任意角的三角函数(一)
任意角的三角函数及基本关系与诱导公式
提 知 能 · 典 例 探 究 明 考 情 · 高 考 体 验 课 后 限 时 自 测
第三章
任意角的三角函数
及基本关系与诱导公式
1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角 和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角． (3)若 β 与 α 是终边相同的角，则 β 用 α 表示 为 β＝2kπ＋α(k∈Z) ．
2 2
[ 答案]
2 5 － 5
【典例 4】
π 0<θ< ，则 4
4 (2014· 镇海中学模拟)已知 sin θ＋cos θ＝ 3 )
sin θ－cos θ 的值为(
2 A. 3 1 C.3
2 B．－ 3 1 D．－3
[ 解析]
4 ∵sin θ＋cos θ＝ ， 3
2
16 ∴(sin θ＋cos θ) ＝1＋sin 2θ＝ ， 9 7 ∴sin 2θ＝ . 9 π 又 0<θ< ，∴sin θ<cos θ， 4 ∴sin θ－cos θ＝－ sin θ－cos θ2 2 ＝－ 1－sin 2θ＝－ . 3 [ 答案] B
为
4 αα＝2kπ＋ π， 3
， 故 所 求 角 的 集 合 为
4 α＝2kπ＋3π，
π α α＝2kπ＋ ， 3 π αα＝kπ＋ ， 3
k∈Z
∪ α
k ∈ Z ＝
k∈Z.
3 (2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋ π(k∈Z)， 2 π α 3 ∴kπ＋ ＜ ＜kπ＋ π(k∈Z)． 2 2 4 π α 3 α 当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋ ＜ ＜2nπ＋ π， 是第二象限 2 2 4 2 角， 3π α 7 α 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋ ＜ ＜2nπ＋ π， 是第四 2 2 4 2 象限角， α 综上知，当 α 是第三象限角时， 是第二或第四象限角． 2
1.2任意角的三角函数((不知年级))全面版
2 若lg(sintan)有意义，则是（C）
A 第一象限角
B 第四象限角
C 第一象限角或第四象限角
D 第一或第四象限角或x轴的正半轴
3 已知的终边过点(3a-9,a+2),且cos0, sin>0,则a的取值范围是 -2<a3 。
例3 若是是第二象限角, 且|cos(/2)|=- cos(/2), 问/2是第几象限角？
公式一：sin(α ＋ k·2π )＝sinα cos(α ＋ k·2π )＝cosα
tan(α ＋ k·2π)＝tanα
(k∈Z)
说明：
1 运用公式时， k∈Z不能省略！ 2 α ＋ k·2π， k∈Z表示任意
与 α终边相同的角。 3 此公式表明求任意角的三角函数
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
练习 已知是第三象限角，且sin(/2)<0， 则( B ) A cos(/2)<0 B cos(/2)>0 C tan(/2)>0 D cot(/2)>0
只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其 目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小 小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去 丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的 渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于 “我”，而是观察一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们 奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约 约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局， 或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，开 了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少， 走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会 了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！ 一生有多少 属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途美丽的风景，淡漠了 对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。 见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的 藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的 沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？ 长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时
任意角的三角函数1
第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数（1）学习目的：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）.学习重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。
公式一是本小节的另一个重点.学习难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.课堂探究：一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b a sinA cosA tanA c c b===．角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y xα=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y xα=无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r、x r、y x分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数。
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数(1)课时提升作业1新人教A版必修4
任意角的三角函数(一）(15分钟30分）一、选择题（每小题4分，共12分)1。
求值sin750°=( ）A。
- B. — C.D。
【解析】选C.sin 750°= sin（2×360°+ 30°)=sin 30°=。
2.(2015·晋江高一检测）如果角θ的终边经过点(，-1），那么cosθ的值是( ）A.—B。
- C. D.【解析】选C。
点（，-1）到原点的距离r==2，所以cosθ=.【延伸探究】将本题中点的坐标改为(—1，），求sinθ-cosθ。
【解析】点（-1,）到原点的距离r==2，所以sinθ=，cosθ=-,所以sinθ-cosθ=—=。
3.(2015·北京高一检测）已知α∈（0,2π)，且sinα<0，cosα〉0,则角α的取值范围是( ）A。
B.C. D.【解析】选D。
因为sinα〈0，cosα〉0，所以角α是第四象限角，又α∈(0，2π），所以α∈.二、填空题（每小题4分，共8分)4。
求值：cosπ+tan=______【解析】cosπ=cos=cos=,tan=tan=tan=，所以cosπ+tan=+.答案：+5.(2015·南通高一检测)若角135°的终边上有一点(—4，a），则a的值是________.【解析】因为角135°的终边与单位圆交点的坐标为，所以tan 135°==-1，又因为点(—4，a)在角135°的终边上，所以tan 135°=,所以=-1,所以a=4.答案：4【补偿训练】如果角α的终边过点P(2sin 30°，—2cos 30°）,则cosα的值等于________。
【解析】2sin 30°=1,—2cos 30°=—，所以r=2，所以cosα=.答案：三、解答题6.（10分)判断下列各式的符号.（1)sinα·cosα（其中α是第二象限角）。
高中数学第三章三角函数3.2任意角的三角函数3.2.1任意角三角函数的定义一课件湘教版必修2
2.三角函数在各个象限的符号
3.三角函数的定义域 三角函数 sin α,cos α
tan α,sec α
cot α,csc α
定义域 R
{α|α≠kπ＋π2,k∈Z} {α|α≠kπ,k∈Z}
要点一 三角函数定义的应用 例 1 已知角 α 的终边在直线 y＝－3x 上,求 10 sin α＋co3s α 的值.
