矩阵乘积的行列式与秩
3.矩阵乘积的行列式与秩4
An1 An 2 Ann
0 0 d
dE.
(2)
(3)
如果 d A 0,那么由(2)得: 1 * 1 * A( A ) ( A ) A E. d d
定理3 矩阵A可逆的充分必要条件是 A非退化,而 A1 1 A* 1 A*
即矩阵AB的行向量 C1 , C2 ,, Cn 可经B 的行向量线性表出. 所以AB的秩不能超 过B的秩,也就是说,
秩( AB) 秩( B).
同样,令 A1 , A2 ,, Am 表示A的列向量, D1 , D2 ,, Ds 表示AB的列向量,由计算可 知 Di b1i A1 b2i A2 bmi Am (i 1,2,, s).
定义7 n级方阵A称为可逆,如果有n级方 阵B,使得
AB BA E.
(1)
这里E是n级单位矩阵. (3) 积是单位矩 注意: (1)方阵, (2)可交换, 阵.
定义8 如果矩阵B适合AB=BA=E,那么B
就称为A的逆矩阵.记为 A
1
B.
若A是一个n级逆矩阵,则它的逆矩阵 是唯一的. 假设 B1 , B2是A的逆矩阵, B1 B1E B1 ( AB2 ) ( B1 A) B2 EB2 B2 . 于是若A是可逆矩阵, 则有矩阵
d A (d A 0).
证明: 当d A 0, 由(3)可知,A可逆,且
A
1
1 * A . d
(4)
1
反过来,如果A可逆, 那么有 A 使 1 AA E,
1 A A E 1, 两边取行列式,得
(5)
因而 A 0, 即A非退化.
由(5)可以看出,如果 A d 0, 那么
矩阵的秩与行列式的意义
这里首先讨论一个长期以来困惑工科甚至物理系学生的一个数学问题，即，究竟什么是面积，以及面积的高维推广（体积等）？1 关于面积：一种映射大家会说，面积，不就是长乘以宽么，其实不然。
我们首先明确，这里所讨论的面积，是欧几里得空间几何面积的基本单位：平行四边形的面积。
平行四边形面积的定义，几何上说是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦。
然而为了应对更一般情形和更高维度的数理问题，我们有必要把面积的定义推广开来。
注意到以下事实：面积是一个标量，它来自于（构成其相邻边）两个矢量。
因此，我们可以将面积看成一个映射：其中V就是一个矢量，V*V代表两个矢量的有序对；f就是面积的值。
下面我们将说明这个映射是一个线性映射。
从最简单的例子出发。
如果第一个矢量是（1，0），第二个矢量是（0，1）；也就是说，两个矢量分别是X和Y轴上的单位正向量，那么由这两个矢量张成的四边形就是一个正方形，其面积根据定义，就是长乘以宽=1*1=1。
因此有：如果我们把第一个矢量”缩放“a倍，面积将会相应是原来的a倍；把第二个矢量“缩放”b倍，面积也会成为原来的b倍。
如果同时缩放，很显然，面积将会变成原面积的ab倍。
这表明，面积映射对于其两个操作数（矢量）的标量积是各自线性的，如下：最后，我们要说明，面积映射对于其操作数（矢量）的矢量加法也是线性的。
因为矢量加法操作的本身是线性的，那么其面积映射理应对此也是一个线性映射。
这里我们打算从几个实际的例子出发，说明映射的加法线性性的后果。
显然（两个共线矢量所张成的平行四边形还是一条线，因此面积为0）：假定面积映射是一个关于矢量加法的线性映射，那么我们有：注意计算过程中用到了上面的结论。
这说明：也就是说，交换相互垂直操作数矢量的顺序，面积映射取负。
孰正孰负取决于认为的定义。
一般，我们把X轴单位矢量在前，Y轴单位矢量在后，从X轴到Y轴张成的一个平行四边形的面积，取做正号。
1.1 右手定则由此我们引入右手定则。
第四章 矩阵
Ch5 P234 习题4（1）
13.正交矩阵
定义7：P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
（a
）正交（A是实矩阵）
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2）A正交，则A的特征值的模为1；
3）A正交，则 A 1； 4） A、B正交，则AB正交.
