直线与平面的平行和垂直(附答案)
高中数学必修二 8 6 2 直线与平面垂直(第2课时)直线与平面垂直的性质 练习(含答案)
8.6.2 直线与平面垂直第2课时直线与平面垂直的性质一、选择题1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行【答案】B【解析】由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．故选B。
2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α内D．不能确定【答案】D【解析】如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.3．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面B．平行C．垂直D．不确定【答案】C【解析】∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C。
4．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()A．内心B．重心C．外心D．垂心【答案】C【解析】如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴P A＝PB＝PC.∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．5.（多选题）空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直B．相交C．不相交D．不垂直【答案】AC【解析】取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选AC.6.（多选题）已知a，b，c为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题,其中不正确的有()A.a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b；B.a⊥b，a⊥α⇒b∥α；C.a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c；D.a⊥α，β⊥α⇒a∥β.【答案】BD【解析】 A 正确；B中b⊂α有可能成立，故B不正确；C正确；D中a⊂β有可能成立，故D不正确.故选BD.二、填空题7．已知AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，如图所示，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝ .【答案】6【解析】因为AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，所以AF ∥DE ，又AF ＝DE ，所以AFED 是平行四边形，所以EF ＝AD ＝6.8．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，P A ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形．【答案】4【解析】∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AC ，P A ⊥AB ，P A ⊥BC ，∵AC ⊥BC ，且P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC . 综上知： △ABC ，△P AC ，△P AB ，△PBC 都是直角三角形，共有4个．9.若直线AB ∥平面α，且点A 到平面α的距离为2，则点B 到平面α的距离为________.【答案】 210.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为3的正方形，PD ⊥平面ABCD ，6PD =，E 为PD 中点，过EB 作平面α分别与线段P A 、PC 交于点M ，N ，且//AC α，则PM PA =________；四边形EMBN 的面积为________. 【答案】23【解析】延伸平面α，交AC 所在的平面ABCD 于RS ，即平面α平面ABCD RS =，又B ∈平面α平面ABCD ， B RS ∴∈，即,,R S B 三点共线，又//AC α，由线面平行的性质定理可得//AC RS ， 则4ARB ABR π∠=∠=，即AR AB =，∴点A 为RD 的中点，又E 为PD 中点，则6,3,2PD RD DA DE PDA ADP π====∠=∠=，PAD RED ∴≅，MPE MRA ∴∠=∠，又,PME RMA PE RA ∠=∠=，PME RMA ∴≅，则ME MA =，过M 作MK PD ⊥交PD 于点K ，222PM MK MK ME MA PA AD DR RE PA∴==⋅=⋅=⋅， 则2PM MA =， 2233PM MA PA MA ∴==； 连接MN ，BD 由23PM PA =同理可得23PN PC =， //MN AC ∴，又PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ∴⊥，又,BD AC BD PD D ⊥=，AC ∴⊥面PBD ，又BE ⊂面PBD ，AC BE ∴⊥，MN BE ∴⊥，23MN PM AC PA ==， 2233MN AC ∴==⨯=又EB ===所以四边形EMBN 的面积为1122MN EB ⋅=⨯=.故答案为：23；三、解答题11.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. 求证：AE⊥BE.【证明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.12.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD．【答案】见解析【解析】证明：(1）如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，∵N为PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD且NE＝CD，而AM∥CD且AM＝AB＝CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD.(2）由(1）可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.。
2023年新高考数学一轮复习8-4 直线、平面平行的判定及性质(知识点讲解)含详解
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //nD ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）. （1）α、β都垂直于平面r ，那么α∥β. （2）α、β都平行于平面r ，那么α∥β. （3）α、β都垂直于直线l ，那么α∥β.（4）如果l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β，那么α∥β A ．0B ．1C ．2D ．3例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥ 【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件． (2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等． 题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ； ③//EN 平面1ADB ； ④1//A M 平面1ADB ， 错误的序号为___________.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A．B．C．D．例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，直线PC 平面ABC，,E F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可．题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．证明：MN ∥平面C 1DE .例10.如图，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AD 上的任意一点(不包括A ，D 两点)，平面CEC 1∩平面BB 1D ＝FG .证明：FG ∥平面AA 1B 1B ．【总结提升】 1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识． (2)利用线面平行性质必须先找出交线． 2.易错提醒（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用. 题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______．例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 12AB AA ==.（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【规律方法】 1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”． (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理，运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）空间平行关系1.直线与平面平行的判定与性质a∥α，a⊂β，2.利用线面平行的定义，一般用反证法；利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)； 利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． （二）平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【常考题型剖析】题型一：与线、面平行相关命题的判定例1. （2023·全国·高三专题练习）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若m //α，m //n ，则n //α B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若m //α，n ⊂α，则m //n D ．若m //α，m ⊂β，αβ＝n ，则m //n【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断A ，B ，C ；利用线面平行的性质判断D 作答. 【详解】如图，长方体1111ABCD A B C D -中，平面1111D C B A 视为平面α，对于A ，直线AB 视为m ，直线11A B 视为n ，满足m //α，m //n ，而n ⊂α，A 不正确；对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//α，n//α，而m与n相交，B不正确；A D视为n，满足m//α，n⊂α，显然m与n是异面直线，C不正确；对于C，直线AB视为m，直线11对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.故选：D例2.（2022·上海静安·二模）在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（）.（1）α、β都垂直于平面r，那么α∥β.（2）α、β都平行于平面r，那么α∥β.（3）α、β都垂直于直线l，那么α∥β.（4）如果l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β，那么α∥βA．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】【分析】由面面平行的判定定理及其相关结论分析可得结果.【详解】由面面平行的判定定理分析可知（1）错，（2），（3），（4）正确.故选：D例3．（四川·高考真题（文））下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.例4. （2022·云南师大附中模拟预测（理））若α，β是两个不同平面，m ，n 是两条不同直线，则下列4个推断中正确的是（ ）A ．m α∥，m β∥，n ⊂α，n m n β⊂⇒∥B ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥C ．m α∥，n α∥，m β⊂，n βαβ⊂⇒∥D ．m α⊂，n β⊂，m n αβ⇒∥∥【答案】A【解析】【分析】利用线面，面面位置关系逐项分析即得.【详解】对于A ，如图，n ⊂α，n n βαβ⊂⇒⋂=，结合m α，m β，可知m n ∥，故A 正确；对于B ，如图，m ，n 可能异面，故B 错误；对于C ，如图，α，β可能相交，故C 错误；对于D ，如图，αβ，可能相交，故D 错误.故选：A ．【方法技巧】直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理，并注意定理中易忽视的条件．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)利用实物进行空间想象，比较判断．(4)熟记一些常见结论，如垂直于同一条直线的两个平面平行等．题型二：直线与平面平行的判定例5.（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、M 、N 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 、1A C 的中点，给出下列四个判断：①//EF 平面1ADB ；②//EM 平面1ADB ；③//EN 平面1ADB ；④1//A M 平面1ADB ，错误的序号为___________.【答案】①②④【解析】【分析】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，证明出平面1//A CE 平面1AD B ，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.【详解】连接DE 、1A E 、CE 、EF 、EM 、EN 、1A M 、FM ，在三棱柱111ABC A B C -中，因为11//BB CC 且11BB CC =，所以，四边形11BB C C 为平行四边形，则11//BC B C 且11BC B C =，D 、E 分别为BC 、11B C 的中点，则1//CD B E 且1CD B E =，故四边形1CDB E 为平行四边形，则1//CE B D ，CE ⊄平面1ADB ，1B D ⊂平面1ADB ，故//CE 平面1ADB ，同理可证四边形1BB ED 为平行四边形，则11////DE BB AA ，11DE BB AA ==，则四边形1AA ED 为平行四边形，所以，1//A E AD ，1A E ⊄平面1ADB ，AD ⊂平面1ADB ，则1//A E 平面1ADB ，1CE A E E =，故平面1//A CE 平面1AD B ，EN ⊂平面1A CE ，则//EN 平面1ADB ，③对；对于①，若//EF 平面1ADB ，EF EN E =，则平面//EFN 平面1ADB ，因为过点E 且与平面1ADB 平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错.故答案为：①②④.例6.【多选题】（2017·全国·高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BCD【解析】【分析】利用线面平行判定定理逐项判断可得答案．【详解】对于选项A，OQ∥AB，OQ与平面MNQ是相交的位置关系，故AB和平面MNQ不平行，故A错误；对于选项B，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正确；对于选项C，由于AB∥CD∥MQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正确；对于选项D，由于AB∥CD∥NQ，结合线面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正确；故选：BCD例7.（2023·全国·高三专题练习）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是PA ，PC 的中点.记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，求证：直线l //平面PAC【答案】证明见解析【解析】【分析】先通过//EF AC 可得出//EF 平面ABC ，再利用线面平行的性质即可证明.【详解】因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC ，又因为AC ⊂平面ABC ，EF ⊄平面ABC ，所以//EF 平面ABC ，又EF ⊂平面BEF ，平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，所以//EF l ，而l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以//l 平面P AC .【总结提升】证明直线与平面平行的方法(1)线面平行的定义：一条直线与一个平面无公共点(不相交)．(2)线面平行的判定定理：关键是找到平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边、成比例线段出现平行线或过已知直线作一平面找其交线．注意内外平行三条件，缺一不可． 题型三：线面平行性质定理的应用例8.（福建·高考真题（文））如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．【解析】【分析】根据直线与平面平行的性质定理可得//EF AC ,再根据E 为AD 的中点可得F 为CD 的中点,从而根据三角形的中位线可得.【详解】如图:因为//EF 平面1AB C ,EF ⊂平面DABC ,且平面1A C B 平面ABCD AC =,所以//EF AC ,又因为E 为AD 的中点,所以F 为CD 的中点, 所以12EF AC =,因为正方体的棱长为2.所以AC =所以EF =故答案为.例9.(2019·全国卷Ⅰ改编)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．证明：MN∥平面C1DE.【答案】见解析【解析】证明:连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝12B1C．又因为N为A1D的中点，所以ND＝12A1D．由题设知A1B1//=DC，可得B1C//=A1D，故ME//=ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．又MN⊄平面C1DE，ED⊂平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.例10.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.证明：FG∥平面AA1B1B．【答案】见解析【解析】证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D．又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B．【总结提升】1.思路方法：(1)通过线面平行可得到线线平行，其中一条线应是两平面的交线，要树立这种应用意识．(2)利用线面平行性质必须先找出交线．（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.（2）线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.（3）解题中注意符号语言的规范应用.题型四：平面与平面平行的判定与性质例11.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，12AA =，E ，F 分别为棱11A B 和11A D 的中点，M 为长方体表面上任意一点．若BM ∥平面AEF ，则BM 的最大值为（ ）A．B ．C ．D ．6【答案】C【解析】【分析】由面面平行的性质结合题意可确定点M 所在的平面，再由平面几何的性质即可确定BM 的值为最大值时的位置，即可求解【详解】如图所示，取G ，H 分别为棱11B C 和11D C 的中点，连接11,,,BG DH BD B D ,由题意易知1111,BF B D GH B D ∥∥，所以BF GH ∥；又易知AF BG ∥，故可以证明平面BGHD ∥平面AEF ；又BM ∥平面AEF ，由面面平行的性质可知M ∈平面BGHD ，所以由题意可知M 在等腰梯形BGHD 四条边上运动，过点H 作HQ BD ⊥，交BD 于点Q ，由题意可知BD GH DH BG DQ ====所以HQ BQ BD DQ =-=所以BH又BD BH ==，所以故当M 与D 点重合时，BM 的值为最大值，此时BM BD ==例12.