2019-2020学年福建省莆田一中高一下学期期中数学试卷 (解析版)
福建省莆田一中2019-2020学年高一(下)期中数学试题(解析版)
福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中数学试题一、单选题1. 若，则下列说法正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则2. 已知集合，，则()A. B. C. D.3. 在中，若，，则A. B. C. D.4. 在数列中，，，且，则()A.22B.−22C.16D.−165. 在中，若，则是( )A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.直角三角形或钝角三角形6. 若x，y满足则x+2y的最大值为A.1B.3C.5D.97. 在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为()A.2B.C.3D.8. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是()A. B.C. D.9. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A. B.C. D.10. 已知数列的前项和为，且，，则()A. B. C. D.11. 设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为()A.1009B.1010C.1011D.101212. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为()A. B. C. D.二、填空题13 若正数满足，则的最小值是________.14 若不等式对一切恒成立，则的最小值是________．15 在内角的对边满足，则的最小值为________.16 设数列的前项和为，若，且，则________.三、解答题17 设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.（1）求B的大小．（2）若，，求b.18 已知等差数列满足，.（1）求的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列中，，，求的前项和.19 已知数列的前项和为，且，. （1）求证：为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.20如图，在四边形中，，且，，.（1）求的面积；（2）若，求的长.21 如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB=ykm，并在公路同侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH 和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60o．（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？22 已知数列的前项和为，，数列满足，点在直线上.（1）求数列，的通项和；（2）令，求数列的前项和；（3）若，求对所有的正整数都有成立的的范围.参考答案与试题解析福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中数学试题一、单选题1.【答案】D【考点】基本不等式【解析】代入特殊值可探究A．B,C三个选项是否正确，通过作差法得a3−b3=(a−b)[(a+12b)2+34b2]，结合已知条件，即可判断a3,b3的大小关系．【解答】A：例如当a=0,b=−1,c=0,d=−1a>b,c>d成立，但是ac>bd不成立，故A错误B：当c=0时，显然ac2>bc2不成立，故本选项说法不正确；C：当a=−2,b=−1时，a<b<0成立，但−12=1a>1b=−1，故C错误．D:a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)(a+12b)2+34b2]，因为a>b所以(a−b)>0，又[(a+12b)2+34b2]>0，所以a3−b3>0，即a3>b3故选：D．2.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法【解析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】由B中不等式变形得：(x−3)(x+1)≤0解得：−1<x<3，即B=(−1,3)A={−2,−1,0,1,2,3}∴A∩B={0,1,2}故选：B．3.【答案】A【考点】正弦定理解三角形【解析】由sin C=2sin A利用正弦定理可得|AB=2BC，结合BC=√5可得结果．【解答】利用正弦定理化简sin C=2sin A，得：AB=2BCBC=√5AB=2√5，故选A．4.【答案】C【考点】数列递推式【解析】由数列的递推关系，带入a1,a2，即可求出a3，再将a2,a3带入，即可求出a4【解答】令n=2，则a3+2a2+a1=0，又a1=2a2=4，所以a3=−10；再令n=3，则a4+2a3+a2=0，所以a4=16，故选C5.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】由sin(A−B)cos B+cos(A−B)sin B利用两角和的正弦公式，得到sin A=1，可得A=π2，从而可得结果．详解：△ABC中，若sin(A−B)cos B+cos(A−B)sin B≥1则sin[(A−B)+B]=sin A≥1∴sin A=1A=π2，故三角形是直角三角形，故选B．【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】二元一次不等式表示的区域求线性目标函数的最值【解析】试题分析：如图，画出可行域，z =x +2y 表示斜率为−12的一组平行线，当z =x +2y 过点C (3,3)时，目标函数取得最大值z max =3+2×3=9，故选D ． 【解答】 此题暂无解答 7.【答案】 A【考点】等差数列与等比数列的综合 【解析】由等差中项的性质可得6a 5=a 5+a,，又{a n }为等比数列，所以6a 1q 4=a 1q 5+a 1a 5，化简整理可求出q 的值． 【解答】由题意知，又{a n }为正项等比数列，所以6a 1q 4=a 1q 3+a 1q 5，且q >0，所以q 2+q −6=0 所以q =2或q =−3（舍），故选A 8.【答案】 A【考点】一元二次不等式与一元二次方程 一元二次不等式的解法【解析】根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出a,b 的值，故不等式x 2−bx −a <0即为x 2−5x +6<0，从而可求其解，从而得到正确的选项． 【解答】…不等式ax 2−bx −1≥0的解集是[−12,−13]x =−12,x =−13是方程ax 2−bx −1=0的两根， ∴ {ba =−12+(−13)=−56−1a =−12×(−13)=16，解得{a =−6b =5 …不等式x 2−bx −a <0为x 2−5x +6<0解得2<x <3…不等式的解集为(2,3) 故选：A ． 9.【答案】 D【考点】 基本不等式 【解析】试题分析：x <0时，y =x +1x ≤−2，故A 错；0<x ≥π2，∴ 0≤cos x <1，∴ y =cos x +1cos x ≥2中等号不成立，故B 错； √x 2+2≥2∴ y =√x 2+2√x 2+2≥2中等号也取不到，故C 错；故选D ． 【解答】 此题暂无解答 10.【答案】 A【考点】 等比数列由递推关系式求通项公式 【解析】先由已知数列递推公式可得a n+1n+2=2⋅ann+1，得到是以1为首项，以2为公比的等比数列，求出该等比数列的通项公式，即能求得a n 【解答】 解：a n+1=n+2n S n (n ∈N ast )nn+2a n+1=S n ，⑩当n ≥2时，n−1n+1a n =S n−1，②①-②有nn+2a n+1−n−1n+1a n=a n，化简得a n−1n+2=2⋅a nn+1(n≥2)另外，n=时a2=1+21S1=3a1=6，故a23=2⋅a12，也符合上式，故是以a12=1为首项，以2为公比的等比数列，a nn+1=2n−1，故a n=(n+1)⋅2n−1故选：A．11.【答案】C【考点】数列与函数最值问题【解析】对任意正整数口，都有|a n|≥|a k|，a，为数列{a n}中的最小的正数项或最大的负数项，根据已知结合前》项和公式，即可得出结论．【解答】a1019>0,a116−a1111>00|a n||a111，所以对任意正整数口，都有|a n|≥|a k|则k的值为1011故选：C．12.【答案】B【考点】正弦定理基本不等式在最值问题中的应用解三角形【解析】根据余弦定理得到c=4b cos A，再根据正弦定理得到sin A cos B=3sin B cos A，故tan A=3tan Btan A tan B⋅tan C −6tan A=34(3tan B−53tan B)，计算得到答案【解答】由余弦定理及a2+2ab cos C=3b2可得a2+d2−b2−c2=3b2即2a2−b2=b2+c2，得2a2−b2=a2−2bc cos A，整理得a2=b2+2bc cos A ．a2=b2+c2−2bc cos A，b22+2b cos A=b2+c2−2bc cos A，得c=4b cos A 由正弦定理得sin C=4sin B cos A，又sin C=sin(A+B)∴sin(A+B)=4sin B cos A 整理得sin A cos B=3sin B cos A易知在锐角三角形ABC中cos A≠0cos B≠0,∴tan A=3tan B，且tan B>0：tan A tan B⋅tan C −6tan A=3(3tan2B−1)4tan B+2tan B=34(3tan B−53tan B)≥34×2√5=3√52当且仅当tan B=√53时等号成立．故选：B．二、填空题13【答案】5【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】试题分析：∵x+3y=5xy,x>0,y>0,∴15y+35x=13x+4y=(3x+4y)(15y+35x)=135+3x5y+12y5x≥135+2√3x5y⋅12y5x=5当且仅当3x5y=12y5x，即x=2y=1时取等号．14【答案】−2【考点】基本不等式不等式的基本性质不等式恒成立问题【解析】分离参数，将问题转化为求函【解答】不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,12]加加,最大值的问题，则问题得解．等价于a≥−x−1x对于一切x∈(0,12]成立．设f(x)=−x−1−2，则a≥f(x)minx因为函数f(x)在区间(0,12]上是增函数，所以f(x)加=f(12)=−52，所以a≥−52，所以α的最小值为−52故答案为：−5215【答案】________、√-,3【考点】基本不等式解三角形【解析】利用余弦定理结合基本不等式求解即可．【解答】根据题意，由a2+2b2=3c2得：c2=a2+2b23由余弦定理得cos C=a 2+b2−c22ab=a2+b2−a2+2b232ab=2a2+b26ab≥2√2ab6ab=√23当且仅当2a2=b，即b=√2a时取等号故答案为√2316【答案】—2020【考点】等差数列的通项公式【解析】用a n+1=S n+1−S n，代入已知等式，得S n+1−S n=S n+1⋅S n，变形可得1S n+1−1S n=−1，说明是等差数列，求其通项公式，可得1S2018的值．【解答】∵a n+1=S n+1−S n,∴1S n (1S n−1)=1a n+1=1S n+1−S n，整理可得S n−1−S n=S n+1⋅S n则，即1S n+1−1S n=−1所以，是以−1为公差的等差数列，又1S1=1a1=−21 S n =−2+(n−1)⋅(−1)=−(n+1)，则1S2019=−2020故I加加！本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．三、解答题17【答案】（1）B一（2）b=√7【考点】正弦定理解三角形【解析】（1）由正弦定理，可得sin A=2sin B sin A，进而可求出sin B和角B；（2）利用余弦定理，可得b2=a2+c2−2ac cos B，即可求出b．【解答】（1）由a=2b sin A，得sin A=2sin B sin A因为sin A≠0，所以sin B=12又因为B为锐角，所以B=π6（2）由余弦定理，可得b2=a2+c2−2ac cos B=27+25−2×3√3×5×√32=52−45=7，解得b=√7 18【答案】（1）a n=2n−2;（2）T n=2n−1【考点】等差数列的通项公式【解析】（1）求{a n}的通项公式，可先由a1=2a5=8求出公差首项，再出通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q(q>0)，利用等比数列的通项公式可求首项b1及公比4，代入等比数列的前）项和公式可求工．【解答】（1）设等差数列{a n}的公差为d，a1=2a5=8．a1+d=2a1+4d=8解得a1=0d=2．数列{a n}的通项公式a n=a1+(n−1)d=2n−2（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q(q>0)由（1）知a n=2n−2b1=1b1+b3=a4=6⇒q+q2=6q≠1∴q=2或q=−3（舍去），．{b n}的前”项和T n=1−2n1−2=2n−119【答案】（1）证明见解析，a n=2n−1；（2）T n=n2n+1【考点】数列的求和【解析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】（1）数列{a n}的前）项和为S n，且S n=2a n−1，①当n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1，②○-○得：a n=2a n−1由于a n≠0当n=1时，a1=S1=2a1−1，即a1=1．数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，a n=2n−1）（2）b n=log2a2n=2n−1则：1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．T n=1b1b2+1b2b3+⋯+1b n b n+1=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+120【答案】(1)(4√5（2）4+√29【考点】三角形求面积向量加减混合运算及其几何意义余弦定理【解析】（1）根据cos B=230<B<πsin B，再根据∠D=2∠B，求得sin D，然后结合AD=3,CD=6，由S△ABD=12AD⋅CD⋅sin D求解．（2）由（1）求得cos D，然后利用余弦定理求得AC，设BC=x，结合AB=6，利用余弦定理，由cos B=AB2+BC2−AC22AB⋅BC求解．【解答】（1）∵cos B=230<B≤πsin B=√5 3又：∠D=2∠Bsin D=sin2B=2sin B cos B=4√5 9S△ACD=12AD⋅CD⋅sin D=12×3×6×4√59=4√5（2）由（1）得cos D=cos2B=cos2B−sin2B=−19由余弦定理可得AC=2+CD2−2AD⋅⋅D⋅cos D=√9+3662××3×6×19=7设BC=x∵AB=6整理得x2−8x−13=0解得x=4+√29或x=4−√29（舍去）．：BC的长为4+√2921【答案】（1）y=4x2−12(x−1)(x>1);（2）x=74时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算函数模型的选择与应用利用导数研究函数的最值【解析】（1）利用题意结合余弦定理可得函数的解析式(y=4x2−12x−2，其定义域是(1,+∞)（2）结合（1）的结论求得利润函数，由均值不等式的结论即可求得当x=34km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．【解答】（1）在△BCF中，CF=x,∠FBC=30∘,CF⊥BF，所以BC=2x在△ABC中，AB=y,AC=y−1,∠ABC=60∘由余弦定理，得AC2=BA2+BC2−2B.BC cos∠ABC即(y−1)2=y2+(2x)2−2y⋅2x⋅cos60∘所以(y=4x2−12x−2由AB−AC⋅BC，得2x>1,x>12．又因为(y=4x2−12x−2>0，所以x>1所以函数(y=4x2−12x−2的定义域是(1,+∞)（2）M=30⋅(2y−1)+40x因为(y=4x2−12x−2(x>1)，所以(M=30⋅(2⋅4t2−12x−2−1)+40x即(M=10⋅(12x2−3x−1+4x−1))令(t=x−1,则t>0．于是M(t)=10(16t+9t+25),t>0由基本不等式得M(t)≥10(2√14+25)=490当且仅当(t=34，即(x=74时取等号．答：当x=34km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．22【答案】（1）a n=2n−2b n=2n−1；（2）T n=32+(2n−3)2n−1；（3）(−∞,2√2)【考点】数列的求和等差数列的通项公式 【解析】（1）由n =1求得a 1=12，当n ≥2时，通过S n =2a n −12与S n−1=2a n−1−12作差，进而整理可知数列{a n }是首项为a 1=12、公比为2的等比数列，通过将点代入直线x −y +2=0计算可知b n −b n+1+2=0，进而整理可求得数列{b n }的通项公式；（2）求出数列{c n }的通项公式，利用错位相减法可求得Ⅰ；（3）通过（1）及作商法计算可知数列为单调递减数列，进而问题转化为求2λ+1λ的最小值，利用基本不等式计算即得结论． 【解答】（1）对任意的当1=1时，S 1=2a 1−12，即a 1=12当1n ≥2时，由S n =2a n −12可得S n−1=2a n−1−12两式相减得a n =S n −S n−1=2a n −2a n−1．a n =2a n+1，则a nan−1=2所以，数列{a n }是首项为a 1=12，公比为2的等比数列，a n =12×2n−1=2n−2又：点P (b n b n+1)在直线x −y +2=0上，b n −b n+1+2=0∴ b n+1−b n =2 又：b 1=1，所以，数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列， b n =1+2(n −1)=2n −1（2）∵ c n =a n ⋅b n =(2n −1)2(n ∈N ast )T n =12×1+1×3+2×5+⋯+2n−2(2n −1) 2I n =1×1+2×3+22×5+⋯+2n−2(2n −3)+2n−1(2n −1) ∵ T n =32+(2n −3)2n−1 ）（3）由（1）知当n ≥1,b n a 2n=2n−12，则b n+1b n a 2n=2n +122n ⋅22n−22n −1=14⋅2n +12n −1>0 令x B =2n+12n−1=(2n−1)+22n−1=1+22n−1，则数列{c }为单调递减数列，0<c n ≤c 1=3，则b n+1b n a 2n=14⋅2n+12n−1≤34<1所以，数列为单调递减数列，当n ≥1时，ba 1≤b1a 1=1，即bn a 2n最大值为1，由2λ2−kλ+2>1可得kλ<2λ2+1,k <2λ+1λ而当>0时，2λ+1λ≥2√2λ⋅1λ=2√2，当且仅当λ=√22时取等号，k <2√2因此，实数k 的取值范围是(−∞,2√2)。
2019-2020学年福建省莆田一中高一下学期期中数学试题(解析版)
等差数列 中，
，
，所以对任意正整数 ，都有 ，
则 的值为
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列源自前 项和公式以及等差数列的性质，考查计算求解能力，属于中档题.