,A )为准对角阵，则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5）A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵，则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵，AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩（A+E）+秩(A-E)=n；（P .3） 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n；（P .4） 203
1）设 A, B 为n阶矩阵，则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2）A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵，则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1
矩阵乘积的行列式与秩
秩( A ) min秩( Aj ) . 1 jt
本本若若请请本本若若请请本若请节节想想本单单若请节节想想本单单若请节想本单若内 内请结结节击击想本单若内 内请结结节击 击想本单若内请结节击想本容 容单若束 束内请返返结节击想本容 容单若束束内请返返结节击想本容单若束内请返结节已 已想击本 本本容单若回回束内请返结节已 已想击本本本容单若回 回束内请返结节已想击本本容单若回束内结 结请返结堂 堂节已想击按按本本容单若回束内结 结请返结堂堂节已击想按按本本 本 本容单若 若 若回束内结请 请 请返结本堂若节已击想按本请本 本容束 束单若 若回束课 课内结请 请返结钮钮堂节已击想按本容束 束单回束课课内结返结钮 钮堂节 节节已击想 想 想按本容束单单 单回束课节想内结返结钮堂单节节已击想 想按本,,容束单单回束课..内!!结返结钮堂已击按本,,容束回束课..内 内内!!结返结 结 结钮堂已击击 击按本内,结容束回束课.击内内!结返结 结钮堂已击击按本,容束回束课.!结返钮堂已按本,容容 容束回束 束 束课.!结返 返返钮堂容束已按本,返容容束回束 束课.!结返返钮堂已按本,束回课.!结钮堂已 已已按本 本 本,束回回 回课.已本!结钮堂回已已按本 本,束回回课.!结钮堂按,束课.!结结 结钮堂堂堂按按按,结堂束课.按!结结钮堂堂按按,束课.!钮,束束束课课课.!钮钮钮束课,钮束束课课.!钮钮,.!,,,...,!!!.,,!..!!
推论 1 设A1, A2 , … , Am是数域 P 上的 n n
矩阵，于是 | A1 A2 … Am | = | A1 | | A2 | … | Am | .
定义 9 数域 P 上的 n n 矩阵 A 称为非退 化的，如果 | A | 0；否则称为退化的.
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲（适用专业：数学与应用数学、应用统计学）第一章基本概念一.主要内容1、集合子集集的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法自然数的最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域二. 考试要求（一）掌握1、集合的交与并及其运算律2、映射满射单射双射映射的相等映射的合成3、数环和数域的定义及性质4、数学归纳法的运用（二）理解1、集合的交与并及其运算律2、可逆映射映射可逆的充要条件3、数环和数域的判别（三）了解自然数的最小数原理第一数学归纳法、第二数学归纳法的证明整数的一些整除性质第二章多项式一. 主要内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性整除的基本性质带余除法定理3、多项式的最大公因式最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念根与一次因式的关系多项式根的个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法有理数域上多顶式的有理根9、多元多项式多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数10、对称多项式对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理二. 考试要求（一）掌握1、一元多项式的定义和运算2、整除的基本性质带余除法定理3、最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、余式定理综合除法多项式的根的概念7、复数域和实数域上多项式的因式分解有理数域上多顶式的有理根（二）理解1、不可约多项式概念2、多项式的重因式概念3、多项式函数与多项式的根4、多项式函数的概念5、本原多项式的定义 Gauss引理6、整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法（三）了解1、对称多项式的概念2、多元多项式的概念3、多元多项式的概念字典排列法初等对称多项式对称多项式基本定理三. 说明本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。
矩阵的秩与行列式的几何意义
矩阵的秩与行列式的几何意义作者：曾博链接：/commoner/19609459如果我们把第一个矢量”缩放“a倍，面积将会相应是原来的a 倍；把第二个矢量“缩放”b倍，面积也会成为原来的b倍。
如果同时缩放，很显然，面积将会变成原面积的ab倍。
这表明，面积映射对于其两个操作数（矢量）的标量积是各自线性的，如下：最后，我们要说明，面积映射对于其操作数（矢量）的矢量加法也是线性的。
因为矢量加法操作的本身是线性的，那么其面积映射理应对此也是一个线性映射。
这里我们打算从几个实际的例子出发，说明映射的加法线性性的后果。
显然（两个共线矢量所张成的平行四边形还是一条线，因此面积为0）：假定面积映射是一个关于矢量加法的线性映射，那么我们有：注意计算过程中用到了上面的结论。
这说明：也就是说，交换相互垂直操作数矢量的顺序，面积映射取负。
孰正孰负取决于认为的定义。
一般，我们把X轴单位矢量在前，Y轴单位矢量在后，从X轴到Y轴张成的一个平行四边形的面积，取做正号。
1.1 右手定则由此我们引入右手定则。
注意右手定则只在三维空间中有效。