（2020·全国·高三专题练习（文））如图，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ，若2PC =，3CA =，1CD =，则AB =______． 【答案】52【解析】【分析】根据面面平行的性质，证得//CD AB ，结合CD PC AB PA =，即可求解. 【详解】由题意，平面//α平面β，PAB △所在的平面与α，β分别交于CD 和AB ， 根据面面平行的性质，可得//CD AB ，所以CD PC AB PA =， 因为2PC =，3CA =，1CD =，所以15522CD PA AB PC ⋅⨯===.故答案为：52. 例13.（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点.求证：平面1//AEC 平面BDF【答案】证明见解析【解析】【分析】根据1//DF EC ，可证明1//EC 平面BDF ；又//BF AE ，可得//AE 平面BDF .进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,DD CC 的中点， 所以11111,22DE DD C F CC ==. 因为11CC DD =，且11//CC DD ，所以1DE C F =，且1//DE C F ，所以四边形1DEC F 是平行四边形，所以1//DF EC 又DF ⊂平面BDF ，1EC ⊄平面BDF ，所以1//EC 平面BDF .同理，//BF AE ，又BF ⊂平面BDF ，AE ⊄平面BDF ， 所以//AE 平面BDF .又1AE EC E ⋂=，1,AE EC ⊂平面1AEC ，所以平面1//AEC 平面BDF 例14.（陕西·高考真题（文））如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O∥平面ABCD, 1AB AA =（1）证明: 平面A 1BD // 平面CD 1B 1;（2）求三棱柱ABD －A 1B 1D 1的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】【详解】试题分析：（1）要证明1A C ⊥平面11BB D D ，只要证明1A C 垂直于平面11BB D D 内的两条相交直线即可，由已知可证出1A C ⊥BD ，取11B D 的中点为1E ，通过证明四边形11A OCE 为正方形可证1A C ⊥1E O ．由线面垂直的判定定理问题得证；（2）由已知1A O 是三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高，由此能求出三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积 试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=，由棱柱的性质可得BB 1和DD 1平行且相等，故四边形BB 1D 1D 为平行四边形，故有BD 和B 1D 1平行且相等．而BD 不在平面CB 1D 1内，而B 1D 1在平面CB 1D 1内，∴BD ∥平面CB 1D 1．同理可证，A 1BCD 1为平行四边形，A 1B ∥平面CB 1D 1．而BD 和A 1B 是平面A 1BD 内的两条相交直线，故有平面A 1BD ∥平面CD 1B 1 ．（Ⅱ）由题意可得A 1O 为三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的高．三角形A 1AO 中，由勾股定理可得A 1O===1，∴三棱柱ABD ﹣A 1B 1D 1的体积V=S △ABD •A 1O=•A 1O=×1=1．【规律方法】1.证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．2.面面平行的应用(1)两平面平行，构造与之相交的第三个平面，可得交线平行．(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行，可用于证明线面平行．3.三种平行关系之间的转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．。
高中数学必修二 专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直(重难点突破)(含答案)
专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直一、考情分析二、考点梳理考点一直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点二平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点三知识拓展1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.四、题型分析重难点题型突破1 线面垂直例1. （河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A.若m⊂α，则m⊥βB.若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC.若m⊄α，m⊥β，则m∥αD.若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α 【答案】C【解析】对于A ：若m ⊂α，则m 与平面β可能平行或相交，所以A 错误；对于B ：若m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，所以B 错误；对于C ：若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α，C 正确；对于D ：α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 不一定与平面α垂直，所以D 错误.【变式训练1-1】、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥nB.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βC.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 【答案】B【解析】若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又∵n ∥β，∴α⊥β，故B 正确； 若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故D 错误.例2.如图所示，在四棱锥PABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．求证：(1) PH ⊥平面ABCD ； (2) EF ⊥平面PAB.【证明】 (1) 因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥AB. 因为PH 为△PAD 中边AD 上的高，所以PH ⊥AD.因为AB∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD. (2) 如图，取PA 的中点M ，连结MD ，ME.因为E 是PB 的中点，所以ME ＝12AB ，ME ∥AB.又因为DF ＝12AB ，DF ∥AB ，所以ME ＝DF ，ME ∥DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.重难点题型突破2 面面垂直例3. （安徽省合肥三中2019届高三质检）如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．【变式训练3-1】、（江西鹰潭一中2019届高三调研）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③【答案】C【解析】①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′FED的体积达到最大，故选C.例4．（上海格致中学2019届高三模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB 边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2 5.(1)求证：PF⊥平面ABED；(2)求点A到平面PBE的距离．【解析】(1)证明：在题图2中，连接EF，由题意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF.在题图1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝62＋（12－3－4）2＝61，在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，所以PF 为三棱锥P ABE 的高． 设点A 到平面PBE 的距离为h ，因为V A PBE ＝V P ABE ，即13×12×6×9×h ＝13×12×12×6×25，所以h ＝853，即点A 到平面PBE 的距离为853. 【变式训练4-1】、 (2018·北京高考)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .证明：(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB . 因为PD ⊂平面PCD ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .。
2022-2023学年高一下数学：平面的平行与垂直(附答案解析)
第1页（共28页）2022-2023学年高一下数学：空间直线、平面的平行与垂直
一．选择题（共8小题）
1．（2022•淮北一模）已知α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则“m ∥n ”是“α∥β”的（）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件2．（2021秋•赤峰期末）设m 、n 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m ⊂α，n ⊂β，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥α”的（
）A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．（2021秋•江苏期中）设平面α∩平面β＝m ，且a ⊂α，b ⊂β，a ⊥m ，b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的（
）A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4．（2021秋•吉安县期中）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且SA ＝SB ＝SC ＝SD ，其中E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：
①EP ⊥AC ；
②EP ∥BD ；
③EP ∥面SAC ；
④EP ∥面SBD ；
其中恒成立的为（
）
A ．①③
B ．③④
C ．①④
D ．②③
5．（2021秋•海淀区期中）如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，M ，N 分别是A 1D ，D 1B。
直线平面平行、垂直地判定及其性质的知识点
一、直线、平面平行的判定与其性质知识点一、直线与平面平行的判定ii .思考：如图，设直线b在平面a内，直线a在平面a外，猜测在什么条件下直线a与平面a 平行.〔a|| b〕※判定定理的证明特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线平行，证得“线面〃平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面〃平行，证得“线面〃平行. 知识点三、平面与平面平行的判定、直线、平面垂直的判定与其性质知识点一、直线和平面垂直的定义与判定要点诠释：定义中“平面-内的任意一条直线"就是指“平面二：内的所有直线"，这与“无数条直线〃不同〔线线垂直线面垂直〕知识点二、二面角I.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角〔dihedral angle 〕.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面•记作二面角一AB —.〔简记P —AB —Q〕.面角的平面角的三个特征：i .点在棱上ii.线在面内iii.与棱垂直n .二面角的平面角：在二面角一I —的棱I上任取一点O ,以点O为垂足，在半平面，内分别作垂直于棱丨的射线OA和0B，如此射线OA和0B构成的AOB叫做二面角的平面角• 作用：衡量二面角的大小；X 围：0°180°.2能保证直线 a 与平面a 平行的条件是〔A 〕 A.a a ,b a ,a / bB .b a ,a / b知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义 判定文字描述 两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面垂直 .一个平面过另一个平面的垂线，如此这两 个平面垂直 图形 k z结果aAp = l a -l- B =90° 戸 a 丄 B 1 丄 cxj c a:丄 0〔垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何〃“随意〃“无数〃等字眼〕 知识点五、平面和平面垂直的性质面面垂直 '线面垂直〔如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直〕例题1.如图，假如 是长方体ABCD-ABCQ 被平面EFGH 截去几何体 EFGHBD 后得到的几 何体，其中E 为线段A i B i 上异于B i 的点，F 为线段BB 上异于B 的点，且EH// A i D i , 如此如下结论中不正确的答案是A. EH // FGB. 四边形EFGH 是矩形C. 是棱柱D.是棱台 C. b a ,c / a ,a / b,a / cD. b a ,A € a,B € a,C € b ,D € b 且 AC = BD3如下命题正确的答案是〔 DF 〕A. 平行于同一平面的两条直线平行B. 假如直线a / a ,如此平面a 内有且仅有一条直线与a 平行 C. 假如直线a / a ,如此平面a 内任一条直线都与a 平行 D. 假如直线a / a ,如此平面a 内有无数条直线与 a 平行E. 如果a 、b 是两条直线，且 a / b ，那么a 平行于经过b 的任何平面F. 如果直线a 、b 和平面a 满足 a / b , a / a ,b a,那么b /a4在空间，如下命题正确的答案是〔A 〕平行直线的平行投影重合〔B 〕平行于同一直线的两个平面平行〔C〕垂直于同一平面的两个平面平行A. m , n〔D〕垂直于同一平面的两条直线平行5m n为两条不同的直线，a、B为两个不同的平面，如此如下命题中正确的答案是B. a m , nm// nC. ml a,m 丄n n / aD. n / m,n丄a m± a〔A〕如果平面丄平面，那么平面内一定直线平行于平面〔B〕如果平面垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面〔C〕如果平面丄平面，平面丄平面，丨，那么丨丄平面〔D〕如果平面丄平面，那么平面内所有直线都垂直于平面设盘上是悔条直线, 血是两个平酣则a Lb的一个充分条件是(A) a ± a.bll(i.Q1 /J (B) □丄a少丄p(C) a c a,b丄(D)a c a.bll丄08. 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面:空间四边形ABCD中, E、F分别是AB AD的中点求证：EF”平面BCD9. 如图，在椎体P-ABCD中，ABCD1边长为1的棱形,且/ DAB=60, ,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.⑴证明：AD丄平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.课堂练习A组1已知砌理是两条不冋宜线，a t j8,y是三个不同平面'下列命题中正确的是（）A•若fn\\ ay/II a,则加“舟 B.若c（一丁』丄人则口"0C*若卅队则伉//爪 D.若仍丄丄＜7,则朋“料4.已拓两荼直线,阳个平和。
人教版四年级数学上册第五单元第1课时《平行与垂直》课后练习题(附答案)
人教版四年级数学上册第五单元
第1课时《平行与垂直》课后练习题（附答案）
1.想一想，填一填。
（1）在一张纸上，画两条直线，这两条直线有（）种情况，分别是（）、（）。
（2）在同一平面内（）的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线（）。
（3）同一平面内的两条直线相交成（）时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的（），这两条直线的交点叫作（）。
2.选择。
（1）在同一平面内的两条直线，一定是（）。
A.相交的
B.平行的
C.不相交就平行
（2）两条直线相交，如果其中一个角是直角，那么这两条直线（）。
A.垂直
B.平行
C.互相垂直
（3）直线行驶的汽车车轮留下的两行印迹（）。
A.互相平行
B.互相垂直
C.相交
3.互相平行的在括号里画“√”，互相垂直的画“○”，其余的画“×”。
（）（）（）（）（）
参考答案
1.（1）2 相交平行（2）不相交互相平行（3）直角垂线垂足
2.（1）C （2）C （3）A
3.√×○×√。
高中数学：点线面关系知识总结和练习(附答案)
//a α//a b点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂ 2.性质定理：//a abαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂=//αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥//αβ; ////a γβγ//αβ 2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法 ① 用定义.//a b a b αα⊄⊂//a α//a b//a b② 判定定理:a b a cb c A bc αα⊥⊥⋂=⊂⊂a α⊥③ 推论://a a bα⊥b α⊥ （3）性质 ①a b αα⊥⊂a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥αβ⊥ （3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥αβ⊥ ②lP P A A αβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为A l ∈ ④lP PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥PA α⊂“转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
平面与平面之间的位置关系(附答案)
