第二章-等额年金(上)

15971 (元） ＝4000 3.9927 ＝
例2 价 值10000 元 的 新 车 ， 购 买 者 计分 划期 付 款 方 式 ： 如 果 假设年名义利率为 18 ％ ， 计 算 首 次 付 款 金。 额
解：假设首次付款金额为A元
月实际利率： 18％／12＝1.5％
首 期 付 款 后 ， 在 今 后4 的 年内每月付款 250元 即 可 付 清 车 款 ，
解：
1 - v7 1 - v11 1 - v18 a7 , a11 , a18 i i i 1 - v 7 - v11 v 18 a7 .a11 i2 1 1 - v 7 1 v 11 1 v 18 ( ) 3i i i i
1 (a7 a11 a18 ) 3i
m
an am n am
（2）对于延期m个时期的期末付永续年金，试求其现值。
m
m v a lim a n v n i
m
（3）对于延期m个时期的期初付延期年金，试求其现值。
m
an an vm a n a m n a m
.. .. ..
..
..
m
m
a lima n v m
500000 (1 0.08)10 ＝1079462 .50
1079462 .50 500000 579462 .50 利息：
所以应付利息约为五十八万元
方式B：
每年末应付利息：500000 0.08 40000
十年应付利息： 10 40000 400000
所以应付利息为四十万元
v 1 vn ＝ 1 v


1 vn ＝ i
注:更一般的,假设年金的支付时期为m个时期，在每个时期末 支付A元,则现值B为： B＝A.an 例1 现在向银行存入一笔钱,希望在5年中每年末得到4000元,如 果年实际利率为8%,现在应存入多少钱? 解： B＝A.an ＝4000.a5
1 1 ( )5 1 0.08 ＝4000 . 0.08
方式C： 假设每年末偿付金额为R元 R.a10＝500000
1 (0.08)10 R 500000 R 74514 .54 0.08 十年末偿付金额为745145.4
十年应付利息：745145 .4 500000 245145 .4
例4：已知 a7 5.135, a11 7.036, a18 9.180, 计算i
2、期初付定期年金的终值
假设年金支付期限为 n个 时 期 ， 在 每 个 时 期 支 初 付1元 ， 其 终 值 一般用符号 sn 表 示
s n ＝(1 i ) (1 i )2 .. (1 i )n 2 (1 i )n
n 1 i 1 ＝ n 1 i 1 ＝
A s10 40000
10 1 0.06 1 A1 0.06 40000
A1 0.06s10 40000
0.06
元 A 2863
年金在任意时点上的值
1、年金在支付期限前任意时点上的值 2、年金在支付期限内任意时点上的值 3、年金在支付期限末任意时点上的值 1.1、年金在支付期限前任意时点上的值
n10
x 0.4s10 2 0.8an10 .1 0.06
n10
x 0.4s10 2 0.8an10 .1 0.06
n 15, x 5.2223276
n10
n 20, x 2.478978 n 25, x 1.192243
A 250a48 10000
A 250 34.04255 10000
A 1489 .36159
例3 现有十年期50万元贷款，年利率8％，试比较以下三种还贷 方式应付利息的情况： A－在第十年底一次付清 B－每年底偿还当年的利息，本金最后一次付清 C－每年底偿还固定的金额，十年还清 解：方式A：在第十年底一次还款为
假设年金的支付时期为n个时期，在每个时期末支付1元,其终值 一般用符号sn 表示 sn ＝ 1 (1 i ) (1 i )2 .. (1 i )n 2 (1 i )n1
n 1 i 1 ＝
i
注:更一般的,假设年金的支付时期为m个时期，在每个时期末支付A 元,则终值B为： B＝A.sn
i 8.27847 %
2、期初付定期年金的现值
假设年金支付期限为 n个 时 期 ， 在 每 个 时 期 支 初 付1元 ， 其 现 值 一般用符号 an 表 示
a n ＝1 v v 2 v 3 .. v n1
..
..
1 v 1 v ＝ ＝
n
n
1 v
d
注 更一般的,假设年金的支付时期为m个时期，在每个时期初支 付A元,则现值B为：
B A an
..
