数学 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案
学案2：1.2.2 基本初等函数的导数公式及运算法则
1.2.2 基本初等函数的导数公式及运算法则【使用课时】：1课时【学习目标】：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数【学习重点】：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：一、课前准备（预习教材P 83~ P 84，找出疑惑之处）1．基本初等函数的导数公式表2.（2）推论：[]'()cf x =（常数与函数的积的导数，等于： ）二、新课导学学习探究(完成课前准备)典型例题例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是：变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<- 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%分析：净化费用的瞬时变化率就是：比较上述运算结果，你有什么发现？当堂检测1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）2x y e =（3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =-2.求下列函数的导数（1）ln y x x = （2）ln x y x=学习小结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.※ 知识拓展1．复合函数的导数：设函数()u g x =在点x 处有导数()xu g x ''=，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数()uy f u ''=，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．三、课后练习与提高1. 函数1y x x=+的导数是（ ） A ．211x - B ．11x - C ．211x + D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ）A ．cos2cos x x -B ．cos2sin x x +C ．cos2cos x x +D ．2cos cos x x + 3. cos x y x=的导数是（ ） A ．2sin x x- B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x +- 4．已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为：A ()2(1)f x x =-B 2()2(1)f x x =-C 2()(1)3(1)f x x x =-+-D ()1f x x =-5．函数21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a = A18 B 14 C 12D 1 6.设函数1()n y x n N +*=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点横坐标为n x ，则12n x x x ••⋅⋅⋅•=A l nB l 1n +C 1n n + D 1 7.曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为-------------------8. 函数2()138f x x =-，且0()4f x '=，则0x =9.曲线sin x y x=在点(,0)M π处的切线方程为 10.在平面直角坐标系中，点P 在曲线3103y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线在点P 处的切线的斜率为2，则P 点的坐标为11.已知函数32()f x x bx ax d =+++的图像过点P （0,2），且在点(1,(1))M f --处的切线方程为670x y -+=，求函数的解析式.12. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x =处的切线方程.。
人教A版选修2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案及教学反思
人教A版选修2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案及教学反思一、教学目标通过本节课的学习，让学生： 1. 熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2. 掌握导数的常数因子、和差、积、商的运算法则； 3. 能够应用所学知识求出初等函数的导数； 4. 培养学生的逻辑思维能力和应用能力。
二、教学内容2.1 基本初等函数的导数公式（1）常数函数的导数公式：[C]′=0（2）幂函数的导数公式：[x n]′=nx n−1（3）指数函数的导数公式：[e x]′=e x（4）对数函数的导数公式：$[\\ln{x}]'=\\dfrac{1}{x}(x>0)$ （5）三角函数的导数公式：$$\\begin{aligned} [\\sin{x}]'&=\\cos{x}\\\\[\\cos{x}]'&=-\\sin{x}\\\\ [\\tan{x}]'&=\\sec^2{x} (x\ eq n\\pi+\\frac{\\pi}{2})\\\\ [\\cot{x}]'&=-\\csc^2{x} (x\ eq n\\pi) \\end{aligned}$$2.2 导数的运算法则（1）常数因子法则：设C为常数，则[Cf(x)]′=Cf′(x)（2）和差法则：$[f(x)\\pm g(x)]'=f'(x)\\pm g'(x)$ （3）积法则：[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)（4）商法则：$[\\dfrac{f(x)}{g(x)}]'=\\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} (g(x)\ eq0)$三、教学过程3.1 导入教师通过数字游戏，引导学生探讨“导数”的概念，并由此引出本节课的教学内容。
3.2 讲授教师对基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则进行一一讲解，强调注意事项和易错点。
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》导学案
《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》导学案导数是微积分中一个重要的概念，用来描述函数在其中一点处的变化率。
初等函数是指常见的基本函数，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
导数的运算法则是指导数在运算中的一些基本性质和规则。
下面将详细介绍初等函数的导数公式和导数的运算法则。
一、初等函数的导数公式1.基本初等函数的导数公式-常数函数的导数为0，即$C'(x)=0$，其中C为常数。
- 幂函数的导数公式：$(x^n)'=nx^{n-1}$，其中n为正整数。
- 指数函数的导数公式：$(a^x)'=a^x\ln a$，其中a为正实数。
- 对数函数的导数公式：$(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$，其中a为正实数，且a≠1-三角函数的导数公式：正弦函数的导数：$(\sin x)'=\cos x$；余弦函数的导数：$(\cos x)'=-\sin x$；正切函数的导数：$(\tan x)'=\sec^2 x$。
2.求导法则-基本求导法则：和差法则：$(u\pm v)'=u'+v'$；乘法法则：$(uv)'=u'v+uv'$；除法法则：$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$，其中v≠0。
-复合函数求导法则：若y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且有$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}$。
二、导数的运算法则1.反函数的导数若函数y=f(x)在区间I上单调、连续并且可导，且此区间上f'(x)≠0，则它的反函数x=f^(-1)(y)在对应区间上连续并且可导，并且有$\left(f^{-1}(y)\right)'=\dfrac{1}{f'(x)}$。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案马长琴
