直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点

一、直线、平面平行的判定及其性质知识点一、直线与平面平行的判定

ⅰ．直线和平面的位置关系(一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种)

位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行

公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点

符号表示a⊂αa∩α=A a||α

图形表示

注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外

ⅱ.思考:如图，设直线b在平面α内，直线ａ在平面α外,猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b）

判定

文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则

直线和平面平行（定义）

平面外的一条直线一次平面内的一条直线

平行，则该直线与此平面平行

图形

条件a与α无交点

结论

a∥αb∥α

※判定定理的证明

知识点二、直线与平面平行的性质

性质

文字描述一条直线与一个平面平行，

则这条直线与该平面无交点

一条直线和一个平面平行，则

过这条直线的任一平面与此平

面相交，这条直线和交线平行．

图形

条件

a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b

结论

a∩α＝∅a∥b

线面平行，则线线平行

特别提示

证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法:①利用直线和平面平行的判定定理,通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.

判定

文字描述如果两个平面无公共

点，责成这两个平面平

行一个平面内有两条相

交直线与另一个平面

平行，那么这两个平面

平行．

如果两个平面同时垂直于

一条直线，那么这两个平

面垂直。

图形

条件

α∩β＝∅a，b⊂β

a∩b＝P

a∥α

b∥α

l⊥α

l⊥β

结论

α∥βα∥βα∥β

性质

文字描述如果两个平行平面同时和第

三平面相交，那么他们的交

线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面

图形

条件α∥β

β∩γ＝b

α∩γ＝a α∥β a⊂β

结论a∥b a∥α

二、直线、平面垂直的判定及其性质

知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定

语言描述 如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面互相垂

直，记作l ⊥α

一条直线与一个平面内的两条相交直线都

垂直，则这条直线与该平面垂直.

图形

条件 b 为平面α内的任一直线，而l 对这一直线总有l ⊥α l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α 结论

l ⊥α

l ⊥α

要点诠释:定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面

内的所有直线”，这与“无

数条直线”不同（线线垂直

线面垂直)

性质

语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线

垂直于同一个平面的两条直线平行.

图形

条件

结论

知识点三、二面角

Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（di ｈedr ａl a ｎg ｌe). 这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－) 二面角的平面角的三个特征:ⅰ.

点在棱上

ⅱ. 线在面内 ⅲ．

与棱垂直

Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足,在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角.

作用:衡量二面角的大小;范围:00

0180θ<<.

定义判定

文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面角是

直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

图形

结果α∩β=l α-l-β=90o α⊥β

“任何”“随意”“无数”等字眼

知识点五、平面和平面垂直的性质

面面垂直线面垂直(如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与一个面平垂直)

例题

１.如图，若Ω是长方体ABCＤ-A1B1C１Ｄ1被平面EFGH截去几何体ＥFGHＢ1C１后得到

的几何体,其中E为线段A1B1上异于Ｂ1的点，Ｆ为线段ＢB１上异于B１的点，且EH∥

Ａ１ D1，则下列结论中不正确的是

Ａ. EH∥FG B.四边形EFGＨ是矩形 C. Ω是棱柱 D. Ω是棱

台

2能保证直线a与平面α平行的条件是( A )

A.a⊄α,ｂ⊂α，a∥ｂ B .b⊂α,ａ∥b

C． b⊂α，c∥α,ａ∥b,a∥ｃ

D. ｂ⊂α,A∈ａ,B∈a,C∈ｂ，D∈b且ＡC＝BD

3下列命题正确的是( D Ｆ)

A．平行于同一平面的两条直线平行

B. 若直线ａ∥α,则平面α内有且仅有一条直线与ａ平行

Ｃ. 若直线a∥α，则平面α内任一条直线都与ａ平行

D. 若直线a∥α,则平面α内有无数条直线与ａ平行

E. 如果a、b是两条直线,且a∥b,那么ａ平行于经过b的任何平面

F. 如果直线a、b和平面α满足a∥ｂ,a∥α,b⊄α，那么ｂ∥α

4在空间,下列命题正确的是

（A)平行直线的平行投影重合

（B)平行于同一直线的两个平面平行

（C）垂直于同一平面的两个平面平行