平面与平面之间的位置关系[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类⎩⎨⎧有无公共点⎩⎪⎨⎪⎧直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.知识点二 两个平面的位置关系思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.题型一直线与平面的位置关系例1下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC ⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案 A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.题型二平面与平面的位置关系例2以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④答案 A解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.跟踪训练2两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 B解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.分类讨论思想例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交2.下列命题中，正确的命题是()A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若a⊄α，则a与α没有公共点3.下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行5.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.一、选择题1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点4.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.下列命题正确的是()①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A.①B.②③④C.①②③D.①④7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.9.下列命题正确的是________.①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.10.给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确有________个.三、解答题11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.当堂检测答案1.答案 D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.2.答案 C解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.3.答案 B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.4.答案 D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.5.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.课时精练答案一、选择题1.答案 D解析如图所示，选D.2.答案 D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.答案 D解析若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.4.答案 D解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.5.答案 C解析因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.6.答案 B解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.7.答案 B解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.二、填空题8.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.9.答案①③解析对于①，如图，∴命题①正确；对于②，α、β也可能相交，②不正确；对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确.10.答案 1解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确.三、解答题11.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C 是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.。
04线面平行与面面平行判定与性质(经典题型+答案)
线面平行、面面平行的判定及性质一、直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行.性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.二、平面与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行性质定理如果两个平行平面时与第三个平面相交，那么它们的交线平行A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解：由面面平行的定义可知选D.例2：若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直解：A错误，a与α内的直线平行或异面．例3：已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)。
解：①中a与b可能异面；②中a与b可能相交、平行或异面；③中a可能在平面α内，④正确。
例4：已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β.②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β.③如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交．④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β其中正确命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解：对于①，由定理“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直”得知，①正确；对于②，注意到直线m ，n 可能是两条平行直线，此时平面α，β可能是相交平面，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n 可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“如果平面外一条直线平行于平面内一条直线，那么这条直线平行于这个平面”得知，④正确．综上所述，其中正确的命题是①④，选B.例5：已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α (3)⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 其中真命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ，即命题(1)正确；若⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，即命题(2)不正确；若⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αn ∥α，则m ⊥n ，即命题(3)正确；综上可得，真命题共有2个．选C例6：已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则以下条件中，能推出α∥β的是 ( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2解：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.例7：在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）.A. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C. l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD. l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β 解：排除法，Ａ中α、β可以是相交平面；Ｂ中三点可面平面两侧；Ｃ中两直线可以不相交．故选Ｄ，也可直接证明．例8：经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）.A. 0个B. 1个C. 0个或1个D. 1个或2个解：这两点可以是在平面同侧或两侧．选C 。
高一数学直线平面平行的判定及其性质试题答案及解析
高一数学直线平面平行的判定及其性质试题答案及解析1. a∥，则a平行于内的(D)A．一条确定的直线B．任意一条直线C．所有直线D．无数多条平行线【答案】D【解析】略2.m、n是平面外的两条直线，在m∥的前提下，m∥n是n∥的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则存在有。
而由可得，从而有。
反之则不一定成立，可能相交，平行或异面。
所以是的充分不必要条件，故选A3.直线a∥平面?，平面?内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．不可能有【答案】B【解析】，则直线与平面的直线可能平行或异面。
则直线可能平面这n条互相相交的直线中的一条平行，与其余n-1条直线都异面，或与这n条互相相交的直线都异面。
故选B4. a和b是两条异面直线，下列结论正确的是()A．过不在a、b上的任意一点，可作一个平面与a、b都平行B．过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都相交C．过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都平行D．过a可以并且只可以作一个平面与b平行【答案】D【解析】经过空间任意一点不都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行，有时会出现其中一条直线在所做的平面上，A不正确；在a任取一点M，在b上任取一点N，直线MN上的点才可作一条直线与a、b都相交。
其它的点不行，B不正确；若过不在a，b上的任意一点，有直线l∥a，l∥b，则a∥b，与a，b异面矛盾，C不正确；在a上任取一点M，则过点M且与直线b平行的直线唯一，则该直线与直线a所在平面与直线b 平行。
而两相交直线所确定的平面唯一，该平面唯一。
D正确，故选D5. a∥（判断对错） ( )【答案】错【解析】错误；6.三个平面两两相交不共线，求证三条直线交于一点或两两平行。
【答案】见解析【解析】证：设，，∴、（1）若（2）若∴、、交于一点7.、异面直线，为空间任一点，过作直线与、均相交，这样的直线可以作多少条。
立体几何3直线与平面的位置关系(平行、垂直、异面)-高考数学专题复习
立体几何—直线与平面的位置关系（平行、垂直、异面）知识精要1、证明直线与平面的平行的思考途径:（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2、证明直线与平面垂直的思考途径:（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
3、证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。
4、 空间向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则：(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 5、 夹角公式：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=.6、 异面直线间的距离 ：||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).7、点B 到平面α的距离：||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，A α∈，AB 是α的一条斜线段）. 热身练习：1、A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ C ）()A ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,()B βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 ()C αα∉⇒∈A l A l ,内不在()D α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合2、对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有 （ B ）（1和4）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个3、在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点H G F E ,,,，如果EF 与HG 相交于一点M ，那么 （ A ）()A M 一定在直线AC 上 ()B M 一定在直线BD 上 ()C M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 ()D M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上4、设ABCD 是空间四边形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则,,满足（ B ） （A ） 共线 （B ） 共面 （C ） 不共面 （D ） 可作为空间基向量 正确答案：B 错因：学生把向量看为直线。
直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义及答案)
直线、平面垂直的判定及其性质（二）（讲义）＞知识点睛一、直线与平面垂直（线面垂直）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 ______________ .(Jb/ /■* b丄a.其他性质：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面•二、平面与平面垂直（面面垂直）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内线与另一个平面垂直.其他性质：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面；如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它必垂直于另一个平面.的直2 2精讲精练已知直线/垂直于直线AB 和AC.直线W 垂直于直线BC 和 AC.则直线/, /«的位置关系是（ ）A.平行B.异面 C •相交 m n 和平面6 0,能得出a 丄戶的一组条件是（ .in//a^n//Par\p=in^ rtuan 邛、inca> /»丄0, «丄戶若川，心/是互不重合的直线，g 緘7是互不重合的平面， 给出下列命题：① 若a 丄0, «门0二川，② 若ct 〃0, a n y=zz/»③ 若m 不垂直于<z,④ 若《门0二"f,加〃“，且"E Q , «妙，则n//a 且《〃0；⑤ 若《门0二加，n y=n » aPl 尸/,且ct 丄0, a 丄y, 0丄y,贝J w 丄川丄/, «丄人其中正确命题的序号是 _________________ •边长为a对于直线, A. in//n, B- 川丄心 C. m//D- m//川丄心则《丄《或《丄0：0n 尸小则加〃”； 则加不可能垂直于a 内的无数条直线;D ・垂直A. C 6C. --- a D ・aD的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC 的长为（如图，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕， 把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出 下列四个结论：① BD 丄AC^② 是等边三角形；③ 三棱锥DMBC 是正三棱锥;④ 平面ADC 丄平面ABC.其中正确的是（如图，在斜三棱柱ABC-AiBiCi中， 则C,在底面ABC 上的射影H必在（）A.直线AB 上C.直线AC 上 已知直二面角0[-/-〃，点AEa. AC ■丄/,垂足为点C,点医0, BD 丄h 垂足为点D,若AB=2. AC=BD=i ,则CD 的长为3 CD. 1A.①②④B.①②③C.②③④ D-①③④ZBqC=90。
高一 平行与垂直的综合应用知识点+例题+练习 含答案
1.证明方法(1)证明平行关系的方法：①证明线线平行的常用方法a.利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；b.利用平行四边形进行转换；c.利用三角形中位线定理证明；d.利用线面平行、面面平行的性质定理证明.②证明线面平行的常用方法a.利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行；b.利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行.③证明面面平行的方法证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行.(2)证明空间中垂直关系的方法：①证明线线垂直的常用方法a.利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；b.利用勾股定理逆定理；c.利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可.②证明线面垂直的常用方法a.利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；b.利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；c.利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.③证明面面垂直的方法证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决. 2.应特别注意的几个易错点定理图形语言易错点等角定理⎭⎪⎬⎪⎫∠AOB 和∠A ′O ′B ′中OA ∥O ′A ′，OB ∥O ′B ′且方向相同⇒∠AOB＝∠A ′O ′B ′易忽略“方向相同” 线面平行的判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄α，b ⊂αa ∥b ⇒a ∥α易丢掉“a ⊄α”或“b⊂α” 线面平行的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α，a ⊂βα∩β＝b ⇒a ∥b易忽略“α∩β＝b ”直线和平面垂直的判定定理 ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a ，l ⊥b a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝O⇒l ⊥α易忽略“a ∩b ＝O ”两个平面垂直的性质定理 ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝c a ⊂α，a ⊥c ⇒a ⊥β易忽略“a ⊂α”面面平行的判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥α，b ∥αa ⊂β，b ⊂βa ∩b ＝O ⇒α∥β易忽略“a ∩b ＝O ”面面平行的判定定理的推论 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∩b ＝Oc ⊂β，d ⊂βc ∩d ＝O ′a ∥c ，b ∥d ⇒α∥β易忽略“a ∩b ＝O ”或“c ∩d ＝O ′”【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行.( × )(2)若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条.(×)(3)若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(×)(4)α，β，γ为三个不同平面，α∥β，β∥γ⇒α∥γ.(√)(5)若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ.(√)(6)α⊥β，a⊥β，b⊥α⇒a∥b.(×)1.(教材改编)如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，垂足为C，PD⊥β，垂足为D，则直线AB与CD的位置关系是________.答案AB⊥CD解析∵PC⊥α，∴PC⊥AB，又∵PD⊥β，∴PD⊥AB，∴AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD.2.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分别为B1C1，A1D1，A1B1的中点，则平面EBD 与平面FGA的位置关系为________.