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案编写者：马长琴教学目标：1. 理解基本初等函数的导数公式。
2. 掌握导数的运算法则。
3. 能够运用导数公式和运算法则解决问题。
教学重点：1. 基本初等函数的导数公式。
2. 导数的运算法则。
教学难点：1. 导数公式的记忆和应用。
2. 导数运算法则的推导和应用。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教案手册。
3. 黑板和粉笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾导数的定义和性质。
2. 提问：导数在实际应用中的作用是什么？二、基本初等函数的导数公式（15分钟）1. 讲解常数的导数公式：\( (c)' = 0 \)2. 讲解幂函数的导数公式：\( (x^n)' = nx^{n-1} \)3. 讲解指数函数的导数公式：\( (a^x)' = a^x \ln(a) \)4. 讲解对数函数的导数公式：\( (\log_a(x))' = \frac{1}{x \ln(a)} \)5. 讲解三角函数的导数公式：\( (\sin(x))' = \cos(x) \)\( (\cos(x))' = -\sin(x) \)\( (\tan(x))' = \sec^2(x) \)6. 讲解反三角函数的导数公式：\( (\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)\( (\arccos(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)\( (\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2} \)三、导数的运算法则（15分钟）1. 讲解导数的四则运算法则：加法法则：\( (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) \)减法法则：\( (f(x) g(x))' = f'(x) g'(x) \)乘法法则：\( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)除法法则：\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)2. 讲解导数的复合运算法则：-链式法则：\( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)-反函数法则：\( (f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \)-乘积法则：\( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)-商法则：\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \)四、巩固练习（15分钟）1. 让学生独立完成教材上的练习题。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优秀教学设计
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优秀教学设计【导学目标】1.理解基本初等函数的定义及导数的定义；2.掌握常见基本初等函数的导数公式；3.了解导数的运算法则及其应用。
【教学准备】教师准备：电子白板，投影仪，计算工具。
【教学过程】【导入】（10分钟）1.引导学生回顾基本初等函数的定义及导数的定义。
询问学生他们对基本初等函数及导数的理解和应用。
2.引发学生思考：我们在什么情况下需要计算导数？导数有什么作用？【具体内容】（110分钟）1.基本初等函数导数的公式及其证明（20分钟）-告诉学生，常见的基本初等函数有常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
-分别给出这些函数的导数公式，并请学生一起推导公式的证明。
- 例如：幂函数 $f(x) = x^n$ 的导数为 $f'(x)= nx^{n-1}$ ；指数函数 $f(x) = a^x$ 的导数为 $f'(x) = a^x \ln a$。
2.导数的运算法则（30分钟）-告诉学生：导数的运算法则可以简化导数计算。
具体包括：常数的导数、和差函数的导数、积函数的导数、商函数的导数和复合函数的导数。
- 分别解释并给出具体运算规则。
例如：常数函数的导数为0，即$f'(x) = 0$ ；和差函数的导数为两个函数的导数的和，即 $(f+g)'(x)= f'(x) + g'(x)$ ；积函数的导数为两个函数其中一个的导数乘以另一个函数，即 $(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdotg'(x)$ ；商函数的导数为两个函数其中一个的导数乘以另一个函数减去另一个函数的导数乘以第一个函数，即 $\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)}$ ；复合函数的导数为外函数的导数乘以内函数的导数，即 $(f \circ g)'(x) =f'(g(x)) \cdot g'(x)$。
(完整版)基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则
全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。
在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。
六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导： 函数 其中和 都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流 学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。
4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。
2、再观察有哪些运算法则。
3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
xsinx cosx
′
(xsinx)'cosx-xsinx(cosx)'
=
cos2x
(sinx + xcosx)cosx + xsin2x
=
cos2x
sinxcosx + x
= cos2x .
解:(1)设 y= u-12, u = 1 − 2x,
则 yx'=(u-12)′(1 − 2x)′ =
-
(3)y=
x+3 x2+3
;
(4)y=xsin
x−
2 cosx
;
(5)y=
x5+
x7+ x
x9 ;
(6)y=x·tan x.
分析:解答本题可先确定式子的形式,再用基本初等函数的导数 公式和导数的运算法则求解.
解:(1)∵y=x-sin
x 2
cos
x 2பைடு நூலகம்
=
x
−
1 2
sin
x,
∴y'=
x-
1 2
sinx
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.导数的运算法则 设两个函数分别为 f(x)和 g(x),则
两个函数 的和的导 数
[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
两个函数 的差的导 数
[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)
两个函数 的积的导 数
[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
∵点(x0,y0)在曲线 y=x3-2x 上, ∴y0= x03 − 2x0. ②
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则说课稿 教案
