高三一模试题(数学理)
河南省开封市2023届高三一模考试 理科数学试题(后附参考答案)
理科数学 第 页 (共4页)开封市2023届高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一㊁选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A =x 12<2x<8,B =-1,0,1,2 ,则A ɘB =A .2B .-1,0C .0,1,2D .-1,0,1,22.设命题p :∀x ɪR ,e xȡx +1,则¬p 是A .∀x ɪR ,e xɤx +1B .∀x ɪR ,e x<x +1C .∃x ɪR ,e x ɤx +1D .∃x ɪR ,e x<x +13.若3+4iz 是纯虚数,则复数z 可以是A .-3+4iB .3-4iC .4+3i D.4-3i4.已知әA B C 中,D 为B C 边上一点,且B D =13B C ,则A D ң=A .13A C ң+23AB ңB .23AC ң+13A B ңC .14A C ң+34A B ңD .34A C ң+14A B ң5.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为A .3π6B .3π3C .3πD .π36.如图为甲㊁乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图,已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为A .4B .2C .3 D.27.已知x +y -3ɤ0,x -y +1ȡ0,x ȡ0,y ȡ0,则x +2y 的最大值为A .2B .3C .5 D.68.设f (x )是定义域为R 的偶函数,且在[0,+ɕ)上单调递减,则满足f (x )<f (x -2)的x 的取值范围是A .(-ɕ,-2)B .(-2,+ɕ)C .(-ɕ,1)D .(1,+ɕ)1理科数学 第 页 (共4页)9.已知数列a n 的前n 项和S n =2n +1-2,若p +q =5(p ,q ɪN *),则a p a q =A .8B .16C .32D .6410.已知点P (x ,y )到点F 1(-3,0)和点F 2(3,0)的距离之和为4,则x yA.有最大值1B .有最大值4C .有最小值1 D.有最小值-411.如图,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,点M ,N 分别是A 1D ,D 1B 的中点,则下述结论中正确的个数为①MN ʊ平面A B C D ;②平面A 1N D ʅ平面D 1M B ;③直线MN 与B 1D 1所成的角为45ʎ;④直线D 1B 与平面A 1N D 所成的角为45ʎ.A .1B .2C .3D .412.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x ),存在点x 0,使得f (x 0)=x 0,那么我们称该函数为 不动点 函数.若函数f (x )=x (a e x-l n x )为 不动点 函数,则实数a 的取值范围是A .(-ɕ,0]B .-ɕ,1eC .(-ɕ,1]D .(-ɕ,e ]二㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数f (x )=A s i n x -c o s x 的一个零点为π6,则f 5π12=.14.已知点A (1,0),B(2,2),C 为y 轴上一点,若øB A C =π4,则A B ң㊃A C ң=.15.3D 打印是快速成型技术的一种,它是一种以数字模型文件为基础,运用粉末状金属或塑料等可粘合材料,通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒,该塔筒是由离心率为5的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6c m ,下底直径为9c m ,高为9c m ,则喉部(最细处)的直径为c m.16.在数列a n 中,a 1=1,a n +2+(-1)n a n =2(n ɪN *).记S n 是数列a n的前n 项和,则S 4n =.三㊁解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)在әA B C 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a c o s B +C2=b s i n A ,2a =3b .(1)求c o s B 的值;(2)若a =3,求c .2理科数学 第 页 (共4页)18.(12分)甲㊁乙两人组成 星队 参加猜成语活动,每轮活动由甲㊁乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为23,乙每轮猜对的概率为p .在每轮活动中,甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.已知 星队 在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12.(1)求p 的值;(2)记 星队 在两轮活动中猜对成语的总数为X ,求X 的分布列与期望.19.(12分)如图,әA B C 是正三角形,在等腰梯形A B E F 中,A B ʊE F ,A F =E F =B E =12A B .平面A B C ʅ平面A B E F ,M ,N 分别是A F ,C E 的中点,C E =4.(1)证明:MN ʊ平面A B C ;(2)求二面角M -A B -N 的余弦值.20.(12分)已知函数f (x )=2s i n x -a x ,a ɪR .(1)若f (x )是R 上的单调递增函数,求实数a 的取值范围;(2)当a =1时,求g (x )=f (x )-l n (x +1)在0,π6上的最小值;(3)证明:s i n12+s i n 13+s i n 14+ +s i n 1n >l n n +12.3理科数学 第 页 (共4页)21.(12分)如图1所示是一种作图工具,在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ,N ,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|MN |=3,D 为旋杆上的一点且在M ,N 两点之间,且|N D |=λ|DM |.当滑标M 在滑槽E F 内做往复运动,滑标N 在滑槽G H 内随之运动时,将笔尖放置于D 处进行作图,当λ=1和λ=2时分别得到曲线C 1和C 2.如图2所示,设E F 与G H 交于点O ,以E F 所在的直线为x 轴,以G H 所在的直线为y 轴,建立平面直角坐标系.(1)求曲线C 1和C 2的方程;(2)已知直线l 与曲线C 1相切,且与曲线C 2交于A ,B 两点,记әO A B 的面积为S ,证明:S ɤ378.(二)选考题:共10分.请考生在22㊁23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为x =2pt y =2pt 2(t 为参数),(2,4)为曲线C 上一点的坐标.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程;(2)过点O 任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C 交于点A ,B ,以直线O A 的斜率k 为参数,求线段A B 的中点M 的轨迹的参数方程,并化为普通方程.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +a |+2|x -1|.(1)当a =1时,求f (x )的最小值;(2)若a >0,b >0时,对任意x ɪ[1,2]使得不等式f (x )>x 2-b +1恒成立,证明:a +122+b +122>2.4开封市2023届高三年级第一次模拟考试数学（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案C D D A B BCDCACB二、填空题（每小题5分，共20分）13.14.515.16.24+2n n三、解答题（共70分）17.（1）因为A B C π++=，所以222B C A π+=-，得cos sin 22B C A+=，……1分由正弦定理，可得sin sin sin sin 2A A B A ⋅=⋅，sin 0A ≠，所以sin sin 2AB =，……2分又因为,A B 均为三角形内角，所以2AB =，即2A B =，……3分又因为23a b =，即2sin 3sin A B =，即4sin cos 3sin B B B =，……4分sin 0B ≠，得3cos 4B =；……5分（2）若3a =，则2b =，由（1）知3cos 4B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得29502c c -+=，……7分即()5202c c ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以2c =或52，……9分当2c =时，b c =，则22A B C ==，即ABC ∆为等腰直角三角形，又因为a ≠，此时不满足题意，……11分所以52c =.……12分18.（1）“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为12，所以()2211+1=332p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得1=2p .……4分（2）设i A 表示事件“甲在两轮中猜对i 个成语”，i B 表示事件“乙在两轮中猜对i 个成语”()0,1,2i =，根据独立性假定，得()()()012111124224===2===339339339P A P A P A ⨯⨯⨯⨯，()()()012111===424P B P B P B ，，，……6分X 的可能取值为0,1,2,3,4，所以()()001110===9436P X P A B =⨯()()()0110114131=+=+=929418P X P A B P A B =⨯⨯()()()()021120114141132=++=++=94929436P X P A B P A B P A B =⨯⨯⨯，()()()1221414133=+=+=94929P X P A B P A B =⨯⨯，()()224114===949P X P A B =⨯X 的分布列如下表所示：X 01234P13631813363919……10分()1313311=0+1+2+3+4=2.361836993E X ⨯⨯⨯⨯⨯……12分19.（1）取CF 的中点D ，连接DM DN ，，M N ，分别是AF CE ，的中点，DM AC DN EF ∴∥，∥，又DM ABC AC ABC ⊄⊂ 平面，平面，.DM ABC ∴∥平面……2分又EF AB ∥，DN AB ∴∥，同理可得，DN ABC ∥平面.……3分=DM MND DN MND DM DN D ⊂⊂ 平面，平面，，.MND ABC ∴平面∥平面……5分.MN MND MN ABC ⊂∴ 平面，∥平面……6分（2）取AB 的中点O ，连接OC OE ，.由已知得=OA EF ∥，OAFE ∴是平行四边形，=OE AF ∴∥.ABC ∆ 是正三角形，OC AB ∴⊥，ABC ABEF ⊥ 平面平面，=ABC ABEF AB 平面平面，OC ABEF∴⊥平面，又OE ABEF ⊂平面，OC OE ∴⊥.……7分设1====2AF EF EB AB a ，OC ，在Rt COE ∆中，由222+=OC OE CE ，解得=2a ，即1====22AF EF EB AB (8)分取EF 的中点P ，连接OP，则OP AB ⊥，以O 为原点，OP OB OC ，，所在直线分别为x y z ，，轴，建立直角坐标系如图所示.则()()310,2,022A C E N -⎝，，，，()1=0,2,0=,22OA ON -⎝ ，，由已知易得，平面ABM 的一个法向量为(=OC，……9分设平面ABN 的法向量为()=,,x y z n ,则2=0=01=022y OA x y ON -⎧⎧⋅⎪⎨+⋅⎪⎪⎩⎩ ，，即，，n n 取2x =，则平面ABN 的一个法向量为()=2,0,1-n .……10分cos ,O OC OC C ⋅〈〉==∴n n n 分二面角--M AB N 为锐角，∴二面角--M AB N ……12分20.（1）由已知可得：0cos 2)(≥-='a x x f ，……1分即x a cos 2≤恒成立，则有]2,(--∞∈a .……3分（2）由已知可得：111cos 2)(+--='x x x g，令()=()h x g x '，21()2sin (1)h'x x x =-++在[0,6π上单调递减，……4分又因为，(0)h'0>，(6h'π0<，所以存在6,0(0π∈x 使得()0h'x =，……5分则有又有115(0)=0(1101631162g g ππ''=-->--->++，，所以在(0,6π上)(x g '0>，……7分则)(x g 在]6,0[π∈x 上单调递增，所以最小值为0)0(=g .……8分（3）由（2）可得x x x ++>)1ln(sin 2在(0,)6π上恒成立，令()()=ln +1x x x ϕ-，在(0,)6π上()=0+1x 'x x ϕ>，所以()x ϕ单调递增且(0)0ϕ=，所以ln(1)x x >+，)1ln(2sin 2+>x x ，从而当(0,)6x π∈时)1ln(sin +>x x ，……10分令n x 1,,41,31,21 =，得到23ln 21sin >，34ln 31sin >，45ln 41sin >，⋯，nn n 1ln 1sin +>，相加得：11111sin sin sin sin ln2342n n +++++> .……12分21.（1）由题意，=ND DM λ，设()()()00,,00,，，，D x y M x N y 所以()()00,=,=---，，ND x y y DM x x y ()()00,=,---，x y y x x y λ……1分由()()00==-⎧⎪⎨--⎪⎩，，x x x y y y λλ解得()()001+==1+⎧⎪⎨⎪⎩，，x x y y λλλ又因为2200+=9，x y 所以()()222221++1+=9，x y λλλ……3分将=1=2λλ和分别代入，得2219+=4：C x y ……4分222+=1.4x C y ：……5分（2）①直线l 斜率不存在时，3=2l x ±：，带入2C方程得ABS 分②直线l 斜率存在时，设=+l y kx m ：，l 与曲线1C()229+13=24k m ，即，……7分联立22+=14=+x y y kx m ⎧⎪⎨⎪⎩，，可得()2221+4+8+44=0k x kmx m -，x),0(0x )6,(0πx ()h'x 正负)(x g '递增递减()()222225=641614107k m k m k ∆-+->>由得，()2121222418==1414m km x x x x k k--+，，……8分1222=1+41+4AB x k k-，……10分()4224247+25=16+8+1k k AB k k -，因为()()422424247+2572487=016+8+14416+8+1k k k k k k k ----<，所以2AB <，8S <.……11分综合①②可证，S ……12分22.（1）消去参数t 可得：22x py =，将点()2,4带入可得12p =，……2分所以曲线C 的普通方程为：y x =2.……4分（2）由已知得：OB OA ,的斜率存在且不为0，设OA 的斜率为k ，方程为kx y =，则OB 的方程为：x ky 1-=，联立方程2y kx x y =⎧⎨=⎩，，可得：()2,k k A ，同理可得：211,B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，……6分设()y x M ,，所以22112112x k k y k k ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，，……8分所以=24x 222122-=-+y kk ，所以=22x 1-y 即为点M 轨迹的普通方程.……10分23.（1）当1a =时，()121-++=x x x f ，当()()()min 1,31,14;x f x x f x f ≤-=-+=-=当()()()11,3,2,4;x f x x f x -<<=-+∈当()()()min 1,31,12;x f x x f x f ≥=-==……2分∴当1a =时，()f x 的最小值为2.……4分（2）00a b >>，，当12x ≤≤时，221+1x a x x b ++-->可化为233a b x x +>-+……6分令()233h x x x =-+，[]1,2x ∈，()()max 11h x h ==，∴1a b +>，……8分∴()222221111222222a b a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥.……10分。
陕西省咸阳市2023届高三下学期一模理科数学试题(解析版)
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出抛物线C的焦点坐标及准线方程，再利用定义求解作答.
【详解】抛物线C： 的焦点 ，准线方程 ，
显然点A的横坐标为2，由抛物线定义得： ，所以 .
故选：B6.执行如图所来自的程序框图，若输入 ，则输出s＝（）
A. B. C. D.
【答案】A
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得 ，进而结合双曲线的性质和已知条件得 ， ， ，再根据 ， ， 得 ，进而根据离心率公式求解即可.
【详解】解：如图，设直线 为双曲线 的两条渐近线，
则直线 的方程分别为 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，直线 的方程分别为 ，即 ，
所以 到直线 的距离为 ，
所以， 的实数解有 个，
所以，函数 零点的个数是 个.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17.已知数列 的前n项之积为 ．
（1）求数列 的通项公式；
A.11.1米B.10.1米C.11.11米D.11米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列通项及前n项和公式计算作答.
【详解】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列 ， ，公比 ， ，
所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行的距离 .
