江苏省南京市2018-2019学年高一上学期期末调研数学(含答案)
江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题(含答案)
南京市2025届高三年级学情调研数学2024.09注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.1.已知集合{}30A x x =->，{}2540B x x x =-+>，则A B = （）A.(,1)-∞ B.(,3)-∞ C.(3,)+∞ D.(4,)+∞2.已知4xa =，log 3a y =，则x ya +=（）A.5B.6C.7D.123.已知||a = ，||1b = .若(2)a b a +⊥，则cos ,a b = （）A.32-B.33-C.33D.324.已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S .若36S =，63S =，则9S =（）A.18- B.9- C.9D.185.若α是第二象限角，4sin 2tan αα=，则tan α=（）A. B.77-C.776.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）A.4B.6C.8D.127.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A.24B.32C.96D.1288.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上.若2PF QF =，PF QF ⊥，则PFQ △的面积为（）A.254 B.25 C.552D.55二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.已知复数z ，下列命题正确的是（）A.若1z +∈R ，则z R ∈B.若i z +∈R ，则z 的虚部为1-C.若||1z =，则1z =± D.若2z ∈R ，则z ∈R10.对于随机事件A ，B ，若2()5P A =，3()5P B =，()14P B A =，则（）A.3()20P AB =B.()16P A B =C.9()10P A B +=D.1()2P AB =11.设函数18()|sin ||cos |f x x x =+，则（）A.()f x 的定义域为π,2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭Z B.()f x 的图象关于π4x =对称C.()f x 的最小值为D.方程()12f x =在(0,2π)上所有根的和为8π三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上12.01x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是___________.13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为___________.14.已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线2BF 与C 相交于另一点A .当1cos F AB ∠最小时，C 的离心率为___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：8点前到（天数）8点或8点后到（天数）A 方案2812B 方案3030（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；（2）小王准备下周一选择A 方案上班，下周二至下周五选择B 方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，8点前到单位的天数为随机变量X .若用频率估计概率，求()3P X =.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++，()0P x χ≥0.100.050.0250.0100.0110x 2.7063.8415.0246.63510.82816.（本小题满分15分）如图，在四面体ABCD 中，ACD △是边长为3的正三角形，ABC △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，2AM MD = ，2CN ND =.（1）求证：//EF 平面MNB ；（2）若平面ACD ⊥平面ABC ，求直线BD 与平面MNB 所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）已知数列{}n a ，{}n b ，(1)2n n n a =-+，1(0)n n n b a a λλ+=->，且{}n b 为等比数列.（1）求λ的值；（2）记数列{}2n b n ⋅的前n 项和为n T .若()*2115N i i i T T T i ++⋅=∈，求i 的值.18.（本小题满分17分）已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，12F F =点T 在C 上.（1）求C 的方程（2）设直线l 过点(1,0)D ，且与C 交于A ，B 两点.①若3DA DB =，求12F F A △的面积；②以线段AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，若||2PQ =，求直线l 的方程.19.（本小题满分17分）已知函数2()e31x af x ax ax -=+-+，a ∈R .（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当1a >时，试判断()f x 在[1,)+∞上零点的个数，并说明理由；（3）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.南京市2025届高三年级学情调研数学参考答案2024.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.12345678DDABACCB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.91011ABBCDACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.12.24013.3π14.33四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（1）假设0:8H 点前到单位与方案选择无关，则22100(28301230)40604258χ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯.8003.94 3.841203=≈>，所以有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关.（2）选择A 方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择B 方案上班，8点前到单位的概率为0.5.当3X =时，则分两种情况：①若周一8点前到单位，则22214210.7C (10.5)0.580P =⨯-⨯=.（2）若周一8点前没有到单位，则33246(10.7)(10.5)0.580P C =-⨯-⨯=.综上，1227(3)80P X P P ==+=.16.（本小题满分15分）解：（1）因为E ，F 分别为线段AB ，BC 中点，所以//EF AC .因为2AM MD = ，2CN ND = ，即13DM DN DA DC ==，所以//MN AC ，所以//EF MN .又MN ⊂平面MNB ，EF ⊄平面MNB ，所以//EF 平面MNB .（2）取AC 中点O ，连接DO ，OE 因为ACD △为正三角形，所以DO AC ⊥.因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC .因为O ，E 分别为AC ，AB 中点，则//OE BC .又因为AC BC ⊥，所以OE AC ⊥.以O 为坐标原点，OE ，OC ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则330,0,2D ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，33,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2M ⎛- ⎝，10,2N ⎛ ⎝，故(3,BM =-- ，(0,1,0)MN = ，3333,,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ .设平面MNB 的法向量为(,,)n x y z =，直线BD 与平面MNB 所成角为θ，则0,0,n BM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即320,0.x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩取n = .则332sin cos ,8BD n BD n BD nθ⋅===，所以BD 与平面MNB 所成角的正弦值为28.17.（本小题满分15分）解：（1）因为(1)2nnn a =-+，则11a =，25a =，37a =，417a =.又1n n n b a a λ+=-，则1215b a a λλ=-=-，23275b a a λλ=-=-，343177b a a λλ=-=-.因为{}n b 为等比数列，则2213b b b =⋅，所以2(75)(5)(177)λλλ-=--，整理得220λλ--=，解得1λ=-或2.因为0λ>，故2λ=.当2λ=时，1112(1)22(1)2n n n nn n n b a a +++⎡⎤=-=-+--+⎣⎦11(1)(1)22(1)23(1)n n n n n ++=-⨯-+-⨯--=-⨯-.则113(1)13(1)n n nn b b ++-⨯-==--⨯-，故{}n b 为等比数列，所以2λ=符合题意.（2）223(1)n n b n n ⋅=-⨯-⋅当n 为偶数时，222222223123456(1)n T n n ⎡⎤=-⨯-+-+-+---+⎣⎦33(12)(1)2n n n =-⨯+++=-+ 当n 为奇数时221133(1)(1)(2)3(1)(1)22n n n T T b n n n n n n ++=-+=-++++=+.综上，3(1),, 23(1),. 2n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩为奇数为偶数因为20i i T T +⋅>，又2115i i i T T T ++⋅=，故10i T +>，所以i 为偶数.所以333(1)(2)(3)15(1)(2)222i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-+⋅-++=⨯++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得23100i i +-=，解得2i =或5i =-（舍），所以2i =.18.（本小题满分17分）解：（1）由题意可知c =，点T 在C 上，根据双曲线的定义可知122TF TF a -=，即24a =-=，所以2a =，则2222b c a =-=，所以C 的方程为22142x y -=.（2）①设()00,B x y ，()001,DB x y =-.因为3DA DB = ，所以()0033,3DA x y =-，所以A 点坐标为()0032,3x y -，因为A ，B 在双曲线C 上，所以()()220022001,423231,42x y x y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩解得03x =，0102y =±，所以A点坐标为7,2⎛± ⎝⎭，所以121211222F F A A S y F F =⨯=⨯⨯=△②当直线l 与y 轴垂直时，此时4PQ =不满足条件.设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(),0P P x ，(),0Q Q x .直线l 与C 联立221,421,x y x ty ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得()222230t y ty -+-=，所以12222t y y t +=--，12232y y t =--.由()22241220,20.t t t ⎧∆=+->⎪⎨-≠⎪⎩，得232t >且22t ≠.以AB 为直径的圆方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=，令0y =，可得()21212120x x x x x x y y -+++=，则P x ，Q x 为方程的两个根，所以12P Q x x x x +=+，1212P Q x x x x y y =+，所以P Q PQ x x =-======2==.解得22t =-（舍）或253t =，即153t =±，所以直线l 的方程为：330x ±-=.19.（本小题满分17分）解：（1）当1a =时，12()e31x f x x x -=+-+，则1()e 23x f x x -=+-，所以曲线()y f x =在1x =处切线的斜率(1)0k f '==.又因为(1)0f =，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程为0y =.（2）1(1)e21af a -=-+，()e 23x a f x ax a -'=+-，则1(1)e a f a -'=-，当1a >时，()e 20x af x a -''=+>，则()f x '在(1,)+∞上单调递增.因为111(1)ee 10af a --'=-<-=，2()123(21)(1)0f a a a a a '=+-=-->，所以存在唯一的0(1,)x a ∈，使得()00f x '=.当()01,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在[)01,x 上单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞上单调递增.又因为10(1)e21e 210af a -=-+<-+=，所以()0(1)0f x f <<.又因为3(3)e10af -=+>，所以当1a >时，()f x 在[1,)+∞上有且只有一个零点.（3）①当1a >时，10(1)e 21e 210af a -=-+<-+=，与当0x ≥时，()0f x ≥矛盾，所以1a >不满足题意.②当1a ≤时，(0)e10af -=+>，()e 23x a f x ax a -'=+-，()e 2x a f x a -''=+，(0)e 2a f a -''=+.记函数()e 2xq x x -=+，1x ≤，则()e2xq x -'=-+，当(ln 2,1)x ∈-时，()0q x '>，所以()q x 在(ln 2,1)-单调递增；当(,ln 2)x ∈-∞-时，()0q x '<，所以()q x 在(,ln 2)-∞-单调递减，所以()(ln 2)22ln 20q x q ≥-=->，所以(0)0f ''>.又因为()f x ''在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f ''''≥>，所以()f x '在[0,)+∞上单调递增.（i ）若(0)e30af a -'=-≥，则()(0)0f x f ''≥≥，所以()f x 在[0,)+∞上单调递增，则()(0)0f x f ≥>，符合题意；（ii ）若(0)e30af a -'=-<，可得0a >，则01a <≤.因为1(1)e 0af a -'=-≥，且()f x '在[0,)+∞上单调递增，所以存在唯一的1(0,1]x ∈，使得()10f x '=.当()10,x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上单调递减，当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,x +∞上单调递增，其中1(0,1]x ∈，且11e 230x a ax a -+-=.所以()12111()e 31x af x f x ax ax -≥=+-+()22211111113231531531a ax ax ax ax ax a a x x =-+-+=-++=-++，因为1(0,1]x ∈，所以21153[1,3)x x -+∈-.又因为(0,1]a ∈，所以()211531a x x -+≥-，所以()0f x ≥，满足题意.结合①②可知，当1a ≤时，满足题意.综上，a 的取值范围为(,1]-∞.。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
江苏省南京市2020-2021学年 高一上学期期末调研考试(含答案)
江苏省南京市2020~2021学年度第一学期期末学情调研试卷高一英语2021.01本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试用时120分钟。
第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题，每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What would the woman like for dessert?A. Cake.B. Cookies.C. Ice cream.2. For whom does the man want to buy a new sweater?A. Susan.B. Jimmy.C. Nancy.3. How did the woman get the news?A. On television.B. From Lisa.C. In the newspaper.4. What kind of movies does the woman like most?A. Fantasies.B. Documentaries.C. Science fiction.5. Which note does the woman want to change?A. 10 notes.B. 20 notes.C. 50 note.第二节(共15小题，每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟;听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听第6段材料，回答第6、7题。
6. Why didn’t the woman have breakfast?A. She forgot it.B. She got up late.C. She preferred a lunch.7. What will the speakers do next?1A. Have lunch.B. Visit the town.C. Fix the car up.听第7段材料，回答第8至10题,8. Where are the Spanish novels?A. In Row 3.B. In Row 6.C. In Row 8.9. How many books will the man borrow?A. Two.B. Three.C. Five.10. What’s the relationship between the speakers?A. A student and a librarian.B. A professor and a shopkeeper.C. A student and a professor.听第8段材料，回答第l1至13题。
人教版数学高一下册期末测试精选(含答案)1
人教版高一下册期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,m n 为两条不同的直线，,,αβγ为三个不重合平面，则下列结论正确的是( ) A ．若m αP ，n αP ，则m n P B ．若m α⊥，m n P ，则n α⊥ C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥D ．若m α⊥，αβ⊥，则m βP【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B2．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆中，32BA BC AC ===，2PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( )A ．B ．22πC ．12πD ．20π【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】B3．直线10x -+=的倾斜角为（ ） A ．3π B ．6π C ．23π D ．56π 【来源】山西省康杰中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文)试题 【答案】B4．鲁班锁是中国古代传统土木建筑中常用的固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具，它起源于古代中国建筑首创的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，外观看上去是严丝合缝的十字几何体，其上下､左右､前后完全对称，十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样，其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.九根的鲁班锁由如图所示的九根木榫拼成，每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖一些凹槽而成.若九根正四棱柱底面边长均为1，其中六根最短条的高均为3，三根长条的高均为5，现将拼好的鲁班锁放进一个球形容器内，使鲁班锁最高的三个正四棱柱形木榫的上､下底面顶点分别在球面上，则该球形容器的表面积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为（ ）A ．24πB ．25πC ．26πD ．27π【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】D 5．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】湖南省邵阳市邵东县创新实验学校2019-2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】C6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去的几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【来源】北京市西城区2018年1月高三期末考试文科数学试题 【答案】B7．已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，若OAB ∆为正三角形，则实数m 的值为（ ）A ．B ．2C ．D 【来源】西藏自治区拉萨中学2018届高三第七次月考数学（文)试题 【答案】D8．