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【教学目标】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．3．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．4．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax ＋b)的导数)．【教法指导】本节学习重点：函数的和、差、积、商的求导法则．本节学习难点：复合函数的求导法则．【教学过程】☆复习引入☆前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连接的两个或两个以上基本初等函数的导数如何求？正是本节要研究的问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.☆探索新知☆探究点一导数的运算法则思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.例1 求下列函数的导数：(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝3x－lg x.解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出 f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝1x ln 10， 利用函数差的求导法则可得(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数． 跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x ； (2)f (x )＝2－2sin 2x2.例2 求下列函数的导数：(1)f (x )＝x ·tan x ；(2)f (x )＝x －1x ＋1. 解 (1)f ′(x )＝(x ·tan x )′＝(x sin x cos x )′ ＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x ＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin x cos x ＋x cos 2x . (2)∵f (x )＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴f ′(x )＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.探究点二 导数的应用 例2 (1)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．答案 3x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0. (2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．答案 (－2,15)(3)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t2＋2t 2， ∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327， 即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s. 反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝y ′|x ＝x 0＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数，即v ＝s ′|t ＝t 0.探究点三 复合函数的定义思考1 观察函数y ＝2x cos x 及y ＝ln(x ＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？ 答 y ＝2x cos x 是由u ＝2x 及v ＝cos x 相乘得到的；而y ＝ln(x ＋2)是由u ＝x ＋2与y ＝ln u (x >－2)经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．所以它们称为复合函数． 思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？思考3 在复合函数中，内层函数的值域A 与外层函数的定义域B 有何关系？答 A ⊆B .小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例3 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y ＝(3＋5x )2；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)；(3)y ＝cos 3x .解 (1)y ＝(3＋5x )2是由函数y ＝u 2，u ＝3＋5x 复合而成的；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u ，u ＝x 2－2x ＋5复合而成的；(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u ，分别找出y 和u 的函数关系，u 和x 的函数关系．例4 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝11－2x ；(3)y ＝sin(－2x ＋π3)；(4)y ＝102x ＋3. 解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3.(2)y ＝11－2x＝(1－2x )－12可看作y ＝u －12，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－12)u －32·(－2)＝(1－2x )－32＝11－2x1－2x ； (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋π3的复合函数， 则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋π3)＝－2cos(2x －π3)． (4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝102x ＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．探究点五 导数的应用例5 求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－12，1)处的切线方程．反思与感悟求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．。
基本初等函数导数公式及导数运算法则教案导学案有答案
§根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么课前预习教案一．预习目标1．娴熟掌握根本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数二．预习内容1．根本初等函数的导数公式表导数的运算法那么导数运算法那么函数导数1．2．3．〔2〕推论：〔常数与函数的积的导数，等于：〕三．提出迷惑同学们，经过你的自主学习，你还有哪些迷惑，请把它填在下边的表格中迷惑点迷惑内容课内研究教案一．学习目标1．娴熟掌握根本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数二．学习过程〔一〕。
【复习回想】复习五种常有函数、、、、的导数公式填写下表〔二〕。
【提出问题，展现目标】函数导数我们知道,函数的导数为，此后看见这类函数就能够直接按公式去做，而不用用导数的定义了。
那么其余根本初等函数的导数怎么呢又怎样解决两个函数加。
减。
乘。
除的导数呢这一节我们就来解决这个问题。
