2020高考专题复习之必修二-解析几何初步
2020年北师大版高中数学必修二：第二章 解析几何初步 §3 3.3
第二章解析几何初步§3空间直角坐标系3.3空间两点间的距离公式课时跟踪检测一、选择题1．设点B是点A(2，－3,5)关于平面xOy的对称点，则|AB|＝()A．10B．10C．38D．38解析：B(2，－3，－5)，|AB|＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10.★答案☆：A2．已知点A(1,1，a)，B(0,2,0)，且|AB|＝3，则a的值为()A．7 B．7C．－7 D．±7解析：|AB|＝(1－0)2＋(1－2)2＋(a－0)2＝a2＋2＝3，∴a2＝7，a＝±7.★答案☆：D3．在空间直角坐标系中，点P在x轴上，它到P1(0，2，3)的距离为23，则点P的坐标为()A．(0,1,0)或(0，－1,0)B．(1,0,0)C．(1,0,0)或(－1,0,0)D．(0,1,0)或(0,0,1)解析：设P(x,0,0)，∵|PP1|＝23，即(x－0)2＋(0－2)2＋(0－3)2＝23，解得x2＝1，x＝±1.∴P(1,0,0)或(－1,0,0)．4．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 解析：|AB |＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89|BC |＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14|AC |＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75，所以|AB |2＝|BC |2＋|AC |2.所以△ABC 为直角三角形．★答案☆：C5．已知三点A ，B ，C 的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB ⊥AC ，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14解析：因为AB ⊥AC ，所以△ABC 为直角三角形，∠A ＝90°.所以|BC |2＝|AB |2＋|AC |2.而|BC |2＝λ2－2λ＋146|AB |2＝44|AC |2＝(3－λ)2＋37，解得λ＝－14.★答案☆：D6．已知A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当A ，B 两点间距离取最小值时，x 的值为( )A ．19B ．－87C ．87D ．1914解析：|AB |＝(x －1)2＋[(5－x )－(x ＋2)]2＋[(2x －1)－(2－x )]2＝ 14x 2－32x ＋19＝ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， 当x ＝87时|AB |取得最小值．★答案☆：C二、填空题7．在空间直角坐标系中，点A (1,1,3)与点B (1，－3,0)的距离为________． 解析：|AB |＝(1－1)2＋(1＋3)2＋(3－0)2＝25＝5.8．已知x，y，z满足方程C：(x－3)2＋(y－4)2＋(z＋5)2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是________．解析：x2＋y2＋z2表示坐标原点(0,0,0)到点(x，y，z)的距离的平方，则点(0,0,0)到(3,4，－5)的距离d＝32＋42＋(－5)2＝52，则x2＋y2＋z2的最小值为(52－2)2＝(42)2＝32.★答案☆：329．正方体不在同一表面上的两顶点P(－1,2，－1)，Q(3，－2，3)，则正方体的体积是________．解析：由题意可知PQ为正方体的一条对角线，且|PQ|＝43，∴棱长为4，体积为64.★答案☆：64三、解答题10．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)．(1)在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|；(2)若xOz平面内的点M到点A的距离与到点B的距离相等，求点M的坐标满足的条件．解：(1)由于点P在x轴上，故可设P(a,0,0)，由|P A|＝|PB|得(a－1)2＋4＋1＝(a－2)2＋4，即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，所以点P的坐标为P(1,0,0)．(2)由于点M在平面xOz内，故可设M(x,0，z)，由|MA|＝|MB|得(x－1)2＋(－2)2＋(z＋1)2＝(x－2)2＋(z－2)2，即x＋3z－1＝0.所以点M的坐标满足的条件为x＋3z－1＝0.11．已知直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求|MN|的长．解：如图，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CC 1为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，∵CA ＝CB ＝1，AA 1＝2，∴A 1(1,0,2)，B 1(0,1,2)，A (1,0,0)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，N (1,0,1)． ∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋(1－2)2＝ 14＋14＋1＝62.12．已知点A (2,3,1)，B (－1,2，－3)，点P 在y 轴上，求|P A |2＋|PB |2的最小值以及此时点P 的坐标．解：设P (0，t,0)，则|PA |2＋|PB |2＝(0－2)2＋(t －3)2＋(0－1)2＋(0＋1)2＋(t －2)2＋(0＋3)2＝2t 2－10t ＋28＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋312. 当t ＝52时|P A |2＋|PB |2有最小值312.此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，0.13．如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O －xyz，点P在对角线AB上运动，点Q为棱CD的中点，探求|PQ|的最小值．解：如图，过P 作PE ⊥OA 于E ，则PE ⊥平面xOy ，设P 的横坐标为x ，由正方体性质得点P 的纵坐标为x ，取正方体棱长为1，则AE ＝2(1－x )．∵AE AO ＝PE BO ，∴PE ＝2(1－x )·12＝1－x (0≤x ≤1)． ∴P 点坐标为(x ，x,1－x )，又Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12， ∴|PQ |＝x 2＋(1－x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋x 2＝ 3x 2－3x ＋54＝ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12， 当x ＝12时|PQ |min ＝22， 此时点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12. 即P 为AB 中点时|PQ |有最小值22.。
第二章 解析几何初步 章末复习方案 课件(北师大必修2)
3．圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中，圆 心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标 准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，
F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件．因此，
∴直线l的方程为y＝x－2，
即x－y－2＝0； 当k＝－1时，直线l的方程为y＝－x＋b， 把P(8,6)代入得6＝－8＋b，解得b＝14， ∴直线l的方程为y＝－x＋14，即x＋y－14＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y－14＝0或x－y－2＝0.
[借题发挥]
本题法一和法二分别应用了直线方
程的截距式和斜截式来解题，可以看出法一要优于法
1．直线的五种方程 解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：
点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不
能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴 垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线， 但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．
2．距离问题 距离包括平面两点间的距离、空间两点间的距离、 点到直线的距离和两平行线间的距离． 学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利 用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形 直观分析相结合．
二，涉及直线与两条坐标轴围成的三角形的面积或周 长的与截距有关的问题时，设截距式较简单，但要注 意截距式应用的前提是截距存在且不为0.
2．一条直线被两条直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6
＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方
程．
解：法一：当直线的斜率存在时，设 l 的方程为 y＝kx， 且 l 与已知两直线的交点分别为 P1(x1，y1)，P(x2，y2)， y1＝kx1， y2＝kx2， 则 4x1＋y1＋6＝0， 3x2－5y2－6＝0， x ＝ －6 ， 1 4＋k 由此解得 6 x2＝3－5k.
2020年教师版高中数学解析几何高考考点复习与解析
(2)计算公式:若由
A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于
x
轴,则
k=
22-
1(x1≠x2).
1
若直线的倾斜角为θ 4.直线方程的五种形式
≠
π 2
,则
k=tanθ
.
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名称 几何条件 斜截式 纵截距、斜率 点斜式 过一点、斜率
两点式 过两点
叫做椭圆的焦点 ,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 .
注:若集合 P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中 a>0,c>0,且 a,c 为常数,则有如下结论:
(1)若 a>c,则集合 P 为椭圆 ;
(2)若 a=c,则集合 P 为线段 F1F2 ;
(3)若 a<c,则集合 P 为空集 .
方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0
一般
充要条件:D2+E2-4F>0 圆心坐标: - ,-
22
方程
半径： r D2 E2 4F 2
8.点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0,y0)与圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2 之间存在着下列关系:
(1)d>r⇔M 在圆外,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M 在圆外 ; (2)d=r⇔M 在圆上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M 在圆上 ; (3)d<r⇔M 在圆内,即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔M 在圆内 . 9.直线与圆的位置关系
= 1+ 2 ,
则
2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何(必修2、选修2_1)第3节椭圆课件理
等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨
焦点
,两焦点间的距离叫做椭圆
2.椭圆的标准方程及其简单几何性质
标准 方程
焦点在 x 轴上 x2 + y 2 =1(a>b>0) a2 b2
图形
范围 对称性
|x|≤a;|y|≤b
曲线关于 x轴、 y轴、原点 对称
焦点在 y 轴上 y 2 + x2 =1(a>b>0) a2 b2
答案:④⑤
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)已知△ABC的周长为26且点A,B的坐标分别是(-6,0),(6,0),则点
C的轨迹方程为
.
解析:(1)因为△ABC 的周长为 26,顶点 A(-6,0),B(6,0),所以|AB|=12,|AC|+|BC|=2612=14,且 14>12,点 C 到两个定点的距离之和等于定值,所以点 C 的轨迹是椭圆,因为
【跟踪训练 3】
(1)过椭圆 x2 a2
+ y2 b2
=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2
为椭圆的右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 1
5 55 以 b2≥1,所以 a2-c2≥1,4-c2≥1,解得 0<c≤ 3 ,所以 0< c ≤ 3 ,所以椭圆的离心率
a2 的取值范围为(0, 3 ).故选 A.
2
反思归纳 (1)求椭圆离心率的方法 ①直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解. ②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e 的方程(或不等式)求解. (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.
