分段函数的应用举例
分段函数的应用总结
分段函数的应用总结分段函数是数学中常见的一种函数形式，它在不同的定义域区间上有不同的表达式。
在实际问题中，我们经常遇到需要用分段函数来描述的情况。
本文将总结几个常见的应用场景，以帮助读者理解和应用分段函数。
一、电费计算电费计算是一个常见的应用分段函数的例子。
在电费计算中，电费的计算方式通常与用电量有关。
比如，一个城市的电价标准规定如下：当用电量小于等于100度时，电费为每度0.5元；当用电量大于100度且小于等于200度时，电费为每度0.6元；当用电量大于200度时，电费为每度0.7元。
我们可以用以下分段函数来表示电费的计算方式：\[ f(x) = \begin{cases}0.5x, & \text{if } 0 \leq x \leq 100 \\0.6x, & \text{if } 100 < x \leq 200 \\0.7x, & \text{if } x > 200\end{cases}\]其中，x表示用电量，f(x)表示对应的电费。
通过这个分段函数，我们可以根据不同的用电量来计算相应的电费，帮助人们合理使用电力资源。
二、阶梯药价阶梯药价是医疗领域中常用的分段函数应用。
在一些国家或地区，医疗费用的计算方式与购买的药品数量有关。
通常情况下，每种药品购买的数量越多，单价就越低。
以某种药品为例，假设其价格规定如下：当购买数量小于等于10盒时，单盒价格为30元；当购买数量大于10盒且小于等于50盒时，单盒价格为25元；当购买数量大于50盒时，单盒价格为20元。
我们可以用以下分段函数来表示阶梯药价的计算方式：\[ f(x) = \begin{cases}30x, & \text{if } 0 \leq x \leq 10 \\25x, & \text{if } 10 < x \leq 50 \\20x, & \text{if } x > 50\end{cases}\]其中，x表示购买的盒数，f(x)表示对应的药品费用。
分段函数的应用及思想
分段函数的应用及思想分段函数是数学中的一种特殊形式，其定义域被划分成不同的区间，在每个区间内，函数具有不同的表达式或定义方式。
分段函数是解决实际问题和描述现象的一种有效工具，可以应用于多个领域，如物理学、经济学、工程学等。
在这些领域中，分段函数的应用和思想是十分重要的。
一个常见的例子是温度转换函数。
在某些国家，温度的单位是摄氏度，而在其他国家则是华氏度。
要在这两种温度之间进行转换，可以使用一个分段函数。
在摄氏度区间内，温度转换函数为T(摄氏度) = 9/5 * T(华氏度) + 32；在华氏度区间内，温度转换函数为T(华氏度) = (T(摄氏度) - 32) * 5/9。
通过这个分段函数，可以方便地将摄氏度转换为华氏度，或将华氏度转换为摄氏度。
分段函数的思想是将定义域分割成不同的区间，并在每个区间内定义不同的表达式。
这样做的好处是使函数具有更大的灵活性，可以准确地描述和解决复杂的问题。
分段函数的表达式可以是多项式、指数函数、对数函数、三角函数等各种数学函数的组合，根据实际问题的特点选择合适的表达式。
通过分段函数，可以将不连续的现象以连续的方式来描述，更好地理解和解决问题。
在物理学中，分段函数常常用于描述运动过程。
例如，一个运动物体在不同的时间段内可能以不同的速度运动。
可以使用分段函数来描述这个运动过程。
假设在时间t=0 到t=t1 之间，物体以速度v1 运动，而在时间t=t1 到t=t2 之间，物体以速度v2 运动。
那么在整个时间段内，物体的位置可以用分段函数表示，即x(t) = v1 * t，当t< t1；x(t) = v2 * (t - t1) + x(t1)，当t1≤t< t2。
这样可以准确地描述物体在运动过程中位置的变化。
在经济学中，分段函数常常用于描述收入的计算方式。
例如，税收计算根据不同收入区间采用不同的税率。
假设一个国家的税收函数为T(收入) = 0.1 * 收入，当收入小于10000；T(收入) = 0.2 * 收入，当收入在10000到50000之间；T(收入) = 0.3 * 收入，当收入大于50000。
分段函数在实际生活中的应用
分段函数在实际生活中的应用新课标的不断深化，使得各地的教师了解到应不断强化学生对数学思维方式的检查，特别是将学生生活当作背景，在生活中应用分段函数，和分类探讨实现相结合的一类中考数学问题，极为引人注目。
这一类型的试题可以较好地测试学生对一局部根底功能与知识的掌握情况，也测试学生灵活使用知识处理具体问题的技能。
与此同时，还可以检验学生是够使用动和静、变化和不变、特殊和一般的辩证思维。
处理这一类型问题的重点在于必须将问题归纳成设定条件〔分段函数〕，结合自变量的各种取值范围，开展分类求解，从而实现不重不漏，并进行分层讨论求解。
一、分段函数数学模型概念分段函数的数学模型通常利用函数的方式来表达。
然而，也有一些情况，必须利用几个式子来表达。
如果自变量的值位于不同的域中，函数的表达式就会不同。
这样的函数称为分段函数。
如果自变量的值处在不同的域中，函数的表达式就会不同，这样的函数称为分段函数。
在具体使用时，分段函数当中包含了分类讨论的数学思想。
正是由于我们的日常生活中有许多问题需要各种方式来处理，所以分类讨论思想就变得十分重要。
分段函数是解决数学实际问题的一种很有效的工具。
利用分段函数数学模型，可以处理日常生活中遇到的许多问题。
〔一〕生活中的用水用电问题例如：为促进节能减排的开展，某市制定了以下用电收费标准：当每户月用电量低于120度，电价为a元/度;在超过120度以后，不超过局部依旧是a元/度，其他超过的局部那么是b元/度，据了解，某用户5月份用电115度，电费69元;6月份用电140度，电费94元。
〔1〕求出a、b的值;〔2〕用户每月用电量为小时〔度〕，应付电费为y〔元〕。
首先，分别求出0≤某≤120和某>120时，y和某间的函数关系;其次，如果用户方案在7月份的时候使用电费不超出83元，那么其在7月最多可使用多少度？解：〔1〕结合题目含义〔2〕①在0≤某≤120和某>120时，y=0.6某。
利用分段函数求解问题
利用分段函数求解问题数学作为一门基础学科，对于中学生来说是必修的科目之一。
在学习数学的过程中，我们经常会遇到一些与实际问题相关的题目，而分段函数就是解决这类问题的有效工具之一。
在本文中，我将以一些具体的例子来说明如何利用分段函数来解决问题。
一、购买书籍的费用计算假设小明去书店买书，书店的价格策略如下：第一本书的价格为10元，第二本书的价格为8元，第三本及以后的书的价格为6元。
现在小明想知道他买了n本书后一共需要花多少钱。
我们可以用分段函数来解决这个问题。
设x表示买的书的数量，y表示花费的总金额。
根据题意，我们可以列出如下的分段函数：y = 10x，当x = 1；y = 10 + 8(x-1)，当x > 1。
这样，当小明买了1本书时，花费的总金额就是10元；当小明买了2本书时，花费的总金额就是10 + 8 = 18元；当小明买了3本书时，花费的总金额就是10 +8(3-1) = 26元。
以此类推，我们可以通过这个分段函数得出小明买了n本书后的花费总金额。
二、温度的转换在物理课上，我们学习了摄氏度与华氏度之间的转换关系。
假设现在我们需要将一个给定的温度从摄氏度转换为华氏度，转换公式如下：F = 9/5C + 32，当C ≤ 0；F = 9/5C + 32，当C > 0。
其中，F表示华氏度，C表示摄氏度。
根据这个分段函数，我们可以很方便地进行温度转换。
例如，如果给定的温度为-10摄氏度，那么根据分段函数，我们可以得到：F = 9/5(-10) + 32 = 14华氏度。
同样地，如果给定的温度为30摄氏度，那么根据分段函数，我们可以得到：F = 9/5(30) + 32 = 86华氏度。
通过这个分段函数，我们可以快速准确地进行摄氏度与华氏度之间的转换。
三、手机话费的计算假设小红每个月的手机话费计费方式如下：前50分钟每分钟收费0.5元，超过50分钟的部分每分钟收费0.3元。
现在小红想知道她每个月的话费总额。
分段函数在生活实际中的应用(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
例题精讲【例1】．某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完、该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图（1）中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图（2）中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．（1）写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；（2）写出每件产品A的销售利润z与上市时间t的关系式；（3）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？解：（1）由图1可得，当0≤t≤30时，设市场的日销售量y＝kt，∵点（30，60）在图象上，∴60＝30k，∴k＝2，即y＝2t；当30＜t≤40时，设市场的日销售量y＝k1t+b，∵点（30，60）和（40，0）在图象上，∴解得k1＝﹣6，b＝240．∴y＝﹣6t+240．故y＝；（2）由图②可得：当0≤t≤20时，每件产品的日销售利润为z＝3t；当20＜t≤40时，每件产品的日销售利润为z＝60；故z＝；（3）①当0≤t≤20时，w＝3t•2t＝6t2．t＝20时，w的最大值为2400（万元）；②当20＜t≤30时，w＝2t•60＝120t．t＝30时，w的最大值为3600（万元）；③当30＜t≤40时，w＝60（﹣6t+240）＝﹣360t+14400∵k＝﹣360＜0，∴w随t的增大而减小．∴w＜﹣360×30+14400即w＜3600（万元）∴第30天取最大利润3600万元．变式训练【变1-1】．某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示．（1）第15天的日销售量为30件；（2）0＜x≤30时，求日销售额的最大值；（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？