解 由题意知,cos α≠0. 设角α的终边上任一点为P(k,－3k)(k≠0),则
x＝k,y＝－3k,r＝ k2＋－3k2＝ 10|k|.
(1)当 k>0 时,r＝ 10k,α 是第四象限角,
sin
α＝yr＝ －130kk＝－3
10 10 ,
1 cos
α＝xr＝
1k0k＝
10,
∴10sin α＋co3s α＝10×－3 1010＋3 10
规律方法 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意
到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原
点 的 任 意 一 点 坐 标 (a,b), 则 对 应 角 的 正 弦 值 为 sin α ＝
b ,cos α＝ a2＋b2
a ,tan
a2＋b2
α＝ba.
跟踪演练 1 已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半
答 锐角A的正弦,余弦,正切依次为：
sin A＝ac,cos A＝bc,tan A＝ab.
[预习导引]
1.三角函数的定义
(1)正弦、余弦、正切
如图,在α的终边上任取一点P(x,y),设OP＝r
y
x
y
(r≠0).定义：sin α＝ r ,cos α＝r ,tan α＝ x ,
任意角的三角函数1
π
0
−1
3π 2
2π
sinα cosα tanα
0
1
3 2 1 2
1
−1
0
1
0
不存在
0
不存在01来自300
已知角 α 终边上一点 P（ − 3 ，y），且 sin α = 2 y， 例4 4 求 cos α、tan α 的值。
2 解： 由已知得 r = （ − 3 ）+ y 2 = 3 + y 2
y y ∴ sin α = = ，又 sin α = 2 y r 4 3 + y2
x
x cot α = x . cot 叫做α的余切，记作： ④比值 叫做 的余切，记作： α 即 y y
r sec α 即 sec α = r . 记作： 记作 正割， ⑤比值 x 叫做α的正割， ： x
r csc α 即 csc α = r . 叫做α的余割， 记作： ⑥比值 叫做 的余割， 记作： y y
任意角的三角函数定义
是任意角， 的终 设α是任意角，α的终 是任意角 边上任意一点 P(x , y) (除端点外 ， 除端点外) 除端点外 它与原点的 距离为r，则 距离为 ，
r=
x + y
2
2
=
x 2 + y 2 > 0.
定 义：
y y 叫做α的正弦， 记作： ①比值 叫做 的正弦， 记作： α 即 sin α = . sin r r
x. x cos 记作： 记作： α 即 cos α = 余弦， ②比值 叫做α的余弦， r r
y y 叫做α的正切， 记作： ③比值 叫做 的正切， 记作： α 即 tan α = . tan x x
任意角的三角函数
三角函数定义域
三角函数 定义域
sin cos
tan
R
R
k , k z 2
cot
k , k z
sec csc
k , k z
k , k z 2
（二）过关训练
1、角a的终边在直线y=2x上，求a的六个三角 函数值。 2、若角a终边上有一点p(-3,0)，则下列函数 值不存在的是（ ）． A sina B cosa C tana D cota 3 , 3、角a的终边上一点p(-3,x),且 cos 5 则x= 。 1 y tan 的定义域为 4、函数 。 cos 5、角a的终边经过点p(-4m,3m)(m≠0)，求 sina,cosa,tana,cota的值。
四、小结
本节课我们学习了什么？ (1)任意角的三角函数的定义，它是一个比值，与点 P在角a的终边的上的位置无关，与a 角有关。 (2)三角函数的定义域。 (3)任意角的三角函数的定义的应用。
五、作业
1、《红对勾》P11-12：2、4、6、8、12、 13。 2、书P19练习1、2，P20习题3、4、5、6。
（二）例题讲解
例、求下列角的六个三角函数值： （ 1） 0 （2）3 2
三、学生练习
（一）、基础练习：
1、已知角a的终边经过点P(-2，－3)，求a的 六个三角函数值. 2、求 2 的六个三角函数值. 3、函数 y sin x cos x 的定义域为 。 4、已知角a的终边经过点P(-2m，－3)，求a 的六个三角函数值.
