2022数学第二章函数导数及其应用第六节幂函数二次函数课时规范练文含解析
第二章二次函数复习课课课练及答案(pdf版)
复㊀习㊀课㊀开心预习梳理,轻松搞定基础.二次函数二次函数所描述的关系实际问题情境二次函数的定义用多种方式进行表示二次函数的图象㊀㊀㊀㊀㊀㊀y＝a x２,y＝a x２＋c,y＝a(x－h)２y＝a(x－h)２＋k,y＝a x２＋b x＋c二次函数的对称轴和顶点坐标公式用二次函数解决实际问题在实际问题中列函数表达式,函数求值的应用最大利润问题最大面积问题一元二次方程与二次函数一元二次方程与二次函数的关系利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值㊀重难疑点,一网打尽.１．二次函数y＝－３x２＋６x＋９的图象的开口方向㊀㊀㊀㊀,它与y轴的交点坐标是㊀㊀㊀㊀．２．已知抛物线y＝－２(x＋１)２－３,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是㊀㊀㊀㊀．３．将抛物线y＝x２向左平移４个单位后,再向下平移２个单位,则此时抛物线的解析式是㊀㊀㊀㊀．４．一个函数有下列性质:①它的图象不经过第四象限;②图象经过点(１,２);③当x＞１时,函数值y随自变量x的增大而增大．满足上述三条性质的二次函数的解析式可以是㊀㊀㊀㊀．(只要求写出一个)５．二次函数y＝a x２＋b x＋c的图象如图所示,则一次函数y＝b x＋a的图象不经过(㊀㊀)．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(第５题)㊀㊀㊀㊀(第６题)６．二次函数y ＝－x ２＋b x ＋c 的图象如图所示,下列几个结论:①对称轴为x ＝２;②当y ɤ０时,x ＜０或x ＞４;③函数解析式为y ＝－x (x －４);④当x ɤ０时,y 随x 的增大而增大．其中正确的结论有(㊀㊀)．A．①②③④B ．①②③C ．①③④D．①③７．已知抛物线y ＝４x ２－１１x －３．求:(１)它的对称轴;(２)它与x 轴,y 轴的交点坐标．８．已知抛物线y ＝a x ２＋６x －８与直线y ＝－３x 相交于点A (１,m )．(１)求抛物线的解析式;(２)请问(１)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y ＝a x２的图象?(第９题)㊀源于教材,宽于教材,举一反三显身手.９．如图所示,抛物线y ＝x ２＋b x ＋c 与x 轴交于A ㊁B 两点,与y 轴交于点C ,øO B C ＝４５ʎ,则下列各式成立的是(㊀㊀)．A．b －c －１＝０B ．b ＋c －１＝０C ．b －c ＋１＝０D．b ＋c ＋１＝０１０．定义[a ,b ,c ]为函数y ＝a x ２＋b x ＋c 的特征数,下面给出特征数为[２m ,１－m ,－１－m ]的函数的一些结论:①当m ＝－３时,函数图象的顶点坐标是１３,８３æèçöø÷;②当m ＞０时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于３２;③当m ＜０时,函数在x ＞１４时,y 随x 的增大而减小;④当m ʂ０时,函数图象经过同一个点．其中正确的结论有(㊀㊀)．A．①②③④B ．①②④C ．①③④D．②④１１．现有A㊁B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字１,２,３,４,５,６)．用小莉掷A立方体朝上的数字为x㊁小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P(x,y),则他们各掷一次小立方体所确定的点P落在抛物线y＝－x２＋４x上的概率为(㊀㊀)．A．１１８B．１１２C．１９D．１６１２．二次函数y＝a x２＋b x＋c的图象如图所示,则一次函数y＝b x－a c与反比例函数y＝a－b＋cx在同一坐标系内的图象大致为(㊀㊀)．㊀(第１２题)１３．已知二次函数y＝－x２＋４x．(１)用配方法把该函数化为y＝a(x－h)２＋k(其中a,h,k都是常数且aʂ０)的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标;(２)求函数图象与x轴的交点坐标．１４．我区某工艺厂为迎接建国６０周年,设计了一款成本为２０元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查,其中工艺品的销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示关系．(１)请根据图象直接写出当销售单价定为３０元和４０元时相应的日销售量; (２)①试求出y与x之间的函数关系式;②若物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过４５元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润＝销售总价－成本总价)(第１４题)ʑ㊀把抛物线y ＝－x ２＋６x －８向左平移３个单位长度得到y ＝－x ２＋１的图象,再把y ＝－x ２＋１的图象向下平移１个单位长度得到y ＝－x ２的图象．９．D ㊀１０．B ㊀１１．B ㊀１２．B １３．(１)y ＝－x２＋４x ＝－(x ２－４x ＋４－４)＝－(x －２)２＋４,所以对称轴为x ＝２,顶点坐标为(２,４);(２)y ＝０,－x ２＋４x ＝０,即x (x －４)＝０,所以x １＝０,x ２＝４,所以图象与x 轴的交点坐标为(０,０)与(４,０)．１４．(１)５００㊀４００(２)①y ＝－１０x ＋８００②销售价定为４５元/件时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大,最大利润为８７５０元．复㊀习㊀课１．向下㊀(０,９)㊀２．x ＞－１３．y ＝(x ＋４)２－２(或y ＝x ２＋８x ＋１４)４．y ＝(x －１)２＋２(答案不唯一)５．D ㊀６．C ７．(１)x ＝１１８(２)与x 轴的交点坐标为(３,０)㊁－１４,０(),与y 轴的交点坐标为(０,－３)８．(１)ȵ㊀点A (１,m )在直线y ＝－３x 上,ʑ㊀m ＝－３ˑ１＝－３．把x ＝１,y ＝－３代入y ＝a x ２＋６x －８,得a ＋６－８＝－３．求得a ＝－１．则抛物线的解析式是y ＝－x ２＋６x －８．(２)ȵ㊀y ＝－x２＋６x －８＝－(x －３)２＋１．ʑ㊀顶点坐标为(３,１)．。
2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节幂函数二次函数课时规范练含解析文北师大版202
第二章 函数、导数及其应用第六节 幂函数、二次函数课时规范练 A 组——基础对点练1．幂函数y ＝f (x )的图像经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得：33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增． 答案：C2．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223＞b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223＜c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b ＜a ＜c . 答案：D3．若存在非零的实数a ，使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立，则函数f (x )可能是( ) A ．f (x )＝x 2－2x ＋1 B ．f (x )＝x 2－1 C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝2x ＋1解析：由存在非零的实数a ，使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立，可得函数图像的对称轴为x ＝a2≠0，只有f (x )＝x 2－2x ＋1满足题意，而f (x )＝x 2－1；f (x )＝2x ；f (x )＝2x ＋1都不满足题意，故选A. 答案：A4．若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图像如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1＜m ＜0＜n ＜1B ．－1＜n ＜0＜mC ．－1＜m ＜0＜nD ．－1＜n ＜0＜m ＜1解析：幂函数y ＝x α，当α＞0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0＜α＜1时，图像上凸，∴0＜m ＜1；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x ＝2，根据图像可得2－1＜2n ， ∴－1＜n ＜0，综上所述，故选D. 答案：D5．命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜0或a ≥3 B ．a ≤0或a ≥3 C ．a ＜0或a ＞3D ．0＜a ＜3解析：若ax 2－2ax ＋3＞0恒成立，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4a 2－12a ＜0，可得0≤a ＜3，故当命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是假命题时，a ＜0或a ≥3. 答案：A6．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像是( )解析：∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．故选D. 答案：D7．已知命题p ：存在n ∈R ，使得f (x )＝nxn 2＋2n 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2>3x ”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋2<3x ”．则下列命题为真命题的是( ) A ．p 且qB ．(非p )且qC ．p 且(非q )D ．(非p )且(非q )答案：C8．已知0<m <n <1，且1<a <b ，下列各式中一定成立的是( ) A ．b m >a n B ．b m <a n C ．m b >n aD ．m b <n a解析：∵f (x )＝x a (a >1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且0<m <n <1，∴m a <n a ，又∵g (x )＝m x (0<m <1)在R 上为单调递减函数，且1<a <b ，∴m b <m a . 综上，m b <n a ，故选D. 答案：D9．若x ＞1，x a －1＜1，则a 的取值范围是________． 解析：因为x ＞1，x a －1＜1，所以a －1＜0，解得a ＜1. 答案：(－∞，1)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤4成立的x 的取值范围是________．解析：f (x )的图像如图所示，要使f (x )≤4，只需x 13≤4，∴x ≤64. 答案：(－∞，64]B 组——素养提升练11．有四个幂函数：①f (x )＝x －1；②f (x )＝x －2； ③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 13.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④解析：f (x )＝x－1只满足(2)；f (x )＝x 3只满足(3)；f (x )＝x 13只满足(3)．f (x )＝x －2是偶函数，在(－∞，0)上是增函数，但是其值域是{y |y ＞0}．故选B.答案：B12．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是( ) A ．[0，4] B ．⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ D ．⎣⎡⎦⎤32，3解析：如图，二次函数图像的对称轴为x ＝32，则f ⎝⎛⎭⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图像得m ∈⎣⎡⎦⎤32，3. 答案：D13．已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，a ＝(cos α)cos α，b ＝(sin α)cos α，c ＝(cos α)sin α，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以0＜cos α＜22，cos α＜sin α，根据幂函数的性质，可得(sin α)cos α＞(cos α)cos α，根据指数函数的性质，可得(cos α)cos α＞(cos α)sin α， 所以c ＜a ＜b ，故选D. 答案：D14．(2020·保定模拟)已知函数f (x )既是二次函数又是幂函数，函数g (x )是R 上的奇函数，函数h (x )＝g （x ）f （x ）＋1＋1，则h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝( ) A ．0 B ．1 C ．4 036D ．4 037解析：因为函数f (x )既是二次函数又是幂函数， 所以f (x )＝x 2，所以h (x )＝g （x ）x 2＋1＋1，因为g (x )是R 上的奇函数，所以h (x )＋h (－x )＝g （x ）x 2＋1＋1＋g （－x ）x 2＋1＋1＝2，h (0)＝g （0）0＋1＋1＝1，因此h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝2 018×2＋1＝4 037，选D. 答案：D15．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图像的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0，2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ，而f (x )在[2，＋∞)上为减函数，由f (a )≥f (0)得f (a )≥f (4)，∴a ≤4，综上有0≤a ≤4. 答案：[0，4]16．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对任意x 1∈[0，1]，存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的最小值是________．解析：由题意可得，原不等式转化为f (x )min ≥g (x )min ，显然，f (x )在区间[0，1]上是单调递增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝－1，当a ＜1时，g (x )min ＝g (1)＝5－2a ≤－1，解得a ≥3，与a ＜1矛盾，舍去， 当a ＞2时，g (x )min ＝g (2)＝8－4a ≤－1，解得a ≥94，所以a ≥94，当1≤a ≤2时，g (x )min ＝g (a )＝4－a 2≤－1， 解得5≤a 或a ≤－5，与1≤a ≤2矛盾，舍去． 综上所述，a ≥94，所以实数a 的最小值是94.答案：94附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
2022年必考点解析北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合练习试题(含解析)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、将抛物线21y x =-向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ）A ．2(3)2y x =++B ．2(2)2y x =++C ．2(2)1y x =++D ．2(2)2y x =-+2、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，关于a ，c 的符号判断正确的是（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＞0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＜0，c ＜0 3、抛物线()2212y x =--+的对称轴是直线（ ）A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x =4、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b c -+<C ．420a b c -+>D ．2b a >5、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．等边三角形B ．双曲线C ．抛物线D ．平行四边形 6、对于题目“抛物线1l ：()()21414y x x =---<≤与直线2l ：y m =只有一个交点，则整数m 的值有几个”；你认为m 的值有（ ）A ．3个B ．5个C ．6个D ．7个7、抛物线y ＝（x +2）2+1可由抛物线y ＝x 2平移得到，下列平移正确的是（ ）A ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位8、已知二次函数2y ax bx c =++中的y 与x 的部分对应值如下表所示．根据表中的信息，给出下列四个结论：①抛物线的对称轴是直线1x =；②抛物线的顶点坐标是(13),；③当3x =时，y 的值为3-；④若点1(2)A y -,，点2(3)B y -,两个点都在抛物线上，则12y y >．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9、二次函数y ＝2（x ﹣2）2﹣4的最小值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．4 10、把函数2y x 的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的图象解析式为（ ）A ．()221y x =--B ．()221y x =+- C ．()212y x =-+ D ．()212y x =-- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、二次函数21y x x =---的图像有最______点．（填“高”或“低”）2、抛出的一小球飞行的高度y 与飞行时间x 之间满足：224293y x x =-++，则该小球第2秒时的高度与第_______秒时的高度相同．3、抛物线2y ax =经过点(1,2)-，那么这个抛物线的开口向______．4、若二次函数24y x bx =++配方后为2(1)y x k =-+，则b ＝_______， k ＝_______．5、抛物线22(1)5y x =-+的顶点坐标是________，图象的开口方向是________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的对称轴与x 轴相交于点H ，连接AC ，BC ．△ABC 绕点B 顺时针旋转一定角度后落在第一象限，当点C 的对应点C 1落在抛物线的对称轴上时，求此时点A 的对应点A 1的坐标；（3）如图2，过点C 作CE x ∥轴交抛物线于点E ，已知点D 在抛物线上且横坐标为72，在y 轴左侧的抛物线上有一点P ，满足∠PDC ＝∠EDC ，求点P 的坐标．2、小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值．（1）求该二次函数的表达式；（2）该二次函数的图象与直线y n =有两个交点A ，B ，若6AB >，直接写出n 的取值范围．3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++过点1,0A ，()0,3C -．（1）求这条抛物线的解析式；（2）当3y≥-时，x的取值范围是______．4、已知抛物线y12=-x2+mx+m12+与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，52-），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y12=-x2+mx+m12+在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．5、一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元()1060m≤≤，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．-参考答案-一、单选题1、B【分析】直接根据平移规律作答即可．【详解】解：将抛物线21y x =-向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后所得抛物线解析式为2(2)13y x =+-+，即2(2)2y x =++；故选：B ．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．2、B【分析】根据开口方向可得a 的符号，根据对称轴在y 轴的哪侧可得b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点可得c 的符号．【详解】 解：抛物线开口向上，0a ∴>，抛物线的对称轴在y 轴的左侧，0b ∴>，抛物线与y 轴交于负半轴，0c ∴<．故选：B ．【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线的开口向上，0a >；对称轴在y 轴左侧，a ，b 同号；抛物线与y 轴的交点即为c 的值．3、B【分析】由题意根据题干中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，进行分析即可得出答案．【详解】抛物线()2212y x =--+的对称轴是直线1x =，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质进行分析解答．4、D【分析】由抛物线开口向下，得到a 小于0，再由对称轴在y 轴左侧，得到a 与b 同号，可得出b ＜0，又抛物线与y 轴交于正半轴，得到c 大于0，可判断选项A ；由x =-1时，对应的函数值大于0，可判断选项B ；由x =-2时对应的函数值小于0，可判断选项C ；由对称轴大于-1，利用对称轴公式得到b ＞2a ，可判断选项D ．【详解】解：由抛物线的开口向下，得到a ＜0，∵-2b a＜0， ∴b ＜0，由抛物线与y 轴交于正半轴，得到c ＞0，∴abc ＞0，故选项A 错误；∵x =-1时，对应的函数值大于0，∴a -b +c ＞0，故选项B 错误；∵x =-2时对应的函数值小于0，∴4a -2b +c ＜0，故选项C 错误；∵对称轴大于-1，且小于0，∴0＞-2b a＞-1，即0＞b ＞2a ，故选项D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；此外还要注意x =1，-1，2及-2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．5、B【分析】根据“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形”及“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”，结合二次函数的图象及反比例函数的图象，进而问题可求解．【详解】解：A 、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B 、双曲线是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；C 、抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D 、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查轴对称图形、中心对称图形及二次函数的图象、反比例函数的图象，熟练掌握轴对称图形、中心对称图形及二次函数的图象、反比例函数的图象是解题的关键．6、D【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可．【详解】解：由抛物线1l ：()()21414y x x =---<≤可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，－4），如图，当x =－1时，y =0，当x =4时，y =5，∵抛物线与直线y=m 只有一个交点，∴0≤m ≤5或m =－4，∴整数m =0或1或2或3或4或5或－4，即整数m 的值有7个，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．7、C【分析】根据平移的规律“左加右减，上加下减”，将y ＝x 2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y ＝（x +2）2+1，即可求得答案【详解】解：根据题意将y ＝x 2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y ＝（x +2）2+1，故选C【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，理解题意弄清是谁平移到谁．8、C【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列三元一次方程组并求解，即可得到二次函数解析式；根据二次函数图像的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】根据题意，得：513a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩∴241a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴22241y ax bx c x x =++=-++∴抛物线的对称轴是直线12b x a=-=，故①正确； 当1x =时，抛物线取最大值3y =∴抛物线的顶点坐标是(13),，即②正确；当3x =时，y 的值为2234315-⨯+⨯+=-，故③错误；∵0a <，抛物线的对称轴是直线1x =∴1x <时，y 随x 的增大而增大∵23->-∴12y y >，即④正确故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数、三元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．9、C【分析】对于二次函数20,y a x h k a 当0,a > 函数图象的开口向上，函数有最小值，当x h =时，最小值为,y k 根据性质直接可得答案.