如果以X正方向为首，Y正方向为尾，右手定则告诉我们，纸面向外是面积的正方向；如果反过来，那么纸面向内就是该面积的正方向，与规定的正方向相反，取负号。
那么面积正负号的几何意义就明显了。
由此，我们不难得到平面内任意两个矢量所张成的平行四边形的面积（*）：我们不难看到，所谓面积就是一个2X2矩阵的行列式：如下图。
其中第一行就是我们的第一个行向量(a,b)；第二行就是第二个行向量(c,d)。
或者第一列是第一个列向量(a,b)^T, 第二列是第二个列向量(c,d)^T。
这取决于我们把矢量写成行向量（前者）还是列向量（后者）的形式。
1.2 行列式的计算性质由此我们很容易能发现，行列式的值与把矢量写成列向量横排还是行向量竖排的方式是无关的。
这也就是为什么说，在计算行列式时，行和列的地位是对等的。
并且注意到，由上述分析，交换矢量的顺序，面积的值取负号，这也就是为什么行列式中，交换列向量或者行向量一次，就要取一次负号的原因。
矩阵乘积的行列式与秩
矩阵乘积的定义与性质 行列式的定义与性质 矩阵秩的定义与性质 矩阵乘积的行列式与秩的关系 矩阵乘积的行列式与秩的应用
矩阵乘积的定义与性质
01
矩阵乘积是由两个矩阵A和B相乘得到的结果，记作AB。
矩阵乘积的结果是一个新的矩阵C，其行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
矩阵乘积的定义
矩阵乘积的秩的性质
总结词
矩阵乘积的秩不大于参与乘法的所有矩阵秩的最小值。
详细描述
设矩阵A和B的秩分别为r(A)和r(B)，则它们的乘积AB的秩r(AB)满足r(AB)≤min{r(A), r(B)}。这是因为矩阵乘法不改变列空间的维数，所以AB的秩不可能超过A或B的秩。
矩阵乘积的行列式与秩的应用
特殊矩阵乘积
行列式的定义与性质
02
行列式是一个由矩阵的行和列构成的标量，表示为|A|。
行列式等于矩阵所有行向量行列式的乘积，即|A|=a11*a22*...*ann。
行列式是唯一确定的，与矩阵的表示方式无关。
行列式的定义
行列式与转置矩阵的行列式互为倒数，即|AT|=1/|A|。
行列式与矩阵的加法、数乘运算具有结合律和分配律，即|kA|=k|A|，|A+B|=|A|+|B||。
矩阵近似
在微分几何中，行列式可以用于研究微分流形的性质，例如计算体积、表面积等。
微分流形
行列式可以用于研究曲线和曲面的性质，例如计算曲线的长度、曲率等。同时，矩阵乘积可以用于表示曲线和曲面的变换和运动。
曲线和曲面
在黎曼几何中，行列式和秩可以用于研究黎曼度量和张量的性质，例如计算曲率张量、研究联络等。
行列式与秩的关系
对于一个方阵A，其行列式值$|A|$不为0当且仅当其秩为n（n为矩阵的阶数）。
矩阵的行列式的性质
矩阵的行列式的性质
1. 行列式的值等于其所有元素的乘积减去其所有余子式的乘积；
2. 任意行（列）交换，行列式的值不变；
3. 任意行（列）同乘一个非零常数，行列式的值也不变；
4. 如果一个矩阵的行列式为0，则该矩阵必定不是满秩矩阵；
5. 如果一个矩阵的行列式不为0，则该矩阵必定是满秩矩阵；
6. 如果一个矩阵的行列式不为0，则该矩阵的逆矩阵存在；
7. 行列式的值等于其展开式中各项乘积的符号相反的和；
8. 对于n阶方阵A，若A的某一行（列）的元素全为0，则
|A|=0；
9. 对于n阶方阵A，若A的某一行（列）的元素都相等，则
|A|=0；
10. 如果一个n阶方阵A可以分解成A=LU，其中L是下三角
矩阵，U是上三角矩阵，则|A|=|L|×|U|。
矩阵的等价标准型定理
矩阵的等价标准型定理王耀伟 学号摘要：本文阐述并论证矩阵的等价标准型定理,具体探讨这个定理的应用,比如在矩阵的秩的定义方面,在矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积的证明中,在线性方程组的求解中,在向量的线性相关、线性无关性的判断中等等. 关键字：矩阵、等价标准型定理、应用引言：文章的目的在于证明等价标准型定理，简单介绍其在矩阵方面、在线性方程组方面、以及在向量的线性相关的判断中的应用。
一、等价标准型定理及其证明对任意m ×n 矩阵A ，用一系列的m 阶初等方阵P 1，P 2，…，P s 左乘A ，以及一系列初等方阵Q 1，Q 2…Q s 右乘A ，将A 化成()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000r I ，其中r=rank A.存在m 阶可逆方阵P 和n 阶可逆方阵Q 使PAQ具有上述形式。
证明：先证明定理“任意的m ⨯n 矩阵A 都可以通过有限次初等行变换和初等列变换化为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000r I ”。
如果A=O ，则A 已经是所需的形状。
设A=（a ij )m ×n ≠O.其中必有某个元a ij ≠0,当k ≠1时将A 的第一行与第k 行互换，可以将非零元a kl 换到第一行；如果l ≠1；再将第一列和第l 列互换，将非零元换到第（1,1）位置。
经过这样的初等行变换和初等列变换，一定可以将A=（a ij )m ×n 化为B=（b ij )m ×n ,使b 11≠0.对2≤i ≤m,2≤j ≤n,将B=（b ij )m ×n 的第一行的-b i1b-111倍加到第i 行，第一列的-b 1j b -111倍加到第j 列，可以将B 中第二至m 行的第一列元化为0，第二至n 列的第一行元化为0.再将第一行乘b -111可以将第（1,1）元化为1.这样就将B 化成了如下形式的矩阵C=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11A 。
其中A1是（m-1)×(n-1)矩阵。
如果A1=0，则C 已经是所需形状。
§ 4-3 矩阵乘积的行列式与秩讨论主题 1.矩阵乘积的行列概要
Ex.2：秩(A+B)≤秩(A)+秩(B)
证明:设秩(A)=r, 秩(B)=s,
1 , 2 ,, r 是矩阵A列向量组的一个极大
线性无关组 1 , 2 ,, s 是矩阵B列向量 组的一个极大线性无关 组, 则矩阵 A B 的每一列向量都可由这 r s个向量线性表示 , 从而 秩(A B) r s 秩(A) 秩(B)
（P81-Ex.3）
0 AB (1 2n ) ( n 1 n 2 2 n ) AB 0 D (1) | AB | E B B E
Coro.: |A1A2…An|=|A1||A2|…|An|
Def. ：数域 P 上的方阵 A 称为非退化的， 如果|A|≠0，
否则称为退化的。
§ 4-3 矩阵乘积的行列式与秩
讨论主题: 1.矩阵乘积的行列式值与
因子矩阵行列式的关系;
| AB | ?
