几个著名的不等式

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八个著名的不等式

第八讲几个著名的不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。

下面择要介绍一些著名的不等式． 1.柯西（Cauchy ）不等式定理：设()n i R b a i i Λ2,1,=∈则()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++等号成立当且仅当()n i ka b i i ≤≤=1.。

[一般形式的证明] 作函数()()()()()())(222222122112222212222211≥+++++-+++=-++-+-=x b b b x b a b a b a x a a a b x a b x a b x a x f n n n n n n ΛΛΛΛ0≤∆∴ 此时044121221≤⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∴∑∑∑===n i i n i i ni i i b a b a 121221，得证。

[向量形式的证明]令(),2,1n a a a A Λρ= (),2,1n b b b B Λρ=()()()22221222212211cos nn n n b b b a a aB A B A b a b a b a B A ΛΛρρρρΛρρ++⋅+++=≤=++=⋅θ()1cos 1≤≤-θ两边同时平方得：()22211nn b a b a ba Λ++≤()()2222122221n n b b b a a aΛΛ++⋅++，得证。

[柯西不等式的应用]例1.1设()()22121111,1n a a a a a a n i R a n n i ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤≤∈+ΛΛ求证解：由柯西不等式可知，原不等式可化为()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++2222122221111n na a a a a a ΛΛ()22111n n =++≥43421Λ个当且仅当,1,1,12211n na k a a k a a k a ===Λ时等号成立即n a a a Λ==21，故原不等式得证。

几个著名的不等式公式

⼏个著名的不等式公式在数学领域⾥，不等式知识占有⼴阔的天地，⽽⼀个个的重要不等式⼜把这⽚天地装点得更加丰富多彩．下⾯择要介绍⼀些著名的不等式。

三⾓形内⾓的嵌⼊不等式三⾓形内⾓的嵌⼊不等式，在不⾄于引起歧义的情况下简称嵌⼊不等式。

该不等式指出，若A、B、C是⼀个三⾓形的三个内⾓，则对任意实数 x、y、z，有：算术-⼏何平均值不等式在数学中，算术-⼏何平均值不等式是⼀个常见⽽基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和⼏何平均数之间恒定的不等关系。

设为 n 个正实数，它们的算术平均数是，它们的⼏何平均数是。

算术-⼏何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成⽴当且仅当。

算术-⼏何平均值不等式仅适⽤于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、⾃然科学、⼯程科学以及经济学等其它学科都有应⽤。

算术-⼏何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是⼀组包括它的不等式的合称。

例⼦在 n = 4 的情况，设: ，那么可见。

历史上，算术-⼏何平均值不等式拥有众多证明。

n = 2的情况很早就为⼈所知，但对于⼀般的 n，不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了⼀般情况的证明，⽤的是调整法，然⽽这个证明并不严谨，是错误的。

柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了⼀个使⽤逆向归纳法的证明：命题P n：对任意的 n 个正实数，1. 当 n=2 时，P2显然成⽴。

2. 假设Pn成⽴，那么P2n成⽴。

证明：对于2n 个正实数，3. 假设P n成⽴，那么P n-1成⽴。

证明：对于n - 1 个正实数，设，，那么由于Pn成⽴，。

但是，，因此上式正好变成综合以上三点，就可以得到结论：对任意的⾃然数，命题P n都成⽴。

这是因为由前两条可以得到：对任意的⾃然数 k，命题都成⽴。

因此对任意的，可以先找 k 使得，再结合第三条就可以得到命题P n成⽴了。

归纳法的证明使⽤常规数学归纳法的证明则有乔治·克⾥斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第⼆卷中给出的：由对称性不妨设xn+1是中最⼤的，由于，设，则，并且有。

重要不等式

平均不等式一、引入：本节将讨论平均不等式、柯西不等式、排序不等式等著名不等式。

这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈, 强调取“=”的条件b a =。

2、定理2：如果b a ,是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab ba =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a ；2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3、定理3：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++=∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证。

推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++。

（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++ 4、算术—几何平均不等式：①．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数，n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数；②．基本不等式：na a a n +++ 21≥nn a a a 21（n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*）这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