2020年高中数学第二章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式新人教B版必修2
2.1.1 数轴上的基本公式课时跟踪检测 [A 组 基础过关]1．不在数轴上画点，确定下列各组点中，哪一组中的点M 位于点N 的右侧( ) A ．M (－2)和N (－3) B ．M (4)和N (6) C ．M (－2)和N (3)D ．M (3)和N (4)解析：∵－2>－3，∴M (－2)在N (－3)的右侧． 答案：A2．在下列四个命题中，正确的是( ) A ．两点A ，B 确定唯一一条有向线段 B ．起点为A ，终点为B 的有向线段记作AB C ．有向线段AB →的数量AB ＝－|BA | D ．两点A ，B 确定唯一一条线段解析：两点A ，B 确定的有向线段是有两个方向的，因此A 错误；起点为A ，终点为B 的有向线段记为AB →，因此B 错误；有向线段AB →的数量不能用－|BA |来表示，因此C 错误．答案：D3．设数轴上三点A ，B ，C ，点B 在A ，C 之间，则下列等式成立的是( ) A ．|AB →－CB →|＝|AB →|－|CB →| B ．|AB →＋CB →|＝|AB →|＋|CB →| C ．|AB →－CB →|＝|AB →|＋|CB →| D ．|AB →＋CB →|＝|AB →－CB →|解析：根据A ，B ，C 三点的相对位置可知，|AB →－CB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|＝|AB →|＋|CB →|，故C 成立．答案：C4．已知两点A (2)，B (－5)，则AB 及|AB |的值为( ) A ．3,3 B ．－7，－7 C ．－7,7D ．－3,3解析：AB ＝－5－2＝－7，|AB |＝|－5－2|＝7，故选C ． 答案：C5．数轴上任取三个不同点P ，Q ，R ，则一定为零值的是( ) A ．PQ ＋PR B ．PQ ＋RQ C ．PQ ＋QR ＋PRD ．PQ ＋QR ＋RP解析：PQ ＋QR ＋RP ＝0，故选D ． 答案：D6．已知数轴上一点P (x )，它到点A (－8)的距离是它到点B (－4)的距离的2倍，则x ＝________.解析：由题可得|x ＋8|＝2|x ＋4|， ∴x ＝0或x ＝－163.答案：0或－1637．已知数轴上三点A (x )，B (2)，P (3)满足|AP |＝2|BP |，则x ＝________.解析：|AP |＝|3－x |，|BP |＝|3－2|＝1，由条件|AP |＝2|BP |，∴|3－x |＝2，∴x ＝1或x ＝5.答案：1或58．已知数轴上的三个点A (－2)，B (0)，C (3)，求BA ，BC ，|AC |. 解：因为A (－2)，B (0)，C (3)，∴BA ＝－2－0＝－2，BC ＝3－0＝3，|AC |＝|3－(－2)|＝5.[B 组 技能提升]1．若A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，向量AB →的坐标的最小值为( ) A ．12 B ．0 C ．14D ．－14解析：AB ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14≥－14，当x ＝12时，取“＝”，故选D ．答案：D2．设A ，B ，C 是数轴上任意的三点，则下列结论一定正确的个数是( ) ①AC →＝AB →＋BC →；②AC ＝AB ＋BC ； ③|AC →|＝|AB →|＋|BC →|；④AC ＋CB ＝AB . A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个 解析：易知①②④正确，③不正确(当C 在A 、B 之间时不成立)．故选C ． 答案：C3．满足不等式|x ＋2|≤5的x 的集合为________．解析：|x＋2|≤5表示数轴上的点到A(－2)的距离小于等于5.∴满足条件的x的集合为{x|－7≤x≤3}．答案：{x|－7≤x≤3}4．若点A，B，C，D在一条直线上，BA＝6，BC＝－2，CD＝6，则AD＝________.解析：AD＝AB＋BC＋CD＝－6－2＋6＝－2.答案：－25．已知数轴上点A，B，C的坐标分别为－1,2,5.(1)求AB，BA，AC及|CB|；(2)在数轴上若还有两点E，F，且AE＝5，CF＝2，求EF.解：(1)AB＝x B－x A＝3，BA＝x A－x B＝－3，AC＝x C－x A＝6，|CB|＝|x B－x C|＝|2－5|＝3.(2)设E，F坐标分别为x E，x F，则AE＝x E－x A＝x E＋1＝5，∴x E＝4，CF＝x F－x C＝x F－5＝2，∴x F＝7，∴EF＝x F－x E＝7－4＝3.6．符合下列条件的点P(x)位于数轴上何处？(1)|x＋2|≥1；(2)|x－2|＜2.解：(1)点P(x)表示在数轴上与点(－2)的距离不小于1的点，由|x＋2|≥1得x≥－1或x≤－3，如图．(2)点P(x)表示在数轴上与点(2)的距离小于2的点，由|x－2|＜2得0＜x＜4，如图．。
2020秋新版高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步 2.1.3 .pptx
名师点拨1.l1∥l2⇔k1=k2须具备两个前提条件:①两直线的斜率都 存在;②两条直线不重合,即b1≠b2.
2.两条不重合的直线平行的判定的一般结论:l1∥l2⇔k1=k2或l1与 l2的斜率均不存在.
-3-
反思一般地,直线Ax+By+C=0的斜率可由系数A,B来确定,因此在 求过定点且与已知直线平行的直线方程时,通常采用以下方法:
(1)先求已知直线的斜率,若已知直线的斜率存在,则根据两条直 线平行的性质得出所求直线的斜率,再根据直线的点斜式,即可求 出所求的直线方程; 若已知直线的斜率不存在,则所求直线的斜率 也不存在,过定点(x0,y0)的直线方程为x=x0.
(2)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线可设为Ax+By+m=0,根据 所求直线过定点,求得m的值,写出所求直线方程.
(3)过定点(x0,y0)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线方程实际上 为A(x-x0)+B(y-y0)=0,这种方法适用于选择题、填空题及解答题结 论的验证.
-14-
1.3 两条直线的位置关系
解:(1)已知直线的斜率是-2,因为两直线平行,所以所求直线的斜 率也是-2,又因为直线过点(1,2),所以所求直线方程为y-2=-2(x-1),即
2x+y-4=0. (2)已知直线的斜率为-2,因为所求直线与已知直线平行,故其斜
率也是-2, 由斜率公式,得������4--(���-���2)=-2,解得 m=-8.
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知识梳理
HISHI SHULI
2020年高中数学第二章解析几何初步11.2直线的方程(2)课件北师大版必修2
练一练 (2) 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 5，－3 的直线的截
距式方程为( )
A.5x＋3y＝1
B．5x－3y＝1
C.3y－5x＝1 答案：B
D．5x＋3y＝0
3．直线方程的一般式：关于 x、y 的二元一次方程A_x_＋__B__y＋__C__＝_ 0 (A、B 不同时为 0)叫做直线方程的一般式．
已知直线 l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围． 解：(1)证明：证法一：将直线 l 的方程整理为 y－35＝ax－15， ∴直线 l 的斜率为 a，且过定点 A15，35. 而点 A15，35在第一象限，∴不论 a 为何值时，l 恒过第一象 限．
【正解】 若 a2－a－2 与 2－a 同时为 0， 则方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0 不表示任何直线， 此时 a＝2. 所以当 a≠2 时，方程(a2－a－2)x＋(2－a)y＋5＝0 表示某条 直线的方程．
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知识点一 直线的两点式方程
1．过 P(2,1)，Q(6，－2)两点的直线的两点式方程为( )
练一练 (3) 斜率为－3，且在 x 轴上截距为 2 的直线方程是
() A．3x＋y＋6＝0 C．3x＋y－6＝0
B．3x－y＋2＝＝－3(x－2)，即 3x＋y－6＝0.