〔三〕、【合作研究】1．〔1〕分四组对比记忆根本初等函数的导数公式表函数导数〔2〕依据根本初等函数的导数公式，求以下函数的导数．（1〕与（2〕与〔1〕记忆导数的运算法那么，比较积法那么与商法那么的同样点与不一样点导数运算法那么1．2．3．推论：〔常数与函数的积的导数，等于：〕提示：积法那么,商法那么, 都是前导后不导, 前不导后导,但积法那么中间是加号, 商法那么中间是减号.2〕依据根本初等函数的导数公式和导数运算法那么，求以下函数的导数．1〕2〕；3〕；4〕；【评论】①求导数是在定义域内推行的．②求较复杂的函数积、商的导数，一定仔细、耐心．〔四〕．典例精讲例1：假定某国家在20年时期的年均通货膨胀率为，物价〔单位：元〕与时间〔单位：年〕有以下函数关系，此中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这类商品的价钱上升的速度大概是多少〔精准到〕剖析：商品的价钱上升的速度就是：解：变式训练1：假如上式中某种商品的，那么在第10个年头，这类商品的价钱上升的速度大概是多少〔精准到〕例2平时生活中的饮水往常是经过净化的．跟着水贞洁度的提升，所需净化花费不停增添．将1吨水净化到贞洁度为时所需花费〔单位：元〕为求净化到以下贞洁度时，所需净化花费的刹时变化率：〔1〕〔2〕剖析：净化花费的刹时变化率就是：解：比较上述运算结果，你有什么发现（三．反省总结：（1〕分四组写出根本初等函数的导数公式表：（2〕导数的运算法那么：四．当堂检测求以下函数的导数〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕4.求以下函数的导数5.〔1〕〔2〕6.课后练习与提升7.1．函数在处的导数为 3，那么的分析式可能为：8. B9.CD10.2．函数的图像与直线相切，那么11. A B C D 112.设函数在点〔1,1〕处的切线与轴的交点横坐标为，那么13. A B C D 114.曲线在点〔0,1〕处的切线方程为-------------------15.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，曲线在点P处的切线的斜率为2，那么P点的坐标为------------6.函数的图像过点P〔0,2〕，且在点处的切线方程为，求函数的分析式。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则说课稿 教案 教学设计
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则整体设计教材分析本节内容是导数的计算这一节的关键部分，对后面更深刻地研究导数起着至关重要的作用．在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法．但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的．因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程．因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致．复合函数的求导法则是导数的计算这一节的最后一小节内容．教材在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的基础上将导数的计算研究得更深入，虽然基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题，但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及，我们平时研究的函数不会仅限于基本初等函数，因此我们要想将问题研究得更加透彻，就得继续研究导数．教材层层深入，由易到难，给我们展示了什么是复合函数，同时将复合函数的构成和复合函数的求导法则也展示给了学生．因此，使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂．课时分配2课时．第1课时(基本初等函数的导数公式及导数的运算法则)；第2课时(复合函数的求导法则)．第1课时教学目标1．知识与技能目标(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；(2)掌握导数的四则运算法则．2．过程与方法目标能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用．在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．重点难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．教具准备：多媒体教学过程引入新课首先回顾一下上一节的内容，从导数的定义出发，按求导数的三个步骤推导了五个常用函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝1x、y＝x的导数公式：是不是所有的函数求导都必须按那三个步骤来求呢？回答是否定的．为了方便，我们有一个基本初等函数的导数公式表，今后我们直接可以使用基本初等函数的导数公式表来求函数的导数．这一节我们就看一下基本初等函数的导数公式及导数的运算法则．(板书课题) 探究新知(一)基本初等函数的导数公式表(板书)这八个常用的基本初等函数的导数，包括常函数、幂函数(指数为非0有理数)、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数，其中每一个公式都可以根据导数的定义推导出来，但这里不做要求．给学生时间先记忆这八个基本初等函数的导数公式．(二)导数的运算法则(1)导数运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．提问1：若法则2中的f(x)＝k(常数)，其结果是什么？活动成果：根据[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，[kg(x)]′＝0·g(x)＋kg′(x)．所以有以下推论(板书)：(2)推论：[cf(x)]′＝cf′(x)．(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)运用新知例1求(1)y＝x9；(2)y＝5x；(3)y＝3x.答案：(1)y′＝9x8；(2)y′＝5x ln5；(3)y′＝3x ln3.例2假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?解：根据基本初等函数导数公式表，有p′(t)＝1.05t ln1.05.所以p′(10)＝1.0510ln1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．变式应用如果上述某种商品的p0＝5，那么第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？根据基本初等函数导数公式表，有p′(t)＝5×1.05t ln1.05.所以p′(10)＝5×1.0510ln1.05≈0.40(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.40元/年的速度上涨．从这里看出，当p0＝5时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)＝5与g(t)＝1.05t乘积的导数．上面的导数运算法则可以帮我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题．(板书) 例3求下面函数的导数(1)y＝x4－x3＋sinx＋e x；(2)y＝x7＋x3－x＋10.思路启迪：这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成的，求它们的导数只要利用和与差的求导法则及前面的导数公式即可得出正确的答案．规范解法解：(1)y′＝(x4)′－(x3)′＋(sinx)′＋(e x)′＝4x3－3x2＋cosx＋e x.(2)y′＝(x7)′＋(x3)′－(x)′＋(10)′＝7x6＋3x2－1.设计意图熟悉基本初等函数的导数公式，也熟悉一下导数的加减法运算法则．在应用中熟记基本初等函数的导数公式．例4根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝11＋x－11－x；(3)y＝x·sinx·lnx；(4)y＝x 4x.解：(1)y′＝(x3－2x＋3)′＝(x3)′－(2x)′＋(3)′＝3x2－2，∴y′＝3x2－2.(2)y′＝(11＋x )′－(11－x)′＝－(1＋x)′(1＋x)2＋(1－x)′(1－x)2＝－12x(1＋x)2＋－12x(1－x)2＝12x [－1(1＋x )2－1(1－x )2]＝－12x·(1＋x )2＋(1－x )2(1－x )2＝－(1＋x )x x (1－x )2，∴y ′＝－(1＋x )xx (1－x )2.(3)y ′＝(x·sinx·lnx)′＝[(x·lnx)·sinx]′＝(x·lnx)′·sinx ＋(x·lnx)·(sinx)′ ＝(1·lnx ＋x·1x )·sinx ＋(x·lnx)·cosx ＝sinx ＋lnx·sinx ＋x·lnx·cosx ，∴y ′＝sinx ＋lnx·sinx ＋x·lnx·cosx.(4)y ′＝(x4x )′＝x ′·4x －x·(4x )′(4x )2＝1×4x －x·4x ln4(4x )2＝1－xln44x，∴y ′＝1－xln44x . 点评：①求导数是在定义域内进行的；②求较复杂的函数积、商的导数，必须要细心、耐心．设计意图(1)强化基本初等函数的导数公式的记忆和导数的运算法则的应用；(2)了解学生对公式的掌握程度；(3)对学生在应用中存在的问题加以指导．