第6讲 容斥原理

第六讲 容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

我们用|A |表示有限集A 的元素的个数。

在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成 |A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |。

我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。

包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A 、B 的并集A ∪B 的元素个数，可以分一下两步进行：第一步：分别计算集合A 、B 的元素个数，然后加起来。

即先求|A |+|B |（意思是把A 、B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A ∩B |（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。

例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？解：设I ={1、2、3、…、19、20}，A ={I 中2的倍数}，B ={I 中3的倍数}。

显然题目中要求计算并集A ∪B 的元素个数，即求|A ∪B |。

我们知道A ={2、4、6、……、20}，所以|A |=10， B ={3、6、9、12、15、18}，|B |=6。

A ∩B ={I 中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A ∩B |=3， 根据容斥原理有|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |=10+6–3=13. 答：所求的数共有13个。

此题可以直观地用图表示如下：例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？解：设A ={数学在90分以上的学生}，B ={语文在90分以上的学生}， 由题意知|A |=25，|B |=21。

A ∪B ={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A ∪B |=38。

A ∩B ={数学、语文都在90分以上的学生}， 由容斥原理知|A ∪B |=|A |+|B |–|A ∩B |， 所以|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=25+21–38=8。

答：两科都在90分以上的有8人。

画图分析一下：15932018161412108642BA其中A 的人数是x +n =25，B 的人数是y +n =21，A ∪B 的人数是x +n +y =38，求n 等于多少？很明显n =(x +n )+(y +n )–(x +y +n )=25+21–38=8。

例3．如图所示，一个边长为2 的正方形与一个边长为3的正方形放在桌面上，它们所盖住的面积有多大？解：如果把两个正方形的面积加起来是32+22=9+4=13，就会发现多计算了一块阴影的面积，应该从上面的和中减去这一部分。

因此两个正方形所覆盖住的面积是32+22–1.52=13–2.25=10.75。

例4．有100位旅客，其中10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语。

问既懂英语又懂俄语的有多少人？解：设A ={懂英语的旅客}，B ={懂俄语的旅客}，那么英语或俄语至少懂一种的旅客是A ∪B ，而两种语言都懂的旅客是A ∩B 。

由题意|A |=75，|B |=83，|A ∪B |=100–10=90，根据容斥原理得|A ∩B |=|A |+|B |–|A ∪B |=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。

对于任意三个有限集合A 、B 、C ，我们可以将上面的容斥原理推广得到如下的公式： |A ∪B ∪C |=|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |+|A ∩B ∩C |。

三个集合的容斥原理告诉我们要计算并集A ∪B ∪C 的元素个数，可以分三步进行： 第一步：求|A |+|B |+|C |；第二步：减去|A ∩B |，|B ∩C |，|C ∩A |； 第三步：加上|A ∩B ∩C |。

结合下图作出说明。

nyxB A23由于A ∪B ∪C 可以有七个部分组成，其中I 、II 、III 部分的元素仅属于某个集合，而IV 、V 、VI 部分的元素分别属于某两个集合，第VII 部分则是三个集合的交集。

由于A ∪B ∪C 的元素分别来自集合A 、B 、C ，因此先计算|A |+|B |+|C |。

在这个和里，第I 、II 、III 部分的元素只计算了一次，而第IV 、V 、VI 部分的元素各自计算了两次，第VII 部分的元素计算了三次。

在第二步中减去了|A ∩B |，|B ∩C |，|C ∩A |后，得|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |， 这样显然消除了第IV 、V 、VI 部分的元素的重复计算，但是请注意同时对第VII 部分的元素是减去了三次，这样第VII 部分的元素都被减去了，因此必须补回来，即再加上|A ∩B ∩C |。

综上所述得|A ∪B ∪C |=|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |+|A ∩B ∩C |。

例5．某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋、国际象棋三个组进行。

参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有51人，参加国际象棋比赛的有30人。

同时参加围棋和中国象棋比赛的有13人，同时参加围棋和国际象棋比赛的有7人，同时参加中国象棋和国际象棋比赛的有11人，其中三种棋都参加的有3人。

问参加棋类比赛的共有多少人？解：设A ={参加围棋比赛的人}，B ={参加中国象棋比赛的人}，C ={参加国际象棋比赛的人}。

那么参加棋类比赛的人的集合为A ∪B ∪C 。

由题意知，|A |=42，|B |=51，|C |=30，又|A ∩B |=13，|A ∩C |=7，|B ∩C |=11，|A ∩B ∩C |=3。

根据容斥原理得|A ∪B ∪C |=|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |+|A ∩B ∩C |=42+51+30–13–7–11+3=95（人）。

