第6讲 容斥原理

第六讲 容斥原理

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A |表示有限集A 的元素的个数。在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成 |A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |。

我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。

包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素个数，可以分一下两步进行：

第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来。即先求|A |+|B |（意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；

第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A ∩B |（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。

例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？

解：设I ={1、2、3、…、19、20}，A ={I 中2的倍数}，B ={I 中3的倍数}。 显然题目中要求计算并集A ∪B 的元素个数，即求|A ∪B |。 我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。

A ∩

B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3， 根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。

此题可以直观地用图表示如下：

例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？

解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}， 由题意知|A |=25，|B |=21。

A ∪

B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。 A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}， 由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |， 所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。 答：两科都在90分以上的有8人。 画图分析一下：

15

9320

18

16141210

8

642B

A

其中A 的人数是x +n =25，B 的人数是y +n =21，A ∪B 的人数是x +n +y =38，求n 等于多少？

很明显n =(x +n )+(y +n )–(x +y +n )=25+21–38=8。

例3．如图所示，一个边长为2 的正方形与一个边长为3的正方形放在桌面上，它们所盖住的面积有多大？

解：如果把两个正方形的面积加起来是32+22=9+4=13，就会发现多计算了一块阴影的面积，应该从上面的和中减去这一部分。

因此两个正方形所覆盖住的面积是32+22–1.52=13–2.25=10.75。

例4．有100位旅客，其中10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语。问既懂英语又懂俄语的有多少人？

解：设A ={懂英语的旅客}，B ={懂俄语的旅客}，那么英语或俄语至少懂一种的旅客是A ∪B ，而两种语言都懂的旅客是A ∩B 。

由题意|A |=75，|B |=83，|A ∪B |=100–10=90，

根据容斥原理得|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。

对于任意三个有限集合A 、B 、C ，我们可以将上面的容斥原理推广得到如下的公式： |A ∪B ∪C |=|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |+|A ∩B ∩C |。

三个集合的容斥原理告诉我们要计算并集A ∪B ∪C 的元素个数，可以分三步进行： 第一步：求|A |+|B |+|C |；

第二步：减去|A ∩B |，|B ∩C |，|C ∩A |； 第三步：加上|A ∩B ∩C |。 结合下图作出说明。

n

y

x

B A

2

3

由于A ∪B ∪C 可以有七个部分组成，其中I 、II 、III 部分的元素仅属于某个集合，而IV 、V 、VI 部分的元素分别属于某两个集合，第VII 部分则是三个集合的交集。

由于A ∪B ∪C 的元素分别来自集合A 、B 、C ，因此先计算|A |+|B |+|C |。

在这个和里，第I 、II 、III 部分的元素只计算了一次，而第IV 、V 、VI 部分的元素各自计算了两次，第VII 部分的元素计算了三次。

在第二步中减去了|A ∩B |，|B ∩C |，|C ∩A |后，得|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |， 这样显然消除了第IV 、V 、VI 部分的元素的重复计算，但是请注意同时对第VII 部分的元素是减去了三次，这样第VII 部分的元素都被减去了，因此必须补回来，即再加上|A ∩B ∩C |。

综上所述得|A ∪B ∪C |=|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |+|A ∩B ∩C |。

例5．某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋、国际象棋三个组进行。参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有51人，参加国际象棋比赛的有30人。同时参加围棋和中国象棋比赛的有13人，同时参加围棋和国际象棋比赛的有7人，同时参加中国象棋和国际象棋比赛的有11人，其中三种棋都参加的有3人。问参加棋类比赛的共有多少人？

解：设A ={参加围棋比赛的人}，B ={参加中国象棋比赛的人}，C ={参加国际象棋比赛的人}。那么参加棋类比赛的人的集合为A ∪B ∪C 。

由题意知，|A |=42，|B |=51，|C |=30，又|A ∩B |=13，|A ∩C |=7，|B ∩C |=11，|A ∩B ∩C |=3。 根据容斥原理得

|A ∪B ∪C |=|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |+|A ∩B ∩C |=42+51+30–13–7–11+3=95（人）。 答：参加棋类比赛的共有95人。 画图来计算：

A 、

B 、

C 三个圆表示三个集合，先把三个圆相交的最中间部分填上3，

由于同时参加围棋和中国象棋比赛的有13人，所以第IV 部分应该是10人；

C VII

VI V

IV III II I

B

A 84310301525

C

VI

V

IV III

II I

B

A

C

VI

V

IV III II

I

B

A