例5日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝5 284100－x(80<x<100)．求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%；(2)98%. 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． c ′(x)＝(5 284100－x )′＝5 284′×(100－x )－5 284×(100－x )′(100－x )2＝0×(100－x )－5 284×(－1)(100－x )2＝ 5 284(100－x )2.(1)因为c ′(90)＝ 5 284(100－90)2＝52.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．(2)因为c ′(98)＝ 5 284(100－98)2＝1 321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1 321元/吨．函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c ′(98)＝25c ′(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．设计意图(1)强化对函数的导数公式的记忆和导数的运算法则的熟练应用；(2)了解学生对公式的掌握程度；(3)对现实生活中的问题如何运用所学进行解答．变练演编1．求函数y ＝x 3cosx 的导数y ′.思路分析：该函数是由两个基本初等函数y ＝x 3与y ＝cosx 的积所构成，而y ＝x 3与y ＝cosx 的导数我们知道，两个函数的积的求导法则我们学过，因此只要能正确运用两个函数的积的求导法则与y ＝x 3和y ＝cosx 的求导公式，该题将迎刃而解．解：由两个函数积的求导法则得y ′＝(x 3cosx)′＝(x 3)′cosx ＋x 3(cosx)′＝3x 2cosx －x 3sinx. 2．求下列函数的导数． (1)y ＝1－lnx1＋lnx； (2)y ＝(2x 2－5x ＋1)e x ； (3)y ＝sinx －xcosx cosx ＋xsinx.解：(1)y ′＝(1－lnx 1＋lnx )′＝(－1＋21＋lnx )′＝2(11＋lnx )′＝2·－1x (1＋lnx )2＝－2x (1＋lnx )2，∴y ′＝－2x (1＋lnx )2.(2)y ′＝(2x 2－5x ＋1)′·e x ＋(2x 2－5x ＋1)·(e x )′＝(4x －5)·e x ＋(2x 2－5x ＋1)·e x ＝(2x 2－x －4)·e x ，∴y ′＝(2x 2－x －4)·e x .(3)y ′＝(sinx －xcosx cosx ＋xsinx )′＝(sinx －xcosx )′·(cosx ＋xsinx )－(sinx －xcosx )·(cosx ＋xsinx )′(cosx ＋xsinx )2＝(cosx －cosx ＋xsinx )·(cosx ＋xsinx )－(sinx －xcosx )·(－sinx ＋sinx ＋xcosx )(cosx ＋xsinx )2＝xsinx·(cosx ＋xsinx )－(sinx －xcosx )·xcosx (cosx ＋xsinx )2＝x 2(cosx ＋xsinx )2，∴y ′＝x 2(cosx ＋xsinx )2.达标检测 一、选择题1．函数y ＝lgx 的导数为( )A.1xB.1x ln10C.1xln10D.1xlge 2．函数y ＝(1a )x (a>0，且a ≠1)的导数为( )A ．(1a )x lnaB ．－a －x lnaC ．a －x lna D ．a x ln 1a3．设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N ，则f 2 009(x)等于( )A ．sinxB ．－sinxC ．cosxD ．－cosx 二、填空题1．函数f(x)＝101的导数是__________． 2．函数y ＝3x 在x ＝1处的导数为__________．3．f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝__________.4．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 5．物体的运动方程为s ＝t 5，则物体在t ＝2时的瞬时速度为__________． 6．给出下列命题，其中正确的命题是__________．(填序号)(1)任何常数的导数都为零；(2)直线y ＝2x 上任一点处的切线方程是这条直线本身； (3)双曲线y ＝1x上任意一点处的切线斜率都是负值；(4)函数y ＝2x 和函数y ＝x 2在(0，＋∞)上函数值增长的速度一样快． 7．函数y ＝lnx 在x ＝1处的切线方程为____________________． 答案：一、1.C 2.B 3.C二、1.0 2.13 3.1034.4x －y －3＝05.806.(1)(2)(3)7.x －y －1＝0课堂小结前面，我们不仅知道了所有的基本初等函数的导数公式，而且还知道了函数的和、差、积、商的求导法则．因此，现在我们可以说，一切基本初等函数的求导问题基本上都得以解决．事实上，根据初等函数的定义，初等函数是可以用一个式子表示的，而这个式子是由基本初等函数(常函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数)经过有限次的四则运算构成的，所以任何初等函数的导数都可以利用基本公式和上述求导法则求出来．因此，前面给出的公式和求导法则，对于求导运算是非常重要的，我们必须熟练掌握，并能熟练运用．为了便于查阅和记忆，现将这些公式和求导法则归纳如下：基本初等函数的导数公式表导数运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．第2课时教学目标1．知识与技能目标(1)理解并掌握复合函数的复合过程．(2)理解并熟练掌握复合函数的求导法则．2．过程与方法目标首先明白复合函数的复合过程，对中间变量的理解是学好对复合函数的求导的关键．在熟悉构成的基础上，利用所给的求导法则求出复合函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习复合函数的复合过程和复合函数的求导法则，让学生了解解决实际问题的过程和作为中间变量的中间函数在解决问题时的重要作用，体会导数在现实生活中的应用价值，从而提高数学的应用能力，同时也让学生学会人与人之间的相互依存关系和在以后的为人处事中懂得如何做到有计划、有步骤地解决遇到的各类问题．重点难点重点：复合函数的求导方法．复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．难点：正确理解复合函数的复合过程，做到不重、不漏、熟练、正确．教具准备多媒体课件．教学过程导入新课上节课我们一起学习了基本初等函数的导数公式和导数运算法则，我们大家来默写一下这些公式．活动设计：三个同学上黑板进行默写，并求函数y＝(3x－2)2的导数．基本初等函数的导数公式表导数运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g ′(x)； 2．[f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)；3．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g(x)≠0)．默写完后，给予点评． 设计意图让学生熟记这两组公式，并能熟练掌握公式，为下一步学习复合函数求导引出问题． 提出问题问题1：求函数y ＝(3x －2)2的导数，除了把函数y ＝(3x －2)2的表达式先展开，再利用导数的四则运算法则求导，是否还有其他的求导方法呢？问题2：函数f(x)＝lnx 的导数是什么？函数f(x)＝ln(3x ＋2)的导数又是什么？ 学情预测：f(x)＝lnx 的导数是f ′(x)＝1x ，函数f(x)＝ln(3x ＋2)的导数是f ′(x)＝33x ＋2.回答得对不对呢？我们今天就来学习复合函数的求导法则．探究新知(一)复合函数首先分析函数y ＝ln(3x ＋2)的结构特点．若设u ＝3x ＋2(x>－23)，则y ＝lnu.从而函数y ＝ln(3x ＋2)可以看成是由函数y ＝lnu 和函数u ＝3x ＋2(x>－23)经过“复合”得到的．即y 可以通过中间变量u 表示成自变量x 的函数．如果把y 与u 的关系记作y ＝f(u)，u 与x 的关系记作u ＝g(x)，那么这个“复合”过程可以表示为y ＝f(u)＝f(g(x))＝ln(3x ＋2)．我们遇到的很多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的．