答：参加棋类比赛的共有95人。

画图来计算：A 、B 、C 三个圆表示三个集合，先把三个圆相交的最中间部分填上3，由于同时参加围棋和中国象棋比赛的有13人，所以第IV 部分应该是10人；C VIIVI VIV III II IBA 84310301525CVIVIV IIIII IBACVIVIV III IIIBA同时参加中国象棋和国际象棋比赛的有11人，所以第V 部分应该是8人； 同时参加围棋和国际象棋比赛的有7人，所以第VI 部分应该是4人； 再根据参加围棋比赛的有42人，于是第I 部分是42–10–3–4=25人； 参加中国象棋比赛的有51人，于是第II 部分是51–10–3–8=30人； 参加国际象棋比赛的有30人。

于是第III 部分是30–8–3–4=15人； 由此得出参加棋类比赛的总人数是25+30+15+10+8+4+3=95（人）。

例6．边长分别为6、5、2的三个正方形，如图所示放在桌面上，问它们所盖住的面积是多大？解：设R 表示正方形区域ABCD ，M 表示正方形区域A 1B 1C 1D 1，N 表示正方形区域A 2B 2C 2D 2，则|R |=36，|M |=25，|N |=4，|R ∩M |=9，|R ∩N |=2，|M ∩N |=2，|R ∩M ∩N |=1，所以|M ∪M ∪N |=|R |+|M |+|N |–|R ∩M |–|R ∩N |–|M ∩N |+|R ∩M ∩N |=36+25+4–9–2–2+1=53.答：三个正方形所盖住的面积是53.例7．某班学生手中分别拿有红、黄、蓝三种颜色的球。

已知手中有红球的共有34人，手中有黄球的共有26人，手中有篮球的共有18人，其中手中有红、黄、蓝三种球的有6人，而手中只有红、黄两种球的有9人，手中只有黄、蓝两种球的有4人，手中只有红、蓝两种球的有3人，那么这个班共有多少人？解：设A 、B 、C 分别表示手中有、红球、黄球、篮球的人的集合， 由题意，画出图来逐一填上人数计算。

B 1A DC56最中间应该填上6，由手中只有红、黄两种球的有9人，手中只有红、蓝两种球的有3人，手中只有黄、蓝两种球的有4人，则在区域VI 、V 、VI 中分别填上9、3、4。

最后由手中有红球的共有34人，手中有黄球的共有26人，手中有篮球的共有18人，可以填出区域I 、II 、III 内分别填上16、7、5。

所以全班共有16+7+5+9+3+4+6=50（人）。

答：全班共有50人。

解法2：设A 、B 、C 分别表示手中有、红球、黄球、篮球的人的集合， 则|A |=34，|B |=26，|C |=18，所以|A |+|B |+|C |=34+26+18=78，显然这样的计算中对于区域IV 、V 、VI 的部分重复计算了一次（需要减去1次），而对于区域VII 的部分重复计算了两次，也就是计算了三次（需要减去2次）。

所以全班人数是34+26+18–(9+4+3)–2×6=50（人）。

答：全班共有50人。

例8．求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？ 解：设A ={1到200中间能被2整除的自然数}；B ={1到200中间能被3整除的自然数}；C ={1到200中间能被5整除的自然数}；那么A ∩B ={1到200中间能被2×3整除的自然数}；A ∩C ={1到200中间能被2×5整除的自然数}；B ∩C ={1到200中间能被3×5整除的自然数}；A ∩B ∩C ={1到200中间能被2×3×5整除的自然数}；求出|A |=100，|B |=66，|C |=40，|A ∩B |=33，|A ∩C |=20，|B ∩C |=13，|A ∩B ∩C |=6， 所以|A ∪B ∪C |=|A |+|B |+|C |–|A ∩B |–|B ∩C |–|A ∩C |+|A ∩B ∩C |=100+66+40–33–20–13+6=146.这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、5中一个数整除的数的个数。

所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有200–146=54（个）。

练 习 题1．某班有团员23人，这个班里男生共有20人，则这个班里女生团员比男生非团员多 人。

解：设男生团员为x 人，则女生团员为23–x 若，男生非团员为20–x 人，所以这个班里女生团员比男生非团员多(23–x )–(20–x )=3（人）。

答：这个班里女生团员比男生非团员多3人。

2．一张纸片的面积为7，另一张是边长为2的正方形纸片，把这两张纸片放在桌子上，覆盖的面积为8，则两张纸片重合部分的面积是 。