12．在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据余弦定理得到 ，再根据正弦定理得到 ，故 ， ，计算得到答案.
故选：A.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解、三个二次的关系，这个关系是：不等式对应的解的端点是对应方程的根，是二次函数的图像与 轴交点的横坐标.本题属于基础题．
9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】试题分析： 时， ，故A错；∵ ，∴ ，∴ 中等号不成立，故B错；∵ ，∴ 中等号也取不到，故C错；故选D.
8．已知不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出 的值，故不等式 即为 ，从而可求其解，从而得到正确的选项．
【详解】
∵不等式 的解集是 ，
∴ 是方程 的两根，
∴ ，解得 .
∴不等式 为 ，
解得 ，
∴不等式的解集为 .
，
，故选A．
【点睛】
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
2019-2020学年福建省莆田第一中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年福建省莆田第一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．若圆()()221:221C x y ++-=，()()222:2516C x y -+-=，则1C 和2C 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．相交C ．内切D ．外切【答案】D【解析】求出两圆的圆心距12C C ，比较12C C 与两圆半径和与差的绝对值的大小，进行可判断出两圆的位置关系. 【详解】可知，圆1C 的圆心为()12,2C -，半径为11r =，圆2C 的圆心()22,5C ，半径为24r =，12125C C r r ===+，因此，圆1C 与圆2C 外切. 故选：D. 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.2．设,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若,a b a α⊥⊥，则//b α B ．若//,a ααβ⊥，则a β⊥ C ．若,aβαβ，则//a αD ．若,,ab a b αβ，则αβ⊥【答案】D【解析】由空间中直线、平面的位置关系逐一判断即可得解. 【详解】由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，故A 错误； 在B 中，若//a α，βα⊥，则a 也可能在β内，故B 错误； 在C 中，若a β⊥，αβ⊥，则//a α或a α⊂，故C 错误；在D 中，若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则βα⊥成立，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，属基础题．3．已知两条直线1:10l x y +-=，2:320l x ay ++=且12l l ⊥，则a =（ ） A ．3- B ．13-C ．13D ．3【答案】A【解析】先建立方程3110a ⨯+⨯=，再求解a 即可. 【详解】解：因为两条直线1:10l x y +-=，2:320l x ay ++=且12l l ⊥， 所以3110a ⨯+⨯=，解得3a =-， 故选：A. 【点睛】本题考查利用两条直线垂直求参数，是基础题.4．若函数()y f x =的图象与函数32y x =-的图象关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为（ ） A ．23y x =-- B ．23y x =+C ．23y x =-+D ．23y x =-【答案】A【解析】先假设函数()f x 上的点(,)x y ，由(,)x y 关于原点对称的点为(,)x y --在函数32y x =-上代入，即可求解.【详解】设(,)x y 为函数()f x 上的点，则(,)x y 关于原点对称的点为(,)x y --在函数32y x =-上，可得32()y x -=-⨯-，整理得23y x =--， 即函数()y f x =的表达式为23y x =--. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根据函数的对称性求函数的解析式问题，其中解答中设函数()f x 上的点，根据对称性找出关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，420S =，则10a =（ ） A ．25 B ．32C ．35D ．40【答案】C【解析】利用已知条件求得1,a d ，由此求得10a . 【详解】依题意3141727204620a a d S a d =+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，解得11,4a d =-=，所以101935a a d =+=.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.6．已知ABC ∆的三边长为,,a b c ，满足直线20ax by c ++=与圆224x y +=相离，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上情况都有可能 【答案】C【解析】圆心到直线的距离2222c d a b=>+,所以222c a b >+，在ABC ∆中，222cos 02a b c C ab+-=<，所以C ∠为钝角．ABC ∆为钝角三角形．选C7．如图：正三棱锥A BCD -中，40BAD ∠=︒，侧棱2AB =，BD 平行于过点C 的截面α，则平面α与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．3【答案】B【解析】沿着侧棱AC 把正三棱锥A BCD -展开在一个平面内，则CC '即为截面α周长的最小值，利用余弦定理代入求解即可. 【详解】如图所示：沿着侧棱AC 把正三棱锥A BCD -展开在一个平面内， 则CC '即为截面α周长的最小值， 且340120CAC '∠=⨯︒=︒， 在ACC '△中，由余弦定理得：()()222cos120CC AC AC AC AC '''=+-⋅︒，2222222cos12023CC '=+-⨯⨯︒=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用三棱锥的侧面展开图求解最值问题以及余弦定理.属于较易题. 8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0)2a bab a b +>> B ．222(0)a b ab a b +>>C ．2(0)ab ab a b a b>>+D ．220)22a b a b a b ++>> 【答案】D【解析】由图形可知11()22OF AB a b ==+，11()()22OC a b b a b =+-=-，在直角OCF △中，由勾股定理可求CF ，结合CF OF ≥即可得出．【详解】由图形可知：11()22OF AB a b ==+，11()()22OC a b b a b =+-=-， 在直角OCF △中，由勾股定理可得：CF = CF OF ≥，∴1()2a b +，(,0)a b >． 故选：D 【点睛】本题考查的是由几何图形来证明不等式，考查了数形结合的思想，属于中档题. 9．已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M 是圆C : x 2+y 2－4x =0上一个动点，则△MAB 的面积的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．10 D ．15【答案】B 【解析】【详解】由2240x x y -+=，得22(2)4x y -+=， ∴圆的圆心(2,0)，半径为2，直线AB 的方程为4x-3y+12=0，|AB|=5， ∴圆心到直线AB 的距离为81245+=，点M 到直线AB 距离的最小值为2， ∴△MAB 的面积的最小值为12×5×2=5， 故选：B ．10．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A 85B ．153C ．153D ．5【答案】B【解析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值． 【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin12043sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，所以·sin 4sin4546sin sin603CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒， 在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：415AB =所以A 与B 的距离4153AB =故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．平面PAB ⊥平面PBCB ．异面直线AD 与PB 所成的角为60︒C ．二面角P BC A --的大小为60︒D ．在棱AD 上存在点M 使得AD ⊥平面PMB【答案】D【解析】根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可． 【详解】解：对于D ，取AD 的中点M ，连PM ，BM ，侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是60DAB ∠=︒的菱形，∴三角形ABD 是等边三角形，AD BM ∴⊥， PMBM M =，PM ⊂平面PBM ，BM ⊂平面PBMAD ∴⊥平面PBM ，故D 正确，对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90︒，故B 错误，对于C ，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，BC PB ∴⊥，BC BM ⊥，”则PBM ∠是二面角P BC A --的平面角， 设1AB =，则3BM =3PM =，在直角三角形PBM 中，tan 1PMPBM BM∠==， 即45PBM ∠=︒，故二面角P BC A --的大小为45︒，故C 错误， 对于A ，AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，所以BC ⊥平面PBM ，BC ⊂平面PBC ，所以面PBC ⊥平面PBM ，显然平面PAB 与平面PBC 不垂直，故A 错误； 故选：D ．【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，根据相应的判断和证明方法是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．12．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论：①异面直线AC 与BD 所成的角为定值． ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°． ④三棱锥M ACN -2． 以上所有正确结论的有( )个． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】证得AC BD ⊥，由此判断①正确；证得90ADB ∠≠︒，由此判断②错误；当平面ACD 与平面ABC 垂直时，求得直线MN 与平面ABC 所成的角、三棱锥M ACN -体积的最大值，由此判断③④的正确性.【详解】 设ACBD O =，①，折叠前，根据正方形的性质可知,AC OD AC OB ⊥⊥，折叠过程中,AC OD AC OB ⊥⊥成立，而OD OB O ⋂=，所以AC ⊥平面BOD ，所以AC BD ⊥，所以异面直线AC 与BD 所成角为定值90︒，所以①正确.②，折叠前，AD CD ⊥，折叠过程中AD CD ⊥成立，假设AD BC ⊥，而CD BC C ⋂=，所以AD ⊥平面BCD ，所以AD BD ⊥.折叠过程中，在三角形ABD 中，1AB AD ==，所以90ADB ∠≠︒，这与AD BD ⊥矛盾，故假设不成立，所以②错误. ③，在折叠过程中，当平面ACD ⊥平面ABC 时，由于平面ACD平面ABC AC =，AC OD ⊥，根据面面垂直的性质定理可知OD ⊥平面ABC ，所以DBO ∠是直线BD与平面ABC 所成的角，且OD OB ⊥.在Rt BOD 中122OB OD BD ===，所以三角形BOD 是等腰直角三角形，所以45DBO ∠=︒.由于,M N 分别是,BC CD 的中点，所以MN 是三角形BCD 的中位线，所以//MN BD ，所以直线MN 与平面ABC 所成的角和直线BD 与平面ABC 所成的角相等.所以③正确.④，在折叠过程中，三棱锥M ACN -中，三角形ACN 的面积为定值，即1124ACNSCN AD =⨯⨯=.所以当M 到平面ACD 的距离最大时，三棱锥M ACN -的体积取得最大值.当平面ACD ⊥平面ABC 时，M 到平面ACD 的距离最大.此时，过M 作ME AC ⊥交AC 于E ，根据面面垂直的性质定理可知ME ⊥平面ACD .由于45ACB ∠=︒，所以CEM 是等腰直角三角形，所以21222224ME MC =⨯=⨯=. 所以三棱锥M ACN -的体积的最大值为11122334448ACNS ME ⨯⨯=⨯⨯=.所以④正确.综上所述，正确的结论有3个. 故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角、线面角、面面垂直的性质定理，几何体体积的求法，属于中档题.二、填空题13．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元，购买3支康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是______________ 【答案】A >B【解析】设每支支玫瑰x 元，每支康乃馨y 元，则2,3x A y B ==，由题意可得：284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，代入可得：8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，根据不等式性质，联立即可得解. 【详解】设每支支玫瑰x 元，每支康乃馨y 元， 则2,3x A y B ==，由题意可得：284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，代入可得：8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，根据不等式性质可得：6B <， 而83BA >-，可得6A >, 故A B >， 故答案为：A B >. 【点睛】本题考查了利用不等式解决实际问题，考查了不等式性质，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题.14．已知圆的方程为()2214x y +-=，若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的一般方程为______________. 【答案】4230--=x y【解析】根据圆的方程得到圆心()0,1C ，半径为2r ，取AB 中点为D ，连接CD ，根据圆的性质，以及题中条件，得到点D 与点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭重合时，CD 最大，此时CP AB ⊥，进而可求出所求直线的斜率，从而可得直线方程.【详解】由圆的方程()2214x y +-=可得圆心为()0,1C ，半径为2r，取AB 中点为D ，连接CD ，根据圆的性质，CD AB ⊥，且2ACB ACD ∠=∠， 为使ACB ∠最小，只需ACD ∠最小， 又sin 2AD AD ACD CA ∠==，222AD CD r +=，所以当AD 最小时，ACD ∠最小，此时CD 最大；因为,C P 为两定点，且sin CD CP CPD =∠，所以当点D 与点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭重合时，CD 最大，此时CP AB ⊥，因为1AB CP k k ⋅=-，即112101AB k -⋅=--，所以2AB k =，因此直线l 的方程为：()1212y x -=-，即4230--=x y .故答案为：4230--=x y . 【点睛】本题主要考查求圆的弦所在直线方程，解题的关键在于将问题转化为弦长最短，属于常考题型.15．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD 的外接球，BC=3，23AB =E 在线段BD 上，且BD=3BE ，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.【答案】[2,4]ππ【解析】设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，可得R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解． 【详解】如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ， 连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，则0123sin 6033O D =⨯=AO 1221 3.AD DO =-=在Rt △OO 1D 中，R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2， ∵BD ＝3BE ，∴DE ＝2在△DEO 1中，O 1E 034232cos300.=+-⨯⨯⨯= ∴22112OE O E OO =+=过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小， ()22222.-=，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． 故答案为[2π，4π] 【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．16．圆C ：x 2＋y 2＝16，过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，在x 轴正半轴上存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ，求出点N 的坐标__________. 【答案】(8，0)【解析】先考虑直线AB 斜率不存在情况，然后考虑直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系，由x 轴平分∠ANB ，可得AN BN k k =-，结合斜率公式代入可求. 【详解】当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-， 假设(,0)(0)N t t >符合题意，又设()()1122,,,A x y B x y ， 由将直线代入圆得()2222144160k x k x k +-+-=，所以 212241k x x k +=+，21221164k x x k -⋅=+若x 轴平分∠ANB ，则AN BN k k =-12120y y x t x t ∴+=-- ，则()()1212220k x k x x t x t--+=--，整理得()12122(2)40x x t x x t -+++=，()2222244(2)416110k kt t k k +-+=++-，解得8t = 所以点N 的坐标为（8，0）. 【点睛】本题考查直线与圆的相交问题，属于中档题.三、解答题17．已知直线l 在y 轴上的截距为2-，且垂直于直线210x y --=． （1）求直线l 的方程；（2）设直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，OAB 内接于圆C ，求圆C 的一般方程．【答案】（1）22y x =--；（2）2220x y x y +++=【解析】（1）由垂直关系得直线斜率，从而可得直线的斜截式方程；（2）设出圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=．求出,A B 两点坐标，AB 中点是圆心，AB 是圆的直径由此可求得,,D E F ． 【详解】解：（1）设直线l 的方程为2y kx =-． ∵直线210x y --=的斜率为12，所以直线l 的斜率2k =-． 则直线l 的方程为22y x =--．（2）设圆C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=． 由于OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12AB ； 由(1,0)A -，(0,2)B -得1,12C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，AB =；故12212DE⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪=，解得1D =，2E =，0F =．则圆C 的一般方程为：2220x y x y +++=． 