例如，函数y ＝(3x －2)2是由y ＝u 2和u ＝3x －2“复合”而成等等．一般地，对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))．理解新知例1指出下列函数是怎样复合而成的．(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)；(4)y ＝sin 2(1－1x)． 解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数．(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u 和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看作函数y ＝sinu 和u ＝πx ＋φ的复合函数．(4)函数y ＝sin 2(1－1x )可以看作函数y ＝u 2和u ＝sinv 及v ＝1－1x的复合函数． 活动成果：使学生明白什么是复合函数和复合函数的复合过程．设计意图通过对这几个函数的分解，使学生明白复合函数的复合过程，为下面复合函数的求导打下基础．例2写出由下列函数复合而成的函数．(1)y ＝lnu ，u ＝12x －3； (2)y ＝e u ，u ＝3x ＋5.解：(1)y ＝ln(12x －3)； (2)y ＝e 3x ＋5.设计意图不仅要使学生懂得如何分解复合函数，还要让学生明白函数的复合过程，使学生对问题触类旁通，达到举一反三的效果． 探究新知问题：对复合函数如何求导数呢？(二)复合函数的求导法则复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′(y x ′表示y 对x 的导数)，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．(板书)理解新知例3求下列函数的导数．(1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln(3x ＋2)．解：(1)因为函数y ＝(3x －2)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝3x －2的复合函数，所以y ＝(3x －2)2对x 的导数等于y ＝u 2对u 的导数与u ＝3x －2对x 的导数的乘积．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝2u·3＝6u ＝6(3x －2)＝18x －12.(2)因为函数y ＝ln(3x ＋2)可以看作函数y ＝lnu 和u ＝3x ＋2的复合函数，所以y x ′＝y u ′·u x ′＝(lnu)′·(3x ＋2)′＝1u ·3＝33x ＋2. 设计意图发现真正出错的原因，使得对复合函数的求导法则的认识更加明确，便于以后的学习． 运用新知例4(课本例4)求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′(2x ＋3)′＝4u ＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u 和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看作函数y ＝sinu 和u ＝πx ＋φ的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(sinu)′(πx ＋φ)′＝πcosu ＝πcos(πx ＋φ)．点评：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于对自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节，并及时化简计算结果．[注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成．这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数．因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函数是幂函数的线性组合，其导数也容易求，然后再利用复合函数的，导法则和导数的基本公式即可．如果“分解”的不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误．]对例4(1)中求导数的步骤进行归纳总结：函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数． 分解y u ′＝2u ，u x ′＝2. 求导y x ′＝y u ′·u x ′＝2u·2. 相乘函数y ＝(2x ＋3)2的导数是y x ′＝4u ＝4(2x ＋3)． 回代总结：复合函数求导的基本步骤是：(1)分解；(2)求导；(3)相乘；(4)回代．例5求下列函数的导数．(1)y ＝x －ax 2－2ax ；(2)y ＝sin 4x ＋cos 4x.解：(1)y ′＝1·x 2－2ax －(x －a )·2x －2a 2x 2－2ax x 2－2ax ＝－a 2(x 2－2ax )x 2－2ax＝－a 2x 2－2ax (x 2－2ax )2，y ′＝－a 2x 2－2ax (x 2－2ax )2. 点评：本题是求商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理．(2)解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x)2－2sin 2xcos 2x ＝1－12sin 2(2x) ＝1－14(1－cos4x)＝34＋14cos4x.y ′＝－sin4x. 解法二：y ′＝(sin 4x)′＋(cos 4x)′＝4sin 3x(sinx)′＋4cos 3x(cosx)′＝4sin 3xcosx ＋4cos 3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin 2x －cos 2x)＝－2sin2xcos2x ＝－sin4x.点评：解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意准确变形；解法二是对复合函数求导数，应注意不漏步．设计意图本例题练习复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的导数求解法则，意在巩固基本初等函数的导数公式与复合函数的求导法则，熟练掌握复合函数的导数求法．巩固练习求下列函数的导数．(1)y ＝(2x －3)3；(2)y ＝(1－3x)3；(3)y ＝sin(3x ＋π3)；(4)y ＝x 2＋1. 答案：(1)y x ′＝6(2x －3)2；(2)y x ′＝－9(1－3x)2；(3)y x ′＝3cos(3x ＋π3)；(4)y x ′＝x x 2＋1. 变练演编求下列函数的导数．(1)y ＝e 2x ＋5；(2)y ＝53x －1；(3)y ＝log 3(2x ＋4)；(4)y ＝sin2x －cos(3x －2)；(5)y ＝2xsin(2x ＋5)．答案：(1)y x ′＝2e 2x ＋5；(2)y x ′＝3(53x －1ln5)；(3)y x ′＝2(2x ＋4)ln3； (4)y x ′＝2cos2x ＋3sin(3x －2)；(5)y x ′＝2sin(2x ＋5)＋4xcos(2x ＋5)．设计意图本题意在进一步熟练对复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的求导进行计算． 课堂小结。
导数公式和运算法则教案
§1.2.2基本初等函数的导数公式
及导数的运算法则
【教学目标】
1.知识与技能：
熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
2.过程与方法：
通过对每个公式的针对性简单练习，使学生掌握基本初等函数的导数公式，通过8个基本初等函数的整合练习，加深理解导数的运算法则，以及解题的简洁性和变式的灵活性．
3.情感态度与价值观：
通过对新知的理解与巩固，培养学生创新能力，应变能力，运算能力，思维敏捷度，使学生体会到成功的喜悦，培养学生的学习兴趣．
【教学重点与难点】
1.重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．
2.难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．
【教学手段】
多媒体幻灯片
【学习目标】
1．掌握基本函数的导数公式，灵活运用公式求某些函数的导数.
2．理解函数的和、差、积、商的求导法则，能够用法则求一些函数的导数.
