轴心受压构件的计算长度系数PPT课件
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对于均匀受压的等截面直杆，此系数取决于构件两端的约束条件。这样一 来，具有各种约束条件的轴心受压构件的屈曲荷载转化为欧拉荷载的通式是：
2EI Pcr ( l ) 2
2
讨论：
2 EI Pcr (l )2
1、Pcr与E、I、l、μ有关，即与材料及结构的形式均有关；
.
2、Pcr与EI成正比，不同的方向EI不一样，压杆要求EI 在 各方向上尽可能相差不大，且其数值尽可能大；
表中μ值还可用简便的实用计算公式确定
11.21.42 10.42
在求解轴心受压构件的弹性屈曲荷载时，均采用了平衡法，但是有许多轴心受压构 件用平衡法无法直接求解，如沿构件的轴线压力有变化和沿轴线截面尺寸有变化等10， 将遇到很难求解的变系数微分方程，这时可采用能量法或其他近似方法求解。
.
谢谢
11
3、Pcr与EI、l、μ有关，同一构件，不同的方向，I不同，
μ不同，视综合情况而定；
4、端约束越强，Pcr越大，越不易失稳；
5、为了保证不同的方向μ尽可能相同，端约束用球铰，
这样，各方向有较一致的约束； 3
6、Pcr非外力也非内力，是反映构件承载能力的力学量。
.
构件截面的平均应力称为屈曲应力：
cr
cr
pE Pcr
2EI
l2Pcr
5
项次 支承条件
1 两端铰接
2 两端固定
3
上端铰接 下端固定
4
上端平移 但不转动 下端固定
5
上端自由 下端固定
6
上端平移 但不转动 下端铰接
.
变形曲线 l0=μl
实例 应用
理论μ值
1.0
设计μ值
1.0
0.5
2EI Pcr ( l ) 2
2
讨论：
2 EI Pcr (l )2
1、Pcr与E、I、l、μ有关，即与材料及结构的形式均有关；
.
2、Pcr与EI成正比，不同的方向EI不一样，压杆要求EI 在 各方向上尽可能相差不大，且其数值尽可能大；
表中μ值还可用简便的实用计算公式确定
11.21.42 10.42
在求解轴心受压构件的弹性屈曲荷载时，均采用了平衡法，但是有许多轴心受压构 件用平衡法无法直接求解，如沿构件的轴线压力有变化和沿轴线截面尺寸有变化等10， 将遇到很难求解的变系数微分方程，这时可采用能量法或其他近似方法求解。
.
谢谢
11
3、Pcr与EI、l、μ有关，同一构件，不同的方向，I不同，
μ不同，视综合情况而定；
4、端约束越强，Pcr越大，越不易失稳；
5、为了保证不同的方向μ尽可能相同，端约束用球铰，
这样，各方向有较一致的约束； 3
6、Pcr非外力也非内力，是反映构件承载能力的力学量。
.
构件截面的平均应力称为屈曲应力：
cr
cr
pE Pcr
2EI
l2Pcr
5
项次 支承条件
1 两端铰接
2 两端固定
3
上端铰接 下端固定
4
上端平移 但不转动 下端固定
5
上端自由 下端固定
6
上端平移 但不转动 下端铰接
.
变形曲线 l0=μl
实例 应用
理论μ值
1.0
设计μ值
1.0
0.5
第四章 轴心受压
设应力和应变曲线上对应点的切线斜率为扭转屈曲的计算长度对两端铰接端部截面可自由翘曲或两端嵌固端部截面翘曲受到完全约束的构件其中为扭转屈曲换算长细比上式计算临界力的方法比较麻烦可采用等代法将扭转屈曲等代为弯曲屈曲进行近似计算由换算长细比可用弯曲失稳的柱子曲线获得稳定系数值
4 轴心受力构件 4.1 概 述
但当截面绕y轴(对
称轴)发生平面弯曲
变形时，横截面产 生剪力(作用于形心 C)与内剪力流的合 力(作用于剪心S)不 重合，必然伴随着 扭转，叫做弯扭屈
曲[图4.42(b)]。
通过推导临界方程为：
( N Ey
2 0
i a0 i x i y
a0 2 N )( N z N ) N ( ) 0 i0 2 2 2
(2)仅考虑残余应力的轴心受压直杆的 临界应力
根据屈曲理论，当屈曲时的平均应力
＝N／A≤ f p 或长细比 ≥ p = E / f p
时，可采用欧拉公式计算临界应力：
N cr N E
EI
2
l
2
EA 2
2
cr
E E
2
2
(2)仅考虑残余应力的轴心受压直杆的 临界应力 当 > f p 或 < p 时，杆件截面内将出现部分塑性