2.乘积矩阵的秩与其因子 矩阵秩的关系.
R( AB) ?
Th.1：数域P上两个方阵乘积的行列
等于它的因子行列式的乘积。 |AB|=|A||B|
A 0 D= | A || B | E B
Coro.：二个方阵A、B的乘积为退化的充 分必要条件是 A ， B 中至少有一个
是退化的。
Th2：设A是数域P上的n×m 矩阵, B是P上的m×s矩阵,于是
秩（AB）≤min[秩(A),秩(B)].
(即矩阵乘积的秩不超过各因子的 秩)
证明：设
a11 a21 A a n1 a12 a22 an 2 a1m a2 m anm
思考题
当A,B为n阶方阵时,矩阵AB维非奇异矩 阵的充分必要条件是什么? 把你的结论推广成n个方阵乘积形式.
可逆矩阵--矩阵乘积的行列式
§5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式5.2.1 教学目的5.2.1.1 掌握矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. 5.2.1.2 掌握矩阵可逆的充要条件及求逆矩阵的两种方法. 5.2.1.3 掌握矩阵乘积的行列式和秩的性质.5.2.2 教学重点矩阵可逆的定义，充要条件及求逆矩阵的方法.5.2.3 教学难点用初等变换法求逆矩阵的理论.5.2.4 教学过程一、矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. （一）矩阵可逆，逆矩阵的定义Def 1 令A 是数域F 上一个n 矩阵，若存在F 上n 阶矩阵B ，使得 AB=BA=I那么A 叫可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵. （二）逆矩阵的简单性质1、若是矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵唯一. 把A 的唯一的逆矩阵记作.2、可逆矩阵A 的逆矩阵也可逆，并且. 1、1、1、两个可逆矩阵A 和B 的乘积也可逆，并且. 一般，m 个可逆矩阵A 1，A 2，…，A m 的乘积A 1A 2…A m 也可逆. 并且（A 1A 2，…，A m ）-1=4、可逆矩阵A 的转置也可逆，并且二、矩阵可逆的充要条件 （一）判断矩阵可逆的思路.判断一般的n 阶矩阵A 是否可逆很复杂，但判断形如，矩阵的可逆1-A 1-A A A =--11)(111)(---=A B AB 11121---A A A m A ')()(11'='--A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000rI性十分简单，即当r=n 时，可逆；当r<n 时，不可逆.如何将一般的矩阵A 的可逆性与的可逆性挂勾？（二）判断矩阵，可逆的予备知识 1、初等矩阵的概念对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵：i jii j都叫做初等矩阵. 2、初等矩阵和初等变换的联系⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000r I ⎪⎪⎭⎫⎝⎛000r I ⎪⎪⎭⎫⎝⎛000r I ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101111011 ij p j i ik k D i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111)( j ik k T ji ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111)(左乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的行的初等变换；右乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的列的初等变换.3、初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵仍是初等矩阵：4、初等变换不改变矩阵的可逆性.La5.2.1 设对矩阵A 施行一个初等变换后，得到矩阵，则A 可逆的充要条件是可逆.5、矩阵在初等变换下的标准形La5.2.2 一个m ×n 矩阵A 总可以通过初等变换化为以下形式的矩阵.（三）矩阵可逆的充要条件Th5.2.3 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是它可通过初等变换化为单位阵. Th5.2.4 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是它可写成初等矩阵的乘积. Th5.2.5 n 阶矩阵A 可逆当且仅当A 的秩等于n. Th5.2.6 n 阶矩阵A 可逆，当且仅它的的行列式detA ≠0. 三、逆矩阵的求法 （一）初矩阵的求法一个可逆矩阵A 可以通过行初等变换化为单位矩阵I 即存在初等矩阵E 1,E 2,…,E s ，使用A -1右乘这个等式的两端，得法则：在通过行初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵I 时，对单位矩阵I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵A -1.例1：求矩阵的逆矩阵. 解： →→)()(),1()(,111k T k T k D k D p p ij ij i i ij ij -===---A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000r I A IA E E E s =12 112-=A I E E E s ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201013121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100201010013001121 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101320013350001121→（二）行列式法设n 阶矩阵则有以下等式成立：若令, 则 把A *叫矩阵A 的伴随矩阵.