答案：C
用直线方程的两点式或截距式解题时应注意什么？ 答：用两点式或截距式表示直线方程时，都有其局限性，不 能表示与坐标轴垂直的直线，截距式还不能表示过原点的直线．平 面内所有直线的方程都可写成一般式，对于所求直线方程，在没 有特殊说明的情况下，应该化为一般式方程．
高中数学平面解析几何初步全章总结新人教B版必修2
平面分析几何初步总结1.详析直线的倾斜角与斜率（ 1）定义：把直线y kx b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线的斜率不存在．x 轴正向与直线向上的方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角．经过两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2, y2 )x1 x2的直线的斜率k y2y 1 ．x2x1（ 2）斜率k与倾斜角的关系：k 0 时，0 ； k 0时，0 ,90 且随k的增大而增大；k 不存在时，90 ； k 0时，90 ,180且随k的增大而增大．2.比较直线的五种方程名称方程常数的几何意义合用条件点斜式y y0k( x x )( x0 , y0 ) 是直线上的一个定点，k 是斜直线不垂直于x 轴率斜截式y kx b k 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距直线不垂直于x 轴两点式y y1x x1( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) 是直线上的两个定点直线不垂直于x 轴和y 轴y2y1x2x1截距式x y1 a ，b分别是直线在 x 轴，y轴上的非直线不垂直于x 轴和a b y 轴，且可是原点零截距一般式Ax By C0（ A ，A， B，C为系数任何状况B 不一样时为0）特别直线x a （y轴：x0 ）垂直于 x 轴且过点(a,0)斜率不存在y b （x轴： y0 ）垂直于 y 轴且过点 (0, b)斜率 k 03.辨析两条直线订交、平行、重合、垂直的两种条件直线方程b1，l1： A1x B1 y C1 0，l1： y k1xl 2： y k2 x b2l2： A2 x B2 y C20 ，订交的等价条件k1 k2l1与 l2订交A1B2A2 B10l1与 l 2订交平行的等价条件k2且 b1 b2l1//l 2A1 B2A2 B10 且l1// l2k1B 1C 2 B 2 C 1 0重合的等价条件l 1 与 l 2 重合 k 1 k 2 且 b 1 b 2 l 1 与 l 2 重 合 A 1 B 2 A 2 B 1 0 且B 1C 2 B 2 C 1 0垂直的等价条件l 1 l 2k 1 k 2 1 l 1 l 2 A 1A 2 B 1 B 2 0说明： 两直线的交点坐标即为对应方程构成的方程组的解．方程组有一组解，则两直线有一个交点；方程组无解，则两直线平行．4. 依据直线地点关系妙设直线方程（ 1）与直线 Ax By C 0平行的直线方程可设为Ax Bym 0 （ m 为参数，且 m C ）；与直线 AxBy C 0 垂直的直线方程可设为 Bx Ay m 0 （ m 为参数）．（ 2）与直线 ykx m 平行的直线方程可设为y kx b (bm) ；与直线 y kxm 垂直的直线方程可设为 y1x b ．k（3） 过 直 线A 1 xB 1 y 1C0 与 A 2 x B 2 yC 2 0 的 交 点 的 直 线 方 程 可 设 为A 1 xB 1 y1CA 2 xB 2 y2C0 （ 为参数）．注意此方程中不包含直线A 2 xB 2 yC 2 0，在解题时要考证该直线能否切合题意．特别地，直线过定点问题，一般将直线方程整理为A 1 xB 1 yC 1A 2 xB 2 yC 20 的形式，将定点转变成直线A 1xB 1 yC 1 0与 A 2x B 2 y C 20 的交点．5. 记忆重要公式，重视坐标法思想（ 1）四个距离公式和中点坐标公式种类 已知条件公式中点坐标A x 1 , y 1 ，B x 2 , y 2x 0x 1 x 2， y 0 y 1 y 222 数轴上的点A x 1 ， B(x 2 )| AB | | x 2 x 1 |两点间的距离A x 1 , y 1 ，B x 2 , y 2|AB|(x 2 x 1 )2( y 2 y 1 )2点到直线的距离P x 0 , y 0 ， l ： Ax By C 0| Ax 0By 0 C |dA2B2两平行直线的距离l 1 ： Ax By C 10 ，| C 2 C 1 |dA2B2l 2 ：Ax By C 20 ，（ A ，B 不一样时为零）（ 2）坐标法思想：即依据图形特色，成立适合的直角坐标系，用坐标表示有关量，利用坐标间的代6.明确圆的两种方程，掌握待定系数法（ 1）圆的标准方程：( x a) 2( y b)2r 2，此中，圆心是 C (a, b) ，半径是r．圆的一般方程： x2y2Dx Ey F0 ( Dx Ey F0) ．此中圆心是 ( D,E) ，半径是122 D 2 E 24F ．2注意：二元二次方程表示圆的条件是x2和y2项的系数相等且不为零；没有xy 项．（ 2）圆的标准方程和一般方程中都含有三个参变量（a,b, r 或 D , E, F），求圆的方程时，由题意得到三个独立的条件，利用待定系数法求出三个参变量的值即可．7.点击圆的有关地点关系（ 1）点与圆的地点关系点与圆的地点关系有三种：点在圆上、点在圆内、点在圆外，可经过点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．（ 2）直线与圆的地点关系直线圆的地点关系有三种：订交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法（经过解直线方程与圆的方程构成的方程组，依据解得个数来判断）、几何法（由圆心到直线的距离 d 与半径r的大小关系来判断）．（3）圆与圆的地点关系圆与圆的地点关系有五种：外离、外切、订交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法（依据两圆方程联立的方程组解的状况判断）、几何法（依据两圆的圆心距 d 与两圆半径r1， r2之间的关系判断）．8.切记圆的切线求法，细解弦长问题（ 1）圆的切线求法：①设切线斜率，获得切线方程，与圆联立化为一元二次方程，依照鉴别式为0求解；②设切线斜率，获得切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求解．解题时，注意切线斜率不存在的状况．（2）当直线与圆订交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．（3）求订交两圆的公共弦长时，可经过两圆方程相减求出两圆公共先所在的直线方程，从而求出此中一圆心到直线的距离及该圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，从而求得弦长．9.清晰空间直角坐标系的成立法例，直击距离公式（ 1）建林的空间直角坐标系要按照右手法例．222（ 2）空间中P1( x1, y1, z1)，P2( x2, y2, z2)之间的距离| PP12|x2 x1y2 y1z2 z1．专题概括研究专题一巧设直线方程解题在本章中，常常要用直线方程解决问题，但好多时候直线方程并不是已知，而是要设出方程从而解决问题，这时，怎样选择方程形式将决定解题过程中的好坏简繁．典例 1直线l过点P(8,6)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．研析由题意知，直线l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0．方法一设直线 l 的方程为xy 1 或x y 1 (a0)．当直线 l 的方程为xya a a a1时，a a∵点 P(8,6) 在 l 上，∴86 1 ，解得 a14 ，a a∴直线 l 的方程为 x y140 ；当直线 l 的方程为xy 1 时，a a∵点 P(8,6) 在 l 上，∴861，解得 a 2 ，a a∴直线 l 的方程为 x y 2 0 ．综上所述，所求直线l 的方程为 x y20或 x y140 ．方法二设直线 l 的方程为 y kx b(k0, b0) ．令 x0 ，得 y b；令 y 0 ，得 x b．kb|，∵ b由题意，得 | b | |0 ，∴ k1．k当 k 1 时，直线 l 的方程为 y x b ，∵点 P(8,6) 在 l 上，∴ 68 b ，b2，∴直线 l 的方程为 y x 2 ，即 x y20 ；当 k 1 时，直线 l 的方程为 y x b，∵点 P(8,6) 在 l 上，∴ 68 b ， b14 ，∴直线 l 的方程为 x y140．综上所述，所求直线l 的方程为x y20或 x y140 ．方法研究凡波及直线与坐标轴所围成三角形的面积或周长等与截距有关的问题，用截距式较简单，但要注意截距式应用的前提是截距存在且不为零．典例 2已知直线 l 过点 P(1,2) ，且点 A(4,1) ， B(2,5) 到直线 l 的距离相等，求直线l 的方程．研析设直线 l 的方程为m( y2) x 1，即 x my2 m 1 0．由点到直线的距离公式可得| 4 m2m 1|| 2 5m2m 1|，解得 m0 或 m3．m21m212故直线 l 的方程为 x10 或 2x3y80 ．方法研究设直线方程为 x x0m( y y0 ) ，防止了遗漏斜率不存在的状况（斜率不存在即m0 ）．典例 3已知圆 C : x2y26x8y210 ，求过点(1,1)的圆 C 的切线方程．研析设所求切线的方程为m( y1)x 1 ，即 x my m 1 0 ．圆的圆心坐标为 (3, 4) ，半径r1( 6)2( 8)24212．2由题意可知| 3 m4 m 1 |2 ，解得 m 0 或 m20，故所求直线方程为 z 1 或1m22121x20 y410 ．方法研究过圆上一点 ( x0 , y0 ) 求圆的切线方程，都可能存在切线斜率不存在的情况．为了防止议论斜率和判断点与圆的地点关系，可直接设切线方程为m( y y0 ) x x0．专题二商讨两类圆方程的求解方法1.求过直线与圆的交点的圆的方程解此类问题的方法是：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，依据点在圆上及其余条件求圆的方程．典例 1求经过直线 x y0 与圆x2y22x 4y 80 的交点，且经过点P( 1,2) 的圆的方程．研析x y0,x1,x 4,A(1, 1) 和点解方程组y22x 4 y 8 0.得或即直线与圆交于点x2y 1.y 4.B(4,4)．设所求圆的方程为 x2y2Dx Ey F 0 ，分别将A，B，P的坐标代入，得方程组11D E F0,D3,16164D4E F 0,解得E3, ∴所求圆的方程为x2y23x 3 y 8 0 ．14D2E F0.F8.2.求过两圆交点的圆的方程求过两圆交点的圆的方程，一般先求出两圆的交点坐标，在利用圆的几何性质确立所求圆的圆心坐标和半径；也可由题意设出所求圆的方程，再依据条件成立方程组求参即可．典例 2 求圆心在直线x y40 上，且经过两圆x2y24x60 和 x2y24y 60 的交点的圆的方程．研析方法一x2y2 4 x 6 0,x11,或x23,由22解得y 1.y2 3.x y 4 y60.1故两圆 x2y24x60 和 x2y2 4 y 60 的交点分别为A(1,1) ， B(3,3) ．线段 AB 的垂直均分线的方程为y 1( xy 1 ( x 1),x 3,1) ，由y4 0. 解得y1.x∴所求圆的圆心坐标为(3, 1) ，半径为(3 3)2(3 1)24 ，∴所求圆的方程为 ( x 3)2 ( y1)2 16 ．方法二同方法一求得 A( 1, 1) ， B(3,3) ，设所求圆的方程为 ( xa)2 ( y b)2 r 2 (r 0) ，由a b 4 0,a 3,( 1 a)2(1 b)2r 2 ,解得 b 1, (3 a) 2 (3 b)2r 2 .r 216.∴所求圆的方程为 ( x 3)2( y1)2 16 ．接下来介绍利用过两圆交点的曲线方程来解决上述问题的方法．这里谈的过两圆交点的曲线方程是指过两圆交点的圆的方程及它的特例—直线的方程．经过两点的圆有无数个，这些圆有一共同的性质：圆心都在已知两点连线的垂直均分线上，构成了一个圆的会合，记这个会合为M ．我们把拥有某一共同性质的全部的圆的会合成为圆系，它的方程叫做圆系方程．（ 1）设圆 C 过圆 C 1 ：x 2y 2 D 1x E 1 y F 1 0 与圆 C 2 ：x 2 y 2 D 2xE 2 yF 2 0的交点 P ，Q ，则与圆 C 齐心的圆系方程为 x 2y 2 D 1x E 1 y F 1x 2 y 2 D 2 x E 2 yF 2①，此中为参数且1．该圆系方程不包含圆C 2 ．方程①的特例：当1 时，方程①变成 ( D1D )x (EE ) yF F② ,21212若圆 C 与圆 C 2 相切，这时点P ， Q 重合为一点，则方程②表示两圆公切线的方程（切点为P ）．1（ 2）若直线 l ： Ax By C 0与圆 C ： x 2y 2 Dx Ey F 0 订交于不一样的两点 P ，Q ，则 过 P ， Q 两点的圆系方程为x 2y 2 Dx Ey F( Ax By C) 0 （ 为参数）．典例 3求圆心在直线x y0上，且过两圆x 2y 2 2x10y 24 0 ，x 2 y 22x 2 y 8 0交点的圆的方程．研析设所求圆的方程为x 2 y 2 2x10y 24x 2 y 2 2 x 2 y 80 (1) ，即 x2y 22(1) 2 5y8(3 )0，可知圆心坐标为(1, 5) ．11111由于圆心在直线 xy 0 上，因此15 0 ，解得2 ．11将2 代入所设方程并化简，可得所求圆的方程为x 2 y 2 6x 6 y 8 0 ．。
2020高考专题复习之必修二-解析几何初步
人教版高中数学必修二专题复习讲义
年 级 ： 上 课 次 数 ：
学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ：
课 题
《解析几何初步》全章复习与巩固复习 课 型
□ 预习课 □ 同步课 ■ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段
教 学 内 容
《解析几何初步》全章复习与巩固复习
【知识网络】
【要点梳理】
知识点一：直线方程的几种形式
（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．
（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．
（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法．
常用的直线方程有：
①00()y y k x x -=-；
15. 已知曲线C ：x 2＋y 2－4ax ＋2ay －20＋20a ＝0.