重要的著名不等式

Ptolemy（托勒密）不等式若ABCD为四边形，则AB×CD+AD×BC ³ AC×BD。

等号成立ÛA,B,C,D四点共圆证明：在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)又有比例式AB/AC=AE/AD而∠BAC=∠DAE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证Erdos－Mordell（埃尔多斯—莫德尔）不等式设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。

则x+y+z≥2*(p+q+r)证明：设P为△ABC内任一点(包括边界)，点P到边AB、BC、CA的距离分别为PD1、PD2、PD3，则：PA＋PB＋PC≥2(PD1＋PD2＋PD3)。

设f（x) = x² + y²+ z² - 2(xycosa + yzcosb + zxcosc)= x² - 2(ycosa + zcosc)x + (y² + z² - 2yzcosb)则△= 4(ycosa + zcosc) ² - 4(y² + z² - 2yzcosb)= - 4 [ y² ( 1 - cosa² ) + z² ( 1 - cos²c ) - 2yzcosacosc +2yzcos ( a + c ) ]= - 4(y²sin²a + z²sin²g - 2yzsinasing)= - 4(ysina - zsing)²≤0∴f≥0，即不等式设x、y、z R，且a+b+c=л，则永远有x²+y²+z²≥2(xycosa + yzcosb + zxcosc)成立。

卡尔松不等式一批著名不等式的综合

卡尔松不等式一批著名不等式的综合比如我国数学家华罗庚的华氏不等式，美国数学家华林的拉普拉斯不等式、陈省身的陈氏不等式、还有我国数学家王元的卡尔松不等式，都属于一类著名的不等式。

这些不等式的共同特点是它们都是人们对现实生活中的一些数学问题进行研究后提出来的，解决了实际问题，或者有了新的发展，对生活和科学的发展有很大的启发意义，而且许多不等式已经成为了我国现代数学的重要组成部分。

在众多不等式中，最著名的有华氏不等式、陈氏不等式、拉普拉斯不等式、卡尔松不等式等四个。

1。

华氏不等式卡尔松不等式：“以三个变量y、 x、 z，由下列三条不等式给出。

即y^2+2x^2+8z^2=-8(x^2-z^2)”这三个条件中， y、 x、 z之间存在着互为变数的关系，它们的乘积总等于零。

根据这种三角形内的两个数的乘积等于零，可以得到y=0， x、 z相加等于零，由此就可以写出任何三个不等式都是等式，所以这三个不等式称为华氏不等式。

2。

陈氏不等式3。

拉普拉斯不等式陈省身创立了陈氏不等式，这个不等式是指“如果y=k+4， x=2， z=3，那么1+3k+4y+2x=-5(6-7)”或“如果x^2-7z-4y-2k-2， x+2， y-2， z-3，则2y^2-2x^2-1+3z^2+1=0”。

陈省身认为，该不等式的一般情形就是用卡尔松不等式的方法将三边求导的结果，因为卡尔松不等式可以改写为陈氏不等式，所以陈氏不等式与卡尔松不等式也存在某种关系，即两者的第二边和第三边的差为0。

4。

卡尔松不等式华氏不等式、陈氏不等式都是从实际问题提出来的，与其他领域有密切联系。

卡尔松不等式中的关系是我们常见的，可以应用到很多实际问题上，例如人口增长、国民收入、货币需求、自然灾害等。

卡尔松不等式能够解释复杂的现象，推动人们去寻找答案。

卡尔松不等式中， x、 y、 z可以看做是给定的变量，而y是自变量，它表示两个变量的关系，这个关系必须是确定的、唯一的，但并不一定要求x、 y、 z之间的关系一定要是完全确定的，例如y 与z之间也可能有未知的关系，但是自变量和因变量的关系是一定确定的。

53几个重要的不等式

5．3几个重要的不等式具备了不等式的基本知识和技能之后，就可以进一步欣赏一些优美而又魅力无限的重要结果。

正如音乐家能够将很少几组音符变化发展为动听美妙的旋律一样，数学家则往往能够通过不多几步逻辑推理揭示出简明优美的结果。

这里要介绍的一些有关不等式的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常象变戏法似的神秘莫测。

除了前面已经介绍的贝努利不等式之外，本节将讨论的一些重要不等式包括：柯西不等式，排序不等式，平均不等式等。

这些重要的不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是今后进一步学习高等数学的重要工具。

1．柯西（Cauchy ）不等式在上一节，我们已经粗略地了解了形如22222)())((bd ac d c b a +≥++的不等式，因其是由大数学家柯西（Canchy ）发现的，故而一般称之为柯西不等式。