【详解】解：由二次函数y ＝2（x ﹣2）2﹣4可得：20,a 函数图象的开口向上，函数有最小值，当2x =时，4,y 最小值故选C本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，理解图象的开口向上，函数有最小值及求解最小值是解本题的关键.10、A【分析】根据函数图象平移变换关系进行求解即可．【详解】把函数2y x 的图象向右平移2个单位、再向下平移1个单位后的解析式为()221y x =-- 故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式二、填空题1、高【分析】根据二次函数图象的开口即可解答．【详解】解：∵二次函数21y x x =--- ∴二次函数21y x x =---的图象开口向下∴二次函数21y x x =---的图像有最高点．故答案是高．本题主要考查了二次函数的性质，对于y =ax 2+bx +c （a ≠0），当a ＞0，函数图象开口方向向上，函数图象开口方向向下．2、4【分析】根据题意求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得答案【详解】 解：224293y x x =-++的对称轴为：4332229b x a =-=-=-⨯ ∴第2秒时的高度与第4秒时的高度相同故答案为：4【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的对称性，求得对称轴是解题的关键．3、下【分析】把点(1,2)-代入2y ax =，可得2a =- ，即可求解．【详解】解：∵抛物线2y ax =经过点(1,2)-，∴2a =- ，∵20-< ，∴这个抛物线的开口向下．故答案为：下【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数()20y ax a =≠的图象和性质是解题的关键．4、-2 3【分析】先把顶点式化为一般式得到y ＝x 2−2x ＋1＋k ，然后把两个一般式比较可得到b ＝−2，1＋k ＝4，由此即可得到答案．【详解】解：∵y ＝（x −1）2＋k ＝x 2−2x ＋1＋k ，∴b ＝−2，1＋k ＝4，解得k ＝3，5、（1，5） 开口向上【分析】由题意根据二次函数y =a （x -h ）2+k 的图象的开口方向由a 决定，a ＞0时开口向上；a ＜0时开口向下以及对称轴为直线x =h 和顶点坐标（h ，k ），进行分析即可．【详解】解：∵a =2＞0，∴抛物线开口向上，∵顶点坐标（h ，k ），∴顶点坐标（1，5）.故答案为：（1，5），开口向上.【点睛】本题考查二次函数的性质，注意掌握抛物线顶点式y =a （x -h ）2+k （0a ≠）与顶点坐标（h ，k ）．三、解答题1、（1）224233y x x =--；（2）（3，4）；（3）（67-，1849-） 【分析】（1）把A （－1，0），B （3，0）代入抛物线解析式利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；（2）如图，先求解C （0，－2），对称轴为直线1x =，可得BH ＝CO ＝2结合旋转得BC 1＝BC ，证明RT △BC 1H ≌RT △CBO （HL ），再证明旋转角∠A 1BA ＝∠C 1BC ＝90°，从而可得答案；（3）先求解D （72，32），E （2，－2），如图，过点D 作DG ⊥CE 交CE 的延长线于点G ，证明CG ＝DG ＝72，可得∠ECD ＝∠GDC ＝45° ，如图，在CD 的上方作∠PDC ＝∠EDC 交y 轴于点Q ，交抛物线于点P ，证明△QCD ≌△ECD ，可得QC ＝EC ＝2，可得Q （0，0），再求解直线DQ 的解析式为37y x =，联立23724233y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ ，再解方程组可得答案. 【详解】解：（1）将A （－1，0），B （3，0）代入抛物线解析式得209320a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为224233y x x =-- （2）∵抛物线的解析式为224233y x x =--，A （－1，0），B （3，0） ∴C （0，－2），对称轴为直线431223x∴BH ＝CO ＝2由旋转得BC 1＝BC则RT △BC 1H ≌RT △CBO （HL ）∴∠C 1BH ＝∠BCO∴∠C 1BC ＝∠C 1BH ＋∠OBC ＝∠BCO ＋∠OBC ＝90°∴旋转角∠A 1BA ＝∠C 1BC ＝90°，即A 1B ⊥x 轴A1B ＝BA ＝4，B （3，0）∴A 1（3，4）（3）抛物线的解析式为224233y x x =--，D 的横坐标为72 当x ＝72时，y ＝32，则D （72，32） ∵CE x ∥轴，C （0，－2），对称轴为直线x ＝1∴E （2，－2）如图，过点D 作DG ⊥CE 交CE 的延长线于点G ，372,22DG ∴ CG ＝DG ＝72， ∴∠ECD ＝∠GDC ＝45°如图，在CD 的上方作∠PDC ＝∠EDC 交y 轴于点Q ，交抛物线于点P∵CE x ∥轴 ，∴∠QCE ＝90°∴∠QCD ＝∠ECD ＝45°∵CD ＝CD ，∴△QCD ≌△ECD （ASA ）∴QC ＝EC ＝2，∵C （0，－2），∴Q （0，0） ∵D （72，32）， 设直线:,DQ y mx 73,22m 解得：3,7m ∴直线DQ 的解析式为37y x =则23724233y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ ， 消去y 得：21437420,x x 27760,x x 解得：1276,,27x x当172x =时，13,2y 当267x =-时，218,49y 所以方程组的解为：7232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或671849x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴618,.749P 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，求解一次函数与二次函数的交点坐标，作出适当的辅助线构建全等三角形，再利用全等三角形的性质证明相等的线段，再得到点的坐标是解本题的关键.2、（1）y =-（x +1）2+4；（2）n <-5．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x =-1，顶点坐标为（-1，4），则可设顶点式y =a （x +1）2+4，然后把（1，0）代入求出a 即可；（2）根据抛物线与一次函数有公共点，联系根的判别式求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线经过点（-2，3），（0，3），（-1，4），∴抛物线的对称轴为直线x =202-+=-1，顶点坐标为（-1，4）， 设抛物线解析式为y =a （x +1）2+4，把（1，0）代入得a （1+1）2+4=0，解得a =-1，∴抛物线解析式为y =-（x +1）2+4；（2）∵二次函数的图象与直线y n =有两个交点，∴-（x +1）2+4=n ，即2230x x n --+-=，∴△=2(2)4(3)0n -+->，解得n <4，∴n 的取值范围为n <4，∵AB =，，解得n <-5，综上n 的取值范围为n <-5．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3、（1）223y x x =+-；（2）2x -≤或0x ≥【分析】（1）把(1,0)A ，(0,3)C -代入2y x bx c =++中求出b ，c ，即可得出答案；（2）由二次函数的图像与性质即可得出答案．【详解】（1）把()1,0A ，(0,3)C -分别代入2y x bx c =++，得103b c c ++=⎧⎨=-⎩， 解得：23b c =⎧⎨=-⎩， ∴223y x x =+-；（2）令3y =-得：2233x x +-=-，解得：2x =-或0x =，∵10a =>，∴223y x x =+-开口向上，∴当3y ≥-时，2x -≤或0x ≥．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握待定系数法求解析式以及二次函数的性质是解题的关键．4、（1）215322y x x =---；（2）当515,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PAC S 取得的最大值，最大值为12516；（3）1815n -≤≤-或2n = 【分析】（1）将点C （0，52-）代入抛物线解析式直接求解即可； （2）先求出A 点坐标，以及直线AC 的解析式，再过P 点作PQ ⊥x 轴，交AC 于Q 点，通过设P 、Q 两点的坐标，建立出关于PAC S的二次函数表达式，然后结合二次函数的性质求出其最值，并求出此时对应的P 点坐标即可；（3）先根据题意画出基本图像G ，然后结合平移的性质确定B 点的运动轨迹，以及其直线解析式，根据题目要求和平移的性质可以确定点B 平移至恰好在PC 上时，以及图象G 与直线AC 的交点R ，经过平移至C 点时，满足要求，应注意，当A 点平移后经过C 点时，此时也可满足图象M 与PC 仅有一个交点，即为C 点，此情况应单独求解．【详解】解：（1）将点C （0，52-）代入抛物线解析式得： 1522m +=-，解得：3m =-， ∴抛物线解析式为：215322y x x =---；（2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点， ∴令2150322x x =---，解得：15x =-，21x =-，∴A 、B 坐标分别为：()5,0A -，()1,0B -，设直线AC 的解析式为：()0y kx b k =+≠，将()5,0A -和50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得： 5052k b b -+=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AC 的解析式为：1522y x =--， 如图所示，过P 点作PQ ⊥x 轴，交AC 于Q 点，∵P 点在位于直线AC 上方的抛物线上， ∴设215,322P a a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，则15,22Q a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中50a -<<， ∴221515153222222P Q PQ y y a a a a a ⎛⎫=-=------=-- ⎪⎝⎭， ∵()12PAC C A S PQ x x =-， ∴()2211555125052224216PAC S a a a ⎛⎫⎛⎫=--⨯--=-++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， ∵504-<， ∴抛物线开口向下，当52a =-时，PAC S 取得的最大值，最大值为12516， 此时，将52a =-代入抛物线解析式得：158y =， ∴当515,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PAC S 取得的最大值，最大值为12516；（3）如图所示，抛物线y 12=-x 2+mx +m 12+在点A 、B 之间的部分（含点A 、B ）沿x 轴向下翻折，得到图象G ．由（1）可知，原抛物线顶点坐标为()3,2-，∴沿x 轴向下翻折后，图象G 的顶点坐标为()3,2--，图象G 的解析式为：215322y x x =++； ∵图象G 沿着直线AC 平移，∴作直线BS ∥AC ，交PC 于S 点，则随着平移过程，点B 在直线BS 上运动，分如下情况讨论：①当图象G 沿直线AC 平移至B 点恰好经过S 点时，如图中M 1所示，此时，平移后的图象M 恰好与线段PC 有一个交点，即为S 点，由（2）知，515,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，以及直线AC 的解析式为1522y x =--， ∴设直线BS 的解析式为：12y x b =-+， 将()1,0B -代入得：12b =-，∴直线BS 的解析式为：1122y x =--；设直线PC 的解析式为：()0y kx b k =+≠，将515,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得： 5152852k b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：7452k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线PC 的解析式为：7542y x =--； 联立11227542y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得：85310x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即：S 点的坐标为83,510S ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴此时点()1,0B -平移至83,510S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，等同于向左平移35个单位，向上平移310个单位， 即：当平移后的图象M 与线段PC 恰好仅有一个交点时，可由原图像G 向左平移35个单位，向上平移310个单位， ∵原图像G 的顶点坐标为：()3,2--，∴平移后图象M 1的顶点的横坐标318355n =--=-； ②当图象G 沿直线AC 平移至恰好经过C 点时，如图中M 2所示，设图象G 与直线AC 的交点为R ， 联立2153221522y x x y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得：50x y =-⎧⎨=⎩或232x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴点R 的坐标为：32,2R ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由32,2R ⎛⎫-- ⎪⎝⎭平移至50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，等同于向右平移2个单位，向下平移1个单位，∴当平移后的图象M 与线段PC 恰好仅有一个交点时，可由原图像G 向右平移2个单位，向下平移1各单位，∵原图像G 的顶点坐标为：()3,2--，∴平移后图象M 2的顶点的横坐标321n =-+=-；∴当图象G 在M 1和M 2之间平移时，均能满足与线段PC 有且仅有一个交点，此时，图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：1815n -≤≤-； ③当图象G 沿直线AC 平移至A 点恰好经过C 点时，如图中M 3所示，此时，由()5,0A -平移至50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，等同于向右平移5个单位，向下平移52个单位， 即：原图像G 向右平移5个单位，向下平移52个单位，得到图象M 3， ∵原图像G 的顶点坐标为：()3,2--，∴平移后图象M 3的顶点的横坐标352n =-+=；综上所述，当新的图象M 与线段PC 只有一个交点时，图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：1815n -≤≤-或2n =．【点睛】本题考查二次函数综合问题，包括图象的翻折变换和平移变换等，掌握二次函数的基本性质，翻折和平移变换的性质，以及准确分类讨论是解题关键．5、（1）5012000y x =-+；（2）这一周该商场的最大利润为540000元，售价为120元；（3）2960m <≤【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x 的不等式组，求得x 的取值范围，再设利润为w 元，由w =（x -30）y ，列出w 关于x 的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；（3）根据题意列出利润w 关于售价x 的函数解析式，再根据函数的性质，列出m 的不等式进行解答便可．【详解】解：（1）设y 与x 的函数关系式为：y =kx +b （k ≠0），把x =40，y =10000和x =50，y =9500代入得，4010000509500k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得，5012000k b =-⎧⎨=⎩， ∴y=-50x +12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，3015050120006000x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩， 解得，30≤x ≤120，设利润为w 元，根据题意得，w =（x -30）y =（x -30）（-50x +12000）=-50x 2+13500x -360000=-50（x -135）2+551250，∴对称轴为直线x =135，∵-50＜0，∴当x ＜135时，w 随x 的增大而增大，∵30≤x≤120，且x为正整数∴当x=120时，w取最大值为：-50×（120-135）2+551250=540000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元；（3）根据题意得，w=（x-30-m）（-50x+12000）=-50x2+（13500+50m）x-360000-12000m，∴对称轴为x=-1350050100m+-=135+0.5m，∵-50＜0，∴当x＜135+0.5m时，w随x的增大而增大，∵该商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．对称轴x=135+0.5m，m大于等于10，则对称轴大于等于140，由于x取整数，实际上x是二次函数的离散整数点，只需保证x=150时利润大于x=149时即可满足要求，所以对称轴要大于149.5就可以了，故135+0.5m＞149.5，解得m＞29，∵10≤m≤60，∴29＜m≤60．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．。
2022高三总复习数学 二次函数与幂函数(含解析)
课时过关检测（八）二次函数与幂函数A级——基础达标1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，33)，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C设f(x)＝xα，将点(3，33)代入f(x)＝xα，解得α＝13，所以f(x)＝x13，可知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.2.(2021·青岛模拟)若幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<mC．－1<m<0<nD．－1<n<0<m<1解析：选D对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，∴－1<n<0，综上所述，故选D.3．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0解析：选A由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－b2a＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.4．(2021·山东模拟)已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集为(－1,3)．若对任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，2] B．[4，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，4]解析：选B因为f(x)>0的解集为(－1,3)，所以－2x2＋bx＋c＝0的两个根为－1,3，所以⎩⎨⎧ －c 2＝－1×3，b 2＝－1＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，c ＝6.令g (x )＝f (x )＋m ，则g (x )＝－2x 2＋4x ＋6＋m ＝－2(x －1)2＋8＋m .当x ∈[－1,0]时，g (x )min ＝m ，因为g (x )≥4在[－1,0]上恒成立，所以m ≥4.故选B. 5．(多选)(2021·淄博模拟)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，对任意实数t 都有f (4＋t )＝f (－t )成立，则函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的可能是( )A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)解析：选ACD 因为对任意实数t 都有f (4＋t )＝f (－t )成立，所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴是x ＝2，当a ＞0时，函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的是f (2)；当a ＜0时，函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的是f (－1)和f (5)．6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )A ．在x 轴上截得的线段的长度是2B ．与y 轴交于点(0,3)C ．顶点是(－2，－2)D ．过点(3,0)解析：选ABD 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，－b 2a ＝2，解得b ＝－4a ，c ＝3a ，所以二次函数为y ＝a (x 2－4x ＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选A 、B 、D.7．已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，实数a 等于________． 解析：设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12. 因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15. 答案：158．二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 解析：依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1(a >0)，又其图象过点(0,1)，所以4a －1＝1，所以a＝12，所以f (x )＝12(x －2)2－1＝12x 2－2x ＋1. 答案：f (x )＝12x 2－2x ＋1 9．(2021·山东烟台模拟)若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________.解析：y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162， ∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162＝0， ∴m ＝9或m ＝25.答案：9或2510．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0， 解得－22<m <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－22，0 11．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，又f (0)＝1，所以c ＝1，因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1,1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1,1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立，即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1,1]上恒成立．所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54， 因为g (x )在[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴为x ＝－32∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)∵函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1. B 级——综合应用13．(多选)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2,3)，则函数f (|x |)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1)B ．(－3，－1)C ．(0,1)D ．(1,3)解析：选BC 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1的定义域为(－2,3)，所以函数 f (|x |)满足－2＜|x |＜3，所以－3＜x ＜3.又f (|x |)＝－x 2＋2|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，0≤x ＜3，－x 2－2x ＋1，－3＜x ＜0，且函数y ＝－x 2－2x ＋1的图象的对称轴为直线x ＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f (|x |)的单调递增区间是(－3，－1)和(0,1)．故选B 、C.14．若函数f (x )＝x 2＋a |x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 2＋a |x －2|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a ，x ≥2，x 2－ax ＋2a ，x <2. 又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎨⎧ －a 2≤2，a 2≤0，∴－4≤a ≤0，∴实数a 的取值范围是[－4,0]．答案：[－4,0]15．(2021·山西平遥中学第一次月考)已知二次函数f (x )满足f (x )＝f (－4－x )，f (0)＝3，若x 1，x 2是f (x )的两个零点，且|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的解析式；(2)若x >0，求g (x )＝x f (x )的最大值． 解：(1)∵二次函数满足f (x )＝f (－4－x )，∴f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－2，∵x 1，x 2是f (x )的两个零点，且|x 1－x 2|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－3，x 2＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，x 2＝－3.设f (x )＝a (x ＋3)(x ＋1)(a ≠0)．由f (0)＝3a ＝3得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋4x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x f (x )＝x x 2＋4x ＋3＝1x ＋3x ＋4(x >0)， ∵x >0，∴1x ＋3x ＋4≤14＋23＝1－32，当且仅当x ＝3x ，即x ＝3时等号成立． ∴g (x )的最大值是1－32.C 级——迁移创新16．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f (b )－f (a )b －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f (1)－f (－1)1－(－1)＝m ＝f (x 0)， 即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0,2)．答案：(0,2)。