解：（1）∵日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系式是y＝，∴第15天的销售量为2×15＝30件，故答案为：30；（2）由销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数图象得：p＝，①当0＜x≤20时，日销售额＝40×2x＝80x，∵80＞0，∴日销售额随x的增大而增大，∴当x＝20时，日销售额最大，最大值为80×20＝1600（元）；②当20＜x≤30时，日销售额＝（50﹣x）×2x＝﹣x2+100x＝﹣（x﹣50）2+2500，∵﹣1＜0，∴当x＜50时，日销售额随x的增大而增大，∴当x＝30时，日销售额最大，最大值为2100（元），综上，当0＜x≤30时，日销售额的最大值为2100元；（3）由题意得：当0＜x≤30时，2x≥48，解得：24≤x≤30，当30＜x≤40时，﹣6x+240≥48，解得：30＜x≤32，∴当24≤x≤32时，日销售量不低于48件，∵x为整数，∴x的整数值有9个，∴“火热销售期”共有9天．【变1-2】．某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的产销投入总成本p（万元）与产量x（吨）之间满足p＝x+1．（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？解：（1）当0≤x≤30时，y＝2.4；当30≤x≤70时，设y＝kx+b，把（30，2.4），（70，2）代入得，解得，∴y＝﹣0.01x+2.7；当70≤x≤100时，y＝2；（2）当0≤x≤30时，w＝2.4x﹣（x+1）＝1.4x﹣1；当30≤x≤70时，w＝（﹣0.01x+2.7）x﹣（x+1）＝﹣0.01x2+1.7x﹣1；当70≤x≤100时，w＝2x﹣（x+1）＝x﹣1；（3）当0≤x＜30时，w′＝1.4x﹣1﹣0.3x＝1.1x﹣1，当x＝30时，w′的最大值为32，不合题意；当30≤x≤70时，w′＝﹣0.01x2+1.7x﹣1﹣0.3x＝﹣0.01x2+1.4x﹣1＝﹣0.01（x﹣70）2+48，当x＝70时，w′的最大值为48，不合题意；当70≤x≤100时，w′＝x﹣1﹣0.3x＝0.7x﹣1，当x＝100时，w′的最大值为69，此时0.7x﹣1≥55，解得x≥80，所以产量至少要达到80吨．【例2】．心理学家通过实验发现：初中学生听讲的注意力随时间变化，讲课开始时，学生注意力逐渐增强，中间有一段平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间表t（分钟）变化的函数图象如下．当0≤t≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤t≤20时和20≤t≤40时，图象是线段．（1）当0≤t≤10时，求注意力指标数y与时间t的函数关系式；（2）一道数学探究题需要讲解24分钟，问老师能否经过恰当安排，使学生在探究这道题时，注意力指标数不低于45？请通过计算说明．解：（1）当0≤t≤10时，设抛物线的函数关系式为y＝ax2+bx+c．由于它的图象经过点（0，25），（4，45），（10，60），所以，解得：，所以；（2）当20≤x≤40时，设函数解析式为：y＝kx+d，将（20，60），（40，25）代入得：，解得：∴y＝﹣x+95，令y＝45，有45＝﹣x+95，解得：x＝28，即讲课后第28分钟时注意力不低于45，当0≤x≤10时，令y＝45，有45＝﹣x2+6x+25，解得：x1＝4，x2＝20（舍去），即讲课后第4分钟时，注意力不低于45，所以讲课后注意力不低于45的时间有28﹣4＝24（分钟）＞24（分钟），所以老师可以经过适当的安排，使学生在探究这道数学题时，注意力指数不低于45．变式训练【变2-1】．网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）．（1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？（3）当w≥40000元时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，∴x≤10，∴当6≤x≤10时，w＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，当10＜x≤30时，w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，综上所述：w＝；（2）当6≤x≤10时，w＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣）2+48625，∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝，∴当6≤x≤10时，w随x的增大而增大，即当x＝10时，w＝18000元，最大值当10＜x≤30时，w＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，∴当x＝28时，w有最大值为46400元，∵46400＞18000，∴当销售单价定为28元/kg时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元；（3）∵40000＞18000，∴10＜x≤30，∴w＝﹣100x2+5600x﹣32000，当w＝40000元时，40000＝﹣100x2+5600x﹣32000，∴x1＝20，x2＝36，∴当20≤x≤36时，w≥40000，又∵10＜x≤30，∴20≤x≤30，此时：日获利w1＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a，∴对称轴为直线x＝﹣＝28+a，∵a＜4，∴28+a＜30，∴当x＝28+a时，日获利的最大值为42100元，∴（28+a﹣6﹣a）[﹣100×（28+a）+5000]﹣2000＝42100，∴a1＝2，a2＝86，∵a＜4，∴a＝2．【变2-2】．东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：时间t（天）136102040…日销售量y（kg）1181141081008040…（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．解：（1）设y＝kt+b，把t＝1，y＝118；t＝3，y＝114代入得到：解得，∴y＝﹣2t+120．将t＝30代入上式，得：y＝﹣2×30+120＝60．所以在第30天的日销售量是60kg．（2）设第t天的销售利润为w元．当1≤t≤24时，由题意w＝（﹣2t+120）（t+30﹣20）＝﹣（t﹣10）2+1250，∴t＝10时，w最大值为1250元．当25≤t≤48时，w＝（﹣2t+120）（﹣t+48﹣20）＝t2﹣116t+3360，∵对称轴t＝58，a＝1＞0，∴在对称轴左侧w随t增大而减小，∴t＝25时，w最大值＝1085，综上所述第10天利润最大，最大利润为1250元．（3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元．由题意m＝（﹣2t+120）（t+30﹣20）﹣（﹣2t+120）n＝﹣t2+（10+2n）t+1200﹣120n，∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，∵t为整数，图象是孤立的点，∴﹣＞23.5，（见图中提示）∴n＞6.75．又∵n＜9，∴n的取值范围为6.75＜n＜9．1．为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y （元）与用水量x（吨）之间的函数关系．按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份比三月份节约用水（）A．2吨B．2.5吨C．3吨D．3.5吨解：当x＜10时，设y＝mx，将点（10，22）代入可得：22＝10k，解得：k＝2.2，即可得：y＝2.2x，当x≥10时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），当x＝10时，y＝22，当x＝20时，y＝57，将它们分别代入y＝kx+b中得：，解得：，那么y与x的函数关系式为：y＝3.5x﹣13，综上可得：y＝，当y＝29时，知道x＞10，将y＝29代入得29＝3.5x﹣13，解得x＝12，当y＝19.8时，知道x＜10，将y＝19.8代入得19.8＝2.2x，解得：x＝9，即可得四月份比三月份节约用水：12﹣9＝3（吨）．故选：C．2．某市为鼓励市民节约使用燃气，对燃气进行分段收费，每月使用11立方米以内（包括11立方米）每立方米收费2元，超过部分按每立方米2.4元收取．如果某户使用9立方米燃气，需要燃气费为18元；如果某户的燃气使用量是x立方米（x超过11），那么燃气费用y与x的函数关系式是y＝2.4x﹣4.4．解：使用9立方米燃气，需要燃气费为：2×9＝18（元）；y＝2×11+2.4（x﹣11），即所求的函数解析式为y＝2.4x﹣4.4（x＞11）．故答案为：18；y＝2.4x﹣4.43．某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度．若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价2元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价3.5元收费．小明家2月份用水20吨，交水费49元；3月份用水18吨，交水费42元．（1）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；（2）小明家5月份用水30吨，则他家应交水费多少元？解：（1）由题意可得，当0≤x≤14时，y＝2x，当x＞14时，y＝2×14+（x﹣14）×3.5＝3.5x﹣21，由上可得，y与x的函数关系式为y＝；（2）当x＝30时，y＝3.5×30﹣21＝84，即小明家5月份用水30吨，则他家应交水费84元．