序列的卷积和快速卷积运算的编程实现

课程设计名称：数字信号处理课程设计

课程设计题目：序列的卷积和快速卷积运算的编程实现

初始条件：

1. Matlab6.5以上版本软件；

2. 课程设计辅导资料：“Matlab 语言基础及使用入门”、“数字信号处理原理与实现”、“Matlab 及在电

子信息课程中的应用”等；

3. 先修课程：信号与系统、数字信号处理、Matlab 应用实践及信号处理类课程等。

要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求） 1. 课程设计时间：1周（课内实践）；

2. 课程设计内容：序列的卷积和快速卷积运算的编程实现，具体包括：直接卷积及应用、快速卷积方

法及实现、两者的比较分析等；

3. 本课程设计统一技术要求：研读辅导资料对应章节，对选定的设计题目进行理论分析，针对具体设

计部分的原理分析、建模、必要的推导和可行性分析，画出程序设计框图，编写程序代码（含注释），上机调试运行程序，记录实验结果（含计算结果和图表），并对实验结果进行分析和总结； 4. 课程设计说明书按学校“课程设计工作规范”中的“统一书写格式”撰写，具体包括：

① 目录； ② 与设计题目相关的理论分析、归纳和总结； ③ 与设计内容相关的原理分析、建模、推导、可行性分析； ④ 程序设计框图、程序代码（含注释）、程序运行结果和图表、实验结果分析和总结； ⑤ 课程设计的心得体会（至少500字）； ⑥ 参考文献； ⑦ 其它必要内容等。

附——具体设计内容：

1. 已知线性非移变系统的h(n)=[6,2,3,6,4,2]，输入为x(n)=[1,2,3,4,5]； （1） 用人工计算系统输出y(n)； （2） 编写程序输出y(n)，并作图。

2. 用函数conv 和FFT 计算长为1000序列的卷积，比较其计算时间。

3. 用快速卷积法计算()0.9()n M x n R n =和()()N h n R n =两个序列的卷积；并测试直接卷积和快速卷时间。

摘要

卷积在数字信号处理中有着重要的作用。然而直接计算卷积的运算量非常大，它与序列长度的平方成反比，因此制约了卷积的应用。快速卷积是实现卷积的一种快速算法，减少了运算量，节约了时间。通过分析我们可在MATLAB里编程实现。

关键词：卷积；快速卷积；MATLAB。

目录

一、直接卷积及应用 (1)

1、卷积的定义 (1)

2、卷积的运用 (1)

二、快速卷积方法及实现 (2)

1、快速卷积运算原理 (2)

2、实现方法 (3)

（1）重叠相加法 (3)

（2）重叠保留法 (3)

三、直接卷积和快速卷积的分析比较 (4)

四、程序设计及仿真结果分析 (4)

五、心得体会 (11)

六、参考文献 (12)

一、直接卷积及应用

1、卷积的定义

设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。2、卷积的运用

卷积是数字信号处理中最常见，也是最重要的运算之一，利用卷积可以实现相关计算和FIR滤波等等，正因为卷积如此重要，所以半个世纪以来，学者们提出了多种不同卷积实现结构。

设输入信号为x（t）,其频谱函数为X（jΩ）该信号通过滤波器h（t）后，其输出信号y（t）的频谱函数Y（jΩ）是频谱函数x（jΩ）与滤波器的频谱函数H（jΩ）的乘积，即：

Y（jΩ）=X（jΩ）H（jΩ）

而在时域，输出信号y(t)实际是输入信号x(t)与滤波器h(t)的卷积，就是说频谱函数的乘积相当于时间函数的卷积，反之亦然，即：

y(t)=x(t)*h(t)

在数字信号处理系统中，无论在时域还是频域都离不开卷积运算和快速傅里叶运算，Matlab具有强大的矩阵运算能力。方便实用的绘图功能和语言的高度集成性。在DSP开发中，使用Matlab可以快速对系统进行仿真运算。

二、快速卷积方法及实现

1、快速卷积运算原理

在信号处理中，许多具体的应用是以线性卷积为基础的。当满足一定条件时，可以用圆周卷积来计算线性卷积。由圆周卷积定理知道，圆周卷积可以借助DFT 来运算，因此DFT 的快速算法FFT 就可以用来计算线性卷积。

设x 1（n ）与x 2（n ）分别是长度为N 与M 的有限长序列，它们的线性卷积为y l （n ），L 点的圆周卷积为y c （n ），它们的关系为 y c （n ）=∑y l (n+rL)R l (n)

由上式可知圆周卷积是线性卷积以L 为周期进行延拓后，再取主值序列的结果。当满足L>M+N-1时，周期延拓不发生混叠，就可以用圆周卷积来计算线性卷积。由圆周卷积定义可知，可以用FFT 分别求出x 1（n ）与x 2（n ）的L 点DFT X 1（k ）与X 2（k ），即 X 1（k ）=DFT[ x 1(n ）], X 2（k ）=DFT[ x 2(n) ],

再用IFFT 计算X 1(k ）X 2(k)的L 点IDFT 得y c （n ），也就是x 1（n ）与x 2（n ）的线性卷积为y l (n),即

y l (n)=y c (n)=IDFT[X 1(k)·X 2（k ）] 下图为上述过程的示意图 x 1

(n)

y c (n ）=y l (n)

x 2(n)

2、实现方法

在实际应用中，常遇到的问题是参加卷积的两个序列的长度相差较大，这样长度小的序列就需补很多的零点，这样就需要大的存储量，运算时间也会变长。常用的解决方法有两种，一是重叠想加法，另一种是重叠保留法。

（1）重叠相加法

设序列x

1（n）为无限长序列，序列x

2

（n）是长度为M的序列，由x

1

(n)构成长

度为N的有限长序列

x

1k (n)= x

1

(n), kN

= 0 其他（式2.1）因此

x

1k (n)= ∑x

1k

(n) （式2.2）

将式子代入卷积公式有

Y(n)=x

1(n)*x

2

(n)=x

2

(n)* ∑x

1k

(n)

=∑x

1k (n)*x

2

(n)= ∑y

k

(n) （式2.3）

式中，

y

k (n)=x

2

(n)*x

k

(n)= ∑x

2

(m)x

k

(n-m) （式2.4）

式（2.3）表示，计算x

1(n)与x

2

（n）的线性卷积y(n)时，可以先分段计算y

k

(n),然

后再叠加起来即可。因为y

k (n)的长度为M+N-1，因此y

k

（n）的后N-1个值与y

k+1

(n)的前

N-1个值重叠，因此必须把y

k (n)的后N-1个值与y

k+1

（n）前的N-1个值相加，因为称为重

叠相加法。

（2）重叠保留法

为了克服重叠相加法中分段卷积后任然需要相加的缺点，人们提出了重叠保留法。

与重叠相加法不同的是，在对无限长序列x

1(n)的后M-1个抽样值与后一段x

k+1

(n)的前M-1

个抽样值相同，且分段的长度选圆周卷积的长度L，这样形成的分段序列为