专题二：动力学临界极值问题

专题二：动力学中的临界极值问题

1．当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件．用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键．

2．临界或极值条件的标志

(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；

(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点

往往就是临界状态；

(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临界

点；

(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度．

3．动力学中的典型临界条件

(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N＝0.

(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．

(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T＝0.

(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a＝0时．

例1如图所示，质量为m＝1 kg的物块放在倾角为θ＝37°的斜面体上，斜面体质量为M＝2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ＝0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)

例2如图所示，物体A叠放在物体B上，B置于光滑水平面上，A、B质量分别为m A＝6 kg，m B＝2 kg，A、B 之间的动摩擦因数μ＝0.2，开始时F＝10 N，此后逐渐增加，在增大到45 N的过程中，则() A．当拉力F<12 N时，物体均保持静止状态

B．两物体开始没有相对运动，当拉力超过12 N时，开始相对运动

C．两物体从受力开始就有相对运动

D ．两物体始终没有相对运动

质疑与反思：

（1）、若m A =2Kg ，m B =6Kg ，则：

（2）、若F 作用于B 物体，则：

变式训练1如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 、2m 和3m 的三个木块，其中质量为2m 和3m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为F T .现用水平拉力F 拉质量为3m 的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是( )

A ．质量为2m 的木块受到四个力的作用

B ．当F 逐渐增大到F T 时，轻绳刚好被拉断

C ．当F 逐渐增大到1.5F T 时，轻绳还不会被拉断

D ．当轻绳刚要被拉断时，质量为m 和2m 的木块间的摩擦力为F T

变式训练2如图所示，水平桌面光滑，A 、B 物体间的动摩擦因数为μ(可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，A 物体质量为2m ，B 和C 物体的质量均为m ，滑轮光滑，砝码盘中可以任意加减砝码．在保持A 、B 、C 三个物体相对静止共同向左运动的情况下，BC 间绳子所能达到的最大拉力是( )

A ．.12

μmg B ．μmg C ．2μmg

D ．3μmg

变式训练3光滑水平面上并排放置质量分别为m 1＝2 kg 、m 2＝1 kg 的两物块，t ＝0时刻同时施加两个力，其中F 1＝2 N 、F 2＝(4－2t ) N ，方向如图所示．则两物块分离的时刻为( )

A ．1 s

B ．1.5 s

C ．2 s

D ．2.5 s

变式训练4一弹簧一端固定在倾角为37°的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为m 1＝4 kg 的物块P ，Q 为一重物，已知Q 的质量为m 2＝8 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝600 N /m ，系统处于静止，如图所示．现给Q 施加一个方向沿斜面向上的力F ，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 时间内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力，求：力F 的最大值与最小值．(sin 37°＝0.6，g ＝10 m/s 2)

专题二：动力学中的临界极值问题

1．当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫做临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫做临界条件．用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键．

2．临界或极值条件的标志

(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；

(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起

止点往往就是临界状态；

(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点往往是临

界点；

(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定加速度”等，即是要求收尾加速度或收尾速度．

3．动力学中的典型临界条件

(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N＝0.

(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．

(3)绳子断裂与松驰的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松驰的临界条件是：F T＝0.

(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件：当加速度变化为a＝0时．

例1如图所示，质量为m＝1 kg的物块放在倾角为θ＝37°的斜面体上，斜面体质量为M＝2 kg，斜面体与物块间的动摩擦因数为μ＝0.2，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)

审题指导此题有两个临界条件：当推力F较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性，

此时物块受到的摩擦力沿斜面向上；当推力F较大时，物块有相对斜面向上运动的可能性，

此时物块受到的摩擦力沿斜面向下．找准临界状态是求解此题的关键．

解析(1)设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力分析如

图所示，取加速度的方向为x轴正方向．

对物块，

水平方向有F N sin θ－μF N cos θ＝ma1

竖直方向有F N cos θ＋μF N sin θ－mg＝0

对M、m整体有F1＝(M＋m)a1

代入数值得：a1＝4.8 m/s2，F1＝14.4 N

(2)设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2，对物块受力分析如图，在水平方向有

F N′sin θ＋μF N′cos θ＝ma2

竖直方向有F N′cos θ－μF N′sin θ－mg＝0

对整体有F2＝(M＋m)a2

代入数值得a2＝11.2 m/s2，F2＝33.6 N