2020届高考数学二轮教师用书：第二章第6节 二次函数与幂函数 Word版含解析
第6节 二次函数与幂函数1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如 y ＝x α 的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质 函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ≠0}奇偶性奇 偶奇非奇非偶奇 单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点 (1,1)2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ ax 2＋bx ＋c (a ≠0) .顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为 (m ，n ) . 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac－b24a单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a上单调递减；在⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a上单调递增；在⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a＞0，Δ＜0.(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a＜0，Δ＜0.[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝2x12是幂函数．()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(3)当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)，x∈[m，n]的最小值一定是4ac－b24a.()(5)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，b2－4ac<0.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×[小题查验]1．(2019·济南市诊断)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k＋α＝()A.12 B ．1 C.32D ．2解析：C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.] 2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：B [图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A ，D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B.]3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝1解析：A [函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象的对称轴为x ＝－m2，且只有一条对称轴，所以－m2＝1，即m ＝－2.] 4．二次函数的图象与x 轴只有一个公共点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0,3)．则它的解析式为 __________ .答案：y ＝13x 2－2x ＋35．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为 ________ .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合． 答案：1或2考点一 幂函数的图象与性质(自主练透)[题组集训]1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：C [令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.]2．(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b解析：A [因为a ＝423，b ＝425，c ＝2513＝523，函数f (x )＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，所以423<523，又425<423，所以b <a <c .]3．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：B [由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1， 解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B.]4．若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，则实数a 的取值范围是 __________ .解析：不等式(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，321．幂函数的解析式：y ＝x α(α∈R )，其中只有参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．幂函数的图象特征：①在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．②曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．3．幂函数的性质：(1)若α为偶数，则幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数；若α为奇数，则幂函数y ＝x α(α∈R )是奇函数．反之，不成立．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断奇偶性．(2)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.4．幂值大小的比较：结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．考点二 二次函数的图象与性质(多维探究)[命题角度1] 二次函数的图象1．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：D [由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0，从而由abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b2a >0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c >0，所以ab >0，所以x ＝－b2a<0，B 错误．][命题角度2] 二次函数的单调性2．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－14B ．a ≥－14C ．－14≤a <0D ．－14≤a ≤0解析：D [当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综合上述得－14≤a ≤0.][命题角度3] 二次函数的最值直观想象——数形结合思想与分类讨论思想在二次函数问题中的应用二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b2a为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建立方程求解参数．3．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( ) A.54B ．1或54C ．－1或54D ．－5或54解析：D [f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ，对称轴为x ＝a 2， ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在[0,1]上递增，∴y max ＝f (1)＝－4－a 2，令－4－a 2＝－5，得a ＝±1(舍去)．②当0<a2<1，即0<a <2时，y max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a ， 令－4a ＝－5，得a ＝54.③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]上递减，∴y max ＝f (0)＝－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或－5.故选D.]二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y ＝a (x －m )2＋n 的形式，得顶点(m ，n )和对称轴方程x ＝m ，结合二次函数的图象求解．常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调性，从而确定函数的最值．[命题角度4] 二次函数中恒成立问题4．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为 ________ .解析：由f (x )＞0，即ax 2－2x ＋2＞0，x ∈(1,4)，得a ＞－2x 2＋2x 在(1,4)上恒成立．令g (x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12， 1x ∈⎝⎛⎭⎫14，1，所以g (x )max ＝g (2)＝12， 所以要使f (x )＞0在(1,4)上恒成立，只要a ＞12即可．答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数求解；二是构造函数，数形结合求解．. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .1．(2020·呼和浩特市模拟)已知点⎝⎛⎭⎫a ，18在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( )A ．定义域内的减函数B ．奇函数C ．偶函数D ．定义域内的增函数解析：B [∵点⎝⎛⎭⎫a ，18在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，∴a －1＝1，解得a ＝2，∴2b ＝18，解得b ＝－3， ∴f (x )＝x －3，∴函数f (x )是定义域上的奇函数，且在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数．]2．(2020·唐山市一模)已知a ＝3－23，b ＝2－43，c ＝ln 3，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：D [∵a ＝3－23，b ＝2－43＝4－23，又y ＝x －23在(0，＋∞)上单调递减．∴b ＜a ＜1，又c ＝ln 3＞1，则b ＜a ＜c ，故选D.]3．幂函数y ＝xm 2－4m (m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：C [∵y ＝xm 2－4m (m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点， ∴m 2－4m <0，即0<m <4， 又m ∈Z ，∴m ＝1或2或3 又∵函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－4m 为偶数，因此m ＝2.]4．已知函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]解析：D [当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，满足题意；当a >0时，函数f (x )在对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a <0时，函数f (x )的图象的对称轴为x ＝－a －32a ，∵函数f (x )在区间[－1，＋∞)上单调递减，∴－a －32a≤－1，得－3≤a <0.综上可知，实数a 的取值范围是[－3,0]．]5．(2020·黔东南州一模)二次函数y ＝－x 2－4x (x ＞－2)与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x的交点个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：C [因为二次函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x ＞－2)， 且x ＝－1时，y ＝－x 2－4x ＝3，y ＝⎝⎛⎭⎫12x＝2，则在坐标系中画出y ＝－x 2－4x (x ＞－2)与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象： 由图可得，两个函数图象的交点个数是1个．]6．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于 ________ . 解析：函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得，∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＞4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案：17．已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象与x 轴、y 轴无交点且关于原点对称，则m ＝ ________ .解析：由题意知m 2－2m －3为奇数且m 2－2m －3＜0，由m 2－2m －3＜0得－1＜m ＜3，又m ∈N *，故m ＝1,2.当m ＝1时，m 2－2m －3＝1－2－3＝－4(舍去)． 当m ＝2时，m 2－2m －3＝22－2×2－3＝－3，∴m ＝2. 答案：28．已知二次函数f (x )＝ax 2－2x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则9a ＋1c 的最小值为 ________ .解析：由二次函数f (x )＝ax 2－2x ＋c 的值域为[0，＋∞)， 可得判别式Δ＝4－4ac ＝0， 即有ac ＝1，且a ＞0，c ＞0， 所以9a ＋1c≥29ac＝2×3＝6，当且仅当9a ＝1c ，即有c ＝13，a ＝3，取得最小值6.答案：69．已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x m －1为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )－ax －3在[1,3]上不是单调函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意m 2－5m ＋7＝1，解得m ＝2或m ＝3， 若m ＝2，与f (x )是偶函数矛盾，舍去， 所以m ＝3，所以f (x )＝x 2.(2)g (x )＝f (x )－ax －3＝x 2－ax －3，g (x )的对称轴是x ＝a2，若g (x )在[1,3]上不是单调函数，则1<a2<3，解得2<a <6.10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间． (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]． (2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，即k 的取值范围是(－∞，1)．。
高考数学一轮总复习 第二篇 第6节 二次函数与幂函数课时训练 文(含解析)新人教版
第6节二次函数与幂函数知识点、方法题号二次函数的图象与性质2、4、6求二次函数解析式9二次函数最值问题11、12幂函数的图象与性质1、3、5、13二次函数的综合问题7、8、10、14一、选择题1.(2013河南南阳模拟)设α∈-1,1,,3,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( A )(A)1,3 (B)-1,1 (C)-1,3 (D)-1,1,3解析:α=-1,1,3时幂函数为奇函数,当α=-1时定义域不是R,所以α=1,3.故选A.2.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是( D )解析:∵a>b>c且a+b+c=0,∴a>0,c<0.∴图象可能是D.故选D.3.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( A )(A)a>b>c (B)a>c>b(C)c>a>b (D)b>c>a解析:∵函数y=0.4x在R上是减函数,且0.2<0.6,∴0.40.2>0.40.6,即b>c.又函数y=x0.2在(0,+∞)上是增函数,且2>0.4,∴20.2>0.40.2,即a>b,∴a>b>c.故选A.4.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( A )(A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4)(C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1)解析:∵f(2+t)=f(2-t),∴f(x)关于x=2对称,又开口向上.∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,且f(1)=f(3).∴f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4),故选A.5.如图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( B )(A)①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1(B)①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1(C)①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1(D)①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1解析:结合幂函数性质,对解析式和图象逐一对照知B项正确.故选B.6.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则( B )(A)f(x1)=f(x2)(B)f(x1)<f(x2)(C)f(x1)>f(x2)(D)f(x1)与f(x2)的大小不能确定解析:函数的对称轴为x=-1,设x0=,由0<a<3得到-1<<,又x1<x2,用单调性和离对称轴的远近作判断,故选B.7.设f(x)=|2-x2|,若0<a<b且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是( D )(A)(0,2) (B)(0,)(C)(0,4) (D)(0,2)解析:∵f(a)=f(b),0<a<b,∴a<<b,∴2-a2=b2-2,即a2+b2=4,则(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=8,0<a+b<2,故选D.二、填空题8.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是.解析:x2-ax+2a>0在R上恒成立⇔Δ=a2-8a<0⇔0<a<8.答案:(0,8)9.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .解析:f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2,∵f(x)是偶函数,∴2a+ab=0.①又f(x)的值域为(-∞,4].∴b<0.②=4.③联立①②③解得a2=2,b=-2,∴f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+410.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,则实数k 的取值范围是.解析:令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,由题意得即解得<k<.答案:,11.(2013年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为.解析:设P x,(x>0),则|PA|2=(x-a)2+-a2=x2+-2a x++2a2令x+=t(t≥2),则|PA|2=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2若a≥2,当t=a时,|PA=a2-2=8,解得a=.若a<2,当t=2时,|PA=2a2-4a+2=8,解得a=-1.答案:-1,三、解答题12.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)=求F(2)+F(-2)的值;(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,且-=-1,解得a=1,b=2.∴f(x)=(x+1)2.∴F(x)=∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.(2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立, 即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.又x∈(0,1]时,-x的最小值为0,--x的最大值为-2,∴-2≤b≤0.即b的取值范围是[-2,0].13.已知函数f(x)=x m-且f(4)=.(1)求m的值;(2)判定f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.解:(1)∵f(4)=,∴4m-=,∴m=1.(2)由(1)知f(x)=x-,∴函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.又f(-x)=-x+=-=-f(x).所以函数f(x)是奇函数.(3)函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,证明如下:设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2),因为x1>x2>0,所以x1-x2>0,1+>0.所以f(x1)>f(x2).所以函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.14.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为常数),x∈R,F(x)=(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设m·n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,证明F(m)+F(n)>0.(1)解:∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,a=b-1.又x∈R,f(x)的值域为[0,+∞),∴∴b2-4(b-1)=0,b=2,a=1,∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.∴F(x)=(2)解:g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1,当≥2或≤-2时,即k≥6或k≤-2时,g(x)在[-2,2]上是单调函数.(3)证明:∵f(x)是偶函数,∴f(x)=ax2+1,F(x)=∵m·n<0,不妨设m>n,则n<0,又m+n>0,m>-n>0,∴|m|>|-n|,又a>0,∴F(m)+F(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)>0.。
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 幂函数与二次函数
(2) 二 次 函 数 f(x) 满 足 f(2) ＝ f( － 1) ＝ － 1 ， 且 f(x) 的 最 大 值 是 8 ， 则 f(x) ＝ －__4_x_2_＋__4_x_＋__7_.