如果直线l 上的一点A 沿x 轴在正方向平移1个单位，再沿y 轴负方向平移3个单位后，又回到直线l 上，则l 的斜率是（ ） A ．3 B ．13C ．-3D ．−13【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】C9．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为1的正方形，则原平面四边形的面积等于（ ） A ．√2 B ．2√2 C ．8√23D ．8√2【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B10．直线y =kx +3与圆(x −2)2+(y −3)2=4相交于M,N 两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（ ）A ．[−√3,√3]B ．(−∞,−√3]∪[√3,+∞)C ．[−√33,√33] D ．[−23,0]【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】A11．已知点P(2,1)在圆C:x 2+y 2+ax −2y +b =0上，点P 关于直线x +y −1=0的对称点也在圆C 上，则实数a,b 的值为（ ）A ．a =−3,b =3B ．a =0,b =−3C ．a =−1,b =−1D ．a =−2,b =1 【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】B12．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π【来源】山西省2019-2020学年高二上学期10月联合考试数学（理)试题 【答案】B13．在三棱锥A BCD -中，AD CD ⊥，2AB BC ==，AD =CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．8πB ．9πC ．10πD ．12π【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高三上学期期末考试数学（文)试题 【答案】A14．直线()2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =（ ） A ．2B ．2或3-C ．3-D ．2-或3-【来源】江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是为1BC ，1CD 的中点，则下列判断错误的是（ ）A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与11A B 平行【来源】2015届福建省三明市一中高三上学期半期考试理科数学试卷（带解析) 【答案】D16． (2017·黄冈质检)如图，在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )A ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PADB ．BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为3C ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30° D ．BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30°【来源】2014-2015学年湖北省安陆市一中高一下学期期末复习数学试卷（带解析)【答案】D17．如图，在直角梯形ABCD 中，0190,//,12A AD BC AD AB BC ∠====，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD .在四面体A BCD -中，下列说法正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ACD ⊥平面ABC C ．平面ABC ⊥平面BCDD ．平面ACD ⊥平面BCD【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 【答案】B18．已知直线l ：()y t k x t -=-()2t >与圆O ：224x y +=有交点，若k 的最大值和最小值分别是,M m ，则log log t t M m +的值为( ) A ．1B ．0C ．1-D ．222log 4t t t ⎛⎫⎪-⎝⎭【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】B19．若x 2+y 2–x +y –m =0表示一个圆的方程，则m 的取值范围是 A ．m >−12 B ．m ≥−12 C ．m <−12D ．m >–2【来源】2018年12月9日——《每日一题》高一 人教必修2-每周一测 【答案】A20．如图所示，直线PA 垂直于⊙O 所在的平面，△ABC 内接于⊙O ，且AB 为⊙O 的直径，点M 为线段PB 的中点．现有结论：①BC ⊥PC ；②OM ∥平面APC ；③点B 到平面PAC 的距离等于线段BC 的长．其中正确的是( )A ．①②B ．①②③C ．①D ．②③【来源】二轮复习 专题12 空间的平行与垂直 押题专练 【答案】B二、多选题21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4=AD ，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为()4,5,3B ．点1C 关于点B 对称的点为()5,8,3- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为()0,5,3 D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为()8,5,0【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】ACD三、填空题22．若直线:l y x m =+上存在满足以下条件的点P :过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线(切点分别为,A B ),四边形PAOB 的面积等于3，则实数m 的取值范围是_______ 【来源】福建省厦门市2018-2019学年度第二学期高一年级期末数学试题【答案】-⎡⎣23．点E 、F 、G 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ,BC ,11B C 的中点,则下列命题中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多可以四个面都是直角三角形; ②点P 在直线FG 上运动时,总有AP DE ⊥;③点Q 在直线11B C 上运动时,三棱锥1A D QC -的体积是定值;④若M 是正方体的面1111D C B A ,（含边界）内一动点,且点M 到点D 和1C 的距离相等,则点M 的轨迹是一条线段.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】①②④24．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论:①异面直线AC 与BD 所成的角为定值. ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°.④三棱锥M -ACN 体积的最大值为48. 以上所有正确结论的序号是__________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】①③④25．已知两点(2,0)M -，(2,0)N ，若以线段MN 为直径的圆与直线430x y a -+=有公共点，则实数a 的取值范围是___________.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】[]10,10-26．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为点M 是棱BC 的中点，点P在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.【来源】北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题27．某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为__________．【来源】黄金30题系列 高一年级数学（必修一 必修二) 小题好拿分 【答案】20328．设直线3450x y +-=与圆221:9C x y +=交于A ， B 两点，若2C 的圆心在线段AB 上，且圆2C 与圆1C 相切，切点在圆1C 的劣弧AB 上，则圆2C 半径的最大值是__________.【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析) 【答案】229．已知直线240x my ++=与圆22(1)(2)9x y ++-=的两个交点关于直线0nx y n +-=对称，则m n -=_______.【来源】辽宁省辽阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题 【答案】3- 30．给出下列命题： ①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行； ④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行； 其中说法正确的有_____（填序号）.【来源】河南省三门峡市2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【答案】②③31．设直线2y x a =+与圆22220x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||AB =，则a =________【来源】吉林省吉林市吉化第一高级中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】四、解答题32．已知圆C 的一般方程为22240x y x y m +--+=. (1)求m 的取值范围;(2)若圆C 与直线240x y +-=相交于,M N 两点，且OM ON ⊥(O 为坐标原点)，求以MN 为直径的圆的方程.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)5m <;(2)224816555x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33．如图4，¼AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为»AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB .（1）证明：EB FD ⊥； （2）求点B 到平面FED 的距离.【来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷)文科数学全解全析 【答案】（1）证明见解析（2）d =34．已知圆的方程为228x y +=，圆内有一点0(1,2)P -，AB 为过点0P 且倾斜角为α的弦．（1）当135α=︒时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点0P 平分时，写出直线AB 的方程． 【来源】2019年12月14日《每日一题》必修2-周末培优【答案】（1（2）250x y -+=．35．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =，M 是AC 与BD 的交点.求证：(1)1//D M 平面11A C B (2)求1BC 与1D M 的所成角的正弦值.【来源】广西柳州市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】(1)见解析；(2)1036．如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形,CF =（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为10,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.【来源】湖北省武汉市（第十五中学、十七中学、常青一中)2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】（1）见解析；（237．已知圆C 的圆心在直线390x y --=上，且圆C 与x 轴交于两点(50)A ，，0(1)B ，. （1）求圆C 的方程；（2）已知圆M :221(1)12x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，设(,)P m n 为坐标平面上一点，且满足:存在过点(,)P m n 且互相垂直的直线1l 和2l 有无数对，它们分别与圆C 和圆M 相交，且圆心C 到直线1l 的距离是圆心M 到直线2l 的距离的2倍，试求所有满足条件的点(,)P m n 的坐标【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）22(3)4x y -+=（2）79,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 38．如图，四棱锥S -ABCD 的底面是边长为2的正方形，每条侧棱的长都是底面边长P 为侧棱SD 上的点.（1）求证:AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P -AC -D 的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）30°39．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，侧棱1AA =E ，F 分别是BC ，1CC 的中点.（1）求证:1//BC 平面AEF ；（2）求异面直线AE 与1A B 所成角的大小.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析（2）45°40．已知直线1:2l y x =-+，直线2l 经过点(40)，，且12l l ⊥.（1）求直线2l 的方程；（2）记1l 与y 轴相交于点A ，2l 与y 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC V 的面积.【来源】湖南省永州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）40x y --=（2）941．已知曲线x 2+y 2+2x −6y +1=0上有两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)关于直线x +my +4=0对称，且满足x 1x 2+y 1y 2=0．（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程．【来源】2016-2017学年江西省宜春市第一学期期末统考高一年级数学试卷（带解析)【答案】（1）m =−1；（2）y =−x +1.42．如图，边长为4的正方形ABCD 与矩形ABEF 所在平面互相垂直，,M N 分别为,AE BC 的中点，3AF =．（1）求证：DA ⊥平面ABEF ；（2）求证：//MN 平面CDEF ；（3）在线段FE 上是否存在一点P ，使得AP MN ⊥？若存在，求出FP 的长；若不存在，请说明理由．【来源】2014届北京市东城区高三上学期期末统一检测文科数学试卷（带解析)【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）存在，94FP = 43．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的菱形，且60BAD ︒∠=，PD ⊥平面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PD 的中点.（1）证明：//EF 平面PBC .（2）若四棱锥P ABCD -的体积为A 到平面PBC 的距离.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见详解；（2.44．已知圆22:6200C x y y +--+=.（1）过点的直线l 被圆C 截得的弦长为4，求直线l 的方程；（2）已知圆M 的圆心在直线y x =-上，且与圆C 外切于点，求圆M 的方程.【来源】湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）x =0x +-=；（2）224x y +=.45．已知ABC V 的顶点坐标分别为()1,2A ，()2,1B --，()2,3C -．（1）求BC 边上的中线所在的直线的方程；（2）若直线l 过点B ，且与直线AC 平行，求直线l 的方程．【来源】四川省凉山彝族自治州西昌市2019-2020学年高二上学期期中数学（理)试题【答案】（1）420x y --=；（2）5110x y ++=46．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，090BAP CDP ∠=∠=，E 为PC 中点,（1）求证：//AP 平面EBD ；（2）若PAD ∆是正三角形，且PA AB =.(Ⅰ)当点M 在线段PA 上什么位置时，有DM ⊥平面PAB ？(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点N 在线段PB 上什么位置时，有平面DMN ⊥平面PBC ？【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）详见解析；（2）(Ⅰ) 点M 在线段PA 中点时；(Ⅱ) 当14PN PB =时. 47．已知点P 是圆22:(3)4C x y -+=上的动点，点(3,0)A - ，M 是线段AP 的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹与直线:20l x y n -+=交于,E F 两点，且OE OF ⊥，求n 的值.【来源】湖南省衡阳市第一中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题【答案】（1）221x y +=；（2）n =. 48．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，AC BD O =I ，22AO OC ==，PA PB AB ===AC PB ⊥.(1)证明：平面PBD ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A PD B --的余弦值.【来源】福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题【答案】(1)证明见解析；49．若圆C 经过点3(2,)A -和(2,5)B --，且圆心C 在直线230x y --=上，求圆C 的方程.【来源】2010年南安一中高二下学期期末考试（理科)数学卷【答案】22(1)(2)10x y +++=50．如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰在CD 上，即1A O ⊥平面DBC .（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）求点C 到平面1A BD 的距离.【来源】吉林省吉林市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）245。