柯西不等式有着丰富的几何背景。

可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解。

请同学们回忆一下我们曾经学过的余弦定理的内容？我们将利用它来解释柯西不等式。

如图，在三角形OPQ 中，θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP +=+=.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理2222⋅-+=OP OQ OP PQ2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，于是22222)())((bd ac d c b a +≥++.讨论：借助图形分析，柯西不等式中等号成立的条件是什么?柯西不等式应用相当广泛，我们先通过一些简单的例子加以体会。

例1．已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax （1）证明：由柯西不等式，.1))(()(22222=++≤+y x b a by ax 所以（1）成立。

基本不等式题型大全

基本不等式题型大全知识点：1.几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤ ②（基本不等式）2a b+≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号）⑦ban b n a m a m b a b <++<<++<1，其中(000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<<⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+2.几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式： 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.板块一基本不等式及其变换一、“配、凑、拆”的技巧 ①基本不等式及变形1.函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1x (x ∈R )值域为________；2.函数f (x )＝x 2＋1x 2＋1的值域为________．2.若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：53.已知x ＜0，则f (x )＝2＋4x ＋x 的最大值为________．解：∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－x＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2..54124,45.1的最大值求函数已知-+-=<x x y x 答案：1.,)0(312)(.2的值并求取最值时的最值求x x x xx f ≠+=答案：略223.,,()().a b y x a x b =-+-（三星）为实常数求的最小值解：（1）方法一：方法二：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0<x <1)的值域为____________； (2)函数f (x )＝x (1－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12的值域为____________．解：(1)∵0<x <1，∴1－x >0, x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1－x 22＝14， ∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0.x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋1－2x 22＝18，∴f (x ) 值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.8.已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________．解：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．9.函数y ＝x 1－x 2的最大值为________．解：x 1－x 2＝x 21－x 2≤x 2＋1－x 22＝12..)2)(12(,523.42222的最大值求已知++==+b a y b a答案：147162223.,1,1.2y x y R x x y +∈+=+（三星）设且求的最大值221y+≤2210.1,.x yx y xyx y+>=-（二星）若且求的最小值答案：23.设x，y∈R，且xy≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋1y2·⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2的最小值为________．解：⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1y2⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋4y2＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．14．在各项都为正数的等比数列{}n a中，若2018a=，则2017201912a a+的最小值为________．4 14．已知正数x y，满足2230x xy＋－＝，则2x y＋的最小值是___________．3②二次分式有关12.已知t>0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．答案－2解：∵t>0，∴y＝t2－4t＋1t＝t＋1t－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．13.当x>0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解：∵x>0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．14.(1)求函数f(x)＝1x－3＋x(x＞3)的最小值；(2)求函数f(x)＝x2－3x＋1x－3(x＞3)的最小值；解：(1)∵x＞3，∴x－3＞0.∴f(x)＝1x－3＋(x－3)＋3≥21x－3·x－3＋3＝5.当且仅当1x－3＝x－3，即x＝4时取等号，∴f(x)的最小值是5.(2)令x－3＝t，则x＝t＋3，且t＞0.∴f(x)＝t＋32－3t＋3＋1t＝t＋1t＋3≥2t·1t＋3＝5.当且仅当t＝1t，即t＝1时取等号，此时x＝4，∴当x＝4时，f(x)有最小值为5.15.设x>－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；解：∵x>－1，∴x＋1>0.∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5≥2x＋1·4x＋1＋5＝9，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．∴当x＝1时，函数y的最小值是9.4.当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．解：(1)∵x ＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．5.函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是________．解：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2 x－13x－1＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．答案：23＋2③平方平均数的应用228.,1,.x y R x y x y +∈+=+（一星）已知且求的最大值解：使用不等式变形2a b +≤.11.()0,0,1,.a b a b >>+=二星设答案：7．（三星）设,0,5,a b a b >+= _________. 解：因为,0,5,a b a b >+=所以()()139a b +++=由不等式2x y+≤2≤=，13.（四星）已知实数a b c ，，满足22201a b c a b c ++=++=，，则a 的最大值是 ____________．解：∵222b c bc +≥，即()()2222222b c b c bc b c +++=+≥，∴()2222b c b c++≥，由0a b c ++=，得b c a +=-，由2221a b c ++=，得()22222122b c a a b c +-=+=≥，∴223a ≤，∴a ，故a ．9.（三星）已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（）BA ．15B ．9C ．1D ．53-1.（二星）若0,0x y >>的最小值为_________.2.)510)(51(.52的最值求函数≤≤-=x x x y答案：4675.cos sin ,.62的最大值求为锐角设θθθ=y答案：9二、附条件求最值：“1”的代换5：已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是____．解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·ab ＝3＋2 2.36.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y 的最小值是_________．解因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立．37.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；解 ∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．38.已知x ＞0，y ＞0，且9x ＋1y ＝1，求x ＋y 的最小值．解：∵9x ＋1y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋1y ＝10＋9y x ＋x y ≥10＋29y x ·xy ＝16.当且仅当9y x ＝x y 且9x ＋1y ＝1，即x ＝12，y ＝4时取等号． ∴当x ＝12，y ＝4时，x ＋y 有最小值为16.39.已知x ，y 为正实数，且1x ＋16y ＝1，求x ＋y 的最小值．解：∵1x ＋16y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋16y ＝17＋16x y ＋y x ≥17＋216x y ·yx ＝25.当且仅当16x y ＝y x 且1x ＋16y ＝1时，等号成立． ∴x ＝5，y ＝20时，x ＋y 有最小值25.1.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．解： ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a≥52＋22a b ·b 2a＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.40.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285 C ．5 D ．6解 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫3xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5.41.正数x ，y 满足1x ＋9y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值．解：(1)由1＝1x ＋9y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y ，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋22y x ·9xy ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9xy ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.9.,,280,.x y R x y xy x y +∈+-=+（二星）已知且求的最小值答案：18227.()01,,,().1a b x a b f x x x<<=+-三星设为常数求的最小值答案：2()a b +2.（二星）若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1),则a b +的最小值等于( )A.2B.3C.4D.5解：因为直线过点(1,1),所以111=+b a ，所以ba ab b a a b b a b a b a ++=+++=++=+211)11)((,因为0,0>>b a ，所以4222=⨯+≥++baa b b a a b ,当且仅当“a=b=2”时等号成立.14.（二星）若()42log 34log a b +=则a b +的最小值是（）DA ．6+B ．7+C ．6+D ．7+112511.0,0,1,:.4a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫>>+=++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（三星）设求证1.（四星）已知20x y >>，且满足181022x y x y++=-，求实数x 的最大值. 答案：[]2,181.已知,x y 都是正数，且1x y +=，则4121x y +++的最小值为__________.941.（三星）设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是___________.141.（三星）已知1,,(0,1)4ab a b =∈，则1211a b+--的最小值是__________.20．（四星）函数()22log 1log 1x f x x -=+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于2），则()12f x x 的最小值为_______。