4．某市近期公布的居民用天然气阶梯价格听证会方案如下：第一档天然气用量第二档天然气用量第三档天然气用量年用天然气量360立方米及以下，价格为每立方米2.53元年用天然气量超出360立方米，不超600立方米时，超过360立方米部分每立方米价格为2.78元年用天然气量600立方米以上，超过600立方米部分价格为每立方米3.54元例：若某户2019年使用天然气400立方米，按该方案计算，则需缴纳天然气费为：2.53×360+2.78×（400﹣360）＝1022（元）（1）若小明家2019年使用天然气300立方米，则需缴纳天然气费为759元（直接写出结果）；（2）若小红家2019年使用天然气560立方米，则小红家2019年需缴纳的天然气费为多少元？解：（1）由题意可得，300×2.53＝759（元），即小明家2019年使用天然气300立方米，则需缴纳天然气费为759元，故答案为：759；（2）由题意可得，360×2.53+（560﹣360）×2.78＝910.8+200×2.78＝910.8+556＝1466.8（元），答：小红家2019年需缴纳的天然气费1466.8元．5．在一段长为1000的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员均从A点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A点的距离y（米）与其出发的时间x（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米/分钟，且当乙到达B点后立即按原速返回．（1）当x为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．解：（1）甲开始时的速度为：1000÷4＝250（米/分钟），令250x＝150（x+），解得，x＝0.75，答：当x为0.75分钟时，两人第一次相遇；（2）当x＝5时，乙跑的路程为：150×（5+）＝825＜1000，∴甲乙第二次相遇的时间为：5+＝5.5（分钟），则当两人第二次相遇时，甲跑的总路程为：1000+（5.5﹣5）×＝1100（米），答：当两人第二次相遇时，甲跑的总路程是1100米．6．“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子的价格打8折．（Ⅰ）根据题意，填写下表：购买种子的数量/kg 1.52 3.54…付款金额/元7.5101618…（Ⅱ）设购买种子数量为xkg，付款金额为y元，求y关于x的函数解析式；（Ⅲ）若小张一次购买该种子花费了30元，求他购买种子的数量．解：（Ⅰ）10，18；（Ⅱ）根据题意得，当0≤x≤2时，种子的价格为5元/千克，∴y＝5x，当x＞2时，其中有2千克的种子按5元/千克计价，超过部分按4元/千克计价，∴y＝5×2+4（x﹣2）＝4x+2，y关于x的函数解析式为y＝；（Ⅲ）∵30＞10，∴一次性购买种子超过2千克，∴4x+2＝30．解得x＝7，答：他购买种子的数量是7千克．7．电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x≤100和x＞100时，y与x的函数关系式；（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电60度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费125元时，则该用户该月用了多少度电？解：（1）当0≤x≤100时，设关系式为y＝kx，把（100，65）代入得：k＝0.65，∴y＝0.65x（0≤x≤100）当x＞100时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b，把（100，65）（130，89）代入得：，解得：k＝0.8，b＝﹣15，∴y＝0.8x﹣15（x＞100）答：当0≤x≤100和x＞100时，y与x的函数关系式分别为y＝0.65x（0≤x≤100），y＝0.8x﹣15（x＞100）．（2）当0≤x≤100时，每度电收费0.65元，当x＞100时，每度电收费0.8元．（3）当x＝60时，代入y＝0.65x＝39元，当y＝125时，代入y＝0.8x﹣15得：x＝175度，答：用电60度，则应缴费39元；月缴费125元时，则该用户该月用了175度电．8．某商品的进价为每件40元，售价每件不低于50元且不高于80元．售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．如果每件商品的售价每降价1元，则每个月多卖1件，设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？解：（1）当50≤x≤60时，y＝（x﹣40）（100+60﹣x）＝﹣x2+200x﹣6400；当60＜x≤80时，y＝（x﹣40）（100﹣2x+120）＝﹣2x2+300x﹣8800；∴y＝﹣x2+200x﹣6400（50≤x≤60且x为整数）y＝﹣2x2+300x﹣8800（60＜x≤80且x为整数）；（2）当50≤x≤60时，y＝﹣（x﹣100）2+3600；∵a＝﹣1＜0，且x的取值在对称轴的左侧，∴y随x的增大而增大，∴当x＝60时，y有最大值2000；当60＜x≤80时，y＝﹣2（x﹣75）2+2450；∵a＝﹣2＜0，∴当x＝75时，y有最大值2450．综上所述，每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．9．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象解决以下问题．（1）甲，乙两地的距离为720km；慢车的速度为80km/h．（2）求CD段的函数解析式．（不用写自变量的取值范围）（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500km，请通过计算求出x的值．解：（1）甲、乙两地的距离为720km，慢车的速度为720÷9＝80（km/h），故答案为：720，80；（2）∵快车的速度为﹣80＝120（km/h），∴快车到达乙地所用时间为＝6（h），此时慢车所行驶的路程是6×80＝480（km），∴C（6，480），设CD段的函数解析式为y＝kx+b，把C（6，480），D（9，720）代入得：，解得，∴CD段的函数解析式为y＝80x；（3）由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为500km，①相遇前：（80+120）x＝720﹣500，解得x＝1.1，②相遇后：∵点C（6，480），∴快车到达乙地后，慢车再行驶20km两车之间的距离为500km，∵慢车行驶20km需要的时间是＝0.25（h），∴x＝6+0.25＝6.25（h），∴x＝1.1h或6.25h，两车之间的距离为500km．10．某水产市场经营一种海产品，其日销售量y（kg）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示．（1）分别求出当20≤x≤30，30＜x≤35时，y与x之间的函数关系式．（2）当单价为32元/千克时，日销售量是多少？（3）当日销售量为80kg时，单价是多少？解：（1）当20≤x≤30时，设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，∵点（20，100），（30，50）在该函数图象上，∴，解得，即当20≤x≤30时，y与x之间的函数关系式是y＝﹣5x+200；当30＜x≤35时，设y与x之间的函数关系式是y＝ax+c，∵点（30，50），（35，0）在该函数图象上，∴，解得，即当30＜x≤35时，y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x+350；（2）当x＝32时，y＝﹣10x+350＝﹣10×32+350＝30，即当单价为32元/千克时，日销售量是30千克；（3）当y＝80时，80＝﹣5x+200，解得x＝24，即当日销售量为80kg时，单价是24元/千克．11．“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑行前往乙地，她与乙地之间的距离y（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图1中线段AB所示．在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离x（km）与出发时间t（h）之间的函数关系式如图2中折线段CD﹣DE ﹣EF所示．（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？（2）求点E的坐标，并解释点E的实际意义．解：（1）由题意可得：小丽速度＝＝16（km/h）设小明速度为xkm/h由题意得：1×（16+x）＝36∴x＝20答：小明的速度为20km/h，小丽的速度为16km/h．（2）由图象可得：点E表示小明到了甲地，此时小丽没到，∴点E的横坐标＝＝，点E的纵坐标＝＝∴点E（，）12．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市对居民用水实行阶梯水价．居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1：1.5：2．如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y（元）与用水量x（m3）之间的函数关系．其中线段AB 表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系．（1）写出点B的实际意义；（2）求线段AB所在直线的表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费108元，其相应用水量为多少立方米？