全等三角形解题常用方法与综合练习

构造全等三角形常用方法

在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS ”，“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“HL ”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS ”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。上述可归纳为：

()

()()

()S SSS S A SAS S S SAS A A AAS ASA ⎧⎧⎨

⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩

⎩用用用用或

搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考．

1．截长补短法

例1．如图（1）已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，

求证：AB+BE=AC ． 解法（一）（补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC ，

由已知△AEF ≌△AEC ，∴∠F=∠ACE=45º， ∴BF=BE ，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC ． 解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB ，由已知 △ ABE ≌△AGE ，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45º, ∴CG=EG, ∴AB+BE=AG+CG=AC ． 2．平行线法（或平移法）

若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt △,有时可作出斜边的中线． 例2．△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ， 求证：AB+BP=BQ+AQ ．

证明：如图（1），过O 作OD ∥BC 交AB 于D ，∴∠ADO=∠ABC

=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，

∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DAO=∠QAO ，OA=AO ， ∴△ADO ≌△AQO ，∴OD=OQ ，AD=AQ ，又∵OD ∥BP ，

∴∠PBO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠DBO ，∴∠DBO=∠DOB ，

∴BD=OD ，∴AB+BP=AD+DB+BP

=AQ+OQ+BO=AQ+BQ ．

说明：⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ ，连OD ，

构造全等三角形，即“截长补短法”． ⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： ① 如图（2），过O 作OD ∥BC 交AC 于D ，

则△ADO ≌△ABO 来解决．

② 如图（3），过O 作DE ∥BC 交AB 于D ， 交AC 于E ，则△ADO ≌△AQO ，△ABO ≌△AEO 来解决．

A B C P Q D O

O A B C P Q D

图（2）

A B C P

Q D E 图（3） O D

③ 如图（4），过P 作PD ∥BQ 交AB 的延长线于D ，

则△APD ≌△APC 来解决． ④ 如图（5），过P 作PD ∥BQ 交AC 于D ， 则△ABP ≌△ADP 来解决． （本题作平行线的方法还很多，感兴趣

的同学自己研究）．

3．旋转法

对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。 例3 如图3所示，已知点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 与CD 上，并且AF 平分EAD ∠，求证：BE DF AE +=。 分析：本题要证的BE 和DF 不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将ADF ∆绕点A 旋转90︒到ABG ∆，则

ADF ∆≌ABG ∆，BE =DF ，从而将BE BG +转化为线段GE ，

再进一步证明GE AE =即可。证明略。

4．倍长中线法

题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 例4．如图（7）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=BE ．

求证：AC=BF 证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD ，

∠BDH=∠ADC ，DH=DA ，

∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ， ∴∠DAC=∠AFE ，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE= 图（7）

∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ． 5．翻折法

若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．

例5．如图（8）已知：在△ABC 中，∠A=45º, AD ⊥BC ，若BD=3，DC=2， 求：△ABC 的面积．

解：以AB 为轴将△ABD 翻转180º，得到与它全等

的△ABE ，以AC 为轴将△ADC 翻转180º，得到 与它全等的△AFC ，EB 、FC 延长线交于G ，易证

四边形AEGF 是正方形，设它的边长为x ，则BG

=x －3，CG=x －2，在Rt △BGC 中，（x-3）2+（x-2）2=52

．

解得x=6，则AD=6，∴S △ABC=2

1×5×6=15． 图（8）

练习：

E A B C D

F H

A B C

D E

G

F A B C P

Q

图（4） D O

A B C P Q 图（5） D O

D

图 3

G

C

B

A E

F