经典：同济版高等数学上册复习资料

x0coxsta x n x
8
例11. 计算 lin m 2 ara c a tr aa c n t( a a 0 n )
n
n n 1
解: 利用微分中值定理
原 式 n l i m n21 12n ana 1
(在a与a 之间 )
n n1
nl im 112
an2 n(n1)
a
x2
cosxdx
x 0
a1
再利用 cox s1~1 2x2,sin 2x~x2,可知
1
lim
x0
x2
1 2
x2
cosx
bsin2 x
2 b
b4
11
2. 导数和微分的计算 (约 18%) 主要题型
(1) 计算复合函数的导数和微分 ; (2) 计算隐函数的导数和微分 ;
(包括对数微分法) (3) 参数方程求一阶、二阶导数 ; (4) 用导数定义求特殊点的导数值 ; (5) 计算 n 阶导数 . 例题分析
(1) 利用基本方法求极限
函数的连续性 ; 四则运算法则 ; 极限存在准则 ; 两个重要极限 ; 等价无穷小替换 ; 洛必塔法则 .
(2) 利用特殊方法求极限
导数定义 ; 定积分定义 ; 微分中值定理 ; 变限积分求导 ; 讨论左右极限 .
(3) 无穷小量的比较
3
例题分析
例1. 计算 lim x2 2x 1 x1 x 1
1
思考: 若函数改为 f(x) e x , 0,
结论?
x 0 是否有同样的 x0
15
例4. 已知
xtln1 (t2), yarcttan
源自文库
求
d d
y x
,
d d
2y x2
.
1
解:
dy dx
y
x
1 t2
1
1
2t t
2
(1
1 t)2
d ( y)
d2 y d x2
dt x
2
(1 t )3
1
lim
t
500! et
0
例6. 计算 x l i m [xx2ln1 (1 x)]
解:令 t 1 x
原 式 lt i0m 1 tt1 2ln 1 (t)lt im 0tlnt21(t)
lim
1
1 1
t
t0 2t
lim t t0 2t (1 t)
1 2
6
arcsin x
例7. 计算 lim
4x2
en 2n1 e
例4. 计算 I n l i m (n n 1 )2 (n n 2 )2 (n n n )2
解:
I nl im kn1(11kn)2n1
1 dx 1 1 0(1 x)2 1 x 0
1 2
5
1
例5.
计算
lim
x
0
e x
x2 1000
解: 令
t
1 x2
原式 tl imte5t00
利用等价无穷小
tasnix n~sin x~x
sitnaxn~taxn~x
lim
x 1
x0 x
10
例14. 已知
lim1 sixn t2 dt 1求 x 0asixn x0 bt2
a,
b
.
解: 对所给等式左边用洛必塔法则, 得
sin2 x
lim
b
sin2
x
co xs 1
x0
aco x s 1
0li(m aco x s1)a1
12
例1. 已知
yey
ex1,
求
dy dx
. x0
解法1. 等式两边对 x 求导, 得 yeyyyeyex1
y
e
e x1 y(1
y)
由 x0得 y1, 故 dy
1
dx x 0 2
解法2. 等式两边取对数, 得
ln yyx1
两边对 x 求导, 得
1 y y 1 y
y y 1 y
由 x0得 y1,故 dy
解: 原式lim x1 2 0 x1 x1
例2. 设 f (x) 处处连续, 且 f (2)=3, 计算
lim si3nxfsi2nx
x0 x
x
解: 利用等价关系
原 式 lim 3xf2x3f(2)9
x 0x x
4
例3. 计算 lim2n1n
n 2n1
解: 原 式 lim 1 2 n
n 2n1
化为指数形式 , 利用 ln1 (u)~u limn 2
1
dx x 0 2
13
例2. 已知 y a x b a x b(a 0,b 0,a 1),
b xa
b
求 y.
解：两边取对数，得
lnyx ln a a[ln bln x]b[ln xln a] b
两边对 x 求导
y ln a a b
y
b xx
ya bxb xaa xbln
a b
a x
b x
例12. 计算 lim
x0
0
sinx2
这是积分变量
x2
解:
原式 lim 0
x0
costdt x2
洛
lim
x0
cosx2 2x 2x
1
9
sin x
tant d t
例13. 求
lim
x0
0 tan x
sint d t
0
0 0
解:
原式
洛 =
xl im 0 stiatnsn aixn n xsceo2x cxs
14
例3. 证明下述函数在 x = 0 连续且可导
1
f(x) e x2 , x 0
0 , x0
1
证: 因为 limf(x) lim e x2 0 f(0)
x0
x0
令t1 x
1
又
limf(x)f(0) lim e x 2
x0 x0
x0 x
lim
t
t et2
0
f(x)在 x = 0 连续且可导.
1
2t t
2
2 (1 t 2 ) (1 t )5
16
例5. 设 yln1x1x(0x 1 ),求 y. 1x1x
解:
原式 ln2 2 1 x2
2x
ln 1 (1x2)ln x
x0 ln(12x)
利用等价无穷小
x
解:
原式lim 4 x 2 x0 2x
lim x02
1 4x2
1 4
1
例8. 计算 lim x 1 x
x1
解:
1 lnx
原式 lime1x
1 ln1((x1))
lime1x
x1
x1
1 (x1)
lime1x
e1
x1
7
例9. 求 lim xarcsxin
x 2
高等数学(上) 总复习
第一部分 复习的重点及题型分析
第二部分 高等数学(上)方法综述
1
第一部分
复习的重点及题型分析
复习重点
三个基本计算 — 极限 , 导数 , 积分 两个基本应用 — 导数应用 , 积分应用 一个基本理论 — 有关中值的定理及应用
2
一. 三个基本计算 (约 70 % )
1. 极限的计算 (约 24 % ) 主要题型
1x2
0
解: 令 t 1 , 则
x
原式
=
lim2arcsi1n1t2
t0
t
洛tl im 0 1t (1tt2)32
1
例10. 计算
lim etanxex x0sinxxcoxs
直接用洛必塔 法则不方便
解: 原 式 lim ex(etaxn x1) x 0six nxcoxs
limex tan xx 1 利用等价无穷小