【点睛】本题考查两直线位置关系，考查求圆的一般方程．求圆的方程可以先确定圆心坐标和半径，利用一般方程与圆心坐标、半径的关系确定方程中的系数．18．已知在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且2()n S n n N *=∈，数列{}n b 为等比数列，公比1q >，11b a =，且22b ，4b ，33b 成等差数列． （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求{}n c 的前项和n T ． 【答案】（1）()*21n a n n =-∈N，()1*2n nbn -=∈N ；（2）12362n n n T -+=-. 【解析】（1）根据n S 与n a 的关系可求n a ，利用等比中项以及等比数列的通项公式即可求解.（2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）∵111a S ==，221(1)n n S S n n --=--，∴()*212,n a n n n =-≥∈N ，当1n =时，满足上式，()*21n a n n =-∈N234232b b b +=，23232q q q +=，由于1q >，∴2q，∴()1*2n n b n -=∈N（2）由（1）得1212n n n c --=，0121135212222n n n T --=++++，① ∴123111352321222222n n n n n T ---=+++++，② ①-②得1211222212313222222n n n nn n T --+=++++-=-， ∴12362n n n T -+=-. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、错位相减法求和，考查了考生的计算能力，属于基础题.19．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且sin cos 20A a B a --=.（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若b =ABC ∆a c +的值． 【答案】(1) 23B π=;(2) 3a c +=.【解析】试题分析：（1）sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以23B π=；（2）根据面积公式和余弦定理，得()27a c ac =+-，所以3a c +=. 试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，因为sin 0A ≠ cos 20B B --=，即sin 1,6B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又()50,,,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭，62B ππ∴-=，所以23B π=. （Ⅱ）由已知1133sin ,22222ABC S ac B ac ac ∆==⋅=∴=， 由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-，即()217222a c ac ac ⎛⎫=+--⋅- ⎪⎝⎭， 即()27a c ac =+-，又0,0a c >>所以3a c +=.20．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA =AB =3，AD =1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）当点E 为BC 的中点时，证明EF //平面PAC ； （2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）通过证明//EF PC 来证得//EF 平面PAC ；（2）通过证明,AF PB AF BC ⊥⊥来证得AF ⊥平面PBC ，由此证得PE AF ⊥，从而证得结论成立. 【详解】（1）连结AC ，EF ， ∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点∴PBC 中，//EF PC 又EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， ∴当点E 是BC 的中点时，EF //平面P AC .（2）∵PA AB ⊥，P A =AB 3F 是PB 的中点 ∴等腰PAB △中，⊥AF PB ，又P A ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，AB BC ⊥且P A 和AB 是平面P AB 上两相交直线. ∴BC ⊥平面P AB . 又AF ⊂平面PAB . ∴AF BC ⊥.又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线.∴AF PBC ⊥面. 又PE ⊂平面PBC ， ∴PE AF ⊥，∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 成立．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，属于中档题.21．如图，在Rt ABC 中，4AB BC ==，点E 在线段AB 上，过点E 作//EF BC 交AC 于点F ，将AEF 沿EF 折起到PEF 的位置（点A 与P 重合），使得060PEB ∠=．（1）求证：平面CBEF ⊥平面PBE ；（2）试问：当点E 在何处时，四棱锥P EFCB -的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2）E 为AB 的中点，2351. 【解析】（1）在三角形ABC 中，由//EF BC 且BC AB ⊥，得EF AB ⊥，进而证明EF ⊥平面PBE ，从而证得；（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=，则3PEB S xy =△，由基本不等式确定当PEB △为等边三角形时，侧面的面积最大，作PO BE ⊥于O ，根据已知条件确定PO ⊥平面EFCB 时，从而得到PCO ∠就是PC 与平面EFCB 所成角，通过计算可得四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值. 【详解】（1）证明：∵//EF BC 且BC AB ⊥，∴EF AB ⊥，即,EF BE EF PE ⊥⊥．又BE PE E ⋂=，∴EF ⊥平面PBE ，又EF ⊂平面CBEF ，平面CBEF ⊥平面PBE ，（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=．∴2133sin ()322PEB x y S BE PE PEB xy +=⋅⋅∠=≤=△ 当且仅当2x y ==时，PEB S △的面积最大，此时，2BE PE ==，此时E 为AB 的中点，由（1）知EF ⊥平面PBE ，平面EFCB ⊥平面PBE ．在平面PBE 中，作PO BE ⊥于O ，则PO ⊥平面EFCB ．即PO 为四棱锥P EFCB -的高．又031sin 6023,(24)262EFCB PO PE S =⋅===⨯+⨯=． ∴163233P BCFE V -=⨯= ∵01cos60212OE PE =⋅=⨯=，∴1BO =，在Rt OBC 中，2221417OC BO BC =++=PO ⊥平面EFCB ，∴PCO ∠就是PC 与平面EFCB 所成角．∴351tan 17PO PCO OC ∠===故直线PC 与平面EFCB所成角的正切值为17. 【点睛】本题考查空间中的垂直关系，直线与平面所成角的计算，棱锥的体积计算，基本不等式的应用，考查了学生的逻辑推理与直观想象能力.22．已知圆C ：22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A . （1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N ，判断•AM AN 是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）1x =，3430x y --=;（2）AM AN ⋅是定值，且为6． 【解析】【详解】（1）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即kx y k 0--=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径22=，解之得34k =．所求直线方程是1x =，3430x y --=． （2）直线与圆相交，斜率必定存在， 且不为0,可设直线方程为kx y k 0--=由220{0x y kx y k ++=--=得223(,)2121k k N k k --++． 又直线CM 与1l 垂直，由{14(3)y kx ky x k=--=--得22224342(,)11k k k kM k k+++++AM AN ⋅=6==为定值． 故AM AN ⋅是定值，且为6．。
福建省莆田市高一下学期期中数学试卷
福建省莆田市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）在△ABC中，AC＝， BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于（）A .B .C .D .2. （2分）函数的值域是（）A .B .C .D .3. （2分）设A={直角三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}，D={等腰直角三角形}，则下列结论不正确的是（）A . A∩B=DB . A∩D=DC . B∩C=CD . A∪B=D4. （2分）设等比数列{an}的前n项和为Sn ，若a1=1，a4=﹣8，则S5等于（）A . -11B . 11C . 331D . -315. （2分） (2020高三上·长春月考) 下列表述正确的是（）① ；②若，则；③若，，均是正数，且，，则的值是；④若正实数，满足，且，则，均为定值A . ①②③B . ②④C . ②③D . ②③④6. （2分）定义域为R的函数f（x）满足条件：①(x1,x2R+,x1≠x2)②f（x）+f（﹣x）=0（x∈R）；③f（﹣3）=0．则不等式x•f（x）＜0的解集是（）A . {x|﹣3＜x＜0或x＞3}B . {x|x＜﹣3或0≤x＜3}C . {x|x＜﹣3或x＞3}D . {x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}7. （2分） (2019高二上·中山月考) 若实数x，y满足不等式组：则该约束条件所围成的平面区域的面积是（）A . 3B .C . 2D . 28. （2分） (2017高二上·江门月考) 数列前项的和为（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二上·临沂期末) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc．若sin B•sin C=sin2A，则△ABC的形状是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形10. （2分）一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为（）A . 2B . 3C .D .11. （2分）(2019·台州模拟) 已知，满足条件，则的最小值是（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f（x）= ，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤2m2﹣ m恒成立，则实数m的取值范围是（）A .B .C . [1，+∞）D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为________14. （2分）若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是________a+b的取值范围是________．15. （1分）设集合M={x|﹣2≤x＜2}N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N=________．16. （1分） (2016高一下·厦门期中) a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；上述命题中正确的是________（只填序号）．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2017高二下·新乡期末) 设实数x、y满足2x+y=9．（1）若|8﹣y|≤x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥ ．18. （5分）电视台与某广告公司签约播放两部影片集，其中影片集甲每集播放时间为19分钟（不含广告时间，下同），广告时间为1分钟，收视观众为60万；影片集乙每集播放时间为7分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万，广告公司规定每周至少有7分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于80分钟的节目时间（含广告时间）．（Ⅰ）问电视台每周应播放两部影片集各多少集，才能使收视观众最多；（Ⅱ）在获得最多收视观众的情况下，影片集甲、乙每集可分别给广告公司带来a和b（万元）的效益，若广告公司本周共获得3万元的效益，记S= + 为效益调和指数（单位：万元），求效益调和指数的最小值．19. （10分） (2016高一下·红桥期中) 在锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 a=2csinA．（1）确定角C的大小；（2）若c= ，且ab=6，求边a，b．20. （10分） (2015高二上·蚌埠期末) 已知实数x、y满足，目标函数z=x+ay．（1）当a=﹣2时，求目标函数z的取值范围；（2）若使目标函数取得最小值的最优解有无数个，求的最大值．21. （15分） (2016高二上·扬州开学考) 已知首项为1的正项数列{an}满足an+12+an2＜，n∈N* ，Sn为数列{an}的前n项和．（1）若a2= ，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）设数列{an}是公比为q的等比数列，若＜Sn+1＜2Sn，n∈N*，求q的取值范围；（3）若a1，a2，…，ak（k≥3）成等差数列，且a1+a2+…+ak=120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，ak．22. （15分） (2017高一下·南京期末) 已知等差数列{an}和等比数列{bn}，其中{an}的公差不为0．设Sn 是数列{an}的前n项和．若a1 ， a2 ， a5是数列{bn}的前3项，且S4=16．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）若数列{ }为等差数列，求实数t；（3）构造数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，…，ak，b1，b2，…，bk，…，若该数列前n项和Tn=1821，求n的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、。
福建省莆田市高一下学期数学期中考试试卷
福建省莆田市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一下·温江期末) 若实数满足，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一下·嘉兴期末) 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C的值为A .B .C . 或D . 或3. （2分） (2019高二上·浙江月考) 已知函数满足对任意的，，若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前40项的和为（）A . 80B . 60C . 40D . 204. （2分） (2019高二上·吉林月考) 椭圆的焦点为，椭圆上的点P满足，则的面积是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高二下·汕尾期末) 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，第四日行二十四，几朝才得到其关，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，其中第四天走了24里.”问此人（）天后到达目的地.A . 4B . 5C . 6D . 86. （2分）定义运算：，则的值是（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高三上·上海月考) 已知、是关于的方程的两个不同实数根，则经过两点、的直线与双曲线的交点个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 根据的值来确定8. （2分） (2020高一下·广东月考) 已知等比数列的前n项和为，则x的值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·蓟县期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，如果a=2，b=3，c=4，那么最大内角的余弦值等于（）A .B . ﹣C . ﹣D . ﹣10. （2分） (2016高一上·杭州期末) 己知函数f（x）=（x﹣l）（log3a）2﹣6（log3a）x+x+l在x∈[0，l]内恒为正值，则a的取值范围是（）A . ﹣1＜a＜B . a＜C . a＞D . ＜a＜11. （2分） (2020高二上·林芝期末) 已知等差数列中，是它的前项和，若，则当取最大值时，的值为（）A . 8B . 9C . 10D . 1612. （2分） (2019高三上·吉林月考) 若，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·扶余期末) 已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则 ________.14. （1分） (2019高三上·宁波期末) 设等差数列的前14项和，已知均为正整数，则公差 ________.15. （1分） (2016高二下·揭阳期中) 已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V=________．16. （1分） (2016高二上·晋江期中) 已知数列{an}中，a1=﹣1，an+1•an=an+1﹣an ，则数列的通项公式an=________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分） (2018高二上·东台月考) 关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．18. （10分） (2015高二下·乐安期中) 已知在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a，b，c．（I）若sin（A+ ）= cosA，求A的值；（Ⅱ）若cosA= ，b=3c，求sinC的值．19. （5分）有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列．首末两数和为16，中间两数和为12．求这四个数．20. （5分） (2016高二上·眉山期中) 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A（件）产品B（件）研制成本、搭载费用之和（万元）2030计划最大资金额300万元产品重量（千克）105最大搭载重量110千克预计收益（万元）8060试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？21. （10分）(2020高三上·兴宁期末) 已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的周长．22. （5分） (2019高二上·延吉期中) 已知等差数列的首项，公差，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项．（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在，使得对任意的均有总成立？若存在，求出最大的整数；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2019-2020学年福建省三校联盟高一(下)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年福建省三校联盟高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是()A. y=2t2B. ky=2tC. y=log2tD. y=t32.下列程序的运算结果为A. 20B. 15C. 10D. 53.