故选：C
5.设F为抛物线C： 的焦点，点A在C上，且A到C焦点的距离为3，到y轴的距离为2，则p＝（）
【小问1详解】
陕西省西安高三一模考试数学(理)试题及答案
陕西省西安高三一模考试数学试题 数学理科一．选择题：（5’×10）1. 函数 y=log 2(x 2＋2x －3)的单调递减区间为 （ ） A ．（－∞，－3） B ．（－∞，－1） C ．(1，+∞) D ．(－3，－1)2. 已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M =⋂N ( ) A.{}1->x xB.{}1<x xC.{}11<<-x x D.φ3. 设集合A={}1),(=+y x y x ，B={}3),(=-y x y x ，则满足B A M ⋂⊆的集合M 的个数是( )A.0B.1C.2D.34.已知命题:p “[]0,1,xx a e ∀∈≥”，命题:q “2,40x R x x a ∃∈++=”，若命题“p q ∧” 是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．[,4]eB ．[1,4]C ．(4,)+∞D ．(,1]-∞ 5．函数1()lg f x x x=-的零点所在的区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,10 6. 函数1()4x f x a -=+（a>0，且a ≠1）的图像过一个定点，则这个定点坐标是（ ）A ．（5，1）B ．（1，5）C ．（1，4）D ．（4，1）7 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)--8. 定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f (x )为增函数，偶函数g (x )在区间［0，+∞)的图象与f (x )的图象重合，设a >b >0,给出下列不等式：①f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )<g (a )－g (－b )③f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )<g (b )－g (－a )其中成立的是( )A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④9. 函数x x x xe e y e e--+=-的图像大致为( ).10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，都有(1)(3)f x f x -=+,当[4,6]x ∈时，()21x f x =+，设函数()f x 在区间[2,0]-上的反函数为1()f x -，则1(19)f -的值为（ ）A ．2log 3-B ．22log 3-C ．212log 3-D ．232log 3-二．填空题：（5’×5）11．已知函数ax x f -=3)(在区间(0,1)上是减函数，则实数a 的取值范围是 .12．设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是13．设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =14．设函数()x f y =的定义域为R ，若对于给定的正数k, 定义函数()k f x =k,()k,(),()k,f x f x f x ≤⎧⎨>⎩则当函数()1,k 1f x x ==时，定积分()21k 4f x dx ⎰的值为15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A ．（不等式选做题）不等式x 323x +--≥的解集为 B. (几何证明选做题)如图，已知Rt △ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为3cm,4cm ，以AC 为直径的圆 与AB 交于点D ，则BDDA= C.(坐标系与参数方程选做题)已知圆C 的参数方程 为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线a 的极坐标方程为sin 1ρθ=，则直线a 与圆C 的交点的直角坐标系为_______三．解答题：（12’×4+13’+14’）16.已知集合{}{}(2)(1)0,(1)()0,.A x x x B x ax x a A B a =++≤=-+>⊆,且求的范围17.（12分）.已知函数11()()212x f x x =+- (1)求函数的定义域; (2)判断函数)(x f 的奇偶性; (3)求证:)(x f ﹥0.18. 若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，求a 的值 19．（本小题满分10分）设二次函数2()(0)f x ax bx a =+≠满足条件：①()(2)f x f x =--；②函数()f x 的图像与直线y x =相切．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若不等式2()1txf x ππ-⎛⎫> ⎪⎝⎭在2t ≤时恒成立，求实数x 的取值范围．20.已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足1()n n S a n N +=-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n n a ⋅的前n 项和n T .21．已知函数f (x )＝x ＋a 2x ，g (x )＝x ＋ln x ，其中a ＞0.(1) 若x ＝1是函数h (x )＝f (x )＋g (x )的极值点，求实数a 的值；(2) 若对任意的x 1，x 2∈[1，e](e 为自然对数的底数)都有f (x 1)≥g (x 2)成立， 求实数a 的取值范围．.理科数学参考答案一、选择题(每小题5分，满分50分)1-5 ACCAC 6-10 BCCAD二、填空题(每小题5，满分25分)11 (0,3]. 12[]0+∞，13．1006 14.12ln 2+ 15.（1）{}1x x ≥（2） 169(3) (-1,1).(1,1)三、解答题16.已知集合{}{}(2)(1)0,(1)()0,.A x x x B x ax x a A B a =++≤=-+>⊆,且求的范围.解析:{}12-≤≤-=x x A①0=a时，{}0<=x x B 满足B A ⊆;②0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>=a x a x x B 或1 ， ∵B A ⊆ ， ∴⎩⎨⎧>->-01a a 10<<⇒a③0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<=a x a x B 1， ∵B A ⊆ ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->--<0121a a a 021<<-⇒a综合①②③可知:a 的取值范围是:⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-121a a解： (1){}R x x x x∈≠∴≠-,0,012定义域为(2)设0≠∈x R x 且11(2+1)()()=212221x x xx f x x =+--（）(21)(12)(21)()()2(21)2(12)2(21)x x x x x xx x x f x f x ---+-++-====--- ()f x ∴为偶函数(3)当x ＜0时，0 ＜x2＜1，∴-1＜12-x＜021121+-∴x ＜21-又x ＜0,则11()()212x f x x =+-＞0由)(x f 为偶函数知，当x ＞0时，)(x f ＞0综上可知当)(0x f x R x 时，且≠∈＞018.解：设过(1,0)的直线与3y x =相切于点300(,)x x ，所以切线方程为320003()y x x x x -=-即230032y x x x =-，又(1,0)在切线上，则00x =或032x =-， 当00x =时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得2564a =-， 当032x =-时，由272744y x =-与21594y ax x =+-相切可得1a =-19．解：（Ⅰ）由①可知，二次函数2()(0)f x ax bx a =+≠图像对称轴方程是1x =-，2b a ∴=；又因为函数()f x 的图像与直线y x =相切，所以方程组2y ax bxy x⎧=+⎨=⎩有且只有一解，即方程2(1)0ax b x +-=有两个相等的实根，11,2b a ∴== 所以，函数()f x 的解析式是21()2f x x x =+． （Ⅱ）1π> ，2()1txf x ππ-⎛⎫∴> ⎪⎝⎭等价于()2f x tx >-，即不等式2122x x tx +>-在2t ≤时恒成立，…………6分 问题等价于一次函数21()(2)02g t xt x x =-++<在2t ≤时恒成立，(2)0,(2)0.g g <⎧∴⎨-<⎩即22240,640.x x x x ⎧-+>⎪⎨++>⎪⎩解得：3x <-3x >-+故所求实数x 的取值范围是(,3(3)-∞--++∞ ．20：(2)由题意得：211112222n n T n =⨯+⨯++⨯ ……………①2311111112(1)22222n n n T n n +∴=⨯+⨯++-⨯+⨯ …………② ①-②得：211111122222n n n T n +=+++-⋅1111(1)111221122212n n n n n n ++⨯-=-⋅=--⋅- 1222222n n n nn n T ++--∴=-=. 解 (1)∵h (x )＝2x ＋a 2x ＋ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴h ′(x )＝2－a 2x 2＋1x ，∵x ＝1是函数h (x )的极值点， ∴h ′(1)＝0，即3－a 2＝0. ∵a ＞0，∴a ＝ 3.经检验当a ＝3时，x ＝1是函数h (x )的极值点，∴a ＝ 3.(2)对任意的x 1，x 2∈[1，e]都有f (x 1)≥g (x 2)成立等价于对任意的x 1，x 2∈[1，e]， 都有f (x )min ≥g (x )max .当x ∈[1，e]时，g ′(x )＝1＋1x ＞0.∴函数g (x )＝x ＋ln x 在[1，e]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (e)＝e ＋1.∵f ′(x )＝1－a 2x 2＝(x ＋a )(x －a )x 2，且x ∈[1，e]，a ＞0.①当0＜a ＜1且x ∈[1，e]时， f ′(x )＝(x ＋a )(x －a )x 2＞0，∴函数f (x )＝x ＋a 2x 在[1，e]上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋a 2. 由1＋a 2≥e ＋1，得a ≥e ， 又0＜a ＜1，∴a 不合题意． ②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ≤a ，则f ′(x )＝(x ＋a )(x －a )x 2＜0，若a ＜x ≤e ，则f ′(x )＝(x ＋a )(x －a )x 2＞0.∴函数f (x )＝x ＋a 2x 在[1，a )上是减函数，在(a ，e]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (a )＝2a . 由2a ≥e ＋1，得a ≥e ＋12.又1≤a ≤e ，∴e ＋12≤a ≤e.③当a ＞e 且x ∈[1，e]时 f ′(x )＝(x ＋a )(x －a )x 2＜0，函数f (x )＝x ＋a 2x 在[1，e]上是减函数．∴f (x )min ＝f (e)＝e ＋a 2e .由e ＋a 2e ≥e ＋1，得a ≥e ，又a ＞e ，∴a ＞e.综上所述，a 的取值范围为[e ＋12，＋∞)．。
四川省绵阳市2024届高三一模数学(理)试题含解析
2021级高三一诊模拟考试数学（理）试题（三）（答案在最后）一、单选题1.已知集合{}21,Z A x x k k ==-∈，{}41,Z B x x k k ==+∈，则（）A.A B A =B.A B B ⋃=C.()R B A ⋂=∅ðD.()R A B ⋂=∅ð【答案】C 【解析】【分析】通过推理得到B 是A 的真子集，从而根据交集，并集和补集的概念进行计算，对四个选项一一进行判断正误.【详解】{}{}{}21,Z 41,Z 41,Z A x x k k x x k k x x k k ==-∈==+∈⋃=-∈，故B 是A 的真子集，故A B B = ，A B A ⋃=，()R B A ⋂=∅ð，(){}41,Z R A B x x k k ⋂==-∈≠∅ð，故A ，B ，D 均错误，C 正确.故选：C.2.已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是（）A.ab >acB.c (b －a )<0C.cb 2<ab 2D.ac (a －c )>0【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，求得,c a 的正负，再结合b c >，则问题得解.【详解】由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0.由b >c ，得ab >ac 一定成立，即A 正确；因为0,0c b a <-<，故()0c b a ->，故B 错误；若0b =时，显然不满足22cb ab <，故C 错误；因为0,0ac a c -，故()0ac a c -<，故D 错误.故选：A .【点睛】本题考查不等式的基本性质，属简单题.3.若等比数列{}n a 满足232a a +=，246a a -=，6a =（）．A.32-B.8- C.8D.64【答案】A 【解析】【分析】根据条件先求出数列的首项和公比，即可求出.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，2231132411+26a a a q a q a a a q a q ⎧+==⎨-=-=⎩，解得2q =-，11a =，()55611232a a q ∴==⨯-=-.故选：A.4.下列命题正确的是（）A.命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题B.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题C.若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，则0x 为函数()f x 的极值点；D.命题“0x ∃∈R ，使得20010x x ++<”的否定是：“x ∀∈R ，均有210x x ++<”【答案】B 【解析】【分析】根据复合命题的真假判断A ，根据四种命题的关系判断B ，根据极值的定义判断C ，根据命题的否定判断D ．【详解】对于A ：命题“p q ∧”为假命题，则命题p 与命题q 至少有一个假命题，故A 错误；对于B ：命题“若x y =，则sin sin x y =”显然为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，故B 正确；对于C ：若0x 使得函数()f x 的导函数()00f x '=，如果两侧的导函数的符号相反，则0x 为函数()f x 的极值点；否则，0x 不是函数()f x 的极值点，故C 错误；对于D ：命题“存在0R x ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是：“对任意R x ∀∈，均有210x x ++≥”．故D错误.故选：B ．5.设0.70.362,log 4,4a b c ===，则（）A.c a b >>B.a c b>> C.b c a>> D.b a c>>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质计算可得；【详解】解：因为()0.30.320.6422==，00.60.71212222=<<<=，所以1a c >>因为66610log log 4g 1lo 6=<<=所以01b <<，所以ac b >>．故选：B6.若向量a ，b 满足2a = ，()26a b a +⋅=，则b 在a 方向上的投影为（）A.1 B.12C.12-D.－1【答案】B 【解析】【分析】先利用向量数量积的运算求得a b ⋅ ，再利用投影的定义求解即可.【详解】因为2a = ，()26a b a +⋅=，所以226a b a +⋅= ，即2622a b +⋅= ，则1a b ⋅= ，故b 在a 方向上的投影1cos ,2a b b a b a ⋅==.故选：B .7.函数()()100ln 0e exxx f x x -=≠-的大致图象是（）A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值验证即可【详解】因为()100ln 100ln ()e ee exxxxx x f x f x ---==-=---，所以()f x 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，所以排除CD ，因为(1)0f =，1111eeee1100ln 1100e0e e ee ef ---⎛⎫==< ⎪⎝⎭--，所以排除B ，故选：A8.已知角α的终边落在直线2y x =-上，则22cos2sin23sin ααα++的值为（）A.25-B.25C.±2D.45【答案】B 【解析】【分析】根据角α终边的位置得到tan 2α=-，然后将22cos 2sin 23sin ααα++转化为2222tan tan 1tan ααα+++再代入求值即可.【详解】角α的终边落在直线2y x =-上，所以tan 2α=-，2222222cos 2sin 2sin cos 3sin 2cos 2sin 23sin cos cos αααααααααα-++++=+22222cos 2sin cos sin cos sin αααααα++=+2222tan tan 1tan ααα++=+24414-+=+25=.故选：B.9.函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A .向左平移6π个单位长度B.向左平移12π个单位长度C.向右平移6π个单位长度D.向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象得到()f x 、()g x 的解析式，然后利用图象平移的结论进行图象平移即可.【详解】根据图象可得2A =，周期T π=，因为2T πω=，所以2ω=，()()2sin 2f x x ϕ=+，将,23π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 可得()2222sin 2332k k πππϕϕπ⎛⎫=+⇒+=+∈ ⎪⎝⎭Z ，解得()26k k πϕπ=-+∈Z ，因为0πϕ-<<，所以6πϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2sin 2g x x =，因为()2sin 212f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 向左平移12π个单位长度即可得到()g x 的图象.故选：B.10.过点()3,0作曲线()e xf x x =的两条切线，切点分别为()()11,x f x ，()()22,x f x ，则12x x +=（）A.3-B.C.D.3【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，设切点坐标为()000,ex x x ，即可得到切线方程，依题意关于0x 的方程200330x x -++=有两个不同的解1x 、2x ，利用韦达定理计算可得.【详解】因为()e x f x x =，所以()()1e xf x x '=+，设切点坐标为()000,e x x x ，所以()()0001e xf x x '=+，所以切线方程为()()00000e1e x x y x x x x -=+-，所以()()00000e1e 3x x x x x -=+-，即()02033e 0x x x -++=，依题意关于0x 的方程()20033e0x x x -++=有两个不同的解1x 、2x ，即关于0x 的方程200330x x -++=有两个不同的解1x 、2x ，所以123x x +=.故选：D11.已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，则实数m 的取值范围是（）A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.11,22⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题设可得()sin(26f x x π=+，将问题转化为在132[,)666t x πππ=+∈上sin y t =与y m =有两个交点且交点横坐标之差2||3a b t t π->，应用数形结合确定m 的取值范围.【详解】由题设，2T ππω==，则2ω=，即()sin(2)6f x x π=+，又()f x m =在[0,)π上有两个实根a ，b ，且||3a b π->，[0,)π上，132[,)666t x πππ=+∈，则sin y t =的图象如下：∴要使||3a b π->，则对应2||2||3a b t t a b π-=->，∴当1122m -<<时，()f x m =有两个交点且||3a b π->.故选：D12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-.若函数()()sin F x f x x π=-在区间[]1,m -上有10个零点，则实数m 的取值范围是（）A.[)3.5,4 B.(]3.5,4 C.(]5,5.5 D.[)5,5.5【答案】A 【解析】【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f =，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g =求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤<.故选：A【点睛】思路点睛：函数的零点问题，往往可以转化为常见函数的交点的个数问题，而图象的刻画需结合函数的奇偶性、周期性等来处理.二、填空题13.若x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则23z x y =-的最小值为______．【答案】5-【解析】【分析】先作出可行域，将目标函数23z x y =-化为2133y x z =-，要求z 的最小值，则需求直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值，由图可得答案.【详解】由x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩作出可行域,如图由2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得()1,1A -由210x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭由2100x y x y ++=⎧⎨-=⎩，解得11,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭将目标函数23z x y =-化为2133y x z =-，则z 表示直线2133y x z =-在y 轴上的截距的13-倍.要求z 的最小值，则需求直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值.由图可知，当目标函数过点()1,1A -时，直线2133y x z =-在y 轴上的截距的最大值.此时z 的最小值为()21315z =⨯--⨯=-故答案为：5-14.当7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数23sin 2cos y x x =--的值域为________．【答案】728⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求得1sin [,1]2x ∈-，化简2172(sin )48y x =-+，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】因为7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得1sin [,1]2x ∈-，又由222173sin 2cos 3sin 2(1sin )2(sin 48y x x x x x =--=---=-+，当1sin 4x =，取得最小值min 78y =；当1sin 2x =-或sin 1x =，取得最大值min 2y =，即函数的值域为728⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故答案为：728⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和正弦函数的性质，以及二次函数的图象与性质是解答的关键，属于基础题.15.已知函数()()2e ,1lg 2,1x x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，则不等式()11f x +<的解集为______．【答案】()0,7【解析】【分析】分别在11x +≤和11x +>的情况下，结合指数和对数函数单调性可解不等式求得结果.【详解】当11x +≤，即0x ≤时，()()2111e e 1x x f x -+-+==<，10x ∴-<，解得：1x >（舍）；当11x +>，即0x >时，()()1lg 31f x x +=+<，0310x ∴<+<，解得：37x -<<，07x ∴<<；综上所述：不等式()11f x +<的解集为()0,7.故答案为：()0,7.16.数列{}n a 的前n 项和为n S ，23nn n a S +=，数列{}n b 满足()()211332n bn n a a n N *++=-∈，则数列{}n b 的前10项和为______．【答案】65【解析】【分析】由,n n a S 的递推式可得121323n n n a a +++-=⨯，结合已知条件有1n b n =+，即可求数列{}n b 的前10项和.