(1) 证明：不论a 取何实数，曲线C 必过一定点；
(2) 当a ≠2时，证明曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上；
(3) 若曲线C 与x 轴相切，求a 的值.
16．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线1l 被直线l :33
y x 反射，反射光线2l 交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与1l 、2l 相切．
(1)求1l 所在直线的方程和圆C 的方程；
(2)设P 、Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB+PQ 的最小值及此时点
P 的坐标．。
高中数学必修2知识讲解_《解析几何初步》全章复习与巩固 -提高
《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-； ②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．要点二：两条直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直． 2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= ． 要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定．3．斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ； （2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=2．两平行线间的距离公式已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=．要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可 要点四：对称问题1．点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--．2．点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、y '．特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-．3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -； （2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -； （3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --； （4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ； （5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --．要点五：圆的方程求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．1．圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2．圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点七：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法： (1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点； 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：设直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>，圆心(,)C a b 到直线l 的距离记为d =，则:当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离.要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：圆2221111:()()C x a y b r -+-=与圆222222:()()C xa yb r-+-=，两圆圆心距d =当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.要点九：求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程：①过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；②过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法． 【典型例题】类型一：直线方程的综合问题例1．已知A (-m -3，2)，B (-2m -4，4)，C (-m ，m )，D (3，3m+2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 【思路点拨】两直线垂直⇔121k k =-的前提条件是1k 、2k 均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论． 【答案】1或-1【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等，∴ AB 与x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，∴ CD 与x 轴不垂直，-m ≠3，m ≠-3． ①当AB 与x 轴垂直时，-m -3＝-2m -4，解得m ＝-1．而m ＝-1时，C 、D 纵坐标均为-1，∴ CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+．∵ AB ⊥CD ，∴ 1A B C Dk k =-，即22(1)1(1)3m m m +=--++，解得m ＝1．综上，m 的值为1或-1．举一反三：【变式1】已知1l ：23250,:(31)20x ay l a x ay +-=---=，求使12//l l 的a 的值． 【答案】0或16- 【解析】解法一：当直线斜率不存在，即0a =时，有12:350,:20l x l x -=--=，符合12//l l ；直线斜率存在时，123311//26a l l a a a -⇔-=⇔=-． 故使12//l l 的a 的值为0或16-． 解法二：由12//3()(31)20,l l a a a ⇔⋅---⋅=解得0a =或16-，故使12//l l 的a 的值为0或16-． 例2．已知三条直线120(0)l x y a a -+=>:，24210l x y --=:，310l x y +-=:且1l 与2l的距离为(1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使得点P 同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限点，②点P 到1l 、3l 的P 到1l 、2l 的距离比是1:2．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解． 【答案】（1）3 （2）137918P ⎛⎫⎪⎝⎭， 【解析】(1)直线2l 的方程变为1202x y --=， ∴ 1l 与2的距离d ==∴ 1722a +=，∵ 0a >，∴ 3a =． (2)设P (x 0，y 0)，若点P 满足条件③，则点P 在与直线1l 、2l 平行的直线20l x y c '-+=:上，=，即132c =或116，∴ l '为0013202x y -+=或0011206x y -+=． 若点P 满足条件②，由点到直线的距离公式得002=解得00240x y -+=或0320x +=(∵ 点P 是第一象限点，∴ 不合题意，舍去)．联立方程000013202240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，， 解得00312x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，舍去． 联立方程000011206240x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩， 解得00193718x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，. ∴ 137918P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为同时满足三个条件的点．【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式．例3．求直线:240a x y +-=关于直线:3410l x y +-=对称的直线b 的方程．【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）．2.由平面几何知识可知，若a 与b 关于l 对称，则应具有下列几何性质：（1）若点A 在直线a 上，则A 点关于l 的对称点B 一定在直线b 上，即l 为线段AB 的垂直平分线（AB l ⊥，AB 的中点在l 上）；（2）设(,)P x y 是所求直线b 上一点，则P 关于l 的对称点(,)P x y '''的坐标适合直线a 的方程； （3）若a 与b 相交，则l 过a 与b 交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若//a l ，则////b l a ，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案． 【解析】方法一：在直线:240a x y +-=上取一点(2,0)A ，设A 点于l 的对称点00(,)B x y ，则0000203410220423x y y x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得48(,)55B -，由2403410x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得交点(3,2)D -．由两点式可求得直线b 的方程：211160x y ++=．方法二：设(,)P x y 是所求直线b 上任一点；设P 关于l 的对称点(,)P x y '''，则有：''341022'4'3y y x x y y x x ++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得7246'252478'25x y x x y y -+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩∵(,)P x y '''在直线:240a x y +-=上，∴724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，整理得211160x y ++=， 故所求直线b 的方程：211160x y ++=．【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论．2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点——伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a 为二次曲线C ，仍可用此方法解决．举一反三：【变式1】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．【答案】：4510x y -+=【解析】设点P 关于直线1x y +=-的对称点00(,)P x y '，则00(,)P x y '满足条件0000231,2231,2x y y x ++⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得(4,3)P '--，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为311(1)41y x ---=---， 即4510x y -+=． 类型二：圆的方程的综合问题例4．（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,)B ，且圆心C 在直线y =x 上．（1）求圆C 的方程； （2）过点(1,3的直线l截圆所得弦长为l 的方程． 【思路点拨】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C 的方程；（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可． 【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或33y x =-+【解析】（1）AB的中点坐标3(,2，AB可得AB垂直平分线为60y +=，与x －y =0的交点为（0，0）， 圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C 的方程为x 2+y 2=4； （2）直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，又直线l过， ∴直线l的方程为(1)3y k x -=-，即3y kx k =+-， 则圆心（0，0）到直线的距离||k d -=，又圆的半径r =2，截得的弦长为22(||)4k=，解得：k=，则直线l的方程为y x=+当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y=【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．举一反三：【变式1】直线l被圆C:2220x y y+-=所截得的弦的中点是13(,)22M-，求直线l的方程．【答案】20x y--=【变式2】（2015春东台市校级期中）已知：圆C：22(1)(2)25x y-+-=，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．【答案】（1）P（3，1）；（2）2x－y－5=0．【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，即为m（2x+y－7）+（x+y－4）=0，令27040x yx y+=+-=⎧⎨⎩－，则31xy=⎧⎨=⎩．