解：（1）由图可得，点B的实际意义是当用水25m3时，所交水费为90元；（2）设一级阶梯用水的单价为x元/m3，则二级、三级阶梯的用水单价分别为1.5x元/m3，2x元/m3，设点A的坐标为（a，45），则，解得，即点A的坐标为（15，45），设线段AB所在直线的表达式为y＝kx+b，，解得，即线段AB所在直线的表达式为y＝4.5x﹣（15＜x≤25）；（3）∵108＞90，∴某户5月份的用水量超过25m3，设该用户5月份用水量为m立方米，90+（m﹣25）×3×2＝108，解得m＝28，答：其相应用水量为28立方米．13．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数．下表是测得的指距与身高的一组数据：指距d（cm）20212223身高h（cm）160169178187（1）求出h与d之间的函数关系式；（不要求写出自变量d的取值范围）（2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？解：（1）设h与d之间的函数关系式为：h＝kd+b．把d＝20，h＝160；d＝21，h＝169，分别代入得，．解得k＝9，b＝﹣20，即h＝9d﹣20；（2）当h＝196时，196＝9d﹣20，解得d＝24cm．14．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．（1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式；（2）若小王4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？（3）若小王5月份上网费用为98元，则他在该月份的上网时间是多少．解：（1）当x≥30时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，解得，∴y＝x+20．（2）若小王4月份上网20小时，由图象可知，他应付50元的上网费．（3）把y＝98代入，y＝x+20，解得x＝78，∴若小王5月份上网费用为98元，则他在该月份的上网时间是78小时．15．为提高校园绿化率，美化校园，某示范高中准备购买一批樟树和樱花树，一共100棵，其中樟树不少于10棵．园林部门称樟树成活率为70%，樱花树的成活率为90%，学校要求这批树的成活率不低于80%．樟树的单价y1和购买数量x的函数关系以及樱花树的单价y2和购买数量x的函数关系如图所示．（1）写出y1关于x的函数关系式；（2）请你帮学校作个预算，购买这批树最少需要多少钱？解：（1）当0＜x≤60时，设y1＝k1x+b1（k1≠0），把（0，180），（60，60）代入得，，∴∴y1＝﹣2x+180（0＜x≤60）；当60＜x≤100时，y1＝60．综上，y1＝﹣2x+180（0＜x≤60）或y1＝60（60＜x≤100）；（2）设购买樟树x棵，则购买樱花树（100﹣x）棵，由≥80%，得x≤50，∴10≤x≤50．设购树所需费用为W元，当40≤x≤50时，W＝（﹣2x+180）x+100（100﹣x）＝﹣2（x﹣20）2+10800，W min＝﹣2（50﹣20）2+10800＝9000（元）．当10≤x＜40时，W＝（﹣2x+180）x+70（100﹣x）＝﹣2（x﹣27.5）2+2×27.52+7000，W min＝﹣2×（10﹣27.5）2+2×27.52+7000＝7900（元），综上所述，购树所需费用最少为7900元．16．A，B两地相距300km，甲、乙两车同时从A地出发驶向B地，甲车到达B地后立即返回．如图是两车离A地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（2）若两车行驶5h相遇，求乙车的速度．解：（1）设甲车从A地驶向B地y与x的关系式为y＝kx，把（4，300）代入得：300＝4k，解得：k＝75，∴y＝75x（0＜x≤4）设甲车从B地返回A地y与x的关系式为y＝kx+b，把（4，300）（7，0）代入得：，解得：k＝﹣100，b＝700，∴y＝﹣100x+700（4＜x≤7），答：甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式为：y＝75x（0＜x≤4），y＝﹣100x+700（4＜x≤7），（2）设乙车速度为m千米/小时，则：5m＝﹣100×5+700解得：m＝40答：乙车的速度为40千米/小时．17．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”，某水果经销商主动从该种植专业户购进甲、乙两种水果进行销售．水果种植专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按2元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x≤500和x＞500时，y与x之间的函数关系式．（2）若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共1200千克，且甲种水果不少于400千克，但又不超过乙种水果的两倍．问经销商要确保完成收购计划，至少准备多少资金？解：（1）当0≤≤x≤500时，设y＝k1x（k1≠0），根据题意得500k1＝1500，解得k1＝3；∴y＝3x；当x＞500时，设y＝k2x+b（k2≠0），根据题意得，，解得，∴y＝2.5x+250，∴y＝；（2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（1200﹣x）千克，根据题意得：，解得400≤x≤800，当400≤x≤500时，w1＝3x+2（1200﹣x）＝x+2400．当x＝400时．w min＝2800元，当500≤x≤800时，w2＝2.5x+250+2（1200﹣x）＝0.5x+2650．当x＝500时，w min＝2900元，∵2900＞2800，∴当x＝400时，总费用最少，最少总费用为2800元．此时乙种水果1200﹣400＝800（千克）．答：购进甲种水果为400千克，购进乙种水果800千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少，至少准备2800元资金．18．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y微克随时间x小时主变化如图所示，当成人按规定剂是服药后，（1）分别求出x＜2和x＞2时y与x的函数关系式，（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？解：（1）当x≤2时，设y＝k1x，把（2，6）代入上式，得k1＝3，∴x≤2时，y＝3x；当x＞2时，设y＝k2x+b，把（2，6），（10，3）代入上式，得k2＝﹣，b＝．∴x≥2时，y＝﹣x+．（2）把y＝4代入y＝3x，得x1＝，把y＝4代入y＝﹣x+，得x2＝．则x2﹣x1＝6小时．答：这个有效时间为6小时．19．甲骑电瓶车，乙骑自行车从西山漾公园丝绸小镇门口出发沿同一路线匀速前往太湖龙之梦乐园，设乙行驶的时间为x（h），甲、乙两人距出发点的路程s甲、s乙关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：（1）甲的速度25km/h，乙的速度是10km/h；（2）对比图①、图②可知：a＝10，b＝；（3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？解：（1）由图可得，甲的速度为：25÷（1.5﹣0.5）＝25÷1＝25km/h，乙的速度为：25÷2.5＝10km/h，故答案为：25，10；（2）由图可得，a＝25×（1.5﹣0.5）﹣10×1.5＝10，25（b﹣0.5）＝10b，得b＝，故答案为：10，；（3）由题意可得，前0.5h，乙行驶的路程为：10×0.5＝5＜7.5，则甲、乙两人路程差为7.5km是在甲乙相遇之后，设乙出发xh时，甲、乙两人路程差为7.5km，25（x﹣0.5）﹣10x＝7.5，解得，x＝，25﹣10x＝7.5，得x＝，即乙出发h或h时，甲、乙两人路程差为7.5km．20．某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x（分），图1中线段OA和折线B﹣C﹣D分别表示甲、乙离开小区的路程y（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s（米）与甲步行时间x（分）的函数关系的图象（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）甲步行的速度80米/分，乙出发时甲离小区的距离800米；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，求出当25≤x≤30时s关于x的函数关系式．解：（1）由图可得，甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分），乙出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米），故答案为：80米/分，800米；（2）设直线OA的解析式为y＝kx，30k＝2400，得k＝80，∴直线OA的解析式为y＝80x，当x＝18时，y＝80×18＝1440，∴乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分），∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟），∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米），当x＝25时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米），∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米），答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米；（3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分），此时甲还要1分钟到学校，即甲离学校80米，∴当25≤x≤30时s关于x的函数的大致图象如图：当25≤x≤29时，设s＝mx+n，将（25，700），（29，80）代入得：，解得，∴s＝﹣155+4575；当29＜x≤30时，设s＝px+q，将（29，80），（30，0）代入得：，解得，∴s＝﹣80x+2400，∴s＝．。