任意角的三角函数（一）
高中数学 任意角的三角函数教案 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案
任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； 〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； 〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、 三角函数在各象限角的符号；3、 三角函数在轴上角的值；4、 诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、 三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向 时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解 例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1． 作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评 例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． 〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。
人教版高中数学必修四第一章三角函数1.2任意角的三角函数(教师版)【个性化辅导含答案】
任意角的三角函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
3.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题. （一）任意角的三角函数： 任意点到原点的距离公式：22y x r +=1.三角函数定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=；（3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.说明：（1）α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；（2）根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； （3）当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义；（4）除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx、x y 分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
任意角的三角 函数(1)
y sin r
B（x，y）
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
B（x，y） r α A C x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
B（x，y） r α A x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y B（x，y）
r α A x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y B（x，y） （2，4） r （1，2） β α A x
教法、学法分析
1.教学方法 根据本节课的内容和学生认知水平，贯彻启发 性教学原则，充分体现以教师为主导，以学生为主 体，以思维创新为主线的教学思想，本节课的教学 方法主要有“问题探究、启发诱导、合作讨论、分 层教学”相结合，用“问题”组织教学，激发学生 的“求异”思维，通过合作讨论，实现师生互动， 生生互动，让学生相互合作，学会总结，在探索中 学习，在研究中提高。
2 2
合作讨论
教学程序设计 形成概念
概念的理解： 问题1. 角的三角函数值与所选的点的位置是否有关? 问题2. 任意角均有对应的三角函数值吗? 设计意图： 通过合作讨论，培养学生的合作精神，增 强学生的参与意识，充分体现学生的主体地位，提高 学生的交流、表达能力
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
P o M x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
P
o M
x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y P
M
o
x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
P
M
o
x
合作讨论
教学程序设计 形成概念
y
P
M
o
x
1.2.1任意角三角函数1
正切为正
余弦为正
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
意为：第一象限各三角函数均为正,第二象限只有正弦及与正弦相关的余 割为正,其余均为负 第三象限正切、余切为正，其余为负，第四象限余弦及与之相关 的正割为正，其余皆为负。
例1：
已知角α 的终边经过点p(2，－3)，
求角α 的正弦、余弦和正切值。
例2
确定下列各三角函数值的符号：
自学检测：
P16 练习：1、 2、
锐角三角函数的定义：
sin _____; _____; _____ cos tan
y r
P(x,y)
x
α
o M
y x y sin ; cos ; tan r r x
定义： y y ①比值 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin ． r r x x ②比值 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos ． r r y 叫做 的正切，记作 ③比值 ， tan P(x,y) y x y 即 tan ． r
正弦、余弦、正切函数值在各个象限的符号
正弦值y对于第一、二象限的角是正的，对于第三、四 象限的角是负的。
余弦值x 对于第一、四象 限的角是正的，对于第二、 三象限的角是负的。
y 正切值 对于第一、三象限的角是正的， x 对于第二、四象限的角是负的。
三角函数值的符号问题
y
正弦为正
o
三角函数全为 正
11 (3) tan . 3
7 (1) cos . 12
(2) sin(465);
分层训练
• 必做题 P16 练习：3、4、5 • 选做题 P23 习题：6 • 作业 P23 ：习题：1、5
任意角的三角函数一
任意角的三角函数学习目标 ：1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2. 理解任意角的三角函数不同的定义方法；3. 已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.学习重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。
学习难点: 任意角的三角函数不同的定义方法；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.知识链接：1：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.（1）坐标轴上； （2）第二象限.2：锐角的三角函数如何定义？如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b，它与原点的距离0r =. 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b . 则sin MP b OP rα==；cos α= = ； t a n MP OM α== . 新课导学：1.任意角的三角函数的定义问题1： 将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：sin MP OP α== ；cos OM OPα== ； tan MP OM α== . 问题2：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么，角的概念推广以后，我们应该如何推广到任意角呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为 ，然后就可以类似锐角三角函数求得该角的三角函数值.新知：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.问题3：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：（1） 叫做α的正弦(sine)，记做sin α；（2） 叫做α的余弦(cossine)，记做cos α；（3）_______叫做α的正切(tangent)，记做tan α.即：sin y α=，cos x α=，tan (0)y x xα=≠.试试：角34π与单位圆的交点坐标为 ，则3s i n 4π= ，3cos 4π= ，3tan 4π= . 反思： ①当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于 ，所以 无意义.② 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r >，则：sin y rα=；cos α= ； tan α= . 典例解析： 例1、 求35π角的正弦、余弦和正切值．变式练习： 求56π角的正弦、余弦和正切值。
任意角的三角函数(一)
y
5 3
5 3 5 1 cos sin 3 2 3 2
1 3 ( , ) 2 2
5 tan 3 3
，
o
﹒
A
x
﹒B
点评：若已知角α的大小，可求 出角α终边与单位圆的交点， 然后再利用定义求三角函数值。
例3 已知角 的终边经过点 P0 (3,4)，求角 弦和正切值 . 解:由已知可得 | OP0 | (3) 2 (4) 2 5
OMP ∽ OM P