当A 可递时，，即例： 设，求A -1 解：因为=2≠0，所以A 可逆.又因A 11=2，A 12=2，A 13=-4，A 21=-1，A 22=-1，A 23=3，153515900051535310052515101-----⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----959291100513132010919492001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211⎪⎩⎪⎨⎧≠==+++j i ji A A a A a A a jn in j i j i 若若02211 ⎪⎩⎪⎨⎧≠==+++j i j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若02211 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n A A A A A AA A A A 211221212111*⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==A A A A A AA 001000**I A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**11*11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011213112A 011213112-=A利用这个公式去求逆矩阵，计算量一般很大，公式（8）的意义主要在理论方面.例如，可应用它来给出克莱姆规律的另一种推导法a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1 a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2 …………………………a n1x 1+a n2x 2+…+a nn x n =b n利用矩阵的乘法 令 (a ij )=A ，以A -1左乘端得由此得四、矩阵乘积的行列式 （一）矩阵乘积的行列式引理：一个n 阶矩阵A 总可以通过第三种行和列的初等变换在成一个对角矩阵（10）证：如果A 的第一行和第一列的元素不都是零，那么必要时总可以通过第三⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=∴-134112112211A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n nn n n n n b b b x x x a a a a a a a a a 2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n b b b A A A A A A A A A A x x x 21212221212111211)(1),,,(122112121ni n i i n ni i i i A b A b A b A b b b A A A A x +++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n d d d A 0021种初等变换使左上角的元素不为零，于是再通过适当的第三种初等变换可以把A 化为如果A 的第一行和第一列都是零，那么A 已经具有（10）的形式. 对A 进行同样的考虑，易见可用第三种初等变换逐步把A 化为对角矩阵. 根据行列式的性质，我们有定理：设A 、B 是任意两个n 阶矩阵，那么证：先看一个特殊情况，即A 是一个对角矩阵的情形，设现在看一般情形，由引理，可以通过第三种初等变换把A 化成一个对角矩阵，并且|A|=||，矩阵A 也可以反过来通过对施行第三种初等变换而得出，即存在T ij (k)型矩阵，T 1、T 2、…T g ，使A=T 1…T p T p+1…T g于是，AB= T 1…T p T p+1…T g ，B=（T 1…T p ）（T p+1…T g B ）而由行列式的性质知道，任意一个n 阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而求所改变.|AB|= |T 1…T p T p+1…T g B|=||| T p+1…T g B | =|||B|=|A||B| 由这个定理显然可以得出|A 1A2…A m |=|A 1||A 2|…|A m |⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000011A d nd d d A A 21==BA AB =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n d d d A 0021 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nn n n n n ij b b b b b b b b b b B 212222111211)(=AB ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n n n n b d b d b d b d b d b d b d b d b d 212222221211121111BA B d d d AB n == 21A A A A A A A A A（二）矩阵乘积的秩定理：两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩，特别当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩.证：设A 是一个m ×n 矩阵，B 是一个n ×p 矩阵，并且秩A=r ，由定理5.2.2，可以对A 施行行初等变换将A 化为换句话说，存在m 阶初等矩阵E 1，…，E p 和n 阶初等矩阵E p+1，…，E q ， 使E 1…E p AE p+1…E q =.于是 E 1…E p ABE p+1=E 1…E p AE p+1…E q E q -1…E p+1-1B=E q -1…E p+1-1B=，显然除前r 行外，其余各元行的元素都是零，所以秩≤r ；另一方面，E 1…E p+1AB 是由AB 通过行初等变换而得到的所以它与AB 有相同的秩，这样就证明了秩AB ≤秩A.同理可证秩AB ≤秩B.如果A 、B 中有一个，例如A 是可逆矩阵，一方面AB ≤秩B ，另一方面，B=A -1(AB)，所以秩B ≤秩AB ，因此秩AB=秩B.这个定理也很容易推广到任意m 个矩阵的乘积的情形，任意m 个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000r I A A A B A B A B A。