分段函数应用题
分段函数应用题分段函数是指一个函数被分成几个不同的部分，每个部分都有不同的定义域和值域。
在实际应用中，我们经常遇到需要使用分段函数来描述问题的情况。
本文将通过几个实际应用的例子，来说明分段函数的应用。
例一：电费计算一家电力公司的电费计算方式如下：- 当用电量小于等于100度时，每度电费用为0.5元。
- 当用电量大于100度小于等于200度时，前100度每度电费用为0.5元，超过100度的部分每度电费用为0.8元。
- 当用电量大于200度时，前100度每度电费用为0.5元，100到200度的部分每度电费用为0.8元，超过200度的部分每度电费用为1元。
根据以上规定，我们可以使用分段函数来计算电费。
设用电量为x度，则电费y（单位：元）可以表示为：```y = 0.5x 0 <= x <= 100y = 0.5 * 100 + 0.8 * (x-100) 100 < x <= 200y = 0.5 * 100 + 0.8 * 100 + 1 * (x-200) x > 200```例二：淘宝购物满减淘宝商城经常会举行满减活动，比如购物满200元减50元。
这个问题可以用分段函数来解决。
设购物金额为x元，满减后支付金额y（单位：元）可以表示为：```y = x 0 <= x < 200y = x - 50 x >= 200```例三：高考成绩转换某城市的高考成绩转换方式如下：- 当总分小于90分时，转换为A等级。
- 当总分大于等于90分且小于95分时，转换为B等级。
- 当总分大于等于95分且小于100分时，转换为C等级。
- 当总分等于100分时，转换为D等级。
根据以上规定，我们可以使用分段函数来计算成绩等级。
设总分为x分，成绩等级为y，可以表示为：```y = A x < 90y = B 90 <= x < 95y = C 95 <= x < 100y = D x = 100```结论：通过以上几个实际应用的例子，我们可以看到分段函数在解决问题中的广泛应用。
“分段函数”的应用案例
“分段函数”的应用案例分段函数是数学中常见的一种函数形式。
它在实际应用中具有广泛的应用场景。
以下是一些分段函数的应用案例：1.营销策略：假设公司制定了一个销售策略，根据购买数量的不同，打折力度也不同。
具体来说，当购买数量小于等于100件时，不打折；当购买数量在101件到500件之间时，打8折；当购买数量大于500件时，打6折。
这个销售策略就可以使用分段函数来表示。
2.奖励制度：公司的销售团队根据销售业绩的不同，获得不同的奖金。
假设当销售额小于等于100万时，奖金为销售额的5%；当销售额在100万到200万之间时，奖金为销售额的8%；当销售额大于200万时，奖金为销售额的10%。
这种奖励制度可以用分段函数来描述。
3.信用评级：银行在对客户进行信用评级时，通常会考虑客户的收入、负债、还款记录等因素。
假设银行根据收入水平和还款记录划分了A、B、C、D四个信用等级。
如果客户的月收入大于等于1万，并且还款记录良好，评级为A；如果客户的月收入在5000元到1万元之间，并且还款记录较好，评级为B；如果客户的月收入在2000元到5000元之间，评级为C；如果客户的月收入低于2000元，并且还款记录较差，评级为D。
这个信用评级系统可以用分段函数表示。
4.交通费用计算：城市的公交车收费标准为：前3公里每公里2元；超过3公里但不超过10公里的部分，每公里1.5元；超过10公里的部分，每公里1元。
这种交通费用计算可以使用分段函数来表达。
5.温度转换：摄氏温度和华氏温度之间有一种线性关系。
具体来说，华氏温度F和摄氏温度C之间的关系为F=9/5*C+32、如果要将一些摄氏温度转换为华氏温度，可以使用分段函数来定义转换规则。
以上是一些分段函数的应用案例。
分段函数在实际应用中具有灵活性强、实用性强的特点，可以用来描述各种复杂的关系。
“分段函数”的应用案例
“分段函数”的应用案例开元职校吴为在平常数学教学中展示出来的书本世界抽象性太强，与真实的世界有着不少的差距，因此许多不爱数学的学生就常常会把数学与生活剥离开来。
事实上，数学与生活是密不可分的。
以下是我们生活中常见的几个例子。
案例一：目前杭州市出租车的运价标准为：起步价是前4公里10元，基本单价每公里2元，在运送途中因红灯或乘客原因停车时，累计5分钟以1公里计。
太原市出租车的运价标准为：日间起程价前4公里7元，基本单价每公里1元；夜间起程价前4公里7.8元，基本单价1.2元／公里；停车等待计费标准为累计5分钟以1公里计。
案例二：近年来，由于用电紧张，用电成本增加，为使居民节约用电，浙江省2004年8月1日抄见电量开始执行新的居民生活用电价格。
一户一表居民用户实施阶梯式累进电价：月用电量低于50千瓦时（含50千瓦时）部分不调整；月用电量在50千瓦时—200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.03元；月用电量超过200千瓦时部分，电价每千瓦时上调0.10元。
执行峰谷电价的居民用户以总电量与阶梯基数比对进行计算。
居民合表用户和学校等集体用户的电价每千瓦时上调0.02元。
双月抄表的一户一表居民用户的阶梯基数电量按标准月度基数电量乘二执行。
对于调价当月抄表计算的双月抄表居民用户，本次抄见电量的一半按原电价计算，另一半按照调整后新电价计算，阶梯基数电量执行标准月度基数电量。
案例三：《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分全月应纳税款按下述标准分段累计：不超过500元的部分税率为5%；超过500元至2000元的部分税率为10%；超过2000元至5000元的部分税率为15%；超过5000元至20000元的部分税率为20%；超过20000元至40000元的部分税率为25%；超过40000元至60000元的部分税率为30%；超过60000元至80000元的部分税率为35%；超过80000元至100000元的部分税率为40%；超过100000元的部分税率为45%。
分段函数模型在实际问题中的应用
分段函数模型在实际问题中的应用数学应用意识的考查是高考命题的指导思想，考查应用意识是通过解答应用问题来体现的，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实生活的背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。
本文就分段函数模型在几种实际问题中的应用举例加以说明，供同学们学习时参考。
一． 醉酒驾车问题举例1. 某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似地满足表达式f(x)=()⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤≤-1,10,531532x x x x 。
《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过______小时后才能开车。
(精确到1小时)分析:本题为分段函数型。
根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式求解。
解析:当0≤x ≤1时,f(x)为增函数，f(x )≥50-2=0.04>0.02；当x>1时, f(x)=()x 3153⋅≤0.02得()x 31≤301，3x ≥30, 33=27<30, 34=81>30,x ≥4,故该驾驶员至少要过4小时后才能开车.二 工作安排问题举例2 某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件。
设加工A 型零件的工人人数为x 名(*∈N x ).⑴分别用含x 的式子表示完成A 型零件加工所需时间和完成B 型零件加工所需时间； ⑵为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值?解析: ⑴生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间f(x)= ()491,905450≤≤∈=*x N x x x . 生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间g(x)=()()491,5050503150≤≤∈=*--x N x x x . (2)设完成全部生产任务所需时间为h(x)小时，则h(x)为f(x)与g(x)的较大者。
分段函数、函数的实际应用
一、分段函数
在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，
有着不同的对应法则。这样的函数叫做分段函数。
如f(x)=
x
1 x
1
(x 0) 是分段函数。 (x 0)
1、（2008·山东）设函数
的值为
则f ( 1 ) f (2)
15 A.
16
B . 27 16
1 x2 ,
f
(
x)
x2
x
2,
（
x 1, x 1,
B
4.某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以 内为起步价8元(即行程不超过3千米,一律收费8元), 若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米 收费计价,若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计 费不找零钱,该乘客下车时乘车里程数为7.4,则乘客 应付的车费是 元.
15
