数学物理方程报告

平流方程.这个方程是：

(,)(,)(,)u u x t x t x t t t

γκ∂∂=-+∂∂ (1) 其中γ是一个正常数，κ是(,)x t 的函数.这个方程可以用来模拟艾滋病的传播、流体动力学，以及其他有关空气或水中的物质流动问题.作为具体的应用，考察风的运动，假设风沿着某个方向运动，比如x 轴的正方向，其速度为每秒γ米.设在原点处有一工厂，风从工厂处携带一些污染物.令(,)u x t 表示t 时刻x 处的污染物的（线）密度（每米的颗粒个数）.再设污染颗粒以正比于(,)u x t 的速度掉下来，比例常数是0r >，则u 满足方程(1)，(,)(,)x t ru x t γ=-.

(a)试证方程

(,)(,)(,)u u x t x t ru x t t t

γ∂∂=--∂∂ 的所有解都具有形式(,)()rt u x t e f x t γ-=-.

(b)令M 是初始时刻空气中的总颗粒数.试证：在时刻0t

>空气中的总颗粒数是rt e M -.

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对于[,]x x x + 段t 到t t + 时间段内的颗粒物数有以下关系

(,)(,)(,)(,)(,)x x x t t

x x t t

t x t u x t t u x t dx

ku x t ku x x t dt ru x t dtdx

+++++-⎰=-+-⎰⎰⎰

(,)(,)()(,)x x t t t t x x x x t t x t t x x t u x t u x t dtdx k dx dt ru x t dtdx t x

++++++∂∂∴=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂ 由于,,x t u 任意性知

(,)(,)[(,)]0x x t t

x t u x t u x t k ru x t dtdx t x

++∂∂++=⎰⎰∂∂ (,)(,)(,)u x t u x t k ru x t t x

∂∂∴=--∂∂ ----------------------------------------------------------------------------

推导过程

k 为风速/m s ，(,)u x t 为t 时刻x 处的污染的（线）物密度（每米的颗粒个数），则(,)ku x t 为单位时间内x 处的颗粒数

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研究t 到t t + 段通过[,]t t t + 短的颗粒物。(,)u x t 为t 时刻x 处的颗粒物（线）密度 (,)x x

x u x t dx +⎰ 为t 时刻x 到x x + 段内的颗粒物

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+(,)x x

x u x t t dx ∆+∆⎰为t t +∆的间段x 到x x +∆段内的颗粒物

从而[(,)(,)]x x x u x t t u x t dx +∆+∆-⎰表示(),t t t +∆时间段内

(),x x x +∆段颗粒物的变化量

则

(,)t t t ku x t dt +∆⎰为(),t t t +∆时间段内吹过x 处的颗粒物 则(,)t t t

ku x x t dt +∆+∆⎰为(),t t t +∆时间段内吹过x x +∆处的颗粒物 污染颗粒以正比于(,)u x t 的速度下落比例常数为0r

>

则下落速度为(,)(,)r x t ru x t =- 从而在x x +∆段内t 到t t +∆的间段下落的颗粒物总数

为x x

t t x t rudxdt +∆+∆⎰⎰

由于总颗粒物的变化量=吹入(),x x x +∆的颗粒物-吹出

的颗粒物-下落的颗粒物

可得