2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高一上学期期末学情自测数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高一上学期期末学情自测数学试题一、单选题1．已知集合A ={1，2，3}，B ={x ∈N |x ≤2}，则A ∪B =（ ） A ．{2，3} B ．{0，1，2，3} C ．{1，2} D ．{1，2，3}【答案】B【分析】先求出集合B ，再求A ∪B.【详解】因为{1,2,3},{0,1,2}A B ==，所以0,1,3}2,{A B =. 故选：B2．命题“(0,)sin 2x x x π∀∈≤，”的否定是（ ） A ．(0,)sin 2x x x π∀∈≥，B ．(0,)sin 2x x x π∀∈>，C ．(0,)sin 2x x x π∃∈≤，D ．(0,)sin 2x x x π∃∈>，【答案】D【分析】直接利用全称命题的否定为特称命题进行求解.【详解】命题“(0,)sin 2x x x π∀∈≤，”为全称命题， 按照改量词否结论的法则，所以否定为：(0,)sin 2x x x π∃∈>，， 故选：D 3．已知弧长为3π的弧所对的圆心角为6π，则该弧所在的扇形面积为（ ） AB ．1π3C ．2π3D ．4π3【答案】B【分析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为π32π6=，所以扇形面积为1ππ2233⋅⋅=.故选：B4．,x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．4aB ．4a 或0a =C ．4a ≤-D ．40a【答案】A【分析】先讨论系数为0 的情况，再结合二次函数的图像特征列不等式即可. 【详解】,x R ∀∈不等式2410ax x +-<恒成立， 当0a =时，显然不恒成立，所以0Δ1640a a <⎧⎨=+<⎩，解得：4a.故选：A.5．已知0.50.5e ,ln 5,log e a b c -===，则（ ） A ．c<a<b B ．c b a << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】A【分析】借助指对函数的单调性，利用中间量0或1比较即可. 【详解】因为0.500=e <e 1a -<=，ln5lne=1b =>，0.50.5=log e<log 1=0c ， 所以c<a<b ， 故选：A.6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()(4)f x f x =+，且(1)1f -=-，则(2020)(2021)f f +=（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】C【分析】由()(4)f x f x =+得函数的周期性，由周期性变形自变量的值，最后由奇函数性质求得值． 【详解】∵()f x 是奇函数，∴(0)0,(1)(1)1f f f ==--=， 又()(4)f x f x =+，∴()f x 是周期函数，周期为4． ∴(2020)(2021)(0)(1)011f f f f +=+=+=． 故选：C ．7．已知函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，()sinh x x x =+的零点分别为,,,a b c 则,,a b c 的大小顺序为（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．c<a<b【答案】C【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可．【详解】函数()e xf x x =+，()lng x x x =+，()sinh x x x =+的零点转化为e x y =，ln y x =，sin y x=与y x =-的图象的交点的横坐标，因为零点分别为,,,a b c在坐标系中画出e x y =，ln y x =，sin y x =与y x =-的图象如图： 可知a<0，0b >，0c ， 满足a c b <<． 故选：C ．8．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数解析式为（ ）A ．1(2)2y f x =+B ．(21)y f x =+C ．1()22x y f =+D ．(1)2xy f =+【答案】B【分析】利用三角函数的图象变换规律可求得结果.【详解】观察图象可知，右方图象是由左方图象向左移动一个长度单位后得到()1y f x =+的图象，再把(1)=-y f x 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变）得到的， 所以右图的图象所对应的解析式为(21)y f x =+. 故选：B二、多选题9．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上是增函数的是（ ） A ．21y x =+ B ．3y x = C ．23y x = D ．3x y -=【答案】AC【分析】利用函数的奇偶性和单调性的概念进行判断. 【详解】对于A ： ()2211=-+=+y x x∴ 函数21y x =+ 是偶函数，在()0,∞+ 上是增函数，故A 正确；对于B ： ()33=-=-y x x∴ 函数3y x = 是奇函数，故B 错误；对于C ：()2233=-=y x x23y x ∴=是偶函数，在()0,∞+ 上是增函数，故C 正确； 对于D ： 33---==xxy3-∴=xy 是偶函数，在()0,∞+ 上是减函数，故D 错误.故选：AC 10．若110a b<<，则下列不等式正确的是（ ） A ．a b < B ．a b <C ．a b ab +<D ．2b aa b+>【答案】BCD【分析】利用不等式的基本性质求解即可【详解】由于110a b<<，则0b a <<，故a b <错误； 0a b ab +<<正确；||||a b <正确；2222a b a b abb a ab ab++=>=，∴2b a a b +>，正确故选：BCD ．11．若函数()tan(2)3f x x π=+，则下列选项正确的是（ ）A ．最小正周期是 πB ．图象关于点(,0)3π对称C ．在区间7(,)1212ππ上单调递增D ．图象关于直线12x π=对称【答案】BC【分析】利用正切函数的周期，对称中心，函数的单调性，判断选项即可． 【详解】函数tan(2)3y x π=+，函数的最小正周期为：2π，A 错误； 令23246k k x x k Z ππππ+=⇒=-∈，， 当2k =时，3x π=，所以图象关于点(,0)3π对称，B 正确；因为2232k x k πππππ-<+<+，Z k ∈，解得5(212k x ππ∈-，)212k ππ+，当1k =时，7(,)1212x ππ∈,所以在区间7(,)1212ππ上单调递增，C 正确；又正切函数不具有对称轴，所以D 错误故选：B C ．12．设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令[]()22f x x x =-，以下结论正确的是（ ）A ．()1.10.8f -=B ．()f x 为偶函数C ．()f x 最小正周期为12D ．()f x 的值域为[]0,1【答案】AC【分析】根据高斯函数的定义逐项检验即可，对于A ，直接求解即可，对于B ，取 1.1x =-，检验可得反例，对于C ，直接求解()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可；对于D ，要求()f x 的值域，只需求102x ≤<时()f x 的值域即可.【详解】对于A ，()[]2.21 2.230..8.122f --=-+=-=-，故A 正确. 对于B ，取 1.1x =-，则()1.10.8f -=，而()[]2.2 2.2 2.221021..f --===， 故()()1.1 1.1f f -≠-，所以函数()f x 不为偶函数，故B 错误.对于C ，则[][]()1212121212f x x x x x f x ⎛⎫+=+-+=+--= ⎪⎝⎭，故C 正确.对于D ，由C 的判断可知，()f x 为周期函数，且周期为12， 要求()f x 的值域，只需求102x ≤<时()f x 的值域即可. 当0x =时，则()[]0000f =-=， 当102x <<时，()[]22202(0,1)f x x x x x =-=-=∈， 故当102x ≤<时，则有()01f x ≤<，故函数()f x 的值域为[)0,1，故D 错误. 故选：AC ．三、填空题135log 25=_____． 【答案】6【分析】利用根式性质与对数运算进行化简.5log 25426=+=， 故答案为：614．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：____________.（1）12x x R ∀∈， ，若12x x >则12()()f x f x >（2）121212,,()()()x x R f x x f x f x ∀∈+= 【答案】()2x f x =，答案不唯一【分析】由条件（1）12x x R ∀∈， ，若12x x >则12()()f x f x >.可知函数()f x 为R 上增函数； 由条件（2）121212,,()()()x x R f x x f x f x ∀∈+=.可知函数()f x 可能为指数型函数. 【详解】令()2x f x =，则()2x f x =为R 上增函数，满足条件（1）.又1212()2x x f x x ++=，121212()()222x x x xf x f x +=⨯=故12()f x x +=12()()f x f x即121212,,()()()x x R f x x f x f x ∀∈+=成立.故答案为：()2x f x =，（()3x f x =，()4x f x =等均满足题意）15．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45．则αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标为_____________. 【答案】1【分析】根据任意角三角函数的定义可得3sin 5α=，4cos 5α=，4sin 5β=，3cos 5β=，再由()sin αβ+展开求解即可.【详解】以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45所以3sin 5α=，α是锐角，可得4cos 5α=，因为锐角β的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为45，所以4sin 5β=，β是锐角，可得3cos 5β=， 所以()3344sin sin cos cos sin 15555αβαβαβ+=+=⨯+⨯=，所以αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标为1. 故答案为：1.四、双空题16．已知函数()2log ,042,482x x f x cos x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，,t R ∃∈使方程()f x t =有4个不同的解：1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是_________; 1234x x x x +++的取值范围是________.【答案】 (32,35) 65(14,)4【分析】先画出分段函数()f x 的图像，依据图像得到12,x x 之间的关系式以及34,x x 之间的关系式，分别把1234x x x x +++和1234x x x x 转化成只有一个自变量的代数式，再去求取值范围即可. 【详解】做出函数()2log ,042,482x x f x cos x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩的图像如下：()f x 在](0,1单调递减：最小值0；()f x 在[]1,4单调递增：最小值0，最大值2； ()f x 在[]4,8上是部分余弦型曲线：最小值2-，最大值2.若方程()f x t =有4个不同的解：1234,,,x x x x ，则02t << 不妨设四个解依次增大，则12341145,784x x x x <<<<<<<< 12,x x 是方程2log x t =(04)x <<的解，则2122log log x x =-，即121=x x ；34,x x 是方程2cos2x t π=(48)x ≤≤的解，则由余弦型函数的对称性可知3412x x +=.故2123434333(12)(6)36x x x x x x x x x ==-=--+，由345x <<得2332(6)3635x <--+<即12343235x x x x << 1234121111212x x x x x x x x +++=++=++当1114x <<时，1()12m x x x=++单调递减，则1116514124x x <++<故答案为：①(32,35)；②65(14,)4五、解答题 17．求值：(1)22log 33582lg 2lg 22+--(2)25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭【答案】(1)6 (2)0【分析】(1)根据指数运算公式和对数运算公式求解即可； (2)根据诱导公式化简求值即可. 【详解】（1）22log 33582lg 2lg 22+--()()2lo 23g 3322lg5lg 22lg 2=+---223lg 5lg 22lg 2=+-+-7(lg5lg 2)=-+71=-6=；（2）25π10π13πsincos tan 634⎛⎫-+- ⎪⎝⎭πππsin 4πcos 3πtan 3π634⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππsincos tan 634=+- 11122=+- 0=．18．已知全集U =R ，集合{}2120A x x x =--≤，集合{}11B x m x m =-≤≤+.(1)当4m =时，求()U A B ⋃； (2)若()U B A ⊆，求实数m 的取值范围. 【答案】(1){4x x ≤或5}x >； (2)4m <-或5m >.【分析】（1）确定集合A ，B ，求出集合B 的补集，根据集合的并集运算，即可求得答案. （2）求出集合A 的补集，根据()U B A ⊆，列出相应不等式，求得答案.【详解】（1）集合{}{}212034A x x x x x =--≤=-≤≤，当4m =时，{}35B x x =≤≤，则{3UB x x =<或5}x >，故()UAB ={4x x ≤或5}x >；（2）由题意可知{3UA x x =<-或4}x > ，{}11B x m x m =-≤≤+≠∅,由UB A ⊆，则13m +<-或14m ->，解得4m <-或5m >.19．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图.(1)求函数()f x 的解析式;(2)将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，当,6x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()g x 值域.【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)[3,2]-.【分析】（1）根据图象由函数最值求得A ，由函数周期求得ω，由特殊点求得ϕ，即可求得解析式； （2）根据三角函数图象的变换求得()g x 的解析式，再利用整体法求函数值域即可.【详解】（1）由图象可知，()f x 的最大值为2，最小值为2-，又0A >，故2A =，周期453123T πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2||ππω∴=，0ω>，则2ω=， 从而()2sin(2)f x x ϕ=+，代入点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，得5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ， 则5262k ππϕπ+=+，Z k ∈，即23k πϕπ=-+，Z k ∈， 又||2ϕπ<，则3πϕ=-.()2sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.（2）将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，故可得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象 故可得()2sin()6g x x π=-；[,]6x ππ∈-5[,]636x πππ∴-∈-，3sin ,162x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 2sin 3,26x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，()[3,2]g x ∴-的值域为. 20．已知函数sin()cos sin()cos(2)()cos tan()sin 2f πααπαπααπααα-+-=+-⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若1(),052f παα=-<<，求sin cos ,s cos in αααα⋅-的值. 【答案】（1）()sin cos f ααα=+；（2）75- 【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；（2）由（1）结果两边平方，再利用同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果.【详解】解：（1）sin()cos sin()cos(2)sin cos (sin )cos ()cos tan()cos cos tan sin 2f πααπαπααααααπαααααα-+--=+=+--⎛⎫- ⎪⎝⎭所以()sin cos f ααα=+.（2）由1()sin cos 5f ααα=+=，平方可得221sin 2sin cos cos 25αααα++=， 即242sin cos 25αα⋅=-. 所以12sin cos 25αα⋅=-， 因为249 (sin cos )12sin cos 25αααα-=-=， 又02πα-<<，所以sin 0α<，cos 0α>，所以sin cos 0αα-<,所以7sin cos 5αα-=-. 【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的化简与求值，属于基础题.21．某市城郊有一块大约500m 500m ⨯的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米.（1）分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；（2）请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值【答案】（1）1500030306S x x=--，定义域是(6，500)；（2）设计50m 60m x y ，==时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.【分析】（1）总面积为3000xy =，且26a y +=，可得3000y x =，15003a x =-（其中6500)x <<，从而运动场占地面积为(4)(6)S x a x a =-+-，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积150003030(6)S x x =-+，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x 的值．【详解】解：（1）由已知30003000,,xy y x=∴=其定义域是(6,500). (4)(6)(210),S x a x a x a =-+-=-26a y +=，∴1500332y a x =-=-， 150015000(210)(3)30306S x x x x∴=--=--，其定义域是(6,500).（2）150003030(6)3030303023002430,S x x =-+≤--⨯= 当且仅当150006x x=，即50(6,500)x =∈时，上述不等式等号成立， 此时，50x =，60y =，2430max S =．答：设计50m 60m x y ，== 时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米.22．已知函数1()ln 1x f x x -=+. (1)求证：()f x 是奇函数；(2)若对于任意[]3,5x ∈都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围；(3)若存在,(1,)αβ∈+∞，且αβ<，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)(,3ln 2)-∞- (3)209m <<【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可；（2）对于任意[]3,5x ∈都有()3f x t >-成立，仅需min ()3f x t >-即可；（3）由()f x 单调性可得,αβ是方程112x m mx x -=-+，即22(2)20mx m x m +-+-=的两实数根，根据一元二次函数的图像和性质求解即可.【详解】（1）又101x x ->+即(1)(1)0x x -+>解得(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞， 所以()f x 的定义域为(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞，关于原点对称， 又因为1111()ln ln ln ()111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭， 所以()f x 是奇函数.（2）由题意2()ln 11f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，令2()11u x x =-+(()0)u x >， 因为()u x 在(1,)+∞上为增函数，ln u 在(0,)+∞上为增函数，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数，当[]3,5x ∈时，ln 2()ln 2ln3f x -≤≤-，对于任意[]3,5x ∈都有()3f x t >-成立，仅需min ()3f x t >-即可，所以ln 23t ->-，解得3ln 2t <-.（3）由（2）可知()f x 在(1,)+∞上为增函数，又因为()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以0m >且1ln ln 121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以112112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩， 则,αβ是方程112x m mx x -=-+，即22(2)20mx m x m +-+-=的两实数根， 令2()2(2)2h x mx m x m =+-+-， 则由题意对称轴214m x m-=>，2(2)42(2)0m m m ∆=--⨯⨯->，(1)0h m =>， 解得209m <<.。