2
上式为N的二次式，解的最小根就是弯扭屈曲 的临界力 N cr 。 由此式可知，对双轴对称截面， a0 0 N cr N Ey 因（形心和剪心间距） ，得 或 N cr N z 即临界力为弯曲屈曲和扭转屈曲临 界力的较小者；对单轴对称截面 a0 0 ，N cr 比 N z 和 N Ey 都小， 0 / i0 值愈大， 小得 a 愈多。
4 轴心受力构件 4.1 概 述
但当截面绕y轴(对
称轴)发生平面弯曲
变形时，横截面产 生剪力(作用于形心 C)与内剪力流的合 力(作用于剪心S)不 重合，必然伴随着 扭转，叫做弯扭屈
曲[图4.42(b)]。
通过推导临界方程为：
( N Ey
2 0
i a0 i x i y
a0 2 N )( N z N ) N ( ) 0 i0 2 2 2
(2)仅考虑残余应力的轴心受压直杆的 临界应力
根据屈曲理论，当屈曲时的平均应力
＝N／A≤ f p 或长细比 ≥ p = E / f p
时，可采用欧拉公式计算临界应力：
N cr N E
EI
2
l
2
EA 2
2
cr
E E
2
2
(2)仅考虑残余应力的轴心受压直杆的 临界应力 当 > f p 或 < p 时，杆件截面内将出现部分塑性
2
上式为N的二次式，解的最小根就是弯扭屈曲 的临界力 N cr 。 由此式可知，对双轴对称截面， a0 0 N cr N Ey 因（形心和剪心间距） ，得 或 N cr N z 即临界力为弯曲屈曲和扭转屈曲临 界力的较小者；对单轴对称截面 a0 0 ，N cr 比 N z 和 N Ey 都小， 0 / i0 值愈大， 小得 a 愈多。
轴心受力构件计算
a曲线包括的截面残余应力影响最小,相同的λ 值,承载力 大, 稳定系数大； c曲线包括的截面残余应力影响较大； d曲线承载力最低。
ห้องสมุดไป่ตู้
f y / 235
图4.21 我国的柱子曲线
4.3.5 轴心受压构件的整体稳定计算
轴心压杆临界应力σ cr确定之后，构件的整体稳定计 算，其稳定计算式应为：
cr cr f y N f A R fy R
2)扭转屈曲：绕纵轴扭转; 3)弯扭屈曲：即有弯曲变形也有扭转变形。
图4.11 轴心压杆的屈曲变形
(a)弯曲屈曲；(b)扭转屈曲；(c)弯扭屈曲
弯曲屈曲：双轴对称截面，单轴对称截面绕非对称轴； 扭转屈曲：十字形截面； 弯扭屈曲：单轴对称截面（槽钢，等边角钢）。
4.3.2理想轴心压杆弯曲屈曲临界应力
— 构件计算长度
i--截面的回转半径
表4.2 受拉构件的容许长细比 承受静力荷载或间接承受动力荷载的结构 构件名称 一般建筑结构 桁架的杆件 吊车梁或吊车桁架以 下的柱间支撑 350 300 400 有重级工作制吊车的厂房 250 200 350 直接承受动力 荷载的结构 250 — —
其他拉杆、支撑、系 杆(张紧的圆钢除外)
2
cr
fy
图4.24 轴心受压构件的局部失稳(c)
由此确定宽厚比限值 b / t
（1）翼缘（三边简支一边自由）
图4.21
轴心受压构件的翼缘失稳
b 235 (10 0.1 ) t fy
λ- 两方向长细比的较大值
不满足此条件时 加大厚度 t
当λ小于30时，取30；当λ大于100时，取100
注：残余应力对弱轴的影响大于对强轴的影响
ห้องสมุดไป่ตู้
f y / 235
图4.21 我国的柱子曲线
4.3.5 轴心受压构件的整体稳定计算
轴心压杆临界应力σ cr确定之后，构件的整体稳定计 算，其稳定计算式应为：
cr cr f y N f A R fy R
2)扭转屈曲：绕纵轴扭转; 3)弯扭屈曲：即有弯曲变形也有扭转变形。
图4.11 轴心压杆的屈曲变形
(a)弯曲屈曲；(b)扭转屈曲；(c)弯扭屈曲
弯曲屈曲：双轴对称截面，单轴对称截面绕非对称轴； 扭转屈曲：十字形截面； 弯扭屈曲：单轴对称截面（槽钢，等边角钢）。
4.3.2理想轴心压杆弯曲屈曲临界应力
— 构件计算长度
i--截面的回转半径
表4.2 受拉构件的容许长细比 承受静力荷载或间接承受动力荷载的结构 构件名称 一般建筑结构 桁架的杆件 吊车梁或吊车桁架以 下的柱间支撑 350 300 400 有重级工作制吊车的厂房 250 200 350 直接承受动力 荷载的结构 250 — —
