分段函数的应用举例

分段函数的应用举例

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分段函数的应用举例教学目标：

1.理解分段函数的概念.

2.理解分段函数的分段方法.

3.能建立分段函数的实际应用问题的函数关系式.

4.掌握分段函数函数值的求解

5.了解与函数值对应的自变量的求解.

教学重点：

建立实际问题的分段函数关系式.

教学难点：

1.建立实际问题的分段函数关系式.

2.分段函数的图像.

3.求与函数值对应的自变量.

教学方法：

引导分析讲授

课时安排：

1课时（45分钟）

教学过程：

Ⅰ复习回顾：

分段函数：函数在自变量的不同取值范围内，需要用不同的解析式来表示，这种函数叫做分段函数。

定义域：分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集。

分段函数是一个函数，只是根据自变量的不同范围分段表示，而不是几个函数。

分段函数求函数值时，应根据自变量所属不同范围选择对应的解析式，然后代值求解。

Ⅱ引入新课：

我们在学习了分段函数的知识之后，今天我们来学习分段函数在实际问题中的应用——分段函数的实际应用举例。

例（课本第58页例2）某考生计划步行前往考场，出发后经过0.5h走了2km，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车又经过0.25h提前赶到了考场，设出租车的平均速度为km h.

30/

（1）写出考生经过的路程s与时间t的函数关系；

（2）作出函数图像；

（3）求考生出行0.6h时所经过的路程.

分析：由于考生步行的速度与乘出租车的速度是不同的，所以路程与时间的计算关系就会

不同，发现路程s 与时间t 的函数关系应根据步行与乘车分成两段考虑。

步行的路程与时间计算需要用到步行的速度，所以需要先将步行的速度求出。

解：（1）考生步行速度：240.5v =

=（/km h ） （应注意统一单位，速度一般用/km h ）

步行时路程为 4s t =

改乘出租车后为 230(0.5)3013s t t =+-=-

故考生经过的路程s 与时间t 的函数关系式为

（2）在同一个直角坐标系中，作出函数4s t = （[0,0.5)x ∈）与函数3013s t =- （[0.5,0.75]x ∈）的图像.

（3）由于0.6[0.5,0.75]∈，故考生出行0.6h 所经过的路程为

300.6135s =⨯-=（km ）

例2 某市出租车收费标准：行程不超过3km 时，收费7元；行程超过3km ，但不超过10km 时，在收费7元基础上，超过3km 的部分每公里收费1元；超过10km 时，超过部分除每公里收费1元外，每公里再加收50%的回程空驶费，问：

（1）求车费y （元）与路程x （公里）之间的函数；

（2）作函数图像；

（3）乘客乘车20km ，需付费多少元；

（4）某乘客下车时付费23元，问乘车路程

x是多少公里。

分析：本题因为路程的不同从而车费的计算方式就会不同，所以应根据计费方式的不同对问题进行分段，当所分段较多时，为了清除表示各分段的函数情况，可以使用列表的方式解答。

解：根据计费方式不同对路程进行分段，依题意列表：

（1）故车费y（元）与路程x（公里）之间的函数关系式为

函数定义域为(0,)

+∞. （注意题中求的是函数，就包括定义域）

（2）在同一直角坐标系内，分别作出解析式三段图像.

（3）由于20(10,)

∈+∞，故乘客乘车20km所需车费为

1.520129

y=⨯-=（元）

（4）由函数关系式可知，若路程

0(0,10]

x∈，则车费最多14元，显然2314

>，可见路程

0(10,)

x∈+∞，所以

16

x=（km）

所求路程

x为14km.

实际应用问题找出函数关系式的方法：

①读题，审题；理清问题中分段依据，理解各段所述的量之间的关系；

②根据问题的计算方式的不同，对问题进行分段处理；（可利用表格分段）

③在各段分别找出对应的关系式；

④写出函数关系式；（注意自变量取值范围）

⑤解答相应问题。

课堂小结：

本节课我们学习了分段函数在实际问题中的应用，同学们要掌握实际问题中根据计算方式的不同对自变量进行分段，分别找出各段的关系式，从而找出函数关系式的方法，并根据函数关系式解答相关的问题。

课后作业：

（课本第60页）练习的第2题。

我国国内平信邮资标准是：投寄外埠平信，每封信的质量不超过20g，付邮资1.20元；质量超过20g后，每增加20g（不足20g按照20g计算）增加1.20元.试建立每封平信应付的邮资y（元）与信的质量x（g）之间的函数关系式（设060

<≤），并作出函数

x

图像.