有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在处应添加的条件是()s =0 i =2 Dos =s +i i =i +2 Loop until Print s EndA. i >12B. i >10C. i =14D. i =104. 已知角α终边上一点P 的坐标(a,3a)(a ≠0)，则cos(2π−α)+sin(π+α)cos(3π2+α)−cos(π−α)的值( )A. 12B. −12C. 2D. −25. 某次数学测验，12名同学所得分数的茎叶图如图，则这些分数的中位数是( )A. 80B. 81C. 82D. 836. 下列说法正确的是( )A. 对于任意事件A 和B ，都有P(A ∪B)=P(A)+P(B)B. 若A ，B 为互斥事件，则P(A)+P(B)=1C. 在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的D. 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值7. 运行如图的程序框图，若输出的结果是，则判断框中可填入A.B.C.D.8. 等差数列x 1，x 2，x 3…x 9的公差为1，随机变量ξ等可能的取值x 1，x 2，x 3…x 9，则方差D(ξ)为( )A. 103B. 203C. 109D. 2099. 已知sin(π+α)=35，且α是第四象限的角，那么cos(α−2π)的值是( )A. 45B. −45C. ±45D. 3510. 设不等式组{x −y ≤1x −2y ≥−2x ≥0y ≥0，所表示的平面区域为M ，在M 内任取一点P(x,y)，|x|+|y|≤1的概率是( )A. 17B. 27C. 15D. 2511. 如图所示的程序框图，若输出S 的值为127，则判断框中的条件可以是( )A. n ≤5？B. n ≤6？C. n ≥5？D. n ≥6？12. 彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂历史.按照图案的载体大致分为彝族服饰图案，彝族漆器图案，彝族银器图案等.其中蕴含着丰富的数学文化，如图1：漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹.这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2所示，若OA 长为2个单位，则∠AOB 所对应的弧长为( )A. 2π9B. 2π3C. √2π3D. 4π9二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在半径为1的圆周上任取三点，连接成三角形，这个三角形是锐角三角形的概率是多少？14.某中学高三年级共有1000名学生，采用随机抽样的方法，抽取样本容量为150的一个样本，现调查高三年级中报考一类学校的学生人数，若样本中有60人报考，求总共报考一类学校的人数为______ ．15.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．求取出的两个球上标号为相邻整数的概率________；16.在△ABC中，已知A>B，则下列四个不等式中，正确的不等式的序号为______．①sinA<sinB②sinA>sinB③cosA<cosB④cosA>cosB三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.证明：由数字0，1，2，3，4，5所组成的不重复六位数不可能被11整除．18.“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml(不含80)之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml(含80)以上时，属醉酒驾车．”某日，L市交警支队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒精浓度超标者60名，如图是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．(Ⅰ)求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；(图中每组包括左端点，不包括右端点)(Ⅱ)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，求这60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值；(Ⅲ)本次行动中，A ，B 两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml(含70)以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml(含70)以上的人中随机抽出2人抽血检验，求A ，B 两位先生至少有1人被抽中的概率．19. 关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y(单位：万元)，有如下统计资料，由资料可知y与x 有线性相关关系，试求：(1)该线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少万元？参考数据：2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3 参考公式：b ̂=i ni=1i −nxy ∑x 2n −nx2，a ̂=y −b ̂x ．20. 甲、乙两所学校高二年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高二年级学生在该地区四校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：乙校：(1)计算x，y的值；(2)若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，先用分层抽样的方法从甲乙两校优秀生共抽取7人，然后再从7人中随机抽取2人，问两人在同一所学校的概率；(3)由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．21.(1)若sin(π+α)=4，且α是第四象限角，求cos(α−2π)的值．5(2)求tan(−150°)⋅cos(−570°)⋅cos(−1140°)的值．tan(−210°)⋅sin(−690°)22.已知函数()(1)若从集合中任取一个元素，从集合中任取一个元素，求方程恰有两个不相等实根的概率；(2)若从区间中任取一个数，从区间中任取一个数求方程没有实根的概率．【答案与解析】1.答案：C解析：解：分析散点图图象知，函数增长速度越来越慢，符合对数函数增长模型．故选：C．分析散点图图象知，其增长速度越来越慢，从而确定正确的选项．本题考查了函数模型的增长类型应用问题，是基础题．2.答案：A解析：试题分析：第一次循环：S=5，a=4；第二次循环：S=5×4，a=3；此时结束循环，输出S=5×4=20，故答案为：20．考点：本题考查了当型循环结构点评：循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．要注意对循环结果的归纳，这是本题的关键．3.答案：B解析：本题主要考查算法，属于基础题．首先读懂程序，根据程序进行模拟，然后再判断条件．解：模拟执行程序框图，可得s=0，i=2，则s=2，i=4，不满足条件，s=2+4=6，i=6，不满足条件，s=6+6=12，i=8，不满足条件，s=12+8=20，i=10，不满足条件，s=20+10，i=12，由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出s的值为30，则应该添加的条件是i>10(不唯一，如：i>11，i≥12等)，结合选项，程序中until后面的条件应为i>10．故选B．4.答案：B解析：解：∵角α终边上一点P的坐标为(a,3a)(a≠0)，∴x=a，y=3a，tanα=yx=3，则cos(2π−α)+sin(π+α)cos(3π2+α)−cos(π−α)=cosα−sinαsinα+cosα=1−tanαtanα+1=1−31+3=−12．故选：B．利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．5.答案：B解析：解：由茎叶图得这组数据是：68，69，72，75，78，80，82，83，83，88，91，92，最中间的2个数是80，82，故中位数是：81，故选B根据茎叶图从大到小排列，得到中间两个数，取平均数即可．本题考查了茎叶图的读法，考查求中位数问题，是一道基础题．6.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，若事件A、B不是互斥事件，则P(A∪B)<P(A)+P(B)，A错误；对于B，若事件A、B互斥不对立，则P(A)+P(B)<1，B错误，对于C，在一次试验中，其基本事件的发生不一定是等可能，C错误，对于D，在大量重复试验中，概率是频率的稳定值，D正确；故选：D．根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．本题考查互斥事件、对立事件的性质，涉及概率的基本性质，属于基础题．7.答案：B解析：试题分析：程序的运算功能是，而，因此．考点：程序框图．8.答案：B解析：解：等差数列x1，x2，x3…x9的公差为1，∴x=19(9x1+9×82×1)=x1+4，∴数据x1，x2，x3…x9为样本，此样本的方差：D(ξ)=19[(−4)2+(−3)2+(−2)2+(−1)2+02+12+22+32+42]=203．故选：B．等差数列x1，x2，x3…x9的公差为1，求出x=x1+4，由此利用方差公式能求出结果．本题考查样本数据方差的计算，灵活运用等差数列的性质是解答该题的关键，是中档题．9.答案：A解析：解：sin(π+α)=35，可得sinα=−35，α是第四象限的角，cosα=√1−sin2α=45．cos(α−2π)=cosα=45．故选：A．直接利用诱导公式化简已知条件，化简所求表达式，本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．10.答案：A解析：解：不等式组{x −y ≤1x −2y ≥−2x ≥0y ≥0，表示的平面区域为M ，可用四边形ADOB 表示，由{x −y =1x −2y =−2，解得A(4,3)，易得B(1,0)，C(0,1)， |x|+|y|≤1的表示的平面区域为M ，可用ABOC 表示，设“在M 内任取一点P(x,y)，|x|+|y|≤1”为事件ω，S 四边形ABOC =S 梯形ADOC −S △ADB ， 由几何概型中的面积型可得： P(ω)=S △BOCS四边形ABOC=12×1×11+32×4−12×3×3=17，故选：A ．画出约束条件的可行域，利用已知条件求解图形的面积，然后求解概率． 本题考查了二元不等式表示的平面区域及几何概型中的面积型，属中档题．11.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得第一次循环，S =1+2=3，n =2，满足条件， 第二次循环，S =3+22=7，n =3，满足条件， 第三次循环，S =7+23=15，n =4，满足条件， 第四次循环，S =15+24=31，n =5，满足条件， 第五次循环，S =31+25=63，n =6，此时满足条件，第六次循环，S =63+26=127，n =7，此时不满足条件输出S ，所以判断框的条件为n ≤6？． 故选：B ．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图，可得该程序的作用是计算S =1+2+22+⋯+2n 的值，利用S =127，求出满足条件的n ，并确定循环的条件，据此即可得到答案．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．属于基础题．12.答案：D解析：解：根据题意可得，∠AOB所对的弧长为整个圆的19，整个圆周的周长为2π⋅OA=4π，所以∠AOB所对应的弧长为4π9．故选：D．先确定∠AOB所对的弧长为整个圆的19，然后求出整个圆的周长，即可得到答案．本题考查了弧长的求解，涉及了弧长公式的理解和应用，属于基础题．13.答案：14解析：当基本事件等可能，且个数无限时，考虑几何概型求概率(长度的比值、面积的比值、体积的比值)，本题可将问题就转化为测度为面积的二维几何概型．解：如图①，按照逆时针方向依次标记三点为A，B，C.设，依题意，所有可能的结果构成平面区域：事件M=“三点组成锐角三角形”构成的平面区域：，所以P(M)=S M SΩ=14.14.答案：400=0.4，解析：解：根据题意，该样本中报考一类学校的概率是60150∴估计该校高三年级中报考一类学校的人数为1000×0.4=400．故答案为：400．用样本中的概率去估计总体中的概率是什么，即可得出结论．本题考查了根据样本中的概率去估计总体中的概率的问题，是基础题目．15.答案：解析：试题分析：设每次取出的甲乙两盒子的小球编号构成的组合为其中，，所有的组合共16种，满足两号码相邻的选法有6种，所以概率为考点：古典概型概率点评：古典概型概率的求解要找到所有基本事件种数及满足题意要求的基本事件种数，再求其比值16.答案：②③解析：解：当A、B均为锐角时，sinA>sinB，cosA<cosB；当A为钝角，B为锐角时，sinA>sinB，cosA<0<cosB．综上所述，正确的不等式序号为②③，故答案为：②③．因为△ABC，且A>B，所以只可能出现两种情况，A、B均为锐角和A为钝角，B为锐角，然后分两类讨论三角函数值的大小即可．本题考查利用三角函数线比较三角函数值的大小，考查学生的分析能力，属于基础题．17.答案：解：被11整除的六位数，奇数位的三个数码之和与偶数位的三个数码之和相差11的倍数．但是已知六位数的各位数码分别取0，1，2，3，4，5，这六个数分成两组各三个的差值最大是3+4+ 5−(0+1+2)=9，最小当然是−9，所以要使差值为11的倍数，只有等于0，也就是分成的两组数的和相等．但是这六个数的和为15是一个奇数，不可能分为和相等两组数．因此这六个数也就不可能构成11的倍数．解析：利用“被11整除的六位数，奇数位的三个数码之和与偶数位的三个数码之和相差11的倍数”性质即可判断出．本题考查了被11整除的六位数的特点与性质，考查了推理能力，属于中档题．18.答案：解：(Ⅰ)根据题意，醉酒驾车者即血液酒精浓度在80mg/100mL(含80)以上者，由图可知，共有0.005×10×60=3(人)；(Ⅱ)酒精浓度的平均值：s=25×0.025×10+35×0.015×10+45×0.020×10+55×0.015×10+65×0.010×10+ 75×0.010×10+85×0.005×10=47(mg/100mL)；(Ⅲ)酒精浓度在70mg/100mL(含70)以上人数为：(0.10+0.05)×60=9，设除吴、李两位先生外其他7人分别为a、b、c、d、e、f、g，则从9人中抽出2人的一切可能的结果组成的基本事件有：(吴，李)，(吴，a)，(吴，b)，(吴，c)，(吴，d)，(吴，e)，(吴，f)，(吴，g)，(李，a)，(李，b)，(李，c)，(李，d)，(李，e)，(李，f)，(李，g)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(a,g)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(b,g)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(c,g)，(d,e)，(d,f)，(d,g)，(e,f)，(e,g)，(f,g)，共36种；用A表示“吴、李两位先生至少有1人被抽中”这一事件，则A所含的基本事件数位15，所以，P(A)=1536=512．解析：本题考查了频率分布直方图，考查考查求平均数问题，考查概率问题，是一道中档题． (Ⅰ)根据图象求出即可； (Ⅱ)代入平均数的公式求出即可；(Ⅲ)列出一切可能的结果组成的基本事件，从而求出相对应的概率．19.答案：解：(1)由题意知x =15(2+3+4+5+6)=4，y =15(2.2+3.8+5.5+6.5+7.0)=5，b =112.3−5×4×54+9+16+25+36−5×16=1.23，a =5−4×1.23=0.08， ∴ŷ=1.23x +0.08． (2)当自变量x =10时，预报维修费用是y =1.23×10+0.08=12.38万元．解析：(1)根据所给的数据，求出变量x ，y 的平均数，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数b ，再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程； (2)当自变量为10时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值．本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．20.答案：解：(1)甲校抽取110×12002200=60人，乙校抽取110×10002200=50人，故x =10，y =7，(2)甲校优秀人数15人，乙校优秀人数20人，用分层抽样的方法从甲乙两校优秀生共抽取7人，即甲校3人，乙校4人，从7人中随机抽取2人，两人在同一所学校的概率为C 32+C 42C 72=921=37．(3)2×2列联表k 2=110(15×30−20×45)260×50×35×75≈2.83>2.706故在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．解析：(1)根据条件知道从甲校和乙校各自抽取的人数，做出频率分布表中的未知数；(2)确定分层抽样的方法从甲乙两校优秀生共抽取7人，即甲校3人，乙校4人，再求从7人中随机抽取2人，两人在同一所学校的概率；(3)根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．本题主要考查独立性检验的应用，考查概率的计算，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于中档题．21.答案：解：(1)∵sin(π+α)=−sinα=45，且α是第四象限角，∴sinα=−45，cosα=√1−sin 2α=35， 则cos(α−2π)=cosα=35； (2)原式=−tan150°cos570°cos1140°tan210°sin690°=−tan(180°−30°)cos(720°−150°)cos(1080°+60°)tan(180°+30°)sin(720°−30°)=−√33×√32×12√33×(−12)=√32．解析：(1)已知等式左边利用诱导公式化简求出sinα的值，根据α为第四象限角，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，原式利用诱导公式化简后将cosα的值代入计算即可求出值；(2)原式先利用奇函数及偶函数的性质化简，角度变形后，再利用诱导公式化简，计算即可得到结果． 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．22.答案：(1)(2)解析：试题分析：(1) ∵取集合中任一个元素，取集合{0,1，2，3}中任一个元素取值的情况是：，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值． 即基本事件总数为16 2分 设“方程恰有两个不相等的实根”为事件3分当时，方程恰有两个不相等实根的充要条件为b >且不等于零当b >时，取值的情况有(1,2)，(1,3)，(2,3)，即包含的基本事件数为3，5分∴方程恰有两个不相等实根的概率7分 (2)∵若从区间中任取一个数，从区间中任取一个数则试验的全部结果构成区域这是一个矩形区域，其面积9分设“方程没有实根”为事件B，10分则事件B所构成的区域为其面积12分由几何概型的概率计算公式可得：方程没有实根的概率15分考点：古典概型概率与几何概型概率点评：古典概型概率的求解主要是找到所有基本事件种数与满足题意要求的基本事件种数，然后求其比值；几何概型概率通常利用长度比，面积比体积比求解，在求解时首先要分析清楚属于哪种概率类型。
2019-2020年高一下学期期中数学试卷 含解析