几个著名的不等式

5.二项式定理的放缩
（1）
(1
x)n
1
nx( x
0)
，推广为
(1
x)n
1
nx
n(n 1) 2
x2(x
0)
等等.
（2） (1
x )n n
1
x
x2
xn (x
0) .
6.
2n 2n
1
的放缩
n
n
1
(2n 1)2 (2n)2
1
2n 1 2n
(2n 1)2 (2n)2 1
2n 2n
1 1
.
7.
2n 2n
b
2
.
特别地，
（1）若 a12 a22 an2 1 ， b12 b22 bn2 1，则 a1 b1 a2bn anbn 1 . （2） a1a2 a2a3 a3a1 a12 a22 a32 . （3） (a1 a2 an )2 n(a12 a22 an2 ) . （二）推论
1
aikbik ) k
；
当且仅当 a1 a2 an 或 b1 b2 bn 时取等号.
特别地，若
a1
a2
， b1
b2
，则
a1b1
a2b2 2
(a1
a2 )(b1 22
b2
)
；
若
a1
a2
， b1
b2
，则
a1b1
a2b2 2
(a1
a2 )(bБайду номын сангаас 22
b2 )
.
推论 2. 多组正数 a1, a2 ,, an ；b1, b2 ,, bn ；…； z1, z2 ,, zn ；满足 a1 a2 an ， b1 b2 bn ， … ， z1 z2 zn ，每组取一个数相乘再求和 S ，则有