其他拉杆、支撑、系 杆(张紧的圆钢除外)
2
cr
fy
图4.24 轴心受压构件的局部失稳(c)
由此确定宽厚比限值 b / t
（1）翼缘（三边简支一边自由）
图4.21
轴心受压构件的翼缘失稳
b 235 (10 0.1 ) t fy
λ- 两方向长细比的较大值
不满足此条件时 加大厚度 t
当λ小于30时，取30；当λ大于100时，取100
注：残余应力对弱轴的影响大于对强轴的影响
轴心受压构件的正截面承载力计算PPT课件
不同，所以在不同的加载阶段钢筋和混凝土的应力比值在不断地变化。
荷载N 较小的阶段，材料处于弹性阶段
' s
' s
c
Es
' s
' c
Ec c
' s
Es Ec
' c
钢筋应 力增长
应 力
混凝土的 应力增长
轴力
第11页/共36页
N逐步增大，混凝土的塑性变形开始发展，其弹模降低。随着柱子的变形 增大，混凝土应力增加得很慢。钢筋应力的增长始终与变形成正比，混凝 土与钢筋两者应力之比不再符合弹模之比。而且徐变引起应力的重分布。 荷载N增大到柱子破坏荷载的90%左右时，柱子横向变形达到极限出现纵 向裂缝，混凝土保护层开始剥落。最后箍筋间的纵向钢筋发生屈折向外弯 凸，混凝土被压碎，整个柱子也就破坏了。
b. 根据公式，另 0 Nd Nu ，可得受压钢筋的数量
As'
1 f s'd
( 0 Nd 0.9
fcd A)
c. 根据计算值及构造要求选择并布置进行钢筋。
第20页/共36页
截面复核
截面复核
已知：截面尺寸 d(b、h)、l0、fcd、 fsd 、Nd、 As'
求：Nu 步骤 a. 首先检查纵向钢筋及箍筋布置构造是否符合要求；
4
fs—螺旋箍筋的抗拉强度；
fsAs01
核心区混凝土的截面积
dcor—截面核心混凝土的直径=d-2c，c为纵筋至柱截面边缘的径向混凝土保护层厚度；
Acor—构件的核心截面面积，Acor=
π d2； 4 cor
As01—单根箍筋的截面面积；
A πd s01 cor As0S
轴心受压构件的计算长度系数
3、Pcr与EI、l、μ有关，同一构件，不同的方向，I不同，
μ不同，视综合情况而定；
4、端约束越强，Pcr越大，越不易失稳； 5、为了保证不同的方向μ尽可能相同，端约束用球铰，
这样，各方向有较一致的约束；
6、Pcr非外力也非内力，是反映构件承载能力的力学量。
构件截面的平均应力称为屈曲应力：
cr
屈曲应力超过屈服强度的在图中用虚线表示，f y=235N/mm2 计算长度 系数的理论值可以写为：
cr
pE Pcr
2EI
l 2 Pcr
项次 支承条件
1 两端铰接
2 两端固定
3
上端铰接 下端固定
4
上端平移 但不转动 下端固定
5
上端自由 下端固定
6
上端平移 但不转动 下端铰接
变形曲线 l0=μl
P C a
P P
C
B
P
C a
B
v Pv/l
l A (a)
EI
l
y
x x
A
Pv/l
P (b)
y A
P (c)
悬伸轴心受压构件
当０＜x＜l时，平衡方程为: EIy″ +Py+Pvx/l＝0
P
令： k 2 P
C
EI
a
则： y″ +ky+kvx/l＝０
其通解为: l
y A1 sin kx B1 cos kx l x
kl (tanka +tankl)－tanka tankl= 0
kl l P l 2EI / (l)2
EI
EI
而ka＝kαl＝απ/μ ，这样屈曲方程为
轴心受压构件承载力计算ppt课件
§6.1 配有纵向钢筋和普通箍筋的轴心受压构件
4.箍筋 ●箍筋直径：应不小于纵向钢筋直径的1/4,且不小于
8mm; ●箍筋间距：不应大于纵向钢筋直径的15倍，且不大于构
件截面的较小尺寸〔圆形截面用0.8倍直径〕，并不大于 400mm;在纵向钢筋截面积超越混凝土计算截面积的3%时， 箍筋的间距应不大于纵向钢筋直径的10倍，且不大200mm。
61配有纵向钢筋和普通箍筋的轴心受压构件19复合箍筋的布设201600kn2362配有纵向钢筋和螺旋箍筋的轴心受压构件一受力分析及破坏特征1受力分析螺旋箍筋或焊接圆环箍筋能约束混凝土在轴向压力作用下所产生的侧向变形对混凝土产生间接的被动侧向压力从而提高混凝土的抗压强度和变形能力
第六章