2019-2020年高一下学期期中数学试卷含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（）A． B． C． D．2．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品3．某公司xx～xx年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：年份xx xx xx xx xx xx利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11根据统计资料，则（）A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系4．程序框图如图所示：如果输入x=5，则输出结果为（）A．325 B．109 C．973 D．2955．用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（）A．3次B．4次C．5次D．6次6．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.57．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，408．给出以下四个问题：①输入一个正数x，求它的常用对数值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．向顶角为120°的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）A． B． C． D．10．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（）A．80 B．40 C．60 D．2011．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．1112．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上.）13．把xx转化为二进制数为．14．如图是某学校抽取的n个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为18，则n的值是．15．用秦九韶算法求多项式：f（x）=1+x+2x2+3x3+4x4+5x5+7x7在x=2的值时，v3的值为．16．日前，广佛肇城际轨道已开通投入运营，假设轻轨列车每15分钟一班，在车站停2分钟，则乘客到达站台能立即上车的概率是．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．若二进制数100y011和八进制数x03相等，求x+y的值．18．（1）函数，编写出求函数的函数值的程序（使用嵌套式）；（2）“求的值．”写出用基本语句编写的程序（使用当型）．19．在某幼儿园的美术课上，老师带领小朋友用水彩笔为本子上两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色．小朋友豆豆可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色、蓝色、紫色各一支．（1）豆豆从他可用的五支水彩笔中随机取出两支按老师要求给气球涂色，求两个气球同为冷色的概率．（2）一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟，豆豆至少需要2分钟完成该项任务．老师发出开始指令1分钟后随时可能来到豆豆身边查看涂色情况．求当老师来到豆豆身边时，豆豆已经完成任务的概率．20．已知集合A=[﹣2，2]，B=[﹣1，1]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．21．运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．22．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门组织抽取了100间学生宿舍某月用电量调查，发现每间宿舍用电量都在50度到350度之间，其频率分布直方图如图所示．（1）为降低能源损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t表示某宿舍的用电量（单位：度），以y表示该宿舍的用电费用（单位：元），求y与t的函数关系式？（2）求图中月用电量在（200，250]度的宿舍有多少间？（3）在直方图中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，宿舍用电量落入该区间的频率作为宿舍用电量取该区间中点值的频率（例如：若t∈[150，200），则取t=175，且t=175发生的频率等于落入[150，200）的频率），试估计我校学生宿舍的月均用电费用．xx学年湖南省娄底市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为（）A． B． C． D．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，根据对立事件的概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次共有23=8种结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，∴至少一次正面向上的概率是1﹣=，故选A．【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是对于比较复杂的事件求概率时，可以先求对立事件的概率．2．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A．3个都是正品B．至少有1个是次品C．3个都是次品D．至少有1个是正品【考点】随机事件．【分析】任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，根据题目条件选出正确结论，分清各种不同的事件是解决本题的关键．【解答】解：任意抽取3个一定会发生的事：最少含有一个正品，故选D【点评】我们学过的事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．3．某公司xx～xx年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示：年份xx xx xx xx xx xx利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11根据统计资料，则（）A．利润中位数是16，x与y有正线性相关关系B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系【考点】变量间的相关关系；众数、中位数、平均数．【专题】计算题．【分析】求出利润中位数，而且随着利润的增加，支出也在增加，故可得结论．【解答】解：由题意，利润中位数是=17，而且随着利润的增加，支出也在增加，故x与y有正线性相关关系故选C．【点评】本题考查变量间的相关关系，考查中位数，解题的关键是理解正线性相关关系，属于基础题．4．程序框图如图所示：如果输入x=5，则输出结果为（）A．325 B．109 C．973 D．295【考点】程序框图．【专题】计算题；数形结合；定义法；算法和程序框图．【分析】方法一：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量x的值，并输出．模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．方法二：由程序框图可知：此问题相当于先求出满足以下条件：数列{a n}的a1=5，a n+1=3a n﹣2，要求其通项公式第一次大于或等于200时即输出其值．【解答】解：方法一：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x 是否继续循环循环前5/第一圈13 是第二圈37 是第三圈109 是第四圈325 否故最后输出的x值为325，方法二：由序框图可知：此问题相当于先求出满足以下条件数列的通项公式，数列{a n}的a1=5，a n+1=3a n﹣2，当a n≥200时，即输出a n．∵a n+1=3a n﹣2，∴a n+1﹣1=3（a n﹣1），∵a1﹣1=5﹣1=4≠0，∴数列{a n}是以4为首项，3为公比的等比数列，∴an﹣1=4×3n﹣1，∴an=4×3n﹣1+1，令4×3n﹣1+1≥200，解得n≥5．故当n=5时，输出的x应是4×34+1=325．选：A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（）A．3次B．4次C．5次D．6次【考点】用辗转相除计算最大公约数．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】我们根据“以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．”的原则，易求出98和63的最大公约数．统计减法次数可得答案．【解答】解：用“更相减损术”求98和63的最大公约数，98﹣63=35，63﹣35=28，35﹣28=7，28﹣7=21，21﹣7=14，14﹣7=7，共需要6次减法运算，故选：D【点评】本题考查的知识点是最大公因数和更相减损术，更相减损术的方法和步骤是：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止．6．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134，则样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【考点】频率分布表．【专题】计算题．【分析】从所给的十个数字中找出落在所要求的范围中的数字，共有4个，利用这个频数除以样本容量，得到要求的频率．【解答】解：∵在125 120 122 105 130 114 116 95 120 134十个数字中，样本数据落在[114.5，124.5）内的有116，120，120，122共有四个，∴样本数据落在[114.5，124.5）内的频率为=0.4，故选C【点评】本题考查频率分布表，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中，有的省份也会以大题的形式出现，把它融于统计问题中．7．从学号为1号至50号的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（）A．1，2，3，4，5 B．5，15，25，35，45C．2，4，6，8，10 D．4，13，22，31，40【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】计算系统抽样的抽取间隔，由此可得答案．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，由此可得所选5名学生的学号间隔为10，由此判定B正确，故选：B．【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样方法的特征是解题的关键．8．给出以下四个问题：①输入一个正数x，求它的常用对数值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数的函数值．其中不需要用条件语句来描述其算法的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】条件语句；设计程序框图解决实际问题．【专题】阅读型．【分析】对于选项①，②值，代入相应的公式求即可，对于选项③，④值域代入相应的公式时需要分类讨论，故要用到条件语句来描述其算法．【解答】解：对于①输入一个正数x，求它的常用对数值，代入lgx求即可；对于②，求面积为6的正方形的周长，代入a2求即可；对于③，求三个数a，b，c中的最大数，必须先进行大小比较，要用条件语句；对于④，求函数的函数值，必须对所给的x进行条件判断，也要用条件语句．其中不需要用条件语句来描述其算法的有2个．故选B．【点评】本题考查算法适宜用条件结构的问题，是在解决时需要讨论的问题．属于基础题．9．向顶角为120°的等腰三角形ABC（其中AC=BC）内任意投一点M，则AM小于AC的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【专题】数形结合；定义法；概率与统计．【分析】根据几何概型的概率公式求出满足条件的区域对应的面积即可得到结论．【解答】解：若AM小于AC，则M位于阴影部分，∵∠C=120°，∴∠A=30°，则三角形ABC的面积为S△ABC==×AC2=AC2，扇形的面积S=AC2=πAC2，则对应的概率P===，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．10．某大学共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（）A．80 B．40 C．60 D．20【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．【解答】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，∴三年级要抽取的学生是=40，故选B．【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．11．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】程序框图．【专题】计算题；整体思想；定义法；推理和证明．【分析】算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．12．甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（）A． B． C． D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是，再把这2个概率相加，即得所求．【解答】解：白球没有减少的情况有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是=，故所求事件的概率为=，故选C ．【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上.） 13．把xx 转化为二进制数为 11111100000（2） ．【考点】进位制．【专题】计算题；转化思想；转化法；算法和程序框图．【分析】利用“除k 取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：xx ÷2=1008 01008÷2=504 0504÷2=252 0252÷2=126 0126÷2=63 063÷2=31 (1)31÷2=15 (1)15÷2=7 (1)7÷2=3 (1)3÷2=1 (1)1÷2=0 (1)故xx （10）=11111100000（2）故答案为：11111100000（2）【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k 取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．14．如图是某学校抽取的n 个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为18，则n 的值是 48 ．【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】根据频率和为1，求出前3个小组的频率和以及第3小组的频率，再求样本容量n的值．【解答】解：根据频率分布直方图，得从左到右的前3个小组的频率和为：1﹣（0.0375+0.0125）×5=0.75；又这三组频率之比为1：2：3，∴第3小组的频率为×0.75=0.375，且对应的频数为18，∴样本容量n==48．故答案为：48．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．15．用秦九韶算法求多项式：f（x）=1+x+2x2+3x3+4x4+5x5+7x7在x=2的值时，v3的值为70．【考点】秦九韶算法．【专题】算法和程序框图．【分析】根据秦九韶算法先别多项式进行改写，然后进行计算即可．【解答】解：根据秦九韶算法，把多项式改成如下形式解：f（x）=7x7+0x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+1=（（（（（（7x+0）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x+1 当x=2时，v1=7×2+0=14，v2=14×2+5=33，v3=33×2+4=70，故答案为：70【点评】本题主要考查秦九韶算法的应用，根据秦九韶算法的步骤把多项式进行改写是解决本题的关键．16．日前，广佛肇城际轨道已开通投入运营，假设轻轨列车每15分钟一班，在车站停2分钟，则乘客到达站台能立即上车的概率是．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是轻轨列车每15分钟一班，共有15分钟，满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只有2分钟，根据概率等于时间长度之比，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是轻轨列车每15分钟一班，共有15分钟满足条件的事件是乘客到达站台立即乘上车，只要2分钟，记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，∴事件A发生的概率P=，故答案为：．【点评】本题是一个等可能事件的概率，概率之比是时间长度之比，是一个不能列举出的事件数，是一个几何概型，注意解题的格式．三、解答题（本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．若二进制数100y011和八进制数x03相等，求x+y的值．【考点】进位制．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；算法和程序框图．【分析】直接利用进位制运算法则化简求解即可．【解答】解：100y011=1×26+y×23+1×2+1=67+8y，x03=x×82+3=64x+3，∴67+8y=64x+3，∵y=0或1，x可以取1、2、3、4、5、6、7，y=0时，x=1；y=1时，64x=72，无解；∴x+y=1．【点评】本题考查进位制的应用，函数与方程思想的应用，考查计算能力．18．（1）函数，编写出求函数的函数值的程序（使用嵌套式）；（2）“求的值．”写出用基本语句编写的程序（使用当型）．【考点】绘制简单实际问题的流程图．【专题】算法和程序框图．【分析】（1）根据题目已知中分段函数的解析式，根据分类标准，设置两个选择语句的并设置出判断的条件，再由函数各段的解析式，确定判断条件的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可编写满足题意的程序．（2）这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法．【解答】解：（1）INPUT“x=”；xIF x＞=0 and x＜=4 THENy=2*xELSE IF x＜=8 THENy=8ELSEy=2*（12﹣x）END IFEND IFPRINT yEND …（2）．S=0K=1DOs=s+1/k（k+1）k=k+1LOOP UNTIL k＞99PRINT sEND …【点评】本题考查了设计程序框图解决实际问题，（1）主要考查编写程序解决分段函数问题．（2）主要考查利用循环结构进行累加．19．在某幼儿园的美术课上，老师带领小朋友用水彩笔为本子上两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色．小朋友豆豆可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色、蓝色、紫色各一支．（1）豆豆从他可用的五支水彩笔中随机取出两支按老师要求给气球涂色，求两个气球同为冷色的概率．（2）一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟，豆豆至少需要2分钟完成该项任务．老师发出开始指令1分钟后随时可能来到豆豆身边查看涂色情况．求当老师来到豆豆身边时，豆豆已经完成任务的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；简单线性规划．【专题】概率与统计．【分析】（1）由题意得到两个气球共20种涂色方案，其中有6种全冷色方案．由此能求出两个气球同为冷色的概率为；（2）老师发出开始指令起计时，设豆豆完成任务的时刻为x，老师来到豆豆身边检查情况的时刻为y，利用几何概率能求出老师来到豆豆身边时豆豆完成任务的概率．【解答】答案：（1）如下表格，假设非同冷色为1，同为冷色为2，红色橙色绿色蓝色紫色红色0 1 1 1 1橙色1 0 1 1 1绿色1 1 0 2 2蓝色1 1 2 0 2紫色1 1 2 2 0易知两个气球共20种涂色方案，其中有6种全冷色方案，故所求概率为：．（2）老师发出开始指令起计时，设豆豆完成任务的时刻为x，老师来到豆豆身边检查情况的时刻为y，则由题有…式①，若当老师来到豆豆身边时豆豆已经完成任务，则…式②，如图所示，所求概率为几何概型，阴影部分（式②）面积为×（10﹣2）×（10﹣2）=32，可行域（式①）面积为（10一1）×（10﹣2）=72，所求概率为．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可行域的合理运用．20．已知集合A=[﹣2，2]，B=[﹣1，1]，设M={（x，y）|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素（x，y）．（1）求以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率；（2）求以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】（1）画出区域，其面积表示所有基本事件，此圆x2+y2=1的面积表示满足条件的基本事件，所求为面积比；（2）由以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于，求出x，y满足的关系，得到区域面积，求面积比．【解答】解：（1）由题意，画出区域，如图，所求概率满足几何概型，所以所求为圆的面积与矩形面积比，所以以（x，y）为坐标的点落在圆x2+y2=1内的概率为；（2）由以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于，所以，即|x+y|≤1，满足条件的事件是图中阴影部分，所以以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率为．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，关键是将所求的概率利用基本事件的集合度量即区域的长度或者面积或者体积表示，求比值．21．