28个著名不等式

28个著名不等式摘要：一、前言二、勾股定理与毕达哥拉斯定理三、算术平均数与几何平均数四、调和平均数与算术平均数五、均值不等式六、柯西- 施瓦茨不等式七、切比雪夫不等式八、马尔可夫不等式九、辛普森不等式十、闵可夫斯基不等式十一、排序不等式十二、琴生不等式十三、Jensen 不等式十四、基本不等式十五、阿姆斯特朗不等式十六、赫尔德不等式十七、闵可夫斯基- 马氏不等式十八、拉格朗日乘数法与KKT 条件十九、排序不等式在组合优化中的应用二十、新闻不等式二十一、塔克尔不等式二十二、最大最小化原理二十三、波利亚- 斯图姆定理二十四、切比雪夫- 马尔可夫不等式二十五、加权排序不等式二十六、李特尔伍德- 费米不等式二十七、闵可夫斯基- 切比雪夫不等式二十八、总结正文：一、前言本文将介绍28 个著名的数学不等式，这些不等式广泛应用于数学、物理、工程等领域，展示了数学的美丽和力量。

二、勾股定理与毕达哥拉斯定理勾股定理是最著名的数学不等式之一，描述了直角三角形的三个边的关系。

毕达哥拉斯定理则说明，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。

三、算术平均数与几何平均数算术平均数是一组数的总和除以数的个数，而几何平均数是一组数的乘积的开n 次方。

两者之间有一个不等式关系：对于正数，算术平均数大于等于几何平均数。

四、调和平均数与算术平均数调和平均数是一组数的倒数的算术平均数的倒数。

与算术平均数类似，也有一个不等式关系：对于正数，算术平均数大于等于调和平均数。

五、均值不等式均值不等式是最基本的平均数不等式，它说明对于任何正数，其算术平均数大于等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号。

