴这样的多边形共有三个，其边数最小的是五边形，边数最多的七边形。
补充练习：1．几边形的内角和与外角和之比是7∶2？（答：9）2．已知一个多边形的每个内角都是钝角，这样的多边形有多少个？每个内角都是锐角的多边形有多少个？是几边形？每个内角都是直角的多边形有几个？是几边形？（答：无数个；一个，三角形；一个，四边形）3．多边形最多有几个外角是钝角？最多有几个内角是锐角？（答：3个；3个）多边形的内角和[教学目标]1、认知目标：理解多边形有关概念；理解多边形内角和公式的推导过程；掌握多边形内角和的计算。
2、能力目标：掌握类比归纳、转化的学习方法；培养学生思考、解决问题的能力。
[教具、学具]投影片、表格纸、n边形若干（分组每人准备一种三张，n=4，5，6，7）量角器、剪刀[教学过程]教学步骤教师活动学生活动设计意图一、多边形概念1、了解概念⑴请同学们回忆一下怎样的图形是三角形？⑵那么怎样的图形叫做四边形？⑶出示分别叫什么？⑷四边形、五边形、六边形都是多边形，同学们再想一想，你能举出多边形的例子吗？悄悄说，后个别回答⑵同学举手指名答⑶齐答⑷两两互说学生利用三角形、四边形的定义进行知识迁移，获得多边形的概念。
2、理解概念的特征⑴投影显示多边形，n边形的概念，老师强调一遍。
⑵投影显示：下列哪些图形是多边形？是多边形的请说明是几边形？⑶下面进一步学习一些概念：多边形的对角线，在（b）（c）上画出并口述概念，同学们请在准备的一张图形上画出至少一条对角线。
⑷观察（b）（c）对角线位置有何不同？⑸进而提出凸多边形概念，今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形。
⑵齐答个别答⑶先独立画后同桌交流⑷四人组讨论一分钟，组长回答利用图示帮助学生理解概念及对n的认识，通过比较辨析强化凸多边形的特征。
二、公式推导1、提出问题⑴我们知道三角形内角和是多少？⑵那么四边形、五边形、常见的六边形螺帽的内角和是多少呢？多边形的内角和有没有计算方法呢？这就是我们这节课研究的课题。
板书课题：多边形的内角和⑴齐答⑵引发学生思考创设情景，激发学生兴趣，并揭示课题。
2、动手操作实践，自己探索⑴请同学们利用数学工具，先把你们手上的多边形的内角和计算出来，并完成表格（同桌多边形边数不一样）老师巡视、指导可能有的方法：⑴用量角器量角⑵用剪刀剪成三角形或四边形⑶画对角线分割多边形为三角形逐步启发得到最佳方法：通过对角线划分成三角形，转化为利用三角形内角和求出。
⑴自己动手、动脑学生利用学具进行操作、思考、解决问题的多种方法，提供学生主动探索的时间、空间。
3、观察、寻找规律⑴请问同学们求出的内角和是多少？⑵你是用什么方法求出来的呢？有几种方法？哪种方法最好呢？⑶交流表格。
⑷四、五、六、七边形内角和之间有何规律？⑴对不同边数多边形分别请同学回答⑵举手请同学上讲台讲⑶交流⑷四人小组讨论，组长发言体现“有方法、方法多、方法好”的教学层次，通过填表便于学生寻找规律，发现内在联系，进一步可做出猜想。
4、猜想那么对于n边形猜想一下内角和计算公式是什么？（老师参与讨论）小组之间讨论，组长发言鼓励学生大胆猜想、大胆发现。
5、验证⑴就我们已求出的特殊多边形的内角和，通过公式再求一次是否相符⑵请同学们自己举一个例子验证一下对不对？有没有反例？⑴独立举例检验⑵两两交流6、小结归纳通过动手操作，我们找到了解决问题的几种方法，知道利用多边形的对角线将多边形划分成三角形转化为利用三角形内角和来求多边形内角和的方法最好。
又通过寻找规律，猜想发现多边形内角和计算方法，并加以验证，接着就可以从特殊到一般归纳出计算公式是什么？自己说通过类比归纳，完成从特殊到一般的认识、体现数学认识的一般过程。
7、巩固练习⑴求12边形的内角和度数⑵如果12边形的每一个内角相等，那么每个内角是多少度⑶已知多边形的内角和为1800°，这个多边形是几边形？老师巡视、指导。
集体做，三个学生上黑板做并请请其他同学讲评加深对公式的理解三、总结本节课我们学习了多边形的内角和公式，重点是它的推导过程，我们采取的方法是通过对角线划分，把多边形分成若干个三角形，利用熟悉的三角形内角和来做，从特殊的多边形归纳出n多边形的内角和公式是（n－2）·180°这种学习方法我们在今后的学习过程中要学用、会用。
学生和老师一起总结再次强调推导公式方法四、延伸，提高练习（时间不够放在课外）⑴投影：在n边形一边上任取一点P，连结点P与多边形的每一个顶点，查得几个三角形，图中取n=6的情形，你能否根据这样的划分多边形的方法来说明n边形的内角和等于（n－2）·180°（教师参与讨论）⑵想一想是否还有其它的划分方法？⑴全班交流、汇报⑵小组讨论、汇报掌握转化思想教学反思：如何营造良好的学习氛围，发挥学生的学习积极性与创造性？。