能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？
若OP r 1 ，则 以原点为圆心,以单
Y
位长度为半径的圆 叫做单位圆.
P(a,b)
O M
MP sin OP OM cos OP X
b
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y)
y 那么:（1） 叫做
α的终边
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y tan ，即 tan y ( x 0) （3） 叫做 的正切，记作
归纳总结
1. 内容总结： ①任意角三角函数的概念. ②三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限 的符号. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 化归的思想，数形结合的思想.
课后作业
课本第20页 习题1.2 A组 3 、 4题.
思考题：求终边落在直线y=x上的三角函数
y
MP b sin OP r
OM a cos OP r
1.2.1.1任意角三角函数
第1课时 任意角的三角函数(一)任意角的三角函数的定义sin α，即sin α＝y cos α，即cos α＝x ，即tan α＝yx(x ≠0) 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数到一个比值的集合的函数．三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．Z }三角函数值在各象限的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦状元随笔 对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离总是正值．根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y 的符号；．sin 750°＝________.类型一三角函数的定义及应用1(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________ 2x”其他条件不变，结果又如何？的值为；（1）将本例中条件“x＞0”改为“x＜0”，结果如何？（2）将本例中条件“x＞0”改为“x≠0”，结果又怎样？（3）将本例中“P(x，3)”改为“P(x，3x)”，且把“cos θ＝10x10”去掉，结果又怎样？A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.方法归纳判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y 轴的非负半轴上. 跟踪训练1 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5.2．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是 ． 3．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第 象限角．(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π.7．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是________．8．已知角α的终边经过点P (3,4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t ＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知角α的终边为射线y ＝－34x (x ≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．10．判断下列各式的符号：(1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.11．若α是第一象限角，则－α2是( )A ．第一象限角B ．第四象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角 12．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 13．计算：(1)sin 390°＋cos(－660°)＋3tan 405°－cos 540°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－7π2＋tan π－2cos 0＋tan 9π4－sin 7π3.14．已知角α的终边过点(a,2a )(a ≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．第2课时 任意角的三角函数(二)1.相关概念(1)单位圆：以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆． (2)有向线段：带有方向(规定了起点和终点)的线段．规定：方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值． 2．三角函数线状元随笔 (1)三角函数线的方向．正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的，为正值，与x 轴或y 轴反向的，为负值． (1)角的三角函数线是直线．( )(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度．( )(3)第二象限的角没有正切线．( )2．有下列四个说法：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边相同． 不正确说法的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT 4．已知sin α>0，tan α<0，则α的( )A ．余弦线方向向右，正切线方向向下B ．余弦线方向向右，正切线方向向上C ．余弦线方向向左，正切线方向向下D ．余弦线方向向上，正切线方向向左类型一 三角函数线的作法【例1】 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.类型二 利用三角函数线比较大小【例2】 (1)已知A ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin β B ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin β D ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β (2)利用三角函数线比较sin2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．方法归纳利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．跟踪训练1．已知a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c2 设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？类型三 利用三角函数线解不等式(1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12.1．将本例(1)的不等式改为“cos α＜22”，求α的取值范围 2．将本例(3)的不等式改为“－12≤sin θ＜32”，求α的取值范围3．利用本例的方法，求函数y ＝2sin x －1的定义域．方法归纳利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．跟踪训练3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．(1) sin α≥32；(2)cos α≤－12.一、选择题(每小题5分，共25分)1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM3．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．04．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D.[]0，π5．如果π4<θ<π2，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ二、填空题(每小题5分，共15分)6．比较大小：sin 1________sin π3(填“>”或“<”)．7．不等式tan α＋33>0的解集是________________________．8．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．三、解答题(每小题10分，共20分)9．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)5π6；(2)－2π3.10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：(1)tan α＝－1；(2)sin α≤－22.11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、第四象限的角平分线上D ．第一、第三象限的角平分线上12．若cos θ>sin 7π3，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．13．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，试利用三角函数线证明sin α＋cos α>1.。
高中数学任意角的三角函数(一)
答：在 Rt△ABC 中，∠B＝90° ， BC AB BC 则 sinA＝AC，cosA＝AC，tanA＝AB.