轴心受压构件承载力计算
0 N d ≤ N u 0 . 9 f c A c d o k s r A d s 0 f f s 'A d s '
★★螺旋筋仅能间接地提高强度，对柱的稳定性问题毫无协助，因此长 柱和中长柱应按着通箍筋柱计算，不思索螺旋筋作用。
§6.2 配有纵向钢筋和螺旋箍筋的轴心受压构件
四、与按普通箍筋柱强度计算值的比较 1．螺旋箍筋柱的强度不会小于普通箍筋柱的强度，即
N j ma N 螺 x,N (普 )
这种情况在砼维护层面积相对较大时发生。
2．螺旋箍筋配量过小，作用不显著，不计其作用，即
假设 A s 0 ＜那0么.25As'
Nj N普
3．螺旋筋不能提高强度过多，否那么会导致混凝土维护层
剥落，即 N 螺 1 .5 N 普 1 .3( 5 fcA d fs ' A d s ')
●复合箍筋:沿箍筋设置的纵向钢筋离角筋间距大于 150mm或15倍箍筋直径〔取较大者〕范围，那么应设置复 合箍筋。
5 轴向受力构件 课件
轴心受压构件的计算长度系数 表5.1.1
表中建议值系实际工程和理想条件间的差距而提出的
5 轴向受力构件
压杆失稳时临界应力cr 与长细比之间的关系曲线 称为柱子曲线。可以作为设 计轴心受压构件的依据。
短粗杆
细长杆
欧拉及切线模量临界应力 与长细比的关系曲线
Euler公式从提出到轴心加载试验证实花了约100年时间， 说明轴心加载的不易。因此目前世界各国在研究钢结构轴心 受压构件的整体稳定时，基本上都摒弃了理想轴心受压构件 的假定，而以具有初始缺陷的实际轴心受压构件（多曲线关 系、弹性微分方程、数值法）作为研究的力学模型。
柱头 柱头
支承屋盖、楼盖或工作平台的竖向 受压构件通常称为柱。柱由柱头、 柱身和柱脚三部分组成。
缀板
l =l
传力方式： 上部结构→柱头→柱身→柱脚→基础
实腹式构件和格构式构件
柱身
l l
柱身
缀
条
实腹式构件具有整体连通的截面。
柱脚 柱脚
x y x y y
1
x (虚轴) y
(实轴)
1 y 1
x (虚轴) y
5 轴向受力构件
5.1.2 轴心受力构件的截面形式
型 钢 截 面
型钢截面
组 合 截 面
实腹式组合截面
型钢截面制造方 便，省时省工； 组合截面尺寸不 受限制；而格构 式构件容易实现 两主轴方向的等 稳定性，刚度较 大，抗扭性能较 好，用料较省。
格构式组合截面
5.1.2 轴心受力构件的截面形式
5 轴向受力构件
临界状态平衡方程
2
EIy Ny 0
2
y
弹性 临界力
弹塑性 临界力
式中： EI EI Ncr N cr 2 （5.1.3） Ncr ——欧拉临界力， 2 l0 cr ——欧拉临界应力， l M=Ncr·y E ——材料的弹性模量 2 N cr E N （5.1.4） t ——切线模量临界力 z cr 2 t ——切线模量临界应力 A Et ——压杆屈曲时材料的切线模 2 2 Et I Et A A ——压杆的截面面积 N tcr Ncr 2 l0 2 —— 构件的计算长度系数 ——杆件长细比（ = l0/i） 2 Et i ——回转半径（ i2=I/A）
表中建议值系实际工程和理想条件间的差距而提出的
5 轴向受力构件
压杆失稳时临界应力cr 与长细比之间的关系曲线 称为柱子曲线。可以作为设 计轴心受压构件的依据。
短粗杆
细长杆
欧拉及切线模量临界应力 与长细比的关系曲线
Euler公式从提出到轴心加载试验证实花了约100年时间， 说明轴心加载的不易。因此目前世界各国在研究钢结构轴心 受压构件的整体稳定时，基本上都摒弃了理想轴心受压构件 的假定，而以具有初始缺陷的实际轴心受压构件（多曲线关 系、弹性微分方程、数值法）作为研究的力学模型。
柱头 柱头
支承屋盖、楼盖或工作平台的竖向 受压构件通常称为柱。柱由柱头、 柱身和柱脚三部分组成。
缀板
l =l
传力方式： 上部结构→柱头→柱身→柱脚→基础
实腹式构件和格构式构件
柱身
l l
柱身
缀
条
实腹式构件具有整体连通的截面。
柱脚 柱脚
x y x y y
1
x (虚轴) y
(实轴)
1 y 1
x (虚轴) y
5 轴向受力构件
5.1.2 轴心受力构件的截面形式
型 钢 截 面
型钢截面
组 合 截 面
实腹式组合截面