解析 方法一 (利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得a－b＋c＝－1，
思维升华
求二次函数解析式的方法
跟踪训练1 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数 f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝_x_2_＋__2_x_＋__1_.
解析 设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a， 由已知f(x)＝ax2＋bx＋1， 所以a＝1，b＝2a＝2，故f(x)＝x2＋2x＋1.
自主演练
2.已知幂函数f(x)＝ n2 2n 2 xn23n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在
(0，＋∞)上单调递减，则n的值为
A.－3 √B.1
C.2
D.1或2
解析 由于f(x)为幂函数， 所以n2＋2n－2＝1， 解得n＝1或n＝－3， 经检验只有n＝1符合题意，故选B.
3.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n 的取值情况为 A.－1<m<0<n<1
课时精练
主干梳理 基础落实
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
知识梳理
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
1
2022数学课时规范练8幂函数与二次函数文含解析新人教A版
课时规范练8 幂函数与二次函数基础巩固组1.幂函数y=f（x)经过点（3,√3），则f（x）是（）A.偶函数，且在(0，+∞）上是增函数B。
偶函数,且在(0,+∞）上是减函数C.奇函数，且在(0,+∞）上是减函数D.非奇非偶函数，且在(0,+∞)上是增函数2。
若函数y=x2—3x-4的定义域为［0，m］，值域为[-25,-4]，则4m的取值范围是（）A.［0,4]B。
[3,4]2C。
[3,+∞)2D.[3,3]23。
二次函数f(x)的图象如图所示，则f(x-1）〉0的解集为（)A.(-2,1）B.（0,3)C.（-1,2]D 。
(—∞，0）∪（3，+∞)4。
（2020广东盐田二模,6）关于x 的方程ax 2+(1-a ）x-1=0，下列结论正确的是（ ） A 。
当a=0时，方程无实数根B.当a=—1时，方程只有一个实数根C.当a=1时，方程有两个不相等的实数根D.当a ≠0时，方程有两个相等的实数根5。
(2020福建三明模拟,理7）已知函数f (x ）=mx 2+（m —3）x+1的图象与x 轴的交点中至少有一个在原点右侧,则实数m 的取值范围是（ ） A 。
［0，1］ B 。
（0，1） C 。
（—∞，1)D 。
(-∞,1］6.已知点（m ，8）在幂函数f （x )=(m-1)x n 的图象上,设a=f ((13)12),b=f （ln π)，c=f (-12),则a ,b ,c 的大小关系为( )A 。
c 〈a<b B.a<b 〈c C 。
b<c 〈a D.b 〈a 〈c7。
(2020江苏南通三模)幂函数f (x ）=x -2的单调递增区间为 。
8.已知函数f（x）为幂函数,且f(4)=1，则当f（a)=4f(a+3）时，2实数a等于。
9.(2020河北唐山模拟,理14）已知二次函数y=f（x)的顶点坐标为-3，49，且方程f（x)=0的两个实根之差等于7，则此二2次函数的解析式是。
2021-2022年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第六节幂函数与二次函数习题理
2021年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第六节幂函数与二次函数习题理[基础达标]一、选择题(每小题5分,共25分)1.若函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)满足f(5)=f(1),则()A.f(4)>f(2)B.f(5)>f(2)C.f(4)>f(1)D.f(0)=f(5)1.C【解析】∵a<0,f(5)=f(1),∴函数f(x)的对称轴为x=3,且开口向下,数形结合得f(4)>f(1).2f(x)=a-x2(1≤x≤2)与g(x)=x+1的图象上存在关于x 轴对称的点,则实数a的取值范围是() A.B.[1,2]C.D.[-1,1]2.D【解析】由题得方程a-x2=-x-1,x∈[1,2]有解,即求函数a=x2-x-1,x∈[1,2]的值域,易求得a∈[-1,1].3.已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则必有()A.f(p+1)>0B.f(p+1)<0C.f(p+1)=0D.f(p+1)的符号不能确定3.A【解析】因为对称轴为x=-,由f(0)>0,可知f(-1)>0,由f(p)<0,数形结合可知f(p+1)>0,即选项A正确.4.(xx·上海静安区期末考试)已知函数f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数m的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,2]C.[-1,2]D.[2,5)4.C【解析】二次函数f(x)=-x2+4x的图象是开口向下的抛物线,最大值为4,且在x=2时取得,而当x=5或-1时,f(x)=-5,结合图象可知m的取值范围是[-1,2].5.(xx·济宁模拟)设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()A.4B.2C.1D.35.D【解析】由f(-4)=f(0),可得-=-2,解得b=4.又由f(-2)=4-8+c=-2,可求得c=2,∴f(x)=又f(x)=x,则当x≤0时,x2+4x+2=x,解得x1=-1,x2=-2.当x>0时,x=2,综上可知关于x的方程f(x)=x的解的个数为3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若函数y=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是.6. 【解析】由题可知①当m=0时符合;②解得0<m≤,综合得0≤m≤.7.(xx·宿迁三校质检)已知函数f(x)=为奇函数,则不等式f(x)<4的解集为.7.(-∞,4)【解析】由题得b=-1,a=-3,所以f(x)=数形结合,令x2-3x=4,解得x=4,x=-1(舍),故不等式f(x)<4的解集为(-∞,4).8.设f(x)=x2-ax-a,若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则a的取值范围是.8.(-∞,-6]∪[2,+∞)【解析】由题得存在实数x,使得f(x)≤-3成立,即只需f(x)min≤-3,从而有-≤-3,解得a≤-6或a≥2.[高考冲关]1.(5分)(xx·湖南师大附中月考)已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a的值为()A.B.C.2 D.91.C【解析】f(0)=20+1=2,f(f(0))=f(2)=22+2a=4+2a,所以4+2a=4a,解得a=2.2.(5分)(xx·湖北黄石二中模拟)若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),f(2-x)=f(x),且当x∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(半径为1),则函数H(x)=|x e x|-f(x)在区间[-3,1]上的零点个数为()A.5B.4C.3D.22.B【解析】由f(-x)=f(x),f(2-x)=f(x)可知函数为偶函数,且f(2-x)=f(x)=f(-x),得T=2,H(x)=|x e x|-f(x)在区间[-3,1]上的零点个数即为f(x)图象与y=e x|x|图象的交点个数,而y=e x|x|=①当x≥0,g(x)=x·e x单调递增,且g(0)=0,g(1)=e>0,其图象与f(x)有一个交点;②当x<0时,g(x)=-x·e x,g'(x)=-(e x+x e x)=-e x(x+1).当x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0,当x∈(-1,0)时,g'(x)<0,所以当x=-1时,g(x)取得极大值且0<g(-1)=e-1<1,作出简图图象,易知g(x)与f(x)有3个交点,因此共有4个交点.3.(5分)(xx·福建莆田一中模拟)定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=,f'(x2)=,则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”.已知函数f(x)=x3-x2+a是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是() A.B.C.D.3.C【解析】由定义可知=a2-a,而f'(x)=3x2-2x,所以题意转化为方程3x2-2x=a2-a在[0,a]上有两解,即方程3x2-2x-a2+a=0在(0,a)内有两解,必须满足解得<a<1.。
2022数学第二章函数2
2。
4幂函数与二次函数必备知识预案自诊知识梳理1。
幂函数（1)幂函数的定义:形如（α∈R）的函数称为幂函数，其中x是,α是。
(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质2。
二次函数(1)二次函数的三种形式一般式：；顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.（2)二次函数的图象和性质1.幂函数y=xα的图象在第一象限的两个重要结论:（1)恒过点（1,1）；（2）当x∈(0,1）时,α越大，函数值越小；当x∈(1,+∞）时,α越大，函数值越大.2.研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）在区间[m,n]（m<n)上的单调性与值域时,分类讨论-b2a与m或n 的大小。
3.设f(x）=ax2+bx+c（a≠0)图象的对称轴为x=m，当a〉0时,若｜x1-m|〉|x2-m|，则f(x1）〉f（x2);当a〈0时，若｜x1-m｜>|x2—m|,则f（x1）<f(x2). 4。
一元二次方程f（x)=x2+px+q=0的实根分布：(1)方程f（x）=0在区间(m，+∞）内有根的充要条件为f(m)<0或{p2-4q≥0,-p2>m;考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=-x2与y=2x12都是幂函数.（）(2）幂函数的图象经过第四象限,当α〉0时,幂函数y=xα是定义域上的增函数.(）(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=-b2a 时,y取得最小值4ac-b24a。
（)（4)幂函数的图象不经过第四象限。
(）(5）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值恒为负的充要条件是{a<0,b2-4ac<0.(）2.如图是①y=x a;②y=x b；③y=x c在第一象限的图象,则a,b,c 的大小关系为(）A.a>b〉cB.a<b<cC。
b<c〈aD.a<c〈b3.（2020湖北荆州质检)若对任意x∈[a，a+2］均有(3x+a）3≤8x3,则实数a的取值范围是（)A。
2022-2023学年人教版九年级数学上册二次函数专题含解析
2022-2023学年人教版九年级数学上册《第22章二次函数》解答综合练习题（附答案）1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：x… ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 …y … ﹣ 0 0 ﹣ …（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出此二次函数的图象；（3）结合图象，直接写出当﹣4≤x ＜0时，y 的取值范围 ．2．已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 经过点（5，），（0，﹣1）．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标．（2）点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）在抛物线上，且x 2＝x 1+3，若y 1，y 2始终小于0，求x 1的取值范围．3．如图，已知抛物线过A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（3，0），且3AB ＝4OC ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的关系式，并求出这个二次函数的最大值．4．平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝a 2+bx +c 的顶点为（，﹣），它的图象与x 轴交于点A ，B ，AB ＝5，交y 轴于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）当﹣1≤x＜5时，写出该二次函数y的取值范围；（3）将抛物线向上平移m个单位长度，当抛物线与坐标轴有且只有2个公共点，求m 的值；（4）对于这个二次函数，若自变量x的值增加4时，对应的函数值y增大，求满足题意的自变量x的取值范围．5．已知：二次函数y＝x2﹣（a+3）x+a+2（a为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点（非原点），求a的值；（2）若该函数图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，x1＜x2，与y轴相交于点C（0，c），c＞0，且满足x12+x22﹣x1x2＝7．①求抛物线的解析式；②在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△P AC是以AC为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．6．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且与y轴交于D点．（1）当点B、D都在坐标系的正半轴，且△BOD为等腰三角形，求二次函数解析式；（2）当m＝﹣2时，将函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象Ω．当直线y＝2x+n与图象Ω仅有两个公共点时，求实数n的取值范围．7．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象经过怎样的一次平移，可使平移后所得图象与坐标轴只有两个交点？8．已知二次函数y＝x2+mx+n（m，n为常数）．（1）若m＝﹣2，n＝﹣4，求二次函数的最小值；（2）若n＝3，该二次函数的图象与直线y＝1只有一个公共点，求m的值；（3）若n＝m2，且3m+4＜0，当x满足m≤x≤m+2时，y有最小值13，求此二次函数的解析式．9．直线y＝﹣x﹣1与抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点和另一点D，抛物线交y轴于C 点，且CD∥x轴，求抛物线解析式．10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣m交x轴于点B，交y轴于点C，且OA＝OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第三象限抛物线上一点，连接BP、PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点C作CD∥x轴交BP的延长线于点D，连接AD，若∠ADB+∠DCB＝180°，求t的值．11．已知二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值为2，求二次函数的解析式．12．已知：二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）．（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；（2）设点M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．13．抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，已知OA＝2OB＝2OC＝4．（1）求抛物线解析式：（2）若腰长为4的等腰直角三角形BDE的一直角边在x轴上，请问抛物线平移后能否同时经过D，E两点？若能，请说明平移方式；若不能，请说明理由．14．抛物线y＝ax2﹣2ax+m经过点A（﹣1，0），与x轴另一交点为B，交y轴负半轴于C 点，且S△CAB＝6（1）求抛物线的解析式；（2）若在y轴右侧的抛物线上有一点M，使△AMC的面积为9，请求出M点的坐标．15．如图，已知抛物线y＝﹣x2+4x+m与x轴交于A，B两点，AB＝2，与y轴交于C．（1）求抛物线解析式；（2）求P为对称轴上一点，要使P A+PC最小，求点P的坐标．16．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y＝x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y＝x2﹣6x+7的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，x＝1和x＝5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则x＝m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为；（2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为．17．已知y关于x的二次函数y＝x2﹣bx+b2+b﹣5的图象与x轴有两个公共点．（1）求b的取值范围；（2）若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6﹣2m，求m，n的值；（3）若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式．18．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝x2+bx+c．（1）当b＝﹣2时，①若c＝4，求该函数最小值；②若2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，求c的值；（2）当c＝2b时，若对于任意的x满足b≤x≤b+2且此时x所对应的函数值的最小值是12，直接写出b的值．19．已知抛物线F：y＝x2+bx+c（b、c为常数）．（1）当b＝﹣2，c＝2，且m≤x≤m+1时，求函数y的最小值和最大值（用含m的代数式表示）；（2）若抛物线过（﹣3，0），当﹣3≤x≤0时，函数的最小值为﹣4，求函数解析式；（3）当c＝b2，且b≤x≤b+3时，最小值为21，求函数解析式；（4）若抛物线过点A（0，﹣2）、B（3，1），设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A、B之间的部分为图象G（包含A、B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点D纵坐标t的取值范围；（5）把函数F沿着直线y＝c翻折，得到的函数x＜0的部分记作F1，原函数F的x≥0的部分记作F2，F1和F2合起来组成函数W，若b＝﹣4，且c﹣1≤x≤c时函数W的最大值为1，则c的值为．20．已知二次函数y＝x2+2bx+c（b、c为常数）．（Ⅰ）当b＝1，c＝﹣3时，求二次函数在﹣2≤x≤2上的最小值；（Ⅱ）当c＝3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（Ⅲ）当c＝4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．21．已知函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．（1）试说明该函数的图象与x轴始终有交点；（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上；（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．22．已知二次函数y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1（m为常数）．（1）若函数y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1与x轴交点的横坐标为﹣1，，则关于x的方程4x2+4（m﹣1）x﹣4m﹣1＝0的根是；（2）若不论m取何值，该函数图象的顶点都在一个新的二次函数图象上，求此新函数的解析式；（3）若该函数的顶点纵坐标的取值范围是﹣5≤y＜﹣2时，求m的取值范围．23．已知抛物线C1：y1＝a（x﹣h）2+2，直线l：y2＝kx﹣kh+2（k≠0）．