5、 （12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托 车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年 销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高 产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增 加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为 0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年 利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
12008山东设函数16271615千米以内为起步价千米除起步价外超过部分再按15千米收费计价若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱该乘客下车时乘车里程数为74则乘客应付的车费是12分某摩托车生产企业上年度生产摩托车的投入成本为1万元辆出厂价为12万元辆年销售量为1000辆
§2.1.3
分段函数 函数的实际应用
）
A
8
C.
D .18
分段函数在生活中的应用 (1)
分段函数在生活中的应用安徽省马鞍山市学大教育培训学校花良平分段函数在生活中的应用既能很好地考查学生对一些基本函数、基础知识的掌握情况, 又能考查学生灵活运用知识解决实际问题的能力, 同时又能考查学生是否能运用运动与静止、变化与不变、特殊与一般的辩证思想. 解答这类问题的关键是要紧扣题设条件( 分段函数) , 根据自变量的不同取值范围, 实施分类解答, 做到不重不漏, 分层讨论求解.一、生活中的用水用电问题例1 为了鼓励节能降耗, 某市规定如下用电收费标准: 每户每月的用电量不超过120 度时, 电价为a 元/ 度; 超过120 度时, 不超过部分仍为a元/ 度, 超过部分为b元/ 度. 已知某用户五月份用电115 度, 交电费69 元, 六月份用电140 度, 交电费94 元.(1)求a , b 的值;(2)设该用户每月用电量为x ( 度) , 应付电费为y ( 元) .①分别求出0 ≤x ≤120 和x > 120 时, y与x 之间的函数关系式;②若该用户计划七月份所付电费不超过83 元, 问该用户七月份最多可用电多少度?( 2007 年福建省三明市)解: ( 1) 根据题意, 得115 a = 69 ,120 a + 20 b = 94 .a = 0 . 6解这个方程组, 得b = 1 . 1 .(2) ①当0 ≤x ≤120 时, y = 0 . 6 x .当x > 120 时, y = 120 ×0 . 6 + 1 . 1 ( x2120) ,即y = 1 . 1 x260 .②∵83 > 120 ×0 . 6 = 72 , ∴y 与x 之间的函数关系式为y = 1 . 1 x260 .由题意, 得1 . 1 x260 ≤83 , x ≤130 .∴该用户七月份最多可用电130 度.二、生活中的通讯网络问题例2 某电信部门为了鼓励固定电话消费,推出新的优惠套餐:月租每10 元;每月拔打市内电话在120 分钟内时, 每分钟收费0 . 2 元, 超过120 分钟的每分钟收费0 . 1 元; 不足1 分钟时按1 分钟计费. 则某用户一个月的市内电话费用y ( 元) 与拔打时间t ( 分钟) 的函数关系用图象表示正确的是( )解: ∵固定电话需月租费10 元, ∴排除 A , 又∵每月拔打市内电话在120 分钟内时, 每分钟收费0 . 2 元, 则可排除C ,再根据: 在120 分钟内时, 每分钟收费0 . 2 元, 超过120 分钟的每分钟收费0 . 1 元, 也可排除D , ∴本题应选B .三、生活中的医疗保险问题例3 为了增强农民抵御大病风险的能力, 政府积极推行农村医疗保险制度. 我市某县根据本地的实际情况, 制定了纳入医疗保险的农民住院医疗费用的报销规定: 享受医保的农民可在定点医院住院治疗, 由患者先垫付医疗费用, 住院治疗结束后凭发票到县医保中心报销.住院医疗费用的报销比例标准如下表:(1)设某位享受医保的农民在一次住院治疗中的医疗费用为x 元( x > 100) , 按规定报销的医疗费用为y 元, 试写出y 与x 的函数关系式;(2)若该农民在这次住院治疗中的医疗费用为1000 元, 则他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为多少元. ( 2007 年邵阳市)解: ( 1) y = ( x-100) ×60 % = 0 . 6 x-60 ( x> 100)(2) 当x = 1000 元时, y = 0 . 6 ×1000 260 =600 260 = 540 ( 元)1000 2540 = 460 ( 元)答: 他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为540 元和460 元.四、生活中的义务纳税问题例4 新《个人所得税》规定, 公民全月工薪不超1600 元的部分不必纳税, 超过1600 元的部分为全月应纳税所得税额, 此项税款按下表分段累进计算:1600 < x < 2100,范围内?解( 1) ( 1800 21600) ×5 % = 200 ×5 % =10 ( 元)(2) y = ( x21600) ×5 % = 0 . 05 x280 ( 1600< x < 2100)(3) 160 ≤500 ×0 . 05 + ( x22100) ×10 % ≤1753450 ≤x ≤3600答: ( 1) 他应缴纳税金为10 元.(2)y 与x 的函数关系式为y = 0 . 05 x -80 (1600 < x < 2100)(3)费先生该月的工薪在不少于3450 元,也不多于3600 元范围之内.五、生活中的营销盈利问题例5 化工商店销售某种新型化工原料, 其市场指导价是每千克160 元( 化工商店的售价还可以在市场指导价的基础上进行浮动) , 这种原料的进货价是市场指导价的75 %.(1) 为了扩大销售量, 化工商店决定适当调整价格, 调整后的价格按八折销售, 仍可获得实际售价的20 % 的利润. 求化工商店调整价格后的标价是多少元?打折后的实际售价是多少元?(2) 化工商店为了解这种原料的月销售量y ( 千克) 与实际售价x ( 元/ 千克) 之间的关系, 每个月调整一次实际售价, 试销一段时间后, 部门负责人把试销情况列成下表:①请你在所给的平面直角坐标系中, 以实际售价x ( 元/ 千克) 为横坐标, 月销售量y ( 千克) 为纵坐标描出各点, 观察这些点的发展趋势, 猜想y 与x 之间可能存在怎样的函数关系;②请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y 与x 之间的函数表达式, 并验证你在①中的猜想;③若化工商店某月按同一实际售价共卖出这种原料450 千克, 请你求出化工商店这个月销售这种原料的利润是多少元? ( 2007 年沈阳市)解: ( 1) 依题意, 每千克原料的进货价为160 ×75 % = 120 ( 元)设化工商店调整价格后的标价为x 元, 则0 . 8 x2120 = 0 . 8 x ×20 % 解得x = 187 . 5187 . 5 ×0 . 8 = 150 ( 元)∴调整价格后的标价是187 . 5 元, 打折后的实际售价是150 元.(2) ①描点画图, 观察图象, 可知这些点的发展趋势近似是一条直线, 所以猜想y 与x 之间存在着一次函数关系.图 4②根据①中的猜想, 设y 与x 之间的函数表达式为y = kx + b, 将点( 150 ,500) 和( 160 ,480) 代入表达式,得500 = 150 k + b解得480 = 160 k + bk = 22b = 800 .∴y 与x 的函数表达式为y = 22 x + 800 .将点( 168 ,464) 和( 180 ,440) 代入y = 22 x + 800 均成立, 即这些点都符合y = 22 x + 800 的发展趋势∴①中猜想y 与x 之间存在着一次函数关系是正确的.③设化工商店这个月销售这种原料的利润为w 元, 当y = 450 时, x = 175∴w = (175 2120) ×450 = 24750 ( 元)答:化工商店这个月销售这种原料的利润为24750 元.六、生活中的出租车收费问题例6 在市区内, 我市乘坐出租车的价格y(元) 与路程x ( km) 的函数关系图象如图5 所示.图 5(1)请你根据图象写出两条信息;(2)小明从学校出发乘坐出租车回家用了13 元, 求学校离小明家的路程.解: ( 1) 在0 到2km 内都是5 元;2km 后, 每增加0 . 625km 加 1 元. ( 答案不唯一)(2) 设射线的表达式为y = kx + b. 依题设装运A 种脐橙的车辆数为x , 装运B 种脐橙的车辆数为y , 求y 与x 之间的函数关系式;(1)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4 辆, 那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案;(2)若要使此次销售获利最大, 应采用哪种安排方案? 并求出最大利润的值. ( 2007 年重庆市)解: ( 1) 根据题意, 装运A 种脐橙的车辆数为x , 装运 B 种脐橙的车辆数为y , 那么装运C种脐橙的车辆数为( 20 2x2y ) , 则有:6 x + 5 y + 4 ( 20 2x2y ) = 100整理得: y = 22 x + 20(2) 由( 1) 知, 装运A 、B 、C 三种脐橙的车辆数分别为x 、22 x + 20 、x , 由题意得:, 解得: 4 ≤x ≤8 .x ≥422 x + 20 ≥4因为x 为整数, 所以x 的值为4 、5 、6 、7 、8 , 所以安排方案共有5 种.方案一: 装运A 种脐橙4 车, B 种脐橙12车, C 种脐橙4 车;方案二: 装运A 种脐橙5 车, B 种脐橙10车, C 种脐橙5 车;方案三: 装运A 种脐橙6 车, B 种脐橙8 车,C 种脐橙6 车;方案四: 装运A 种脐橙7 车, B 种脐橙6 车,C 种脐橙7 车;方案五: 装运A 种脐橙8 车, B 种脐橙4 车,5 = 2 k + b ,意, 得解得: k = 8 , b = 9 .C 种脐橙8 车;6 = 2 . 625 k + b.得y = 8 x + 9 .5 5 (3) 设利润为W ( 百元) 则:W = 6 x ×12 + 5 ( 22 x + 20) ×16 + 4 x ×105 5= 248 x + 1600将y = 13 代入上式, 得x = 7 .所以小明家离学校7km.七、生活中最优化问题例7 我市某镇组织20 辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100 吨到外地销售. 按计划,20 辆汽车都要装运, 每辆汽车只能装运同一种脐橙, 且必须装满. 根据下表提供的信息, 解答以下问题:∵k = 248 < 0 ∴W 的值随x 的增大而减小, 要使利润W 最大, 则x = 4 , 故选方案一W 最大= 248 ×4 + 1600 = 1408 ( 百元)= 14 . 08 ( 万元)答: 当装运A 种脐橙4 车, B 种脐橙12 车, C种脐橙4 车时,获利最大,最大利润为14. 08 万元.。
