直线、平面平行与垂直的判定及其性质 复习

直线、平面平行的判定及其性质

知识点一、直线与平面平行的判定

ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种）

位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行

公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点

符号表示a⊂αa∩α=A a||α

图形表示

注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外

ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a

与平面α平行.（a||b）

判定

文字描述直线和平面在空间永无交点，则直线

和平面平行（定义）

平面外的一条直线与平面内的一条直线平

行，则该直线与此平面平行

图形

条件a与α无交点

结论

a∥αb∥α

知识点二、直线与平面平行的性质

性质

文字描述一条直线与一个平面平行，

则这条直线与该平面无交点

一条直线和一个平面平行，则过

这条直线的任一平面与此平面

相交，这条直线和交线平行．

图形

条件

a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝

b

结论

a∩α＝∅a∥b

线面平行，则线线平行

特别提示

证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通

过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，

证得“线面”平行.

判定

文字描述如果两个平面无公共

点，则这两个平面平行一个平面内有两条相

交直线与另一个平面

平行，那么这两个平面

平行．

如果两个平面同时垂直于

一条直线，那么这两个平

面平行。

图形

条件

α∩β＝∅a，b⊂β

a∩b＝P

a∥α

b∥α

l⊥α

l⊥β

结论

α∥βα∥βα∥β

知识点四、平面与平面平行的性质

性质

文字描述如果两个平行平面同时和第

三平面相交，那么他们的交

线平行如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面

图形

条件α∥β

β∩γ＝b

α∩γ＝a α∥β a⊂β

结论a∥b a∥α

直线、平面垂直的判定及其性质

知识点一、直线和平面垂直的定义与判定

定义判定

语言描述如果直线l和平面α内的任意一条直线都

垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，

记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.

图形

条件b为平面α内的任一直线，而l对这

一直线总有l⊥b l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，mα，nα

结论l⊥αl⊥α

要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）

知识点二、直线和平面垂直的性质

性质

语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条直线

垂直于这个平面内的所有直线

垂直于同一个平面的两条直线平行.图形

条件

结论

知识点三、二面角

Ⅰ.二面角： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做二面角

的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记

P AB Q －－）

二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上

ⅱ. 线在面内 ⅲ.

与棱垂直

Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面

,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的

平面角.

作用：衡量二面角的大小；范围：0

0180θ<<.

定义 判定

文字描述 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个

平面垂直

图形

结果 α∩β=l α-l-β=90o α⊥β

l ⊥α，l β α⊥β “任何”“ 随意”“无数”等字眼