注:期初付定期年金的现值可通过期末付定期年金的现值求得。
n 1 v an ＝ d
..
i d 1 i
(1 v n ).1 i ＝ i
＝1 i an
..
an ＝ 1 an1
例1 某企业租用了一间仓库,一次性支付50000元的租金后可以使 用8年,假设年实际利率为6%,试计算如果每年初支付租金,该仓库的 年租金应为多少?
n
..
..
vm d
例1 某企业向银行借入一笔贷款，银行贷款的年利率为8％，银 行规定前10年不用还本付息，但从第11年至20年每年末偿还本息 2000元，问这笔贷款的金额是多少？ 解一：
m a a v n m n
（1）对于延期m个时期的期末付定期年金，试求其现值。
注：对于延期m个时期的期末付年金， 其现值符号为： a m n
方法一：1、先求期末付n期年金的现值：an
2、再求期末付n期年金的现值在m期前的现值：
an 1 i
m
an v m
方法二：从(m+n)期的期末付年金现值中减去m期的期末付年金 现值。
解：假设每年初的租金为A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA an 50000
..
A1 i an 50000 1 1 ( )8 1 0.06 50000 A1 0.06 0.06
A 7596( 元）
例2： 某 人 现 年 40岁 ， 现 在 开 始 年 初 在 休 退金 帐 号 上 存 入 1000 元，
解：设乙的股票出售价格为x
n 10 n 10 0.4 100 s10 1 i 2 100 1 i
0.8 100 a n 10 (1 i ) n10 100x
0.4s10 2 0.8an10 x1 0.06
..
..
1 v
d
s n 1 i sn
s n sn 1 1
..
..
注:更一般的,假设年金的支付时期为m个时期，在每个时期初支付A 元,则终值B为： ..
B A sm
例1：某人预计在10年后需要为子女支付40000元的学费,为此打算 在每年初往一种基金存入一笔钱.如果该基金的年实际利率为6%,那 么他每年应该存入多少钱,才能保证在第10年末获得40000元用于支 付子女的学费。 解（1）假设每年初应存入 A元 ..
A an 1000 (1 0.08)25
..
1 0.08 A1 0.08an 1000 1 1 ( )15 1 0.08 1000 1 0.0825 A1 0.08 0.08
25
A 8102
3、期末付永续年金的现值 注：永续年金是指无限期支付下去的年金。
解（1）假设每次可以领取A元
10000 (1 0.06)30 30年后资金的总额：
A a20 10000 (1 0.06)30
1 1 ( )20 30 1 0.06 10000(1 A. 0.06) 0.06
A 60881
（2）假设每次可以领取A元
A 1 0.0630 10000 0.06
59 现值: 6755 .19402 (1 0.015) 3256 .879998
例：甲持有 A股 票100股 ， 乙 持 有 B股 票100股 。A股 票 每 年 底 得 到红利 0.40元 ， 共 计 10年 ， 在 第 10次 分 红 后 ， 甲 以 每 股 2元 的 价 格 将 所 有 的 股 票 出 售而 ，且 甲 以 年 利 率 6％ 的 收 益 率 将 红 利 收 入 和 股 票 出 售 的 收 入 进投 行资 。 B股 票 在 前 10年 没 有 红 利 收 入 ， 从 第11年 底 开 始 每 年 得 到 红 0.80 利 元 ， 如 果 乙 也 是 以 年率 利6％ 进 行 投资，并且在 n年 后 出 售 股 票 。 为 了 甲 使乙 在 乙 的 股 票 出 售刻 时 的 累 积 值 相 同 ， 分 别n 对 15、 50、 25三 种 情 况 计 算 乙 的 股 出 票售 价格。
4、按照年金在每期的支付时点不同，可划分为期初付年金和期 末付年金。 5、按照年金开始支付的时间不同，可划分为及期年金和延期年 金。 6、按照每次支付的金额是否相等，可划分为等额年金和变额年 金。
年金的现值
年金的现值是指一系列付款在期初的价值。
1、期末付定期年金的现值
假设年金的支付时期为n个时期，在每个时期末支付1元,其现值 一般用符号an 表示。 an ＝v v 2 v 3 .. v n1 v n
A 41898
4、期初付永续年金的现值
a lima n
n
..
..
1 1 vn ＝ ＝l i m n d d
A 注：更一般的，若每年初支付的金额为A元，则现值为 d