答案平行3.如图所示，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED 绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中错误的是________.①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②恒有平面A′GF⊥平面BCED；③三棱锥A′—FED的体积有最大值；④异面直线A′E与BD不可能互相垂直.答案④解析由题意知，DE⊥平面A′FG，又DE⊂平面ABC，所以平面A′FG⊥平面ABC，且它们的交线是AF ，过A ′作A ′H ⊥AF ，则A ′H ⊥平面ABC ，所以A ′在平面ABC 上的射影一定在线段AF 上，且平面A ′GF ⊥平面BCED ，故①②均正确；三棱锥A ′—EFD 的体积可以表示为V ＝13S △EFD ·A ′H ，当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，A ′H 最大，故三棱锥A ′—EFD 的体积有最大值，故③正确；连结CD ，EH ，当CD ∥EH 时，BD ⊥EH ，又知EH 是A ′E 在平面ABC 内的射影，所以BD ⊥A ′E ，因此异面直线A ′E 与BD 可能垂直，故④错误.4.已知点P 是等腰三角形ABC 所在平面外一点，且P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，在△ABC 中，底边BC ＝6，AB ＝5，则P 到BC 的距离为________. 答案 4 5解析 取BC 的中点D ，连结AD ，PD .∵AD ⊥BC ，P A ⊥BC ，且AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AD ，∴BC ⊥PD ， ∴在Rt △P AD 中，PD ＝82＋42＝4 5.5.(教材改编)如图，在三棱锥V —ABC 中，∠VAB ＝∠VAC ＝∠ABC ＝90°，则平面VBA 与平面VBC 的位置关系为_____________________________________________________.答案 垂直解析 ∵∠VAB ＝∠VAC ＝∠ABC ＝90°， ∴BC ⊥AB ，VA ⊥AC ，VA ⊥AB ， 由⎭⎪⎬⎪⎫VA ⊥AB VA ⊥AC ⇒VA ⊥平面ABC ， ∴VA ⊥BC ，由⎭⎪⎬⎪⎫VA ⊥BC AB ⊥BC ⇒BC ⊥平面VAB ∴BC ⊥AB ，又BC ⊂平面VBC ， ∴平面VBC ⊥平面VBA.题型一 线、面平行垂直关系的判定例1 (1)如图所示，在直棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若D 是AB 的中点，则AC 1与平面CDB 1的关系为________.①AC 1∥平面CDB 1； ②AC 1在平面CDB 1中； ③AC 1与平面CDB 1相交； ④无法判断关系.(2)已知m ，n 为直线，α，β为平面，给出下列命题：①⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α；②⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥β，n ⊥β⇒m ∥n ； ③⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥α，m ⊥β⇒α∥β；④⎩⎪⎨⎪⎧m ⊂α，n ⊂β，α∥β⇒m ∥n .其中正确的命题是________. 答案 (1)① (2)②③解析 (1)连结BC 1，BC 1与CB 1交于E 点，(如图)连结DE ，则DE ∥AC 1，又DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.(2)对于①，n 可能在α内；对于④，m 与n 可能异面.易知②，③是真命题. 思维升华 对线面平行、垂直关系的判定：(1)易忽视判定定理与性质定理的条件，如易忽视线面平行的判定定理中直线在平面外这一条件；(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断；(3)可举反例否定结论或用反证法判断结论是否正确.(1)在正方形SG1G2G3中，E，F分别为G1G2，G2G3的中点.现在沿SE，SF及EF 把这个正方形折成一个四面体，使点G1，G2，G3重合，记为点G，则SG与平面EFG的位置关系为________.答案垂直解析翻折后SG⊥EG，SG⊥FG，从而SG⊥平面EFG.(2)已知三个平面α，β，γ.若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且直线c⊂β，c∥b.①判断c与α的位置关系，并说明理由；②判断c与a的位置关系，并说明理由.解①c∥α，∵α∥β，∴α与β没有公共点.又∵c⊂β，∴c与α无公共点，故c∥α.②c∥a.∵α∥β，∴α与β没有公共点.又α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，∴a∥b.又c∥b，∴a∥c.题型二平行与垂直关系的证明命题点1线面平行的证明例2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D. 证明如图所示，连结AC交BD于点O，连结OE，则OE∥DC，OE＝12DC.∵DC∥D1C1，DC＝D1C1，F为D1C1的中点，∴OE∥D1F，OE＝D1F，∴四边形D1FEO为平行四边形，∴EF∥D1O.又∵EF ⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.命题点2面面平行的证明例3如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1.(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C.(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.证明(1)∵B1B∥DD1，B1B＝D1D，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD⊂平面A1BD，B1D1⊂平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C，又∵A1D∩BD＝D，A1D，BD⊂平面A1BD，∴平面A1BD∥平面B1D1C.(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.如图所示，取BB1的中点G，连结AG，GF，易得AE∥B1G，又∵AE＝B1G，∴四边形AEB1G是平行四边形，∴B1E∥AG.同理GF ∥AD .又∵GF ＝AD ， ∴四边形ADFG 是平行四边形，∴AG ∥DF ，∴B 1E ∥DF ，∴DF ∥平面EB 1D 1. 又∵BD ∩DF ＝D ， ∴平面EB 1D 1∥平面FBD . 命题点3 直线与平面垂直的证明例4 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 相交于点O ，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，平面BCF ⊥平面ABCD ，BF ＝CF ，点G 为BC 的中点.(1)求证：OG ∥平面EFCD ； (2)求证：AC ⊥平面ODE .证明 (1)∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ， ∴点O 是BD 的中点，∵点G 为BC 的中点，∴OG ∥CD ， 又∵OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ， ∴OG ∥平面EFCD .(2)∵BF ＝CF ，点G 为BC 的中点，∴FG ⊥BC . ∵平面BCF ⊥平面ABCD ， 平面BCF ∩平面ABCD ＝BC ， FG ⊂平面BCF ，FG ⊥BC ， ∴FG ⊥平面ABCD .∵AC ⊂平面ABCD ，∴FG ⊥AC ，∵OG ∥AB ，OG ＝12AB ，EF ∥AB ，EF ＝12AB ，∴OG ∥EF ，OG ＝EF ，∴四边形EFGO为平行四边形，∴FG∥EO.∵FG⊥AC，FG∥EO，∴AC⊥EO.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DO，∵EO∩DO＝O，EO、DO在平面ODE内，∴AC⊥平面ODE.命题点4面面垂直的证明例5如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连结FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝12AA1.因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.又FG∥AA1∥BE，GF＝12AA1＝BE，且BE⊥BG，所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.因为A1C∩FG＝F，所以EF ⊥侧面ACC 1A 1. 又因为EF ⊂平面A 1CE ， 所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1. 命题点5 平行、垂直的综合证明例6 如图，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD .(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若AF ∥DE ，DE ＝3AF ，点M 在线段BD 上，且BM ＝13BD ，求证：AM ∥平面BEF .证明 (1)因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC .因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又BD ∩DE ＝D ，从而AC ⊥平面BDE .(2)如图，延长EF ，DA 交于点G .因为AF ∥DE ，DE ＝3AF ，所以GA GD ＝AF DE ＝13.因为BM ＝13BD ，所以BM BD ＝13，所以BM BD ＝GA GD ＝13，所以AM ∥GB .又AM ⊄平面BEF ，GB ⊂平面BEF ， 所以AM ∥平面BEF .思维升华 (1)空间线面的位置关系的判定方法①证明直线与平面平行，设法在平面内找到一条直线与已知直线平行，解答时合理利用中位线性质、线面平行的性质，或构造平行四边形，寻求比例关系确定两直线平行.②证明直线与平面垂直，主要途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直.解题时注意分析观察几何图形，寻求隐含条件.(2)空间面面的位置关系的判定方法①证明面面平行，需要证明线面平行，要证明线面平行需证明线线平行，将“面面平行”问题转化为“线线平行”问题.②证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分别为边A1B1，C1C的中点.求证：(1)BC1⊥平面AB1C；(2)DE∥平面AB1C.证明(1)∵四边形AA1C1C为矩形，∴AC⊥C1C.又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，∴AC⊥平面CC1B1B.∵BC1⊂平面CC1B1B，∴AC⊥BC1.又四边形CC1B1B为菱形，∴B1C⊥BC1.∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面AB1C.(2)取AA1的中点F，连结DF，EF.∵四边形AA1C1C为矩形，E，F分别为C1C，AA1的中点，∴EF∥AC.∵EF⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EF ∥平面AB 1C .∵D ，F 分别为边A 1B 1，AA 1的中点，∴DF ∥AB 1. ∵DF ⊄平面AB 1C ，AB 1⊂平面AB 1C ， ∴DF ∥平面AB 1C .∵EF ∩DF ＝F ，EF ⊂平面DEF ，DF ⊂平面DEF ， ∴平面DEF ∥平面AB 1C .∵DE ⊂平面DEF ，∴DE ∥平面AB 1C .题型三 平行与垂直的应用例7 (2015·安徽)如图，三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC的值.(1)解 由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由P A ⊥平面ABC ，可知P A 是三棱锥P -ABC 的高，又P A ＝1. 所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·P A ＝36.(2)证明 在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，在平面P AC 内，过点N 作MN ∥P A 交PC 于点M ，连结BM .由P A ⊥平面ABC 知P A ⊥AC ，所以MN ⊥AC .由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN ，又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM .在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32，由MN ∥P A ，得PM MC ＝ANNC＝13.思维升华(1)利用平行关系可以转移点到面的距离，从而求几何体体积或解决关于距离的最值问题.(2)对于存在性问题的证明与探索有三种途径：途径一：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.途径三：将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD ＝1，AB＝3，点F是PD的中点，点E是边DC上的任意一点.(1)当点E为DC边的中点时，判断EF与平面P AC的位置关系，并加以证明；(2)证明：无论点E在边DC的何处，都有AF⊥EF；(3)求三棱锥B—AFE的体积.(1)解当点E为DC边的中点时，EF与平面P AC平行.证明如下：在△PDC中，E，F分别为DC，PD的中点，∴EF∥PC，又EF⊄平面P AC，而PC⊂平面P AC，∴EF∥平面P AC.(2)证明∵P A⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD.∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD.∵AD∩AP＝A，∴CD⊥平面P AD.又AF⊂平面P AD，∴AF⊥CD.∵P A＝AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD.又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PCD.∵EF⊂平面PCD，∴AF⊥EF.即无论点E 在边DC 的何处，都有AF ⊥EF .(3)解 作FG ∥P A 交AD 于G ，则FG ⊥平面ABCD ，且FG ＝12，又S △ABE ＝32，∴V B —AEF ＝V F —AEB ＝13S △ABE ·FG ＝312.∴三棱锥B —AFE 的体积为312.6.立体几何平行、垂直的证明问题典例 (14分)(2014·北京)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点.(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ； (3)求三棱锥E －ABC 的体积. 规范解答(1)证明 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ， 所以BB 1⊥AB .[1分] 又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面B 1BCC 1，[2分] 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.[3分](2)证明 取AB 的中点G ，连结EG ，FG .[4分]因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .[6分]因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形. 所以C 1F ∥EG .[8分]又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .[10分](3)解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3.[12分]所以三棱锥E －ABC 的体积 V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.[14分]证明线面平行问题(一)第一步：作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线. 第二步：证明线线平行.第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行. 第四步：反思回顾.检测关键点及答题规范. 证明线面平行问题(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面.第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行； 第三步：证明所作平面与所证平面平行. 第四步：转化为线面平行. 第五步：反思回顾，检查答题规范. 证明面面垂直问题第一步：根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线. 第二步：结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内的两条相交直线.第三步：得出确定的这条直线垂直于另一平面.第四步：转化为面面垂直.第五步：反思回顾，检查答题规范.温馨提醒(1)证线面平行的方法：①利用判定定理，关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.②若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线.(2)证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.[方法与技巧]1.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.2.空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.[失误与防范]1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断.3.在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意.口诀：线不在多，重在相交.4.面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线.注意定理使用的条件，在推理论证时要把定理所需要的条件列举完整，同时要注意推理论证的层次性，确定先证明什么、后证明什么.A组专项基础训练(时间：45分钟)1.设α，β为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若m，n是异面直线，m∥α，n∥α，且l⊥m，l⊥n，则l⊥α.其中真命题的序号是________.答案①③④解析①由α∥β，l⊂α知，l与β无公共点，故l∥β.②当m⊂α，n⊂α，m与n相交，m∥β，n∥β时，α∥β.③由l∥α知，α内存在l′，使得l′∥l.因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β.④易知α内存在m′，n′，使得m′∥m，n′∥n，且m′，n′相交，由l⊥m，l⊥n知，l⊥m′且l⊥n′，故l⊥α.2.已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：①若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.其中是真命题的是________.(填写所有真命题的序号)答案③④解析对于①，平面α与β可能相交，故①错；对于②，若α∥β，m∥α，n∥β，则直线m 与n可能平行，可能相交，也可能异面，故②错；对于③，由面面垂直的判定可知③正确；对于④，由面面垂直的性质可知m⊥n，故④正确.因此真命题的序号为③④.3.在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上一动点，当M满足是________时，平面MBD⊥平面ABCD.答案PC的中点解析 当M 是PC 中点时，连结AC ，BD 交于O ，由题意知，O 是AC 的中点，连结MO ，则MO ∥P A .