矩阵行列式的计算
矩阵行列式的计算矩阵的行列式可以表示为det(A)，其中A是一个n阶矩阵。
行列式的计算涉及到对矩阵进行一系列的运算，包括交换矩阵的行列、将矩阵的某一行或某一列乘以一个常数、将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的某个倍数等。
这些运算可以用数学记法表示，其中，A，表示矩阵A的行列式。
对于2阶矩阵，行列式的计算简单明了。
假设A为一个2阶矩阵，其元素为a、b、c、d，则矩阵A的行列式可以表示为，A， = ad - bc。
对于3阶或更高阶的矩阵，行列式的计算稍复杂一些。
对于一个3阶矩阵A，其元素为a、b、c、d、e、f、g、h、i，矩阵A的行列式可以表示为：A， = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)在上述公式中，a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表矩阵A的元素的值，例如a代表矩阵A的第1行第1列的元素的值。
ei、fh、di、fg、dh、eg分别表示矩阵A中特定元素的乘积，例如ei表示矩阵A的第1行第3列元素e和第2行第2列元素i的乘积。
通过计算矩阵A的每一项的乘积，再根据正负规则求和，即可得到行列式的值。
对于4阶矩阵及以上阶数的矩阵，行列式的计算可以通过高斯消元、化简为上三角形矩阵等方法进行。
在实际计算中，可以利用计算机软件或在线工具进行矩阵行列式的计算，以提高计算的准确性和效率。
行列式不仅仅是一个数学工具，它具有许多重要的性质和应用。
例如，如果一个n阶矩阵的行列式不等于零，则该矩阵是可逆的，即存在其逆矩阵。
行列式还可以用于求解线性方程组的解，通过将矩阵的行列式与零相等，可以得到线性方程组的解。
行列式也可以用于计算矩阵的秩，判断矩阵的线性无关性等。
总之，矩阵行列式是一种重要的数学工具，在线性代数中起到了重要的作用。
通过计算矩阵的行列式，我们可以得到矩阵的特征信息，进而应用于各种数学问题的求解。
第三章 矩阵的秩与行列式
第三章 矩阵的秩与行列式1矩阵的秩（1）矩阵的定义第一章结论5所描述的不重复数量其实就是这里所讲解的矩阵秩。
用数学语言描述为：对n 阶矩阵A 进行多次初等变换后，最少不全为0的行或列的个数t ，则称t 为矩阵A 的秩，记为：()t A r =。
（2）向量前面我们已经知道用向量可以对矩阵简化表示，不仅如此，在对矩阵的性质进行分析时，用向量可以便于描述，分析过程自然也更加清晰。
○1线性表出与线性相关 （a ）线性表出如果n 维向量β能表示成向量s ααα,,,21 的线性组合，即：s s k k k αααβ+++= 2211，则称β可由向量组s ααα,,,21 线性表出,其中数sk k k ,,,21 称为关于β的组合系数.(b)向量组的等价 如果向量组s ααα,,,21 中的每个向量都可由向量组t βββ,,,21 线性表出，且向量组t βββ,,,21 中的每个向量也可以由向量组sααα,,,21 线性表出,那么就称这两个向量组等价.【例3.1】试判定向量 T )2,0,2,1(-=β 是否可由向量组T)0,1,1,1(1=α, T )1,0,1,1(2=α,T)1,1,0,1(3=α,T )1,1,1,0(4=α表出，解：设有βαααα=+++44332211x x x x ，此线性方程组是否有解就代表是否可表出。
根据解线性方程组的思路，可以将上述的列向量写成如下矩阵形式，并实施行初等变换，变为左边区域可用单位矩阵代替的新矩阵，最右边一列的值便是方程的解。
{}⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=321000350100310010370001~21110011012101110111,,,,4321初等行变换βαααα则此方程有唯一解：321351311371,,,--====x x x x ，故向量可线性表出。
○2向量组的线性相关 （a ）向量组的线性相关的定义 对于n 维向量组s ααα,,,21 ，若存在一组不全为0的数s k k k ,,,21 ，使得：02211=+++s s k k k ααα ，则称n 维向量组s ααα,,,21 线性相关.(b)用向量描述矩阵的秩矩阵A 的每一列或行构成的向量都可以称为矩阵A 的列向量或矩阵A 的行向量。
第2章行列式及矩阵的秩
1.二阶与三阶行列式
(1)二阶行列式
定义
已知2阶方阵
A
a11 a21
a12 a22
,
称
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
为二阶行列式，记作A 或detA.
例如：
13 1 (5) 3 2 11.
2 5
(2) 3阶行列式
定义
an1 an2 ann
an1 an2 ann
an1 an2 ann
ai1 a12 a1n
r1 ri
ai1 ai2 ain
.
a a a
性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两项之 和,则可把该行列式化为两个行列式的和，而这两个 行列式这一行（列）的元素分别为对应的两个加数 之一，其余位置的元素不变.即
b2a12 b1a21
当a11a22 a12a21 0时，方程组有唯一解
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
,
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
.
利用二阶行列式定义，解中的分母可写作
D a11 a12 a21 a22
a11a22 a12a21
15 15
1.