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）若a＞0，h＝1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，求t 的取值范围．（3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围．24．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（4，0）、B（﹣1，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D是在直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点N，DM∥y轴交AC 于点M，求△DMN周长的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，点P为第一象限内的抛物线上的一个动点，连接OP，OP与AC相交于点Q，求的最大值．25．已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，求n的值．参考答案1．解：（1）由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x+3）（x﹣1），∵二次函数经过点（﹣2，），∴﹣3a＝，∴a＝﹣，∴二次函数的表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；（2）y＝﹣x2﹣x+＝﹣（x+1）2+2，顶点为（﹣1，2），描点、连线，画出图形如图所示：（3）观察函数图象可知：当﹣4≤x＜0时，y的取值范围是﹣≤y≤2，故答案为：﹣≤y≤2．2．解：（1）把点（5，），（0，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax+c得：，解得：，∴y＝x2﹣x﹣1＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣）；（2）y＝x2﹣x﹣1＝（x2﹣2x﹣8）＝（x﹣4）（x+2），∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，且x2＝x1+3，∴y1＝（x1﹣4）（x1+2），y2＝（x2﹣4）（x2+2）＝（x1﹣1）（x1+5），∵y1，y2始终小于0，∴（x1﹣4）（x1+2）＜0，（x1﹣1）（x1+5）＜0，∴﹣2＜x1＜4，﹣5＜x1＜1，∴﹣2＜x1＜1．3．解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝4，∵3AB＝4OC，∴OC＝3，∴C点坐标为（0，3）；（2）设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a×1×（﹣3）＝3，解得a＝﹣1，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝﹣＝1时，y最大值＝＝4．4．解：（1）由题意得＝，即x A+x B＝3，x A﹣x B＝5，联立方程，解得，∴点A坐标为（4，0），点B坐标为（﹣1，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣）2﹣，把（4，0）代入得0＝a﹣，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣）2﹣，即y＝x2﹣3x﹣4．（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，∴当x＝时，y取最小值为﹣，∵5﹣＞﹣（﹣1），∴当x＝5时，用取最大值，把x＝5代入y＝x2﹣3x﹣4得y＝6．故答案为：﹣≤y＜6．（3）∵抛物线y＝x2﹣3x﹣4与x轴有2个交点，与y轴有一个交点，∴抛物线向上移动至顶点落在x轴上满足题意，∴﹣+m＝0，解得m＝，抛物线向上移动至经过原点时满足题意，即﹣4+m＝0，解得m＝4，综上所述，m＝或m＝4．（4）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝，∴当x与x+4所对应y值相等时，＝，∴x＝﹣，∴x＞﹣满足题意．5．解：（1）∵抛物线与y一定有一个交点，而抛物线与坐标轴只有两个交点，∴抛物线与x轴只有一个公共点，∴△＝（a+3）2﹣4（a+2）＝0，整理得a2+2a+1＝0，解得a1＝a2＝﹣1，即a的值为﹣1；（2）①根据根与系数的关系得x1+x2＝a+3，x1•x2＝a+2，而x12+x22﹣x1x2＝7，∴（x1+x2）2﹣3x1•x2＝7，∴（a+3）2﹣3（a+2）＝7，整理得a2+3a﹣4＝0，解得a1＝﹣4，a2＝1，而c＞0，即a+2＞0，∴a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；②存在．当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，则A（1，0），B（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则C（0，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），如图，AC＝＝，当AP＝AC时，P1（2，3）；当CP＝CA时，CP2＝，而CP1＝2，则P2P1＝＝，则P2（2，3+），同样方法得到P1P3＝，所以P3（2，3﹣），∴满足条件的P点坐标为（2，3）或（2，3+）或（2，3﹣）．6．解：（1）令y＝0得x2﹣2mx+m2﹣4＝0，解得x1＝m﹣2，x2＝m+2，∴A（m﹣2，0），B（m+2，0），D（0，m2﹣4），∵点D在y轴正半轴，∴m2﹣4＞0，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形，则BO＝OD，即|m+2|＝m2﹣4，①当m+2＞0时，m2﹣4＝m+2，解得m＝3或m＝﹣2（舍去）；②当m+2＜0时，m2﹣4+m+2＝0，解得m＝1或m＝﹣2（都舍去）；③当m+2＝0时，点O、B、D重合，不合题意，舍去；综上所述，m＝3．故二次函数解析式为：y＝x2﹣6x+5．（2）当m＝﹣2时，y＝x2+4x，则A（﹣4，0），B（0，0）顶点为（﹣2，﹣4），因为直线y＝2x+n与图象Ω有两个公共点，则当直线y＝2x+n过A点时n＝8，当直线y＝2x+n过B（0，0）时，n＝0，当直线y＝2x+n与y＝﹣x2﹣4x只有一个公共点时，n＝9，根据图象，可得0＜n＜8或n＞9．7．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，由题意，得∴0＝a（3﹣1）2﹣4，∴a＝1，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4．（2）∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣4．∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝1，当y＝0时，x1＝3，x2＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点是（﹣1，0）或（3，0）∴由抛物线的图象特征可以得出将抛物线向左平移3个单位时，抛物线对称轴的右侧经过原点；所得图象与坐标轴只有两个交点．抛物线向右平移1个单位时，抛物线的对称轴左侧经过原点，所得图象与坐标轴只有两个交点．抛物线向上平移3个单位时，抛物线经过原点，所得图象与坐标轴只有两个交点．抛物线向上平移4个单位时，抛物线的顶点在x轴上，所得图象与坐标轴只有两个交点．8．解：（1）当m＝﹣2，n＝﹣4时，y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5∴当x＝1时，y最小值＝﹣5；（2）当n＝3时，y＝x2+mx+3，令y＝1，则x2+mx+3＝1，由题意知，x2+mx+3＝1有两个相等的实数根，则△＝m2﹣8＝0，∴m＝；（3）由3m+4＜0，可知m，∴m≤x≤m+2，抛物线y＝x2+mx+m2的对称轴为x＝，∵m，∴，∴对称轴为x＝，∴在m≤x≤m+2时，y随x的增大而减小，∴当x＝m+2，y有最小值为13，∴（m+2）2+m（m+2）+m2＝13，即m2+2m﹣3＝0，解得m＝1或m＝﹣3，而m，∴m＝﹣3，此时，y＝x2﹣3x+9．9．解：如图，∵直线y＝﹣x﹣1交于x轴上A点，∴A（﹣1，0），∵抛物线y＝ax2+4ax+b交于x轴上A点，∴a﹣4a+b＝0，∴b＝3a，由抛物线y＝ax2+4ax+b可知C（0，b），∵CD∥x轴，∴C、D是对称点，且D的纵坐标为b，∵抛物线的对称轴是：x＝﹣2，∴D（﹣4，b），∵点D在直线y＝﹣x﹣1上，∴b＝4﹣1＝3，∴a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3．10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣6与y轴交于点C，∴点C（0，﹣6），∵直线y＝x﹣m交y轴于点C，∴﹣m＝﹣6∴m＝6，∴直线y＝x﹣6，∴当y＝0时，x＝6，∴点B（6，0），∴OB＝6∵OA＝OB，∴OA＝7，∴点A（﹣7，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；（2）如图1，过点P作PH∥AB交BC于点H，∵点P的横坐标为t，∴点P（t，t2+t﹣6）∴t2+t﹣6＝x﹣6，∴x＝t2+t∴S＝×6×（t2+t﹣t）＝t2﹣t；（3）如图2，作抛物线的对称轴交x轴于E，BF平分∠ABC，交对称轴于点F，连接AF，DF，∵点C（0，﹣6），点A（﹣7，0），点B（6，0），∵OB＝6，OC＝6，AB＝13，∴∠OBC＝60°，∵DC∥AB，∴∠DCB+∠ABC＝180°，∴∠DCB＝120°，∵∠ADB+∠DCB＝180°，∴∠ADB＝60°，∵抛物线y＝x2+x﹣6的对称轴为x＝﹣；∴点E坐标为（﹣，0），AF＝BF，BE＝＝AE，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝30°，且AF＝BF，∴∠F AB＝30°，EF⊥AB，∴∠AFB＝180°﹣∠F AB﹣∠FBA＝120°，EF＝，BF＝，∴∠AFB＝2∠ADB∴点D在以点F为圆心，BF为半径的圆上，设点D（x，﹣6）∴DF＝BF∴（﹣﹣x）2+（6﹣）2＝（）2，∴x＝﹣4，∴点D（﹣4，﹣6），且点B（6，0）∴BD解析式为：y＝x﹣，∴解得（舍去），∴t＝﹣11．解：∵二次函数的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∵函数有最大值为2，∴抛物线的顶点坐标为（，2），设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣3），把（，2）代入得a×（+2）（﹣3）＝2，解得a＝﹣，所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）•（x﹣3）＝﹣x2+x+．12．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）代入，得，解得：，∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣3，∵y＝2x2﹣x﹣3＝，∴顶点D的坐标为（，﹣）；（2）∵抛物线y＝2x2﹣x﹣3的对称轴为直线x＝，∴N（1，y2）关于直线x＝的对称点为（，﹣2），∵M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，且y1≤y2，∴﹣≤x1≤1．13．解：（1）∵OA＝2OB＝2OC＝4，∴OB＝OC＝2，∴A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，2），将A（﹣4，0）、B（2，0）、C（0，2）代入抛物线y＝ax2+bx+c得：，解之得a＝﹣，b＝﹣，c＝2，∴y＝﹣，（2）抛物线平移后能同时经过点D、E两点，理由如下：∵BD＝BE＝4，∴E（2，4），D（6，0），设抛物线平移后的解析式为；y＝，将E、D坐标代入得，解之得m＝2，k＝4，∴平移后抛物线顶点为（2，4），∵原抛物线顶点为（﹣1，），∴将原来抛物线向右平移3个单位，再向上平移个单位后能同时经过D、E两点．14．解：（1）设B的坐标为（x，0），∵抛物线y＝ax2﹣2ax+m，A（﹣1，0），当y＝0时，ax2﹣2ax+m＝0，∴﹣1+x＝2，∴x＝3，∴B（3，0），∴AB＝1+3＝4，∵S△CAB＝×4•×OC＝6，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），把A（﹣1，0）和C（0，﹣3）代入抛物线y＝ax2﹣2ax+m得：，解得：a＝1，m＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）设M的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），分别过点A、M作y轴的平行线，过C作x轴的平行线，交前面平行线于D、E，连接AM，如图所示：则△AMC的面积＝梯形ADEM 的面积﹣△ACD的面积﹣△CEM的面积＝（3+x2﹣2x﹣3+3）（1+x）﹣×3×3﹣x （x2﹣2x﹣3+3）＝9，解得：x＝（负值舍去），∴x2﹣2x﹣3＝，∴M点的坐标为（，）．15．解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∵点A与点B是抛物线的对称点，而AB＝2，∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0），∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）＝﹣x2+4x﹣3；（2）连接BC，交直线x＝2于点P，则P A＝PB，∴P A+PC＝PB+PC＝BC，∴此时P A+PC最小，设直线BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣3），B（3，0）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝2时，y＝x﹣3＝2﹣3＝﹣1，∴P点坐标为（2，﹣1）．16．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1＝49；（2）∵二次函数y＝2x2+4x+1的对称轴为直线x＝﹣1，∴由对称性可知，当x＝﹣4和x＝2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x＝p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x＝2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1＝31，整理得，t2+2t﹣15＝0，解得t1＝3（舍去），t2＝﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1＝31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15＝0，解得t1＝1，t2＝﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣5．17．解：（1）由题意知，Δ＞0，即，∴﹣4b+20＞0，解得：b＜5；（2）由题意，b＝4，代入得：y＝x2﹣4x+3，∴对称轴为直线，又∵a＝1＞0，函数图象开口向上，∴当m≤x≤时，y随x的增大而减小，∴当x＝时，y＝n＝；当x＝m时，y＝6﹣2m＝m2﹣4m+3，m2﹣2m﹣3＝0，解得：m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）；∴m＝﹣1，n＝；（3）∵，∴对称轴为x＝0.5b，开口向上，∴①当b≤0.5b≤b+3，即﹣6≤b≤0时，函数y在顶点处取得最小值，有b﹣5＝，∴b＝（不合题意，舍去）；②当b+3＜0.5b，即b＜﹣6时，取值范围在对称轴左侧，y随x的增大而减小，∴当x＝b+3时，y最小值＝，代入得：，b2+16b+15＝0，解得：b1＝﹣15，b2＝﹣1（不合题意，舍去），∴此时二次函数的解析式为：；③当0.5b＜b，即b＞0时，取值范围在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y最小值＝，代入得：，b2+4b﹣21＝0，解得：b1＝﹣7（不合题意，舍去），b2＝3，∴此时二次函数的解析式为：．综上所述，符合题意的二次函数的解析式为：或．18．解：（1）①由题意，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），∴函数的最小值为3．②∵y＝x2﹣2x+c，∴对称轴是直线x＝1，∵2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，∴x＝2时，y＝5，∴5＝4﹣4+c，∴c＝5．（2）当c＝2b时，y＝x2+bx+2b，图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣，①当﹣＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+2b＝2b2+2b最小值，∴2b2+2b＝12，解得，b1＝﹣3（舍去），b2＝2；②当b≤﹣≤b+2时，即﹣≤b≤0，∴x＝﹣，y的值最小，∴b2﹣+2b＝12，方程无解．③当﹣＞b+2，即b＜﹣，在自变量x的值满足b≤x≤b+2的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+2时，y＝（b+2）2+b（b+2）+2b＝2b2+8b+4为最小值，∴2b2+8b+4＝12．解得，b1＝﹣2+2（舍去），b2＝﹣2﹣2；综上所述，满足条件的b的值为2或﹣2﹣2．19．解：（1）∵b＝﹣2，c＝2，∴y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，开口向上，对称轴为x＝1，①当m+1＜1时即m＜0，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，∴y max＝f（m）＝m2﹣2m+2，y min＝f（m+1）＝m2+1，②当0≤m＜时，1≤m+1＜，对称轴x＝1取得最小值，∴y max＝f（m）＝m2﹣2m+2，y min＝f（1）＝1，③当＜m≤1时，＜m+1≤2，对称轴x＝1取得最小值，∴y max＝f（m+1）＝m2+1，y min＝f（1）＝1，④当m＞1时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y max＝f（m+1）＝m2+1，y min＝f（m）＝m2+2m+2，（2）∵抛物线过（﹣3，0），∴9﹣3b+c＝0，∵当﹣3≤x≤0时函数最小值为﹣4，抛物线对称轴为，∴（﹣3，0）点在对称轴的左侧，不能在对称轴的右侧，①当﹣3＜＜0时，即0＜b＜6时，y min＝f（）＝+c＝﹣4，∴b＝2，c＝﹣3，y＝x2+2x﹣3，②当＞0时，即b＜0，y min＝f（0）＝c＝﹣4，∴b＝（不符合舍去），故函数解析式为y＝x2+2x﹣3，（3）∵c＝b2，∴y＝x2+bx+b2，抛物线对称轴为，①当b+3≤时，即b≤﹣2，∴y min＝f（b+3）＝3b2+9b+9＝21，∴b＝﹣4，c＝16，y＝x2﹣4x+16，②当b＜＜b+3时，即﹣2＜b＜0时，∴f（b）＝3b2，f（b+3）＝3b2+9b+9，f（b+3）＞f（b），f（b）＝21，b＝（舍去），f（b+3）＜f（b），f（b+3）＝21，b＝﹣4或者b＝1（舍去），∴y＝x2﹣4x+16，③当b＞时，即b＞0时，∴y min＝f（b）＝3b2＝21，∴b＝或（舍去），∴c＝7，y＝x2+x+7，∴综上所述解析式y＝x2﹣4x+16或y＝x2+x+7，故函数解析式为y＝x2﹣4x+16或y＝x2+x+7，（4）∵抛物线过A、B点，∴b＝﹣2，c＝﹣2，y＝x2﹣2x﹣2，∵点B和点C关于原点对称，B（3，1），∴C（﹣3，﹣1），∴设D（1，t），CD所在的直线为L CD，①L CD过点B（与G刚好有交点），设L CD：y＝kx+b，将C（﹣3，﹣1），B（3，1）代入y＝kx+b，得y＝x，∴t＝，②L CD与G相切，即与图象只有一个交点，设L CD：y＝kx+b，将C（﹣3，﹣1），D（1，t）代入y＝kx+b，得y＝x+，联立直线和抛物线解析式得，得x2﹣＝0，∴Δ＝﹣4×＝0∴t＝﹣33﹣16，∴（﹣33﹣16）≤t≤，故答案为：（﹣33﹣16）≤t≤，（5）∵b＝﹣4，∴y＝x2﹣4x+c，抛物线对称轴x＝2，则函数W仍为原函数，①当c＜2时，y max＝f（c﹣1）＝1，∴c＝1，②当2＜c＜3时，f（c﹣1）＝c2﹣5c+5，f（c）＝c2﹣3c，f（c﹣1）＞f（c），c＜，f（c﹣1）＝1，c＝1或c＝4（舍去），f（c﹣1）＜f（c），c≤，f（c）1，c＝（舍去），③c≥3，y max＝f（c）＝1，∴c＝或c＝（舍去），∴综上所述c＝1 或者c＝，故答案为：1或者．20．