分段函数在生活方面的应用
一ｌ １ ． ９ ｘ 一４ ． ９ ． Ｘ＞７
二 ，生活 中的通讯网络 问题
例２ ：中 国移动 有 三种 业 务方 式 ，分 别 是全 球 通 ，动 感地 带 和
神 州 行 。其 中 ， “ 动 感 地 带 ” ，使 用 者需 交 ５ Ｏ 元 月 租 费 ，并 且 每 通话１ 分 钟 ，付 话费 ０ ． ４ 元 （ 指市 内通 话 ）； “ 神 州行 ” ，不交 月 租 费 ，每 通话 １ 分 钟 ，付话 费 ０ ． ６ 元， （ 指 市 内通话 ）。 “ 全 球通 ” ， 使 用者 固定 交 １ ２ ０ 元 月租 费 ，并 且通 话 不 收费 。某 用 户 的每月 通话 时 间大 约为 １ ９ ０ 分钟 。请 问该用 户选 择哪种 付 费方式更 合算 。 解 ：设 通话 时间Ｘ 分钟 ，费用 为Ｙ 元 ，则 函数关 系式 为 ：
３ ０ ‘ ％ 一６ ３ ３ ０ ． ３ ８ ５ ０ ０＜ ≤５ ８ ５ ０ ０ ３ ５ ‘ ％ 一３ ７ ０ ５ ． ５ ８ ５ ０ ０＜ ≤８ ３ ５ ０ ０ ４ ５ ％ 一３ ３ ０ ． ＞８ ３ ５ ０ ０
水处 理 费．
试 写 出用 户用 水量 Ｘ（ ｍ ’ ） 与 应交 水费 Ｙ（ 元） 之 间 的 函数 关 系 式。
分 析 ： 由题 意看 出 ，用 水量 不 超 过７ ｍ 的部 分 和 用水 量 超 过 ７ ｍ 的 部 分 的计 费 标 准是 不 相 同 的 。 因此 ，需 要 分别 在 两 个 范 围 内
研究。
解 ：分别 研究 在两个 范 围内的 计费标 准 ，列 出表格 ：
综 合 以上两种 情况 ，将 函数写 作
ｆ １ ． ２ ｘ ． ０＜ｘ ７
ｆ ｒ ，、 一
（ １ ）陈 老师 在某 月 的基 本工 资 为 ３ ５ ５ ０ 元 ，该 月 的上 课 津贴 为
分段函数的积分及应用
分段函数的积分及应用分段函数是指在定义域上由不同的函数表达式组成的函数。
在积分中，我们需要根据不同的定义域范围来确定相应的积分表达式。
本文将介绍分段函数的积分及其应用。
一、分段函数的积分对于分段函数，我们需要根据不同的定义域范围来确定相应的积分表达式。
下面以一个简单的例子来说明。
例1：计算函数f(x) ={x^2, -1 ≤ x ≤ 12x, 1 < x ≤ 3}对于定义域[-1, 1]上的函数x^2，我们可以直接对其进行积分，得到积分表达式F(x) = (1/3)x^3 + C1，其中C1为常数。
对于定义域(1, 3]上的函数2x，我们同样可以直接对其进行积分，得到积分表达式F(x) = x^2 + C2，其中C2为常数。
因此，整个函数f(x)的积分表达式为：F(x) ={(1/3)x^3 + C1, -1 ≤ x ≤ 1x^2 + C2, 1 < x ≤ 3}二、分段函数积分的应用分段函数的积分在实际问题中有着广泛的应用。
下面以一个具体的例子来说明。
例2：求曲线y = f(x)的长度，其中f(x) ={x^2, -1 ≤ x ≤ 12x, 1 < x ≤ 3}我们可以将曲线分为两段，分别计算每段的长度，然后将两段长度相加得到整个曲线的长度。
对于定义域[-1, 1]上的函数x^2，我们可以使用长度公式来计算其长度。
长度公式为：L1 = ∫√(1 + (f'(x))^2)dx，其中f'(x)为f(x)的导数。
对于函数f(x) = x^2，其导数为f'(x) = 2x。
代入长度公式，我们可以得到：L1 = ∫√(1 + (2x)^2)dx= ∫√(1 + 4x^2)dx对于定义域(1, 3]上的函数2x，同样可以使用长度公式来计算其长度。
长度公式为：L2 = ∫√(1 + (f'(x))^2)dx，其中f'(x)为f(x)的导数。
对于函数f(x) = 2x，其导数为f'(x) = 2。
分段函数在初中教学中的应用
■ 黄 国金
分段 函数有 一次函数 的分 段函数 、 反 比例 函数 的分段函数 和二 次函数 中的分段 函数 。分段 函数是 高 中重点内容 ， 但现 已向初中渗透这方面内容 ， 并成 为 中 考 的热 点题 型 。
一 一
、
次 函数 中 的分 段 函数
次函数 的分段数 函数有分段计费 问题 、行程 中的分段 函数 和几何 图形 的分段 函数 。学习这类函 数 须注意 ： （ １ ） 注意 自变量变化 范围 ， 在解析式 和 图 形 上都要反 映 自变量 的取值范 围。 （ ２ ） 函数 图像有几 条 线段 （ 或射线 ） 或点组成 ， 其 中每条线段 （ 射线 ） 或 点代表不 同阶段情况 。 （ ３ ） 分段 函数 图像要结合实际 背景 ， 尤其注意折线 中横纵坐标的意义 。 例１ 小明从家骑 自行车出发 ， 沿一条直路到相 距２ ４ ０ ０ ｍ的邮局办事 ， 小明出发 的同时 ， 他 的爸 爸以 ９ ６ 米， 秒速度从 邮局沿 同一条 道路 步行 回家 ， 小 明在 邮局停 留２ 秒后沿原路以原速度返 回 ， 设他们出发后 在返 回途中经过ｔ 秒时， 小 明与家之 间的距 离为Ｓ ｎ ｌ ， 小 明 的 爸 爸 与 家 之 间 的距 离 为 Ｓ ２ ｍ，图 中折 线 Ｏ Ａ Ｂ Ｄ、 线段 盼 别 表示 ． ｓ ， 、 Ｓ 与ｔ 之 间的函数关 系的 图像 。求Ｓ ， 与ｔ 之 间的函数关系式 。
三、 与 二 次 函数 有 关 的分 段 函数
分析 ： 函数 图像是表示变量 之 间关 系 的一种 重 要方法 ，从 函数 图像上可 以清楚地了解函数变化规 律和某些性质 ， 能否正确解读 函数 图像 ， 是本题 解题
的关 键 。
解： ・ ． 卟 明的爸爸 以９ ６ 米， 秒 速度从 邮局沿 同一 条道路步行 回家 ，
分段函数应用十法
分段函数应用十法（1）求分段函数的定义域和值域（分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,值域是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。
）例1：求函数的定义域、值域.解：作图, 利用“数形结合”易知的定义域为, 值域为.例2．求函数的值域。
解：因为当x≥0时，x2+1≥1；当x<0时，-x2<0。
所以，原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0)。
（2）求分段函数的函数值（求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段.）例3：已知函数求.解：因为, 所以.（3）求分段函数的最值（先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较。
）例4．求函数的最大值.解：当时, ,当时, ,当时, ,综上有.（4）求分段函数的解析式（根据自变量的取值范围选择解析式）例5.已知两个函数=，.当；当.解：（5）解分段函数的方程（已知方法：①当②当由③下结论.）例6.设函数, 则满足方程的的值为解：若, 则, 得, 所以（舍去）, 若, 则, 解得, 所以即为所求.（6）解分段函数的不等式（若）例7．设函数, 若, 则得取值范围是（）解：因为, 当时, , 解得, 当时,, 解得, 综上的取值范围是.（7）判断分段函数的单调性（分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论。
）例8．判断函数的单调性.解：当时, 恒成立, 所以是单调递增函数, 当时,恒成立, 也是单调递增函数, 所以在上是单调递增函数. （或画图易知在上是单调递增函数. ）（8）判断分段函数的奇偶性（分段函数的奇偶性必须对x的值分类，从而比较f(-x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论。
）例9．判断函数的奇偶性.解：当时, , , 当时, , 当, ,因此, 对于任意都有, 所以为偶函数.（9）求分段函数的反函数（求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可）例10.已知是定义在上的奇函数, 且当时, , 设的反函数为, 求的表达式.解：设, 则, 所以, 又因为是定义在上的奇函数, 所以, 且, 所以, 因此, 从而可得.（10）分段函数中的含参问题（相当于上述（5）（6）解分段函数的方程和不等式）例11.已知函数函数.（1）若（2）.若解：（1）①当②③综上所述，当（2）由，得：。
如何使用分段函数求解实际问题
如何使用分段函数求解实际问题在数学中，分段函数是由多个函数片段组成的函数。
每个函数片段仅对于特定的定义域范围有效。
这种函数常用于解决实际问题，尤其是涉及不同条件下的变化情况。
本文将介绍如何使用分段函数来求解实际问题，并通过一些案例加深理解。
案例一：火车票价计算问题假设一条铁路线上的火车票价有以下规定：- 距离不超过100公里的，票价固定为10元；- 距离超过100公里的，每超过1公里，票价增加0.2元；- 但是最高票价不超过50元。
要求：根据给定的距离，计算相应的火车票价。