故直线l恒过点P（3，1）；（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l，圆C：22(1)(2)25x y-+-=的圆心C（1，2），由直线CP的斜率为211132-=--，即有直线l的斜率为2，即2121mm+-=+，即34m=-，则直线l的方程为2x－y－5=0．例5．已知圆的方程：2222(2)20x y ax a y+-+-+=，其中a≠1，且a∈R．(1)求证：a ≠1，且a ∈R 时，圆恒过定点； (2)求与圆相切的直线方程；(3)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．【思路点拨】本题是含参数的圆的方程，可用分离参数法、待定系数法、配方法解题．【解析】(1)证明：方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=变为2242(22)0x y y a x y +-+--=，令22420220x y y x y ⎧+-+=⎨-=⎩，， 解得11x y =⎧⎨=⎩，.∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)． (2)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，半径为1|a -．设所求切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则圆心到直线的距离等于半径，即1|a =-恒成立，即22222(1)4(1)2(1)k a k a k +-+++ 222(1)2(2)(1)(2)k a b k a b =++-++-恒成立．比较系数可得222222(1)(1)4(1)2(2)(1)2(1)(2)k k k b k k b ⎧+=+⎪-+=-+⎨⎪+=-⎩，，，解得10k b =⎧⎨=⎩，. 故所求切线方程为y ＝x ．(3)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，又设圆心坐标为(x ，y )，则2x a y a =⎧⎨=-⎩，，消去a ，可得2y x =-，即20x y +-=．故圆心(a ，2-a )总在直线x+y -2＝0上． 举一反三：【变式1】求过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点(3，1)的圆的方程． 【解析】设所求圆的方程为22222(448)0x y x y x y x y λ+---+++--=，∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得25λ=-． ∴ 所求圆的方程为223313360x y x y +-++=．【总结升华】注意圆系方程的特殊情形：过直线与圆的交点的圆系方程和过圆与圆的交点的圆的方程．类型三：直线与圆的方程的综合问题例6．已知圆C 的圆心为坐标原点O，且与直线1:0l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）若与直线1l 垂直的直线2l 与圆C 交于不同的两点P 、Q ，且以PQ 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．【思路点拨】（1）根据点到直线的距离确定圆的半径，则圆的方程可得．（2）设出直线2l 的方程，判断出△OPQ 为等腰直角三角形，求得圆心到直线2l 的距离，进而利用点到直线的距离求得C ，则直线方程可得．【答案】（1）224x y +=；（2）x +y +2=0或x +y －2=0．【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径2r ==， ∴ 圆的方程为224x y +=． （2）设直线2l 的方程为x +y +c =0，由已知△OPQ 为等腰直角三角形，则圆心到直线2l 的距离为1，利用点到直线的距离公式得， 求得c =±2．∴ 直线2l 的方程为x +y +2=0或x +y －2=0． 举一反三：【变式1】已知直线l 过点P (2，4)，且与圆224x y +=相切，求直线l 的方程． 错解：∵ 2OP k =，且OP l ⊥，∴ 12l k =-， ∴ l 的方程为14(2)2y x -=--，即2100x y +-=． 错因分析：本题错误的原因是误把点P 当作切点．求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否在圆上．正解：当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，适合题意．当直线斜率存在时，设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，即4020kx y k -+-=，∵ 直线与圆相切，∴|2=，解得34k =，∴ 直线l 的方程为34100x y -+=． ∴ 直线l 的方程为2x =或34100x y -+=．例7．已知m ∈R ，直线2(1)4l mx m y m -+=:和圆2284160C x y x y +-++=:． (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么? 【答案】（1）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）不能【解析】(1)直线l 的方程可化为22411m my x m m =-++， 直线l 的斜率21mk m =+． 因为21||(1)2m m ≤+， 所以2||1||12m k m =≤+，当且仅当||1m =时等号成立． 所以斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x -4)，其中||k ≤12． 圆C 的圆心为C (4，-2)，半径r ＝2． 圆心C 到直线l 的距离d =．由1||2k ≤，得d 1>，即2r d >． 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π． 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧． 类型四：空间直角坐标系例8．正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N在BF 上移动．若|CM|=|BN|=a （0a <<）．当a 为何值时，|MN|最小？【思路点拨】建立空间直角坐标系，把|MN|写成a 的函数，用函数的思想方法解题．【答案】2【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC|=1，|CM|=a ，且点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点,0,122m a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN|=a ，所以点,,022N a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．由空间两点间的距离公式，得||MN ==当a =（满足0a <<|MN|． 【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN 的最小值．举一反三：【变式1】空间直角坐标系中，在平面xoy 内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，求出最小值．【思路点拨】注意在平面xoy 内的直线1x y +=上的点的特点．【解析】设点(,1,0)M x x -，则||MN ==当1x =时，min ||MN =M （1，0，0）．。
2020年高中数学第二章解析几何初步11.1直线的倾斜角和斜率课件北师大版必修2
【解析】 当 0°≤α＜135°时，l1 的倾斜角为 α＋45°；当 135°≤α＜180°时，如图．此时 l1 的倾斜角为 β，则
β＝α＋45°－180°＝α－135°. 【答案】 当 0°≤α＜135°时，倾斜角为 α＋45°，当 135°≤α ＜180°时，为 α－135°
【规律总结】 求倾斜角时，主要根据定义，画出图形，找 准倾斜角．有时需分类讨论，把角分为四类：①0°角；②锐角； ③直角；④90°＜α＜180°.
【错因分析】 (2)中求斜率 k 的取值范围时，未结合图形分 析 k 的变化趋势．
【正解】 (1)kPM＝－23－－11＝－4，kPN＝－ －23－ －11＝34.
(2)如图所示，l′是经过点 P 且与 x 轴垂直 的直线，当直线 l 由 PN 位置绕点 P 向 l′位置 旋转时，直线的倾斜角在锐角范围内逐渐增 大，斜率也逐渐增大，此时 k≥kPN＝34；当直 线 l 由 l′位置绕点 P 向直线 PM 位置旋转时，直线的倾斜角在钝角 范围内逐渐变大，斜率也逐渐增大，此时，k≤kPM＝－4.
5．已知 a>0，若平面上三点 A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3) 共线，求 a 的值．
解：∵kAB＝a2－2－－1 a＝a2＋a 存在， 又 A，B，C 三点共线，∴kAC＝a3－3－－1 a＝a3＋2 a也存在，且 kAB＝kAC，即 a2＋a＝a3＋2 a，整理得 a(a2－2a－1)＝0. 解得 a＝0 或 a＝1± 2.又∵a>0，∴a＝1＋ 2.
已知三点 A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同一
直线上，求 a 的值． 解：∵kBC＝－2a4－－15＝－2a－ 9 1存在， 又 A，B，C 三点共线， ∴kAB 也存在，且 kAB＝kBC. 即－2a－ 9 1＝15－ －2a(a≠5)， ∴2a2－11a＋14＝0， 解得 a＝72或 a＝2.
高考数学总复习系列 平面解析几何初步 必修2
平面解析几何初步一、基础知识（理解去记）1．解析几何的研究对象是曲线与方程。
解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
如x2+y2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。
规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。
根据直线上一点及斜率可求直线方程。
4．直线方程的几种形式：【必会】【必考】 （1）一般式：Ax+By+C=0； （2）点斜式：y-y0=k(x-x0)； （3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：1=+b y a x ；（5）两点式：121121y y y y x x x x --=--； （6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p （其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角），t 的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P 方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。
若记到角为θ，夹角为α，则tan θ=21121k k k k +-,tan α=21121k k k k +-.6．平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。
[高中数学必修2]第二章 平面解析几何初步 知识梳理
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第二章 平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式1.数轴上的基本公式（1）数轴上的点与实数的对应关系直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。
数轴上的点与实数的对应法则：点P ←−−−→一一对应实数x 。
记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P(x)，当点P(x)中x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离为|OP|=x ；当点P 的坐标P(x)中x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点O 的距离|OP|=-x 。
可以通过比较两点坐标的大小来判定两点在数轴上的相对位置。
（2）向量位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量。
从点A 到点B的向量，记作AB 。
线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB|。
我们可以用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量。
例如：O 是原点，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB=OB-OA ，所以AB=x 2-x 1。
注：①向量AB 的坐标用AB 表示，当向量AB 与其所在的数轴（或与其平行的数轴）的方向相同时，规定AB=|AB |；方向相反时，规定AB=-|AB |；②注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个非负数，而向量的坐标是一个实数，可以是正数、负数、零。
③对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC ，可理解为AC 的坐标等于首尾相连的两向量AB ，BC 的坐标之和。
（3）数轴上的基本公式在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC叫做位移AB 与位移BC 的和，记作：AC AB BC =+ 。
对数轴上任意三点A 、B 、C ，都有关系AC=AB+BC 。
已知数轴上两点A(x 1)，B(x 2)则AB=x 2-x 1，d(A,B)=|x 2-x 1|。
2020秋新版高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步 2.1.2.1 .pptx
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D典例透析 IANLI TOUXI
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题型一 题型二 题型三
题型二 利用斜截式求直线方程
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
反思求直线的点斜式方程的步骤:
特别地,当斜率不存在时,过点P(x0,y0)的直线与x轴垂直,直线上所 有点的横坐标相等,都为x0,故直线方程为x=x0.