∵P A ⊥平面ABCD ，∴MO ⊥平面ABCD ，MO ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面ABCD . 4.如图，ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，且它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.答案m n解析 设AE ＝a ，EB ＝b ，由题意知，EF ∥AC ， 得EF ＝bm a ＋b ，同理EH ＝ana ＋b.因为EF ＝EH ，所以bm a ＋b ＝an a ＋b，所以a b ＝mn .5.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .答案 a 或2a解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1， 所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可. 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 易知Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得AC AF ＝A 1F A 1D ，即2a x ＝3a －x a ， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a .6.如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，P A ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM .求证：(1)OM ∥平面P AD ； (2)OM ⊥平面PCD .证明 (1)连结AC .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 的中点.在△P AC 中，因为O ，M 分别是AC ，PC 的中点，所以OM ∥P A . 因为OM ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ， 所以OM ∥平面P AD .(2)连结PO .因为O 是BD 的中点，PB ＝PD ， 所以PO ⊥BD .因为平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD ∩平面ABCD ＝BD ，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，从而PO ⊥CD . 因为CD ⊥PC ，PC ∩PO ＝P ， PC ⊂平面P AC ，PO ⊂平面P AC ， 所以CD ⊥平面P AC .因为OM ⊂平面P AC ，所以CD ⊥OM .因为P A⊥PC，OM∥P A，所以OM⊥PC.因为CD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，CD∩PC＝C，所以OM⊥平面PCD.7.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.(1)证明如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥面ABB1A1.因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥面ADC1B1.因为A1B⊂面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)解当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE.证明如下：易知：EF∥C1D，且EF＝12C1D.设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝12C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形.所以B1F∥OE.又因为B1F⊄面A1BE，OE⊂面A1BE.8.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；(2)证明：B1F∥平面A1BE；(3)若正方体棱长为1，求四面体A1—B1BE的体积.(1)证明如图，连结AB1.因为ABCD—A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥平面ABB1A1.因为A1B ⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥平面ADC1B1.因为A1B⊂平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)证明如图，连结EF，DC1，OE，B1F.由已知条件得EF∥C1D，且EF＝12C1D.设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝12C1D，所以EF∥B1O且EF＝B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形，所以B1F∥OE.因为B1F⊄平面A1BE，OE⊂平面A1BE，(3)解 VA 1—B 1BE ＝VE —A 1B 1B ＝13S △A 1B 1B ·B 1C 1＝16. B 组 专项能力提升(时间：25分钟)9.在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，给出下面三个结论： ①BC ∥平面PDF ；②DF ⊥平面P AE ；③平面PDF ⊥平面ABC .其中不成立．．．的结论是________.(填写所有不成立的结论的序号) 答案 ③解析如图，由题知BC ∥DF ，∴BC ∥平面PDF .∵四面体P —ABC 为正四面体，∴BC ⊥P A ，AE ⊥BC ，BC ⊥平面P AE ，∴DF ⊥平面P AE ，∴平面P AE ⊥平面ABC ，∴①和②成立.设此正四面体的棱长为1，则P A ＝1，AM ＝34，PM 2＝PD 2－DM 2＝⎝⎛⎭⎫322－⎝⎛⎭⎫142＝1116，∴P A 2≠AM 2＋PM 2，故③不成立.10.如图，过四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的木块上底面内的一点P 和下底面的对角线BD 将木块锯开，得到截面BDEF .(1)请在木块的上表面作出过点P 的锯线EF ，并说明理由；(2)若该四棱柱的底面为菱形，四边形BB1D1D是矩形，试证明：平面BDEF⊥平面ACC1A1.(1)解在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1，A1B1于E，F两点，则EF为所作的锯线.在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱B1B∥D1D，B1B＝D1D，所以四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1∥BD.又EF∥B1D1，所以EF∥BD，故EF为截面BDEF与平面A1B1C1D1的交线，故EF为所作锯线.如图所示.(2)证明由于四边形BB1D1D是矩形，所以BD⊥B1B.又A1A∥B1B，所以BD⊥A1A.又四棱柱的底面为菱形，所以BD⊥AC.因为AC∩A1A＝A，所以BD⊥平面A1C1CA.因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面A1C1CA.11.如图，P A垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝P A＝2，CD＝22，E，F分别是AB，PD 的中点.(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；(3)求四面体PECF的体积.(1)证明设G为PC的中点，连结FG，EG.∵F 为PD 的中点，E 为AB 的中点，∴FG 綊12CD ，AE 綊12CD ，∴FG 綊AE ， ∴四边形AEGF 为平行四边形，∴AF ∥GE . ∵GE ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， ∴AF ∥平面PCE .(2)证明 ∵P A ＝AD ＝2，∴AF ⊥PD .又∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥CD .∵AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .∵AF ⊂平面P AD ，∴AF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴AF ⊥平面PCD ，∴GE ⊥平面PCD .∵GE ⊂平面PEC ，∴平面PCE ⊥平面PCD .(3)解 由(2)知GE ⊥平面PCD ， 所以EG 为四面体PEFC 的高，又EG ＝AF ＝2，CD ＝22，S △PCF ＝12PF ·CD ＝2， 所以四面体PEFC 的体积V ＝13S △PCF ·EG ＝223.。
2020年高考数学(理)复习【直线与平面的平行与垂直】小题精练卷附答案解析
2020年高考数学（理）复习【直线与平面的平行与垂直】小题精练卷刷题增分练○28一、选择题1．[2019·湖北省重点中学模拟]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案：D解析：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，平行，或垂直，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，因此D 正确．故选D.2．有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案：A解析：命题①，l可以在平面α内，不正确；命题②，直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③，a可以在平面α内，不正确；命题④正确．3．[2019·泉州质检]已知直线a，b，平面α，β，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：因为直线a，b不一定相交，所以a∥β，b∥β不一定能够得到α∥β；而当α∥β时，a∥β，b∥β一定成立，所以“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．4．已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，M，N分别是线段D1E与C1F 上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有()A．0条B．1条C．2条D．无数条答案：B解析：连接AC，A1C1，设D1E与平面AA1C1C相交于点M，在平面AA1C1C内过点M作MN∥AA1交C1F于点N，由C1F与D1E为异面直线知MN唯一，且MN⊥平面ABCD，故选B.5．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC答案：C解析：由PA⊥平面ABC⇒PA⊥BC，A正确；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，BC⊥PC，即B，D正确．6．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有() A．2条B．4条C．6条D．8条答案：C解析：如图，过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线只可能落在平面DEFG内(其中D，E，F，G分别为三棱柱棱的中点)，易知经过D，E，F，G中任意两点的直线共有C24＝6条，故选C.7．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，PFFC＝()A.23 B.14 C.13 D.12答案：D解析：连接AC 交BE 于点G ，连接FG ，因为PA ∥平面EBF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面EBF＝FG ，所以PA ∥FG ，所以PF FC ＝AG GC .因为AD ∥BC ，AD ＝BC ，E 为AD 的中点，所以AG GC ＝AE BC ＝12，所以PF FC ＝12.8．[2019·四川资阳模拟]在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为()A.255 B.223 C.55 D.13答案：D解析：如图，∵PA ⊥底面ABC ，∴∠PAB ＝∠PAC ＝90°.又AB ＝AC ＝1，PA ＝2，∴△PAB ≌△PAC (SAS)，∴PB ＝PC .取BC 中点D ，连接AD ，PD ，∴PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAD .∴平面PAD ⊥平面PBC .过点A 作AO ⊥PD 于点O ，可得AO ⊥平面PBC ，∴∠APD 就是直线PA 与平面PBC 所成的角．在Rt △PAD 中，AD ＝AB sin30°＝12，PA ＝2，PD ＝PA 2＋AD 2＝32，sin ∠APD ＝AD PD ＝13.故选D.二、非选择题9．[2019·杭州模拟]如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则EF ＝________.答案：2解析：根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2.10．已知α，β表示两个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，且m⊥β，α⊥β，给出下列四个结论：①∀n⊂α，n⊥β；②∀n⊂β，m⊥n；③∃n⊂α，m⊥n.则上述结论正确的为________．(写出所有正确结论的序号)答案：②③解析：由于m⊥β，α⊥β，所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α，则n⊂β或n∥β或n与β相交，所以①不正确；∀n⊂β，则由直线与平面垂直的性质定理，知m⊥n，②正确；当m⊂α或m∥α时，∃n⊂α，m⊥n，③正确．11．[2019·青岛模拟]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M 是PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)(不唯一)解析：如图，连接AC，∵四边形ABCD的各边都相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC 等)时，有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.12．[2019·河北定州中学模拟]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是________(将符合题意的选项序号填到横线上)．①AG⊥△EFH的在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面．答案：①③④解析：根据条件AH⊥HE，AH⊥HF，所以AH⊥平面EFH，故AG不可能垂直平面EFH，所以①错误；②正确；③若HF⊥△AEF所在平面，则HF⊥AF，显然一个三角形中不能有两个直角，错误；④若HG⊥△AEF所在平面，则△AHG中有两个直角，错误，故填①③④.刷题课时增分练○28一、选择题1．[2019·重庆六校联考]设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案：D解析：对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.2．[2019·河北武邑月考]如图，在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是()A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD答案：B解析：如图，对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P－ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，∴AO⊥PB，CO⊥PB.∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC.∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立．对于选项B，∵AC⊥BD，AC⊥PB，BD∩PB＝B，∴AC⊥平面PBD.设AC∩BD＝M，连接PM，则PM⊥AC，∴PD与AC不垂直．对于选项C，∵PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，∴AC⊥PB.∵AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立．对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立，故选B.3．[2019·长沙模拟]如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE 上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC、CF、BE、BF、CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是()A．AC∥平面BEFB．B、C、E、F四点不可能共面C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCDD．平面BCE与平面BEF可能垂直答案：D解析：A选项，连接BD，交AC于点O，取BE的中点M，连接OM，FM，易证四边形AOMF是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF；B选项，若B、C、E、F四点共面，因为BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；C选项，连接FD，在平面ADEF内，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；D选项，延长AF至G，使AF＝FG，连接BG、EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾．综上，选D.4．[2019·湖北八校联考]如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD 中，下列说法正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ACD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCD D．平面ACD⊥平面ABD答案：D解析：由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD.5．[2019·荆州模拟]如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B′，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为()A．K B．H C．G D．B′答案：C解析：取A′C′的中点M，连接EM，MK，KF，EF，则EM綊12CC′綊KF，得四边形EFKM为平行四边形，若P＝K，则AA′∥BB′∥CC′∥KF，故与平面PEF平行的棱超过2条；HB′∥MK⇒HB′∥EF，若P＝H或P＝B′，则平面PEF与平面EFB′A′为同一平面，与平面EFB′A′平行的棱只有AB，不满足条件；连接BC′，则EF∥A′B′∥AB，若P＝G，则AB，A′B′与平面PEF平行．故选C.6．如图，在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是()A．当AE⊥PB时，△AEF一定是直角三角形B．当AF⊥PC时，△AEF一定是直角三角形C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定是直角三角形D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定是直角三角形答案：B解析：由PA ⊥底面ABC ，得PA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，BC ⊥AE .又AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC ，所以AE ⊥EF ，故A 正确；当EF ∥平面ABC 时，因为EF ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，所以EF ∥BC ，故EF ⊥平面PAB ，AE ⊥EF ，故C 正确；当PC ⊥平面AEF 时，PC ⊥AE ，又BC ⊥AE ，所以AE ⊥平面PBC ，所以AE ⊥EF ，故D 正确．故选B.7．[2019·广西南宁模拟]已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O 的体积为823π，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为()A.31111 B.21111C.31010 D.1010答案：A解析：如图，设△ABC 的中心为E ，M 为AB 的中点，过球心O 作OD ⊥PA ，则D 为PA 的中点．由题意可得CM ⊥平面PAB ，∴∠CPM 是直线PC 与平面PAB 所成的角．∵△ABC 是边长为2的等边三角形，∴OD ＝AE ＝23CM ＝233.∵43π·OP 3＝82π3，∴OP ＝2，∴PA ＝2PD ＝2OP 2－OD 2＝263.∴PM ＝PA 2＋AM 2＝333.∴tan ∠CPM ＝CM PM ＝31111.故选A.8.如图，在以角C 为直角顶点的三角形ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，PA ⊥平面ABC ，F 为PB 上的点，在线段AB 上有一点E ，满足BE ＝λAE .若PB ⊥平面CEF ，则实数λ的值为()A.316 B.516 C.916 D.3答案：C解析：∵PB ⊥平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，∴PB ⊥CE ，又PA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴PA ⊥CE ，而PA ∩PB ＝P ，∴CE ⊥平面PAB ，∴CE ⊥AB ，∴λ＝EB AE ＝EB ·AB AE ·AB ＝BC 2AC 2＝916.二、非选择题9.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，且A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．答案：MN ∥平面BB 1C 1C 解析：如图，连接AM 并延长，交BB 1的延长线于点P ，连接CP ，则由已知可得AA 1∥BB 1，所以A 1M MB＝AM MP ＝12，又AN NC ＝12，所以AM MP ＝AN NC ＝12，所以MN ∥PC ，故有MN ∥平面BB 1C 1C .10．[2019·黄冈质检]如图，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案：①②③解析：①由于PA⊥平面ABC，因此PA⊥BC，又AC⊥BC，因此BC⊥平面PAC，所以BC⊥AF，由于PC⊥AF，因此AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB；②因为AE⊥PB，AF⊥PB，所以PB⊥平面AEF，因此EF⊥PB；③在①中已证明AF⊥BC；④若AE⊥平面PBC，由①知AF⊥平面PBC，由此可得出AF∥AE，这与AF，AE有公共点A矛盾，故AE⊥平面PBC不成立．故正确的结论为①②③.11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.。
高中数学直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质精选题目(附答案)
高中数学直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质精选题目（附答案）1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．(2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b . (4)作用：①线面垂直⇒线线平行；②作平行线．2．平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂αa ⊥l ⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线．一、线面垂直性质定理的应用1.如图，已知正方体A 1C .(1)求证：A 1C ⊥B 1D 1.(2)M ，N 分别为B 1D 1与C 1D 上的点，且MN ⊥B 1D 1，MN ⊥C 1D ，求证：MN ∥A 1C .[证明] (1)如图，连接A 1C 1.∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，∴CC 1⊥B 1D 1.∵四边形A 1B 1C 1D 1是正方形，∴A 1C 1⊥B 1D 1.又∵CC 1∩A 1C 1＝C 1，∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C.(2)如图，连接B1A，AD1.∵B1C∥AD，∴四边形ADC1B1为平行四边形，∴C1D∥AB1.∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1.又∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，∴MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又∵AB1∩B1D1＝B1，∴A1C⊥平面AB1D1.∴A1C∥MN.注：(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．(2)直线与平面垂直的其他性质：①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直．②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α.④垂直于同一条直线的两个平面平行．⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵四边形ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，∴ON=12CD=12AB .∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形．∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB .∴M 是AB 的中点.二、面面垂直性质定理的应用3.已知P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .[证明] 如图，在平面P AC 内作AD ⊥PC 于点D ，∵平面P AC ⊥平面PBC ，AD ⊂平面P AC ，且AD ⊥PC ，∴AD ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∵AD ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥AC .注： 若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．4.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°.侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.证明：(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)如图，连接PG.∵△P AD是正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.三、垂直关系的综合应用4.如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)．(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD.又∵AC⊂平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan 60°＝6，∴AC＝AB2＋BC2＝7.由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝67，∴λ＝AEAC＝67.故当λ＝67时，平面BEF⊥平面ACD.注：(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：线线垂直判定定理线面垂直定义线面垂直判定定理性质定理面面垂直(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．5.如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图(2)中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为362，求a的值．解：(1)证明：在图(1)中，因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.即在图(2)中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE. 即A1O是四棱锥A1-BCDE的高．由图(1)知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1-BCDE的体积为V＝13S·A1O＝13×a2×22a＝26a3.由26a3＝362，得a＝6.巩固练习：1．设l是直线，α，β是两个不同的平面()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β2．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β3．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直4.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．41.解析：选B对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在β内也可能平行于β；对于选项D，直线l可能在β内或平行于β或与β相交．2.解析：选D选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件．3.解析：选C如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.4.解析：选B因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.5.解析：选B根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.6.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD 共6个．答案：67.如图，直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．解析：如图，连接BC，∵二角面α-l-β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β.又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝BC2－BD2＝ 2.答案： 28．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的说法序号是________(注：把你认为正确的说法的序号都填上)．解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于m的射影的直线，m都与它们垂直；④对．答案：②④9.如图：三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC是直角三角形，∠P AC＝90°，∠ACP＝30°，平面P AC⊥平面ABC.求证：平面P AB⊥平面PBC.证明：∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，∴P A ⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩P A＝A，AB⊂平面P AB，P A⊂平面P AB，∴BC⊥平面P AB.又BC⊂平面PBC，∴平面P AB⊥平面PBC.10.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线EC与平面ABE所成角正弦值．解：(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥CF.又AC＝BC，∴CF⊥AB.∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝2，FE＝6，tan∠CEF＝26＝33.11．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．相交或平行12．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m，n不平行．．．，则m与n不可能．．．垂直于同一平面13．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β14．在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为() A．2 3 B．27C．4 3 D．47参考答案：11.解析：选B∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．12.解析：选D A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．13.解析：选D A中m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中m，n可能为异面直线；C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．14.解析：选B连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.15.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________.解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,25，所以cos α＝525＋4＝529，cos β＝2529，所以cos α∶cos β＝5∶2.答案：5∶216．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数17.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为P A的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又EO⊂平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.18.如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．解：(1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，∴AD⊥平面BB1C1C.又CC1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)证明：延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)结论正确．证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE. ∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C.又AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．∵MA∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.∴四边形AMED是平方四边形，又AM∥CC1，∴DE∥CC1.∵BD＝CD，∴DE＝12CC1，∴AM＝12CC1＝12AA1.∴AM＝MA1.。
直线与平面、平面与平面平行的判定（附答案）
直线与平⾯、平⾯与平⾯平⾏的判定（附答案）直线与平⾯、平⾯与平⾯平⾏的判定[学习⽬标] 1.理解直线与平⾯平⾏、平⾯与平⾯平⾏判定定理的含义.2.会⽤图形语⾔、⽂字语⾔、符号语⾔准确描述直线与平⾯平⾏、平⾯与平⾯平⾏的判定定理，并知道其地位和作⽤.3.能运⽤直线与平⾯平⾏的判定定理、平⾯与平⾯平⾏的判定定理证明⼀些空间线⾯关系的简单问题.知识点⼀直线与平⾯平⾏的判定定理思考若⼀条直线平⾏于⼀个平⾯内的⼀条直线，则这条直线和这个平⾯平⾏吗？答根据直线与平⾯平⾏的判定定理可知该结论错误. 知识点⼆平⾯与平⾯平⾏的判定定理思考如果⼀条直线与两个平⾏平⾯中的⼀个平⾏，那么这条直线与另⼀个平⾯也平⾏吗？答不⼀定.这条直线与另⼀个平⾯平⾏或在另⼀个平⾯内.题型⼀直线与平⾯平⾏的判定定理的应⽤例1 如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.求证：(1)EH ∥平⾯BCD ； (2)BD ∥平⾯EFGH .证明 (1)∵EH 为△ABD 的中位线，∴EH ∥BD .∵EH ?平⾯BCD ，BD ?平⾯BCD ，∴EH∥平⾯BCD.(2)∵BD∥EH，BD?平⾯EFGH，EH?平⾯EFGH，∴BD∥平⾯EFGH.跟踪训练1在四⾯体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重⼼，求证：MN∥平⾯ADC.证明如图所⽰，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.因为M，N分别是△ABD和△BCD的重⼼，所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.所以MN∥PQ.⼜因为MN?平⾯ADC，PQ?平⾯ADC，所以MN∥平⾯ADC.题型⼆⾯⾯平⾏判定定理的应⽤例2如图所⽰，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平⾯A1EB∥平⾯ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，⼜D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平⾏四边形，因此EB∥C1D，⼜C1D?平⾯ADC1，EB?平⾯ADC1，所以EB∥平⾯ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平⾏四边形，则ED綊B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平⾏四边形，所以A 1E ∥AD ，⼜A 1E ?平⾯ADC 1，AD ?平⾯ADC 1，所以A 1E ∥平⾯ADC 1.由A 1E ∥平⾯ADC 1，EB ∥平⾯ADC 1， A 1E ?平⾯A 1EB ，EB ?平⾯A 1EB ，且A 1E ∩EB ＝E ，所以平⾯A 1EB ∥平⾯ADC 1.跟踪训练2 已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正⽅体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，点G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点. 求证：(1)E ，B ，F ，D 1四点共⾯； (2)平⾯A 1GH ∥平⾯BED 1F .证明 (1)∵AE ＝B 1G ＝1，∴BG ＝A 1E ＝2. ⼜∵BG ∥A 1E ，∴四边形A 1EBG 是平⾏四边形，∴A 1G ∥BE .连接FG .∵C 1F ＝B 1G ，C 1F ∥B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平⾏四边形，∴FG ＝C 1B 1＝D 1A 1，FG ∥C 1B 1∥D 1A 1，∴四边形A 1GFD 1是平⾏四边形，∴A 1G ∥D 1F ，∴D 1F ∥EB . 故E ，B ，F ，D 1四点共⾯. (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.⼜∵B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.⼜FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .⼜由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ，∴平⾯A 1GH ∥平⾯BED 1F .