2-5第五节 二次函数与幂函数练习题(2015年高考总复习)

第五节 二次函数与幂函数
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已知幂函数f (x )＝x α
的图象经过点⎝
⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值为( )
A ．16 B.116 C.1
2
D ．2
解析 由已知，得2
2＝2α，即2α＝2
－
12
，∴α＝－1
2.
∴f (x )＝x －
12
.∴f (4)＝4
－
12
＝12.
答案 C
2．函数y ＝x
13
的图象是( )
A. B.
C. D.
解析 由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A 、D ；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C ，从而选B.
答案 B
3．(2013·重庆卷)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.9
2 C ．
3 D.322
解析
(3－a )(a ＋6)＝－a 2－3a ＋18＝
－(a ＋32)2＋814，当a ＝－32时，(3－a )(a ＋6)取得最大值92. 答案 B
4．(2014·陕西榆林期末)设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为( )
A ．1
B ．－1 C.－1－52
D.－1＋5
2
解析 由b >0，排除图象①②；若a >0，则－b
2a <0，排除图象④；
由图象③得⎩
⎪⎨⎪⎧
a <0，
a 2－1＝0，即a ＝－1.故选B.
答案 B
5．(2014·江南十校联考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋4x ，x ≥0，
4x －x 2
，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－1,2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
解析 函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ，x ≥0，
4x －x 2
，x ＜0的图象如图．
知f (x )在R 上为增函数． 故f (2－a 2)＞f (a )，即2－a 2＞a . 解得－2＜a ＜1. 答案 C
6．(2013·安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 由二次函数的图象和性质知f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增只需f (x )的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1
a <0，
整理得a ≤0，而当a ≤0时结合图象可知f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故a ≤0是f (x )在(0，＋∞)上单调递增的充要条件．故选C.
答案 C
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2014·西城模拟)若二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (a )≤f (0)<f (1)，则实数a 的取值范围是________．
解析 由题意知，抛物线f (x )开口向下，对称轴为x ＝2，又f (0)＝f (4)，∴a ≤0或a ≥4.
答案 (－∞，0]∪[4，＋∞)
8．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－2,0)，B (4，0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________．
解析 设y ＝a (x ＋2)(x －4)，对称轴为x ＝1， 当x ＝1时，y max ＝－9a ＝9，∴a ＝－1， ∴y ＝－(x ＋2)(x －4)＝－x 2＋2x ＋8. 答案 y ＝－x 2＋2x ＋8
9．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1
x (x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．
解析 设P (t ，1t )，其中t >0，P A 2＝(t －a )2＋(1t －a )2＝t 2＋1
t 2－2a (t ＋1t )＋2a 2，即P A 2＝(t ＋1t )2－2a (t ＋1t )＋2a 2－2，令m ＝t ＋1
t ≥2，所以P A 2＝m 2－2am ＋2a 2－2＝(m －a )2＋a 2－2，当P A 取得最小值时，
⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，22－4a ＋2a 2－2＝(22)2，或⎩⎪⎨⎪⎧
a >2，a 2－2＝(22)2，
解得a ＝－1或a ＝10.
答案 －1 10
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．(2014·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3， (1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；
(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－3
2∈[－2,3]，
∴f (x )min ＝f (－32)＝94－92－3＝－21
4， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为[－21
4，15]． (2)对称轴为x ＝－2a －1
2. ①当－2a －12≤1，即a ≥－1
2时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，
∴6a ＋3＝1，即a ＝－1
3满足题意； ②当－2a －12>1，即a <－1
2时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，
∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知a ＝－1
3或－1.
11．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.
(1)求f (x )在[0,1]内的值域；
(2)c 为何值时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立．
解 由题意，得x ＝－3和x ＝2是函数f (x )的零点，且a <0，
则⎩⎪⎨⎪⎧
0＝a ×(－3)2
＋(b －8)×(－3)－a －ab ，0＝a ×22
＋(b －8)×2－a －ab .
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－3，
b ＝5.
∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.
(1)由图象知，函数在[0,1]内单调递减， ∴当x ＝0时，y ＝18；当x ＝1时，y ＝12. ∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c .
∵g (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
56，＋∞上单调递减，要使g (x )≤0在[1,4]上恒成立，
则需要g (1)≤0.
即－3＋5＋c ≤0，解得c ≤－2.
∴当c ≤－2时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立． 12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．
(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
f (x ) (x ＞0)，
－f (x ) (x ＜0).
求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，求b 的取值
范围．
解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b
2a ＝－1. 解得a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝(x ＋1)2，
∴F (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(x ＋1)2
(x ＞0)，
－(x ＋1)2
(x ＜0). ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立，1x －x 的最小值为0，－1
x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.。