解决方案：我们可以用一个分段函数来表示这个问题。
首先，设定定义域为距离（公里）的非负实数集合R≥0，然后构造如下的分段函数：```f(distance) = 10 (0 ≤ distance ≤ 100)f(distance) = 10 + 0.2(distance - 100) (distance > 100)f(distance) = 50 (distance > 400)```其中，distance表示距离，f(distance)表示票价。
假设我们想计算距离为150公里的火车票价，我们可以直接将距离代入分段函数中进行计算。
```distance = 150f(distance) = 10 + 0.2(150 - 100) = 20```因此，距离为150公里的火车票价应为20元。
通过这个案例，我们可以看到如何使用分段函数来解决实际问题。
接下来，我们来看一个更复杂的案例。
案例二：温度转换问题在温度转换中，摄氏度（C）和华氏度（F）之间的转换关系由以下分段函数表示：- 当C ≥ 0时，F = 9/5 * C + 32；- 当C < 0时，F = C * 9/5 + 32。
要求：根据给定的摄氏度，计算相应的华氏度。
解决方案：类似地，我们可以用如下的分段函数来表示这个问题：```F(C) = 9/5 * C + 32 (C ≥ 0)F(C) = C * 9/5 + 32 (C < 0)```其中，C表示摄氏度，F(C)表示华氏度。
分段函数的解与应用
分段函数的解与应用分段函数是指一个函数由多个子函数组成，每个子函数在特定的区间内有效。
分段函数常常用于描述实际问题中的非线性关系，如温度变化、利润曲线等。
本文将介绍分段函数的解和应用，并展示其在实际问题中的运用。
一、分段函数的解分段函数的解即找到使得函数取特定值的自变量的取值。
为了解分段函数，我们需要根据函数的定义域和每个子函数的定义条件来寻找解。
例如，考虑以下分段函数：f(x) =-x + 3, 当x ≤ 2x^2, 当 x > 2我们首先要确定每个子函数的定义域。
在这个例子中，第一个子函数的定义域为负无穷到2，第二个子函数的定义域为2到正无穷。
接下来，我们分别解每个子函数的方程，以找到使得整个函数取特定值的自变量的取值。
对于第一个子函数 -x + 3，当函数取特定值时，即解方程 -x + 3 = y。
解这个方程得到 x = 3 - y。
对于第二个子函数 x^2，同样地，解方程 x^2 = y，得到x = √y。
综合考虑两个子函数的定义域和解得的解，我们得到整个分段函数的解为：当 y < 1 时，x = 3 - y当 y ≥ 1 时，x = √y 或者 x = -√y二、分段函数的应用分段函数在实际问题中有广泛的应用。
下面我们将介绍两个常见的应用案例：温度转换和利润最大化。
1. 温度转换在某些情况下，我们需要将温度从一种度量方式转换到另一种度量方式。
这时候可以使用分段函数来完成。
假设我们需要将摄氏温度转换成华氏温度。
根据转换公式，当温度低于或等于0摄氏度时，转换公式为 F = C × 9/5 + 32；当温度高于0摄氏度时，转换公式为 F = C × 9/5 + 32。
由于转换公式中存在两个不同的算法，我们可以使用分段函数来表示该问题。
定义一个分段函数 f(C)，其中 C 表示摄氏温度，F 表示华氏温度。
f(C) =C × 9/5 + 32, 当C ≤ 0C × 9/5 + 32, 当 C > 0通过这个分段函数，我们可以方便地将摄氏温度转换成华氏温度。
分段函数的连续性应用
分段函数的连续性应用分段函数是函数中一个比较特殊的形式，它可以根据自变量的取值加以分类，从而将函数定义域分为不同的区间，并在每个区间内分别给出函数的解析式。
分段函数的一般形式为：$$ f(x)=\begin{cases}f_{1}(x), x\in I_{1} \\f_{2}(x), x\in I_{2} \\\ldots \\f_{n}(x), x\in I_{n}\end{cases} $$其中，$f_{1}(x),f_{2}(x), \ldots ,f_{n}(x)$ 分别是$I_{1},I_{2},\ldots,I_{n}$ 上的函数，且$I_{1},I_{2},\ldots,I_{n}$ 是 $f(x)$ 的定义域的一个划分。
分段函数在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
在本文中，我们主要讨论分段函数的连续性及其应用。
一、分段函数的连续性分段函数在定义域划分后，在每个区间内的函数值是确定的，但在区间之间可能存在函数值的突变，这就使得我们需要考虑它们的连续性。
对于分段函数而言，它在每个定义区间内的连续性都是很容易判断的。
因为在每个区间内，函数的定义式是一种简单的函数形式，诸如关于 $x$ 的多项式函数、指数函数、对数函数等，这些函数都是连续的。
而对于分段函数在定义区间交界处的连续性，则需要分别考虑左右极限是否相等。
也就是说，我们需要判断分段函数是否满足左极限等于右极限。
若满足该条件，则我们可以认为分段函数在定义区间之间也是连续的。
例如，考虑以下分段函数：$$ f(x)=\begin{cases}x, x\in [0,1) \\2-x, x\in [1,2]\end{cases} $$其中，当 $x \in [0,1)$ 时，$f(x)=x$，当 $x \in [1,2]$ 时，$f(x)=2-x$。
对于该函数而言，在 $x=1$ 处左右极限分别为 $1$ 和 $1$，因此左极限等于右极限。
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分段函数的应用举例
This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
分段函数的应用举例教学目标：
1.理解分段函数的概念.
2.理解分段函数的分段方法.
3.能建立分段函数的实际应用问题的函数关系式.
4.掌握分段函数函数值的求解
5.了解与函数值对应的自变量的求解.
教学重点：
建立实际问题的分段函数关系式.
教学难点：
1.建立实际问题的分段函数关系式.
2.分段函数的图像.
3.求与函数值对应的自变量.
教学方法：
引导分析讲授
课时安排：
1课时（45分钟）
教学过程：
Ⅰ复习回顾：
分段函数：函数在自变量的不同取值范围内，需要用不同的解析式来表示，这种函数叫做分段函数。
定义域：分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集。
分段函数是一个函数，只是根据自变量的不同范围分段表示，而不是几个函数。
分段函数求函数值时，应根据自变量所属不同范围选择对应的解析式，然后代值求解。
Ⅱ引入新课：
我们在学习了分段函数的知识之后，今天我们来学习分段函数在实际问题中的应用——分段函数的实际应用举例。
例（课本第58页例2）某考生计划步行前往考场，出发后经过0.5h走了2km，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车又经过0.25h提前赶到了考场，设出租车的平均速度为km h.
30/
（1）写出考生经过的路程s与时间t的函数关系；
（2）作出函数图像；
（3）求考生出行0.6h时所经过的路程.
分析：由于考生步行的速度与乘出租车的速度是不同的，所以路程与时间的计算关系就会
不同，发现路程s 与时间t 的函数关系应根据步行与乘车分成两段考虑。
步行的路程与时间计算需要用到步行的速度，所以需要先将步行的速度求出。
解：（1）考生步行速度：240.5v =
=（/km h ） （应注意统一单位，速度一般用/km h ）
步行时路程为 4s t =
改乘出租车后为 230(0.5)3013s t t =+-=-
故考生经过的路程s 与时间t 的函数关系式为
（2）在同一个直角坐标系中，作出函数4s t = （[0,0.5)x ∈）与函数3013s t =- （[0.5,0.75]x ∈）的图像.
（3）由于0.6[0.5,0.75]∈，故考生出行0.6h 所经过的路程为
300.6135s =⨯-=（km ）
例2 某市出租车收费标准：行程不超过3km 时，收费7元；行程超过3km ，但不超过10km 时，在收费7元基础上，超过3km 的部分每公里收费1元；超过10km 时，超过部分除每公里收费1元外，每公里再加收50%的回程空驶费，问：
（1）求车费y （元）与路程x （公里）之间的函数；
（2）作函数图像；
（3）乘客乘车20km ，需付费多少元；
（4）某乘客下车时付费23元，问乘车路程
x是多少公里。
分析：本题因为路程的不同从而车费的计算方式就会不同，所以应根据计费方式的不同对问题进行分段，当所分段较多时，为了清除表示各分段的函数情况，可以使用列表的方式解答。
解：根据计费方式不同对路程进行分段，依题意列表：
（1）故车费y（元）与路程x（公里）之间的函数关系式为
函数定义域为(0,)
+∞. （注意题中求的是函数，就包括定义域）
（2）在同一直角坐标系内，分别作出解析式三段图像.
（3）由于20(10,)
∈+∞，故乘客乘车20km所需车费为
1.520129
y=⨯-=（元）
（4）由函数关系式可知，若路程
0(0,10]
x∈，则车费最多14元，显然2314
>，可见路程
0(10,)
x∈+∞，所以
16
x=（km）
所求路程
x为14km.
实际应用问题找出函数关系式的方法：
①读题，审题；理清问题中分段依据，理解各段所述的量之间的关系；
②根据问题的计算方式的不同，对问题进行分段处理；（可利用表格分段）
③在各段分别找出对应的关系式；
④写出函数关系式；（注意自变量取值范围）
⑤解答相应问题。
课堂小结：
本节课我们学习了分段函数在实际问题中的应用，同学们要掌握实际问题中根据计算方式的不同对自变量进行分段，分别找出各段的关系式，从而找出函数关系式的方法，并根据函数关系式解答相关的问题。
课后作业：
（课本第60页）练习的第2题。
我国国内平信邮资标准是：投寄外埠平信，每封信的质量不超过20g，付邮资1.20元；质量超过20g后，每增加20g（不足20g按照20g计算）增加1.20元.试建立每封平信应付的邮资y（元）与信的质量x（g）之间的函数关系式（设060
<≤），并作出函数
x
图像.。