运行如图所示的程序框图，当输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7．（Ⅰ）求实数a，b的值；并写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求满足不等式f（x）＞1的x的取值范围．【考点】程序框图．【专题】综合题；算法和程序框图．【分析】（I）算法的功能是求f（x）=的值，根据输入实数x的值为﹣1时，输出的函数值为2；当输入实数x的值为3时，输出的函数值为7求得a、b；（II）分别在不同的段上求得函数的值域，再求并集．【解答】解：（Ⅰ）由程序框图知：算法的功能是求f（x）=的值，∵输入x=﹣1＜0，输出f（﹣1）=﹣b=2，∴b=﹣2．∵输入x=3＞0，输出f（3）=a3﹣1=7，∴a=2．∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：①当x＜0时，f（x）=﹣2x＞1，∴；②当x≥0时，f（x）=2x﹣1＞1，∴x＞1．综上满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为或x＞1}．【点评】本题借助考查选择结构程序框图，考查了分段函数求值域，解题的关键是利用程序框图求得分段函数的解析式．22．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门组织抽取了100间学生宿舍某月用电量调查，发现每间宿舍用电量都在50度到350度之间，其频率分布直方图如图所示．（1）为降低能源损耗，节约用电，学校规定：每间宿舍每月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；超过200度，超过部分按每度1元收取费用．以t表示某宿舍的用电量（单位：度），以y表示该宿舍的用电费用（单位：元），求y与t的函数关系式？（2）求图中月用电量在（200，250]度的宿舍有多少间？（3）在直方图中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，宿舍用电量落入该区间的频率作为宿舍用电量取该区间中点值的频率（例如：若t∈[150，200），则取t=175，且t=175发生的频率等于落入[150，200）的频率），试估计我校学生宿舍的月均用电费用．【考点】频率分布直方图．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）按分段函数求出宿舍的用电费用函数；（2）利用频率=，计算对应的频数即可；（3）利用频率分布直方图估算我校学生宿舍的月均用电费用是多少．【解答】解：（1）根据题意，得；当0≤t≤200时，用电费用为y=0.5x；当t＞200时，用电费用为y=200×0.5+（t﹣200）×1=t﹣100；综上：宿舍的用电费用为y=；（2）∵月用电量在（200，250]度的频率为50x=1﹣（0.0060+0.0036+0.0024+0.0024+0.0012）×50=1﹣0.0156×50=0.22，∴月用电量在（200，250]度的宿舍有100×0.22=22（间）；（3）估计我校学生宿舍的月均用电费用为75×0.0024×50+125×0.0036×50+175×0.0060×50+225×0.22+275×0.0024×50+325×0.0012×50=186（度）．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了利用直方图求平均数的应用问题，是基础题目．。
福建省莆田市2019-2020学年高一数学下册期中检测题-附答案(已审阅)
莆田第二十五中学2019-2020学年下学期期中质量检测试卷高一数学一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线30x y -+=的倾斜角是 （ ） A 、300 B 、450 C 、600 D 、9002、从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数的和是奇数的概率是( ). A ．32B ．31C ．43D ．413.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）A ．56B.56 C 2D24若圆C 与圆1)1()2(22=-++y x 关于原点对称，则圆C 的方程是（ ） A ．1)1()2(22=++-y x B ．1)1()2(22=-+-y x C ．1)2()1(22=++-y x D ．1)2()1(22=-++y x 5输入x ＝5，运行下面的程序之后得到y 等于( ) A.13 INPUT x B.14 IF x<0 THEN C.15 y=(x+1)*(x+1) D.16 ELSEy=(x-1)*(x-1)END IFPRINT y END6某厂共有1000名员工，准备选择50人参加技术评估，现将这1000名员工编号为1到1000，准备运用系统抽样的方法抽取，已知在第一部分随机抽取到的号码是15，那么在最后一部分抽到员工的编号是（ ）A ．965B ．975C ．985D ．9957.5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是 （ ）A ．至少有1件次品与至多有1件正品B ．至少有1件次品与都是正品C ．至少有1件次品与至少有1件正品D ．恰有1件次品与恰有2件正品 8.图是根据某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况画出的茎叶图．则甲、乙两名运动员成绩比较( )A 甲比乙稳定B 乙比甲稳定C 甲、乙稳定程度相同D 无法确定9右图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[14,18)内的频数是12，则样本数据落在[6,10)的频数是（ ）A. 12 B ．16 C. 18 D ．2010.给出的是计算10181614121++++的值的一个流程图,其中判断框内应填人的条件是( )A 10>iB 10≥iC 5>iD 5≥i11.，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为66颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积为( )A . 5.28B . 16.32C . 17.28D . 18.7212. 圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A 2 B 21+ C 221+D 221+ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 某工厂有A,B,C 三种不同型号的产品,三种产品的数量比为3:4:7,现用分层抽方法，从中抽出一个容量为n 的样本进行检验，该样本中A 型号产品有9件，则n=14直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为 ．15.已知球O 是正方体1111D C B A ABCD -的内切球，则在正方体1111D C B A ABCD -内任取一点M,点M 在球O 外的概率是__________16．执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=三.解答题（本大题共5个小题，共56分.解答应写出过程或演算步骤)17．已知圆C 的圆心在直线l ：012=--y x 上，并且过原点和点A （1，2）， 求圆C 的标准方程.18. （10分）在长方体中，|OA |=6，|OC |=8，|D O '|=4，（1）写出D C C B A ''''、、、、四点的坐标 （2）求出C A '的长.（3）求AC ’与BB ’所成角的余弦值。
莆田一中2019-2020学年度下学期期中测试答案答案
莆田一中2019-2020学年度下学期期中测试答案1.D（强加因果，偷换概念。
根据文意，“有其内在价值”的是生态哲学范式对自然的认识）2.A(B应该是在西方启蒙理性的局限性的基础上揭示了现代性价值体系的缺陷。
C文章以破为主D文章没有比喻论证）3.C“让人类错失自由与幸福”与文意不符。
另外“资本主义现代化实践以此为指导”中“此”在选项中指“现代性价值体系认为经济的增长就是人类幸福的全部”这一观点，而原文的意思是“资本主义现代化实践”以“现代性价值体系”为指导，而现代化价值体系缺陷有二。
所以此处以偏概全。
4.B．并非“直面”恶势力，是暗中斗争。
5.第一阶段：“我”质疑他所说的规定，他坚决执行；第二阶段：“我”以曾经取过款再次反驳他，他仍以年龄为由拒绝了孩子。
第三阶段：孩子离开后，我继续与银行职员争吵，直到他说出原因。
（答对两个阶段得2分，答对三个阶段得出4分）6.人物塑造上，“我”武断地“横插一杠”，从侧面衬托银行职员的细心谨慎、尽职尽责。
从主题上看，“我”的正直热心、仗义执言，与银行职员对男孩利益的暗中保护相映衬，更能让读者感受到文中宣扬的社会正气。
7.选A。
B.相分卿、大夫、士三个等级，小相指最低的士这一等级。
C.牛、羊、猪各一头叫“太牢”，用羊、猪各一头叫“少牢”。
天子祭祀社稷用太牢，诸侯祭祀用少牢。
D.刘邦曾当过亭长，但并非乌江亭长。
8.选B。
①③形容词作名词，②⑥名词作动词，④名词作状语，⑤⑦使动用法9.选D。
A.成立：古义，成长立业。
今义，创立、建立。
B.文章：指大自然中各种美好的形象C.智力：指智谋和力量。
10.选B。
A.①②是判断句，B.①被动句②状语后置/省略句C.①②被动句，D.①②状语后置11.选D。
A.希，通“稀”B.“伏”通“服”C.而，通“尔”12.选C.①②或者，A.①是非准则②方圆，B.①被宠幸，②希望，D.①近来②到13.选C。
A.①指示代词，指代小孤山②表选择的连词B.①表转折②表承接C.①②都是两次之意D.①副词，实在②副词，果真14.选B.①②都是看望。
福建省莆田市2020年高一下学期期中数学试卷A卷
福建省莆田市2020年高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分） (2016高一下·武城期中) 已知，则cosα﹣sinα=________．2. （1分）已知点是角α终边上一点且，则y=________．3. （1分） (2016高一下·上海期中) 已知tanα=3，则=________．4. （1分） (2016高一下·高淳期中) 函数的最小正周期是________．5. （1分） (2017高一上·蓟县期末) 给出下列五个命题：①函数的一条对称轴是x= ；②函数y=tanx的图象关于点（，0）对称；③正弦函数在第一象限为增函数；④若，则x1﹣x2=kπ，其中k∈Z；⑤函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围为（1，3）．以上五个命题中正确的有________（填写所有正确命题的序号）6. （1分） (2017高三上·长葛月考) 若函数的图象相邻的两个对称中心为，将的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象，则 ________.7. （1分） (2018高一下·北京期中) 已知正方形ABCD的边长为1，设，，，则 ________.8. （1分）(2018高三上·西安期中) 在△ABC中,M为边BC的中点,N为线段BM的中点.若,则的最小值为________。
9. （1分）(2017·天津) 在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ，=λ ﹣（λ∈R），且 =﹣4，则λ的值为________．10. （1分）若0＜α＜，cos（+α）= ，则cosα=________．11. （1分）(2018·吉林模拟) 设为第二象限角,若,则 ________12. （1分）(2017·佛山模拟) 已知0＜x＜，且tan（x﹣）=﹣，则sinx+cosx=________．13. （1分）已知，则tanθ=________．14. （1分）已知α、β均为锐角且sin α＝，cos β＝，则α－β的值为________.二、解答题： (共6题；共60分)15. （5分）已知tanα=﹣，α∈（，π），cosβ=﹣，β是第三象限角，求cos （α﹣β）的值．16. （10分） (2016高一下·新乡期末) 已知与均为单位向量，它们的夹角为60°．（1）求| ﹣3 |（2）若x ﹣与+x 垂直，求x的值．17. （10分）函数（A＞0，ω＞0），其图象相邻两条对称轴之间的距离为（1）求函数f（x）的解析式；（2）当时，求f（x）的最大值．18. （15分）如图，已知四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD，E是边SB的中点．（1）求证：CE∥平面SAD；（2）取BC中点M，求证平面SAC⊥平面SMD；（3）求三棱锥S﹣ECD与四棱锥E﹣ABCD的体积比．19. （10分） (2016高三上·黄冈期中) 已知向量 =（sinx，）， =（cosx，﹣1）．（1）当∥ 时，求tan（x﹣）的值；（2）设函数f（x）=2（ + ）• ，当x∈[0， ]时，求f（x）的值域．20. （10分） (2019高二上·郑州期中) 在中，内角，，的对边分别是，，，且 .（1）求角的大小；（2）若，与在两侧，，求面积的最大值.参考答案一、填空题： (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题： (共6题；共60分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、。
福建省莆田第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
福建省莆田第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．若,,,a b c d R ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc > C ．若0a b <<，则11a b< D ．若a b >，则33a b >2．已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},B={x|x 2-2x-3<0},则A ∩B=( ) A ．{-1,0} B ．{0,1,2} C ．{-1,0,1}D ．{-2,-1,0}3．在△ABC 中，若BC =√5，sinC =2sinA ，则AB =( ) A ．2√5B ．3√5C ．4√5D ．5√54．在数列{}n a 中，12a =，24a =，且1120(2)n n n a a a n +-++=≥，则4a =（ ） A ．22B ．-22C ．16D ．-165．在 ABC ∆ 中，若sin()cos cos()sin 1A B B A B B -+-≥，则ABC ∆ 是（ ） A ．锐角三角形； B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．直角三角形或钝角三角形6．若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，， 则x + 2y 的最大值为A ．1B ．3C ．5D ．97．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2B ．12C ．3D ．138．已知不等式210ax bx --≥的解集是11[,]23--,则不等式20x bx a --<的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(,2)(3,)-∞⋃+∞ C ．11(,)32D ．11(,)(,)32-∞⋃+∞9．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ）A ．1y=x+xB ．1πy=cosx+(0<x<)cosx 2C．2 D ．xx4y=e +2e － 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，*12()n n n a S nn ++∈=N ，则n a =( ) A ．1(1)2n n -+B ．2n n ⋅C ．31n -D ．123n n -⋅11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20200S >，20210S <，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为( ) A ．1009B ．1010C ．1011D ．101212．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6tan tan tan A B C A+⋅的最小值为（ ）ABCD ．3213．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________.14．若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是__________．15．在ABC V 内角,,A B C 的对边,,a b c 满足22223a b c +=，则cos C 的最小值为______.16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*11111N n n n n S S a +⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，且112a =-，则20191S =__________.17．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =. (1)求B 的大小．(2)若a =，5c =，求b .18．已知等差数列{}n a 满足22a =，58a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{}n b 中，11b =，234b b a +=，求{}+n n a b 的前n 项和n T .19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且=21,n n S a n N *-∈.（1）求证：{}n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若22log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且3AD =，6CD =，2cos 3B =.（1）求ACD V 的面积； （2）若6AB =，求BC 的长.21．如图，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？ 22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*122n n N S a n =-∈，数列{}n b 满足11b =，点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项n a 和n b ； （2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）若0λ>，求对所有的正整数n 都有2222nnb k a λλ-+>成立的k 的范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合特殊值法对A 、B 二个选项进行判断，利用作差比较法对选项C 、D 进行判断. 【详解】A ：根据不等式的性质可知当0a b >>，0c d >>时，能得到ac bd >.例如当0,1a b ==-，0,1c d ==-，显然a b >，c d >成立，但是ac bd >不成立，故本选项说法不正确；B ：当0c =时，显然22ac bc >不成立，故本选项说法不正确；C ：111111,0,0,00b a b a a b ab b a a b ab a b ab a b---=<<∴>->∴-=>⇒>Q ，故本选项说法不正确；D ：33222213()()()[()],24a b a b a ab b a b a b b -=-++=-++223333130,()0024a b a b a b b a b a b >∴->++>⇒->⇒>Q ，故本选项说法是正确的.故选：D 【点睛】本题考查了不等式的性质应用，考查了作差比较法的应用，考查了数学运算能力. 2．B 【解析】由x 2-2x -3<0解得-1<x<3， 故B={x|-1<x<3}．又A={-2，-1，0，1，2，3}， ∴A∩B={0，1，2}．选B ． 3．A 【解析】 【分析】由sinC =2sinA 利用正弦定理可得AB =2BC ，结合BC =√5可得结果． 【详解】利用正弦定理化简sinC =2sinA ，得：AB =2BC ， ∵BC =√5，∴AB =2√5，故选A ． 【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 4．C 【解析】 【分析】由数列的递推关系，带入1a ，2a ，即可求出3a ，再将23,a a 带入，即可求出4a 。
福建省莆田第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题及答案
则 tan C tan C
．
tan A tan B
16．菱形 ABCD 中， AB 2 ， DAB 120 ，将CBD 沿 BD 折起，C 点变为 E 点，当四面体
E ABD 的体积最大时，四面体 E ABD 的外接球的面积为
．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应写出文字说明、证
（）
A．
CE
1
AD
AC
3
C． CE
2
AB
8
AC
99
B． CE
1
AD
AC
3
D． CE
2
AB
8
AC
99
10.