题型三线⾯平⾏、⾯⾯平⾏判定定理的综合应⽤例3 在正⽅体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底⾯ABCD 的中⼼，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点.问：当点Q 在什么位置时，平⾯D 1BQ ∥平⾯P AO ？请说明理由.解当Q 为CC1的中点时，平⾯D 1BQ ∥平⾯P AO .理由如下：连接PQ .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴PQ ∥DC ∥AB ，PQ ＝DC ＝AB ，∴四边形ABQP 是平⾏四边形，∴QB ∥P A . ⼜∵O 为DB 的中点，∴D 1B ∥PO . ⼜∵PO ∩P A ＝P ，D 1B ∩QB ＝B ，∴平⾯D 1BQ ∥平⾯P AO .跟踪训练3 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底⾯为正三⾓形，侧棱A 1A ⊥底⾯ABC ，E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，EC ＝2FB .M 是线段AC 上的动点，当点M 在何位置时，BM ∥平⾯AEF ？请说明理由.解当M 为AC 中点时，BM ∥平⾯AEF .理由如下：⽅法⼀如图1，取AE 的中点O ，连接OF ，OM . ∵O ，M 分别是AE ，AC 的中点，∴OM ∥EC ，OM ＝12EC .⼜∵BF ∥CE ，EC ＝2FB ，∴OM ∥BF ，OM ＝BF ，∴四边形OMBF 为平⾏四边形，∴BM ∥OF . ⼜∵OF ?⾯AEF ，BM ?⾯AEF ，∴BM ∥平⾯AEF .⽅法⼆如图2，取EC 的中点P ，连接PM ，PB . ∵PM 是△ACE 的中位线，∴PM ∥AE .∵EC＝2FB＝2PE，CC1∥BB1，∴PE＝BF，PE∥BF，∴四边形BPEF是平⾏四边形，∴PB∥EF.⼜∵PM?平⾯AEF，PB?平⾯AEF，∴PM∥平⾯AEF，PB∥平⾯AEF.⼜∵PM∩PB＝P，∴平⾯PBM∥平⾯AEF.⼜∵BM?⾯PBM，∴BM∥平⾯AEF.⾯⾯平⾏的判定例4已知在正⽅体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，A′B′的中点，在该正⽅体中是否存在过顶点且与平⾯AMN平⾏的平⾯？若存在，试作出该平⾯，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.分析根据题意画出正⽅体，根据平⾯AMN的特点，试着在正⽅体中找出⼏条平⾏于该平⾯的直线，然后作出判断，并证明.解如图，与平⾯AMN平⾏的平⾯有以下三种情况：下⾯以图①为例进⾏证明.如图①，取B′C′的中点E，连接BD，BE，DE，ME，B′D′，可知四边形ABEM是平⾏四边形，所以BE∥AM.⼜因为BE?平⾯BDE，AM?平⾯BDE，所以AM∥平⾯BDE.因为MN是△A′B′D′的中位线，所以MN∥B′D′.因为四边形BDD′B′是平⾏四边形，所以BD∥B′D′.所以MN∥BD.⼜因为BD?平⾯BDE，MN?平⾯BDE，所以MN∥平⾯BDE.⼜因为AM?平⾯AMN，MN?平⾯AMN，且AM∩MN＝M，所以由平⾯与平⾯平⾏的判定定理可得，平⾯AMN∥平⾯BDE.1.过直线l外两点，作与l平⾏的平⾯，则这样的平⾯()A.不可能作出B.只能作出⼀个C.能作出⽆数个D.上述三种情况都存在2.经过平⾯α外两点，作与α平⾏的平⾯，则这样的平⾯可以作()A.1个或2个B.0个或1个C.1个D.0个3.若线段AB，BC，CD不共⾯，M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平⾯MNP的位置关系是()A.平⾏B.直线在平⾯内C.相交D.以上均有可能4.在正⽅体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截⾯彼此平⾏的⼀对是()A.平⾯E1FG1与平⾯EGH1B.平⾯FHG1与平⾯F1H1GC.平⾯F1H1H与平⾯FHE1D.平⾯E1HG1与平⾯EH1G5.梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平⾯α，CD?平⾯α，则直线CD与平⾯α的位置关系是________.⼀、选择题1.下列说法正确的是()①若⼀个平⾯内有两条直线都与另⼀个平⾯平⾏，则这两个平⾯平⾏；②若⼀个平⾯内有⽆数条直线都与另⼀个平⾯平⾏，则这两个平⾯平⾏；③若⼀个平⾯内任何⼀条直线都平⾏于另⼀个平⾯，则这两个平⾯平⾏；④若⼀个平⾯内的两条相交直线都与另⼀个平⾯平⾏，则这两个平⾯平⾏.A.①③B.②④C.②③④D.③④2.平⾯α与平⾯β平⾏的条件可以是()A.α内有⽆穷多条直线与β平⾏B.直线a∥α，a∥β，且直线a不在α与β内C.直线a?α，直线b?β，且b∥α，a∥βD.α内的任何直线都与β平⾏3.六棱柱的表⾯中，互相平⾏的平⾯最多有()A.2对B.3对C.4对D.5对4.如果直线a平⾏于平⾯α，那么下列命题正确的是()A.平⾯α内有且只有⼀条直线与a平⾏B.平⾯α内有⽆数条直线与a平⾏C.平⾯α内不存在与a平⾏的直线D.平⾯α内的任意直线与直线a都平⾏5.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，⼜H，G分别为BC，CD的中点，则()A.BD∥平⾯EFG，且四边形EFGH是平⾏四边形B.EF∥平⾯BCD，且四边形EFGH是梯形C.HG∥平⾯ABD，且四边形EFGH是平⾏四边形D.EH∥平⾯ADC，且四边形EFGH是梯形6.平⾯α内有不共线的三点到平⾯β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为()A.平⾏B.相交C.平⾏或相交D.可能重合7.已知直线l，m，平⾯α，β，下列命题正确的是()A.l∥β，l?α?α∥βB.l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC.l∥m，l?α，m?β?α∥βD.l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β⼆、填空题8.三棱锥SABC中，G为△ABC的重⼼，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平⾯SBC的关系为________.9.如图是正⽅体的平⾯展开图.在这个正⽅体中，①BM∥平⾯DE；②CN∥平⾯AF；③平⾯BDM∥平⾯AFN；④平⾯BDE∥平⾯NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________.10.右图是⼀⼏何体的平⾯展开图，其中四边形ABCD为正⽅形，E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点，在此⼏何体中，给出下⾯五个结论：①平⾯EFGH∥平⾯ABCD；②P A∥平⾯BDG；③EF∥平⾯PBC；④FH∥平⾯BDG；⑤EF∥平⾯BDG；其中正确结论的序号是________.三、解答题11.如图，在已知四棱锥P－ABCD中，底⾯ABCD为平⾏四边形，点M，N，Q分别在P A，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平⾯MNQ∥平⾯PBC.12.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧⾯AA1D1D上运动，点N满⾜什么条件时，MN∥平⾯BB1D1D?当堂检测答案1.答案 D解析设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作⽆数个平⾯与l平⾏；若直线AB与l异⾯，则只能作⼀个平⾯与l平⾏；若直线AB与l相交，则过A、B没有平⾯与l 平⾏.2.答案 B解析①当经过两点的直线与平⾯α平⾏时，可作出⼀个平⾯β使β∥α.②当经过两点的直线与平⾯α相交时，由于作出的平⾯⼜⾄少有⼀个公共点，故经过两点的平⾯都与平⾯α相交，不能作出与平⾯α平⾏的平⾯.故满⾜条件的平⾯有0个或1个. 3.答案 A解析连接NP，因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点，AB、BC、CD不共⾯，所以直线BD不在平⾯MNP上.∴直线BD与平⾯MNP平⾏.4.答案 A解析如图，∵EG∥E1G1，EG?平⾯E1FG1，E1G1?平⾯E1FG1，∴EG∥平⾯E1FG1，⼜G1F∥H1E，同理可证H1E∥平⾯E1FG1，⼜H1E∩EG＝E，∴平⾯E1FG1∥平⾯EGH1.5.答案CD∥α解析因为AB∥CD，AB?平⾯α，CD?平⾯α，由线⾯平⾏的判定定理可得CD∥α.课时精练答案⼀、选择题1.答案 D解析如图，长⽅体ABCD－A1B1C1D1中，在平⾯ABCD内，在AB上任取⼀点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，则由线⾯平⾏的判定定理，知EF，BC都平⾏于平⾯ADD1A1，⽤同样的⽅法可以在平⾯ABCD内作出⽆数条直线都与平⾯ADD1A1平⾏，但是平⾯ABCD与平⾯ADD 1A 1不平⾏，因此①②都错；③正确，事实上，因为⼀个平⾯内任意⼀条直线都平⾏于另⼀个平⾯，所以这两个平⾯必⽆公共点(要注意“任意⼀条直线”与“⽆数条直线”的区别)；④是平⾯与平⾯平⾏的判定定理，正确. 2.答案 D解析对于A 项，当α与β相交时，α内也有⽆数条直线都与交线平⾏，故A 错误；对于B 项，当a 平⾏于α与β的交线时，也能满⾜，但此时α与β相交，故B 错误；对于C 项，当a 和b 都与α与β的交线平⾏时，也能满⾜，但此时α与β相交，故C 错误；对于D 项，α内的任何直线都与β平⾏，故在⼀个平⾯内存在两条相交直线平⾏于另⼀平⾯，故D 正确. 3.答案 C解析侧⾯中有3对，对⾯相互平⾏，上下两底⾯也相互平⾏. 4.答案 B解析如图，直线B 1C 1∥平⾯ABCD ，B 1C 1∥BC ，B 1C 1∥AD ，B 1C 1∥EF (E ，F 为中点)等，平⾯ABCD 内平⾏于BC 的所有直线均与B 1C 1平⾏.但AB 与B 1C 1不平⾏.5.答案 B解析易证EF ∥平⾯BCD .由AE ∶EB ＝AF ∶FD ，知EF ∥BD ，且EF ＝15BD .⼜因为H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG ∥BD ，且HG ＝12BD .综上可知，EF ∥HG ，EF ≠HG ，所以四边形EFGH 是梯形，且EF ∥平⾯BCD . 6.答案 C解析若三点分布于平⾯β的同侧，则α与β平⾏，若三点分布于平⾯β的两侧，则α与β相交. 7.答案 D解析如图所⽰，在长⽅体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ∥CD ，则AB ∥平⾯DC 1，AB ?平⾯AC ，但是平⾯AC 与平⾯DC 1不平⾏，所以A 错误；取BB 1的中点E ，CC 1的中点F ，则可证EF ∥平⾯AC ，B1C1∥平⾯AC.EF?平⾯BC1，B1C1?平⾯BC1，但是平⾯AC与平⾯BC1不平⾏，所以B 错误；可证AD∥B1C1，AD?平⾯AC，B1C1?平⾯BC1，⼜平⾯AC与平⾯BC1不平⾏，所以C错误；很明显D是⾯⾯平⾏的判定定理，所以D正确.⼆、填空题8.答案平⾏解析如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重⼼知AG∶GF＝2，⼜AE∶ES＝2，∴EG∥SF，⼜SF?平⾯SBC，EG?平⾯SBC，∴EG∥平⾯SBC.9.答案①②③④解析以ABCD为下底⾯还原正⽅体，如图：则易判定四个命题都是正确的.10.答案①②③④解析把图形还原为⼀个四棱锥，然后根据线⾯、⾯⾯平⾏的判定定理判断即可.三、解答题11.证明因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.因为BP?平⾯PBC，NQ?平⾯PBC，所以NQ∥平⾯PBC.⼜因为底⾯ABCD为平⾏四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC?平⾯PBC，MQ?平⾯PBC，所以MQ∥平⾯PBC.⼜因为MQ∩NQ＝Q，所以根据平⾯与平⾯平⾏的判定定理，得平⾯MNQ∥平⾯PBC.12.解如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M是AB的中点，所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG.所以四边形MEFG是平⾏四边形.因为ME∥BB1，BB1?平⾯BB1D1D，ME?平⾯BB1D1D，所以ME∥平⾯BB1D1D.在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1?平⾯BB1D1D，EF?平⾯BB1D1D，所以EF∥平⾯BB1D1D.⼜因为ME∩EF＝E，且ME?平⾯MEFG，EF?平⾯MEFG，所以平⾯MEFG∥平⾯BB1D1D.在FG上任取⼀点N，连接MN，所以MN?平⾯MEFG.所以MN与平⾯BB1D1D⽆公共点.所以MN∥平⾯BB1D1D.总之，当点N在平⾯AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN∥BB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平⾯BB1D1D.。
直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)
直线与平面、平面与平面平行的判定[学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.知识点二平面与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊂α，b⊂αa∩b＝Aa∥β，b∥β⇒α∥β思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一直线与平面平行的判定定理的应用例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.证明(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.跟踪训练1 在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC.证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1.所以MN∥PQ.又因为MN⊄平面ADC，PQ⊂平面ADC，所以MN∥平面ADC.题型二面面平行判定定理的应用例2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又D，E分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，因此EB∥C1D，又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1，所以EB∥平面ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.跟踪训练2 已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，点G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点.求证：(1)E，B，F，D1四点共面；(2)平面A1GH∥平面BED1F.证明(1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.又∵BG∥A1E，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1G∥BE.连接FG.∵C1F＝B1G，C1F∥B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG＝C1B1＝D1A1，FG∥C1B1∥D1A1，∴四边形A1GFD1是平行四边形，∴A1G∥D1F，∴D1F∥EB.故E，B，F，D1四点共面.(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝32 .又∵B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ，∴HG ∥FB .又由(1)知，A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ，FB ∩BE ＝B ， ∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .题型三 线面平行、面面平行判定定理的综合应用例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点.问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO 请说明理由.解 当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .理由如下：连接PQ .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点， ∴PQ ∥DC ∥AB ，PQ ＝DC ＝AB ，∴四边形ABQP 是平行四边形，∴QB ∥PA .又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.跟踪训练3 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，E，F分别是棱CC1，BB1上的点，EC＝是线段AC上的动点，当点M在何位置时，BM∥平面AEF请说明理由.解当M为AC中点时，BM∥平面AEF.理由如下：方法一如图1，取AE的中点O，连接OF，OM.∵O，M分别是AE，AC的中点，∴OM∥EC，OM＝12 EC.又∵BF∥CE，EC＝2FB，∴OM∥BF，OM＝BF，∴四边形OMBF为平行四边形，∴BM∥OF.又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，∴BM∥平面AEF.方法二如图2，取EC的中点P，连接PM，PB.∵PM是△ACE的中位线，∴PM∥AE.∵EC＝2FB＝2PE，CC1∥BB1，∴PE＝BF，PE∥BF，∴四边形BPEF是平行四边形，∴PB∥EF.又∵PM⊄平面AEF，PB⊄平面AEF，∴PM∥平面AEF，PB∥平面AEF.又∵PM∩PB＝P，∴平面PBM∥平面AEF.又∵BM⊂面PBM，∴BM∥平面AEF.面面平行的判定例4 已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是A′D′，A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.分析根据题意画出正方体，根据平面AMN的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线，然后作出判断，并证明.解如图，与平面AMN平行的平面有以下三种情况：下面以图①为例进行证明.如图①，取B′C′的中点E，连接BD，BE，DE，ME，B′D′，可知四边形ABEM是平行四边形，所以BE∥AM.又因为BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.因为MN是△A′B′D′的中位线，所以MN∥B′D′.因为四边形BDD′B′是平行四边形，所以BD∥B′D′.所以MN∥BD.又因为BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE.又因为AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，所以由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE.1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )A.不可能作出B.只能作出一个C.能作出无数个D.上述三种情况都存在2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )个或2个个或1个个个3.若线段AB，BC，CD不共面，M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与平面MNP的位置关系是( )A.平行B.直线在平面内C.相交D.以上均有可能4.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1GC.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G5.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.一、选择题1.下列说法正确的是( )①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.A.①③B.②④C.②③④D.③④2.平面α与平面β平行的条件可以是( )A.α内有无穷多条直线与β平行B.直线a∥α，a∥β，且直线a不在α与β内C.直线a⊂α，直线b⊂β，且b∥α，a∥βD.