2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一年级上册学期12月学情调研测试数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一上学期12月学情调研测试数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）()(){}{}2210,log 1M x x x N x x =+-≤=≤∣∣M N ⋃=A ．B ．C ．D ．(]0,1[]22-,[]2,1-(],2-∞【答案】B【分析】解一元二次不等式，根据对数函数单调性解对数不等式即可.【详解】由题知，，解得，故，()()210x x +-≤21x -≤≤{}21M xx =-≤≤∣又因为，{}2log 1{02}N x x x x =≤=<≤∣∣所以，{}{}21{02}22M N x x x x x x ⋃=-≤≤⋃<≤=-≤≤∣∣∣即.[]2,2M N ⋃=-故选：B 2．“”是“函数的图像关于中心对称”的（ ）0sin 0x =tan y x =()0,0x A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】由充分条件必要条件的定义，结合三角函数的性质，作出判断.【详解】当时，，此时的图像关于中心对称，0sin 0x =0π,Z x k k =∈0tan 0,tan x y x ==()0,0x 当函数的图像关于中心对称时，，此时不一定为0.tan y x =()0,0x 0π,Z 2kx k =∈0sin x 所以“”是“函数的图像关于中心对称”的充分不必要条件.0sin 0x =tan y x =()0,0x 故选：A.3．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）α(P cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．CD ．12-12【答案】A【分析】根据给定条件，利用三角函数定义结合诱导公式计算作答.【详解】依题意，点到原点距离，(P 2r ==所以.cos sin 2παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭故选：A 4．设，若，，，则（ ）()0,1m ∈lg a m =2lg b m =()2lg c m =A ．B ．C ．D ．a b c >>b c a >>c a b >>c b a>>【答案】C【分析】利用对数函数的性质即得.【详解】∵，()0,1m ∈∴，，，lg 0a m =<2lg 2lg lg b m m m a ==<=()2lg 0c m =>∴.c a b >>故选：C.5．已知函数满足，则解析式是（ ）()f x 2(1)43f x x x +=++()f x A ．B ．2()2f x x x =+2()2f x x =+C ．D ．2()2f x x x=-2()2f x x =-【答案】A【分析】利用换元法，求函数的解析式.【详解】设，故，则，1x t +=1x t =-()()()2214132f t t t t t =-+-+=+所以.()22f x x x=+故选：A6．王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流.欲穷千里目，更上一层楼､诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径，如图，设O 为地球6371km R =球心，人的初始位置为点M ，点N 是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高计算，3.3m “欲穷千里目”即弧的长度为，则需要登上楼的层数约为（ ）AM 500km （参考数据：，，）5000.07856371≈cos 0.07850.9969≈63716390.80.9969≈A ．1B ．20C ．600D ．6000【答案】D【分析】根据弧长公式可求得即的大小.在中，即可求得AOM ∠AON ∠5000.0785R θ=≈Rt OAN 的大小.ON 【详解】O 为地球球心，人的初始位置为点M ，点N 是人登高后的位置，的长度为.AM 500km 令，则.AON θ∠=5000.0785R θ=≈∵，，.OA AN ⊥OA R =63716390.8(km)cos cos 0.9969OA R ON θθ==≈≈∴，19.8(km)MN ON OM =-=又.19.8100060003.3⨯=所以按每层楼高计算，需要登上6000层楼.3.3m 故选：D.7．已知函数则函数的大致图象为（ ）())lnsin f x x x =⋅()f xA ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据时，函数值的正负判断.()0,x π∈【详解】易知函数为奇函数，也是奇函数，)lny x =sin y x =则函数为偶函数，故排除选项B ，C ；())lnsin f x x x=⋅因为，)ln ln y x ==当恒成立，所以恒成立，0x >1x >ln 0<且当时，，()0,x π∈sin 0x >所以当时，，故选项A 正确，选项D 错误，()0,x π∈()0f x <故选：A ．8．已知函数,且,则实数的取值范围是（ ）()3233e 1x f x x =-++()()2564f a f a +->a A ．B ．()6,1-()(),61,∞∞--⋃+C ．D ．()(),16,-∞-⋃+∞()1,6-【答案】B【分析】将化简为,令新函数,判断的奇偶()f x ()3e 132e 1x xf x x -=+++()()3e 13R e 1x x g x x x -=+∈+()g x 性和单调性,将不等式转化为关于的不等式,根据的函数性质转化为()()2564f a f a +->()g x ()g x 关于的不等式,解出即可.a 【详解】解:由题意得,函数,()332e 131232e 1e 1x x xf x x x -=-++=++++设,()()3e 13R e 1x x g x x x -=+∈+则,()()33e 1e 13()3e 1e 1x x x x g x x x g x --⎛⎫---=-+=-+=- ⎪++⎝⎭所以是上的奇函数,()g x R 因为,()()2f xg x =+由()()2564f a f a +->则()()2560,g a g a +->即,()()256g a g a >--因为,()()5665g a g a --=-所以,()()265g a g a >-又有,()33e 12331e 1e 1x x x g x x x -=+=-+++因为是上的增函数,33y x =R 是上的增函数,2e 1x y =-+R 所以是上的增函数;()g x R 则有,整理得:,265a a >-2560a a +->解得:或,1a >6a <-所以的取值范围为.a ()(),61,∞∞--⋃+故选:B二、多选题9．下列结论中，正确的是（ ）A ．函数的单调增区间是2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,+∞B ．命题“所有的素数都是奇数”的否定是假命题C ．是奇函数()πsin 2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．函数的图像必过定点()23(0,1)x f x a a a -=->≠()2,2-【答案】AD【分析】根据复合函数的单调性可判断A 项；判断原命题真假即可判断B 项；化简为()cos f x x=偶函数，可说明C 项错误；令得，代入可判断D 项.20x -=2x =【详解】对于A 项，函数中，，在上递增，在2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭222(1)1u x x x =-+=--+(),1-∞上递减；函数在R 上单调递减.()1,+∞13uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭根据复合函数的单调性可知，函数的单调增区间是，故A 项正确：2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭()1,+∞对于B 项，2是素数，但2不是奇数，所以“所有的素数都是奇数”命题错误，否定为真，故B 项错误；对于C 项，因为，是偶函数，故C 项错误；()πsin cos 2f x x x⎛⎫=-= ⎪⎝⎭对于D 项，函数中，由得，，即函数图象()23(0,1)x f x a a a -=->≠20x -=2x =()22f =-()f x 过点，故D 项正确.()2,2-故选：AD.10．下列不等式成立的是（ ）A ．B ．ππsin sin 108⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos400cos 50>-C ．D ．7π8πsin sin 87⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin3sin2<【答案】BD【分析】利用正余弦函数的单调性可得出每个选项中两个三角函数值的大小，即可选出答案.【详解】因为，且函数在上单调递增，则，πππ02810-<-<-<sin y x =π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ππsin sin 810⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选项A 错误；因为，且函数在上单调递减，则，()cos400cos40,cos 50cos50=-=cos y x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭cos40cos50> 即，故选项B 正确；()cos400cos 50>-因为，且函数在上单调递减，则，故选项C 错π7π8π3π2872<<<sin y x =π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭7π8πsin sin 87⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭误；因为，且函数在上单调递减，则，故选项D 正确.π3π2322<<<sin y x =π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭sin3sin2<故选：BD 11．已知是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，当时，，()f x R 2x =[]0,2x ∈()2xf x a=+则不等式成立的一个充分条件是（ ）()()2f x f x ≤+A ．B ．15x ≤≤913x ≤≤C ．D ．1317x ≤≤2125x ≤≤【答案】CD【分析】先根据奇函数的性质求得，再根据函数图象的解析式与性质画出的图象，1a =-()y f x =结合函数图象平移的性质得出的图象，再根据函数的周期，数形结合分析即可得出结()2y f x =+果.【详解】由题意，因为的图象关于直线对称，故，()f x 2x =()()4f x f x -=+又为奇函数，所以有， 所以，()f x ()()f x f x -=-()()4f x f x =-+故，所以，故的周期为8.()()48f x f x +=-+()()8f x f x =+()f x 因为是定义在上的奇函数，故，解得，根据当时，()f x R ()0020f a =+=1a =-[]0,2x ∈，结合奇函数的性质与直线对称以及函数的周期性作图，且是()21x f x =-2x =()2y f x =+的图象往左平移2个单位所得，作图如下.()y f x =又不等式成立，即在的函数图象下方，()()2f x f x ≤+()y f x =()2y f x =+由对称性得，当时，与的交点的横坐标为，结合图象可得[]0,2x ∈()y f x =()2y f x =+1x =与的交点的横坐标满足，所以在这个周期内，满足题()y f x =()2y f x =+()14,x k k =+∈Z []4,4-意的解为，则所有符合题意的解为.[]3,1-[]83,81,k k k -+∈Z 当时，解为；当时，解为；当时，解为；当时解为，0k =[]3,1-1k =[]5,92k =[]13,173k =[]2125，故选：CD.【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性、对称性与周期性，结合函数图象平移的方法数形结合解决函数不等式的问题，难度较大.12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）()()()sin cos cos sin f x x x =+A ．函数的一个周期为B ．函数在上单调递减()f x 2π()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．函数D ．函数图象关于直线对称()f x ()f x πx =【答案】ABD【分析】根据三角函数的周期性、单调性、最值、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由，()()()()()()()()2πsin cos 2πcos sin 2πsin cos cos sin f x x x x x f x +=+++=+=所以是周期为的周期函数，A 正确：()f x 2π由在上单调递减及复合函数的单调性知，在上单调递减，cos y x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()sin cos y x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭由在上单调递增，可知在上单调递减，sin y x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()cos sin y x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以函数在上单调递减，故B 正确；()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭当时，0x =()π0sin1cos01sin11sin1.56f =+=+>+=>故函数，故C 错误；()f x ，()()()()()()()()2πsin cos 2πcos sin 2πsin cos cos sin f x x x x x f x -=-+-=+= 关于直线对称，故D 正确.()f x \πx =故选：ABD三、填空题13．函数的定义域为______.()f x =【答案】()0,1【分析】利用具体函数定义域的求法与对数函数的性质求解即可.【详解】因为，()f x =所以，解得，0lg 010x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩01x <<所以的定义域为.()f x ()0,1故答案为：.()0,114．函数的最大值为______.()22sin 3cos 1f x x x =--【答案】178【分析】利用三角函数的基本关系式将化为关于的二次函数，从而利用配方法即可得解.()f x cos x 【详解】因为()()2222sin 3cos 121cos 3cos 12cos 3cos 1f x x x x x x x =--=---=--+，23172cos 48x ⎛⎫=-++⎪⎝⎭又，所以当时，.1cos 1x -≤≤3cos 4x =-max 17()8f x =故答案为：.17815．设和是方程的两根，则______.log a m log b m 2430x x -+=log mba =【答案】23±【分析】利用对数的运算法则直接计算即可.【详解】因为和是方程的两根，log a m log b m 2430x x -+=所以或者，log 1,log 3a b m m ==log 3log 1a b m m ==112log log log .log log 3mm m b a b b a a m m =-=-=±所以故答案为：23±16．若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是______.22, ()2, x x a f x x x x a ≥⎧=⎨-+<⎩R a 【答案】(]{},02-∞⋃【分析】分段函数是增函数，等价于每一段都是增函数，且“后一段”解析式在分段处的函数值不小于“前一段”解析式在分段处的函数值，据此列不等式求解即可【详解】因为当时，均为增函数，故只能为上的单调递增函数，1x <22,4y x y x x ==-+()f x R 在上为增函数，在上为减函数，故，根据分段函数是增函数可知，24y x x =-+(],2-∞[)2,+∞2a ≤，解得，结合可知，.224a a a ≥-+(][),02,a ∈-∞⋃+∞2a ≤(]{},02a ∞∈-⋃故答案为：(]{},02a ∞∈-⋃四、解答题17．已知角满足αsin cos αα-=(1)求的值；tan α(2)若角是第三象限角，，求的值.α()()()()()sin πtan 5πcos π3πtan 2πcos 2f αααααα-++=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()f α【答案】(1)答案见解析【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式列方程组求解即可；（2）利用诱导公式求解即可.【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，22sin cos sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩消去得，解得sin α25cos 20αα-=cos α=cos α=当角是第一象限角时，，α1cos tan 2ααα==因为角是第三象限角，.αcos tan 2ααα===（2）由题意可得，()()sin tan cos cos tan sin f ααααααα--==--因为角是第三象限角，α所以cos α=()f α=18．已知函数的最小正周期为.()π2sin 1(0)3f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭π(1)求的值；π6f ⎛⎫⎪⎝⎭(2)求函数的单调递减区间：()f x (3)若，求的最值.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x【答案】(1)π16f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3)最大值为3，最小值为1+【分析】（1）由最小正周期，求得，得到，再求；ω()f x 6f π⎛⎫⎪⎝⎭（2）整体代入法求函数的单调递减区间；（3）由的取值范围，得到的取值范围，可确定最值点，算出最值.x π23x +【详解】（1）由最小正周期公式得：，故，2ππω=2ω=所以，所以.()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭πππ2sin 211663f ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）令，解得，ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤+≤+∈π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈故函数的单调递减区间是.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（3）因为，所以，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当，即时，的最大值为3，ππ232x +=π12x =()f x当，即时，的最小值为.π4π233x +=π2x =()f x 119．已知函数.()2121x f x =+-(1)判断的奇偶性并证明；()f x (2)判断在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明.()f x ()0,∞+【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)在区间上单调递减，证明见解析()f x ()0,∞+【分析】（1）根据奇函数的定义进行判断证明即可；（2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可.【详解】（1）函数为奇函数，理由如下：()f x 函数的定义域为，()2121x f x =+-{}0x x ≠∣对任意的，{}()()()22121120,1,21212112x x xx x x xx x x f x f x f x --+++∈≠=+=-===-----∣所以是奇函数；()f x （2）在区间上的单调递减，理由如下：()f x ()0,∞+对任意，且，()12,0,x x ∈+∞12x x <，()()())()2112121212222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫-=+-+=-= ⎪------⎝⎭因为在单调递增，且，所以，2xy =()0,∞+120x x <<21121120,20,220x x x x --->>>所以，()()120f x f x ->所以在区间上的单调递减.()f x ()0,∞+20．已知函数，且不等式的解集为.()53f x ax x =+-()3xf x <{1}xx b <<∣(1)求实数的值；,a b (2)解关于的不等式（其中为常数）；x ()20ax ac b x bc -++<,c c ∈R (3)已知，若存在，使得成立，求实数的取()73g x mx m=+-[][]122,3,1,4x x ∈∈()()112x f x g x =m 值范围.【答案】(1)2b =(2)答案见解析(3)][(),21,∞∞--⋃+【分析】（1）由题意判断出是方程的两根，即可求解；1,b 2320ax x -+=（2）对a 分类讨论，分别写出不等式的解集；（3）设的值域为的值域为，判断出，()[],2,3y xf x x =∈()[],73,1,4A g x mx m x =+-∈B A B ⋂≠∅列不等式组，求出m 的范围.【详解】（1）因为，所以可化为，即，()53f x ax =+-()3xf x <2533ax x +-<2320ax x -+<因为不等式的解集为，即是方程的两根，()4xf x <{1}xx b <<∣1,b 2320ax x -+=将代入，得，故，1x =2320ax x -+=320a -+=1a =再由韦达定理得，故.122b ⨯==2b =（2）可化为，即，()20ax ac b x bc -++<()2220x c x c -++<()()20x c x --<当时，解得，2>c 2x c <<当时，不等式为，无解；2c =2(2)0x -<当时，解得；2c <2c x <<综上所述，当时，不等式解集为；2>c {2}xx c <<∣当时，不等式解集为；2c =∅当时，不等式解集为.2c <{2}xc x <<∣（3）因为存在，存在，使得成立，[]12,3x ∈[]21,4x ∈()()112x f x g x =设的值域为的值域为，则，()[],2,3y xf x x =∈()[],73,1,4A g x mx m x =+-∈B A B ⋂≠∅由（1）得，对称轴为，()235xf x x x =-+32x =故在上单调递增，所以，()y xf x =[]2,3[]3,5A =①当时，，不满足题意；0m =(){}7,7g x B ==②当时，在上单调递增，所以，所以，解得：；0m >()g x []1,4[]72,7B m m =-+72573m m -⎧⎨+⎩ 1m ③当时，在上单调递减，所以，所以，解得：0m <()g x []1,4[]7,72B m m =+-75723m m +⎧⎨-⎩ ；2m - 综上所述，.][(),21,m ∞∞∈--⋃+【点睛】方法点睛：常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法；(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；(3)高次不等式用穿针引线法；(4)含参数的不等式需要分类讨论．21．已知函数.()12f x x x =++-(1)求的最小值；()f x (2)设的最小值为，若正数满足，求的最小值；()f x m ,a b a b m +=13a a b +(3)设，若，求所有满足条件的的取值集合.()()()g x f x f x =+-()()2431g a a g a -+=-a 【答案】(1)3(2)73(3)或22a ≤≤4a =【分析】（1）将化简为，求出的单调性，即可求出的最小值；()f x ()21,23,1212, 1.x x f x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩()f x ()f x （2）由（1）可知，即，由均值不等式即可的最小值.3m =3a b +=13a a b +（3）由题可知，为偶函数，分类讨论或，，解方程()g x 2431a a a -+=-1a -21431111a a a ⎧-≤-+≤⎨-≤-≤⎩和不等式即可得出答案.【详解】（1）因为，所以()12f x x x =++-()21,23,1212, 1.x x f x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩当时，单调递增，最小值为3，2x ≥()f x 当时，单调递减，最小值为3，1x ≤-()f x 当时，，12x -<<()3f x =综上所述，的最小值为3.()f x （2）由（1）可知，即，3m =3a b +=因为均为正数，所以，,a b 1331317233333a a b a b a a ba b a b ++=+=++≥+=当且仅当即时取等号，3a b =39,44a b ==即的最小值为.13a a b +73（3）由题可知，的定义域为，关于原点对称，()g x R ()()()()g x f x f x g x -=-+=所以为偶函数，()g x 当时，，2x ≤-()12214g x x x x=---=-当时，，21x -<≤-()12324g x x x =-+=-+当时，，11x -<≤()6g x =当时，，12x <≤()31242g x x x =++=+当时，.2x >()21124g x x x x=-++=所以，()4,242,126,1124,214,2x x x x g x x x x x x >⎧⎪+<≤⎪⎪=-<≤⎨⎪-+-<≤-⎪-≤-⎪⎩则在上单调递增，在上单调递减，()g x ()1,+∞(),1-∞-①，解得或，2431a a a -+=-1a =4a =②，解得或，()2431-+=--a a a 1a =2a =③，解得，21431111a a a ⎧-<-+≤⎨-<-≤⎩22a ≤≤综上所述，或.22a ≤≤4a =22．