六、柯西- 施瓦茨不等式柯西- 施瓦茨不等式是复分析中的一个重要不等式，它联系了复数的模和内积，是许多其他不等式的基础。

七、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等式，它描述了独立随机变量之和的分布。

八、马尔可夫不等式马尔可夫不等式是概率论中的一个重要不等式，它说明了在一定条件下，随机变量之和的概率分布的下界。

世界数学史上十个著名不等式

数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解47---基本不等式

高考数学一轮复习考点知识专题讲解基本不等式考点要求1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b2等号成立的条件是相同的．(×)(2)y ＝x ＋1x 的最小值是2.(×)(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值为4.(×)教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是()A ．1B ．2C ．2 2 D．4答案D解析∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立．2．函数y ＝4－x －1x (x <0)()A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案B解析y ＝4＋(－x )＋1(－x ) ≥4＋2(－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2； ②ab ≤a 2＋b 22； ③a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22； ④2ab a ＋b ≤ab . 答案②③解析当b a为负时，①不成立．当ab <0时，④不成立.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为() A.94 B ．4 C.92D ．9 答案C解析y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号， ∴当x ＝34时，y max ＝92. (2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有() A ．最大值0 B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3答案C解析∵x <23， ∴3x －2<0，f (x )＝3x －2＋93x －2＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－3x )＋92－3x ＋3 ≤－2(2－3x )·92－3x＋3＝－3. 当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”． (3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________．答案－1解析因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·(1－x )2＋11－x＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－x )＋11－x ≤－12·2(1－x )·11－x＝－1，当且仅当1－x ＝11－x，即x ＝0时取“＝”，所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1. 命题点2常数代换法例2(2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b的最小值是() A ．1 B ．2 C.94 D.92答案C解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋12b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝⎛⎭⎪⎫2＋52＝94，当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3消元法例3已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案2解析方法一(换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二(代入消元法)由x ＋y ＋xy ＝3得y ＝3－x x ＋1， ∵x >0，y >0，∴0<x <3，∴x ＋y ＝x ＋3－x x ＋1＝x ＋4x ＋1－1 ＝x ＋1＋4x ＋1－2 ≥2(x ＋1)·4x ＋1－2＝2，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取等号， ∴x ＋y 的最小值为2.延伸探究本例条件不变，求xy 的最大值．解∵x ＋y ＋xy ＝3，∴3－xy ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，令t ＝xy ，则t >0，∴3－t 2≥2t ，即t 2＋2t －3≤0，即0<t ≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1.教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于()A ．16B ．6C ．18D ．12答案B解析因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x＝10＋2×4＝18，当且仅当⎩⎨⎧ 2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝6时取等号，所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则() A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案A解析f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－(x ＋1)＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－(x ＋1)，即x ＝－2时，等号成立．故f (x )有最小值4.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________．答案52解析∵2x >1，∴x －12>0， f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12≥21x －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋12 ＝2＋12＝52，当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”． ∴f (x )的最小值为52. (2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________．答案12解析令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8， ∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n ＝4时等号成立．∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二基本不等式的常见变形应用例4(1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案D解析由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )， OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt△OCF 中，由勾股定理可得， CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12(a 2＋b 2)， ∵CF ≥OF ，∴12(a 2＋b 2)≥12(a ＋b )(a >0，b >0)． (2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是()A ．a ＋b <4ab a ＋b B.ab <2ab a ＋bC.2a 2＋2b 2<2ab D ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案D解析对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2ab a ＋b，故选项B 错误；对于选项C ，2(a 2＋b 2)>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是() A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥2 答案D解析a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或ba 都是正数，根据基本不等式求最值， ab ＋b a≥2a b ×ba＝2，故D 正确．思维升华基本不等式的常见变形 (1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22.(2)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0)．跟踪训练2(1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p：a>b>0，命题q：a2＋b22>⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22，则p是q成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，∴a2＋b22>⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22，∴由p可推出q，当a<0，b<0时，命题q成立，如a＝－1，b＝－3时，a2＋b22＝5>⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22＝4，∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A.2a＋bB.1a＋1bC.2abD.2a2＋b2答案B解析∵a ，b 为互不相等的正实数， ∴1a ＋1b>2ab， 2a ＋b <22ab ＝1ab <2ab ， 2a 2＋b 2<22ab＝1ab<2ab，∴最大的是1a ＋1b.柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)． 2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则： (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2 ≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.一、利用柯西不等式求最值例1已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案6437解析(x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋9，所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437，当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437. 例2已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案3解析(ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9， ∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”， ∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________．答案6 3解析y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2.证明(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 22 ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .证明根据柯西不等式，有()12＋12＋…＋12n 个(a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2，所以1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .课时精练1．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋2 xB．y＝x2＋3 x2＋2C．y＝e x＋e－xD．y＝log3x＋log x3(0<x<1) 答案C解析当x<0时，y＝x＋2x<0，故A错误；y＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，∵x2≠－1，故B错误；y＝e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，当且仅当e x＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0,1)时，y＝log3x<0，故D错误．2．(2022·汉中模拟)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则ab的最大值为()A．2 B.12C．4 D.14答案A解析4＝2a＋b≥22ab，即2≥2ab，平方得ab≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立， ∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12取得最小值时x 的值为()A.15B.14C.24D.13 答案A解析f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x≥(2＋3)22x ＋1－2x＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时等号成立．4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是() A ．1 B ．4 C ．7 D ．3＋17 答案C解析∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4， ∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3 ≥2(x －2)(y －1)＋3＝7，当且仅当⎩⎨⎧x ＝4，y ＝3时等号成立．5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是()A ．f (x )有最大值114 B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案B 解析f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x ＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立． 6．已知函数f (x )＝xx 2－x ＋4(x >0)，则()A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13D ．f (x )有最大值13答案D 解析f (x )＝xx 2－x ＋4＝1x ＋4x－1≤124－1＝13，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立，∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a，b为正实数，则“aba＋b≤2”是“ab≤16”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a，b为正实数，∴a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，若ab≤16，可得aba＋b≤ab2ab＝ab2≤162＝2，故必要性成立；当a＝2，b＝10，此时aba＋b≤2，但ab＝20>16，故充分性不成立，因此“aba＋b≤2”是“ab≤16”的必要不充分条件．8．已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式恒成立的有() ①2a＋2b≥22；②a2＋b2<1；③1a＋1b<4；④a＋1a>2.A．①② B．①③C．①②④ D．②③④答案C解析∵2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝22，当且仅当a＝b时取等号，∴①正确；∵a2＋b2<a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴②正确；∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ×ab＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴③错误； ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴0<a <1， ∵a ＋1a≥2a ·1a＝2，当且仅当a ＝1时取等号， ∴a ＋1a>2，④正确．9．若0<x <2，则x 4－x 2的最大值为________．答案2 解析∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 2(4－x 2)≤x 2＋4－x 22＝2，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________．答案4解析依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a ＋b ≤(a ＋b )24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________．答案27解析因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x ＝1，所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4yx ＝27，当且仅当⎩⎨⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝9时取等号，所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b2＋b 的最小值为________．答案2 2解析∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b ·b ＝22，当且仅当1a ＝a b 2且2b＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋ab 2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233 B.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－223，223D.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 答案A解析∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ，则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233，即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号，∴x ＋y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233.14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号) ①a ＋b ＋1ab ≥22；②2aba ＋b >ab ；③a 2＋b 2ab ≥a ＋b ；④(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.答案①③④解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故①正确；因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，即a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故③正确；因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥ 2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b＋ab 的最小值为____________．答案174解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号，令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t ＋t ，t ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，14，因为函数y ＝1t ＋t 在⎝⎛⎦⎥⎤0，14上为减函数，所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174. 16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________．答案3＋2 2解析因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得xx －1＋2y y －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋2y －1 ≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22，当且仅当1x －1＝2y －1，即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”，所以xx －1＋2y y －1的最小值为3＋2 2.。