在 ABC
中，内角 A, B,C
的对边分别为 a, b, c ，已知 cos B cos C
b 2a c
，S△ABC
33 4
，且 b
3，
则（
）
A． cos B 1 2
在 ABC 中，由正弦定理得 AB sin ACB
BC sin BAC
50 ，即 sin 8
BC sin 45
，
所以 BC 50 0.7 250 0.14
在 RtBDC 中， sin BCD BD ，即 sin 37 BD ，
BC
250
所以 BD 250 0.6 150 ， 所以山高 BE BD DE 150 1.5 151.5 152 m．
mb nc 4n m, 2m n ，
a
mb
nc
，
a
(3,
2)
4n
m,
2m
n
福建高一下学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题 1．复数（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） 1i1i+-A ．1 B ．C ．D ．1-i i -【答案】B 【分析】先对复数化简，再求其共轭复数，从而可求得答案 1i1i+-【详解】因为， ()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2++++===--+所以其共轭复数为，则其虚部为， i -1-故选：B2．已知，均为单位向量，它们的夹角为，则（ ）a b120︒|3|a b +=A B ． C D ．137【答案】A【分析】先由题意，求出，再由向量模的计算公式，即可求出结果.a b ⋅【详解】因为，均为单位向量，它们的夹角为，a b60︒所以，1cos1202a b a b ⋅=⨯⨯=-因此3a = 故选：A.3．已知，则的值为（ ）()()cos74,sin14,cos14,sin74a b == a b ⋅A ．0B ．C D ．112【答案】B【分析】利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换求解即可．【详解】解：因为，()()cos74,sin14,cos14,sin74a b ==．1cos 74cos14sin14sin 74cos(7414)cos 602a b ∴⋅=+=-==故选：B ．4．在中，，是，所对的边，已知，则的形状是（ ） ABC A a b A ∠B ∠a cosB bcos A =ABC A A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】B【分析】由正弦定理得，化简得,即得解. sin sin A cosB Bcos A =in 0()s A B -=【详解】由正弦定理得， sin sin A cosB Bcos A =所以， sin sin 0A cosB cos A B -=所以, in 0()s A B -=因为, ,(0,)A B π∈所以. 0,A B A B -=∴=所以三角形是等腰三角形. 故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．要得到函数的图像，只需要将函数的图像 2sin 2y x=2cos 2y x x =-A ．向右平移个单位 B ．向右平移个单位 6π12πC ．向左平移个单位D ．向左平移个单位6π12π【答案】D【详解】试题分析：根据题意，由于将函数的图像向左平移个2cos 2=2sin(2)6y x x x π=--12π单位得到，可知成立，故答案为D.=2sin(2+2126y x x ππ-（）【解析】三角函数图像的变换点评：主要是考查了三角函数的图象的平移变换的运用，属于基础题．6．设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）||5,||3,a b a == b120︒a b A ．B ．C ．D ． 56b 56b - 310b 310b -【答案】B【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.【详解】在上的投影向量为：a b. 2215cos120cos1205236a b a a b b b b b b b b b ⎛⎫⨯- ⎪⋅︒⋅︒⋅⎝⎭⋅=⋅=⋅=⋅=- 故选：B7．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为AB，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂顶的仰角分别35m M B M D A C 是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则犇犇估算索菲亚教堂的高度约为（结果45︒60︒A C 15︒CD 保留整数）（ ）A ．B ．C ．D ．44m 47m 50m 53m 【答案】D【分析】在，由边角关系得出，再由正弦定理计算出中的Rt ABM A AM =ACM △，最后根据直角三角形算出即可.CM =DCM CD 【详解】解：由题意知：，，所以， 60CAM ∠=︒75AMC ∠=︒45ACM ∠=︒在中，，Rt ABM A sin sin 45AB ABAM AMB ===∠︒在中，由正弦定理得，ACM △M Msin 45sin 60A C =︒︒所以，sin 60sin 45AM CM ︒===︒在中，，Rt DCM A 3sin 60 1.53552.5532CD CM AB =⋅︒==⨯=≈故选：D.8．已知函数满足对恒成立，则函数 ()sin(2)f x x ϕ=+()()f x f a ≤x R ∈A ．一定为奇函数 B ．一定为偶函数 ()f x a -()f x a -C ．一定为奇函数 D ．一定为偶函数()f x a +()f x a +【答案】D【详解】由题意得，时，则，，所以()sin(2)1f x a ϕ=+=222a k πϕπ+=+k ∈Z ，此时函数为偶函数，故选D ．()sin(22)sin(22)cos 22f x a x a x k x πϕπ+=++=++=二、多选题9．已知向量，，则（ ）(2,1)a =(3,1)b =-A ．()a b a +⊥ B ．向量在向量上的投影向量是a bC ．|2|5a b +=D ．与向量共线的单位向量是a【答案】AC【分析】由向量垂直的坐标表示，数量积的定义，模的坐标表示，共线向量的坐标表示及单位向量的定义计算后判断．【详解】解：因为向量，，故，(2,1)a = (3,1)b =- 5a b ⋅=- 对于A ，，所以，所以，故A 正确； (1,2)a b +=- ()2(1)210a b a +⋅=⨯-+⨯= ()a b a +⊥对于B ，向量在向量上的投影向量是，（注a b 2251||cos ||(3)12||||||||||b a bb a b a a b b b b a b b b θ⋅⋅-⋅=⋅⋅=⋅==--+是向量的夹角），故B 错误；:θ,a b对于C ，，所以，故C 正确；2(4,3)a b +=- |2|5a b +==对于D ，共线的单位向量是，即或，故D 错误. a ||a a ± (故选：AC.10．若复数满足，则（ ） z ()12i 10z -=A ． 24i z =-B ．是纯虚数2z -C ．复数在复平面内对应的点在第三象限z D ．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则z αsin α【答案】AB【分析】对于A ：计算出复数的代数形式即可判断； z 对于B ：求出的代数形式即可判断；2z -对于C ：求出复数在复平面内对应的点即可判断其位置； z 对于D ：通过复数在复平面内对应的点求出即可判断. z sin α【详解】对于A ：，，A 正确； ()()()1012i 1024i 12i 12i 12i z +===+--+24i z ∴=-对于B ：，为纯虚数，B 正确；224i 24i z -=+-=对于C ：，其在复平面内对应的点为，在第一象限，C 错误； 24z i =+()2,4对于D ：复数在复平面内对应的点为，则，D 错误. z ()2,4sin α=故选：AB.11．已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>0πϕ<<的是（ ）．A ．函数的图象关于直线对称 ()f x π2x =B ．函数的图象关于点对称()f x π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．函数在区间上单调增()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为1y =()π23π1212y f x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭8π3【答案】BCD【分析】现根据图像求出函数的解析式，再根据图像性质对每个选项进行判断即可. ()f x 【详解】由图可知，，即， 2A =2543124T πππ=-=T π=因，且，故，因此，2T ωπ=0ω>2ω=()2sin(2)f x x ϕ=+又因的图像过点，所以 ， ()y f x =2,23π⎛⎫-⎪⎝⎭222,32k k Z ππϕπ⨯+=-+∈因，故，因此.0<<πϕ6πϕ=()2sin(26f x x π=+对于选项A ，由，得的对称轴为， 262x k πππ+=+()y f x =,62k x k Z ππ=+∈故不是函数的对称轴，因此A 错；2x π=()f x 对于选项B ，由，得函数的对称中心为，， 26x k ππ+=()f x ,0122k ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭Z k ∈故函数的图像关于点对称，因此B 正确；()f x ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对于选项C ，由，222262k x k πππππ-+≤+≤+得函数的单增区间为，，()f x ,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈故函数在区间上单调递增，因此C 正确；()f x ,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于选项D ，由，做出如下图形：()2sin(2)6f x x π=+由图可知，函数与的图像在上有4个交点，1y =()y f x =23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦则这4个交点的横坐标之和为，故D 正确.7822663πππ⨯+⨯=故选：BCD.12．在中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且，则下列说法正ABC A 23cos 3cos b C c B a +=确的是（ ） A ． 3a =B ．若，且有两解，则b 的取值范围为 π4A =ABC A ⎡⎣C ．若，且为锐角三角形，则c 的取值范围为 2C A =ABC A (D ．若，且，O 为的内心，则 2A C =sin 2sin B C =ABC A AOB S =△【答案】ACD【分析】选项A ：根据条件求出；选项B ：由余弦定理得23cos 3cos b C c B a +=3a =，将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,求得b 的取值范围；229b c =+c 选项C ：根据正弦定理得，利用为锐角三角形求角A 的范围，从而求边的范围；6cos c A =ABC A c 选项D ：利用正弦定理求出角，从而判断出是直角三角形，利用等面积法求的内切C ABC A ABC A 圆半径，从而求的面积.AOB A 【详解】解：对于A 选项，因为，23cos 3cos b C c B a +=所以由正弦定理，得,即 ， 3sin cos 3sin cos sin B C C B a A +=()3sin sin B C a A +=因为，所以，且，所以，A 选项正确； πA B C ++=()sin sin B C A +=sin 0A ≠3a =对于B 选项，由余弦定理得， 2222cos a b c bc A =+-229b c =+将此式看作关于的二次方程,由题意得此方程有两个正解,c 2209c b +-=故 ,解得，所以选项B 错误；()22290)490b b ⎧->⎪⎨-->⎪⎩(b ∈对于C 选项，由正弦定理，得 ，即 ， sin sin 2a cA A=2cos 6cos c a A A ==因为为锐角三角形，ABC A 所以 ，即，解得， π02π02π02A B C⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩ππ64A <<所以，故选项C 正确； (6cos c A =∈对于D 选项，因为，所以， sin 2sin B C =2b c =因为，所以， 2A C =()sin sin sin 3B A C C =+=所以由正弦定理，得，即， sin sin b c B C =2sin 3sin c c C C=sin 32sin C C =所以， sin 2cos cos 2sin 2sin C C C C C +=即，222sin cos 2cos sin sin 2sin CC C C CC +-=因为，所以，即， sin 0C ≠222cos 2cos 3C C +=23cos 4C =又因为， 2A C =所以，， ，是直角三角形，π6C =π3A =π2B =b c ==ABCA 所以内切圆的半径满足，即r ()1122ABC S a b c r ac =++=A ac r a b c ==++所以的面积为D 正确. AOB A 1122S cr ===故选：ACD.【点睛】方法点睛:在三角形中,常常隐含角的范围:①若已知一个角数，则另两角的范围不能是，如＝，则,特别是在求值域问题时会用到. (0,π)B π32π(0,)3A ∈②在锐角三角形中，不要只考虑，还要想到另外两角之和在内,若再知其中一π,,(0,)2A B C ∈π(,π)2角,要考虑其它角的范围,如＝，则,所以; B π32ππ32A C =-<ππ63C <<若知其中两角关系,也要考虑角的范围,如在本题中，综合三个角为锐角有,得2A C =π02π0π32π022A A A ⎧<<⎪⎪⎪<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩. ππ64A <<三、填空题13．已知非零向量与满足，则向量与夹角的余弦值为__________. a b ||4||,|2|||b a a b b =-=a b 【答案】/0.25 14【分析】利用向量数量积的运算律和向量的夹角公式计算即可.【详解】因为， ||4||,|2|||b a a b b =-=所以，，222a b b -= 22244a a b b b -⋅+= 所以，2a b a ⋅= 所以.221cos ,44a a b a b a b a ⋅===故答案为：1414．已知_____. sin cos 22θθ+=sin θ=【答案】13【分析】把等式. sin cos 22θθ+=【详解】由题得. 221sin cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=故答案为：13【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为 ，则(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩＋＝______.()5f 41()6f 【答案】/0.5 12【分析】根据函数的周期性和奇偶性及分段函数的性质求函数值. 【详解】解：由题意得：函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩ ∴()415(6f f +7(41)(86f f =++-7(1)(6f f =+-7(1)(6f f =- 71(11)sin(6π=⨯-- 12=故答案为：1216．在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点，z z |1||i |z z -=+i 02i z =+0Z 对应的点为点，则点与点之间距离的最小值_________________ Z 0Z Z【分析】根据已知条件，集合复数模公式，求出点Z 的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】设， i(,R)z x y x y =+∈，|1||i |z z -=+,|1i ||(1)i |x y x y ∴-+=++化简整理可得 ，0x y +=复数的对应点的轨迹，∴z Z 0x y +=对应的点为点，02i z =+ 0(2,1)Z点与点， ∴0Z Z=四、解答题17．平面内给定三个向量，，.(3,2)a =(1,2)b =- (4,1)c =(1)求； cos ,a b (2)求；|2|a b - (3)若，求实数k .()(2)a kc b a +⊥-【答案】(3) 1118-【分析】（1）根据平面向量夹角的坐标公式即可求解； （2）根据平面向量模长公式的坐标表示即可求解； （3）根据平面向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）解：因为，，(3,2)a =(1,2)b =-所以，，()31221a b ⋅=⨯-+⨯= a===所以 cos ,a b a b a b⋅===（2）解：因为，，所以， (3,2)a =(1,2)b =- ()()()223,21,27,2a b -=--= 所以；|2|a b -==（3）解：因为，，， (4,1)c =(43,2)a kc k k +=++ 2(5,2)b a -=- 又，()(2)a kc b a +⊥-所以，解得. ()()()435220k k +⨯-++⨯=1118k =-18．已知，计算下列各式的值． sin cos 3sin cos αααα+=-(1)；tan α(2).2sin 2sin cos 1ααα-+【答案】(1)2(2)1【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系，利用已知条件即可求出； sin tan cos ααα=tan α（2）根据同角三角函数的平方关系构造齐次式，再利用商数关系化简，代入求值即可.【详解】（1）解：已知，化简， sin cos 3sin cos αααα+=-得，所以. 4cos 2sin αα=sin tan 2cos ααα==（2） 22222222sin 2sin cos tan 2tan 222sin 2sin cos 1111sin cos tan 121ααααααααααα---⨯-+=+=+=++++.1=19．已知、，是虚数单位，若复数与互为共轭复数.a b ∈R i 1i z a =-22i z b =+(1)判断复平面内对应的点在第几象限；2z (2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围.()218m z m --m 【答案】(1)第一象限(2)(2,6【分析】（1）根据共轭复数的定义可求出、的值，利用复数的几何意义可得出结论； a b （2）利用复数的四则运算化简复数，利用复数的几何意义可出关于实数的不等式()218m z m --m 组，解之即可.【详解】（1）解：因为、，是虚数单位，若复数与互为共轭复数， a b ∈R i 1i z a =-22i z b =+则，所以，，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限. 21a b =⎧⎨=⎩22i z =+2z ()2,1（2）解：由（1）可得，12i z =-， ()()()()()2222182i 828122i 12322i m z m m m m m m m m m --=-+-=---+-=-++-因为复数在复平面内对应的点在第二象限， ()218m z m --则，解得2123020m m m ⎧-+<⎨->⎩26m <<因此，实数的取值范围是. m (2,620．已知向量，，. )a = ()cos ,sinb x x = ()0,πx ∈(1)若，求的值；a b ⊥ x(2)若，且的值. ()f x a b =⋅ ()f α=πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) 23π(2) 59-【分析】（1）根据题意得到即可得到答案. tan x =()0,πx ∈（2）首先根据题意得到，再根据πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭22ππ5cos 212sin 339αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可. π2ππsin 2sin 2632αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】（1）因为所以，所以a b ⊥ sin 0a b x x ⋅=+= tan x =由于，所以. ()0,πx ∈2π3x =（2）由 ()sin 2sin 3f x a b x x x π⎛⎫=⋅+=+ ⎪⎝⎭所以. ()π2sin 3f αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭而 22ππ5cos 212sin 339αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以. π2ππ2π5sin 2sin 2cos 263239ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21．的内角的对边分别为，已知.ABC A ,,A B C ,,a b c 120B =(1)若的值；1,a b ==A (2)若，求周长的最大值.3b =ABC A 【答案】(1)30(2)3+【分析】（1）由正弦定理求得，进而求得的大小； 1sin 2A =A （2）由余弦定理化简得到，结合基本不等式，求得的最大值，22()b a c ac =+-22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭a c +进而求得周长的最大值.ABC A【详解】（1）解：由正弦定理知，解得， sin sin b a B A =1sin A=1sin 2A =因为为钝角，所以.B 30A = （2）解：由余弦定理得， 2222222cos ()b a c ac B a c ac a c ac =+-=++=+-又由，则， 0,0a c >>22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭所以， 222239()()()24a c a c ac a c a c +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭所以时，等号成立，即的最大值为a c +≤a c =a c +所以周长的最大值为ABC A 3+22．为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地A B C D 点送餐.已知，，，且，.300m AB =200m AD =100m CD =AB CD ∥60BAD ∠=︒(1)求的长度.AC (2)假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速AB BC CD AD 250m /min 度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.【答案】(1)(2)8min【分析】（1）根据余弦定理即可求解；（2）根据余弦定理求解，进而得，由两角和与差的余弦公式可得，cos CAD ∠sin CAD ∠cos BAC ∠进而由余弦定理求解，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解.AB 【详解】（1）因为，，所以，AB CD ∥60BAD ∠=︒120ADC ∠=︒在中，由余弦定理，得ACD A AC. ==（2）在中，由余弦定理，得 ACD A 222cos 2AD AC CD CAD AD AC+-∠==⋅所以 sin CAD ∠==所以()11cos cos cos 22BAC BAD CAD CAD CAD ∠=∠-∠=∠∠==在中，由余弦定理，得ABC A 2222cos BC AC AB AC AB BAC =+-⋅⋅∠，解得. (22300230040000=+-⨯=200m BC =假设小夏先去地，走路线，路长，B A BCD ---600m假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长， C BC CD >A C D C B ----(400m +假设小夏先去地，走路线，路长，D A D C B ---500m由于500600400<<+所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为. A D C B ---500238min 250+⨯=。
第一中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析
【详解】A：根据不等式的性质可知当 ， 时，能得到 .例如当 ， ，显然 ， 成立，但是 不成立，故本选项说法不正确；
B:当 时,显然 不成立，故本选项说法不正确;
C： ，故本选项说法不正确；
D：
，故本选项说法是正确的.