例3 解线性方程组
32
x1 x1
x2 x3 26 4x2 x3 9
x1 2x2 x3 16
3 1 1
解：系数行列式 D 2 4 1 5 0
12 1
线性代数基础知识（三）——矩阵乘法
线性代数基础知识（三）——矩阵乘法矩阵A ∈ R m×n 和B ∈ R n×p 的乘积为矩阵：其中：.请注意，矩阵A的列数应该与矩阵B的⾏数相等，这样才存在矩阵的乘积。
有很多种⽅式可以帮助我们理解矩阵乘法，这⾥我们将通过⼀些例⼦开始学习。
2.1向量的乘积给定两个向量x，y ∈ R n，那么x T y的值，我们称之为向量的内积或点积。
它是⼀个由下式得到的实数：.可以发现，内积实际上是矩阵乘法的⼀个特例。
通常情况下x T y = y T x。
对于向量x ∈ R m， y ∈ R n（⼤⼩不必相同），xy T ∈ R m×n称为向量的外积。
外积是⼀个矩阵，其中中的每个元素，都可以由得到，也就是说，.我们举个例⼦说明外积有什么⽤。
令1 ∈ R n 表⽰所有元素都是1的n维向量，然后将矩阵A ∈ R m×n 的每⼀列都⽤列向量x ∈ R m表⽰。
使⽤外积，我们可以将A简洁的表⽰为：.2.2矩阵-向量的乘积对于⼀个矩阵A ∈ R m×n 和向量x ∈ R n，他们的乘积为向量y = Ax ∈ R m。
理解矩阵向量乘法的⽅式有很多种，我们⼀起来逐⼀看看。
以⾏的形式书写A，我们可以将其表⽰为Ax的形式：.也就是说，y第i⾏的元素等于A的第i⾏与x的内积 .咱们换个⾓度，以列的形式表⽰A，我们可以看到：.换⾔之，y是A列的线性组合，线性组合的系数就是x的元素。
上⾯我们看到的是右乘⼀个列向量，那左乘⼀个⾏向量嘞？对于A ∈ R m×n，x ∈ R m， y ∈ R n，这个式⼦可以写成y T = x T A 。
向之前那样，我们有两种⽅式表达y T，这取决于表达A的⽅式是⾏还是列。
第⼀种情况是把A以列的形式表⽰：这个式⼦说明y T 第i列的元素等于向量x与A的第i列的内积。
我们也⼀样可以把A表⽰成⾏的形式，来说明向量-矩阵乘积。
我们可以看到y T 是A的⾏的线性组合，线性组合的系数是x的元素。
Hadamard乘积矩阵的一些性质
g22x 2
…
g2nx 2 .
gn1 x n gn2x n … gnnx n 当 X ≠0时, Y 1 , Y 2 , …, Y n 中至少有一个不为0, 否则, gk1x 1 + g k2 x 2 + …+ gknx n = 0, k = 1, 2, …, n, 即 G′X = 0. 因为 G 可逆 G ′可逆 X = 0, 矛盾! 又 A 正定, 则 Y k ′A Y k 中至少有一个大于0
A* B
=
A A 11
b11D 11 ≥
A A 11
b11
b22…bnnA 11
= b11 b22…bnn A ,
所以
A * B ≥b11 b22…bnn A .
同理可得 A * B ≥a11 a22 …ann B .
为证定理5, 先证下面两个引理.
引理3 A 正定, 令
a11 … a1n x 1
+ an- 1 n
0
a n- 1 1 an1
… a n- 1 n- 1 … an n- 1
0 a nn
a11 … a1 n- 1
a1n
a21 … a2n- 1
a2n
令 g( a1n, a2n, …, an- 1 n ) =
,
a … a a n- 1 1
2j2j2j2j1i2j1i2j为列向量1i2j为行向量所以1i2j1i2j1i2jhadamard乘积矩阵的一些性质1i2j1i2j阶矩阵g使得bxiaijbijxjxigikxjgjykayk因为a半正定所以ykayk正定时定理3同时ykaykg11x1g12x1g21x2g22x2gn1xngn2xnyn中至少有一个不为0否则gk1x1k2x2因为g可逆g可逆正定则ykyk中至少有一个大于0正定
矩阵的秩与行列式的关系
定理3.3若A是n阶方阵，则R( A) n的充分必要条件 是A为非奇异的。
定理3.4对任何矩阵A，有R( A) R( AT )
西安建大
三、 初等方阵
回忆：下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j 两行,记作ri rj）；
小结：
矩阵的秩 初等方阵
定理3.5方阵可逆的充要条件是它可以表示成有 限个初等方阵的乘积。
定理3.6 m n维矩阵A~B的充要条件是存在
m阶可逆方阵P和n阶可逆方阵Q，使PAQ=B
西安建大
第二讲 矩阵的秩的求法和 矩阵的标准形
一、等价矩阵具有相同的秩 二、矩阵秩的求法. 三、矩阵秩的性质 四、矩阵的秩与行列式的关系
0
00
0
(1)可划出一条阶梯线，
线的下方全为零；
1 1 2 1 4
(2)每个台阶只有一行，台阶 数即是非零行的行数，阶梯 线的竖线后面的第一个元素
0
0
0
2 0 0
1 0 0
1 5 0
0
3
0
为非零元，即非零行的第一
个非零元．
西安建大
行最简形矩阵：
在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元 为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。
1 0 1 0 4
例如：
0
1
1
0
3
B
0 0 0 1 3
0
0
00
0
注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
西安建大
0 0 0 1 1 1
0
1
高等代数教案-第5章矩阵
第五章 矩 阵教学目的：1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。
及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。
2. 了解几种特殊矩阵的性质。
教学内容：矩阵的运算1 矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。
令F 是一个数域。
用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n nΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 叫做F 上一个矩阵。
A 也简记作（a ij ）。
为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。
一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。
特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。
F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。
以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。
我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。
先引入前两种运算。
2 矩阵的线性运算定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ） 定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。
注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。
以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。
现在回到一般的矩阵。
我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。
如果矩阵 A=(a ij )， 我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。
3 矩阵线性运输的规律A+B=B+A ；(A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0；a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ；这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。
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一、矩阵乘积的行列式 二、非退化矩阵 三、矩阵乘积的秩
1
第四章 矩阵
一、矩阵乘积的行列式
定理1 设 A, B为数域 P 上的 n 级矩阵，则
AB A B .