型钢截面制造方 便，省时省工； 组合截面尺寸不 受限制；而格构 式构件容易实现 两主轴方向的等 稳定性，刚度较 大，抗扭性能较 好，用料较省。
格构式组合截面
5.1.2 轴心受力构件的截面形式
5 轴向受力构件
临界状态平衡方程
2
EIy Ny 0
2
y
弹性 临界力
弹塑性 临界力
式中： EI EI Ncr N cr 2 （5.1.3） Ncr ——欧拉临界力， 2 l0 cr ——欧拉临界应力， l M=Ncr·y E ——材料的弹性模量 2 N cr E N （5.1.4） t ——切线模量临界力 z cr 2 t ——切线模量临界应力 A Et ——压杆屈曲时材料的切线模 2 2 Et I Et A A ——压杆的截面面积 N tcr Ncr 2 l0 2 —— 构件的计算长度系数 ——杆件长细比（ = l0/i） 2 Et i ——回转半径（ i2=I/A）
钢结构 轴心受压构件
i
l0
(2)按照整体稳定的要求算出所需要的截面积 A=N／( f)， 同时利用附表3中截面回转半径和其轮廓尺寸的近似关 系，ix=1h和iy=2b确定截面的高度h和宽度b，选择型 钢型号或者确定组合截面尺寸。
i l0
N f A
型钢：ix , iy
组合截面：ix 1h, iy 2b
33
44
10 x x 10
10 10
验算整体稳定、刚度和局部稳定性 验算整体稳定、刚度和局部稳定性
==l xl/i/i=420/10.63=39.5<[ ]=150， xx x x x =420/10.63=39.5<[ ]=150， ==l yl/i/i=420/6.42=65.4<[ ]=150， yy y y y =420/6.42=65.4<[ ]=150，
轴心受压构件，当截面无削弱时，强度不必计算。
二、刚度计算： 保证构件在运输、安装、使用时不产生过大变形 1、受拉构件。
l 0 构件的计算长度；
i I 截面的回转半径； A
l0 [ ] i
l0x x [ ] ix
( 4 2)
[ ] 构件的容许长细比，其 取值详见规范或教
10203.44 N/mm2 f f 215N/mm2 2 10 203. N/mm2 215N/mm A 00778 6322 A . .778 63. .
翼缘宽厚比为 bb/t=(12.5－0.3)/1=12.2<10＋0.1×65.4=16.5 翼缘宽厚比为 1 1 /t=(12.5－0.3)/1=12.2<10＋0.1×65.4=16.5 腹板高厚比为 hh/t/t w=(24－2)/0.6=36.7<25+0.5×65.4=57.7 腹板高厚比为 0 0 w=(24－2)/0.6=36.7<25+0.5×65.4=57.7 构件的整体稳定、刚度和局部稳定都满足要求。 构件的整体稳定、刚度和局部稳定都满足要求。
《轴心受压构件计算》课件
稳定性条件：构件在受力 作用下保持稳定的条件
轴心受压构件：承受轴 向压力的构件
轴向压力：沿构件轴线 方向的压力
弯曲应力：构件在弯曲 变形时产生的应力
应力分布：构件内部应 力的分布情况
刚度条件：构件在受力 作用下不变形的条件
轴心受压构件主要承受轴向压力
轴心受压构件的受力特点与荷载大 小、分布、方向等因素有关
计算步骤：按照计算步骤进行计算，如荷载分析、应力分析、变形分 析等
结果分析：对计算结果进行分析，如应力分布、变形情况、稳定性等
结论：得出结论，如构件的承载能力、稳定性等，并提出改进措施或 建议
实例：某轴心受压构件
计算方法：采用有限元法
计算结果：构件的应力分布、 变形情况等
结论：构件的承载能力、稳定 性等满足设计要求
复合材料：采用高强度复合材料，如玻璃纤维、碳纤维等，保证构件的强度和刚度
地震作用下的构造要求：加强构件的抗震性能，提高构件的稳定性 高温环境下的构造要求：考虑构件在高温下的变形和强度降低，采取相应的措施 腐蚀环境下的构造要求：考虑构件在腐蚀环境下的耐腐蚀性能，采取相应的防腐措施 疲劳作用下的构造要求：考虑构件在疲劳作用下的疲劳寿命，采取相应的疲劳设计措施
PART SIX
强度要求：保 证构件在受压 状态下的强度 满足设计要求
刚度要求：保 证构件在受压 状态下的刚度 满足设计要求