已知函数在时有最大值和最小值，设.()221g x ax ax b =-++(),0a b ≥[]1,2x ∈10()()g x f x x =(1)求实数的值；,a b (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；()22log 2log 0f x k x -≤11,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦k (3)若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.x ()22131021x x mf m -+--=-m【答案】(1)1,0a b ==(2)8,9∞⎛⎤-⎥⎝⎦(3)12m >-【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得的值.,a b （2）结合换元法、分离常数法化简不等式，结合二次函数的性质求得的()22log 2log 0f x k x -≤k 取值范围.（3）利用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的()22131021x xmf m -+--=-图象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围.m 【详解】（1）函数时不合题意，()()222111,0g x ax ax b a x b a a =-++=-++-=所以为，所以在区间上是增函数，0a >()g x []1,2故，解得.()()211110g b g b a ⎧=+=⎪⎨=+-=⎪⎩10a b =⎧⎨=⎩（2）由已知可得，则，()221g x x x =-+()()12g x f x x x x ==+-所以不等式，()22log 2log 0f x k x -≤转化为在上恒成立，2221log 22log 0log x k x x +--≤11,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦设，则，即，在上恒成立，2log t x =[]3,2t ∈--1220t kt t +--≤[]3,2t ∈--即，[]22121111211,3,2,,23k t t t t t ⎛⎫⎡⎤≤+-=-∈--∴∈-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 当时，取得最小值，最小值为，则，即.∴113t=-211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭2116139⎛⎫--= ⎪⎝⎭1629k ≤89k ≤所以的取值范围是.k 8,9∞⎛⎤- ⎥⎝⎦（3）方程可化为：，，()22131021x x mf m -+--=-()()2213321120x x m m --+-++=210x -≠令，则方程化为，，21x t-=()()233120t m t m -+++=()0t ≠∵方程有三个不同的实数解，()22131021x x mf m -+--=-∴画出的图象如下图所示，21x t =-所以，，有两个根､，且或，.()()233120t m t m -+++=()0t ≠1t 2t 1201t t <<<101t <<21t =记，()()()23312h t t m t m =-+++则，即，此时，()()0120110h m h m ⎧=+>⎪⎨=--<⎪⎩121m m ⎧>-⎪⎨⎪>-⎩12m >-或得，此时无解，()()()012011033012h m h m m ⎧⎪=+>⎪⎪=--=⎨⎪-+⎪<-<⎪⎩121113m m m ⎧>-⎪⎪=-⎨⎪⎪-<<-⎩m 综上.12m >-【点睛】研究复杂的方程的根、函数的零点问题，主要考虑化归与转化的数学思想方法，将不熟悉、陌生的问题，转化为熟悉的问题来进行求解.如本题中，将方程有三个解的问，转化为指数型函数、二次型函数的知识来进行求解.。
江苏省南京市2018-2019学年高一上学期期末调研数学试题(含答案解析)(精编)
2018-2019学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知全集，集合，，则_____【答案】【解析】【分析】直接利用并集、补集的运算即可．【详解】解：A∪B＝{0，1，3}；∴{2，4}．故答案为：{2，4}．【点睛】本题考查列举法的定义，以及并集、补集的运算．2.函数f（x）=的定义域为______．【答案】【解析】【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式，解出即可．【详解】解：由题意得：2x﹣4≥0，解得：x≥2，故函数的定义域是[2，+∞），故答案为：[2，+∞）．【点睛】本题考查了函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3.已知角的终边经过点，则的值为 _____【答案】【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sinα、tanα的值，可得的值．【详解】解：∵角α的终边经过点P（﹣5，12），∴sinα，tanα，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.已知向量，，且，则实数的值为_____【答案】【解析】【分析】直接由向量共线的坐标运算得答案．【详解】解：∵量（4，﹣3），（x，6），且∥，则4×6﹣（﹣3）x＝0．解得：x＝﹣8．故答案为：﹣8．【点睛】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若（a1，a2），（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2＝0，∥⇔a1b2﹣a2b1＝0，是基础题．5.已知，则的值为_____【答案】【解析】【分析】根据对数的运算性质和对数式和指数式的互化即可求出．【详解】解：x＝log612﹣log63＝log64，∴6x＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了对数的运算性质和对数式和指数式的互化，属于基础题．6.如图，在直角三角形中，，，，垂足为，则的值为_____【答案】【解析】【分析】把代入化简通过向量的数量积的定义求解即可．【详解】解：在直角三角形ABD中，BD＝AB cos60°＝1••（）•4+2×1×cos120°＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力7.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则的值为_____【答案】【解析】【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，可得g（0）的值．【详解】解：将函数f（x）＝2sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）＝2sin（2x）的图象，则g（0）＝2sin，故答案为：．【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.已知a＞0且a≠1，若函数f（x）=的值域为[1，+∞），则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的表达式，结合函数的值域，列出不等式求解a的范围即可．【详解】解：a＞0且a≠1，若函数f（x）的值域为[1，+∞），当x≤2时，y＝3﹣x≥1，所以，可得1＜a≤2．故答案为：（1，2]．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．9.已知向量与满足，．又，，且在时取到最小值，则向量与的夹角的值为____【答案】【解析】【分析】由向量的模的运算得：||2＝[（1﹣t）t]2＝（5+4cosθ）t2﹣2（1+2cosθ）t+1，由二次函数的最值用配方法可得解．【详解】解：设向量与的夹角的值为θ，由t，（1﹣t），（1﹣t）t，||2＝[（1﹣t）t]2，＝（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ＝（5+4cosθ）t2﹣2（1+2cosθ）t+1，又5+4cosθ＞0，所以当t，解得：cosθ，又θ∈[0，π]，所以θ，故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的数量积及二次函数的最值问题，属中档题．10.已知函数，．若使不等式成立的整数恰有个，则实数的取值范围是____ 【答案】【解析】【分析】作出y＝g（x）的图象，讨论k＝0，k＜0，k＞0，结合抛物线开口方向和整数解的情况，即可得到所求范围．【详解】解：g（x）＝sin的周期为4，作出y＝g（x）的图象，当k＝0时，f（x）＝﹣x，不等式f（x）＜g（x）成立的整数x有无数个；当k＜0时，f（x）的图象为抛物线，且开口向下，恒过原点，不等式f（x）＜g（x）成立的整数x有无数个；当k＞0，可得不等式f（x）＜g（x）成立的整数x＝1，当f（x）的图象经过（1，1），可得k﹣1＝1，即k＝2；f（x）的图象经过（2，0），即4k﹣2＝0，解得k．由题意可得k＜2．故答案为：[，2）．【点睛】本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想，考查正弦函数的周期性和分类讨论思想方法，属于中档题．二、选择题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【详解】解：∵a＝log1.40.7＜log1.41＝0，b＝1.40.7＞1.40＝1，0＜c＝0.71.4＜0.70＝1，∴a，b，c的大小关系是a＜c＜b．故选：B．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.函数f（x）=x sinx，x∈[-π，π]的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的位置判断即可．【详解】解：f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），所以f（x）为偶函数，即图象关于y轴对称，则排除B，C，当x时，f（）sin0，故排除D，故选：A．【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置的应用，考查计算能力．13.在平行四边形中，，若，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由•11，结合向量加法的平行四边形法则及向量数量积的运算可求，然后代入，•（）即可求解．【详解】解：平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝3，又∵•11，∴9＝11，∴2，则•（）16+2＝18．故选：C．【点睛】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的基本运算，属于基础试题．14.已知函数 () 的图象与函数的图象交于，两点，则（为坐标原点）的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象，求得A、B的坐标，用分割法求△OAB的面积．【详解】解：函数y＝2cos x（x∈[0，π]）和函数y＝3tan x的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，由2cos x＝3tan x，可得2cos2＝3sin x，即 2sin2x+3sin x﹣2＝0，求得sin x，或sin x＝﹣2（舍去），结合x∈[0，π]，∴x，或x；∴A（，）、B（，），画出图象如图所示；根据函数图象的对称性可得AB的中点C（，0），∴△OAB的面积等于△OAC的面积加上△OCB的面积，等于•QC•|y A|OC•|y C|•OC•|y A﹣y C|••2π，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知向量，，向量满足．（1）求向量的坐标；（2）求向量与的夹角．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设（x，y），由••5，得，得（3，﹣1）；（2）由（2，1），（3，﹣1），可得||，||，•，进一步得cosθ，又θ∈[0，π]，可得θ．【详解】解：（1）设=（x，y），因为=（2，1），=（1，-2），•=•=5，所以解得所以=（3，-1）；（2）因为=（2，1），=（3，-1），所以||=，||=，又•=2×3+1×（-1）=5，所以cosθ===，又θ∈[0，π]，所以θ=．【点睛】本题考查向量的数量积的应用及坐标运算，考查计算能力．16.已知是第二象限角，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求值得解；（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求值得解．【详解】解：（1）因为α是第二象限角，且sinα=，所以cosα=-=-，所以tanα==-2．（2）=====．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调增区间；（3）若x∈[-，0]，求函数f（x）的值域．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；（2）令2kπ2x2kπ，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间；（3）由x∈[，0]，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．【详解】解：（1）由函数的图象可得A=2，T=•=-，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故f（x）=2sin（2x+）．（2）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ-≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．（3）若x∈[-，0]，则2x+∈[-，]，∴sin（2x+）∈[-1，]，故f（x）∈[-2，1]．【点睛】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的增区间、正弦函数的定义域和值值域，属于基础题．18.某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工（万元）与精加工的蔬菜量（吨）有如下关系：设该农业合作社将（吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为（万元）．（1）写出关于的函数表达式；（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）；（2）精加工吨时，总利润最大为万元.【解析】【分析】（1）利用已知条件求出函数的解析式；（2）利用二次函数的性质，转化求解函数的最值．【详解】解：（1）由题意知，当0≤x≤8时，y=0.6x+0.2（14-x）-x2=-x2+x+，当8＜x≤14时，y=0.6x+0.2（14-x）-=x+2，即y=（2）当0≤x≤8时，y=-x2+x+=-（x-4）2+，所以当x=4时，y max=．当8＜x≤14时，y=x+2，所以当x=14时，y max=．因为＞，所以当x=4时，y max=．答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为万元．【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．19.如图，在中，，，，是边上一点，且．（1）设，求实数，的值；（2）若点满足与共线，，求的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）把两边用表示即可得解；（2）利用共线向量建立，之间的数乘关系，进而结合（1）把用表示，利用垂直向量点积为零可得解．【详解】解：（1），∴，∴，∴x=，y=；（2）∵共线，∴可设，λ∈R，∵∴，∴=-=，，=，∴=，…①∵，∴，，，…②把②代入①并整理得：∴，∵，∴，∴，解得：，∴=或．故的值为或．【点睛】此题考查了平面向量基本定理，向量加减法，数量积等，难度适中．20.给定区间，集合是满足下列性质的函数的集合：任意，)．（1）已知，，求证：；（2）已知，．若，求实数的取值范围；（3）已知， ()，讨论函数与集合的关系．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）通过f（x+1）﹣2f（x）＝3x+1﹣2×3x＝3x＞0，验证即可．（2）通过g（x）∈M，得到a＜log2（x+1）﹣2log2x＝log2（）恒成立，通过最值求解即可．（3）h（x）＝﹣x2+ax+a﹣5，x∈（0，1]．若h（x）∈M，则当x∈[﹣1，1]，h（x+1）＞2h（x）恒成立，即x2﹣（a+2）x+4＞0恒成立．记H（x）＝x2﹣（a+2）x+4，x∈[﹣1，1]．通过a≤﹣4时，﹣4＜a ＜0时，a≥0时，求出函数的最值求解即可．【详解】解：（1）证明：因为f（x）=3x，所以f（x+1）-2f（x）=3x+1-2×3x=3x＞0，即f（x+1）＞2f（x），所以f（x）∈M．（2）因为g（x）=a+log2x，x∈（0，1]，且g（x）∈M，所以当x∈（0，1]时，g（x+1）＞2g（x）恒成立，即a+log2（x+1）＞2a+2log2x恒成立，所以a＜log2（x+1）-2log2x=log2（+）恒成立．因为函数y=log2（+）在区间（0，1]上单调递减，所以当x=1时，y min=1．所以a＜1．（3）h（x）=-x2+ax+a-5，x∈（0，1]．若h（x）∈M，则当x∈[-1，1]，h（x+1）＞2h（x）恒成立，即-（x+1）2+a（x+1）+a-5＞-2x2+2ax+2a-10恒成立即x2-（a+2）x+4＞0恒成立．记H（x）=x2-（a+2）x+4，x∈[-1，1]．①当≤-1，即a≤-4时，H（x）min=H（-1）=a+7＞0，即a＞-7．又因为a≤-4，所以-7＜a≤-4；②当-1＜＜1，即-4＜a＜0时，H（x）min=H（）=＞0，恒成立，所以-4＜a＜0；③当≥1，即a≥0时，H（x）min=H（1）=3-a＞0，即a＜3．又a≥0，所以0≤a＜3．综上所得-7＜a＜3．所以当-7＜a＜3时，h（x）∈M；当a≤-7或a≥3时，h（x）∈M．【点睛】本题考查函数的最值的求法，考查转化思想、分类讨论思想以及计算能力．。
2018-2019学年高一数学上学期小期末考试期末模拟试题文科平行班
阜阳三中2018-2019学年第一学期高一年级小期末考试数学（文科平行班）试卷（满分150分，时间120分钟）命题人：一.选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分)1.如图所示，阴影部分表示的集合是()A ．(∁UB )∩A B ．(∁U A )∩BC ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )2．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列结论中成立的是()A ．sin α＝12且cos α＝12B ．tan α＝2且cos αsin α＝13C ．tan α＝1且cos α＝±22D ．sin α＝1且tan α·cos α＝14．与函数的图像不相交的一条直线是()A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π85．函数y ＝1log0.5－的定义域为()A ．B ．C ．D ． 6．已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝x a ，h (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，在同一平面直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是()7．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是()A ．2x >x >lg xB ．2x >lg x >xC ．x >2x >lg xD ．lg x >x >2x8．若函数f (x )的唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，内，则与f (0)符号相同的是()A ．B ．C ．D ．9．为了得到函数的图像，只需把函数的图像()A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度10．已知函数f (x )＝log x ，则方程的实根个数是()A ．1B ．2C ．3D ．411．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝() A ．3B ．2C ．32D ．2312．若f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有()A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)二.填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)13．计算________． 14．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －x2，0≤x≤3，x2＋6x ，－2≤x≤0的值域是________．15．如图所示的曲线是y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图像的一部分，则这个函数的解析式 是________．16．有下列四个命题：①若α，β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β； ②若函数的最小正周期是4π，则＝12； ③函数是奇函数； ④函数在[0，π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．三.解答题(第17题10分，其余每题均为12分，共70分)17．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6}，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}．(1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若A ⊇B ，求m 的取值范围．18．(1)若为第三象限角，化简：；(2)已知，求值：.19．