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2.直线的点斜式与斜截式方程
已知条件 方程形式
点斜式 点 P0 和斜率 k y-y0=k(x-x0)
斜截式 斜率 k,直线与 y 轴的交点 y=kx+b
1.2 直线的方程
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人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_《解析几何初步》全章复习与巩固 -提高
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人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《解析几何初步》全章复习与巩固【学习目标】1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系；3.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；4.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；5.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程；6.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；7.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 【知识网络】【要点梳理】要点一：直线方程的几种形式（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法． 常用的直线方程有： ①00()y y k x x -=-；②y kx b =+；③220(0)Ax By C A B ++=+≠；④111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(λ为参数)．要点二：两条直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．(1)当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为090，互相平行；(2)当一条直线的斜率不存在（倾斜角为090），另一条直线的倾斜角为00时，两直线互相垂直． 2．斜率都存在时两直线的平行：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠（2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A ，则1l ∥2l ⇔212121C C B B A A ≠= ． 要点诠释：对于一般式方程表示的直线的位置的判定，可以先将方程转化为斜截式形式，再作判定．3．斜率都存在时两直线的垂直：（1）已知直线111:=+l y k x b 和222:=+l y k x b ，则 12121⊥⇔=-l l k k ； （2）已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ．要点三：点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=2．两平行线间的距离公式已知两条平行直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=．要点诠释：一般在其中一条直线1l 上随意地取一点M ，再求出点M 到另一条直线2l 的距离即可 要点四：对称问题1．点关于点成中心对称点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题．设00(,)P x y ，对称中心为(,)A a b ，则P 关于A 的对称点为00(2,2)P a x b y '--．2．点关于直线成轴对称由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”．利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般情形如下：设点00(,)P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(,)P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，求出x '、y '．特殊地，点00(,)P x y 关于直线x a =的对称点为00(2,)P a x y '-；点00(,)P x y 关于直线y b =的对称点为00(,2)P x b y '-．3．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -； （2）点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -； （3）点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --； （4）点(,)x y 关于直线0x y -=的对称点为(,)y x ； （5）点(,)x y 关于直线0x y +=的对称点为(,)y x --．要点五：圆的方程求圆的方程通常果用待定系数法，若条件涉及圆心、半径等，可设成圆的标准方程；若条件涉及圆过一些定点，则可设成圆的一般方程．运用圆的几何性质可以使运算简便．1．圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=.(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.2．圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=(2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->(3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<要点七：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定方法： (1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解. 如果有解，直线l 与圆C 有公共点； 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：设直线22:0(0)l Ax By C A B ++=+≠，圆222:()()(0)C x a y b r r -+-=>，圆心(,)C a b 到直线l 的距离记为d =:当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点八：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：圆2221111:()()C x a y b r -+-=与圆222222:()()C xa yb r-+-=，两圆圆心距d =当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.要点九：求圆的切线方程的常用方法：(1)直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；(3)定义法：根据直线方程的定义求出切线方程. 常见圆的切线方程：①过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；②过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是：()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点十：空间直角坐标系空间直角坐标系中坐标的求法：过该点作两条轴所确定平面的平行平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标．确定简单几何体的顶点坐标是今后正确运用坐标法解题的关键，必须要熟练且正确地掌握空间直角坐标系的建立与中点坐标的确定方法． 【典型例题】类型一：直线方程的综合问题例1．已知A (-m -3，2)，B (-2m -4，4)，C (-m ，m )，D (3，3m+2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 【思路点拨】两直线垂直⇔121k k =-的前提条件是1k 、2k 均存在且不为零，所以这类问题应分斜率存在和不存在两种情况讨论． 【答案】1或-1【解析】∵ A 、B 两点纵坐标不相等，∴ AB 与x 轴不平行． ∵ AB ⊥CD ，∴ CD 与x 轴不垂直，-m ≠3，m ≠-3． ①当AB 与x 轴垂直时，-m -3＝-2m -4，解得m ＝-1．而m ＝-1时，C 、D 纵坐标均为-1，∴ CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．②当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式42224(3)(1)AB k m m m -==------+，322(1)3()3CD m m m k m m +-+==--+．∵ AB ⊥CD ，∴ 1A B C Dk k =-，即22(1)1(1)3m m m +=--++，解得m ＝1．综上，m 的值为1或-1．举一反三：【变式1】已知1l ：23250,:(31)20x ay l a x ay +-=---=，求使12//l l 的a 的值．【答案】0或16- 【解析】解法一：当直线斜率不存在，即0a =时，有12:350,:20l x l x -=--=，符合12//l l ； 直线斜率存在时，123311//26a l l a a a -⇔-=⇔=-． 故使12//l l 的a 的值为0或16-． 解法二：由12//3()(31)20,l l a a a ⇔⋅---⋅=解得0a =或16-，故使12//l l 的a 的值为0或16-． 例2．已知三条直线120(0)l x y a a -+=>:，24210l x y --=:，310l x y +-=:且1l 与2l的距离为(1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使得点P 同时满足下列三个条件：①点P 是第一象限点，②点P 到1l 、3l 的P 到1l 、2l 的距离比是1:2．若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【思路点拨】用平行线间的距离、点到直线的距离公式求解． 【答案】（1）3 （2）137918P ⎛⎫⎪⎝⎭， 【解析】(1)直线2l 的方程变为1202x y --=， ∴ 1l 与2的距离d ==∴ 1722a +=，∵ 0a >，∴ 3a =． (2)设P (x 0，y 0)，若点P 满足条件③，则点P 在与直线1l 、2l 平行的直线20l x y c '-+=:上，=，即132c =或116，∴ l '为0013202x y -+=或0011206x y -+=． 若点P 满足条件②，由点到直线的距离公式得002=解得00240x y-+=或320x+=(∵点P是第一象限点，∴不合题意，舍去)．联立方程000013202240x yx y⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，，解得312xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，舍去．联立方程000011206240x yx y⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得193718xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，.∴137918P⎛⎫⎪⎝⎭，为同时满足三个条件的点．【总结升华】本题综合性较强，用距离公式时要注意转化为方程的一般形式．例3．求直线:240a x y+-=关于直线:3410l x y+-=对称的直线b的方程．【思路点拨】1.曲线的对称通常转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）．2.由平面几何知识可知，若a与b关于l对称，则应具有下列几何性质：（1）若点A在直线a上，则A点关于l的对称点B一定在直线b上，即l为线段AB的垂直平分线（AB l⊥，AB的中点在l上）；（2）设(,)P x y是所求直线b上一点，则P关于l的对称点(,)P x y'''的坐标适合直线a的方程；（3）若a与b相交，则l过a与b交点，只需求出交点和一个对称点，利用两点式就可以求出答案；若//a l，则////b l a，三条直线的斜率相等，只需再求出一个对称点，利用点斜式可以求出答案．【解析】方法一：在直线:240a x y+-=上取一点(2,0)A，设A点于l的对称点00(,)B x y，则00203410220423x yyx++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，解得48(,)55B-，由2403410x yx y+-=⎧⎨+-=⎩，解得交点(3,2)D-．由两点式可求得直线b的方程：211160x y++=．方法二：设(,)P x y是所求直线b上任一点；设P关于l的对称点(,)P x y'''，则有：''341022'4'3y yx xy yx x++⎧⋅+⋅-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得7246'252478'25x yxx yy-+⎧=⎪⎪⎨--+⎪=⎪⎩∵(,)P x y'''在直线:240a x y+-=上，∴724624782402525x y x y -+--+⋅+-=，整理得211160x y ++=，故所求直线b 的方程：211160x y ++=．【总结升华】1. 对称问题是高考的热点之一，一般包括点关于点对称，直线关于点对称，点关于直线对称，直线关于直线对称，要掌握通解通法和记忆一些常用结论．2. 求一条直线关于已知直线的对称直线，基本方法之一在直线上任取两点求其对称点，方法之二是利用相关点——伴随曲线方法解决，其中方法2还可以推广，如改变直线a 为二次曲线C ，仍可用此方法解决．举一反三：【变式1】由点P （2，3）发出的光线射到直线1x y +=-上，反射后过点Q （1，1），则反射光线所在直线的一般方程为________．