【教学过程】。
学案14：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学习目标1．理解各个公式的证明过程，进一步理解运用定义求导数的方法． 2．掌握常见函数的导数公式． 3．灵活运用公式求某些函数的导数． 问题导学一、根据求导公式和导数运算法则求导数 活动与探究1求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋2x ＋1x 2；(2)y ＝3x ＋ln x ＋5； (3)y ＝e x cos x ＋sin x ； 迁移与应用1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的导数为( ) A ．y ′＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 B ．y ′＝cos x －sin x C ．y ′＝－sin x D ．y ′＝cos x 2．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ．名师点睛应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则，可迅速解决一些简单的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导． 二、导数几何意义的应用 活动与探究2(1)已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．(2)已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R ．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程．迁移与应用1．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为__________． 2．求过点(1，－1)与曲线y ＝f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．名师点睛(1)根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数s (t )对时间t 的导数，即v ＝s ′|t ＝t 0．(2)注意区别“在P 处”求切线和“过P ”求切线的不同，后者点P 不一定是切点，要先设出切点再求切线． 三、导数的综合应用 活动与探究3已知函数f (x )＝x 2a －1(a ＞0)的图象在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．迁移与应用1．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎭⎫0，π4 B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2 C ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4 D ．⎣⎡⎭⎫3π4，π 2．讨论关于x 的方程ln x ＝kx 的解的个数． 当堂检测1．已知函数π()=sin 2f x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭，则π2f'⎛⎫ ⎪⎝⎭＝( ) A ．π2-B ．0C ．1D ．π22．下列结论正确的个数为( )①y ＝ln 2，则1'=2y ；②21=y x ，则=32'|=27x y -；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④12=log y x ，则1'=ln2y x -． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．eD ．1e4．设y ＝－2e x sin x ，则y ′＝__________．5．若曲线运动的物体的位移s 与时间t 的关系为221=2ts t t-+，则t ＝2时的瞬时速度为__________．课堂小结：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．参考答案一、根据求导公式和导数运算法则求导数活动与探究1解：(1)∵y ＝3x 2＋2x －1＋x －2，∴y ′＝6x －2x －2－2x －3＝6x －2x 2－2x 3．(2)y ′＝3x ln 3＋1x．(3)y ′＝e x cos x －e x sin x ＋cos x ． 迁移与应用 1．【答案】C【解析】∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，∴y ′＝－sin x ． 2．解：(1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3．(2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝(3x 2＋x 3)e x ． 二、导数几何意义的应用 活动与探究2(1)解：∵直线l 过原点，∴直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)．由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2． 又y ′＝3x 2－6x ＋2， ∴k ＝0x x y ='＝3x 20－6x 0＋2．又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 整理得2x 20－3x 0＝0．∵x 0≠0，∴x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14．因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－38． (2)解：∵f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，∴f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝ax ．设f (x )，g (x )的交点为(x 0，y 0)，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧12x 0＝ax 0，y 0＝x 0，y 0＝a ln x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12e ，x 0＝e 2，y 0＝e.∴切线斜率k ＝f ′(x 0)＝f ′(e 2)＝12e ，切点为(e 2，e)，∴切线方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0．迁移与应用1．【答案】4x －y －3＝0【解析】因为y ′＝3ln x ＋4，故y ′|x ＝1＝4，所以曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝4(x －1)，化为一般式方程为4x －y －3＝0． 2．解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为：k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2．故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0．② 又∵(1，－1)在切线上， ∴将②式和(1，－1)代入①式，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝－12．故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)，即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0． 三、导数的综合应用 活动与探究3解：∵f ′(x )＝2x a ，∴f ′(1)＝2a．又f (1)＝1a －1，∴f (x )在x ＝1处的切线l 的方程是y －1a ＋1＝2a (x －1)．∴l 与坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12⎪⎪⎪⎪－1a －1⎪⎪⎪⎪a ＋12＝14⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2 ≥14×(2＋2)＝1． 当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时，直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1．迁移与应用 1.【答案】D【解析】∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4e x ＋1′＝－4exe x＋12＝－4e x ＋1ex ＋2≥－1，即tan α≥－1． 由正切函数图象得α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π，选D ．2．解：如图，方程ln x ＝kx 的解的个数就是直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 的交点的个数． 设直线y ＝kx 与y ＝ln x 切于P (x 0，ln x 0)，则kx 0＝ln x 0．∵(ln x )′＝1x ，∴k ＝1x 0，kx 0＝1＝ln x 0．∴x 0＝e ，k ＝1e．结合图象知：当k ≤0或k ＝1e 时，方程ln x ＝kx 有一解．当0＜k ＜1e 时，方程ln x ＝kx 有两解．当k ＞1e 时，方程ln x ＝kx 无解．当堂检测 1．【答案】A【解析】∵f (x )＝πsin 2x x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ． ∴πππππ'=cos sin =22222f ⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．【答案】D【解析】对①，y ＝ln 2是常数函数，y ′＝0，故①错误；对②，221==y x x -，y ′＝－2x －3＝32x -，∴y ′|x ＝3＝227-，故②正确； 对③，易知其正确； 对④，12=log y x ，11'==1ln2ln 2y x x -，故④正确． 3．【答案】A【解析】根据导数的几何意义可得，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1． 4．【答案】－2e x (sin x ＋cos x )【解析】y ′＝－2[(e x )′·sin x ＋e x ·(sin x )′]＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )． 5．【答案】8 【解析】s ′＝21't t -⎛⎫⎪⎝⎭＋(2t 2)′ ＝2421t t t t --(-)＋4t ＝32t t-＋4t ． ∴t ＝2时的瞬时速度为s ′|t ＝2＝228-＋8＝8．。