问题二：sin30° ，sin45° ，sin60° ，cos30° ，cos45° ，cos60° 的 值分别是多少？
1 2 3 3 答： sin30° ＝2， sin45° ＝2， sin60° ＝2， cos30° ＝2， cos45° 2 1 ＝ 2 ，cos60° ＝2.
(3) 三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点 P(x，y)在终边上的位置无关，只由角 α 的终边位置确定．即三角 函数值的大小只与角有关．
2．三角函数值的符号规律 由任意角三角函数的定义以及各象限内的点的坐标的符号可 以确定三角函数值的符号，其规律可简记为“一全正，二正弦， 三正切，四余弦”．
1 点的坐标为 2，
3 . 2
【答案】
1 2，
3 2
【名师点拨】 (1)由于三角函数值的大小与点 P(x，y)在终边上的位置无关， 所以已知角 α 终边上一点 P(x，y)，求三角函数值时，可直接利用 y x y 公式：sinα＝r ，cosα＝r ，tanα＝x，其中 r＝ x2＋y2. (2)当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数，必要时， 要对参数进行讨论．
第一章
三角函数
1．2 任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数 第一课时 任意角的三角函数(一)
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梳理知识 夯实基础
1．掌握任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 2．能判断任意角的三角函数值的符号． 3．掌握公式一．
问题一：在初中我们已经学过锐角的三角函数，锐角的三角 函数是如何定义的？
课堂互动探究
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
教学目标：
1.理解并掌握任意角三角函数的定义.
2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.
3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
教学重、难点：
1.任意角三角函数的定义.
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
4) 例3.已知角的终边经过点 P0 (3,，求角的正弦、 余弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3) 2 (4) 2 5 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y ) ， M 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP、 0 P0 P
2013-1-11
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
9
§1.2.1-1 任意角的三角函数(一)
⑤定义域：
y y 1)对于正弦函数 sin ，因为ｒ＞0，所以 r 恒有 ry
意义，即取任意实数， 恒有意义，也就是说sin r 恒有意义，所以正弦函数的定义域是R； 2)类似地可写出余弦函数的定义域R ； y y 3)对于正切函数 tan ，因为x＝0时， 无意义，即 x x tan 无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时， y 才有x＝0，所以当的终边不在纵轴上时， 恒有意 x 义，即tan 恒有意义，所以正切函数的定义域是: k ( k Z) 2 2013-1-11 10 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
b 邻边 cos A r 斜边 a 对边 tan A b 邻边
A (0, ) 2
思考：角的范围已经推广，那么对任意角是否也能 像锐 角一样定义其三种三角函数呢？
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，故
P（x，y）
2
3
sin 2 3 cos 2 － 1
MO
x
32
32
tan 2 3
3
思考6:在弧度制中，这三个三角函数的 定义域分别是什么？
正、余弦函数的定义域为R，
正切函数的定义域是
|
2
k
,
k
的正弦 : sin y 的余弦: cos x
sin y
α 的终边
cos x
P(x，y)
tan y (x 0)
x
y α 的终边 P(x,y)
Ox
思考5：三角函数该如何定义呢？
对应关系 sin y ， cos x ，
tan y (x 0)都是以角为自变量，以单位圆
x
上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,
的正切: tan y
x
正弦 y
余弦 x
正切 y
x
例2 已知角 的终边经过点 P0 (3,4) ，求 角 的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得 OP (3)2 (4)2 5
y
O
设角 的终边与单位圆交于 P(x, y) ，
分别过点 P 、P0 作 x 轴的垂线 MP、M 0 P0 M0 M
ry
xM
x
以原点为圆心,以单位 长度为半径的圆叫做 单位圆.
