几个著名的不等式

课程信息

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

几个著名的不等式

二、本周教学目标：

1、掌握柯西不等式、平均不等式等几个著名不等式的基本形式和特点.

2、会用参数配方法证明柯西不等式，体会构造方程解决数学问题的思想.

3、能将基本不等式推广到一般形式.

4、掌握利用均值不等式、柯西不等式在求函数最值中的应用，体会不等式与其它知识及现实世界的联系。

、本周知识要点：

定理1：设a, b, c, d均为实数，则(ac bd) (a b )(c d )

当且仅当ad bc时等号成立。

定理2：(柯西不等式的向量形式)设a,3是平面上的两个向量，则当且仅当两个向量方向相同或相反时等号成立.

m = = (<;,/)

----- II- —B- ----- B- —k

瞬讥二|杭| -1咒| cos &

■| cos^|<| m\-\n

定理3 ：(柯西不等式的一般形式)给定两组实数ai，a2，，a n ; b1，b2, n n n

(aS2 (a i2)(b i2)

i 1 i 1i

1,(*)

当且仅当印kb i(i1,2,，n)时等号成立。

n n n

f(x)(a i2 \

2 )X(2a i b )x b i

证明：i 1i 1i 1

(1)若內全为0,则结论显然成立；

n a i2 0

(2)若內不全为0,则i 1 , f(X)为首项系数大于0的一元二次函数，并且

jo 】—+6—乃尸+ j (叼—可r +02—卜J (阿—兔y+01—用r

心詁贝II

屮函加厂…+玉胡叩形5

当且仅当听二口£二口耳二…二斗时=等号成立

a n

其中， n 称为这n 个正数的算术平均，

几何平均•这个不等式通常称为算术-几何平均不等式，它表明: 于它们的几何平均. 【典型例题】

1 2 2 2 1 2 1 2 1(1 1 1)[(a(b b )

f(x) (a i X

i 1

b i )

n

2

(2 a i b i )

i 1

，故 n 4 a i 2

i 1 f

（X ）的判别

式

n b i i 1

，即

a i

b i )2

2

a i

显然，当且仅当 定 理 4

a i n )(

i 1

kb i (i b i 2)

程，，n ）时等号成立。

X 1,y 1

,X 2,y 2,X 3,

y

3

为任意实数， 则

定理5: n 个正数的算术一几何平均不等式:

例1.设a ，b ,

c 为正数，且a + b + c = 1,求证:

(a -)2

a

(b

(c -)2

100

c

a i

a 2

1a 2 a

n 称为这

n 个正数的 n 个

正数的算术平均不小

证明：左边=

(c 丄)2] c

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例2设匕上,匚d E 尺证明.C +沪4

+屮> Jo + O'亠9 +疔

例3设込氏Y 为平面上的向量'则| ot-国+ | 0・丫国O «Y |

证：设

(x i ,yj (X 2”2), (X 3, y 3)，则

,'(x 1 X 2)2 (y 1

y 2)2 ■'(X 2

X 3)2 (y 2 y 3)2

'(为 X 3)2 (y 1

y 3)2

根据三角不等式，即得 例4.把一条长为

的面积和最小？

解：设三段的长度各为 x , y , z 则x + y + z = m 三个正方形的面积和为

16^ Z '

81

2

例5.已知x 丰0，当x 取什么值时，x 2 + x 的值最小？最小值是多少？

81 81

2

~2

2 ~2

分析：注意到x + x 是和的形式，再看 x • x = 81为定值，从而可求和的最小值

81 81 / 2 81

x

解：X M 0 x > 0, x > o ,.・.x + x >2 x = 18,

81

当且仅当x 2= x 2，即x =± 3时取“=”号•

81

故x =± 3时，x 2 + x 的值最小，其最小值是 18

证：原不等式等价于

a 2

b 2 ”

c 2

d 2

2 ■ 2 2 ■ 2

a b c d ■ a 2 b 2 c 2 d 2

(j(a c)2 (b d)2)2

(a c)2 (b d)2

ac bd

m 的绳子截成三段，各围成一个正方形.怎样截法才能使这三个正方形

因为(X

2 2 2 2 2

y z )(1

1 1 ) (x

z)2

当且仅当 x = y = 3时等号成立,

所以

2

z

有最小值3 ,从而S 有最小值

2

m

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