【详解】由23nn n a S +=知：11123n n n a S ++++=，则1112233n n n n n n a S a S ++++--=-，得1323nn n a a +-=⨯，∴121323n n n a a +++-=⨯，而()()211332n bn n a a n N *++=-∈，∴1n b n =+，故数列{}n b 的前10项和为1010(211)652T ⨯+==，故答案为：65.【点睛】关键点点睛：,n n a S 递推式的应用求条件等式中因式213n n a a ++-的表达式，进而求数列{}n b 的通项，最后求{}n b 前10项和.三、解答题17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量()2,1m b = ，()2,cos n a c C =- ，且//m n．（1）求角B 的大小；（2）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．【答案】（1）π3B =；（2）sin 7BAC ∠=.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示，再利用正弦定理边化角及和角的正弦公式求解作答.（2）取CM 中点D ，连接AD ，利用直角三角形边角关系及正弦定理求解作答.【小问1详解】向量()2,1m b = ，()2,cos n a c C =- ，且//m n，于是2cos 2b C a c =-，在ABC 中，由正弦定理，得2sin cos 2sin sin B C A C =-，即2sin cos 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-，整理得2cos sin sin B C C =，又sin 0C ≠，因此1cos 2B =，而0πB <<，所以π3B =．【小问2详解】取CM 中点D ，连接AD ，由AM AC =，得AD CM ⊥，令CD x =，而点M 为BC 中点，则3BD x =，由（1）知π3B =，于是AD =，AC =，在ABC中，由正弦定理知4πsin sin 3x BAC =∠，所以sin 7BAC ∠=．18.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 前n 项和为n T ，从①1a ，2a ，5a 成等比数列，2n n T b -=，②53253S S -=，1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，这两个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n M .【答案】（1）条件选择见解析；21n a n =-，112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）()2323nn M n =-⋅+.【解析】【分析】（1）选条件①：设数列{}n a 的公差为d ，根据等比中项的性质建立方程，解之可求得公差d ，由等差数列的通项公式求得n a ，再由2n n T b -=，112n n T b --=-两式相减得数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，根据等比数列的通项公式求得n b ；选条件②：由已知得等差数列{}n a 的公差为2d =，由等差数列的通项公式求得n a ，再由1112n n n n b T T --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭求得n b ，注意1n =时是否满足；（2）由（1）可得：()1212n nna nb -=-⋅，由错位相减法可求得n M .【详解】解：（1）选条件①：设数列{}n a 的公差为d ，由1a ，2a ，5a 成等比数列，可得：2215a a a =，即()2114d d +=+，解得：2d =或0d =（舍），所以()12121n a n n =+-=-，∵2n n T b -=，∴112n n T b --=-，2n ≥，两式相减整理得：112n n b b -=，2n ≥，又当1n =时，有112T b =-，解得：11b =，∴数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，∵112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；选条件②：∵5332253S S a a -=-=，∴等差数列{}n a 的公差为2d =，又11a =，∴()12121n a n n =+-=-，又∵1122n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴当2n ≥时，有1112n n n n b T T --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又当1n =时，有111T b ==，也适合上式，∵112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=；（2）由（1）可得：()1212n nna nb -=-⋅，∴·()0121123252212n n M n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，又()()12121232232212n n n M n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，两式相减得：()()()21232121222212121212n n n nn M n n ---=+++⋅⋅⋅+--⋅=+--⋅-整理得：()2323nn M n =-⋅+.19.设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆面积的最大值为234+【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合（Ⅰ）的结果，确定角A 的值，然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值.试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=-由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角，所以cos 2A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc+=+≥即：2bc ≤当且仅当b c =时等号成立.因此12sin 24bc A +≤所以ABC ∆面积的最大值为24考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.20.已知()()3223,f x x ax bx aa b R =+++∈.（Ⅰ）若()f x 在=1x -时有极值0，求a ，b 的值；（Ⅱ）若()()6xg x f x b a e '=-+⋅⎡⎤⎣⎦，求()g x 的单调区间.【答案】（Ⅰ）2a =，9b =；（Ⅱ）答案见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出导函数()f x '，由题意可得2310630a ab b a ⎧+--=⎨-+=⎩，解方程组求出a ，b 的值，再验证是否在=1x -是否取得极值即可.（Ⅱ）由题意求出()()()322xg x x x a e '=++⋅，讨论1a =、1a >或1a <，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.【详解】解：（Ⅰ）由题意得()236f x x ax b '=++，则2310630a ab b a ⎧+--=⎨-+=⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，经检验当1a =，3b =时，函数()f x 在=1x -处无极值，而2a =，9b =满足题意，故2a =，9b =；（Ⅱ）()()()26322xxg x f x b a e x ax a e'=-+⋅=++⋅⎡⎤⎣⎦故()()()322xg x x x a e '=++⋅，故1a =时，()0g x '≥，函数()g x 在R 上递增，当1a >时，函数()g x 在(),2-∞-a 递增，在()2,2a --递减，在()2,-+∞递增，当1a <时，函数()g x 在(),2-∞-递增，在()2,2a --递减，在()2,a -+∞递增．21.已知函数()ln f x x x =-.（1）求证：()1f x ≤-；（2）若函数()()()0ex xg x af x a =+>有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）10ea <<【解析】【分析】（1）求出()1xf x x-'=，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.（2）求出()g x '，讨论其符号后可得函数的单调性，根据零点的个数可得最值的符号，从而可得a 的取值范围，注意利用零点存在定理验证.【小问1详解】()1xf x x-'=，则当01x <<时，()0f x ¢>，当1x >时，()0f x ¢<，故()f x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上减函数，故()()max 11f x f ==-即()1f x ≤-.【小问2详解】()ln e x x g x a x ax =-+，故()()()1111e e xx a x x a g x x x x --⎛⎫'=+=-+ ⎪⎝⎭，因为0,0a x >>，故10ex a x +>，所以当01x <<时，()0g x ¢>，当1x >时，()0g x ¢<，故()g x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上减函数，因为函数()g x 有两个零点，故()()max 110e g x g a ==-+>即10ea <<，又当10ea <<时，对任意10e a x -<<，有：ln ln ln 10ex xa x ax a x x a x -+<+<+<，故此时()g x 在()0,1上有且只有一个零点.下证：当e x >时，总有2ln x x >成立，设()2ln S x x x =-，则()20x S x x-'=>，故()S x 在()e,+∞上为增函数，故()()e e 20S x S >=->，即2ln x x >成立.故当e x >时有2e x x >.由（1）可得ln e e x xx x a x ax a -+≤-+，故当11(e)x a a >>时，11ln 0e x x axa x ax a x x--+<-+=<，故此时()g x 在()1,+∞上有且只有一个零点.综上，当()g x 有两个零点时，10ea <<.22.数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线:sin3()C ρθρ=∈R 被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．（1）当[0,)θπ∈，求以极点为圆心，22为半径的圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）设点P 是由（1）中的交点所确定的圆M 上的动点，直线:cos 24l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求点P 到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）2223211,,,,,2122424212ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）322.【解析】【分析】（1）由sin 322ρθρ=⎧⎪⎨=⎪⎩可得2sin 32θ=，然后解出θ的值即可；（2）将圆M 和直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后可求出答案.【详解】（1）由sin 322ρθρ=⎧⎪⎨=⎪⎩可得2sin 32θ=，所以324k πθπ=+或()3324k k Z πθπ=+∈所以2312k ππθ=+或()234k k Z ππθ=+∈因为[0,)θπ∈，所以311,,,124412ππππθ=所以交点的极坐标为2223211,,,,,,,2122424212ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由（1）可得圆M 的极坐标方程为22ρ=，转化为直角坐标方程为2212x y +=直线:cos 24l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的直角坐标方程为2x y -=所以点P 到直线l 23222+=23.已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[] 3,2-；(2)[]1,1-.【解析】【分析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【详解】（1）当2x ≤-时，()5f x ≤等价于215x --≤，解得[]3,2x ∈--；当21x -<<时，()5f x ≤等价于35≤，恒成立，解得()2,1x ∈-；当1x ≥时，()5f x ≤等价于215x +≤，解得[]1,2x ∈；综上所述，不等式的解集为[]3,2-.（2）不等式()21f x x ax ≥-+的解集包含[]1,1-，等价于()21f x x ax ≥-+在区间[]1,1-上恒成立，也等价于220x ax --≤在区间[]1,1-恒成立.则只需()22g x x ax =--满足：()10g -≤且()10g ≤即可.即120,120a a +-≤--≤，解得[]1,1a ∈-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.。
河南省洛阳市高三数学“一练”试题 理(含解析)新人教A版
河南省洛阳市高三“一练”数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（•洛阳模拟）设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z 的共轭复数为=（）A．B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：给出z=﹣1﹣i ，则，代入整理后直接求模．解答：解：由z=﹣1﹣i ，则，所以=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，考查了学生的运算能力，此题是基础题．2．（5分）（•洛阳模拟）已知集合，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．4D．8考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即可．解答：解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A⊆C⊆B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．点评：本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想．3．（5分）（•洛阳模拟）如果函数y=3sin（2x﹣φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数图象对称轴方程的公式，建立关于φ的等式，化简可得﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1得φ=，即为正数φ的最小值．解答：解：∵函数y=3sin（2x ﹣φ）的图象关于直线对称，∴当x=时，函数达到最大或最小值由此可得：2﹣φ=+kπ（k∈Z）∴﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1，得φ=因此，φ的最小值为故选：C点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴方程，求参数φ的最小值，着重考查了三角函数和图象与性质和正弦函数图象的对称性等知识，属于基础题．4．（5分）（•揭阳一模）如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．解答：解：是几何概型所有的基本事件Ω=设能输出数对（x，y）为事件A，则A=S（Ω）=1S（A）=∫01x2dx==故选A点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率．5．（5分）（•洛阳模拟）若函数为常数）在定义域内为奇函数，则k的值为（）A．1B．﹣1 C．±1D．0考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数定义知f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，进行化简整理即可求得k值．解答：解：因为f（x）为定义域内的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，所以（2﹣x﹣k•2x）（2x+k•2﹣x）=﹣（2x﹣k•2﹣x）（2﹣x+k•2x），所以2﹣x•2x+k•2﹣2x﹣k•22x﹣k2•2x•2﹣x=﹣2x•2﹣x﹣k•22x+•k•2﹣2x+k2•2﹣x•2x，即1﹣k2=﹣1+k2，解得k=±1，故选C．点评：本题考查函数的奇偶性，考查指数幂的运算法则，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，D为BC 边上的点，的最大值为（）A．1B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：在△ABC中，D为BC边的点，由D，B，C三点共线可知λ+μ=1，（λ、μ＞0），利用基本不等式即可求得λμ的最大值．解答：解：∵在△ABC中，D为BC边的点，∴D，B，C三点共线且D在B，C之间，∴λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）∴λμ≤==（当且仅当λ=μ时取“=”）．∴λμ的最大值为．故选D．点评：本题考查基本不等式，求得λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）是关键，属于中档题．7．（5分）（•洛阳模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64+32πB．64+64πC．256+64πD．256+128π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．解答：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．故选C．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（•洛阳模拟）已知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F1的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（）A．B．C．D．10考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+1=3（x2+1），∴x1=3x2+2∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=3，x2=∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为[（x1+1）+（x2+1）]=故选B．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．9．（5分）（•洛阳模拟）函数的最大值为（）A．2B．3C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最大值．解答：解：f（x）=1﹣cos （+2x ）﹣cos2x=1+（sin2x ﹣cos2x）=1+2sin（2x ﹣），∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，∵≤sin（2x ﹣）≤1，即2≤1+2sin（2x ﹣）≤3，则f（x）的最大值为3．故选B点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答：解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选C．．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键．11．（5分）（•洛阳模拟）已知的两个零点，则（）A．B．1＜x1x2＜e C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象，利用对数函数的性质，可判断出x1x2的范围．解答：解：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象如下图所示：由图可得即﹣1＜ln（x1•x2）＜1即又∵﹣lnx1＞lnx2∴ln（x1•x2）＜0∴x1•x2＜1综上故选A点评：本题考查的知识点是函数的零点，对数函数的图象和性质，其中画出函数的图象，并利用数形结合的办法进行解答是关键．12．（5分）（•洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4B．3C．2D．1考点：两点间的距离公式；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．解答：解：∵MO是△PF1F2的中位线，∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5，∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF1中，|FT|==4，∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1故选：D点评：本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|﹣|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（•洛阳模拟）设变量x，y 满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y 的最小值为7 ．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．故答案为：7．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．（5分）（•洛阳模拟）曲线处的切线方程为x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=，知，由此能求出曲线处的切线方程．解答：解：∵y=，∴，∴曲线处的切线方程的斜率k=y′|x=0=﹣1，∴曲线处的切线方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．15．（5分）（•洛阳模拟）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为160 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：由的展开式中各项系数之和为729，知3n=729，解得n=6．再由（2x+）6的通项公式为T r+1==，能求出该展开式中x2的系数．解答：解：∵的展开式中各项系数之和为729，令x=1，得3n=729，解得n=6．∵（2x+）6的通项公式为T r+1==，由6﹣=2，得r=3．∴该展开式中x2的系数为=8×=160．故答案为：160．点评：本题考查二项式系数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．16．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A 的大小为或．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，由此可得A的大小．解答：解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），解得 cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．故答案为A=，或A=点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（•洛阳模拟）设数列{a n}满足：a1+2a2+3a3+…+na n=2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）根据题意，可得a1+2a 2+3a3++（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1，两者相减，可得数列{a n}的通项公式．（2）根据题意，求出b n的通项公式，继而求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a1+2a2+3a3+…+na n=2n①，∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1②①﹣②得na n=2n﹣1，a n=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，∴a n=（2）∵b n=．则当n=1时，S1=2∴当n≥2时，S n=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1则2S n=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n相减得S n=n•2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）又S1=2，符合S n的形式，∴S n=（n﹣1）•2n+2（n∈N*）点评：此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算．18．