已知函数f(x)＝，其中x∈[0,3]．(1)求函数f(x)的最大值和最小值；(2)若实数a满足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围．20．A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电．为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10 km．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)把月供电总费用y表示成x的函数；(2)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小?21．已知曲线y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，)上的一个最高点的坐标为，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点．(1)试求这条曲线的函数解析式；(2)写出函数的单调区间．22．设函数y ＝f (x )的定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，，当x >0时，f (x )>0．(1)求f (0)的值；(2)判断函数的奇偶性；(3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值范围．参考答案1-5ADCDA 6-10BACBB 11-12CD二.填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)13．【答案】－2014．【答案】[－8，1]15．【答案】y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π316．【答案】④三.解答题(第17题10分，其余每题均为12分，共70分)17．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．18．解：(1)∵为第三象限角，∴原式(2)∵，∴，∴原式.19．解：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x －6(0≤x ≤3)．令t ＝2x，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.令h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26.(2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立，∴a ≤f (x )min 恒成立． 由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10.故a 的取值范围为(－∞，－10]．20．解： (1)y ＝0.25×20x 2＋0.25×10(100－x )2＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)； (2)由y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003. 则当x ＝1003 km 时，y 最小．故当核电站建在距A 城1003 km 时，才能使供电费用最小．21．解：(1)依题意，A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π2＝4π，∵T ＝2π|ω|＝4π，ω＞0，∴ω＝12.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.∵曲线上的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＝1.∴φ＋π4＝2k π＋π2.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4.(2)令2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2，k ∈Z.∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－3π2，4k π＋π2(k ∈Z)．令2k π＋π2≤12x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，∴4k π＋π2≤x ≤4k π＋5π2，k ∈Z.∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋π2，4k π＋5π2(k ∈Z).22．解：(1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.(2)函数y ＝f (x )的定义域为R ，令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )， 故函数f (x )是R 上的奇函数．(3)任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则x 2－x 1>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2.∴f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )]＝f (2x ＋2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23.又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，得2x ＋2<23，解之得x <－23.故x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.。
2022-2023学年江苏省南京市高一年级上册学期期末考试数学试卷【含答案】
南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则( )R A B ⋃= A．B．C．D ．2．函数的定义域为．( )()lg(2)f x x =+-A ．B ．C ．D ．1[,)3+∞1[,2]31[,2)3[2,)+∞3．设，，，则a ，b ，c 的大小关系为．( )0.73a =0.81(3b -=0.7log 0.8c =A ．B ．a b c <<b a c <<C ．D ．b c a<<c a b<<4．圆心在原点，半径为10的圆上的两个动点M ，N 同时从点出发，沿圆周运动，点M 按(10,0)P 逆时针方向旋转，速度为弧度/秒，点N 按顺时针方向旋转，速度为弧度/秒，则它们第三次相6π3π遇时点M 转过的弧度数为( )A ．B ．C ．D ．2ππ2π3π5．设，则( )0.311531log 3,log 5,()5a b c ===A ．B ．C ．D ．a b c<<a c b<<b c a<<b a c<<6．设函数，则( )()ln |21|ln |21|f x x x =+--()f x A ．是偶函数，且在单调递增B ．是奇函数，且在单调递减1(,)2+∞11(,)22-C ．是偶函数，且在单调递增D ．是奇函数，且在单调递减1(,2-∞-1(,2-∞-7．中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，佩玉不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用．不同形状、不同图案的玉佩又代表不同的寓意．如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分如图，经测量知，，(2)4AB CD ==3BC =，则该玉佩的面积为( )7AD =A ．B ．C ．D ．496π-493π-496π493π8．已知函数的表达式为，若且，则的取值()y f x =2()|log |f x x =0m n <<()()f m f n =2m n +范围为( )A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。
江苏省南京市南京师大附中2023-2024学年高一上学期期末数学试题
江苏省南京市南京师大附中2023-2024学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________18．已知函数()sin()f x A x w j =+（0A >，0w >，||πj <）的部分图象如图所示.若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数()g x 的图象.(1)求()f x 的解析式；(2)当[0,2]x Î时，求()g x 的单调递减区间.19．已知函数()||f x x x =，函数2()2g x x x m =--.(1)求不等式()321f x ->-的解集；(2)如果对于任意2[1,2]x Î-，都存在1[2,1]x Î-，使得()()21g x f x =，求实数m 的取值范围.21．已知函数()2()log 41x f x ax =++是偶函数.(1)求实数a 的值；(2)若函数22()()222x x f x g x m -=++×的最小值为4-，求实数m 的值.22．设a 为常数，函数2()2cos sin 1f x x a x =--.(1)当1a =时，求()f x 的值域；(2)讨论()f x 在区间()0,π上的零点的个数；(3)设n 为正整数，()f x 在区间()0,πn上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n 的值.)x因为202421012=´，所以2024n =或2025；当11a -<<时，则110t -<<，201t <<，()f x 在()0,πk （k 为正整数）内零点个数均为2k ，所以1012n k ==；当1a >，则11t <-，201t <<，()f x 在()0,2πk 和()()0,21πk -（k 为正整数）内零点个数均为2k ，所以2023n =或2024；综上n 的所有可能值为1012，1349，2023，2024，2025.【点睛】方法点睛：（2），（3）利用换元法后得()221f t t at =--+且280a D =+>得存在两个零点，通过对a 的分类讨论确定每种情况下两零点的取值，然后由[]sin 1,1t x =Î-来确定在()0,πn 上的n 可能的值.。
高中数学-高一上学期期末调研测试数学试题 Word版含解析72
2018-2019学年高一上学期期末调研测试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，求得集合，集合，根据集合的交集的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，集合，根据集合的交集的运算，可得，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中首先求解集合，再利用集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：，，，，根据样本的频数分布估计，大于或等于的数据约占A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到大于或等于的频数，除以总数即可.【详解】由题意知，大于或等于的数据共有：则约占：本题正确选项：【点睛】考查统计中频数与总数的关系，属于基础题.3.秦九韶算法是中国古代求多项式的值的优秀算法，若，当时，用秦九韶算法求A. 1B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】通过将多项式化成秦九韶算法的形式，代入可得.【详解】由题意得：则：本题正确选项：【点睛】本题考查秦九韶算法的基本形式，属于基础题.4.下列四组函数中，不表示同一函数的是A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】D【解析】【分析】根据相同函数对定义域和解析式的要求，依次判断各个选项.【详解】相同函数要求：函数定义域相同，解析式相同三个选项均满足要求，因此是同一函数选项：定义域为；定义域为，因此不是同一函数本题正确选项：【点睛】本题考查相同函数的概念，关键在于明确相同函数要求定义域和解析式相同，从而可以判断结果.5.执行如图所示程序框图，当输入的x为2019时，输出的A. 28B. 10C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】的变化遵循以为公差递减的等差数列的变化规律，到时结束，得到，然后代入解析式，输出结果.【详解】时，每次赋值均为可看作是以为首项，为公差的等差数列当时输出，所以，即即：，本题正确选项：【点睛】本题结合等差数列考查程序框图问题，关键是找到程序框图所遵循的规律.6.函数的单调递增区间为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合对数真数大于零，求出定义域；再求出在定义域内的单调递减区间，得到最终结果.【详解】或在定义域内单调递减根据复合函数单调性可知，只需单调递减即可结合定义域可得单调递增区间为：本题正确选项：【点睛】本题考查求解复合函数的单调区间，复合函数单调性遵循“同增异减”原则，易错点在于忽略了函数自身的定义域要求.7.在一不透明袋子中装着标号为1，2，3，4，5，6的六个质地、大小、颜色无差别小球，现从袋子中有放回地随机摸出两个小球，并记录标号，则两标号之和为9的概率是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定所有可能的基本事件总数，再列出标号和为的所有基本事件，根据古典概型可求得概率. 【详解】有放回的摸出两个小球共有：种情况用表示两次取出的数字编号标号之和为有：，，，四种情况所以，概率本题正确选项：【点睛】本题考查古典概型的相关知识，对于基本事件个数较少的情况，往往采用列举法来求解，属于基础题.8.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是A. 336B. 510C. 1326D. 3603 【答案】B【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.9.设，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将化成对数的形式，然后根据真数相同，底数不同的对数的大小关系，得到结果.【详解】由题意得：又本题正确选项：【点睛】本题考查对数大小比较问题，关键在于将对数化为同底或者同真数的对数，然后利用对数函数图像来比较.10.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A. 是奇函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是偶函数【答案】D【解析】试题分析：根据题意，A.错误，令定义域为，由：，所以是非奇非偶函数；B错误，令定义域为，由：即：，所以是偶函数；C.错误.令定义域为，由：，所以为非奇非偶函数；D.正确.令定义域为，由，即，所以为偶函数，正确.综上，答案为D.考点：1.函数的奇偶性；2.奇偶函数的定义域.11.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，若对任意，都有恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质，可知函数在上是减函数，根据不等式在上恒成立，可得：在上恒成立，可得的范围.【详解】为偶函数且在上是增函数在上是减函数对任意都有恒成立等价于当时，取得两个最值本题正确选项：【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.12.设，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不同的范围，求解出的值域，从而得到的值域，同理可得的值域，再根据取整运算得到可能的取值.【详解】由题意得：，①当时，则，此时，，，则②当时，，，，.③当时，则，此时，，，则综上所述：的值域为本题正确选项：【点睛】本题考查新定义运算的问题，解题关键在于能够明确新定义运算的本质，易错点在于忽略与的彼此取值影响，单纯的考虑与整体的值域，造成求解错误.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域是_______________【答案】【解析】由题要使函数有意义须满足14.小明通过做游戏的方式来确定接下来两小时的活动，他随机地往边长为1的正方形内扔一颗豆子，若豆子到各边的距离都大于，则去看电影；若豆子到正方形中心的距离大于，则去打篮球；否则，就在家写作业则小明接下来两小时不在家写作业的概率为______豆子大小可忽略不计【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，求出写作业所对应的区域面积，利用得到结果.【详解】由题意可知，当豆子落在下图中的空白部分时，小明在家写作业大正方形面积；阴影正方形面积空白区域面积：根据几何概型可知，小明不在家写作业的概率为：本题正确结果：【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.15.若函数为偶函数，则______．【答案】1【解析】【分析】为定义域上的偶函数，所以利用特殊值求出的值.【详解】是定义在上的偶函数即解得：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解参数值，对于定义域明确的函数，常常采用赋值法来进行求解，相较于定义法，计算量要更小.16.已知函数，若存在实数a，b，c，满足，其中，则abc的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据解析式，画出的图像，可知函数与每段的交点位置，由此可得，再求出的范围后，可确定整体的取值范围.【详解】由解析式可知图像如下图所示：由图像可知：又且时，可知即又本题正确结果：【点睛】本题考查函数图像及方程根的问题，关键在于能够通过函数图像得到的关系.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设集合，不等式的解集为B．当时，求集合A，B；当时，求实数a的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2.【解析】【分析】（1）直接代入集合即可得，解不等式得；（2）分别讨论和两种情况，得到关于的不等式组，求得取值范围.【详解】（1）当时，（2）若，则有：①当，即，即时，符合题意，②当，即，即时，有解得：综合①②得：【点睛】本题考查了解二次不等式、集合间的包含关系及空集的定义，属基础题．易错点在于忽略了的情况.18.在平面直角坐标系中，记满足，的点形成区域A，若点的横、纵坐标均在集合2，3，4，中随机选择，求点落在区域A内的概率；若点在区域A中均匀出现，求方程有两个不同实数根的概率；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用列举法确定基本事件，即可求点落在区域内的概率；（2）以面积为测度，求方程有两个实数根的概率．【详解】根据题意，点的横、纵坐标在集合中随机选择，共有个基本事件，并且是等可能的其中落在，的区域内有，，，，，，，，共个基本事件所以点落在区域内的概率为（2），表示如图的正方形区域，易得面积为若方程有两个不同实数根，即，解得为如图所示直线下方的阴影部分，其面积为则方程有两个不同实数根的概率【点睛】本题考查概率的计算，要明确基本事件可数时为古典概型，基本事件个数不可数时为几何概型，属于中档题．19.计算：；若a，b分别是方程的两个实根，求的值．【答案】（1）；（2）12.【解析】【分析】（1）利用指数与对数运算性质即可得出；（2）根据题意，是方程的两个实根，由韦达定理得，，利用对数换底公式及其运算性质即可得出．【详解】（1）原式（2）根据题意，是方程的两个实根由韦达定理得，原式【点睛】本题考查了指数与对数运算性质、对数换底公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.下面给出了2010年亚洲某些国家的国民平均寿命单位：岁．国家平均寿命国家平均寿命国家平均寿命阿曼阿富汗59 巴基斯坦巴林阿联酋马来西亚朝鲜东帝汶孟加拉国韩国柬埔寨塞浦路斯老挝卡塔尔沙特阿拉伯蒙古科威特哈萨克斯坦缅甸菲律宾印度尼西亚日本黎巴嫩土库曼斯坦65吉尔吉斯斯泰国尼泊尔68坦乌兹别克斯约旦土耳其坦越南75 伊拉克也门中国以色列文莱伊朗74 新加坡叙利亚印度根据这40个国家的样本数据，得到如图所示的频率分布直方图，其中样本数据的分组区间为：，，，，，请根据上述所提供的数据，求出频率分布直方图中的a，b；请根据统计思想，利用中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命及国民寿命的中位数保留一位小数．【答案】（1），；（2）平均寿命71.8，中位数71.4.【解析】【分析】（1）根据表中数据，亚洲这个国家中，国民平均寿命在的频数是，频率是，由此能求出，同理可求；（2）由频率分布直方图能估计亚洲人民的平均寿命及国民寿命的中位数．【详解】（1）根据表中数据，亚洲这个国家中国民平均寿命在的频数是，频率是国民平均寿命在的频数是，频率是，计算得，由频率分布直方图可知，各个小矩形的面积各个区间内的频率转换为分数分别是：，，，，，以上所有样本国家的国民平均寿命约为：前三组频率和为中位数为根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为岁，寿命的中位数约为岁【点睛】本题考查实数值、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如表：年份年 1 2 3 4 5维护费万元Ⅰ求y关于t的线性回归方程；Ⅱ若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由．参考公式：，【答案】（Ⅰ）；（2）甲更有道理.【解析】【分析】（Ⅰ）分别求出相关系数，求出回归方程即可；（Ⅱ）代入的值，比较函数值的大小，判断即可．【详解】（Ⅰ），，，，，所以回归方程为（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：（万元）若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：（万元）所以甲更有道理【点睛】本题考查了求回归方程问题，考查函数求值，是一道常规题．22.已知，．求在上的最小值；若关于x的方程有正实数根，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可；（2）得到，令，问题转化为在有实根，求出的范围即可．【详解】（1）当时，在上单调递减故最小值当时，是关于的二次函数，对称轴为当时，，此时在上单调递减故最小值当时，对称轴当，即时，在单调递减，在单调递增故最小值当时，即时，在上单调递减故最小值综上所述：（2）由题意化简得令，则方程变形为，根据题意，原方程有正实数根即关于的一元二次方程有大于的实数根而方程在有实根令，在上的值域为故【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想．关键是通过换元的方式将问题转化为二次函数在区间内有实根的问题，可以用二次函数成像处理，也可以利用分离变量的方式得到结果.。