稳定性要求： 保证构件在受 压状态下的稳 定性满足设计
要求
耐久性要求： 保证构件在受 压状态下的耐 久性满足设计
要求
钢材：采用高强度钢材，如Q235、Q345等，保证构件的强度和刚度 混凝土：采用高强度混凝土，如C30、C40等，保证构件的强度和刚度 木材：采用高强度木材，如松木、杉木等，保证构件的强度和刚度
建筑结构——轴心受力构件计算
求出初选截面面积及回转 ixT和iyT 。
A N
f
ixT
l0 x
（21.9） (21.10)
ixT
l0 x
（21.11）
b.根据 A，ixT和iyT 在型钢表中选一适当的型钢截面。
(2) 组合截面 如果在型钢表中不能够找到比较适当的规格时，可采用组合截面。
a. 初定截面轮廓尺寸 h ixT
1
b iyT
表21.1
表21.2
（4）屈曲分析 a. 如（图21.7）所示两 端 铰支的理想细长压杆，当N力较小时，杆件只有
轴心压缩变形，杆轴保持平直。这时如有外力F干扰，使它微弯，当F力撤去 后，杆件又恢复原来的直线状态，这时杆件处于稳定的平衡状态。
b. 随着N力逐渐加大到某一数值时，如有外力F干扰，杆件微弯，撤除 F力后，杆件仍保持微弯状态，不再恢复到原来的直线状态。这种平衡状态 叫随遇平衡。
l0
2EI l
l0 l , 称为计算长度系数。其值见表21.3
（21.5）
表21.3
1.实际轴心受压构件的实用计算方法
（1）柱子曲线
轴心受压杆件失稳时临界应力与cr 长细比
之间的关系曲线称为
柱子曲线，《钢结构设计规范》将柱子曲线归纳为a,b,c,d四组。 详见表21.4
（本表只列出常用的a、b、c三种类型）。
2C1.3 轴心受力构件
1.轴心受力构件的强度 （1）概述
承载能力是以截面的平均应力达到钢材的屈服强度为极限状态。当构 件截面有削弱时，截面的应力分布不再是均匀的，如图（21.4a）
图21.4 有孔洞拉杆的截面应力分布
构件孔洞附近有应力集中现象。但最后截面上各点的应力均可达到屈服强度，如
轴心受压构件的计算长度系数
EI
EI
而ka＝kαl＝απ/μ ，这样屈曲方程为
(tan tan ) tan tan 0
以不同的α 值代入式后，即可得到相应的计算长度系数 μ ，见表2.2
a=a/l μ
悬伸轴心受压构件的计算长度系数
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.6 1.0 1.0 1.11 1.24 1.40 1.56 1.74 1.93 2.16 2.31 2.50 2.70
研究的悬伸轴心受压构件ABC ，它的计算简图如图 (c) 所示，构件弯曲后顶端
的挠度为v。
P C a
P P
C
B
P
C a
B
v Pv/l
l A (a)
EI
l
y
x x
A
Pv/l
P (b)
y A
P (c)
悬伸轴心受压构件
当０＜x＜l时，平衡方程为: EIy″ +Py+Pvx/l＝0
P
P
令： k 2 P
P C
B
P
C a
B
v Pv/l
EI
l
y
x x
A
Pv/l
P (b)
y A
P (c)
悬伸轴心受压构件
当x＞l时，平衡方程为: EIy″ ＋Py ＋Pv ＝０ y″＋k2y ＋k2v ＝０
通解为： y A2 sin kx B2 cos kx 根据边界条件y(l )=0和y(l＋a)＝－v，可得到
实例 应用
理论μ 值
1.0
0.5
0.7
1.0
2.0
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对于均匀受压的等截面直杆，此系数取决于构件两端的约束条件。这样一 来，具有各种约束条件的轴心受压构件的屈曲荷载转化为欧拉荷载的通式是：
2EI Pcr ( l ) 2
2
讨论：
2 EI Pcr (l )2
1、Pcr与E、I、l、μ有关，即与材料及结构的形式均有关；
.
2、Pcr与EI成正比，不同的方向EI不一样，压杆要求EI 在 各方向上尽可能相差不大，且其数值尽可能大；
cr
pE Pcr
2EI
l2Pcr
5
项次 支承条件
1 两端铰接
2 两端固定
3
上端铰接 下端固定
4
上端平移 但不转动 下端固定
5
上端自由 下端固定
6
上端平移 但不转动 下端铰接
.