基本不等式公式高中

高中数学中常见的基本不等式公式包括以下几个：
1. 算术平均值大于等于几何平均值：设n为正整数，x1, x2, ..., xn为实数，则有：
(x1 + x2 + ... + xn)/n >= √(x1 * x2 * ... * xn)
这就是著名的算术平均值与几何平均值之间的不等式。

2. 调和平均值大于等于几何平均值：设x1, x2, ..., xn为实数，则有：
(nx1/2 + nx2/2 + ... + nxn/2) >= √(x1 * x2 * ... * xn)
这就是著名的调和平均值与几何平均值之间的不等式。

3. 三角不等式：设x和y为非零实数向量，则有：
|x·y| <= |x|·|y|
其中，x·y表示向量x和y的点积，|x|和|y|分别表示向量x和y的模长。

4. 柯西-施瓦茨不等式：设x1, x2, ..., xn和y1, y2, ..., yn为实数向量，则有：
(x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn) <= sqrt((x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) * (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2))这就是著名的柯西-施瓦茨不等式，用于衡量向量的相关性。

以上这些基本不等式在高中数学中非常常见，并且在解决许多数学问题时都非常有用。

安全意识：八个不等式、九个等式和十个关键

就会形成习惯。
安全意识的重要性
你的亲人盼你平安返家你的幼子还需要你养育
你的平安是对家人最好的爱你的妈妈喊你回家吃饭
出门在外，不要让白发苍苍的父母为你担心！
安全意识的重要性
你的平安，是对家人最好的关爱!——葛麦斯安全法则
隐去管理者的身影，让亲人取而代之，去唤醒操作者的安全意识，
这就是著名的“葛麦斯安全法则”。
安全意识的重要性
丢脸和丢命，谁的损失大？
首先企业出了事故，领导一般会丢脸。一是做检查。二是掏腰包。三是行政处分。四是刑事处分。其次，企业出了事故，操作者可能会肌体减少一部分甚至是丢命！
安全意识的重要性
我要你安全，那是假安全你要你安全，才是真安全
安全意识的重要性
安全为了谁？
O R
安全意识的重要性
安全为了谁？
O R
安全意识的重要性
安全为了谁？
• 为了所有的工友，为自己、为家人、为企业、为社会。
安全意识的重要性
你真把“安全”当“第一”了吗？
安全意识的重要性
安全为了谁？为了我们自己！！！
●只有知道“安全为了谁”，才能从“要我安全”变成“我要安全”
●只有知道“安全为了谁”，才能警钟长鸣，紧绷安全弦。 ●只有知道“安全为了谁”，才能让安全成为一种习惯。 ●只有明白“安全为了谁”，就可以保证“第一次就做对”。心中有了安全意愿，第二次做对就不存在问题的一再重复，
幼年丧父，中年丧夫，老年丧子，事故是造成人生
三大不幸的罪魁祸首。
安全管理是严肃的爱，爱是最有效的安全管理！
上 •第一莫忘子女的祝福
班
•第二莫忘妻子的心愿
三
‘安’是‘家’字的宝盖头下有‘女’，‘全’是可分为‘人’和‘王’；安全就是管理、制度、纪律，安全是一