江苏省南京市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．函数的定义域为（ ） ()ln 1y x =+A ． B ． ()1,+∞()1,-+∞C ． D ．[)1,-+∞(),1-∞-【答案】B【分析】根据对数的真数大于零可得出关于x 的不等式，即可解得函数的定义域. ()ln 1y x =+【详解】令，解得， 10x +>1x >-故函数的定义域为. ()ln 1y x =+()1,-+∞故选：B.2．“”是“”的（ ） 1x >21x >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为，则，但是不一定有，所以“”是“”成立的充分不1x >21x >21x >1x >1x >21x >必要条件． 故选：A ．3．在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表： x0.500.99 2.01 3.98y 0.99-0.010.982.00则下列选项中对x ，y 最适合的拟合函数是（ ）A ． B ． C ．2y x =21y x =-22y x =-D ．2log y x =【答案】D【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论． 【详解】解：根据，，代入计算，可以排除； 0.50x =0.99y =-A 根据，，代入计算，可以排除、； 2.01x =0.98y =B C 将各数据代入检验，函数最接近，可知满足题意 2log y x =故选：．D【点睛】本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，根据中周九十二步，外周一百二十1R 2R α二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是，外周的半径是，圆心角为，，解得.1R 2R α1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩6α=故选：C5．已知函数，则的值为（ ）()12cos ,0,0x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪≥⎩π3f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ABC ．4D ．14【答案】B【分析】根据分段函数运算求解.【详解】由题意可得：，故πππ1cos cos 3332f ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12π11322f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B.6．函数的图像大致为（ ）()2sin f x x x =A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数是奇函数，且函数在时函数值的正负，从而得出结论．()2sin f x x x =()0,πx ∈【详解】由函数定义域为,,故()2sin f x x x =R ()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-()2sin f x x x=为奇函数，故它的图像关于原点对称，可以排除C 和D ；又函数在时,函数，可以排除B ，所以只有A 符合．()2sin f x x x =()0,πx ∈()2sin 0f x x x =>故选:A ．7．在科学技术中，常常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数.若取，e 2.71828...=3e 20≈，则（ ）7e 1100≈ln 55≈A ．B ．C ．4D ．673113【答案】C【分析】根据题意结合指、对数运算求解.【详解】由题意可得：.7431100e ln 55ln ln ln e 420e =≈==故选：C.8．函数的零点为，函数的零点为，若()2log 4f x x x =+-1x ()()()log 151a g x x x a =+-->2x ，则实数的取值范围是（ ） 211x x ->aA ．B ．C ．D ．(()1,2)+∞()2,+∞【答案】D【分析】根据函数单调性,再由确定范围,即可确定实数的取值范围. 211x x ->a 【详解】已知,, ()2log 4f x x x =+-()()()log 151a g x x x a =+-->函数的零点为，()2log 4f x x x =+-1x函数的零点为， ()()()log 151a g x x x a =+-->2x 则()12122log 4log 150a x x x x +-=+--=()12122log 41log 14a x x x x +-=-+--()12122log 1log 1a x x x x +=-+-121x x <-又因为,这两函数均单调递增， 2log y x x =+()()log 111a y x x a =+-->当时，,解得. 121x x <-()212log >log 1a x x -2a >故选:D.二、多选题9．已知角的终边经过点，则（ ） θ()()2,0P a a a >A ．B ．sin θ=cos θ=C ．D ．1tan 2θ=tan 2θ=【答案】AC【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】因为角的终边经过点， θ()()2,0P a a a >所以，故A 正确；sin θ=B 错误；cos θ==，故C 正确，D 错误. 1tan 22a a θ==故选：AC.10．若，则（ ） 01m a b <<<<A ． B ． a b m m <m m a b <C ．D ．log log m m a b >b aa mb m>++【答案】BCD【分析】对于A ：构造函数，利用单调性判断；对于B ：构造函数，利用单调()x f x m =()mg x x =性判断；对于C ：构造函数，利用单调性判断；对于D ：利用作差法比较大小.()log m h x x =【详解】对于A ：因为，所以单调递减.01m <<()xf x m =因为，所以.故A 错误；a b <a b m m >对于B ：因为，所以单调递增.01m <<()mg x x =因为，所以.故B 正确；a b <m m a b <对于C ：因为，所以单调递减. 01m <<()log m h x x =因为，所以.故C 正确；a b <log log m m a b >对于D ：因为，所以.故D 正()()()()()()220b a b a m b a b bm a am a m b m a m b m a m b m -+-+---==>++++++b aa mb m>++确. 故选：BCD11．已知函数，则（ ） ()1tan tan f x x x=+A ．的最小正周期为B ．的图象关于轴对称()f x π()f x y C ．的最小值为2 D ．在上为增函数()f x ()f x ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AD【分析】先利用三角函数基本关系式化简得，再利用周期函数的定义与诱导公式即可()2sin 2f x x=判断A 正确；举反例即可排除B ；取特殊值计算即可判断C 错误；利用三角函数的单调性与复合函数的单调性即可判断D 正确.【详解】对于A ，因为， ()221sin cos sin cos 2tan tan cos sin sin cos sin 2x x x x f x x x x x x x x+=+=+==设的正周期为，则，即， ()f x T ()()f x T f x +=()22sin 2sin 2T x x =+所以，()sin 22sin 2T x x +=由诱导公式可得，即， 22π,Z T k k =∈π,Z T k k =∈又，故，即，则，故， 0T >π0k >0k >1k ≥ππT k =≥所以的最小值为，即的最小正周期为，故A 正确；T π()f x π对于B ，因为， ππ1ππ1tan 2,tan 2ππ4444tan tan 44f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭又与不关于轴对称， π,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭π,24⎛⎫⎪⎝⎭y 所以的图象关于轴对称，故B 错误；()f x y 对于C ，因为，所以2不是的最小值，故C 错误；π24f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()f x 对于D ，因为，所以，故在上单调递减，且，ππ42x <<π2π2x <<sin 2y x =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭sin 20x >又在上单调递减， 2y x=()0,∞+所以在单调递增，故D 正确. ()2sin 2f x x =ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭故选：AD.12．已知函数，对于任意，，则（ ） ()y f x =,R x y ∈()()()f x f x y f y =-A ． B ．()01f =()()22f x f x =C ． D ．()0f x >()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥【答案】ACD【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可. 【详解】令，故A 正确； ()()()()001f x x y f f f x =⇒=⇒=由已知，① ()()()()()()()()()f x f x y f x f y f x y f x y f x f y f y =-⇒=-⇒+=令满足题干要求，则，故B 错()()(),0,11,x f x a a =∈+∞ ()()2222,,x xf x a f x a ==()()22f x f x ≠误；由①可知，令，则，2x x y ==()2222x x x f x f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦又因为，则，所以，故C 正确； ()()()f x f x y f y =-02x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭()202x f x f ⎡⎤⎛⎫=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦因为，所以，()0f x>()()f x f y +≥=又由①，令，则， 2x y x y +==()2222x y x y x y f x y f f f ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，故D 正确.()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥故选：ACD.三、填空题13．函数的图象关于点_________中心对称.（写出一个正确的点坐标即可） 2cos y x =【答案】（答案不唯一）π,02⎛⎫⎪⎝⎭【分析】对称中心的横坐标满足，取得到2cos y x =ππ,Z 2x k k =+Î0k =【详解】对称中心的横坐标满足：，取得到对称中心为.2cos y x =ππ,Z 2x k k =+Î0k =π,02⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：π,02⎛⎫⎪⎝⎭14．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为x 0ax b +>()3,-+∞x 20ax bx +<_________. 【答案】()3,0-【分析】先根据不等式的解集可得的关系及的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解. ,a b a 【详解】由的解集为， 0ax b +>()3,-+∞可得，且方程的解为， 0a >0ax b +=3-所以，则， 3ba-=-3b a =所以，()222303030ax bx a x x x x x +=+<⇒+<⇒-<<即关于的不等式的解集为. x 20ax bx +<()3,0-故答案为：.()3,0-15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若R ()f x ()()4f x f x +=[)0,4x ∈()2xf x m =+，则___________.()()202331f f =m =【答案】1【分析】由题意可得函数的周期为4，根据题意结合周期性可得答案.【详解】由可得的函数周期为4，则， ()()4f x f x +=()f x ()()()20235054338f f f m =⨯+==+由，则，解得.()()202331f f =()832m m +=+1m =故答案为：1.四、双空题16．对于非空集合，定义，若，是两个非空集合，且，则M ()0,Φ1,x Mx x M ∉⎧=⎨∈⎩A B A B ⊆___________；若，，且存在，()()1A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦1sin 2A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭(),2B a a =x R ∈，则实数的取值范围是_______________.()()2A B x x Φ+Φ=a 【答案】 0513,,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】第一空分，和且三种情况来研究，第二空根据已知分析出a 的大致x A ∈x B ∉x A ∉x B ∈范围，最后列出不等式求解即可.【详解】即则一定有，所以分三段研究：A B ⊆x A ∈x B ∈时，，，即； x A ∈()1A x Φ=()1B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦时，，，即； x B ∉()0A x Φ=()0B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦且时，，，即.x A ∉x B ∈()0A x Φ=()1B x Φ=()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦综上所述，；()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦由已知()()()()21A B A B x x x x Φ+Φ=⇒Φ=Φ=且， 522,66A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(),20B a a a =⇒>要满足题意则，此时区间长度时一定满足，故下研究时，（其中A B ⋂≠∅43a π≥403a π<<，即为集合的补集中一段的区间长） 452366ππππ=+-A 此时，因此满足题意的反面情况有或，8023a a π<<<026a a π<<≤513266a a ππ<≤≤解得或，因此满足题意的范围为. 012a π<≤513612a ππ≤≤a 513,,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭五、解答题17．求下列各式的值：(1)； 6213222⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭(2).ln3213log 8log 9e -+【答案】(1)128 (2)8【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数和指数的运算性质求解.【详解】（1）.612216723322222128⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭（2）. ln3213log 8log 9e 3238-+=++=18．若.()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭(1)求的值； sin cos αα⋅(2)若，求的值. ()0,πα∈tan α【答案】(1) 12sin cos 25αα=-(2)43-【分析】（1）化简得到，平方得到，得到答案. 1sin cos 5αα+=112sin cos 25αα+=（2）根据得到，解得，得到答案.12sin cos 025αα=-<7sin cos 5αα-=4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【详解】（1），则，()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭5sin 4cos cos 1ααα+=-+，，，则；1sin cos 5αα+=()21sin cos 25αα+=112sin cos 25αα+=12sin cos 25αα=-（2），所以，即，， 12sin cos 025αα=-<2απ<<πsin 0α>cos 0α<. 7sin cos 5αα-===，解得， 7sin cos 51sin cos 5αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩sin tan s 43co ααα==-19．已知集合，. 14x A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭()(){}230B x x m x m =---<(1)若，求；3m =-A B ⋃(2)在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.若A B B = A B ⋂=∅_________，求实数的取值范围.m 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)；(),0A B ⋃=-∞(2)选①；若选②. (]{},73-∞-⋃[)2,-+∞【分析】(1)代入的值，求出集合B ，用并集的运算性质计算即可.m (2)若选①，即，则对的值进行分类讨论，根据集合包含关系即可得到的取值A B B = B A ⊆m m 范围.若选②，对的值进行分类讨论，依次根据，求实数的取值范围. m A B ⋂=∅m 【详解】（1），即， ()36060m x x x =-⇒+<⇒-<<()6,0B =-而，即，所以； 441004444x x x x x x x -->⇒>⇒<⇒<-+++(),4A =-∞-(),0A B ⋃=-∞（2）若选①即A B B = B A ⊆时，，即，要满足题意则，与前提矛盾，舍； 3m >23m m >+()3,2B m m =+24m ≤-时，，即，符合题意；3m =23m m =+B =∅时，，即，要满足题意则，即.3m <23m m <+()2,3B m m =+34m +≤-7m ≤-综上所述，实数的取值范围是. m (]{},73-∞-⋃若选②，若，A B ⋂=∅时，，即，要满足题意则，则满足，解得3m >23m m >+()3,2B m m =+A B ⋂=∅34m +≥-，则；7m ≥-3m >若时，，即，满足；3m =23m m =+B =∅A B ⋂=∅时，，即，要满足题意则解得，即；3m <23m m <+()2,3B m m =+24,m ≥-2m ≥-23m -≤<综上，实数的取值范围是.m [)2,-+∞20．函数（，）在一个周期内的图象如图所示.()()sin f x A x =+ωϕ0,0A ω>>0πϕ<<(1)求的解析式； ()f x (2)将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，设，证明：()f x 2π3()g x ()()()h x f x g x =-为偶函数.()h x 【答案】(1)()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由图得到，求得，代入点，求得，2,πA T ==2ω=π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z 结合题意得到，即可求得函数的解析式；23ϕπ=（2）由三角函数的图象变换求得，根据偶函数的定义证明即可.()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】（1）由最值得， 2A =由相邻两条对称轴距离得，则，即，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭2ππT ω==2ω=此时，()()2sin 2f x x ϕ=+代入点得：，π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭πsin 16ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则，即， ()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z ()2π2π3k k ϕ=+∈Z 又因为，所以， 0πϕ<<230,k πϕ==故.()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由题意得， ()2π2π2π2sin 22sin 2333g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则， ()2π2π2sin 22sin 233h x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为， ()()2π2π2π2π2sin 22sin 22sin 22sin 23333h x x x x x h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+---=--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以为偶函数.()h x 21．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单x C 位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与x ()()2005C x x x =>+安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. y (1)要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； y x (2)设备占地面积为多少时，的值最小？ x y 【答案】(1)[]11,20(2)设备占地面积为时，的值最小. 215m y【分析】（1）由题意解不等式，即可求得； 800.27.25x x ++≤（2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得. ()800.205y x x x =+>+要满足题意,则， 7.2y ≤即，解得：. 800.27.25x x ++≤1120x ≤≤即设备占地面积的取值范围为.x []11,20（2）， 805800.21117555x y x x x +=+=+--=++≥=当且仅当时等号成立. 5801555x x x +=⇒=+所以设备占地面积为时，的值最小. 215m y 22．