解：（Ⅰ）当b＝1，c＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴x＝﹣1在﹣2≤x≤2的范围内，此时函数取得最小值为﹣4，（Ⅱ）y＝x2+2bx+3，的对称轴为x＝﹣b，①若﹣b＜0，即b＞0时，当x＝0时，y有最小值为3，②若0≤b≤4，即：﹣4≤b≤0时，当x＝﹣b时，y有最小值﹣b2+3；③若﹣b＞4，即b＜﹣4时，当x＝4时，y有最小值为8b+19，（Ⅲ）当c＝4b2时，二次函数的解析式为y＝x2+2bx+4b2，它的开口向上，对称轴为x＝﹣b的抛物线，①若﹣b＜2b，即b＞0时，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而增大，∴当x＝2b时，y＝（2b）2+2b×2b+（2b）2＝12b2为最小值，∴12b2＝21，∴b＝或b＝﹣（舍）∴二次函数的解析式为y＝x2+x+7，②若2b≤﹣b≤2b+3，即﹣1≤b≤0，当x＝﹣b时，代入y＝x2+2bx+4b2，得y最小值为3b2，∴3b2＝21∴b＝﹣（舍）或b＝（舍），③若﹣b＞2b+3，即b＜﹣1，在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y随x增大而减小，∴当x＝2b+3时，代入二次函数的解析式为y＝x2+2bx+4b2中，得y最小值为12b2+18b+9，∴12b2+18b+9＝21，∴b＝﹣2或b＝（舍），∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+16．综上所述，b＝或b＝﹣2，此时二次函数的解析式为y＝x2+x+7或y＝x2﹣4x+16 21．解：（1）∵函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），∴△＝（m﹣1）2+4m＝（m+1）2≥0，∴该函数的图象与x轴始终有交点；（2）y＝﹣x2+（m﹣1）x+m＝﹣（x﹣）2+，把x＝代入y＝（x+1）2得：y＝（+1）2＝，则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝（x+1）2的图象上；（3）设函数z＝，当m＝﹣1时，z有最小值为0；当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，当m＝﹣2时，z＝；当m＝3时，z＝4，则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤≤4．22．解：（1）∵抛物线y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1与x轴交点的横坐标为﹣1，，∴x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1＝0的解为x＝﹣1或x＝，由4x2+4（m﹣1）x﹣4m﹣1＝0得（2x）2+2（m﹣1）•2x﹣4m﹣1＝0，∴2x＝﹣1或2x＝，∴x1＝﹣，x2＝．故答案为：x1＝﹣，x2＝．（2）∵y＝x2+2（m﹣1）x﹣4m﹣1＝x2+2（m﹣1）x+（m﹣1）2﹣（m﹣1）2﹣4m﹣1＝（x+m﹣1）2﹣m2﹣2m﹣2，∴抛物线顶点坐标为（﹣m+1，﹣m2﹣2m﹣2），令﹣m+1＝x，﹣m2﹣2m﹣2＝y，则y＝﹣x2+4x﹣5，∴抛物线顶点所在抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣5．（3）由题意得﹣5≤﹣m2﹣2m﹣2＜﹣2，∵令y＝﹣m2﹣2m﹣2＝﹣（m+1）2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为值m＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣1），把y＝﹣5代入y＝﹣（m+1）2﹣1得﹣5＝﹣（m+1）2﹣1，解得m＝1或m＝﹣3，把y＝﹣2代入y＝﹣（m+1）2﹣1得﹣2＝﹣（m+1）2﹣1，解得m＝0或m＝﹣2，∴﹣5≤y＜﹣2时，﹣3≤m＜﹣2或0＜m≤1．23．（1）证明：∵抛物线C1的解析式为y1＝a（x﹣h）2+2，∴抛物线的顶点为（h，2）．当x＝h时，y2＝kx﹣kh+2＝2，∴直线l恒过抛物线C1的顶点．（2）解：∵a＞0，h＝1，∴当x＝1时，y1＝a（x﹣h）2+2取得最小值2．又∵当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，∴，∴﹣2≤t≤1．（3）解：令y1＝y2，则a（x﹣h）2+2＝k（x﹣h）+2，解得：x1＝h，x2＝h+．∵线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，∴＞1或＜﹣1．∵k＞0，∴0＜a＜k或﹣k＜a＜0．又∵1≤k≤3，∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1．24．解：（1）法一：依题意，得，解之，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．法二：依题意，得y＝a（x﹣4）（x+1）（a≠0），将C（0，4）坐标代入得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．法三：依题意，得，解之，得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4．（2）如图1，延长DM交x轴于点H，∵OA＝OC＝4，OA⊥OC，DM∥y轴交AC于点M，∴∠OAC＝45°，∠AHM＝90°，∵DN⊥AC于点N，∴∠AMH＝∠DMN＝45°，∴△DMN是等腰直角三角形，∴．设直线AC的解析式为y＝kx+b'（k≠0），将A（4，0）、C（0，4）两点坐标代入得，解得，所以直线AC的解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m2+3m+4），∴M（m，﹣m+4），∴DM＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴当m＝2时，DM最大值为4，此时D（2，6），∵△DMN是等腰直角三角形，∴△DMN周长＝，∴△DMN周长的最大值为，此时D（2，6）．（3）如图2，设Q（m，﹣m+4），P（n，﹣n2+3n+4），∴．设直线OP的解析式为y＝kx（k≠0），将Q（m，﹣m+4）点代入得，∴直线OP的解析式，将P（n，﹣n2+3n+4）坐标代入得，，所以，化简得，∴，∵∴当n＝2时，的最大值为1．25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）经过点（2，﹣1），∴4a+2b﹣1＝﹣1，∴b＝﹣2a．∴y＝ax2﹣2ax﹣1，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1．∵当1﹣2m≤x≤1+3m时，y的最小值为﹣2．∴当x＝1时，a﹣2a﹣1＝﹣2，解得：a＝1．∴y＝x2﹣2x﹣1；（2）由（1）知，抛物线为y＝（x﹣1）2﹣2．∵当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4，∴y不能取最小值﹣2，即n，n+1在对称轴x＝1的同侧．分两种情况讨论：①n+1＜1，即n＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，当x＝n时，（n﹣1）2﹣2＝2n+4，解得：n＝﹣1或n＝5，当x＝n+1时，（n+1﹣1）2﹣2＝2n+1，解得：n＝﹣1或n＝3，∵n＜0，∴n＝﹣1．②n＞1时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，当x＝n时，（n﹣1）2﹣2＝2n+1，整理得：n2﹣4n﹣2＝0．当x＝n+1时，（n+1﹣1）2﹣2＝2n+4，整理得：n2﹣2n﹣6＝0．∵n2﹣4n﹣2＝0与n2﹣2n﹣6＝0不一致，∴不合题意，舍去．综上所述，当n＜x＜n+1时，y的取值范围是2n+1＜y＜2n+4时，n＝﹣1．。
2022届高考数学统考一轮复习第二章二次函数与幂函数学案文含解析新人教版
高考数学统考一轮复习：第四节二次函数与幂函数【知识重温】一、必记2个知识点1．幂函数(1)定义：形如①________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝12x，y＝x－1.(2)性质(ⅰ)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(ⅱ)当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；(ⅲ)当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式(ⅰ)一般式：f(x)＝②________________________；(ⅱ)顶点式：f(x)＝③________________________；(ⅲ)零点式：f(x)＝④________________________.(2)二次函数的图象和性质＋c(a>0)＋c(a<0)(－∞，＋∞)(－∞，＋∞) 1．研究函数f(x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况的讨论而盲目认为f(x)为二次函数．2．形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝123x不是幂函数．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)函数y ＝132x是幂函数．( )(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数．( )(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( )二、教材改编2．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则函数y ＝f (x )的解析式为________． 3．函数y ＝ax 2－6x ＋7a (a ≠0)的值域为[－2，＋∞)，则a 的值为( )A ．－1B ．－97C ．1D ．2三、易错易混4．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．25．若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c 四、走进高考6．[2020·江苏卷]已知y ＝f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )＝23x，则f (－8)的值是________．考点一 幂函数的图象及性质[自主练透型]1．已知点⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数2．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23．[2021·江西九江联考]已知a ＝0.40.3，b ＝0.30.4，c ＝0.3－0.2，则( ) A ．b <a <c B ．b <c <a C ．c <b <a D ．a <b <c4．若12(1)a ＋<12(32)a －，则实数a 的取值范围是________． 悟·技法幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0. 考点二 二次函数的解析式[自主练透型]5．已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为____________________．6．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．悟·技法求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：考点三 二次函数的图象和性质[分层深化型] 考向一：二次函数的图象问题[例1] 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的结论是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③ D ．①③考向二：二次函数的单调性 [例2] [2021·河南中原名校联考]已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B.⎝⎛⎦⎤0，34C.⎣⎡⎭⎫0，34D.⎣⎡⎦⎤0，34考向三：二次函数的最值[例3] 已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( ) A.54 B ．1或54C ．－1或54D ．－5或54考向四：与二次函数有关的恒成立问题[例4] 当x ∈(1,3)时，若不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 听课笔记： 悟·技法1.二次函数最值问题的类型及处理思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．2．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[变式练]——(着眼于举一反三)1．函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1,3]上为增函数的充要条件是( ) A ．a ＝0 B ．a <0C ．0<a ≤13D ．a ≥12．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为________． 3．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．第四节 二次函数与幂函数【知识重温】①y ＝x α(α∈R ) ②ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ③a (x －m )2＋n (a ≠0) ④a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)⑤⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2a ⑥⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞ ⑦⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2a ⑧⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞ ⑨b ＝0 ⑩⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a【小题热身】1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×2．解析：设y ＝x α，则2＝2α，即212＝2α，∴α＝12.∴f (x )＝x 12.答案：f (x )＝x 123．解析：由函数y ＝ax 2－6x ＋7a (a ≠0)的值域为[－2，＋∞)知a >0，且4a ×7a －(－6)24a＝－2，即7a 2－2a －9＝0，所以a ＝1或a ＝－97(舍去)．答案：C4．解析：函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在x ∈[－1,1]上为单调递减函数，∴y min ＝2－6＋3＝－1.答案：A5．解析：观察图象联想y ＝x 2，y ＝x 12，y ＝x －1在第一象限内的图象，可知c <0，d <0,0<b <1<a .由图象可知2c >2d ，所以c >d . 综上知a >b >c >d . 答案：B6．解析：由函数f (x )是奇函数得f (－8)＝－f (8)＝－238＝－(23)23＝－4.答案：－4 课堂考点突破考点一1．解析：设f (x )＝x α，由已知得⎝⎛⎭⎫33α＝3，解得α＝－1， 因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数． 答案：A2．解析：从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4满足要求．故选C 项．答案：C3．解析：因为1>a ＝0.40.3>0.30.3>b ＝0.30.4，c ＝0.3－0.2>1，所以b <a <c .故选A 项． 答案：A4．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23 考点二5．解析：由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以b2＝1，所以b ＝2，所以f (x )＝x 2－2x ＋3.答案：f (x )＝x 2－2x ＋36．解析：解法一 (利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.解法二 (利用顶点式)：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，f (－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8. 所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1， 所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 解法三 (利用零点式)：由已知得f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－a 24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 考点三例1 解析：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于两点，∴b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；二次函数的图象的对称轴为直线x ＝－1，即－b2a＝－1,2a －b ＝0，②错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为直线x ＝－1知，b ＝2a ，又函数的图象开口向下，∴a <0，∴5a <2a ，即5a <b ，④正确．答案：B例2 解析：因为函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，当a ≠0时，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，－4(a －3)2×2a ≥3，解得0<a ≤34；当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上是减函数， 综上可知，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34. 答案：D例3 解析：f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ，对称轴为直线x ＝a 2.①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在[0,1]上递增，∴f (x )max ＝f (1)＝－4－a 2. 令－4－a 2＝－5，得a ＝±1(舍去)．②当0<a2<1，即0<a <2时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a . 令－4a ＝－5，得a ＝54.③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]上递减，∴f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2.令－4a －a 2＝－5，解得a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或－5.故选D.答案：D例4 解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4.因为x ∈(1,3)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧5＋m ≤0，13＋3m ≤0，解得m ≤－5， 所以m 的取值范围是(－∞，－5]． 答案：(－∞，－5] 变式练1．解析：当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x ＋3图象的对称轴为x ＝1a ，要使f (x )在区间[1,3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，1a ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1a≤1，解得a ≥1.故选D.答案：D2．解析：因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴x ＝1， 因为f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，所以当1≤a 时，f (x )min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，解得a ＝－1(舍去)或a ＝3，当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (x )min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，解得a ＝1(舍去)或a ＝－3， 当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，f (x )min ＝f (1)＝0≠4， 故a 的取值集合为{－3,3}． 答案：{－3,3}3．解析：2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立， 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16， 因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，∴a <12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，12。