【答案】：4510x y -+=【解析】设点P 关于直线1x y +=-的对称点00(,)P x y '，则00(,)P x y '满足条件0000231,2231,2x y y x ++⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩ 解得(4,3)P '--，∴ 由直线方程的两点式可求得反射光线所在直线方程为311(1)41y x ---=---，即4510x y -+=． 类型二：圆的方程的综合问题例4．（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,3)B，且圆心C 在直线y =x 上．（1）求圆C 的方程； （2）过点(1,3的直线l截圆所得弦长为l 的方程． 【思路点拨】（1）求出圆心坐标与半径，即可求圆C 的方程；（2）设出直线方程，利用点到直线的距离以及半径半弦长求解即可． 【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或33y x =-+ 【解析】（1）AB的中点坐标3(,22-，AB可得AB垂直平分线为60y +=，与x －y =0的交点为（0，0）， 圆心坐标为（0，0），半径为2，所以圆C 的方程为x 2+y 2=4； （2）直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，又直线l过，∴直线l的方程为(1)y k x-=-，即y kx k=，则圆心（0，0）到直线的距离||kd-=，又圆的半径r=2，截得的弦长为22(||)4k=，解得：3k=-，则直线l的方程为33y x=-+当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或33y x=-+．【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．举一反三：【变式1】直线l被圆C:2220x y y+-=所截得的弦的中点是13(,)22M-，求直线l的方程．【答案】20x y--=【变式2】（2015春东台市校级期中）已知：圆C：22(1)(2)25x y-+-=，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；（2）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．【答案】（1）P（3，1）；（2）2x－y－5=0．【解析】（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0，即为m（2x+y－7）+（x+y－4）=0，令27040x yx y+=+-=⎧⎨⎩－，则31xy=⎧⎨=⎩．故直线l恒过点P（3，1）；（2）当圆心C到直线l的距离最大时弦长最短，此时CP⊥l，圆C：22(1)(2)25x y-+-=的圆心C（1，2），由直线CP 的斜率为211132-=-- ， 即有直线l 的斜率为2，即2121m m +-=+， 即34m =-， 则直线l 的方程为2x －y －5=0．例5．已知圆的方程：2222(2)20x y ax a y +-+-+=，其中a ≠1，且a ∈R ．(1)求证：a ≠1，且a ∈R 时，圆恒过定点；(2)求与圆相切的直线方程；(3)求证圆心总在一条直线上，并求其方程．【思路点拨】本题是含参数的圆的方程，可用分离参数法、待定系数法、配方法解题．【解析】(1)证明：方程2222(2)20x y ax a y +-+-+=变为2242(22)0x y y a x y +-+--=， 令22420220x y y x y ⎧+-+=⎨-=⎩，，解得11x y =⎧⎨=⎩，. ∴ 定点为(1，1)．故圆恒过定点(1，1)．(2)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，半径为1|a -．设所求切线方程为y kx b =+，即0kx y b -+=，则圆心到直线的距离等于半径，即1|a =-恒成立，即22222(1)4(1)2(1)k a k a k +-+++ 222(1)2(2)(1)(2)k a b k a b =++-++-恒成立． 比较系数可得222222(1)(1)4(1)2(2)(1)2(1)(2)k k k b k k b ⎧+=+⎪-+=-+⎨⎪+=-⎩，，， 解得10k b =⎧⎨=⎩，. 故所求切线方程为y ＝x ．(3)解：易求圆心坐标为(a ，2-a )，又设圆心坐标为(x ，y )，则2x a y a =⎧⎨=-⎩，，消去a ，可得2y x =-，即20x y +-=．故圆心(a ，2-a )总在直线x+y -2＝0上．举一反三：【变式1】求过两圆2220x y x y +---=与224480x y x y ++--=的交点和点(3，1)的圆的方程．【解析】设所求圆的方程为22222(448)0x y x y x y x y λ+---+++--=，∵ 点(3，1)在圆上，把(3，1)代入圆的方程求得25λ=-． ∴ 所求圆的方程为223313360x y x y +-++=．【总结升华】注意圆系方程的特殊情形：过直线与圆的交点的圆系方程和过圆与圆的交点的圆的方程．类型三：直线与圆的方程的综合问题例6．已知圆C 的圆心为坐标原点O ，且与直线1:0l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）若与直线1l 垂直的直线2l 与圆C 交于不同的两点P 、Q ，且以PQ 为直径的圆过原点，求直线2l 的方程．【思路点拨】（1）根据点到直线的距离确定圆的半径，则圆的方程可得．（2）设出直线2l 的方程，判断出△OPQ 为等腰直角三角形，求得圆心到直线2l 的距离，进而利用点到直线的距离求得C ，则直线方程可得．【答案】（1）224x y +=；（2）x +y +2=0或x +y －2=0．【解析】（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径2r ==， ∴ 圆的方程为224x y +=．（2）设直线2l 的方程为x +y +c =0， 由已知△OPQ 为等腰直角三角形，则圆心到直线2l 的距离为1，利用点到直线的距离公式得， 求得c =±2．∴ 直线2l 的方程为x +y +2=0或x +y －2=0．举一反三：【变式1】已知直线l 过点P (2，4)，且与圆224x y +=相切，求直线l 的方程．错解：∵ 2OP k =，且OP l ⊥，∴ 12l k =-， ∴ l 的方程为14(2)2y x -=--，即2100x y +-=． 错因分析：本题错误的原因是误把点P 当作切点．求过定点的圆的切线方程，应首先验证定点是否在圆上．正解：当直线斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，适合题意．当直线斜率存在时，设直线l 的方程为4(2)y k x -=-，即4020kx y k -+-=，∵ 直线与圆相切，∴|2=，解得34k =， ∴ 直线l 的方程为34100x y -+=．∴ 直线l 的方程为2x =或34100x y -+=．例7．已知m ∈R ，直线2(1)4l mx m y m -+=:和圆2284160C x y x y +-++=:．(1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么? 【答案】（1）1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）不能 【解析】(1)直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++， 直线l 的斜率21m k m =+． 因为21||(1)2m m ≤+， 所以2||1||12m k m =≤+，当且仅当||1m =时等号成立． 所以斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． (2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x -4)，其中||k ≤12． 圆C 的圆心为C (4，-2)，半径r ＝2．圆心C 到直线l 的距离d =．由1||2k ≤，得d 1>，即2r d >． 从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π． 所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧． 类型四：空间直角坐标系例8．正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N在BF 上移动．若|CM|=|BN|=a （0a <<）．当a 为何值时，|MN|最小？【思路点拨】建立空间直角坐标系，把|MN|写成a 的函数，用函数的思想方法解题．【答案】2【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC|=1，|CM|=a ，且点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点,0,122m a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN|=a ，所以点,,022N a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 由空间两点间的距离公式，得||MN ==，当2a =（满足0a <<|MN|最小，最小值为2． 【总结升华】由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN 的最小值．举一反三：【变式1】空间直角坐标系中，在平面xoy 内的直线1x y +=上确定一点M ，使它到点N （6，5，1）的距离最小，求出最小值．【思路点拨】注意在平面xoy 内的直线1x y +=上的点的特点．【解析】设点(,1,0)M x x -，则||MN ==当1x =时，min ||MN =M （1，0，0）．。
高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案
|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0． （ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ． 综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ． 已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的 中线所在直线的方程． 解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程 直线与直线的位置关系 直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述： 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为 ，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系 描述： 直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ． 例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交． ）
完整版必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案
1．直线的倾斜角与斜率：x 轴订交的直线，若是把 x 轴绕着 （1 ）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 叫做 直线的倾斜角 .倾斜角[0,180 ) ,90 斜率不存在 .（2 ）直线的斜率：ky 2y 1( x 1 x 2 ), k tan ．（ P 1 ( x 1 , y 1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) ） .x 2 x 12．直线方程的五种形式：（ 1）点斜式： y y 1 k( x x 1 ) ( 直线 l 过点 P 1 ( x 1 , y 1 ) ，且斜率为 k )．注：当直线斜率不存在时，不能够用点斜式表示，此时方程为xx 0 ．（ 2）斜截式： ykx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ).y y 1xx 1( y 1 y 2 ， x 1x 2 ).（ 3）两点式：y 1x 2 x 1y 2注：① 不能够表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线；② 方程形式为： (x 2 x 1 )( yy 1 ) ( y 2y 1 )( x x 1 )0 时，方程能够表示随意直线．（ 4）截距式：xy 1 （ a, b 分别为 x 轴 y 轴上的截距，且 a 0,b 0 ）．a b注：不能够表示与 x 轴垂直的直线， 也不能够表示与 y 轴垂直的直线， 特别是不能够表示过原点的直线．（ 5）一般式： Ax ByC 0(其中 A 、 B 不一样样时为 0)．一般式化为斜截式：yA x C，即，直线的斜率：kA ．BBB注：（ 1）已知直线纵截距b ，常设其方程为 ykx b 或 x0．已知直线横截距x 0 ，常设其方程为 x my x 0 ( 直线斜率 k 存在时， m 为 k 的倒数 )或 y 0 ．已知直线过点 (x 0 , y 0 ) ，常设其方程为 y k (x x 0 ) y 0 或 x x 0 ．（2）分析几何中研究两条直线地址关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩 可正，可负，也可为 0.（ 1）直线在两坐标轴上的截 距相等 直线的斜率为 或直线过原点．．．．． 1（ 2）直线两截距互为相反数 直线的斜率为 1 或直线过原点．．．．．．．．（ 3）直线两截距绝对值相等直线的斜率为1 或直线过原点． ．．．．．．． 4．两条直线的平行和垂直 ：（ 1）若 l 1 : y k 1 x b 1 ， l 2 : y k 2 x b 2① l 1 // l 2k 1 k 2 , b 1 b 2 ；② l 1 l 2k 1k 21.（ 2）若 l 1 : A 1 x B 1 y C 10 ， l 2 : A 2 x B 2 y C 20 ，有① l 1 // l 2A 1B 2A 2B 1且 A 1C 2 A 2 C 1 ．② l 1l 2A 1 A 2B 1B 2 0．5．