α内的任何直线都与β平行3.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有( )对对对对4.如果直线a平行于平面α，那么下列命题正确的是( )A.平面α内有且只有一条直线与a平行B.平面α内有无数条直线与a平行C.平面α内不存在与a平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a都平行5.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )A.平行B.相交C.平行或相交D.可能重合7.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )∥β，l⊂α⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m ⊂α⇒α∥β∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β二、填空题8.三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.9.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________.10.右图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②PA∥平面BDG；③EF∥平面PBC；④FH∥平面BDG；⑤EF∥平面BDG；其中正确结论的序号是________.三、解答题11.如图，在已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.12.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN∥平面BB1D1D当堂检测答案1.答案D解析设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.2.答案B解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.3.答案A解析连接NP，因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点，AB、BC、CD不共面，所以直线BD不在平面MNP上.∴直线BD与平面MNP平行.4.答案A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.5.答案CD∥α解析因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.课时精练答案一、选择题1.答案D解析如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB上任取一点E，过点E作EF∥AD，交CD于点F，则由线面平行的判定定理，知EF，BC都平行于平面ADD1A1，用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行，因此①②都错；③正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别)；④是平面与平面平行的判定定理，正确.2.答案D解析 对于A 项，当α与β相交时，α内也有无数条直线都与交线平行，故A 错误；对于B 项，当a 平行于α与β的交线时，也能满足，但此时α与β相交，故B 错误；对于C 项，当a 和b 都与α与β的交线平行时，也能满足，但此时α与β相交，故C 错误；对于D 项，α内的任何直线都与β平行，故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面，故D 正确. 3.答案 C解析 侧面中有3对，对面相互平行，上下两底面也相互平行. 4.答案 B解析 如图，直线B 1C 1∥平面ABCD ，B 1C 1∥BC ，B 1C 1∥AD ，B 1C 1∥EF (E ，F 为中点)等，平面ABCD 内平行于BC 的所有直线均与B 1C 1平行.但AB与B 1C 1不平行.5.答案 B解析 易证EF ∥平面BCD .由AE ∶EB ＝AF ∶FD ，知EF ∥BD ，且EF ＝15BD .又因为H ，G 分别为BC ，CD 的中点，所以HG∥BD，且HG＝12BD.综上可知，EF∥HG，EF≠HG，所以四边形EFGH是梯形，且EF∥平面BCD.6.答案C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交.7.答案D解析如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.二、填空题8.答案平行解析如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，∴EG∥平面SBC.9.答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.10.答案①②③④解析把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可.三、解答题11.证明因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC.又因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ∥BC.因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又因为MQ∩NQ＝Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.12.解如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，分别取棱A1B1，A1D1，AD的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M是AB的中点，所以ME∥AA1∥FG，且ME＝AA1＝FG.所以四边形MEFG是平行四边形.因为ME∥BB1，BB1⊂平面BB1D1D，ME⊄平面BB1D1D，所以ME∥平面BB1D1D.在△A1B1D1中，因为EF∥B1D1，B1D1⊂平面BB1D1D，EF⊄平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.又因为ME∩EF＝E，且ME⊂平面MEFG，EF⊂平面MEFG，所以平面MEFG∥平面BB1D1D.在FG上任取一点N，连接MN，所以MN⊂平面MEFG.所以MN与平面BB1D1D无公共点.所以MN∥平面BB1D1D.总之，当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时，都有MN∥BB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D.。
(完整版)直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案
直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 ④ 。
①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行;④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点。
2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）。
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n,下列命题中假命题是 (填序号). ①若m ⊥α，m ⊥n,则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α,则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ，b,平面α,则以下三个命题： ①若a ∥b,b ⊂α,则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α，b ∥α,则a ∥b 。
其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ，直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的 条件。
A.充分而不必要 B.必要而不充分 C 。
充要 D 。
不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A 。
b a b a //，，αα⊂⊄ B 。
b a b //，α⊂ C.c a b a c b //////，，，αα⊂D 。
b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α，则b 与α的位置关系A 。
平面与平面之间的位置关系(附答案)
平面与平面之间的位置关系[学习目标] 1.了解直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.了解平面与平面之间的两种位置关系，会用符号语言和图形语言表示.知识点一 直线与平面的位置关系 1.直线与平面的位置关系2.直线与平面的位置关系的分类 (1)按公共点个数分类⎩⎨⎧有无公共点⎩⎪⎨⎪⎧直线和平面相交——有且只有一个公共点直线在平面内——有无数个公共点无公共点——直线和平面平行(2)按直线是否在平面内分类⎩⎨⎧直线在平面内——所有点在平面内直线在平面外⎩⎪⎨⎪⎧直线与平面相交直线与平面平行思考 “直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗？答 不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况；而后者仅指直线与平面平行.知识点二 两个平面的位置关系思考分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？答这两条直线没有公共点，故它们的位置关系是平行或异面.题型一直线与平面的位置关系例1下列命题中，正确命题的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.A.0B.2C.1D.3答案 C解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，故命题①不正确；AA′∥平面B′C，BC ⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.故答案为C.跟踪训练1以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案A解析如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.题型二平面与平面的位置关系例2以下四个命题中，正确的命题有()①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行.A.③④B.②③④C.②④D.①④答案A解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误.跟踪训练2两平面α，β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β没有公共点.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析①错误，a不是与β内的所有直线平行，而是与β内的无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③错误，直线a与β内无数条直线垂直；④根据定义，a与β没有公共点，正确.分类讨论思想例3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A，Q，B1三点的截面图形的形状.分析决定过A，Q，B1三点的截面图形的形状的因素是动点Q，所以要对点Q的位置进行分类讨论.解由于点Q是线段DD1上的动点，故①当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图：②当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图：③当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图：1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交2.下列命题中，正确的命题是()A.若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥αB.若a∥α，则直线a与平面α内任意一条直线都平行C.若a⊂α，则a与α有无数个公共点D.若a⊄α，则a与α没有公共点3.下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一个平面的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个B.2个C.3个D.4个4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行5.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.一、选择题1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A.b∥αB.相交C.b⊂αD.b⊂α、相交或平行2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面3.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点4.以下四个命题：①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；③若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l；④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.其中正确的是()A.①②B.②③C.③④D.①③5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作6.下列命题正确的是()①两个平面平行，这两个平面内的直线都平行；②两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面；③两个平面平行，其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行；④两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交.A.①B.②③④C.①②③D.①④7.在长方体ABCDA1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题8.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.9.下列命题正确的是________.①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.10.给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确有________个.三、解答题11.如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论.12.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.当堂检测答案1.答案D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.2.答案C解析对于A，直线a与平面α有可能相交，所以A错；对于B，平面α内的直线和直线a 可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时有一个公共点，所以D错.3.答案B解析②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误.4.答案D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.5.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.课时精练答案一、选择题1.答案D解析如图所示，选D.2.答案D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.答案D解析若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a⊂α，故D项正确.4.答案D解析对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.5.答案C解析因为直线在平面外包含两种情况：直线与平面相交和直线与平面平行.当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出惟一的一个符合题意的平面.6.答案B解析①不正确，因为这两条直线可能是异面；②③④都正确，可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.7.答案B解析如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.二、填空题8.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.9.答案①③解析对于①，如图，∴命题①正确；对于②，α、β也可能相交，②不正确；对于③，若a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内；当a∥b时，a∥β；当a与b相交时，a与β相交，④不正确.10.答案1解析①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错误；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错误；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错误；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④正确.三、解答题11.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.解平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C 是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交.。
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高考能力测试数学基础训练32
基础训练32 直线与平面的平行和垂直
●训练指要
理解直线与平面的位置关系及其特征，熟练地判断(证明)直线与平面平行和垂直.
一、选择题
1.如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.以上都不对
2.下列命题中错误的
．．．是
A.若一直线垂直于一个平面，则此直线垂直于这个平面内的所有直线
B.a、b是异面直线，过a有且只有一个平面与b平行
C.平面外的直线垂直于这平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面
D.一条直线垂直于一条斜线在一个平面内的射影，则这条直线垂直于这条斜线
3.(2003年上海春招)关于直线a、b、l以及平面M、N，下列命题中正确的是
A.若a∥M,b∥M,则a∥b
B.若a∥M,b⊥a,则b⊥M
C.若a⊂M,b⊂M,且l⊥a,l⊥b,则l⊥M
D.若a⊥M,a∥N,则M⊥N
二、填空题
4.过直角三角形斜边中点做垂直于它所在的平面的直线，则过这条直线上任一点和直角三角形各顶点所连结的斜线段的长、短关系是_________；这三条斜线段和这个平面所成的角的大小关系是_________.
5.直角AOB的边OA∥平面α，∠AOB在平面α内的射影仍为直角，则边OB所在直线与α的关系为_________.
三、解答题
6.点A、B、C、D不共面，点M、N分别为△ABD、△CBD的重心.
求证：MN∥平面ACD.
7.如图，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平
面分别交SB、SC、SD于E、F、G.求证：AE⊥SB、AG⊥SD.
8.如图，△ABC是锐角三角形，SA⊥平面ABC，连结SB和SC，
得到△SBC，过A作AO⊥平面SBC，其中O为垂足，求证：O不
是△SBC的垂心.
高考能力测试数学基础训练32答案
一、1.C 2.D 3.D
二、4.相等相等 5.平行或斜交
三、6.△的重心将中线分成2∶1的两段即可证
7.略
8.反证法。