著名不等式公式(供知识拓展)

三角形角的嵌入不等式三角形角的嵌入不等式，在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。

该不等式指出，若A、B、C是一个三角形的三个角，则对任意实数x、y、z，有：算术-几平均值不等式在数学中，算术-几平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几平均数之间恒定的不等关系。

设为n个正实数，它们的算术平均数是，它们的几平均数是。

算术-几平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。

算术-几平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。

算术-几平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。

例子在n = 4 的情况，设: ，那么.可见。

历史上的证明历史上，算术-几平均值不等式拥有众多证明。

n = 2的情况很早就为人所知，但对于一般的n，不等式并不容易证明。

1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不谨，是错误的。

柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题P n：对任意的n个正实数，1. 当n=2 时，P2显然成立。

2. 假设P n成立，那么P2n成立。

证明：对于2n个正实数，3. 假设P n成立，那么P n−1成立。

证明：对于n- 1 个正实数，设，，那么由于P n成立，。

但是，，因此上式正好变成综合以上三点，就可以得到结论：对任意的自然数，命题P n都成立。

这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数k，命题都成立。

因此对任意的，可以先找k使得，再结合第三条就可以得到命题P n成立了。

归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设x n+ 1是中最大的，由于，设，则，并且有。

卡尔松不等式一批著名不等式的综合

卡尔松不等式一批著名不等式的综合卡尔松不等式是数学中著名的重要不等式，它在非线性系统的分析中具有非常重要的意义。

卡尔松不等式由20世纪美国数学家利文斯顿卡尔松于1934年发表，它是第一个正式发表的中继不等式，它开创了非线性运筹学的研究领域。

卡尔松不等式的形式结构为：（1）卡尔松一般形式：如果f（x）和g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数，且满足f（a）≤g（b），那么存在一个c∈[a，b]，使得f （c）≤g（c）。

（2）卡尔松双边形式：设f（x）和g（x）分别是定义在区间[a，b]上的连续函数，且满足f（a）≤g（b），那么存在一个c∈[a，b]，使得f（c）=g（c）。

卡尔松不等式的范围十分广泛，它已经广泛应用于几何、力学、经济学、化学等多个领域。

例如，卡尔松不等式可以用来分析多变量函数，求解积分方程，构建解析模型，并解决函数优化问题。

用卡尔松不等式进行最优化时，由于它比一般的梯度下降法更加精确，因此被广泛用于机器学习等方面。

卡尔松不等式通常是建立在有界函数上的，如果函数不是有界的，卡尔松不等式就不能用了。

但是，卡尔松不等式可以大大简化问题的解决过程，也可以用来解决无界函数的优化问题。

例如，用卡尔松不等式可以解决无界函数的最小化问题，而不必构造有界的函数。

20世纪以来，卡尔松不等式已被发展成一批著名不等式。

其中，维特比不等式和拉普拉斯不等式是最常用的，广泛应用于求解优化算法和求解积分方程等问题。

维特比不等式（1921年由莱布尼兹提出）简洁而富有智慧，是真正体现了卡尔松不等式这个基本性质的一个重要结果。

它是非线性积分方程的核心，用来解决有限事件序列的最优决策问题，广泛应用于经济学、运筹学和数值分析等领域。

另外，拉普拉斯不等式（1922年由奥斯特洛夫提出）也是一个重要的不等式，它可以用来解决复杂的优化问题，如拉格朗日函数极小化问题、凸函数极大化问题等。

另外，加权拉普拉斯不等式（2003年由唐韦星提出）也是一种重要的不等式，它可以用来求解线性和非线性的最优化问题。

几个著名的不等式

八个著名的不等式

几个著名的不等式公式

重要不等式

重要的著名不等式

卡尔松不等式 一批著名不等式的综合

53几个重要的不等式

基本不等式题型大全

几个著名的不等式

28个著名不等式

世界数学史上十个著名不等式

高考数学一轮复习考点知识专题讲解47---基本不等式

基本不等式公式高中

安全意识：八个不等式、九个等式和十个关键

著名不等式公式(供知识拓展)

卡尔松不等式 一批著名不等式的综合

卡尔松不等式一批著名不等式的综合

卡尔松不等式一批著名不等式的综合