（12分）（•洛阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）求二面角C﹣PD﹣O的余弦值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O﹣PD ﹣C的余弦值；解答：证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，∴PO⊥AB∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊂侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD∵CD⊂底面ABCD，∴PO⊥CD在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=2在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD﹣BC）2=8∴OC2+CD2=OD2，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线∴CD⊥平面POC…（6分）解：（2）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，2），D（﹣1，3，0），C（1，1，0）∴=（0，0，2），=（﹣1，3，0），=（﹣1，﹣1，2），=（﹣2，2，0）假设平面OPD 的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD 的法向量为=（a，b，c），则由可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），由可得，令a=2，得b=2，c=，即=（2，2，）∴cos＜，＞===故二面角O﹣PD﹣C 的余弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键．19．（12分）（•洛阳模拟）随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计．现有甲，乙两人相互到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为小时以上且不超过2小时还车的概率分别为小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，两人租车时间均不会超过4小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元两人都付0元的概率为P1=×=两人都付1元的概率为P2=×=两人都付3元的概率为P3=×=两人都付6元的概率为P4=（1﹣﹣﹣）×（1﹣﹣﹣）=×=则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3+P4=（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P=+=则P（X=0）=××=，P（X=1）==P（X=2）==，P（X=3）==P（X=4）==∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=3点评：本题主要考查了事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．20．（12分）（•洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（﹣2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP 的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON 的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP 的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1•y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．解答：解：设P点的坐标为（x，y）∵A（﹣2，0），B（2，0），直线AP与直线BP 的斜率之积为．∴•=（x≠±2）整理得P 点的轨迹方程为（x≠±2）（2）设直线l的方程为x=ny+1联立方程x=ny+1与（x≠±2）得（3n2+4）y2+6ny﹣9=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=△MON的面积S=•|OP|•|y1﹣y2|====令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增∴当t=1时，y=3t+取最小值4此时S 取最大值此时直线的方程为x=1点评：本题考查的知识点是轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，熟练掌握设而不求，联立方程，韦达定理，弦长公式等一系列处理直线与圆锥曲线关系的方法和技巧是解答的关键．21．（12分）（•洛阳模拟）已知函数．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（2）对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），等价于f（x0）min＞m（1﹣a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）min﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2），问题转化为g（a）min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣2+=2x﹣2+=．由f′（x）＞0，得，或x ＞；由f′（x）＜0，得0＜x ＜．所以函数f（x ）的单调递增区间为（，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）y=f（x ）的定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣a+=2x﹣a+==．当1＜a＜2时，﹣1==＜0，即，所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a+ln （）．依题意，对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），即可转化为对任意的a∈（1，2），1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）＞0恒成立．设g（a）=1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2）．则g′（a）=﹣1++2ma==，①当m≤0时，2ma﹣（1﹣2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．②当m＞0时，g′（a）=，若，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．22．（10分）（•洛阳模拟）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）CE=DE；（2）．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（1）由弦切角定理是，及PC为∠APE的平分线，可证得∠ECD=∠EDC，进而证得CE=DE （2）先由AA证明出△PBC∽△ECD，进而证得△PBC∽△PEC，可由相似三角形对应边成比例得到结论．解答：解：（1）PE切圆O于点E∴∠A=∠BEP∵PC平分∠APE，∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE∴∠ECD=∠EDC，∴EC=ED（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD∴∠PDB=∠PCE∵∠BPD=∠EPC∴△PDB∽△PEC∴=同理△PDE∽△PCA∴=∴=∵DE=CE∴点评：本题考查的往右点是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键．23．（•洛阳模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l 的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin （θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．解答：解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l 的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6tsinα+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin （θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin （θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．点评：本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．24．（•洛阳模拟）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决，．四、附加题（满分0分，不计入总分）25．（•洛阳模拟）有小于1的n（n≥2）个正数x1，x2，x3，…，x n，且x1+x2+x3+…+x n=1．求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，可得，由均值定理及放缩法，证得成立．解答：证明：∵x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，∴∴＞≥又∵≤=∴≥n∴＞n2≥22=4即＞4点评：本题考查的知识点是不等式的证明，熟练掌握均值定理及放缩法是解答的关键．。
陕西省咸阳市2024届高三上学期一模考试数学(理)试卷(含解析)
陕西省咸阳市2024届高三上学期一模考试数学（理）试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若集合，，则集合( )A. B. C. D.，则复数在复平面上对应的点在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．已知向量，，若，则( )A. B. C.1 D.4．已知数列的前n 项和为，且等比数列满足，若，则( )A.6B.5C.4D.35．著名的本福特定律:以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数,也称为“第一位数定律”或者“首位数现象”.意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中,一个数的首位数字是的概率为.以此判断,一个数的首位数字是1的概率与首位数字是9的概率之比约为多少?（参考数据:,）( )A.2.9B.3.8C.4.5D.6.56．直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是( )A.B.C.D.7．某同学寒假期间想到咸阳市的9个旅游景点乾陵、茂陵、汉阳陵、袁家村、郑国渠、昭陵、旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班中的3个景点进行旅游，其中旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班三个景点为红色旅游景点，则他所去的景点中至少包含一个红色旅游景点的概率是( )8．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这{}2230A x x x =--<{}2B x x =∈<Z A B = ()1,2-{}0,1{}1,0,1-()1,22i()a =+∈R 2i z a =+()1,1a =- (),2b m = ()20a b a =⋅- a b ⋅= 8-16-20-{}n c n S {}n a 2log n n c a =2364a a =9S =()1,2,3,,9d d =⋅⋅⋅1lg 1d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭lg 20.301≈lg 30.477≈0x y b ++=22:(1)(1)5C x y ++-=b ⎡∈⎣(b ∈[]4,4b ∈-(4,4)b ∈-个多面体的外接球的体积为( )A.9．等差数列中的，是函数的极值点，则( )C.3D.10．已知的展开式中的常数项为0，则( )A.3 B. C.2 D.11．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，则( )12．设，A. B. C. D.二、填空题13．已知角，为锐角，且______.该圆锥的表面积为______.15．设x ，y 满足约束条件，设16．已知函数，若，，且三、解答题17．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知该三角形的面积8π{}n a 2a 2024a 32()642024f x x x x =-+-81013log a =313-()5322ax x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭a =3-2-1F 2F 1e e 2234e =12F PF ∠=ln 2a =b ==c b a<<a c b <<c a b <<a b c<<αβsin α=)αβ-==233032301x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+>⎩z =()20242024x x f x -=-0m >1n >122(sin(2024π))f f f m n ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ABC △.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值，并求当面积取得最大值时对应的周长.18．为庆祝元旦，某商场回馈消费者，准备举办一次有奖促销活动，如果顾客一次消费达到500元，可参加抽奖活动，规则如下；抽奖盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，活动结束.否则记为失败，随即获得纪念品1份，当然，如果顾客愿意可在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽奖，如此不断继续下去，直至成功.（Ⅰ）某顾客进行该抽奖试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽奖，记其进行抽奖试验的轮次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t 表示成功时抽奖试验的轮次数，y 表示对应的人数，部分统计数据如下表：附：经验回归方程系数：参考数据：（其中19．如图所示，在三棱锥中，，，点O 、D 分别是、的中点，底面.2221()sin 2S b c a A =+-4a =ABC △ABC △ˆb =ˆy =-521i i x ==∑=0.212=i x =P ABC -AB BC ⊥AB BC kPA ==AC PC OP ⊥ABC（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当k 取何值时，二面角20．已知椭圆面积为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过直线上一点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，求证直线过定点.21．已知函数，.（Ⅰ）若恒成立，求a 的取值集合；（Ⅱ）证明.22．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为，直线l 的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线C 和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与x 轴的交点为P ，经过点P 的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，若23．已知函数（Ⅰ）画出函数的图象；（Ⅱ）设函数的最大值为m ，若正实数a ，b ，c 满足，求的最小值.//OD PAB A PC --2222:1(x y C a b a b +=>>4x =MN 1()ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭0a >()0f x ≥111sin sin sin ln 2()122n n n n++++<∈++N xOy 2sin 4cos ρθθ=cos 13ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭PA PB +=()222f x x x =--+()f x ()f x 34a b c m ++=222254a ab b c +++参考答案1．答案：B 解析：根据题意，集合，则.故选：B.2．答案：D且，解可得，则，其在复平面上对应的点为，在第四象限.故选：D.3．答案：C解析：由题意得，由，得，解得，所以，所以..故选C4．答案：A解析：设等比数列的公比为q ，则，所以，故选A.5．答案：D解析：根据题意,首位数字是1的概率,首位数字是9的概率,.故选:D.6．答案：B{}2|230(1,3)A x x x =--<=-{}|2{1,0,1}B x x =∈<=-Z {0,1}A B = (3i)(1i)33(1i)(1i)22a a a ++-+==+-+2i(a =+∈R 2=312a +=1a =-2i 2i z a =+=-(2,1)-2(12,5)ab m -=-- (2)0a b a -⋅= 1250m -+=3m =(3,2)b = 13(1)21a b ⋅=⨯+-⨯= {}n a ()2235365524a a a a q a q===912892122log log S c c c c a a =++++=+++()93282921289252log log log log log 46a a a a a a a +==== ()1lg 11lg 2P =+=2110lg 1lg 12lg 399P ⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭lg 212lg 3=-≈0.3010.301120.4770.046=-⨯≈6.5解析：直线与圆有公共点的充要条件满足：整理得故直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是：.故选：B.7．答案：C解析：某同学寒假期间想到咸阳市的9个旅游景点乾陵、茂陵、汉阳陵、袁家村、郑国渠、昭陵、旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班中的3个景点进行旅游，基本事件总数，其中旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班三个景点为红色旅游景点，则他所去的景点中至少包含一个红色旅游景点的概率是：.故选：C.8．答案：D解析：根据题意知所得多面体是棱长为 2 的正八面体，则正八面体的外接球直径为，所以半径为故选：D.0x y b ++=22:(1)(1)5C x y ++-=b ≤≤0x y b ++=22:(1)(1)5C x y ++-=(b ∈39C 84n ==3639C 161C 21P =-=2R EG ===R =3343R =π⨯=9．答案：A 解析：由题意可得，因为，是函数的极值点，所以，是的两个不等实数根，所以，又因为数列为等差数列，所以，所以故选：A.10．答案：C 解析：二项式定理的展开式的通项公式为，令，得；，令，得.因为的展开式中的常数项为0，所以，解得，故选C.11．答案：C解析：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：2()3124f x x x '=-+2a 2024a 32()642024f x x x x =-+-2a 2024a 231240x x -+=220244a a +={}n a ()101322024114222a a a =+=⨯=28101382log 2log log 2log 8a ===52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭55235282155552C (2)C (2)C (2)C kkk k k k k k k k k k k T x x ax x a x x ----+⎛⎫=-=-⋅⋅-=- ⎪⎝⎭820k -=4k =5262552(2)C 2(2)C k k k k k k x x x--⋅-=-620k -=3k =()3522ax x x x ⎛+⎫ ⎪⎝⎭-443355(2)C 2(2)C 0a -+⨯-=2a =1a 2a，，在中由余弦定理得，，化简得，代入可得故选：C.12．答案：B解析：，，令时，，该函数单调递增，，故选：B.12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩1a a +12a a -22F c =12PF F △()()()()222121212121242cos c a a a a a a a a F PF =++--+-⋅∠223e =22234a c ⨯=2221234a a c +=12cos F PF ∠=120F PF <∠<π12F PF ∴∠= ln 2a =b =c =c -===((323272550>=>=⇒>⇒>⇒>()g x =()g x '=e x <<()0g x '>ln 2(2)ln 22g g ∴<⇔<⇔<=c <a c b ∴<<）解析：角，为锐角，且，，解得，角是锐角，角.14．答案：解析：根据题意，设该圆雉的底面半径为r ，母线为l ，高为h ，，变形可得，则该圆雉的高，解可得，则，故该圆雉的表面积.故答案为：.15．答案：解析：根据题意，作出不等式组对应的平面区域︒ αβsin α=tan()αβ-=tan 2α=tan 0β>tan tan 2tan tan()1tan tan 12tan αββαβαββ---===++tan 1β= β∴π4β=4π2l r =π3l r =h ====1r =33l r ==234S r rl =π+π=π+π=π4π4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭23303230 1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+>⎩为图中的及其内部，但不包含边，其中，，连线的斜率，设，则，，则，又由，即z 的取值范围为.故答案为：.16．答案：解析：因为，所以，即为奇函数，，又在R上单调递增，若，，且所以，，ABC △AB (0,1)A (1,0)B 312122x y x y z y y +++++===++==1,2)--(1,2)M --12301MA k +==+02111MB k +==+1t <<11t<<1112x z t y +=+=++2z <<4,23⎛⎫⎪⎝⎭4,23⎛⎫⎪⎝⎭()20242024x x f x -=-()20242024()x x f x f x --=-=-()f x (0)0f =()f x 0m >1n >122(sin(2024))(0)0f f f f m n ⎛⎫⎛⎫-+=π== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222f ff m n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2-=22n+=所以，则当且仅当故答案为：17．答案：（Ⅰ）（Ⅱ）的面积：的周长：12.解析：（Ⅰ）由，得.由余弦定理得：（Ⅱ）方法一：因为，由余弦定理得，当且仅当时取等，，所以的面积：此时的周长为：12.方法二：，，的面积，22n m mn +=2m =13243243412(2)11nm nn m n n mn m n n +-+==+-=+---++-13(1)1n n =-+≥=-33n -=1=+A =ABC △ABC 22211sin ()sin 22S bc A b c a A ==+-222b c a bc +-=222cos 2b c a A bc +-==A =A =4=2222cos a b c bc A =+-2216b c bc =+-162bc bc bc∴≥-=b c =max ()16bc =ABC △11sin 1622S b A =≤=ABC △π3A =4a =∴sin sin b c B C ====ABC ∴△1sin 2S bc A=1sin 2B C A =sin B C =2πsin 3B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭又，，当此时的周长为：12.18．答案：（Ⅰ）分布列见解析，（Ⅱ）；465解析：（Ⅰ）X 的取值可能为1，2，3，所以X 的分布列为：（Ⅱ）令，由题意可知，，所以.所以，.故所求的回归方程为所以估计时，；估计时，；π26S B ⎛⎫=-+⎪⎝⎭2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ππ7π2,666B ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭∴π26B -=B =C =ABC ()E x =270ˆ34.2yt=-2121(1)C P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭22112311(2)1C C X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥==-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22112311(3)11C C P X ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥==--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦i x =ˆˆˆy bx a =+51315i i i x y ==∑90y =515221531550.4690108ˆ2701.4650.2120.45i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑ˆ902700.4634.2a=-⨯=-ˆ27034.2y x =-270ˆ34.2yt=-6t =11y ≈7t =4y ≈估计时，；预测成功的人的总数为.19．