2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.6幂函数二次函数学案文北师大版202107081
第六节 幂函数、二次函数授课提示：对应学生用书第26页[基础梳理]1．幂函数(1)定义：一般地，函数y ＝x α叫作幂函数，其中底数x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图像比较：2．二次函数 (1)解析式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)． 两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)图像与性质：解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图像定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减 在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞ 上单调递减解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)奇偶性当b ＝0时为偶函数 顶点 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图像关于直线x ＝－b2a成轴对称图形五个幂函数在第一象限内的图像的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图像是抛物线型(α＞1时的图像是竖直抛物线型，0＜α＜1时的图像是横卧抛物线型)，α＜0时的图像是双曲线型．1．一个易混点函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，不能盲目认为是二次函数，要注意对a 的讨论，a ＞0，a ＝0，a ＜0. 2．两个条件：一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b 2－4ac ＜0. (2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.3．幂函数y ＝x α在第一象限的图像特征(1)α＞1时，图像过(0，0)，(1，1)，下凸递增，例如y ＝x 3；(2)0＜α＜1时，图像过(0，0)，(1，1)，上凸递增，例如y ＝x 12；(3)α＜0时，图像过(1，1)，下凸递减，且以两条坐标轴为渐近线，例如y ＝x －1.[四基自测]1．(基础点：幂函数定义)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 答案：C2．(易错点：幂函数的单调性)幂函数f (x )＝x α(α是有理数)的图像过点⎝⎛⎭⎫2，14，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，0) 答案：B 3．(易错点：二次函数的单调性)若f (x )＝x 2＋bx ＋c 的递增区间为[－1，＋∞)，则b ＝________． 答案：24．(基础点：分段函数的性质)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1 x ≤01 x ＞0，则f (x )＞f (1)的x 的取值X 围为________．答案：(－∞，0)授课提示：对应学生用书第27页考点一 幂函数的图像和性质挖掘1 幂函数图像及应用/ 互动探究[例1] (1)幂函数y ＝f (x )的图像过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图像是( )[解析] 设幂函数的解析式为y ＝x α，因为幂函数y ＝f (x )的图像过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0＜x ＜1时，其图像在直线y ＝x 的上方． [答案] C(2)(2019·高考某某卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x ，x ＞1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值X 围为( )A ．[54，94]B ．(54，94]C ．(54，94]∪{1}D ．[54，94]∪{1}[解析] 如图，分别画出两函数y ＝f (x )和y ＝－14x ＋a 的图像．①先研究当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2x 的图像只有一个交点的情况．当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1，2)时，2＝－14＋a ，解得a ＝94.所以0≤a ≤94.②再研究当x ＞1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x的图像只有一个交点的情况．(ⅰ)相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为(2，12)，则a ＝1.(ⅱ)相交时，由图像可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向右上方移动时与y ＝1x的图像只有一个交点，过点A (1，1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54.结合图像可得，所某某数a 的取值X 围为[54，94]∪{1}．故选D. [答案] D挖掘2 幂函数的性质/ 互动探究[例2] (1)若a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则下列正确的是( ) A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a[解析] 因为y ＝x 25在第一象限内为增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫3525＞c ＝⎝⎛⎭⎫2525，因为y ＝⎝⎛⎭⎫25x 是减函数，所以c ＝⎝⎛⎭⎫2525＞b ＝⎝⎛⎭⎫2535，所以a ＞c ＞b .[答案] B(2)若log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＜－1，则( ) A ．2x ＜3y ＜5z B ．5z ＜3y ＜2x C ．3y ＜2x ＜5z D ．5z ＜2x ＜3y[解析] 设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t ＜－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1，3y ＝3t ＋1，5z ＝5t ＋1.又t ＜－1，∴t ＋1＜0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z ＜3y ＜2x . [答案] B[破题技法] 1.待定系统法求解析式，主要待定y ＝x α中的“α”值． 2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数．考点二 二次函数的图像与性质挖掘1 二次函数的单调性/ 互动探究[例1] (1)函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值X 围是( )A ．[－3，0)B ．(－∞，－3]C ．[－2，0]D ．[－3，0] [解析] 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎨⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值X 围为[－3，0]． [答案] D(2)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)对于一切实数都有f (2＋x )＝f (2－x )，则( ) A ．f (2)＜f (1)＜f (4) B ．f (1)＜f (2)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) [解析] 因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )成立， 所以函数图像关于x ＝2对称，当a ＞0时，f (2)最小， 由2－1＜4－2，得f (1)＝f (3)＜f (4)， 所以f (2)＜f (1)＜f (4)．故选A. [答案] A[破题技法] 研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图像对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图像的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ⊆⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a ⎝⎛⎭⎫A ⊆⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞，即区间A 一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 挖掘2 二次函数的最值/ 互动探究[例2] 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0，1]时，有最大值2，则a 的值为________． [解析] 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)．当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2. [答案] －1或2[破题技法] 二次函数在(m ，n ]上的最值的讨论主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，则二次函数在闭区间[m ，n ]上的最大、最小值有如下的分布情况：m ＜n ＜－b 2a m ≤－b 2a ≤n ，即－b2a∈[m ，n ]－b2a＜m ＜n 图像最值f (x )max ＝f (m ) f (x )min ＝f (n )f (x )max ＝max{f (n )，f (m )}，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a f (x )max ＝f (n )， f (x )min ＝f (m )a ＜0的情况，讨论类似．其实质是：无论开口向上或向下，都有两种结论：(1)若－b 2a ∈[m ，n ]，则f (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ， f (x )min ＝min {}f （m ），f （n ）；(2)若－b2a∉[m ，n ]，则f (x )max ＝max {f (m )，f (n )}，f (x )min ＝min{f (m )，f (n )}．挖掘3 二次函数中恒成立问题/ 互动探究 [例3] (2020·某某模拟)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值X 围为________．[解析] 法一：当a ＞0时，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋2－1a，由f (x )＞0，x ∈(1，4)得：⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，f （1）＝a －2＋2≥0或⎩⎨⎧1＜1a ＜4，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝2－1a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥4，f （4）＝16a －8＋2≥0.所以⎩⎨⎧a ≥1，a ≥0或⎩⎨⎧14＜a ＜1，a ＞12或⎩⎨⎧a ≤14，a ≥38，所以a ≥1或12＜a ＜1或∅，即a ＞12，当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a －2＋2≥0，f （4）＝16a －8＋2≥0，解得∅；当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，f (1)＝0，f (4)＝－6， 所以不合题意．综上可得，实数a 的取值X 围是a ＞12.法二：由f (x )＞0，即ax 2－2x ＋2＞0，x ∈(1，4)，得a ＞－2x 2＋2x在(1，4)上恒成立．令g (x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，1x ∈(14，1)，g (x )max ＝12， 所以要f (x )＞0在(1，4)上恒成立，只要a ＞12即可．[答案] ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ [破题技法] 由不等式恒成立求参数的取值X 围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min . 挖掘4 与二次函数有关的双变量问题/自主练透[例4] 已知f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对任意x 1∈[－2，2]，存在x 2∈[－2，2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数m 的取值X 围是________．[解析] 由题意，在[－2，2]上，易求得函数f (x )的值域为[－3，3]，函数g (x )的值域为[m －1，m ＋8]，问题转化为[－3，3]⊆[m －1，m ＋8]，解得m ∈[－5，－2]． [答案] [－5，－2]将例2改为“已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1－a ”在[0，a ]上的最大值记为g (a )，求g (a )并求其最大值． 解析：∵f (x )＝－(x －1)2＋2－a ，关于x ＝1对称 又∵x ∈[0，a ]∴当a ≤1时，x ∈[0，a ]上为增函数， f (x )max ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1－a ＝－a 2＋a ＋1，当a ＞1时，则 f (x )max ＝f (1)＝g (a )＝2－a ，∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋a ＋1， a ≤12－a ， a ＞1当 a ≤1时，g (a )＝－(a －12)2＋54≤54，当a ＞1时，g (a )＝2－a ＜1，5∴g(a)的最大值为4.。
2022届高考数学一轮复习第2章2.6幂函数与二次函数核心考点精准研析训练含解析新人教B版
第2章核心考点·精准研析考点一幂函数的图象与性质1.幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)上为增函数,则m的值为( )A.1或3B.12.若四个幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c3.(2019·全国卷Ⅱ)若a>b,则( )A.ln(a-b)>0B.3a<3b3-b3>0 D.|a|>|b|4.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为世纪金榜导学号( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a【解析】解得m=1.2.选B.由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d.3.选C.当a=3,b=2时,选项A错.由于a>b,而y=3x是增函数,所以3a>3b,故B错.当a=3,b=-5时,选项D错.因为y=x3是增函数,故a3>b3,故C正确.4.选A.因为0<<<1,指数函数y=在R上单调递减,故<.又由于幂函数y=在R上单调递增,故>,所以<<,即b<c<a.α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.【秒杀绝招】题3可以用特殊值法求解,令a=0,b=-1,则可排除选项A,B,D.考点二二次函数的图象与解析式【典例】1.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( )A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<02.已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对∀x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,则f(x)的解析式为________.3.已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=________.【解题导思】序号联想解题1 由f(x)=x2+x+a,想到该函数的对称轴为x=-2 由f(1+x)=f(1-x),想到该函数的对称轴为x=1由二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0),想到f(x)=ax(x+2)(a≠30)【解析】1.选C.因为f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示,由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.2.由f(0)=3,得c=3,又f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以=1,所以b=2,所以f(x)=x2-2x+3.答案:f(x)=x2-2x+33.设函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a≠0),所以f(x)=ax2+2ax,由=-1,得a=1,所以f(x)=x2+2x.答案:x2+2x关键是灵活选取二次函数解析式形式,选法如下:(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).(3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).1.对数函数y=log a x(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是( )【解析】选A.若0<a<1,则y=log a x在(0,+∞)上单调递减,y=(a-1)x2-x开口向下,其图象的对称轴在y轴左侧,排除C,D.若a>1,则y=log a x在(0,+∞)上是增函数,y=(a-1)x2-x图象开口向上,且对称轴在y轴右侧,因此B项不正确,只有选项A正确.2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.【解析】设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a≠0),又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.答案:x2+2x+1考点三二次函数的性质及其应用命题精解读考什么:(1)幂函数的图象与性质,二次函数的图象与性质,求值或解不等式,求参数值等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.怎么考:幂函数、二次函数的单调性,函数的周期性以及对称性等知识单独或交汇考查,也可能以分段函数的形式呈现.新趋势:幂函数、二次函数与其他基本初等函数交汇,图象交点个数、方程、不等式交汇考查.学霸好方法一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”.二次函数的单调性问题【典例】已知函数f(x)=-2x2+bx,若对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),则f(-2),f(4),f(5)的大小关系为 ( )A.f(5)>f(-2)>f(4)B.f(4)>f(5)>f(-2)C.f(4)>f(-2)>f(5)D.f(-2)>f(4)>f(5)【解析】选B.因为对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),所以函数f(x)=-2x2+bx的图象关于直线x=4对称,所以f(-2)=f(10),又函数f(x)=-2x2+bx的图象开口向下,所以函数f(x)在[4,+∞)上是减函数,因为4<5<10,所以f(4)>f(5)>f(10),即f(4)>f(5)>f(-2).如何确定二次函数的单调性?