则 , ，
（2）设等比数列 的公比为 ，
，且 .
， 或 。
又 ， ， ,
，
。
【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式基本量的计算以及前 项和公式,熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
19。已知数列 的前 项和为 ，且 。
（1)求证： 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 。
22.已知数列 的前 项和为 ， ,数列 满足 ，点 在直线 上．
福建省莆田第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.若 ，则下列说法正确的是（ ）
A。 若 , ,则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
21.如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB=ykm，并在公路同侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC，已知AB=AC1，且∠ABC= 60o．
（1）求y关于x的函数解析式；
5。在 中，若 ，则 是（ ）
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2019-2020学年福建省莆田一中高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（5分）若a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＜b＜0，则＜D．若a＞b，则a3＞b32．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0} 3．（5分）在△ABC中，若，sin C＝2sin A，则AB＝（）A．B．C．D．4．（5分）在数列{a n}中，a1＝2，a2＝4，且a n+1+2a n+a n﹣1＝0（n≥2），则a4＝（）A．22B．﹣22C．16D．﹣165．（5分）△ABC中，若sin（A﹣B）cos B+cos（A﹣B）sin B≥1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角三角形或钝角三角形6．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1B．3C．5D．97．（5分）在正项等比数列{a n}中，若a6，3a5，a7依次成等差数列，则{a n}的公比为（）A．2B．C．3D．8．（5分）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（）A．（2，3）B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）C．（）D．（﹣∞，）∪（，+∞）9．（5分）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A．y＝x+B．y＝cos x+（0＜x＜）C．y＝D．y＝10．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，（n∈N*），则a n＝（）A．（n+1）2n﹣1B．n•2n C．3n﹣1D．2n•3n﹣1 11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2020＞0，S2021＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1009B．1010C．1011D．101212．（5分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+2ab cos C ＝3b2，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若正数x，y满足x+3y＝5xy，则3x+4y的最小值是．14．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c满足a2+2b2＝3c2，则cos C的最小值为．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若，且，则＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A．（1）求角B的大小；（2）若a＝3，c＝5，求b．18．（12分）已知等差数列{a n}满足a2＝2，a5＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n}中，b1＝1，b2+b3＝a4，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1，n∈N*．（1）求证：{a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log2a2n，求数列的前n项和T n．20．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝3，．（1）求△ACD的面积；（2）若AB＝6，求BC的长．21．（12分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B 的正北方向的A处建一仓库，设AB＝ykm，并在公路同侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB＝AC+1，且∠ABC＝60°．（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣（n∈N*），数列{b n}满足b1＝1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2＝0上．（1）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（2）令c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n；（3）若λ＞0，求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞成立的k的范围．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）若a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＜b＜0，则＜D．若a＞b，则a3＞b3【分析】根据各选项的条件取特殊值或利用不等式的基本性质，即可判断．解：A．根据a＞b，c＞d，取a＝1，b＝﹣1，c＝2，d＝﹣2，则ac＞bd不成立，故A错误；C．由a＜b＜0，取a＝﹣3，b＝﹣1，则不成立，故C错误；故选：D．2．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0}【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解：由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B＝（﹣1，3），∴A∩B＝{0，1，2}，故选：B．3．（5分）在△ABC中，若，sin C＝2sin A，则AB＝（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理化简sin C＝2sin A，将BC的值代入求出AB的长即可．解：利用正弦定理化简sin C＝2sin A，得：AB＝2BC，∵BC＝，故选：A．4．（5分）在数列{a n}中，a1＝2，a2＝4，且a n+1+2a n+a n﹣1＝0（n≥2），则a4＝（）A．22B．﹣22C．16D．﹣16【分析】由已知结合数列递推式分别求解a3，a4的值得答案．解：由a n+1+2a n+a n﹣5＝0（n≥2），得a n+1＝﹣2a n﹣a n﹣1，∵a1＝2，a2＝4，∴a3＝﹣2a2﹣a1＝﹣10，故选：C．5．（5分）△ABC中，若sin（A﹣B）cos B+cos（A﹣B）sin B≥1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角三角形或钝角三角形【分析】逆用两角和的正弦可得sin A≥1，利用正弦函数的性质即可判断△ABC的形状．解：∵sin（A﹣B）cos B+cos（A﹣B）sin B＝sin[（A﹣B）+B]＝sin A≥1，∴sin A＝1．∴A＝．故选：B．6．（5分）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1B．3C．5D．9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．解：x，y满足的可行域如图：由可行域可知目标函数z＝x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，可得A（3，4），故选：D．7．（5分）在正项等比数列{a n}中，若a6，3a5，a7依次成等差数列，则{a n}的公比为（）A．2B．C．3D．【分析】正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比．解：正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，a6，3a8，a7依次成等差数列，可得6a5＝a6+a7，化为q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣5舍去），故选：A．8．（5分）已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（）A．（2，3）B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）C．（）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【分析】先根据不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，判断a＜0，从而求出a，b值，代入不等式x2﹣bx﹣a＜0，从而求解．解：∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，∴a＜0，﹣＝﹣﹣，＝，∴x2﹣bx﹣a＜3，∴（x﹣2）（x﹣3）＜0，故选：A．9．（5分）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A．y＝x+B．y＝cos x+（0＜x＜）C．y＝D．y＝【分析】通过取x＜0时，A显然不满足条件．对于B：y＝cos x+≥2，当cos x＝1时取等号，但0＜x＜，故cos x≠1，B显然不满足条件．对于C：不能保证＝，故错；对于D：．∵e x＞0，∴e x+﹣2≥2 ﹣2＝2，从而得出正确选项．解：对于选项A：当x＜0时，A显然不满足条件．选项B：y＝cos x+≥2，当cos x＝1时取等号，但0＜x＜，故cos x≠4，B显然不满足条件．对于D：．∵e x＞0，∴e x+﹣2≥2 ﹣2＝2，故选：D．10．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，（n∈N*），则a n＝（）A．（n+1）2n﹣1B．n•2n C．3n﹣1D．2n•3n﹣1【分析】由已知数列递推式可得，得到{}是以1为首项，以2为公比的等比数列，求出等比数列的通项公式，可得a n．解：∵（n∈N*），∴，①当n≥7时，，②①﹣②有，化简得．故{}是以为首项，以2为公比的等比数列，故选：A．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2020＞0，S2021＜0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为（）A．1009B．1010C．1011D．1012【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式可得a1011＜0，a1010＞0，且，a1010＞|a1011|，从而可求．解：由S2020＞0，S2021＜0可得a4+a2020＝a1010+a1011＞0，a1+a2011＝2a1011＜0，∴a1011＜0，a1010＞0，且，a1010＞|a1011|，故k＝1011．故选：C．12．（5分）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+2ab cos C ＝3b2，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】利用正弦定理，余弦定理及三角形的内角和定理化简可得tan A＝3tan B，然后在表示tan C，代入后利用基本不等式即可求解．解：若a2+2ab cos C＝3b2，由余弦定理可得，a2+a4+b2﹣c2＝3b2，即2a2﹣b2＝b7+c2＝a2+2bc cos A，因为a2＝b2+c2﹣2bc cos A，由正弦定理可得sin C＝4sin B cos A＝sin（A+B）＝sin A cos B+sin B cos A，所以tan A＝3tan B＞0，则＝+＝＝＝，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若正数x，y满足x+3y＝5xy，则3x+4y的最小值是5．【分析】将方程变形，代入可得3x+4y＝（3x+4y）（）＝×3，然后利用基本不等式即可求解．解：∵x+3y＝5xy，x＞0，y＞0∴当且仅当即x＝2y＝1时取等号故答案为：514．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为﹣．【分析】将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．解：不等式x2+ax+1≥0对一切成立，等价于a≥﹣x﹣对于一切x∈（0，]成立∵y＝﹣x﹣在区间（0，]上是增函数∴a≥﹣故答案为﹣．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c满足a2+2b2＝3c2，则cos C的最小值为．【分析】利用余弦定理表示出cos C，将已知等式变形后代入，利用基本不等式变形即可求出cos C的最小值．解：∵a2+2b7＝3c2，∴c7＝，故答案为：．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若，且，则＝﹣2020．【分析】用a n+1＝S n+1﹣S n，代入已知等式，得S n+1﹣S n＝S n+1•S n，变形可得，说明{}是等差数列，求其通项公式，可得的值．解：∵a n+1＝S n+1﹣S n，∴，则，∴，则＝﹣2020．故答案为：﹣2020．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A．（1）求角B的大小；（2）若a＝3，c＝5，求b．【分析】（1）由a＝2b sin A，利用正弦定理得sin A＝2sin B sin A，从而sin B＝，由此能求出B．（2）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，由此能求出b．解：（1）∵锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sin A．∴sin A＝2sin B sin A，∵△ABC是锐角三角形，∴B＝．∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝27+25﹣＝7．解得b＝．18．（12分）已知等差数列{a n}满足a2＝2，a5＝8．（1）求{a n}的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列{b n}中，b1＝1，b2+b3＝a4，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）求{a n}的通项公式，可先由a2＝2，a5＝8求出公差，再由a n＝a5+（n﹣5）d，求出通项公式；（2）设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q（q＞0），利用等比数列的通项公式可求首项b1及公比q，代入等比数列的前n项和公式可求Tn．解：（1）设等差数列{an}的公差为d∵a2＝2，a3＝8∴数列{an}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2由（1）知a n＝5n﹣2∴q≠1∴{b n}的前n项和T n＝2n﹣119．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1，n∈N*．（1）求证：{a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log2a2n，求数列的前n项和T n．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】证明：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣1，①当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣6，②①﹣②得：a n＝2a n﹣1．由于a n≠0，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，（2）b n＝log2a3n＝2n﹣1．∴．20．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝3，．（1）求△ACD的面积；（2）若AB＝6，求BC的长．【分析】（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；（2）利用余弦定理求出AC，通过AB的值利用余弦定理即可求解BC的长．解：，0＜B＜π，∴，∴，（2）由（1）可求得，设BC＝x，∴cos B＝＝＝，∴BC的长为．21．（12分）如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B 的正北方向的A处建一仓库，设AB＝ykm，并在公路同侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB＝AC+1，且∠ABC＝60°．（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？【分析】（1）根据题意得AB＝y且AC＝y﹣1，在Rt△BCF中，BC＝2CF＝2x．然后在△ABC中利用余弦定理AC2＝AB2+BC2﹣2•AB•BC•cos B的式子建立关于x、y的等式，解出用x表示y的式子，即可得到y关于x的函数解析式；（2）由（1）求出的函数关系式，结合题意得出总造价M＝﹣3+4x．然后换元：令x﹣1＝t，化简得到M＝16t++25，利用基本不等式算出当t＝时，M的最小值为49．由此即可得出当总造价M最低时，相应的x值．解：（1）∵AB＝y，AB＝AC+1，∴AC＝y﹣1．∵在Rt△BCF中，CF＝x，∠ABC＝60°，由于2x+y﹣1＞y，得x．可得（y﹣1）2＝y2+（2x）2﹣2y•7x•cos60°，∵y＞0且x，∴x＞1．（5）由题意，可得总造价M＝3[y+（y﹣1）]+4x＝﹣6+4x．当且仅当16t＝，即t＝时，M的最小值为49．答：当x的值为时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣（n∈N*），数列{b n}满足b1＝1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2＝0上．（1）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（2）令c n＝a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n；（3）若λ＞0，求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞成立的k的范围．【分析】（1）通过与作差，进而整理可知数列{a n}是首项为、公比为2的等比数列，通过将点P（b n，b n+1）代入直线x﹣y+2＝0计算可知b n﹣b n+1+2＝0，进而整理即得结论；（2）利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（1）及作商法计算可知数列为单调递减数列，进而问题转化为求2λ+的最小值，利用基本不等式计算即得结论．解：（1）∵，∴当n＝7时，S1＝2a7﹣，即a1＝，∴a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣7a n﹣1，∴数列{a n}是首项为，公比为3的等比数列．又∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2＝0上，∴b n＝2n﹣1；∴，错位相减，得：∴；∵＝32﹣2（n+1）（3n﹣3），∴数列为单调递减数列，由2λ2﹣kλ+2＞1可得，∴．。