答案：（Ⅰ）证明见解析；解析：（Ⅰ）证明：在中，点O 、D 分别是、的中点，，平面，平面，平面.（Ⅱ）O 为中点，连接，，则，平面，平面，，以O 为坐标原点，所在的直线为x 轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.设，则，，在中，，，，，则，，，8t ≥0y ＜450114465++=APC △AC PC//OD AP ∴AP ⊂≠PAB OD ⊂≠PAB //OD ∴PAB AC BO AB BC =BO AC ⊥PO ⊥ABC AC ⊂≠ABC PO AC ∴⊥OB AC OP O xyz -2AB BC kAP a ===AP=PO AO ⊥ 12AO BO OC AC ====Rt APO △2222222a PO AP AO a k ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭PO ==(),0A ∴),0,0B ()0,,0C P ⎛ ⎝),0,0OB =,0,PB =⎝ ),0CB =平面，平面，，又且，平面，是平面的一个法向量.设平面的一个法向量，则即，令，得，设为二面角的平面角.则方法二：作，又，，平面，平面，，又，是二面角的平面角.设，由题意可知，，即为等腰三角形.在中，作，则，且，在中，，则在中，根据余弦定理，PO ⊥ ABC BO ⊂≠ABC PO BO ∴⊥BO AC ⊥PO AC O = BO ∴⊥PAC OB ∴PAC PBC (),,n x y z =00n PB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 0,0x y =⎪+=⎩1x =1y =-z =θA PC B --cos n OB n OB θ⋅====⋅=OG PC ⊥PC OB ⊥OG OB O = PC ∴⊥OGB BG ⊂≠ OGB PC BG ∴⊥PC OG ⊥OGB ∴∠A PC B --2AB BC a ==OP =2a PB PC k ===PBC △PBC △PE BC ⊥PE BC BG PC ⋅=⋅PE ==PE BC BG PC ⋅==POC △OP OC OG PC ⋅=⋅OP OCOG PC⋅==OGB △2221cos 23OG BG OB OGB OG BG +-∠==⋅解得；（Ⅱ）证明见解析.又，即由①②可得，.（Ⅱ）设，，，由题知，直线上一点P 作椭圆C 的两条切线斜率存在，设过点且与椭圆相切的直线方程为：，联立方程得，，整理得，即，在椭圆上，，即，即，，解得k =213y +=====2ab =ab =2a =b =213y +=(4,)P t 11(,)M x y 22(,)N x y 4x =11(,)M x y 11()y y k x x -=-∴1122(),1,43y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩()()()22211113484120k x k y kx x y kx ++-+--=∴()()()22221111644344120k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦()()2211340y kx k --+=()()22211113240y kx y k x --+-=11(,)M x y 2112143x y ∴+=123y -=214x -=2221111342043x y kx y k ∴---⋅=222211111192416(34)0x kx k y y x ky ++=+=11340x ky ∴+=k =（此处也可以尝试采用复合函数求导进而可得斜率）过点且与椭圆相切的直线方程为：，，即，，，（上述切线方程也可以尝试采用“构造缩放法”证明二级结论：过椭圆上点），整理化简得，且，点，均在直线上，直线的方程为，直线过定点.21．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析解析：（Ⅰ）由题可知函数的定义域为，，令，得，由x ，，列表如下只需证明，.令，，得，∴11(,)M x y 11113()4x y y x x y -=-2211143x y += 22113412x y +=113y y+=213y y +=2222:1(0)x y C a b a b +=>>11(,M x y 121y yb+=13y t =213ty=11330x y t +-=22330x y t +-=∴11(,)M x y 22(,)N x y 330x ty +-=∴MN 330x ty +-=MN ()21,0F {}1()f x {}0x x >221()a x af x x x x-'=-= ()0f x '=x a =()f x ()f x 'ln 10a a -+≥(0,)a ∈+∞()ln 1g x x x =-+11()10xg x x x-'=-==1x =由x ，，列表如下又，，，，，故a 的取值集合为.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当时，，即，时，“”成立），令，，由累加法可知累加可得即，，()g x ()g x '()0,1a ∈ ()ln 1(1)0g a a a g =-+<=(1,)a ∈+∞()ln 1(1)0g a a a g =-+<=1a ∴={}11a =()0f x ≥1ln 10x x +-≥1ln 1x x ≥-=ln(1)x ∴+≥0==1()x n n+=∈N 11ln 111n n n⎛⎫+>= ⎪⎝⎭+111n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭()ln 1ln n n +->()()()()()()()1ln 1ln 11ln 2ln 121ln 3ln 231ln 2ln 212n n n n n n n n n n n n ⎫+->⎪+⎪⎪+-+>⎪+⎪⎪+-+>⎬+⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎪-->⎪⎪⎭111ln(2)ln 123n n n n n ->+++⋅⋅⋅+++111ln 2123n n n >++++++ ()sin x x x =-(0,)x ∈+∞恒成立，在是递减的，，，22．答案：（Ⅰ）；；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）曲线，即，即.，即，即.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设m 的方程为，由得，设，，则，.，即，即，即，.另解：设直线m 的方程为（t 为参数），代入，得，即，，，从而直线m 的斜率为.23．答案：（Ⅰ）答案见解析；()cos 10h x x '=-≤ ()h x ∴(0,)x ∈+∞()(0)0h x h ∴<=sin x x ∴<1111111sin sin sin 1232123n n n n n n n ∴++++>++++++++++ 1111ln 2sinsin sin sin ()1232n n n n n+∴>++++∈+++N 2:4C y x =:20l x -=1±2:sin 4cos C ρθθ=22sin 4cos ρθρθ=24y x =1:cos 12l ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭cos sin 20ρθθ+-=20x +-=(2,0)P 2x ny =+22,4,x ny y x =+⎧⎨=⎩2480y ny --=11(,)A x y 22(,)B x y 124y y n +=128y y =-AB ∴===42340n n ∴+-=22(4)(1)0n n +-=21n =1n =±1=±2cos ,sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩24y x =22sin 84cos t t θθ=+22sin 4cos 80t t θθ--=12t t ∴+=12t =1212P B t t t A P t ∴+=+=-===426sin sin 10θθ∴--=22(3sin 1)(2sin 1)0θθ+-=2sin θ∴=θ=tan 1θ∴=±1±解析：（Ⅰ），由此作图如下：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，于是，由柯西不等式得，()4,1,4,11,4,1,x f x x x x ≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩4m =344a b c ∴++=244a b b c +++=()()()()()2222222221122416a b b c a b b c ⎡⎤+++++⎡⎤⎣⎦≥+++=⎣⎦()()22216246a b b c ++≥=∴+b ===22254a ab b c ∴+++。
高三第一次质量调查(一模)考试数学(理)试题-Word版含答案
数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{1,1,2},{1,2}AB a a，若{1,2}A B，则m 的值为A ．-2或-1B ．0或1C ．-2或1D ．0或-22、设变量,x y 满足约束条件301023xy x y xy，则目标函数32z xy 的取值范围是A ．6,22B ．7,22C ．8,22D ．7,233、在ABC 中，若4,3ABAC BC，则sin C 的值为A ．23B ．19C ．53D ．4594、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A ．32B ．53C ．4124D．103605、“125x x ”是“23x ”的A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b ab的左右焦点，P 为双曲线上一点，且ABP 为等腰三角形，若双曲线的离心率为2，则ABP 的度数为A ．030 B．060 C．0120 D ．030或01207、如图，在平行四边形ABCD 中，,2,13BADAB AD ，若,M N 分别是边,AD CD 上的点，且满足MD NC ADDC,其中0,1，则AN BM 的取值范围是A ．3,1 B ．3,1 C ．1,1 D ．1,38、已知函数2223,2213,2xx xf xx x x，若关于x 的方程0f x m 恰有五个不相等的实数解，则m 的取值范。
2021-2022学年高三一模数学(理)试题及答案
开始结束输出是否,0S S k ==?2>S kS S 2-=2+=k k k2021-2022高三第一次模拟数学试题（理科）考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分. 1.已知集合2{|160}A x x =-<，{5,0,1}B =-，则 A.AB =∅ B ．B A ⊆C ．{0,1}A B =D ．A B ⊆2.复数ii -1)1(2+等于A ．i +1B ．i --1C ．i -1D ．i +-1 3.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k 的值是6， 则输入的整数0S 的可能值为A.5B.6C.8D.154.已知直线1sin cos :=+θθy x l ,且l OP ⊥于P ,O 为坐标原点, 则点P 的轨迹方程为A ．122=+y xB ．122=-y xC ．1=+y xD ．1=-y x5.函数x e x f xln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是A.)1(2-=x e yB.1-=ex yC.)1(-=x e yD.e x y -= 6.“等式)2sin()sin(βγα=+成立”是“γβα、、成等差数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21=a ，542,2,a a a +成等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项的和，则=-410S SA.1008B.2016C.2032D.4032 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 A ．90 B ．92 C ．98 D ．104 9.半径为4的球面上有D C B A 、、、四点，AD AC AB 、、两两互相垂直，则ADB ACD ABC ∆∆∆、、面积之和的最大值为A ．8B ．16C ．32 D.6410.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0,0109<>S S ，则993322122,2,2aa a a ，中最大的是A ．12a B ．552aC ．662aD ．992a11.已知函数)()(()(321x x x x x x x f ---=）（其中321x x x <<），)12sin(3)(++=x x x g ，且函数)(x f 的两个极值点为）（，βαβα<．设2,23221xx x x +=+=μλ，则A ．)()()()(μβλαg g g g <<<B ．)()()()(μβαλg g g g <<<C ．)()()()(βμαλg g g g <<<D ．)()()()(βμλαg g g g <<<12.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于点B A ,两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若)R OB OA OP ∈+=μλμλ，（，8522=+μλ，则双曲线的离心率为（ ）A ．332B ．553C ．223D ．89第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.若n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且762++-=n n S n ，则数列{}n a 的最大项的值为___________.14.设221(32)=⎰-a x x dx ,则二项式261()-ax x展开式中的第4项为___________.15. 已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD 的最小值为___________.16.已知函数xx a x f 22)(1+=+在]3,21[-上单调递增，则实数a 的取值范围_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分12分）已知函数))(12(sin 2)62sin(3)(2R x x x x f ∈-+-=ππ（I ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求使函数)(x f 取得最大值的x 的集合．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，︒=∠60DAB ，,1,==⊥AD PD ABCD PD 平面 点,E F 分别为AB 和PD 中点.(Ⅰ)求证：直线PEC AF 平面//； (Ⅱ)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的治安满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．（I ）若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率； （II ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记X 表示抽到“极安全”的人数，求X 的分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）如图，已知直线1:+=my x l 过椭圆1:2222=+by a x C 的右焦点F ，抛物线：y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点，且直线l 交椭圆C 于B A 、两点，点B F A 、、在直线4=x g ：上的射影依次为点E K D 、、．FE BDCAP（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且BF MB AF MA 21λλ==，，当m 变化时，探求21λλ+的值是否为定值？若是，求出21λλ+的值，否则，说明理由.21.（本小题满分12分）设x m =和x n =是函数21()ln (2)2f x x x a x =+-+的两个极值点,其中 m n <,a R ∈.(Ⅰ) 求()()f m f n +的取值范围; (Ⅱ) 若12a e e≥+-,求()()f n f m -的最大值.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图所示，已知⊙O 的半径长为4，两条弦BD AC ,相交于点E ，若34=BD ，DE BE >，E为AC 的中点，AE AB 2=.(Ⅰ) 求证：AC 平分BCD ∠； (Ⅱ)求ADB ∠的度数.23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （其中θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为01sin cos =+-θρθρ.(Ⅰ) 分别写出曲线1C 与曲线2C 的普通方程；(Ⅱ)若曲线1C 与曲线2C 交于B A ,两点，求线段AB 的长.24.（本小题满分10分） 选修4－5：不等式选讲 已知函数|12|)(-=x x f . (Ⅰ)求不等式2)(<x f 的解集；(Ⅱ)若函数)1()()(-+=x f x f x g 的最小值为a ，且)0,0(>>=+n m a n m ，求nn m m 1222+++的最小值. .ABCDEO2021-2022高三第一次模拟数学（理科）答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.C2.D3.C4.A5.C6.B7.B8.D9.C 10.B 11.D 12.A 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.12 14.31280-x 15.525- 16.[﹣1，1]三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12)= 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1= 2sin(2x －π3) +1∴ T=2π2=π(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π2即x=k π+ 5π12(k ∈Z)∴所求x 的集合为{x ∈R|x= k π+ 5π12 , (k ∈Z)}.18.解：(Ⅰ)证明：作FM ∥CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. …………2分 ∵21=k ，∴FM AB AE ==21， ∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ， ……4分 ∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面， ∴直线AF //平面PEC . ……………6分 (Ⅱ)60DAB ∠=，DE DC ∴⊥.MFBACDP如图所示，建立坐标系，则P (0,0,1),C (0,1,0),E (32,0,0),A (32，12-，0)，31(,,0)22B ， ∴31,,122AP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0AB =. …8分设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =.∵0n AB ⋅=，0n AP ⋅=，∴⎪⎩⎪⎨⎧==++-02123y z y x ，取1x =，则32z =， ∴平面PAB 的一个法向量为3(1,0,)2n =. …………………………10分 设向量n PC θ与所成角为，∵(0,1,1)PC =-，∴3422cos 14724n PC n PCθ-⋅===-⨯， ∴P C 平面PAB 所成角的正弦值为4214. .…………………………12分 19.FEBACDyz x P20.解：（Ⅰ）易知椭圆右焦点F（1，0），∴c=1，抛物线的焦点坐标，∴∴b2=3 ∴a2=b2+c2=4∴椭圆C的方程（Ⅱ）易知m≠0，且l与y轴交于，设直线l交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）由∴△=（6m）2+36（3m2+4）=144（m2+1）＞0∴又由∴同理∴∵∴所以，当m变化时，λ1+λ2的值为定值；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知A（x1，y1），B（x2，y2），∴D（4，y1），E（4，y2）方法1）∵当时，==∴点在直线l AE上，同理可证，点也在直线l BD上；∴当m变化时，AE与BD相交于定点方法2）∵=∴k EN =k AN ∴A 、N 、E 三点共线， 同理可得B 、N 、D 也三点共线； ∴当m 变化时，AE 与BD 相交于定点．解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=.依题意,方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ,n (其中m n <).故2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩, 并且 2,1m n a mn +=+=.所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-(Ⅱ)解:当12a e e≥+-时,21(2)2a e e +≥++.若设(1)nt t m =>,则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e ++=+==++≥++.于是有 111()(1)0t e t e t e t e te +≥+⇒--≥⇒≥222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数11()ln ()2g t t t t =--(其中t e ≥),则222111(1)()(1)022t g t t t t-'=-+=-<. 所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1()()122e g t g e e≤=-+.故()()f n f m -的最大值是1122e e-+22.（本小题满分10分）解：（1）由E 为AC 的中点，AE AB 2=得AB ACAE AB ==2 又CAB BAE ∠=∠ ABE ∆∴∽ACB ∆ ACB ABE ∠=∠∴ 又ABE ACD ∠=∠ ACB ACD ∠=∠∴故AC 平分BCD ∠………………5分（2）连接OA ，由点A 是弧BAD 的中点，则BD OA ⊥，设垂足为点F ，则点F 为弦BD 的中点，32=BF 连接OB ，则2)32(42222=-=-=BF OB OF ，224=-=-=OF OA AF ，60,2142cos =∠===∠∴AOB OB OF AOB 3021=∠=∠∴AOB ADB ………………10分23.（本小题满分10分）解：（1）曲线1C 134:22=+y x ，………………2分 曲线2C ：01=+-y x ………………4分（2）联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-1340122y x y x ，得08872=-+x x ， 设),(),,(2211y x B y x A ，则78,782121-=-=+x x x x 于是7244)(2112122121=-+⋅=-+=x x x x x x AB . 故线段AB 的长为724.………………10分 24.（本小题满分10分） 解：（1）由2)(<x f 知2|12|<-x ，于是2122<-<-x ，解得2321<<-x ，故不等式2)(<x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,21；……………………3分 （2）由条件得2|)32(12||32||12|)(=---≥-+-=x x x x x g ，当且仅当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,21x 时，其最小值2=a ，即2=+n m …………………6分又()()223212*********+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n m m n n m n m n m ，…………8分 所以n n m m 1222+++()22321212++≥+++=n m n m 2227+=， 故nn m m 1222+++的最小值为2227+，此时222,224-=-=n m .……10分。
广西玉林、贵港、贺州市2023届高三联合调研考试(一模)数学(理)试题(解析版)
2023年高考玉林、贵港、贺州市联合调研考试
数学（理科）
注意事项：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上．
3．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合 ，集合 ，则A∩B=（）
A. ∪[2，+∞）B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式得集合 ，然后由交集定义计算．
20.已知椭圆 过 两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）F为椭圆C 右焦点，直线l交椭圆C于P，Q（均不与点A重合）两点，记直线AP，AQ，l的斜率分别为k1， ， ，若 ，求△FPQ的周长．
21.已知函数
（1）当 时，求函数 最小值；
（2）若关于x的方程 有两个不同的实根，证明： ．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．
A. 的一条对称轴为
B. 的一个对称中心为
C. 在 上的值域为
D. 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
8.已知抛物线 ）的焦点为 ，准线为l，过 的直线与抛物线交于点A、B，与直线l交于点D，若 ，则p=（）
A.1B. C.2D.3