变形曲线 l0=μl
实例 应用
理论μ值
1.0
设计μ值
1.0
0.5
0.7
1.0
2.0
0.65
0.8
1.2
2.1
轴心受压构件计算长度计算系数
y′1 (l )＝(kl/tankl－１)v/l
P
P
C
B
P
C a
B
v Pv/l
.
EI
l
y
x x
A
Pv/l
P (b)
y A
P (c)
悬伸轴心受压构件
8
当x＞l时，平衡方程为: EIy″ ＋Py ＋Pv ＝０ y″＋k2y ＋k2v ＝０
通解为： yA 2sink x B 2c o sk x
根据边界条件y(l )=0和y(l＋a)＝－v，可得到
pcr A
2E (l/i)2
2E 2
式中：A为截面积；λ为长细比；而i为回转半径， i I
A
屈曲应力只与长细比有关。
4
σcr/(N/mm2)
250
fy=235N/mm2
P
200
150
欧拉曲线
.
100
50
P
λ
0
20
40
60
80
100 120 140 150 180
轴心受压构件的屈曲应力
屈曲应力超过屈服强度的在图中用虚线表示，f y=235N/mm2 计算长度 系数的理论值可以写为：
表中μ值还可用简便的实用计算公式确定
11.21.42 10.42
在求解轴心受压构件的弹性屈曲荷载时，均采用了平衡法，但是有许多轴心受压构 件用平衡法无法直接求解，如沿构件的轴线压力有变化和沿轴线截面尺寸有变化等10， 将遇到很难求解的变系数微分方程，这时可采用能量法或其他近似方法求解。
.
谢谢
11
ห้องสมุดไป่ตู้
P P
C
B
P
C a
B
v Pv/l
.
l
EI
l
y
x
x
A
A
Pv/l
y
A
P
P
7
(a)
(b)
(c)
悬伸轴心受压构件
当０＜x＜l时，平衡方程为: EIy″ +Py+Pvx/l＝0
P
令： k 2 P
C
EI
a
则： y″ +ky+kvx/l＝０
其通解为: l
yA1sinkxB1coskxlx
A
(a)
根据边界条件y(0)=0 和 M(l)=-EIy″(l)＝Pv，可以得到 A1＝v/sinkl ，B1＝0，这样支座处B 点的转角为：
.
轴心受压构件的计算长度系数
1
.
前面已经得到了两端铰接的轴心受压构件的屈曲荷载：
2EI
Pcr l 2
为了钢结构设计应用上的方便，可以把各种约束条件构件的Pcr值换算成相 当于两端铰接的轴心受压构件屈曲荷载的形式，其方法是把端部有约束的构件 用等效长度为 l0的构件来代替， ，而计算长度l0 与构件实际的几何长度之间的 关系是l0＝μ l ，这里的系数μ称为计算长度系数。
3、Pcr与EI、l、μ有关，同一构件，不同的方向，I不同，
μ不同，视综合情况而定；
4、端约束越强，Pcr越大，越不易失稳；
5、为了保证不同的方向μ尽可能相同，端约束用球铰，
这样，各方向有较一致的约束； 3
6、Pcr非外力也非内力，是反映构件承载能力的力学量。
.
构件截面的平均应力称为屈曲应力：
cr
2.0 2.0 6
悬伸轴心受压构件
如图 (a)所示悬伸轴心受压构件在图示支撑架平面内的计算长度系数。AB 段的长 度为l ，BC 段的长度为a，而a＝αl ;顶端的水平杆对柱无约束。图(b)即为所研究 的悬伸轴心受压构件ABC ，它的计算简图如图 (c) 所示，构件弯曲后顶端的挠度 为v。
P C a
.
A2
cosk(la)v sinka
B2
sink(l a) sinka
v
B 点的转角为 y′1(l )＝kv/tanka
由B 点的变形协调条件y′1(l)＝y′2(l)得到悬伸构件的屈曲方程为
kl (tanka +tankl)－tanka tankl= 0
kll
Pl EI
2EI/(l)2
EI
9
而ka＝kαl＝απ/μ ，这样屈曲方程为
(tantan)tantan0
以不同的α 值代入式后，即可得到相应的计算长度系数 μ ，见表2.2
.
a=a/l μ
悬伸轴心受压构件的计算长度系数
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.6 1.0 1.0 1.11 1.24 1.40 1.56 1.74 1.93 2.16 2.31 2.50 2.70
2EI Pcr ( l ) 2
2
讨论：
2 EI Pcr (l )2
1、Pcr与E、I、l、μ有关，即与材料及结构的形式均有关；
.