© 2009, Henan Polytechnic University §3 矩阵乘积的行列式与秩
2 2
第四章 矩阵
证： A E A AA A( E A ) A E A
A ( E A ) A E A
又由 AA E , 有 A 1,
A 1,
2
而 A 0,
于是有
A E A E ,
所以
A E 0.
1212
© 2009, Henan Polytechnic University §3 矩阵乘积的行列式与秩
n 级方阵 A 退化 R( A) n A 0.
© 2009, Henan Polytechnic University §3 矩阵乘积的行列式与秩
7 7
第四章 矩阵
推论 设 A, B为数域 P上的 n 级矩阵，则
AB 非退化 A, B 都非退化
AB 退化
A 或 B 退化
© 2009, Henan Polytechnic University §3 矩阵乘积的行列式与秩
6 6
第四章 矩阵
二、非退化矩阵
定义 设 A 为数域 P 上的 n 级方阵，
若 A 0，则称 A为非退化的； 若 A 0，称 A为退化的． 注：n 级方阵 A 非退化 R( A) n A 0；
, Bm 线性表示.
所以 R(C ) R( B ) ． 同理，R(C ) R( A).
R( AB ) min R( A), R( B ) .
© 2009, Henan Polytechnic University §3 矩阵乘积的行列式与秩
1010
第四章 矩阵
推广 如果 A A1 A2
ainbnj , i , j 1,2,
, n.
4 4
第四章 矩阵
所以
c11 c n1 D ( 1) b11
n
c1n 0 cnn 0 b1n 1 bnn
0 0 1
bn1
( 1)n cij ( 1)n cij
从而
aij bij cij ,
其中cij ai 1b1 j ai 2b2 j
aim Bm
n n aik bk 1 , aik bk 2 , k 1 k 1
, aik bks , k 1
n
ci 1 , ci 2 ,
, cis Ci ,
i 1,2,
,n
故 C1 , C2 ,
, C n 可由 B1 , B2 ,
© 2009, Henan Polytechnic University §3 矩阵乘积的行列式与秩
ainbnj , i , j 1,2,
, n.
5 5
第四章 矩阵
推广
A1 , A2 , | A1 A2
, At 为数域 P 上的 n 级方阵，则 At || A1 || A2 | | At | .
, Cn .
则向量组合 ai 1 B1 ai 2 B2
ai 1b11 ai 2b21 aim bm1 ,
aim bms
9 9
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第四章 矩阵
即有 ai 1 B1 ai 2 B2
证： 作一个2n级的行列式
a11 a n1 D 1 a1n 0 ann 0 b11 1 bn1 0 0 b1n bnn
由第二章第六节的例3得
D
a11 a n1
a1n b11 ann bn1
b1n bnn
aij bij
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A 0 且 B 0 A, B 都非退化 .
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8 8
第四章 矩阵
三、矩阵乘积的秩
定理2 设 Anm , Bms 为数域 P上的矩阵，则
R( AB ) min R( A), R( B ) .
证： 令 A (aij )nm , B (bij )ms , AB C (cij )ns . 设 B 的行向量组为 B1 ,
, Bm , C 的行向量组为 C1 , aim Bm
, ai 1b1 s ai 2b2 s
3 3
第四章 矩阵
又对D作初等行变换：
ri ai 1rn1 ai 2rn 2
可得
0 0 D 1 0 c11
ainr2n , i 1,2,
c1n cnn b1n bnn
, n.
0 c n1 b11 1 bn1
这里 cij ai 1b1 j ai 2b2 j
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At ，则 , R( At )}.
R( A) min{ R( A1 ), R( A2 ),
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第四章 矩阵
例1．设A为n级方阵，且 AA E , A 0,
证明： A E 0.