9.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间t分钟后的温度T满足 ， 称为半衰期，其中 是环境温度.若 ，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据： ）（）
陕西省安康市2022-2023学年高三上学期第一次质量联考试题(一模) 数学(理) Word版含解析
绝密★启用前安康市2023届高三年级第一次质量联考试卷数学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数，数列、立体几何．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，复数z 满足2i 1(1i)z +=-，则|1|z -=（ ）A ．2BC ．D ．2．记集合{}(){}2||2,ln 3M x x N x y x x=>==-，则MN =（ ）A ．{}23x x <≤ B ．{}32x x x ><-或 C ．{}02x x ≤<D ．{}23x x -<≤3．若4sin()5πα+=-，则cos(2)πα-=（ ） A ．35 B ．35- C ．725 D ．725-4．设c ∈R ，则a b >成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．22ac bc >B ．c c a b< C ．22a c b c++> D ．2c a b ->-5．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点，则异面直线1B E 与1C D 所成角的余弦值为（ ）A B ． C D ． 6．已知函数()sin2(0)f x x xf '=-，则该函数的图象在2x π=处的切线方程为（ ） A ．30x y π+-= B ．30x y π--= C ．30x y π+-= D ．30x y π++= 7．记函数()()sin 4f x x b πωω*⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭N 的最小正周期为T ，若2T ππ<<，且()y f x =的最小值为1．则曲线()y f x =的一个对称中心为（ ）A ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．7,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭8．南京市地铁S8号线经扩建后于2022年国庆当天正式运行，从起点站长江大桥北站到终点站金牛湖站总行程大约为51.3千米，小张是陕西来南京游玩的一名旅客，从起点站开始，他利用手机上的里程表测出前两站的距离大约为2千米，以后每经过一站里程约增加0.1千米，据此他测算出本条地铁线路的站点（含起始站与终点站）数一共有（ ） A ．18 B ．19 C ．21 D ．229．已知O 是ABC △内一点，230OA OB mOC ++=，若AOB △与ABC △的面积之比为47，则实数m 的值为（ ） A ．103- B ．103 C ．203- D ．20310．定义在R 上的函数()f x 满足对任意的x 恒有1(2)()1,(1)()2f x f x f x f x +≥++≤+，且(2)2f -=，则(2024)f 的值为（ ） A ．2026 B ．1015 C ．1014 D ．101311．若函数2()e 3xf x k x =-+有三个零点，则k 的取值范围为（ ） A ．360,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．362e,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(2e,0)-D ．36,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 12．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，60,ABC EA ∠=︒⊥平面,,22ABCD EA BF AB AE BF ===∥，点M 在棱EC 上，且EM EC λ=，平面MBD 与平面ABCD 的夹角为45︒，则下列说法错误的是（ ）A ．平面EAC ⊥平面EFCB ．34λ=C ．点M 到平面BCFD ．多面体ABCDEF 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
_2023年广西南宁三中高考数学一模试卷(理科)
邕衡金卷·南宁三中2023届高三校一模理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2100M x Z x x =∈−<，{}2100x N x Z =∈>，则M N =A ．{}5,6,7B ．{}6,7,8C ．{}7,8,9D ．{}8,9,102．已知函数()1,02,0x x x f x x −+<⎧=⎨≥⎩，那么()()1f f −=A ．7B ．6C ．5D ．4 3．已知直线y x =是曲线()ln f x a x =+的切线，则a =A ．1−B ．2−C ．1D ．24．在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且sin α=，则cos()αβ+= A ．89B ．89−C ．59−D ．595．已知,,,,a b c d e 成等比数列，１和４是其中的两项，则e 的最小值为A ．64−B ．8−C ．164D ．186．有下列四个命题，其中是假命题的是A ．已知()()1i 12i z =+−，其在复平面上对应的点落在第四象限B ．“全等三角形的面积相等”的否命题C ．在ABC Δ中，“6A π>”是“1sin 2A >”的必要不充分条件 D ．命题“321,x x x ∀>>”的否定是“321,x x x ∃>≤”7．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现．设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，则621n x mx ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是 A ．15− B ．20−C ．15D ．208．如图，网格纸上用粗实线绘制了一个几何体的三视图，每一个小正方形的边长为1，则该几何体的体积为 A ．484π− B ．48π8− C ．648π−D ．644π−9．某人决定就近打车前往目的地，前方开来三辆车，且车况分别为“好”“中”“差”．有以下两种方案：方案一：决定不乘第一辆车，若第二辆车的车况好于第一辆车，就乘坐此车；否则直接乘坐第三辆车．方案二：直接乘坐第一辆车．若三辆车开过来的先后次序等可能，记方案一和方案二坐到车况为“好”的车的概率分别为12,p p ，则 A ．112p =B ．216p =C ．1213p p ==D ．1214p p ==10．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，且直线1l ，2l 分别与抛物线C 交于A ，B 和D ，E ，则四边形ADBE 面积的最小值是A ．32B ．64C ．128D ．25611．若3273log 273log a b a b +=+，则A ．3a b <B ．3a b >C ．2a b >D ．2a b <12．已知()(),f x g x ′′分别为定义在R 上的()f x ,()g x 的导函数，且()()2f x g x −′=，()()22f x g x +′−=，若()g x 是偶函数，则下列结论一定正确的是A ．函数()f x 的图象关于点()1,1对称B ．函数()f x ′的图象关于直线2x =对称C ．3是()g x ′的一个周期D ．()20241f =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省宝鸡23届高三一模数学(理)含答案
绝密★考试结束前2023年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.注意事项1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整､笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.第I 卷（选择题共60分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知集合{}{}lg ,2,1,0,1,2A xy x B ===--∣，那么A B ⋂等于（）A.{}2,1,0,1,2--B.{}0,1,2C.{}2,1,1,2--D.{}1,22.已知复数1i1iz -=+，则z =（）A.1C.2D.43.双曲线2221x y -=的渐近线方程是（）A.y =B.2y x =±C.2y x=± D.12y x =±4.最早发现于2019年7月的某种流行疾病给世界各国人民的生命财产带来了巨大的损失.近期某市由于人员流动出现了这种疾病，市政府积极应对，通过3天的全民核酸检测，有效控制了疫情的发展，决定后面7天只针对41类重点人群进行核酸检测，下面是某部门统计的甲､乙两个检测点7天的检测人数统计图，则下列结论不正确的是（）A.甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数B.甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差C.甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数D.甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差5.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱长为4，则异面直线AC 与1DC 所成角的正切值为（）A. B. C.36.已知向量,m n 满足()23m n n -⊥ ，且||||m n =，则,m n 夹角为（）A.6π B.3π C.23π D.56π7.已知()10,,sin cos 5απαα∈-=，则tan2α=（）A.43-B.43C.247-D.2478.椭圆22:143x y C +=的左､右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上，且直线2PA 斜率取值范围是11,2⎡⎤--⎢⎣⎦，那么直线1PA 斜率取值范围是（）A.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[]1,2 D.3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知等差数列{}n a 满足47580,4a a a a +=+=-，则下列命题：①{}n a 是递减数列；②使0n S >成立的n 的最大值是9；③当5n =时，n S 取得最大值；④60a =，其中正确的是（）A.①②B.①③C.①④D.①②③10.已知直线(0,0)y mx n m n =+>与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（）A.(]0,2 B.(]0,4 C.[)2,∞+ D.[)4,∞+++ 的整数部分是（）A.3B.4C.5D.612.已知函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠满足()()()22,1xf x f xg x x +-==-，若函数()y f x =与()y g x =的图像恰有四个交点，则这四个交点的横坐标之和为（）A.2B.4C.6D.8第II 卷（非选择题共90分）二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为__________.14.若命题“2,210x R ax ax ∃∈++”是假命题，则实数a 的取值范围是__________.15.七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有__________种.16.在棱长为1的正方体111ABCD B C D -中，M 是侧面11BB C C 内一点（含边界）则下列命题中正确的是（把所有正确命题的序号填写在横线上）__________.①使AM =M 有且只有2个；②满足1AM B C ⊥的点M 的轨迹是一条线段；③满足AM ∥平面11A C D 的点M 有无穷多个；④不存在点M 使四面体1MAA D 是鳖臑（四个面都是直角三角形的四面体）.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共50分17.（本小题满分12分）已知向量)(),cos ,cos ,cos m x x n x x ==- ，定义函数()12f x m n =⋅- .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC 中，若()0f C =，且3,AB CD =是ABC 的边AB 上的高，求CD 长度的最大值.18.（本小题满分12分）如图在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是平行四边形.已知2,1,PA AB AD AC E ====是PB 中点.（1）求证：平面PBC ⊥平面ACE ；（2）求平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）.已知点()0,2A x -在抛物线2:2(0)C y px p =>上，且A 到C 的焦点F 的距离与到x 轴的距离之差为12.（1）求C 的方程；（2）当2p <时，,M N 是C 上不同于点A 的两个动点，且直线,AM AN 的斜率之积为2,,AD MN D -⊥为垂足.证明：存在定点E ，使得DE 为定值.20.（本小题满分12分）甲､乙两个代表队各有3名选手参加对抗赛.比赛规定：甲队的1，2，3号选手与乙队的1，2，3号选手按编号顺序各比赛一场，某队连赢3场，则获胜，否则由甲队的1号对乙队的2号，甲队的2号对乙队的1号加赛两场，胜场多者最后获胜（每场比赛只有胜或负两种结果）.已知甲队的1号对乙队的1，2号选手的胜率分别是0.5，0.6，甲队的2号对乙队的1，2号选手的胜率都是0.5，甲队的3号对乙队的3号选手的胜率也是0.5，假设每场比赛结果相互独立.（1）求甲队仅比赛3场获胜的概率；（2）已知每场比赛胜者可获得200个积分，求甲队队员获得的积分数之和X 的分布列及期望.21.（本小题满分12分）已知函数()()()1(0),2ln 1xf x m x e mg x x x =+>=++.（1）求曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程；（2）若曲函数()y f x =的图像与()y g x =的图像最多有一个公共点，求实数m 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第､题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请先涂题号.22.（选修4-4坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为2,2x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()3R πθρ=∈.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线1C 的任意一点到曲线2C 距离的最小值.23.（选修4-5不等式选讲）（本小题满分10分）已知0a b c >>>，求证：（1）114a b b c a c+≥---；（2）222a b c b c c a a b a b c a b c +++>.2023年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（理科）试题答案一､选择题：1-12DAACCACBDCBB二､填空题：13.1514.[0,1)15.7216.②③三､解答题：17.（1）()1 2f x m n =⋅-21cos cos 2x x x --=31cos 21sin 2sin(22226x x x π+--=-）-1()f x ∴的最小正周期为π()0,sin 216f c c π⎛⎫=∴-= ⎪⎝⎭ 0C π<<又，5 2,266662C C πππππ∴-<-<∴-=， 3C π∴=.又12ABCS = AB 1sin 602CD ab ︒⋅=，6CD ab ∴=.由余弦定理得229a b ab ab =+-≥，当且仅当3a b ==时，“=”成立，max CD ∴=332.18.():1解证明：PA ⊥ 面ABCD ，且2,1PA AC ==，PC BC ∴=，且2PA AB ==又E PB 为中点，,,PB CE PB AE CE AE E ∴⊥⊥⋂=且，PB ACE ∴⊥平面，且PB PBC ⊂平面，PBC ACE ∴⊥平面平面.()2 222BC AB AC =+， ∴AB AC ⊥，以A 为原点建系，如图则()()()()()0,0,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2,0,1,1A B D P E -设平面PAD 的法向量(),,,n x y z =则00n AP n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2020z x y =⎧⎨-=⎩，取()2,1,0n =，由（1）得()0,2,2PB =-是平面ACE 的法向量，且1010cos n PB ⋅=，∴平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角的余弦值为1010.19 :解（1）依题意，2 2p p +-2=12，解之得p =1或p =4，22 2 8y x y x ∴==或.（2） 2, p <∴22y x =，A （2,2-）.设MN ：x my n =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22,y x x my n⎧=⎨=+⎩得2220y my n --=，2480m n ∆=+>①且12122,2y y m y y n +==-，∴1222222AM AN k k y y --⋅=⋅=-∴()()12222y y --=-，即()1212260y y y y -++=，∴ 23n m +=适合①将32n =-m 代入x my n =+得()32x m y -=-∴直线MN 恒过定点Q （3，2）.又 AD ∴D 点在以为AQ 直径的圆上，其方程为2251724x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以存在E5,0,2使得172DE =.20.解：（1）甲队1，2，3号选手与乙队1，2，3号选手比赛获胜的概率分别为0.5,0.5,0.5，，甲队比赛3场获胜的概率为P =0.50.50.50.125.⨯⨯=（2）X 所以可能取得值为0,200,400,600,800.()300.5P x ==，()13332000.50.40.50.60.5P x C ==⨯⨯=⨯，()()132********.50.60.50.40.50.50.40.5 2.10.5P x C C ==⨯+⨯+⨯⨯⨯=⨯，()()3132333 6000.50.50.60.50.50.60.50.40.5P x C C ==+⨯⨯+⨯⨯+⨯33.40.5=⨯，()23338000.50.60.50.90.5P x C ==⨯⨯=⨯.即X 0200400600800P0.1250.0750.26250.4250.1125333 00.52000.60.5400 2.10.5EX ∴=⨯+⨯⨯+⨯⨯+33600 3.40.58000.90.5⨯⨯+⨯⨯=46521.（1）解：依题()2g x x'=+1，()1k g ∴='=3，()12g =则()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为()231y x -=-，310x y --=即.（2）令()()()()121xF x f x g x m x e lnx x =-=+---，则()()()21212(xx F x m x e x me x x =+--=+-'） (0).x >由()0F x '=，得1xme x =.0001x x me x =设满足.则当0(0,x x ∈）时，()00F x '<，0(,x x ∈+∞）时，()00F x '>，所以()min F x =()0F x =()0000121xm x e lnx x +---.又001x mex =且00ln ln m x x +=-，所以()0F x =00012lnx x x --.因为()()10,0,f x g f x e ⎛⎫>< ⎪⎝⎭指数函数的增长速度更快且与()()0,0g x F x ≥都是单调递增的所以.因为12y lnx x=-+-x -单调递减，且()10F =，001,x ∴<≤又001x m x e =，且函数1xy xe =单调递减，所以m >1e.22.解：（1）由22x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去t 得221:8C x y -=又曲线2C 是经过原点且倾斜角为3π的直线其直角坐标方程为y =.（2）设2(P t t +，2)t t-，则2P C 点到直线的距离())121122d t t=+≥当且仅当)1t =±时等号成立.23.证明：（1）1111(a b b c a b b c +=+----）()()1a b b c a c ⎡⎤-+-⎣⎦-12b c a b a b b c a c --⎛⎫=++ ⎪---⎝⎭又因为a b >>c >0， 0,0,0a b b c a c ∴->->->，∴1112a b b c a c ⎛+≥+ ---⎝=4a c -.（当且仅当bc a ba b b c--=--时，“=”成立）（2）因为222222a b c a b ca b a c b c b a c a c bb c c a a b b c c a a b a b c a b c a a b b c c a b c a b c------++++++=⋅⋅=⋅⋅=（)b ca ca b a b a b c c ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为a b >>0∴1ab>，0a b ->，∴（a b a b ->1同理1,b ca cb ac c --⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>1，∴222a b c b c c a a b a b c a b c+++>1，故222a b c b c c a a b a b c a b c +++>.。
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）含答案解析