2、Pcr与EI成正比，不同的方向EI不一样，压杆要求EI 在 各方向上尽可能相差不大，且其数值尽可能大；
cr
pE Pcr
2EI
l2Pcr
5
项次 支承条件
1 两端铰接
2 两端固定
3
上端铰接 下端固定
4
上端平移 但不转动 下端固定
5
上端自由 下端固定
6
上端平移 但不转动 下端铰接
.
变形曲线 l0=μl
实例 应用
理论μ值
1.0
设计μ值
1.0
0.5
0.7
1.0
2.0
0.65
0.8
1.2
2.1
轴心受压构件计算长度计算系数
y′1 (l )＝(kl/tankl－１)v/l
P
P
C
B
P
C a
B
v Pv/l
.
EI
l
y
x x
A
Pv/l
P (b)
y A
P (c)
悬伸轴心受压构件
8
当x＞l时，平衡方程为: EIy″ ＋Py ＋Pv ＝０ y″＋k2y ＋k2v ＝０
通解为： yA 2sink x B 2c o sk x
根据边界条件y(l )=0和y(l＋a)＝－v，可得到
pcr A
2E (l/i)2
2E 2
式中：A为截面积；λ为长细比；而i为回转半径， i I
A
屈曲应力只与长细比有关。
4
σcr/(N/mm2)
250
fy=235N/mm2
P
200
150
欧拉曲线
.
100
50
P
λ
0
20
40
60
80
100 120 140 150 180
轴心受压构件的屈曲应力
屈曲应力超过屈服强度的在图中用虚线表示，f y=235N/mm2 计算长度 系数的理论值可以写为：
表中μ值还可用简便的实用计算公式确定
11.21.42 10.42
在求解轴心受压构件的弹性屈曲荷载时，均采用了平衡法，但是有许多轴心受压构 件用平衡法无法直接求解，如沿构件的轴线压力有变化和沿轴线截面尺寸有变化等10， 将遇到很难求解的变系数微分方程，这时可采用能量法或其他近似方法求解。
.
谢谢
11
ห้องสมุดไป่ตู้
P P
C
B
P
C a
B
v Pv/l
.
l
EI
l
y
x
x
A
A
Pv/l
y
A
P
P
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(a)
(b)
(c)
悬伸轴心受压构件
当０＜x＜l时，平衡方程为: EIy″ +Py+Pvx/l＝0
P
令： k 2 P
C
EI
a
则： y″ +ky+kvx/l＝０
其通解为: l
yA1sinkxB1coskxlx
A
(a)
根据边界条件y(0)=0 和 M(l)=-EIy″(l)＝Pv，可以得到 A1＝v/sinkl ，B1＝0，这样支座处B 点的转角为：
.
轴心受压构件的计算长度系数
1
.
前面已经得到了两端铰接的轴心受压构件的屈曲荷载：
2EI
Pcr l 2
为了钢结构设计应用上的方便，可以把各种约束条件构件的Pcr值换算成相 当于两端铰接的轴心受压构件屈曲荷载的形式，其方法是把端部有约束的构件 用等效长度为 l0的构件来代替， ，而计算长度l0 与构件实际的几何长度之间的 关系是l0＝μ l ，这里的系数μ称为计算长度系数。
3、Pcr与EI、l、μ有关，同一构件，不同的方向，I不同，
μ不同，视综合情况而定；
4、端约束越强，Pcr越大，越不易失稳；
5、为了保证不同的方向μ尽可能相同，端约束用球铰，
这样，各方向有较一致的约束； 3
6、Pcr非外力也非内力，是反映构件承载能力的力学量。
.
构件截面的平均应力称为屈曲应力：
cr
2.0 2.0 6
悬伸轴心受压构件
如图 (a)所示悬伸轴心受压构件在图示支撑架平面内的计算长度系数。AB 段的长 度为l ，BC 段的长度为a，而a＝αl ;顶端的水平杆对柱无约束。图(b)即为所研究 的悬伸轴心受压构件ABC ，它的计算简图如图 (c) 所示，构件弯曲后顶端的挠度 为v。
P C a
.
A2
cosk(la)v sinka
B2
sink(l a) sinka
v
B 点的转角为 y′1(l )＝kv/tanka
由B 点的变形协调条件y′1(l)＝y′2(l)得到悬伸构件的屈曲方程为
kl (tanka +tankl)－tanka tankl= 0
kll
Pl EI
2EI/(l)2
EI
9
而ka＝kαl＝απ/μ ，这样屈曲方程为
(tantan)tantan0
以不同的α 值代入式后，即可得到相应的计算长度系数 μ ，见表2.2
.
a=a/l μ
悬伸轴心受压构件的计算长度系数
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.6 1.0 1.0 1.11 1.24 1.40 1.56 1.74 1.93 2.16 2.31 2.50 2.70