基本初等函数的导数公式教案
基本初等函数的导数公式教案一、教学目标1.理解基本初等函数的概念和性质。
2.掌握基本初等函数的导数公式。
3.能够运用导数公式计算基本初等函数的导数。
4.培养学生的推导能力和运算能力。
二、教学重点1.基本初等函数的导数公式的掌握与运用。
2.提高学生的运算能力和推导能力。
三、教学难点四、教学过程1.导入（5分钟）引出函数的导数的概念，简要介绍导数的定义和计算方法。
2.概念讲解（15分钟）介绍基本初等函数的概念，并列举常见的基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并讲解它们的定义和性质。
3.导数公式讲解（30分钟）根据基本初等函数的定义和性质，逐一讲解它们的导数公式，并进行推导过程，包括：（1）常数函数的导数：导数等于零。
（2）幂函数的导数：根据导数的定义和指数函数的性质，导数等于指数乘以底数的指数减一次幂函数。
（3）指数函数的导数：根据导数的定义和指数函数的性质，导数等于指数乘以底数的指数减一次指数函数。
（4）对数函数的导数：根据导数的定义和对数函数的性质，导数等于函数的导数除以函数的值次对数函数。
（5）三角函数的导数：根据导数的定义和三角函数的周期性和特性，导数等于函数的导数乘以函数的导数除以函数的值次三角函数。
（6）反三角函数的导数：根据导数的定义和反三角函数的性质，导数等于函数的导数除以根号一减去函数的值的平方。
4.例题讲解（30分钟）根据导数公式，讲解几个典型的例题，包括：（1）计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数的导数。
（2）利用导数公式计算复合函数的导数。
5.练习与拓展（20分钟）让学生进行练习题的训练，加深对导数公式的理解与应用，并引导学生思考基本初等函数导数公式的推导和推广。
6.归纳总结（10分钟）总结基本初等函数的导数公式，回顾推导过程，并强调导数公式的重要性和运用价值。
五、课堂小结通过本节课的学习，我们了解了基本初等函数的概念和性质，并掌握了基本初等函数的导数公式。
数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案
数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】§则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 二．新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表 （二）导数的运算法则 导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ （2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）函数 导数函数 导数三．典例分析 例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）y ＝xx --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝x x 4； （5）y ＝xx ln 1ln 1+-． （6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x x x x sin cos cos sin +- 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1） 因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2） 因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大(98)25(90)c c约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则-课件
题型三 求较复杂函数的导数 例3 求下列函数的导数：
(1)y＝2x2sin(2x＋5)； (2)y＝a3x·cos(2x＋1)． 【解】 (1)由于[sin(2x＋5)]′＝cos(2x＋5)·(2x＋5)′ ＝2cos(2x＋5)， ∴y′＝(2x2)′sin(2x＋5)＋2x2[sin(2x＋5)]′ ＝4xsin(2x＋5)＋4x2cos(2x＋5)．
所以 f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，
12x20＋2x0＝3ln x0＋b. ∴
x0＋
2＝3 . x0
由
x0＋
2＝ 3 得， x0
x0＝
1，或
x0＝－ 3(舍去 )，
所以 b＝52.
(2)y＝f(x)(x＞ 0)， y＝ g(x)(x＞ 0)
在 且公f′共(x点)＝(xx0，＋y20a)处 ，的g′切(x线)＝相3x同a2，，
x .
(3)y′＝(ex)′ (x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)′
＝e x(x4－ 3x2－ 5x＋ 6)＋e x(4x3－ 6x－ 5)
＝e x(x4＋ 4x3－ 3x2－ 11x＋ 1)．
(4)y＝x－12sin x，
∴y′＝1－12cos x.
题型二 求复合函数的导数 例2 求下列函数的导数：
的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切
线，用 t 表示 a，b，c.
解：∵函数 f(x)，g(x)的图象都过点 P(t,0)， ∴f(t)＝0，即 t3＋at＝0. ∵ t≠ 0，∴ a＝－ t2. 又 g(t)＝0，即 bt2＋c＝0，∴c＝ab. 又∵ f(x)， g(x)在点(t,0)处有 相同的切线， ∴ f′(t)＝ g′ (t)． 而 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx， ∴ 3t2＋ a＝ 2bt. 将 a＝－t2 代入上式得 b＝t. ∴ c＝ ab＝－ t3.
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件
f′(x)＝ ex
f′(x)＝ (a>0且a≠1)
f′(x)＝
● 2.导数的四则运算法则 ● 设函数f(x)、g(x)是可导的，则 ● (1)(f(x)±g(x))′＝ ● (2)(f(x)·g(x))′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)
＋9x2)＝60x9－48x7＋45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5
＝120x9－56x7－72x5.
解法 2：∵y＝12x10－7x8－12x6
∴y′＝120x9－56x7－72x5.
(3)y′＝(33 x4＋4 x3)′＝(3x43)′＋(4x32)′
● [点评] 1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便． ● 2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
数加减(的3)求y导＝法3则3进x行4求＋导4． x3.
[解析]
(1)y′＝15x5－43x3＋3x＋
2′
＝15x5′－43x3′＋(3x)′＋( 2)′＝x4－4x2＋3. (2) 解 法 1 ： y′ ＝ (3x5 － 4x3)′(4x5 ＋ 3x3) ＋ (3x5 －
4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x2)(4x5＋3x3)＋(3x5－4x3)(20x4
以写成
y＝x－4，y＝5
3
x3＝x5等，这样就可以直接使用幂函
数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的 运算失误．
[解析] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝x14′＝(x－4)′＝－4x－5＝－x45.
(4)y′＝(2x)′＝2xln2. (5)y′＝2sin2xcos2x′＝(sinx)′＝cosx.
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§则
教学目标：
1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；
2．掌握导数的四则运算法则；
3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则
教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用
教学过程：
一．创设情景
四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =
的导数公式及应用 二．新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表 （二）导数的运算法则 导数运算法则
1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'
''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]
'
''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
三．典例分析
函数
导数
函数 导数
例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的
01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01） 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =
所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．
例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
（1）323y x x =-+
（2）y ＝x x --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ；
（4）y ＝
x x 4
； （5）y ＝x x ln 1ln 1+-． （6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x
（7） y ＝x
x x x x x sin cos cos sin +- 【点评】
① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
（1） 因为'2
5284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．
（2） 因为'2
5284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．
函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越
多，而且净化费用增加的速度也越快．。