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜86．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜07．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．2169．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为_______．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为_______．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是_______．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=_______．﹣1三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出集合的补集关系，然后求解交集．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）={4，5}．故选：B．2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，∴复数的共轭复数是1﹣i．故选：A．3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可得a n和S n，逐个选项验证可得．【解答】解：由题意可得，A.，，∴A错；B.，构造函数f（x）=2x，易知f（x）在R上单调递增，当x=2时，f（2x﹣1）=f（x+1），∴R上不能保证f（2x﹣1）≤f（x+1）恒成立，∴B错；C．S n＜a n+1恒成立即2n﹣1＜2n恒成立，显然C正确．同A的解析可得D错误．故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可填入的条件是k＜8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．故选：D．6．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f （x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=189种．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出a的取值范围即可．【解答】解：表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K，由图易观察到BC与y轴重合时，，当BC向右移动时，，综上，a∈[0，1]．故选：C．11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．【解答】解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=，∴PE=，DP=∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP=，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为∴外接球的表面积=4πr2=6π．故选：D．12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数，由函数有唯一零点x0，则y1，y2有公切点，由此求x0的解析式，即可求出m、n的值．【解答】解：令，则，在（0，1）上y1为减函数，在（1，+∞）上y1为增函数，所以y1为凹函数，而y2为凸函数；∵函数有唯一零点x0，∴y1，y2有公切点（x0，y0），则，消去a，得+﹣2（﹣）lnx0=0；构造函数，则g（1）=3，欲比较5与7ln2大小，可比较e5与27大小，∵e5＞27，∴g（2）＞0，，∴x∈（2，e）；∴m=2，n=3，∴m+n=5．二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为18．【考点】二项式定理的应用．【分析】设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，求得a的值，再利用排列组合的知识求得x3的系数．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0…②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．当（3+x）中取3，则（1+x）4取x，x，x，1，即可得x3的系数为，当（3+x）中取x，则（1+x）4取x，x，1，1，即x3的系数为，∴展开式中x3的系数为18．故答案为：18．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=515．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=440．【考点】数列的求和．【分析】由（n≥2），对n分类讨论，可得：a2k+a2k﹣2=4k﹣1，a2k+1+a2k ﹣1=1，分组求和即可得出．【解答】解：∵（n≥2），∴当n=2k时，即a2k﹣a2k﹣1=2k，①当n=2k﹣1时，即a2k﹣1+a2k﹣2=2k﹣1，②当n=2k+1时，即a2k+1+a2k=2k+1，③①+②a2k+a2k﹣2=4k﹣1，③﹣①a2k+1+a2k﹣1=1，S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）=．三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合A锐角，sinA＞0，可得sinC=，又C为锐角，即可得解C的值．（2）由余弦定理及已知可得7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积公式可得ab=6，即可得解a+b 的值．【解答】解：（1）∵a=2csinA，∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴sinC=，又∵C为锐角，∴C=，（2）∵三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×=．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，∵由于a+b为正，∴a+b=5．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．（Ⅱ）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）==，P（B）==，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1﹣P（B））==．（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=P（A）+P（）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=2）=P（AB）+P（A）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=3）=P（ABC）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，，建立方程，联立，即可求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可确定结论．【解答】解：（1）设方程为（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），F（c，0）∵椭圆C的离心率为，∴=∴a=2b，∴①∵②∴联立①②，解得b=1，c=∴a=2，∴椭圆的方程为；（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，∵直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，∴=1∴m2=1+k2③直线l代入椭圆方程，可得（）x2+2kmx+m2﹣1=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴==④③代入④可得=，∴|x1﹣x2|=∴|MN|==∴=令t=4k2+1≥1，则代入上式的，S=∴t=3，即4k2+1=3，解得时，S取得最大值为1．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出k的最大值即可；（2）假设存在这样的x0满足题意，得到+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出满足条件的x的值．【解答】解：（1）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx+1＞k（1﹣），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，若k≤2，∵x＞1，∴lnx＞0，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）=1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0，解得x＞e k﹣2，故g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增；∴g min（x）=g（e k﹣2）=3k﹣e k﹣2，令h（k）=3k﹣e k﹣2，h′（k）=3﹣e k﹣2，∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4．（2）假设存在这样的x0满足题意，∵e f（x0）＜1﹣x02，∴+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，则h′（x）=x（a﹣），令h′（x）=0，得：e x=，故x=﹣lna，取x0=﹣lna，在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；∴h min（x）=h（x0）=（﹣lna）2+alna+a﹣1，在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2+alna+a﹣1，则p′（a）=（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）＜p（1）=0，即当x0=﹣lna时符合题意．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…9月9日。
河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）含答案解析
河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直D．∥4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．88．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．611．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B． C． D．112．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f （x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M （x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10 （Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）＞0，解得：x＜﹣或x＞3，即B={x|x＜﹣或x＞3}，∵A={x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}，故选：D．2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．故选：A．3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直D．∥【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，对选项中的命题进行分析判断即可．【解答】解：∵向量=（2，0），=（1，1），∴||=2，||===2，||=||，A正确；•=2×1+0×1=2，B正确；（﹣）•=（1，﹣1）•（1，1）=1×1﹣1×1=0，∴（﹣）⊥，C正确；2×1﹣0×1≠0，∴∥不成立，D错误．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，解得S0=10故选：D．5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选B．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：∵|x|≥0，∴若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，∴0＜a＜1，当x＞0时，数y=log a|x|=log a x，为减函数，当x＜0时，数y=log a|x|=log a（﹣x），为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a 的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故选D．8．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【分析】由题意知函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值，从而可得（•+a）2=3+a2，从而解出f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），从而确定单调增区间．【解答】解：∵函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=，∴函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值；∴（•+a）2=3+a2，解得，a=1；故f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），故2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，故2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故选：C．9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，=1+3（k﹣1）=3k﹣2，a2k=2+3（k﹣1）=3k﹣1．且a2k﹣1则当n为偶数时，设2k=n，数列{a n}的前n项和S n=+=3k2=．故选：C．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，∴几何体底面弧长为=．圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，AC=AD=4，．∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．∴∠BAB′=120°．∴BB′==6．故选D．11．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B． C． D．1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，利用转化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，进一步得到a，e与b的关系，然后利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：如图，由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，延长F2Q交F1P延长线于M，得PM=PF2，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PM=MF1=2a，连接OQ，知OQ是三角形F1F2M的中位线，∴OQ=a，又OQ=2b，∴a=2b，则a2=4b2=4（a2﹣c2），即c2=a2，∴===2b+≥2=．当且仅当2b=，即b=时，有最小值为．故选：C．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f （x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A． B．C．D．【考点】数列与函数的综合．【分析】根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=f （x），从而f（x+2n）=f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n}的前n项和为S n．【解答】解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），∴f（x+2）=f（x），∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x+2n）=f（x）设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n∴a n=22﹣n∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n}的前n项和为S n==故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d，再由弦长公式可得弦长．【解答】解：圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d==1，半径r=2，故|AB|=2=2，故答案为：2．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为1．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y﹣3，化为直线方程的斜截式，利用线性规划知识求出t的范围，取绝对值得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=x+2y﹣3，则，由图可知，当直线过O时，直线在y轴上的截距最小，t有最小值为﹣3；直线过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最大值为﹣1．∴z=|x+2y﹣3|的最小值为1．故答案为：1．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为5．【考点】类比推理．【分析】f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，∴f（x）=+的最小值为=5．故答案为：5．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是6π．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．【解答】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SD•BDcos∠SDB=3+1﹣2×=2，满足SB2=SD2﹣BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA．（II）f（x）=sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，可得＜B+＜，即可得出．【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）f（x）==sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，∴∈，∴f（B）的取值范围是．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10 （Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由统计数据能作出频率分布直方图，利用频率分布直方图能估算这100学生的数学平均成绩．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由统计数据作出频率分布直方图如下：∴估算这100学生的数学平均成绩：=10（85×0.002+95×0.008+105×0.03+115×0.03125×0.02+135×0.01）=113.8．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2PEξ==．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据四点F、B、C、E共面，以及三角形相似建立方程关系进行求解；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵AF∥DE，AB∥CD，AF∩AB=A，DE∩DC=D，∴平面ABF∥平面DCE，∵平面ADEF⊥平面ABCD，∴FB∥CE，∴△ABF～△DCE，∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF=，由相似比得，即，得x=4（Ⅱ）连接BD，设AB=1，则AB=AD=1，CD=2，可得BD=，取CD的中点M，则MD与AB平行且相等，则△BMD为等腰直角三角形，则BC=BD=，∵BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．∵平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，BC⊥DE，又∵ED∩BD=D，∴BC⊥平面BDE．又∵BC⊂平面BCE，∴平面BDE⊥平面BEC．（ III）建立空间坐标系如图：设AB=1，∵x=2，∴CD=2，则F（1，0，1），B（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），=（1，0，0），=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1），设平面EF的一个法向量为=（x，y，z），则由得，则取=（0，1，1），设平面EBC的法向量为=（x，y，z），则，得，令y=1，则z=2，x=1，即=（1，1，2），则cos＜，＞===，则＜，＞=30°，∵二面角F﹣EB﹣C是钝二面角，∴二面角F﹣EB﹣C的大小为150°．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）利用垂径定理和勾股定理列方程解出p即可得出抛物线方程；（II）联立方程组，由根与系数的关系得出A，B纵坐标的关系，假设存在符合条件的P 点，则k PA+k PB=0，代入斜率公式化简即可求出x0，y0．【解答】解：（I）设抛物线的准线方程为x=﹣．圆O的半径r=2，由垂径定理得=4，解得p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（II）联立方程组得y2+4y﹣4m=0，∴△=16+16m＞0，解得m＞﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4m．若抛物线上存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称，则k PA+k PB=0，∴+=+==0，∴y0=﹣=2，x0==1．∴存在点P（1，2），只要m＞﹣1，直线PA，PB关于直线x=1对称．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（Ⅱ）求导，根据中点坐标公式得到=﹣（x1+x2）+a+，①，分别把两个零点x1，x2，代入到F（x）中，转化，分离参数得到a﹣（x1+x2）=，再代入得到= [ln+]，换元，构造函数得到h（t）=lnt+，根据导数求出h（t）的最大值，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x+a﹣=，令f′（x）＞0，得x＞，f′（x）＜0，得0＜x＜，∴函数f（x）在（，+∞）为增函数，在（0，）为减函数，（Ⅱ）由已知g（x）=f（x）+2lnx，∴F（x）=3g（x）﹣2xg′（x）=﹣x2+ax+3lnx﹣2，∴F′（x）=﹣2x+a+，即： =﹣（x1+x2）+a+，①∵函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，∴﹣x12+ax1+3lnx1﹣2=0，②﹣x22+ax2+3lnx2﹣2=0，③②﹣③得﹣（x12﹣x22）+a（x1﹣x2）+3（lnx1﹣lnx2）=0可得（x1﹣x2）[a﹣（x1+x2）]+3ln=0，∴a﹣（x1+x2）=，代入①得： =+=[ln+]= [ln+]，令=t，则0＜t＜1，∴h（t）=lnt+，∴h′（t）=+=﹣=≥0∴h（t）在（0，1）上为增函数，∴h（t）＜h（1）=0，∵x1＜x2，∴＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知中DE2=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F 四点共圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=12，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE2=EF•EC，∴=，又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及相交弦定理得：PE•EF=AE•ED=12，又BE•EC=AE•ED=12，∴EC=4，EF==，PE=，PB=，PC=PB+BE+EC=，由切割线定理得PA2=PB•PC=×=，所以PA=为所求…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．8月1日。
2023年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2023?合肥一模）已知复数z=3+4i，表示复数z的共轭复数，则，=（）A．考点：专题：分析：解答：复数求模．数系的扩充和复数．菁优网权版所有B5．C．D6．首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，写出复数的共轭复数，求出共轭复数的模长．解：复数z=3+4i，=3﹣4i，=，=，﹣4﹣3i，=故选：B．==5．=﹣4﹣3i，点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数的共轭复数，考查复数求模长，实际上一个复数和它的共轭复数模长相等，本题是一个基础题．2．（5分）（2023?合肥一模）设集合S={0，a}，T={x∈Z，x＜2}，则“a=1”是“S?T”的（）A充分不必要B必要不充分．条件C充分必要条．件考点：专题：分析：解答：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网权版所有2．条件D既不充分也．不必要条件简易逻辑．求出集合T，根据集合元素关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解：T={x∈Z，x＜2}={﹣1，0，1}，当a=1时，S={0，1}，满足S?T．若S?T，则a=1或a=﹣1，∴“a=1”是“S?T”的充分不必要条件．故选：A．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用集合元素和集合之间的关系是解决本题的关键．2点评：3．（5分）（2023?合肥一模）过坐标原点O作单位圆x2+y2=1的两条互相垂直的半径OA、OB，若在该圆上存在一点C，使得+b（a、b∈R），则以下说法正确的是（）A点P（a，b）一定在单位圆内．B点P（a，b）一定在单位圆上．-9-C点P（a，b）一定在单位圆外． D当且仅当ab=0时，点P（a，b）在单位圆上．考点：专题：分析：解答：平面向量的基本定理及其意义．菁优网权版所有平面向量及应用．根据点P到圆心O的距离判断点P与圆的位置关系．解：易知，∵∴，==1 ，=，= =1 ∴OP=又圆的半为1 ∴点P一定在单位圆上故选：B 点评：4．（5分）（2023?合肥一模）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两本题主要考察了向量的求模运算，以及点与圆的位置关系的判断，属于中档题．点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．考点：专题：分析：解答：解：不妨设A（c，y0），代入双曲线∵线段AB的长度恰等于焦距，∴， =1，可得y0=±．双曲线的简单性质．计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．菁优网权版所有B． C． D．先求出AB的长，进而可得，从而可求双曲线的离心率．∴c2﹣a2=ac，∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=．故选：A．点评：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）（2023?合肥一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A18+2．考点：专题：分析：由三视图求面积、体积．菁优网权版所有B24+2．C24+4．D36+4．空间位置关系与距离．根据三视图判断几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，利用勾股定理求出腰为公式计算．=，代入棱柱的表面积解答：解：由三视图知几何体是直四棱柱，且四棱柱的底面为等腰梯形，棱柱的高为2，底面梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为2，腰为∴几何体的表面积S=（2+4+2）×2+2××2=24+4．=，点评：故选：C．本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断三视图的数据所对应的几何量是解答本题的关键． 6．（5分）（2023?合肥一模）已知函数f（x）=，f（﹣x）） B（x，﹣f（x）） C A（x，（．．．﹣sinx，﹣，﹣x，﹣f）） +sinx，则一定在函数y=f（x）图象上的点是（） D（．（+x，﹣f﹣x））（x﹣考点：专题：分析：解答：函数的图象．函数的性质及应用．在函数y=f（x）图象上的点只需把点的坐标代入方程，满足表达式即可．菁优网权版所有解：对于A，f（﹣x）=，确；对于B，﹣f（x）=﹣，对于C，﹣f（x﹣=﹣，+sin（﹣sin（﹣x），﹣，+sin（﹣x），=，+sinx，﹣，﹣sinx，≠f （x），∴A不正﹣sinx，+，+sinx，≠f（x），∴B不正确；），+，+sin（x﹣）， +sin（﹣x），=f（﹣x），）=﹣，﹣sin（x﹣﹣x），+，﹣sin（﹣x），=，﹣sin（﹣x），﹣，∴C正确；对于D，﹣f（x﹣）=﹣，﹣sin（x﹣），+，+sin（x﹣）， - 11 -=﹣，≠f（+sin（﹣x），+，﹣sin（﹣x），=，﹣sin（﹣x），﹣，+sin（﹣x），=f（﹣x）+x），∴D不正确；故选：C．点评：本题考查函数的定义，函数的图象的应用，考查计算能力．7．（5分）（2023?合肥一模）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A5．考点：专题：分析：解答：程序框图．算法和程序框图．根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件n＞117时，确定输出i的值．菁优网权版所有B6．C7．D8．解：由程序框图知：程序第一次运行n=12﹣4=8，i=1+1=2；第二次运行n=4×8+1=33，i=2+1=3；第三次运行n=33﹣4=29，i=3+1=4；第四次运行n=4×29+1=117，i=4+1=5；第五次运行n=117﹣4=113，i=5+1=6；第六次运行n=113×4+1=452，i=6+1=7．此时满足条件n＞117，输出i=7．故选：C．本题考查了选择结果与循环结构相结合的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．点评：8．（5分）（2023?许昌三模）在△ABC中，已知2acosB=c，sinAsinB（2﹣cosC）=sin2+，则△ABC为（） A等边三角形． C锐角非等边B等腰直角三．角形D钝角三角形-12-。
