副题04 空间点线面的位置关系(文)(解析版)

2020届高考数学23题对对碰【二轮精品】 第一篇

副题4 空间点线面的位置关系（文）

【副题考法】

本副题考题形式为选择题或填空题，以简单几何体与球的切接为载体考查球的几何性质与求得表面积与体积计算，以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体主要考查对线线、线面与面面平行和垂直判定与性质和利用空间向量知识计算异面直线角、线面角、二面等问题，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，难度为中等，分值为5分．

【主题考前回扣】

1. 球的性质：球被一个平面所截， （1）截面是圆；

（2）球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂；

（3）若球心到截面的距离为d ，球的半径为R ，截面圆的半径为r ，则222d r R +=. 2. 线面平行

（1）判定：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

（2）性质：一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 3.面面平行

（1）判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. （2）性质：①若两个平面平行，则一个平面内一条直线与另一个平面平行.

②如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.

4.线面垂直

（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直.记作：l ⊥

α.

（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. （3）性质定理：①垂直于同一个平面的两条直线平行.

②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. 5.面面垂直

（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平

面β垂直，记作αβ⊥.

（2）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

（3）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 6.异面直线所成的角

（1）定义：已知b a ,是异面直线，O 是空间任意一点，过O 作b b a a //,//''，则b a '',所成的锐角或直角叫异面直线b a ,所成的角. （2）范围：]2,0(π

.

【易错点提醒】

1.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件．

2.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．

【副题考向】

考向一 球与简单几何体的切接问题

【解决法宝】①涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解，球内接正棱锥、正棱柱、圆柱、圆锥的球心在高上，球的截面性质是求解此类问题重要工具.

②若球面四点P ，A ，B ，C 构成的线段PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，则22224c b a R ++=，把有关元素“补形”为一个球内接长方体(或其他图形)，从而显示出球的数量特征，这种方法是一种常用的好方法．

例1【2020甘肃武威一中期中】四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上中，4AB BC CD DA ====，22AC BD ==E 为AC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为( )

A ．5:4

B 52

C 52

D ．5:2

【分析】作出图形，根据几何体特征确定球心的位置，过点E 的最大截面即为过球心的大圆，最小截面即为AC 为直径的圆．

【解析】如图，取BD 中点F ，连接AF 、CF ，

AB AD =，BC CD =， AF BD ∴⊥，CF BD ⊥，

ABD ∴∆与BDC ∆的外心在直线AF 与CF 上，分别设为G 、H ，连GH ，

分别过G 、H 作平面ABD 与平面BDC 的垂线，交于点O ，

则点O 为四面体ABCD 的外接球球心，且点A 、G 、F 、H 、C 、E 、O 都在同一平面上 在ABD ∆中，易得14AF =，14

sin AF ABD AB ∠==

， 所以由正弦定理得2sin AD R ABD =∠，其中R 为ABD ∆的外接圆半径，解得414R =，即414

AG =，

所以314FG =

， 因为三角形ABD CBD ≅∆，所以314

FH =

， 在AFC ∆中，由余弦定理可得5cos 7AFC ∠=，所以26

sin AFC ∠=

在GFH ∆中，由余弦定理得62GH = 由正弦定理得

12sin GH

R AFC

=∠，其中1R 为GFH ∆的外接圆半径，解得123R =，

因为OG AF ⊥，OH CF ⊥，所以OGFH 四点共圆，连接OF ，则OF 为直径， 所以123OF R ==，

连接OB ，则OB 为四面体外接球的半径，设为1r ， 则2215r OF BF =+=，

当过点E 的截面经过球心O 时，截面面积最大，其面积记为1S 又因为AF CF =，E 为中点， 所以FE AC ⊥，且球心O 也在EF 上，

所以以AB 为直径的圆为过点E 的最小截面，其半径为22r =，其面积记为2S 所以221212::5:2S S r r ==，故选D ．