sin MP y OP
cos OM x
OP
tan
MP OM
y x
思考：设α 是一个任意角，它的终边与单位圆 交于点P（x，y），为了与当α 为锐角时的三 角函数保持统一，你认为sinα ，cosα ， tanα 对应的值应分别如何定义？
分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，
并统称为三角函数.
y
Px, y﹒
O
A1,0x
sin y cos x
tan y (x 0)
x
注意：无论角a是第几象限角，它的三角函数 的定义都是一样。
例1、求 5 的正弦,余弦,正切的y值
3
x 1 y 3
2
2
sin 5 y 3
sin( k 360 ) y sin
r
cos( k 360 ) x cos
o r
tan( k 360 ) y tan
x
的终边
P(x, y)
ry
xM x
结论:终边相同的角的同一三角函数的值相等.
二、三角函数的诱导公式一:
sin 2k sin
4
(3) tan( 672o );
(4) tan 3.
例1:确定下列三角函数值的符号：
(1)cos 7 ; (2)sin(465 ); (3)tan 11
12
3
解：(1) 7 是第二象限的角，cos 7 0.
12
12
(2) -465 =-2 360 +255 ，即-465 是第三象限的角， sin(465 ) 0.
x 12
cos x 12
r 13
特殊角的三角函数:
角度 0
角的
弧度数 0
sin 0
cos 1 tan 0
30 45
64
12 22 32 22
31
3
60 90 180 270 360
32
3
2
2
3 1 0 1 0
2
1 2
0 1
0
1
不
不
3
存 在
0
存0
在
sin 、c os、tan 在各象限的符号问题?
cos 2k cos
tan 2k tan
作用：可以把任意角的正弦, 余弦, 正切函数值， 化为00 到3600的角的同一三角函数值 （方法在00 到3600 之间找出与它终边相同的角）。
例2、确定下列三角函数值的符号：
(1) cos 250o;
(2) sin( );
锐角三角函数 ? 任意角的三角函数
1、初中所学习的锐角三角函数分别是怎样规定的？
斜边
对
边
α
邻边
锐角三角函数
斜边
对
边
O 邻边
? 任意角的三角函数
y
.P（x，y）
ry
xM
x
思考：为了使sinα ，cosα 的表示式更 简单，你认为点P的位置选在何处最好？
若OP r 1，则
y
.P（x，y）
3
2
cos 5 x 1
3
2
tan 5 y 3
3x
5
3
1
O2
x 3
12
P
1 2
,
3 2
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与
单位圆的交点，然后再利用定义求三角函数
值。
练习：求角 2 的正弦、余弦和正切值。
3
分析：可得点
y
P( 1 , 2
3) 2
强调任意角 的三角函数值仅与 有关，而
与点 P在角的终边上的位置无关.
练习： 已知角 的终边过点 P12,5 ，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x2 y2 122 52 13
于是，sin y 5
r 13
tan y 5
一、三角函数值的符号:
sin y
o x
cos
y
o x
tan
y
o x
y
sin 全为+
ox
tan cos
规律:
一全正
三正切
二正弦 四余弦
sin( k 360 )与sin有关系吗?
k 360与终边相同的角
由三角函数的定义有
y
OP0
5
tan y sin 4 x cos 3
定义推广：
设角 是一个任意角，P(x, y) 是终边上的
任意一点，点 P与原点的距离r x2 y2 0
那么① y 叫做 的正弦，即sin y
r
② x 叫做
的余弦，即 cos rx
r
r
这也是计算角a三角函数值的重要方法！
M0P0 4
OM x
O
x
OM0 3
MP y
OMP ∽ OM 0P0
Px, y P0 3,4
于是，sin y y | MP | M0P0 4 ;
1 OP
OP0
5
cos x x OM OM0 3 ;
1 OP
y 的终边 的终边 y
P(x, y) P(x, y)
r r y
y
y
ro x o r x
P(x, y)
P(x, y)
o xM x
o x 的终边
的终边
(1)sinα y r
(2)cosα x r
(3)tanα y x
y
y
y
o x o x o x
sin cos tan