江西省吉安市2023届高三模拟测试数学(理)(一模)试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 设全集，，，则（ ）A．B．C．D．2. 平面向量，共线的充要条件是（ ）A．B．，两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R，D ．存在不全为零的实数λ1，λ2，3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）A．B．C．D．4. 已知函数，，若函数在区间上恰有两个不同的零点，则实数的取值范围（ ）A．B．C．D．5. 富士康对刚生产的iPhone 11智能手机进行抽样检测的数据如下，抽取台数501002003005001000优等品数4092192285478954则该厂生产的iPhone 11智能手机优等品的概率约是（ ）A ．75%B ．85%C ．95%D ．99%6.设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（ ）A．B．C．D．7. 函数是指数函数，则（ ）A ．或B．C．D ．且8.已知函数，其导函数为，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.若函数是幂函数，则实数m 的值可能是（ ）A．B．C．D．10. 已知实数a ，b ，c满足，且，则下列结论正确的有（ ）A．B．C．的最大值为D ．当时，的最大值为7，最小值为11. 为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”、“邻里互助”两个公益服务项目，其中江西省吉安市2023届高三模拟测试数学（理）（一模）试题 (2)江西省吉安市2023届高三模拟测试数学（理）（一模）试题 (2)三、填空题四、解答题某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下：日期项目星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日党员先锋24272625377672邻里互助11131111127132143对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（ ）A ．“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25B ．“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64C ．用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为D ．用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为12. 19世纪时期，数学家们处理大部分数学对象都没有完全严格定义，数学家们习惯借助直觉和想象来描述数学对象，德国数学家狄利克雷（Dirichlet ）在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），后来人们称之为狄利克雷函数，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义狄利克雷函数可以定义为（其中且），则下列说法正确的是（ ）A ．都有B．函数和均不存在最小正周期C ．函数和均为偶函数D ．存在三点在图像上，使得为正三角形，且这样的三角形有无数个13.设是等差数列的前n 项和，若，则______．14. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，准线为l ．若C 恰过，，三点中的两点，则C 的方程为________；若过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点，且A 到l 的距离为4，则________．15.已知函数为偶函数，则________16.记数列的前n 项和为，且满足（）.（1）求的通项公式；（2）求证：数列的前n 项和.17. 如图所示，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2正方形，，与交于点，点在线段上.(1)求证：平面；(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值.18. 如图，在直三棱柱中，是以为斜边的等腰直角三角形，，点，分别为棱，上的点，且.(1)若，求证：平面；(2)若二面角的大小为，求实数的值.19. 如图1，平面四边形中，和均为边长为的等边三角形，现沿将折起，使，如图2.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.20. 如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点.(1)设为的中点，求证：；(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值.21. 已知双曲线（，）过和两点，点为的右顶点．(1)求的方程；(2)过点作斜率不为0的直线与交于点，，直线分别交直线，于，．试探究以为直径的圆是否经过定点，若过定点，请求出所有定点坐标；若不过定点，请说明理由．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
试卷类型：A广东省广州市高三第一次模拟考试数 学（理科）．3 本试卷共4页，21小题， 满分150分． 考试用时120分钟． 参考公式：球的体积公式343V R π=，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数()3i 1i - 的共轭复数．．．．是 A ．3i -+ B ．3i -- C ．3i + D ．3i -2．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ﹐球面上有两个点A ，B 的坐标分别为()1,2,2A ，()2,2,1B -，则AB =A ．18B ．12C ．D ．3．已知集合{}1,1A =-，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-4．若关于x 的不等式1x a -<的解集为()1,3，则实数a 的值为A ．2B ．1C ．1-D ．2- 5．已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上元以下罚款．据《法制晚报》报道，8月15日至 8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布 直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 A ．2160 B ．2880 C ．4320 D ．8640 7．在ABC △中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若()4,3PA =，()1,5PQ =，则BC =A ．()2,7-B ．()6,21-C ．()2,7-D ．()6,21-8．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为A ．11260B ．1840 C ．1504D ．1360二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若{}n a 前n 项和127n S =，则n 的值为 ．10．某算法的程序框如图3所示，若输出结果为12，则输入的实数x 的值 是________．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“：=”）11．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，20 30 40 50 60 70 80 90 100 酒精含量频率组距（mg/100ml ）0.015 0.01 0.0050.02 图1图2 图3开始结束输入否是 输出则点P 到点O 的距离大于1的概率为 ． 12．已知函数()()21,1,log ,1.a a x x f x x x --⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为 ．13．如图4，点O 为正方体ABCD A B C D ''''-的中心，点E 为面B BCC ''的中心，点F 为B C ''的中点，则空间四边形D OEF '在该正方体的面上的正投影可能是 （填出所有可能的序号）．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图5,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥，垂足为D ，且5AD DB =,设COD θ∠=, 则tan θ的值为 .15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为3,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,6π⎛⎫⎪⎝⎭，则△AOB （其中O 为极点）的面积 为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()sin cos cos sin f x x x ϕϕ=+（其中x ∈R ，0ϕπ<<）． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数24y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像关于直线6x π=对称，求ϕ的值．17．（本小题满分12分）某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球（球的大小相同）．参与者随机从抽奖箱里摸取一球（取后即放回），公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金（元），并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半（若再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球机会），求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元．图5AB CDO ① ② ③ ④图4 AB CDE FO18．（本小题满分14分）如图6，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点，3AE =，圆O 的直径为9． （1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；（2）求二面角D BC E --的平面角的正切值． 19．（本小题满分14分）已知a ∈R ，函数()ln 1af x x x=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；（2）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ =．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B两点，设1DA l =，2DB l =，求1221l l l l +的最大值． 21．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，都有0n a >，n S =（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）证明：21221n n nn n n a a a +-+≥．广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．7 10 11．2312．(]2,3 13．①②③14 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵()()sin f x x ϕ=+，∴函数()f x 的最小正周期为2π． （2）解：∵函数2sin 244y f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又sin y x =的图像的对称轴为2x k ππ=+（k ∈Z ），令242x k ππϕπ++=+，将6x π=代入，得12k πϕπ=-（k ∈Z ）．∵0ϕπ<<，∴1112πϕ=． 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）解：设ξ表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金数减半，即分别为500，400，300，0．则ξ的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0． 依题意得()()()110008006004P P P ξξξ======， ()()()()1500400300016P P P P ξξξξ========， 则ξ的分布列为()()1110008006005004003000416E ξ=++++++ 675=元．答：一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是675元． 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵AE 垂直于圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面上，∴AE ⊥CD ．在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，∵AD AE A =，∴CD ⊥平面ADE ． ∵CD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ADE ．（2）解法1：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，∴CD DE ⊥．∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，222281DE CE CD a =-=-，在Rt △ADE 中，22229DE AD AE a =-=-， 由22819a a -=-，解得，35a =． ∴226DE AD AE =-=．过点E 作EF AD ⊥于点F ，作FG AB 交BC 于点G ，连结GE ，由于AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ， ∴EF AB ⊥． ∵AD AB A =，∴EF ⊥平面ABCD ． ∵BC ⊂平面ABCD ， ∴BC EF ⊥．∵BC FG ⊥，EF FG F =，∴BC ⊥平面EFG ． ∵EG ⊂平面EFG ， ∴BC EG ⊥．∴FGE ∠是二面角D BC E --的平面角．在Rt △ADE 中，35AD =，3AE =，6DE =， ∵AD EF AE DE ⋅=⋅， ∴3665535AE DE EF AD ⋅⨯===． 在Rt △EFG 中，35FG AB ==， ∴2tan 5EF EGF FG ∠==． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为25． 解法2：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴CD DE ⊥．∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中，222281DE CE CD a =-=-，在Rt △ADE 中，22229DE AD AE a =-=-，由22819a a -=-，解得，35a =．∴226DE AD AE =-=．GF以D 为坐标原点，分别以ED 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()6,0,0E -，()0,35,0C -，()6,0,3A -，[来源:]()6,35,3B --．设平面ABCD 的法向量为()1111,,x y z =n ，则110,0.DA DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即111630,350.x z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取11x =，则()11,0,2=n 是平面ABCD 的一个法向量． 设平面BCE 的法向量为()2222,,x y z =n ，则220,0.EB EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即22223530,6350.y z x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 取22y =，则()25,2,25=n 是平面ABCD 的一个法向量．∵()()1212121,0,25,2,255cos ,104542029===⋅++⋅++n n n n n n ， ∴122sin ,29=n n ． ∴122tan ,5=n n ． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为25． 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：∵()ln 1a f x x x =+-，∴221()a x a f x x x x-'=-+=． 令()0f x '=，得x a =．①若a ≤0，则()0f x '>，()f x 在区间(]0,e 上单调递增，此时函数()f x 无最小值． ②若0a e <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减， 当(],x a e ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],a e 上单调递增，xyz所以当x a =时，函数()f x 取得最小值ln a ．③若a e ≥，则()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 所以当x e =时，函数()f x 取得最小值a e． 综上可知，当a ≤0时，函数()f x 在区间(]0,e 上无最小值；当0a e <<时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln a ； 当a e ≥时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为a e． （2）解：∵()()ln 1xg x x e x =-+，(]0,x e ∈，∴ ()()()()ln 1ln 11x xg x x e x e'''=-+-+()1ln 11ln 11x x x e x e x e x x ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭． 由（1）可知，当1a =时，1()ln 1f x x x=+-． 此时()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln10=，即1ln 10x x+-≥． 当(]00,x e ∈，00x e>，001ln 10x x +-≥， ∴00001()ln 1110x g x x e x ⎛⎫'=+-+> ⎪⎝⎭≥． 曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解． 而()00g x '>，即方程0()0g x '=无实数解．故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直．20．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设(),P x y ，则(),1Q x -，∵QP QF FP FQ =，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--．即()()22121y x y +=--，即24x y =，所以动点P 的轨迹C 的方程24x y =．（2）解：设圆M 的圆心坐标为(),M a b ，则24a b =． ①圆M 的半径为MD =圆M 的方程为()()()22222x a y b a b -+-=+-． 令0y =，则()()22222x a b a b -+=+-，整理得，22440x ax b -+-=． ② 由①、②解得，2x a =±． 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +，∴1l =2l =．∴22212122112l l l l l l l l ++==== ③当0a ≠时，由③得，1221l l l l +==当且仅当a =± 当0a =时，由③得，12212l l l l +=． 故当a =±时，1221l l ll +的最大值为 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识） （1）解：当1n =时，有11a S ==由于0n a >，所以11a =．当2n =时，有2S =12a a +=，将11a =代入上式，由于0n a >，所以22a =．（2）解：由n S =，得()23331212n n a a a a a a +++=+++， ①则有()23333121121n n n n a a a a a a a a ++++++=++++． ②②－①，得()()223112112n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++，由于0n a >，所以()211212n n n a a a a a ++=++++． ③同样有()21212n n n a a a a a -=++++()2n ≥， ④③－④，得2211n n n n a a a a ++-=+．所以11n n a a +-=．由于211a a -=，即当n ≥1时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列．故n a n =．（3）证明1：由于()0122331C C C C nn n n n x x x x +=++++， ()0122331C C C C nn n n n x x x x -=-+-+， 所以()()13355112C 2C 2C nnn n n x x x x x +--=+++．即()()33551122C 2C nnn n x x nx x x +---=++．令12x n =，则有11111022n nn n ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥． 即1111122n nn n ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，即()()()21221n n nn n n ++-≥故21221n n nn n n a a a +-+≥．证明2：要证21221n n nn n n a a a +-+≥，只需证()()()21221n n nn n n ++-≥，只需证1111122n nn n ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，只需证1111122n nn n ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．由于111122n nn n ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23231230123111111C C C C C C C C 222222n n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦－－ 351351112C C C 222n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦35351112C C 122n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥． 因此原不等式成立．。