提示:关键看二次函数图象的开口方向与对称轴.二次函数中的恒成立问题【典例】1.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则a的取值X围是 ( ) A.(-∞,2] B.[-2,2]C.(-2,2]D.(-∞,-2)2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,则m的取值X围为________. 世纪金榜导学号【解析】≠0时,解得-2<a<2,所以a的取值X围是-2<a≤2.∈(0,1]时,(x2-4x)min≥m即可.因为函数f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,所以当x=1时,(x2-4x)min=1-4=-3,所以m≤-3.答案:(-∞,-3]1.由不等式恒成立求参数取值X围的思路是什么?提示:一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.2.两种思路目标是什么?提示:目标都是将问题归结为求函数的最值.二次函数的最值问题【典例】若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m 世纪金榜导学号( )【解析】选B.f(x)=x2+ax+b=+b-,对称轴为x=-,下面分情况讨论:(1)若->1,即a<-2时,f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f(1)=a+b+1,此时M-m=b-(a+b+1)=-a-1.(2)若<-≤1,即-2≤a<-1时,f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f=b-,此时M-m=b-=.(3)若0<-≤,即-1≤a<0时,f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f=b-,此时M-m=a+b+1-=1+a+.(4)若-≤0,即a≥0时,f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f(0)=b,此时M-m=a+b+1-b=1+a.综上,M-m与a有关,而与b无关.函数f(x)=ax2+bx+c在区间[m,n]上的最大值、最小值可能在何处取得?提示:由二次函数的图象和性质可知:其最大值、最小值可能为f(m),f(n),f.1.设函数f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则g(1)+g(2)+…+g(20)=( )A.56B.112【解析】选B.由二次函数图象的性质得,当3≤x≤20时,f(x)+|f(x)|=0,所以g(1)+g(2)+…+g(20)=g(1)+g(2)=f(1)+|f(1)|+f(2)+|f(2)|=112.2.已知函数y=ax2+bx-1在(-∞,0]上是单调函数,则y=2ax+b的图象不可能是( )【解析】选B.①当a=0,b≠0时,y=2ax+b的图象可能是A;②当a>0时,-≥0⇒b≤0,y=2ax+b 的图象可能是C;③当a<0时,-≥0⇒b≥0,y=2ax+b的图象可能是D.3.(2019·某某模拟)如果函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a=________.【解析】因为函数f(x)=x2-ax-a的图象为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.因为f(0)=-a,f(2)=4-3a,所以或解得a=1.答案:11.(2020·某某模拟)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值X围为( )A.(-∞,0]B.C.(-∞,0)∪D.【解析】选D.由题意,f(x)<-m+4对于x∈[1,3]恒成立,即m(x2-x+1)<5对于x∈[1,3]恒成立. 因为当x∈[1,3]时,x2-x+1∈[1,7],所以不等式f(x)<-m+4等价于m<.因为当x=3时,取最小值,所以若要不等式m<对于x∈[1,3]恒成立,则必须满足m<,因此,实数m的取值X围为.2.(2020·模拟)已知集合{a,b,c}={2,3,4},且下列三个关系:a≠3,b=3,c≠4有且只有一个正确,则函数f(x)=的值域是________.【解析】由{a,b,c}={2,3,4}得,a,b,c的取值有以下情况:当a=2时,b=3,c=4时,不满足题意.当a=2时,b=4,c=3时,不满足题意;当a=3时,b=2,c=4时,不满足题意;当a=3时,b=4,c=2时,满足题意;当a=4时,b=2,c=3时,不满足题意;当a=4时,b=3,c=2时,不满足题意;综上得,a=3,b=4,c=2,则函数f(x)==当x>4时,f(x)=2x>24=16,当x≤4时,f(x)=(x-2)2+3≥3,综上f(x)≥3,即函数的值域为[3,+∞).答案:[3,+∞)关闭Word文档返回原板块。
2022届高三数学(人教A版文)复习习题：第二章 函数 课时规范练8 Word版含答案
课时规范练8幂函数与二次函数基础巩固组1.已知幂函数f(x)=k·xα的图象经过点,则k+α=()A. B.1 C. D.22.(2021河北沧州质检)假如函数f(x)=x2+bx+c对任意的x都有f(x+1)=f(-x),那么()A.f(-2)<f(0)<f(2)B.f(0)<f(-2)<f(2)C.f(2)<f(0)<f(-2)D.f(0)<f(2)<f(-2)3.(2021浙江,文5)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关4.若函数f(x)=x2-|x|-6,则f(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.45.若a<0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是()A.5-a<5a<0.5aB.5a<0.5a<5-aC.0.5a<5-a<5aD.5a<5-a<0.5a6.(2021甘肃兰州模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上不同的任意两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③;④,其中正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②④D.②③7.(2021山东济宁模拟)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是()A.[0,4]B.C.D.8.若关于x的不等式x2+ax+1≥0在区间上恒成立,则a的最小值是()A.0B.2C.-D.-3〚导学号24190865〛9.(2021北京,文11)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.10.(2021宁夏石嘴第三中学模拟,文14)已知f(x)是定义域为R的偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2-2x,则f(-5)= .11.若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f= .12.已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.〚导学号24190866〛综合提升组13.若函数f(x)=x2+a在[0,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围是() A.[-2,0] B.[-4,0]C.[-1,0]D.14.(2021福建龙岩一模,文12)已知f(x)=x3,若x∈[1,2]时,f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则a的取值范围是()A.a≤1B.a≥1C.a≥D.a≤〚导学号24190867〛15.已知函数f(x)=2ax2+3b(a,b∈R).若对于任意x∈[-1,1],都有|f(x)|≤1成立,则ab的最大值是.16.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.(1)求证:对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根;(2)若<t<,求证:函数f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点.〚导学号24190868〛创新应用组17.(2021河南豫东联考)若方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,则的取值范围是.〚导学号24190869〛课时规范练8幂函数与二次函数1.C由幂函数的定义知k=1.由于f,所以,解得α=,从而k+α=.2.D由f(1+x)=f(-x)知f(x)的图象关于直线x=对称.∵f(x)的图象开口向上,∴f(0)<f(2)<f(-2).3.B由于最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f=b-中取,所以最值之差肯定与a有关,与b无关,故选B.4.B当x>0时,由f(x)=x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,所以x=3;当x<0时,由f(x)=x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,所以x=-3.故f(x)的零点个数为2.故选B.5.B由于5-a=,又由于当a<0时,函数y=x a在(0,+∞)内单调递减,且<0.5<5,所以5a<0.5a<5-a.6.D设函数f(x)=xα,由点在函数图象上得,解得α=,即f(x)=.由于g(x)=xf(x)=为(0,+∞)内的增函数,所以①错误,②正确;由于h(x)=为(0,+∞)内的减函数,所以③正确,④错误.7.D二次函数图象的对称轴的方程为x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,结合图象可得m∈.8.C由x2+ax+1≥0,得a≥-上恒成立.令g(x)=-,由于g(x)在上为增函数,所以g(x)max=g=-,所以a≥-.9. 由于x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,x∈[0,1],所以当x=0或1时,x2+y2取最大值1;当x=时,x2+y2取最小值.因此x2+y2的取值范围为.10.-1由题意得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[2-(x+2)]=f(-x)=f(x),即f(x)是以4为周期的偶函数,所以f(-5)=f(5)=f(1)=12-2×1=-1.11. 设f(x)=xα(α∈R),由题意知=3,即2α=3,解得α=log23,所以f(x)=.于是f.12.(3,5)∵f(x)=(x>0),∴f(x)是定义在(0,+∞)内的减函数,又f(a+1)<f(10-2a),∴解得∴3<a<5.13.C f(x)=x2+a要使f(x)在[0,+∞)内单调递增,应有解得-1≤a≤0.故实数a的取值范围是[-1,0].14.C∵f(-x)=-f(x),f'(x)=3x2>0,∴f(x)在(-∞,+∞)内为奇函数且单调递增.由f(x2-ax)+f(1-x)≤0,得f(x2-ax)≤f(x-1),∴x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0.设g(x)=x2-(a+1)x+1,则有解得a≥.故选C.15. (方法一)由|f(x)|≤1,得|f(1)|=|2a+3b|≤1.所以6ab=2a·3b≤(2a+3b)2≤.当且仅当2a=3b=±时,等号成立.所以ab的最大值为.(方法二)由题意得故因此ab=(f(1)-f(0))f(0)≤.故ab的最大值为.16.证明 (1)∵f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t,∴f(x)=1⇔(x+2t)(x-1)=0,(*)∴x=1是方程(*)的根,即f(1)=1.因此x=1是f(x)=1的实根,即方程f(x)=1必有实根.(2)当<t<时,f(-1)=3-4t>0,f(0)=1-2t=2<0,f(2t-1)+1-2t=-t>0.又函数f(x)的图象连续不间断,且对称轴x=-t满足-t∈,∴f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点.17. 令f(x)=x2+ax+2b,∵方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,∴作出上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(不含边界),其中A(-3,1),B(-2,0),C(-1,0).设点E(a,b)为区域内的任意一点,则表示点E(a,b)与点D(1,2)连线的斜率.∵k AD=,k CD==1,由图可知k AD<k<k CD.故的取值范围是.。
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第二章函数、导数及其应用
第六节幂函数、二次函数
课时规范练
A组—-基础对点练
1．幂函数y＝f(x）的图像经过点(3，3，3）,则f(x）是() A．偶函数，且在(0,＋∞）上是增函数
B．偶函数,且在(0,＋∞）上是减函数
C．奇函数,且在(0,＋∞）上是增函数
D．非奇非偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数
解析:设幂函数f（x）＝xα，代入点(3,错误!）,得：错误!＝3α，解得α
＝1
3，所以f（x）＝x错误!，可知函数为奇函数，在（0，＋∞）上单调递增．
答案：C
2．若a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，则a，b,c的大小关系是（）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
解析：因为y＝x错误!在第一象限内是增函数，所以a＝错误!错误!＞b ＝错误!错误!,因为y＝错误!错误!是减函数，所以a＝错误!错误!＜c＝错误!错误!，所以b＜a＜c.
答案：D
3．若存在非零的实数a,使得f(x)＝f（a－x)对定义域上任意的x 恒成立，则函数f(x)可能是()
A．f(x）＝x2－2x＋1 B．f（x)＝x2－1
C．f(x）＝2x D．f（x）＝2x＋1
解析：由存在非零的实数a，使得f(x）＝f（a－x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图像的对称轴为x＝错误!≠0，只有f（x)＝x2－2x＋1满足题意，而f(x)＝x2－1；f(x）＝2x;f（x)＝2x＋1都不满足题意，故选A.
答案：A
4．若幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图像如图所示，则m与n的取值情况为(）
A．－1＜m＜0＜n＜1
B．－1＜n＜0＜m
C．－1＜m＜0＜n
D．－1＜n＜0＜m＜1
解析:幂函数y＝xα,当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上为增函数，
且0＜α＜1时，图像上凸,∴0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在（0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2,根据图像可得2－1＜2n,
∴－1＜n＜0,综上所述，故选D.
答案：D
5．命题“ax2－2ax＋3＞0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是（)
A．a＜0或a≥3 B．a≤0或a≥3
C．a＜0或a＞3 D．0＜a＜3
解析：若ax2－2ax＋3＞0恒成立，则a＝0或错误!可得0≤a＜3，故当命题“ax2－2ax＋3＞0恒成立"是假命题时，a＜0或a≥3.
答案：A
6．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图像是()
解析：∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0,
∴a＞0，c＜0，
∴y＝ax2＋bx＋c的开口向上,且与y轴的交点（0，c）在负半轴上．故选D。
答案：D
7．已知命题p:存在n∈R,使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0,＋∞）上单调递增；命题q：“存在x∈R，x2＋2>3x”的否定是“任意x∈R，x2＋2<3x"．则下列命题为真命题的是(）
A．p且q B．(非p)且q
C．p且（非q) D．（非p）且（非q)
答案:C
8．已知0<m〈n<1，且1<a〈b，下列各式中一定成立的是(）A．b m〉a n B．b m〈a n
C．m b〉n a D．m b〈n a
解析:∵f(x）＝x a（a>1)在(0，＋∞）上为单调递增函数，且0〈m 〈n〈1,∴m a<n a,又∵g(x)＝m x(0〈m<1)在R上为单调递减函数，且1〈a〈b，∴m b<m a.
综上，m b<n a，故选D.
答案：D
9．若x＞1，x a－1＜1，则a的取值范围是________．
解析：因为x＞1，x a－1＜1,所以a－1＜0,解得a＜1。
答案:(－∞,1）
10．设函数f(x）＝错误!则使得f（x)≤4成立的x的取值范围是________．
解析:f(x）的图像如图所示，
要使f(x)≤4，只需x错误!≤4,∴x≤64.
答案：(－∞，64］
B组-—素养提升练
11．有四个幂函数：①f（x)＝x－1;②f(x)＝x－2；
③f(x）＝x3；④f(x)＝x错误!。
某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；（2）值域是{y｜y∈R，且y≠0｝;(3）在（－∞,0）上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确,一个错误，则他研究的函数是()
A．① B．②
C．③ D．④
解析：f（x）＝x－1只满足（2)；f(x)＝x3只满足(3)；f（x)＝x错误!只满足(3)．f（x）＝x－2是偶函数，在（－∞，0）上是增函数，但是其值域是{y｜y＞0｝．故选B.
答案:B
12．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m］,值域为错误!，则m 的取值范围是（)
A．［0,4] B．错误!
C.错误!D．错误!
解析：如图，二次函数图像的对称轴为x＝错误!,
则f错误!＝－错误!,f（3）＝f(0）＝－4，由图像得m∈错误!.
答案：D
13．已知α∈错误!，a＝（cos α)cos α，b＝（sin α)cos α，c＝（cos α）sin α,则(）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．c＜a＜b
解析：因为α∈错误!,所以0＜cos α＜错误!,cos α＜sin α,根据幂函数的性质，可得（sin α)cos α＞（cos α）cos α，
根据指数函数的性质，可得(cos α)cos α＞(cos α)sin α，
所以c＜a＜b，故选D.
答案:D
14．（2020·保定模拟)已知函数f(x）既是二次函数又是幂函数，函数g(x)是R上的奇函数，函数h(x）＝错误!＋1，则h(2 018)＋h
（2 017）＋h（2 016）＋…＋h（1）＋h（0）＋h（－1）＋…＋h（－2 016）＋h(－2 017)＋h（－2 018）＝（)
A．0 B．1
C．4 036 D．4 037
解析:因为函数f（x）既是二次函数又是幂函数,
所以f(x）＝x2，所以h（x)＝错误!＋1，
因为g（x）是R上的奇函数，
所以h（x)＋h(－x)＝错误!＋1＋错误!＋1＝2，
h（0）＝错误!＋1＝1，
因此h（2 018）＋h（2 017）＋h(2 016）＋…＋h(1）＋h（0)＋h （－1)＋…＋h(－2 016）＋h（－2 017）＋h（－2 018)＝2 018×2＋1＝4 037，选D。
答案:D
15．已知二次函数f(x)满足f(2＋x）＝f（2－x）,且f（x)在[0，2］上是增函数，若f(a）≥f(0），则实数a的取值范围是________．解析：由f(2＋x)＝f（2－x）可知，函数f（x)图像的对称轴为x ＝错误!＝2，又函数f（x）在［0，2］上单调递增,所以由f(a)≥f （0)可得0≤a，而f（x)在[2，＋∞)上为减函数，由f(a)≥f（0）得f（a)≥f（4),∴a≤4，综上有0≤a≤4。
答案：[0,4]
16．已知函数f（x）＝x－错误!，g(x）＝x2－2ax＋4，若对任意x1∈［0，1］，存在x2∈［1，2］,使f（x1)≥g(x2)，则实数a的最小值是________．
解析：由题意可得，原不等式转化为f(x)min≥g（x)min，显然，f （x）在区间［0,1]上是单调递增函数,所以f(x)min＝f(0)＝－1，当a＜1时,g(x）min＝g（1)＝5－2a≤－1,解得a≥3，与a＜1矛盾，舍去，
当a＞2时，g（x)min＝g（2)＝8－4a≤－1，解得a≥错误!，所以a≥
错误!，
当1≤a≤2时，g（x）min＝g(a）＝4－a2≤－1,
解得错误!≤a或a≤－错误!,与1≤a≤2矛盾,舍去．
综上所述，a≥错误!，所以实数a的最小值是错误!.
答案:错误!。