平面两点距离公式：( P 1 ( x 1 , y 1 ) 、 P 2 (x 2 , y 2 ) ) ， P 1 P 2(x 1x 2 )2 ( y 1 y 2 ) 2 ． x 轴上两点间距离：AB x B x A．x0x1x 22线段P1P2的中点是 M ( x0 , y0 ) ，则．y1y 2y 026．点到直线的距离公式：点P( x0 , y0 ) 到直线 l： Ax By C 0 的距离：d Ax0By0CA2 B 2．7．两平行直线间的距离：两条平行直线 l1： Ax By C1 0， l2： Ax By C 20 距离：dC1 C2A2．B2 8．直线系方程：（ 1）平行直线系方程：①直线 y kx b 中当斜率k必可是b变动时，表示平行直线系方程．．②与直线 l : Ax By C0 平行的直线可表示为Ax By C10 ．③过点 P( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax By C0平行的直线可表示为：A( x x0 ) B( y y0 ) 0 ．（ 2）垂直直线系方程：①与直线 l : Ax By C0 垂直的直线可表示为Bx Ay C10 ．②过点 P( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax By C0垂直的直线可表示为：B( x x0 ) A( y y0 ) 0 ．（ 3）定点直线系方程：①经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为y y0k(x x0 ) (除直线 x x0),其中 k 是待定的系数．②经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为A(x x0 )B( y y0 )0,其中 A,B是待定的系数．（ 4）共点直线系方程：经过两直线l1：A1x B1 y C10， l 2： A2 x B2 y C 20 交点的直线系方程为A1x B1 y C1( A2 x B2 y C 2 )0 (除l 2)，其中λ是待定的系数．9．曲线C1: f ( x, y) 0与 C2 : g (x, y)0 的交点坐标方程组 f ( x, y)0的解．g ( x, y)0 10．圆的方程：a)2( y b) 2r 2（r（ 1）圆的标准方程：( x0 ）．（ 2）圆的一般方程：x2y 2Dx Ey F0(D 2 E 24F0) ．（ 3）圆的直径式方程：若 A( x1 , y1 )，B( x2 , y2 )，以线段 AB为直径的圆的方程是：( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) 0．注： (1) 在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是( D ,E) ， r1 D 2 E 24F ．（ 2）一般方程的特点：222① x 2和 y 2的系数相同且不为零；②没有 xy 项；③D2 E 24F0（ 3）二元二次方程 Ax 2BxyCy 2Dx Ey F 0 表示圆的等价条件是：①AC0；②B 0；③D 2E 2 4AF0 ．11．圆的弦长的求法：l ，弦心距为 d ，半径为 r ，（1）几何法：当直线和圆订交时，设弦长为则：“半弦长 2 +弦心距 2=半径 2”—— ( l)2d 2 r 2 ；（2）代数法：设2的斜率为 ， 与圆交点分别为 ( , ) ( , ) l k l y 1 x 2 y 2 ，则A x 1 ，B|AB|1 k 2| x Ax B | 11| y A y B |k2（其中 | x 1x 2 |,| y 1 y 2 |的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或 x ，利用韦达定理求解）12．点与圆的地址关系：点 P( x 0 , y 0 ) 与圆 ( x a)2( yb) 2 r 2 的地址关系有三种① P 在在圆外 dr( x 0a) 2 ( y 0 b) 2 r 2 ．② P 在在圆内 dr(x 0a) 2( y 0 b) 2 r 2 ．③P 在在圆上d r( x 0a) 2 ( y 0 b) 2r 2 ．【P 到圆心距离d( a x 0 )2 (b y 0 )2 】13．直线与圆的地址关系：0 与 圆 ( x a) 2( y b) 2r 2 的 位 置 关 系 有 三 种直 线 Ax By C( dAa Bb CA2B2):圆心到直线距离为 d ，由直线和圆联立方程组消去 x （或 y ）后，所得一元二次方程的鉴别式为．d r相离0； d r 相切0 ； d r 订交 0 ．14．两圆地址关系 : 设两圆圆心分别为 O 1 ,O 2 ，半径分别为 r 1 , r 2 ， O 1O 2 dd r 1 r 2 外离 4条公切线 ； d r 1 r 2 内含无公切线 ； dr 1 r 2外切3条公切线 ； dr 1 r 2内切1条公切线 ；r 1 r 2 d r 1 r 2订交 2条公切线 ．15．圆系方程： x 2 y 2 Dx Ey F 0( D 2 E 2 4F0)（ 1）过点 A( x 1, y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) 的圆系方程：(x x 1)( x x 2 ) ( y y 1 )( y y 2 )[( x x 1 )( y 1 y 2 ) ( y y 1 )(x 1x 2 )] 0( x x 1)( xx 2 ) ( y y 1)( y y 2 ) (ax by c) 0 , 其中 axby c0 是直线 AB 的方程．0 与圆 C : x 2y 2（2 ）过直线 l ： AxBy CDxEy F 0的交点的圆系方程：x 2 y 2 Dx Ey F( Ax ByC ) 0, λ是待定的系数．（3 ）过圆 C 1 : x 2y 2D 1xE 1 yF 1 0 与圆 C 2 : x 2y 2 D 2 x E 2 y F 2 0 的交点的圆系方程： x 2y 2 D 1 x E 1 yF 1(x 2y 2D 2 xE 2 yF 2 ) 0 , λ是待定的系数．特别地，当1时， x2y2D1 x E1 y F1(x2y2 D 2 x E2 y F2) 0就是( D1 D 2 )x ( E1E2 ) y (F1F2 )0 表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．16．圆的切线方程：（ 1）过圆x2y 2r 2上的点 P(x0 , y0 ) 的切线方程为: x0 x y0 y r 2．（ 2）过圆 ( x a)2( y b) 2r 2上的点P( x0, y0)的切线方程为: ( x a)( x0a)( y b)( y0b)r 2．（ 3）过圆x2y 2Dx Ey F0 上的点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为:x0 x y0 y D ( x0x)E( y0y)F0 ．22(4)若 P( x0 ,y0)是圆 x2y 2r 2外一点,由P( x0,y0)向圆引两条切线,切点分别为A,B则直线 AB的方程为xx0yy0r 2(5)若 P(x0,y0)是圆 ( x a) 2( y b)2r 2外一点,由P( x0,y0)向圆引两条切线,切点分别为 A,B 则直线 AB的方程为(x0a)( x a)( y0b)( y b)r 2（ 6）当点P( x0, y0)在圆外时，可设切方程为y y0k( x x0 ) ，利用圆心到直线距离等于半径，即 d r ，求出 k ；或利用0，求出 k ．若求得 k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线 x x0．17．把两圆x2y 2D1 x E1 y F10 与 x 2y2 D 2 x E2 y F20方程相减即得订交弦所在直线方程:(D1 D 2 ) x( E1E2 ) y( F1F2 )0．18．空间两点间的距离公式 :若 A ( x1, y1, z1)， B ( x2, y2, z2)，则 AB(x2x1 )2(y2y1)2 ( z2 z1 )2一、选择题1．已知点A(1,2), B(3,1)，则线段 AB 的垂直均分线的方程是（）A ．4 x 2 y 5B．4x 2 y 5C．x 2 y 5D．x 2y 52．若A(1, m) 三点共线则 m 的值为（）2,3), B(3, 2), C (Ａ．112Ｂ．Ｃ． 2Ｄ． 2 2x y23．直线 1 在 y 轴上的截距是（）b2a2A ．b B．b2C．b2D．b4．直线kx y 1 3k ，当k变动时，所有直线都经过定点（）A ．(0,0)B．(0,1)C．(3,1)D．(2,1)5．直线x cos y sin a0 与 x sin y cos b 0 的地址关系是（）A ．平行B．垂直C．斜交D．与a,b,的值相关6．两直线3x y 3 0 与 6x my 1 0 平行，则它们之间的距离为（）A ．4B．213 C ．513 D ．7101326207．已知点A(2,3), B( 3,2) ，若直线l过点 P(1,1)与线段 AB 订交，则直线l的斜率 k 的取值范围是（）33k 23D．k 2A ．k B． C ．k 2或k444二、填空题1．方程x y 1 所表示的图形的面积为_________。
2020学年高中数学第二章解析几何初步章末复习学案北师大版必修2(2021-2022学年)
第二章 解析几何初步知识网络构建高频考点例析考点一 直线的方程例1 直线ｌ过点P (8，6）,且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线ｌ的方程.[解］ 解法一：直线l 与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形,必须且只需直线l 在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，故设直线l 的方程为＼f(x,a )+y a=1或错误!+错误!未定义书签。
=1（a ≠0)，当直线ｌ的方程为错误!+错误!＝１时,把P （8,6)代入得错误!+错误!未定义书签。
＝1，解得a =14，∴直线l 的方程为x ＋y －14=0；当直线l 的方程为错误!未定义书签。
＋错误!＝1时,把P(8，6)代入得＼f（８,a）－错误!未定义书签。
=1，解得a＝2，∴直线ｌ的方程为x－ｙ－2=0。
综上所述,直线ｌ的方程为x＋y-１4＝0或x－y-2=０。
解法二：设所求直线l的方程为y＝kx+b(k≠０,ｂ≠0)，令ｘ=0，得y＝ｂ；令ｙ＝0,得x＝-错误!未定义书签。
∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形,∴|ｂ｜=错误!。
∵b≠0,∴k＝±1。
当ｋ=１时,直线ｌ的方程为y=x+b，把P(8,６)代入得6＝8+b,解得b=-2，∴直线l的方程为y=x-2,即x-y-2＝0；当k=-1时,直线ｌ的方程为ｙ=-x＋ｂ，把P(8,６)代入得6=-8＋b，解得b＝1４，∴直线l的方程为ｙ＝-ｘ＋1４，即x+y－14＝0.综上所述,直线l的方程为ｘ＋ｙ-14=０或x－y－2=０.类题通法常用待定系数法求直线方程求直线方程的主要方法是待定系数法,要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化,能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．错误!未定义书签。
将直线的方程x－2y+6=０；（１）化成斜截式,并指出它的斜率与在y轴上的截距;（２）化成截距式,并指出它在ｘ轴、y轴上的截距．解（1）将原方程移项得2y＝ｘ＋6，两边同除以２,得斜截式ｙ＝错误!未定义书签。
2020高考数学总复习：解析几何
222高考数学总复习第六讲：解析几何高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 30 分左右, 考查的知识点约为 20 个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥 曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线 中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查 直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这 点值得考生在复课时强化. 一、圆锥曲线的几类基本习题一. 弦的中点问题具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为 ( x , y ) ， ( x , y ) ，1122代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
例1 给定双曲线 x 2 - y 2 = 1 。
过 A （2，1）的直线与双曲线交于2两点 P 及 P ，求线段 P P 的中点 P 的轨迹方程。
1 212分析：设 P ( x , y ) ， P ( x , y ) 代入方程得 x 2 - y 12 = 1 ， x 2 - y 2 = 1 。
1 1122212两式相减得( x + x )( x - x ) - 1 ( y + y )( y - y ) = 0 。
1 2 1 2 1 2 1 2又设中点 P （x,y ），将 x + x = 2 x ， y + y = 2 y 代入，当 x ≠ x 时121212得程。
因此所求轨迹方程是 8( x - 1) 2 - 1 2 a 2 b 22 x - 2 y · y 1 - y 2 = 0 。
2 x - x1 2又 k = y 1 - y 2 = y - 1 ，x - xx - 212代入得 2 x 2 - y 2 - 4 x + y = 0 。
当弦 P P 斜率不存在时，其中点 P （2，0）的坐标也满足上述方1 214( y - ) 2 2 = 1 。
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人教版高中数学必修二专题复习讲义
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《解析几何初步》全章复习与巩固复习 课 型
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《解析几何初步》全章复习与巩固复习
【知识网络】
【要点梳理】
知识点一：直线方程的几种形式
（1）直线方程的几种表示形式中，除一般式外都有其适用范围，任何一种表示形式都有其优越性，需要根据条件灵活选用．
（2）在求解与直线方程有关的问题中，忽视对斜率不存在时的直线方程的讨论是常见的错误，应特别警惕．
（3）确定直线方程需要且只需两个独立条件，利用待定系数法求直线方程是常用方法．
常用的直线方程有：
①00()y y k x x -=-；。