已知函数，. ()()1222x x f x -=+()()1222x x g x -=-(1)利用函数单调性的定义，证明：在区间上是增函数； ()f x [)0,∞(2)已知，其中是大于1的实数，当时，，求实()()()2449F x fx mf x =-+m []20,log x m ∈()0F x ≥数的取值范围； m (3)当，判断与的大小，并注明你的结论. 0a ≥()()g x f x ()()1af x a +-【答案】(1)证明见解析 (2)(]1,3(3) ()()()()1g x af x a f x <+-【分析】按照函数单调性的定义的证明步骤：设值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；（2）先换元，再分离常数，最后再利用基本不等式即可求出实数的取值范围； m （3）采用作差法，结合基本不等式和指数函数的值域即可比较出大小. 【详解】（1）解：， 120x x ∀>≥()()()()11221211222222x x x x f x f x ---=+-+ 2112121212121222222222221212222x x x x x x x x x x x x x x --++--+-+--⎛⎫===- ⎪⎝⎭因为，所以，，所以， 120x x >≥12220x x ->1221x x +>()()120f x f x ->即在上是增函数.()f x [)0,∞+（2）解：由已知 ()2222244922x x x xF x m --⎛⎫⎛⎫++=⋅-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭设，由（1）得在上单调递增，即，222xxt -+=()f x []20,log m 11,2m m t ⎡⎤+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以， ()229044904494F x t mt mt t m t t⇔-+⇔+⇔+≥≥≤≤①时，，即，当且仅当时取等， m 1322m m +≥934t t+=≥32t =此时要满足恒成立，即；94m t t +≤min 934m t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭≤3m ≤②，此时在上单调递减， 1m <<1322m m +<94y t t =+11,2m m ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦即， min119,1222m m m m t ym m ++==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭此时要满足恒成立，即，化简得， 94m t t+≤min 1991422m m m t t m m +⎛⎫+=+⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭≤42910m m --≤此时因为，此时恒成立211m m <<⇒<<42910m m --≤综上所述，实数的取值范围是.m (]1,3（3）解：()()()()112222111222x xx x xxg x af x a a a f x -+---=-⋅-++ 2112222222111222222x xxxxx xxxx a a a ⎛⎫++ ⎪=--⋅=--⎪⎪++⎝⎭因为（当且仅当时取等），所以，即， 1222xx +≥0x =12212x x +≥122102x x+-≤由已知，所以， 0a ≥122102xx a ⎛⎫+ ⎪- ⎪⎪⎝⎭≤又因为，所以，即，20x >220122xxx>+220122xxx-<+因此，所以. ()()()()122221101222xx x x x g x af x a a f x ⎛⎫+ ⎪---=--< ⎪⎪+⎝⎭()()()()1g x af x a f x <+-。
江苏省南京市2024-2025学年高二上学期10月六校联合调研数学试题(含答案)
2024-2025学年第一学期10月六校联合调研试题高二数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数满足，则（ ）C.3D.52.设为实数，已知直线，若，则（ ）A.6B.C.6或D.或33.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）A.B. C.12 D.4.已知（ ）A.B.D.35.设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（）A.B.C.16.已知为直线上的动点，点满足，则点的轨迹方程为（ ）A.B.C. D.7.如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（ ）z ()12i 34i z +=-z =a ()12:320,:6340l ax y l x a y +-=+-+=1l ∥2l a =3-3-6-x 2213x ym +=m 3421412-cos πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭3-20x ay ++=22:(2)16C x y +-=,A B ABC V a =1-M :2310l x y ++=P ()2,4MP =-P 3290x y -+=2249(2)(4)13x y -++=2390x y ++=2249(2)(4)13x y ++-=118,2AB A B ==122312,V V 12V V =A.B. C. D.8.关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C 的离心率为（ ）A.C.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.国庆期间，某校开展“弘扬中华传统文化，传承中华文明”主题活动知识竞赛.赛前为了解学生的备赛情况，组织对高一年级和高二年级学生的抽样测试，测试成绩数据处理后，得到如下频率分布直方图，则下面说法正确的是（）A.B.高一年级抽测成绩的众数为75C.高二年级抽测成绩的70百分位数为87D.估计高一年级学生成绩的平均分低于高二年级学生成绩的平均分10.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A.若，则2365287208387208()222210x y a b a b+=>>()00,P x y 00221x x y y a b +=()2222:10x y C a b a b+=>>F A F x C M M l l 1k AM 2k 1220k k +=13230.025a =,m n ,αβα∥,m β∥,n αβ⊥m n⊥B.若，则C.若，则D.若，则11.已知圆C ：，以下四个命题表述正确的是（）A.若圆与圆C 恰有3条公切线，则B.圆与圆C 的公共弦所在直线为C.直线与圆C 恒有两个公共点D.点为轴上一个动点，过点作圆C 的两条切线，切点分别为，且的中点为，若定点，则的最大值为6三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.从分别写有的五张卡片中任取两张，则抽到的两张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为__________.13.已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.14.已知，点是直线上的动点，若恒成立，则正整数的最小值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）记的内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若，求的周长.16.（本小题满分15分）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点.α∥,,m n βαβ⊂⊂m ∥n,m n α⊥∥,m β∥n αβ⊥,,m n αβαβ⊥⊂⊂m n⊥22(2)4x y -+=221080x y x y m +--+=16m =2220x y y ++=20x y +=()()2132530m x m y m +++--=P y P ,A B ,A B M ()5,3N MN 1,2,3,4,5P 22:194x y C +=()1,0A PA ()()()0,2,1,0,,0A B C t D AC AD …t ABC V ,,A B C ,,a b c sin2sin b A a B =A a ABC =V ABC V 1OO PA AB C »AB（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.17.（本小题满分15分）某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为.（1）求的值；（2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率.18.（本小题满分17分）已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切.（1）求圆的方程；（2）过点的直线交圆于两点.若为线段的中点，求直线的方程.19.（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，.（1）求椭圆的方程；（2）设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为.（i ）求的值；（ii ）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由.PAC ⊥PBC 24PA AB ==A PB C --,A B A B A B A p B q 01,01p q <<<<A 34B 23,A B 1316,p q M ()3,3A M 250x y +-=250x y -+=M M ()0,2D -l M ,A B A DB l ()2222:10x y C a b a b +=>>121,2A A ､C 1F 2F C 126A F =C x l C P Q ､P Q ､x 12,A P A P 21,A Q AQ 1234,,,k k k k 12k k ()142353k k k k +=+PQ2024-2025学年第一学期10月六校联合调研参考答案及评分标准高二数学一､单项选择题1.B2.A3.C4.B5.C6.C7.D8.C二.多项选择题9.ABD 10.AC11.BCD三､填空题12.14.4四､解答题15.解：（1）因为，所以.根据正弦定理，得，因为，所以.又，所以.（2）在中，由已知，因为由余弦定理可得，即7，即，又所以.所以的周长周长为.16.解：（1）证明：因为是一条母线，所以平面，25sin2sin b A a B =2sin cos sin bA A aB =2sin sin cos sin sin B A A A B =sin 0,sin 0B A ≠≠1cos 2A =()0,πA ∈π3A =ABC V 11sin 622ABC S bc A bc bc===∴=V π,3A a ==2222cos a b c bc A =+-21()222b c bc bc ⎛⎫=+--⋅ ⎪⎝⎭27()3b c bc =+-0,0b c >>5b c +=ABC V 5+PA PA ⊥ABC而平面则因为是底面一条直径，C 是的中点，所以，即，又平面且，所以平面，而平面，则平面平面.（2）设，则，因为C 是的中点，为底面圆心，所以平面，作，交于点连接，由可知，是二面角的平面角.则，即，在直角中，.所以.故二面角的余弦值为.17.解：（1）由题意得，解得.（2）比赛结束后，甲､乙个人得分可能为.记甲得分为i 分的事件为，乙得分为i 分的事件为，相互独立，记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E ，BC ⊂,ABC ,PA BC ⊥AB »AB 90ACB ∠=AC BC ⊥,PA AC ⊂PAC PA AC A ⋂=BC ⊥PAC BC ⊂PBC PAC ⊥PBC 24PA AB ==PB =»AB O CO ⊥PAB OE PB ⊥PB E CE ,OE PB CE PB ⊥⊥CEO ∠A PB C --PB OE PA BO ⋅=⋅OE ==COE V CE ==2cos 3CEO ∠==A PB C --23()13116pq p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩21,32p q ==0,2,3,5()0,2,3,5i C i =()0,2,3,5i D i =,i i C D则，且彼此互斥.易得.，所以所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为.18.解：（1）法1：（待定系数法）设圆M 的方程为，因为圆过点，所以，又因为圆心在直线上，所以②，直线与圆M 相切，得到由①②③解得：的方程为法2：（几何性质）因为直线与直线垂直，又因为圆心在直线上，联立方程，解得设两直线的交点为，由圆的几何性质，点在圆上，且为直线与圆的切点，又因为圆过点，且所以圆心在直线上，又圆心也在直线上，联立方程，解得，故圆心，所以半径，因此圆M 的方程为（2）设，因为A 为线段BD 的中点，所以，355355E C D C D C D =++355355,,C D C D C D ()31,6P C =()()()35532113211,,4363432P D P C P D ⎛⎫=-⨯===⨯= ⎪⎝⎭()()()()()355355355355P E P C D C D C D P C D P C D P C D =++=++1111111162363236=⨯+⨯+⨯=1136222()()x a y b r -+-=M ()3,3A 222(3)(3)a b r -+-=①M 250x y +-=250a b +-=250x y -+=r 2,1,a b r ===M 22(2)(1) 5.x y -+-=250x y +-=250x y -+=M 250x y +-=250250x y x y +-=⎧⎨-+=⎩13x y =⎧⎨=⎩()1,3B ()1,3B M ()3,3A M 2x =M 250x y +-=2250x x y =⎧⎨+-=⎩21x y =⎧⎨=⎩()2,1M r AM ==22(2)(1)5x y -+-=(),A x y ()2,22B x y +因为在圆上，所以，解得或当时，直线的方程为；当时，故直线的方程为，即.综上，直线的方程为或.19.解：（1）由于椭圆的离心率为，故，又，所以，所以椭圆的方程为.（2）（i ）设与轴交点为，由于直线交椭圆C 于两点（在轴的两侧），故直线的的斜率不为0，直线的方程为，联立，则，则设，则，又故，,A B M 2222(2)(1)5(22)(21)5x y x y ⎧-+-=⎨-++=⎩00x y =⎧⎨=⎩24131613x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩()0,0A l 0x =2416,1313A ⎛⎫-⎪⎝⎭l 5212y x =-512240x y --=l 0x =512240x y --=()2222:10x y C a b a b+=>>1212c a =126A F a c =+=2224,2,12a c b a c ===-=C 2211612x y +=l x D l P Q ､P Q ､x l l x my t =+2211612x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2223463480t y mty m +++-=()22Δ4812160,t m =-+>()()1122,,,P x y Q x y 21212226348,3434mt m y y y y t t --+==++()()124,0,4,0,A A -122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ==⋅===-+---（ii ）由（i ）得.因为，则.又直线交与轴不垂直可得，所以，即所以，于是整理得，解得或，因为在轴的两侧，所以，又时，直线与椭圆有两个不同交点，因此，直线恒过点.123434QA QA k k k k ==-()142353k k k k +=+()()232323232333535,44343k k k k k k k k k k +--=+-⋅=+l x 230k k +≠23920k k =-229.20PA QA k k =-()()121212129,2094404420y y y y ty m ty m x x ⋅=-++-+-=--()()()221212920949(4)0,t y y t m y y m ++-++-=()()222223486920949(4)03434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++2340m m --=1m =-4m =P Q ､x 21223480,4434m y y m t -=<-<<+1m =-l C 1m =-l ()1,0D -。
江苏省南京市六校2024-2025学年高一上学期期中联合调研考试 数学含答案
2024-2025学年第一学期期中南京市六校联合调研试题高一数学（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合={U 2+=0}，则1与集合的关系为（）A．1∈B．1∉C．1⊆D．1⊈2．命题：2(4,),51x x m ∀∈+∞+>的否定是（）A．2(4,),51x x m ∀∈+∞+≤B．2(4,),51x x m ∃∈+∞+≤C．2(,4],51x x m∃∈-∞+≤D．2(4,),51x x m∃∈+∞+<3．已知命题:32p x -<≤，若命题p 是命题q 的必要条件，则命题q 可以为（）A．31x -≤≤B．1x <C．31x -<<D．3x <-4．若,,R a b c ∈，且,0,a b c a b c >>++>则下列命题正确的是（）A．11a b>B．11baa b <++C．33c a <D．若0ac <，则22cb ab <5．某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（）A．注入时间在3小时以内（含3小时），采用方案一B．注入时间恰为4小时，不采用方案三C．注入时间恰为6小时，采用方案二D．注入时间恰为10小时，采用方案二6．已知1122a a --=，则22a a --=（）A．B．±C．D．±7．已知函数222,0()04814,4x x f x x x x x +<⎧⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩，若()2f a =，则(5)f a -的值为（）A．1B．1或0C．1-或1或0D．1或1-8．已知()22f x x x =-+，若关于x 的方程()()()20,f x mf x n m n ⎡⎤++=∈⎣⎦R 恰好有三个互不相等的实根，则实数m 的取值范围为（）A．1m <-B．0m ≤C．1m <-或0m >D．0m =或1m <-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．9．下列命题中为真命题的是（）A．对任意实数x ，均有21x x +>B．若0xy =，则0x y +=C．设,R a b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件D．若0x >，则()22lg lg x x =10．如图，已知矩形U 表示全集，,A B 是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（）A．()U A B ⋂ðB．()B A B ⋂ðC．()U A B ⋂ðD．()()A B A B ⋃⋂ð11．已知,a b 为正实数，且216ab a b ++=，则（）A．ab 的最大值为8B．2a b +的最小值为8C．1112a b +++的最小值为2D．19b a +-的最小值为110-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．函数y =的定义域是______.13．42223log log 16log log 68⎛⎫-+= ⎪⎝⎭______.14．已知函数()2229f x x ax a =-+-，x ∈23,a a ⎡⎤-⎣⎦()0a >，若函数()f x 的值域为[]9,0-，则实数a 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知集合{}360A x x =-<，24<1B x x x ⎧=-⎫⎨⎬⎩⎭，{}>3C x x a =-，全集U R =，求：（1）A B ⋂；（2）()R A B ð；（3）如果B C ⋂=∅，求a 的取值范围．16．（15分）已知关于x 的一元二次不等式20ax x b ++>的解集为()(),21,-∞-+∞ ．（1）求a 和b 的值；（2）求不等式()222210ax a b x c -+++-<的解集．17．（15分）最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产x 万件，需另外投入成本()C x （万元），2130,050()81005140052,0x x x C x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完.（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（2）年产量为多少万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大？18．（17分）已知一次函数()f x 和二次函数()g x 的图像都过点()0,0和()1,1，且()()g x g x -=．（1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设关于x 的不等式()()()()21123k f x k k g x ++>-++()k R ∈的解集为T ．①若T R =，求实数k 的取值范围；②是否存在实数k ，满足：“对于任意正整数t ，都有t T ∈；对于任意负整数s ，都有s T ∉”，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．19．（17分）已知集合{}()122k A a a a k =≥ ,,，其中()Z 1,2,i a i k ∈= ，由A 中元素可构成两个点集P 和Q ：(){},,,P x y x A y A x y A =∈∈+∈，(){},,,Q x y x A y A x y A =∈∈-∈，其中P 中有m个元素，Q 中有n 个元素.新定义1个性质G ：若对任意的x A ∈，必有x A -∉，则称集合A 具有性质G ．（1）已知集合{}0,2,4J =与集合{}1,2,3K =-和集合{}2L y y x ==+，判断它们是否具有性质G ，若有，则直接写出其对应的集合P ，Q ；若无，请说明理由；（2）集合A 具有性质G ，若520k =，求：集合Q 最多有几个元素？（3）试判断：集合A 具有性质G 是m n =的什么条件，并证明．2024-2025学年第一学期期中六校联合调研试题高一数学参考答案及评分标准1、【答案】B2、【答案】B3、【答案】C4、【答案】C5、【答案】D6、【答案】C7、【答案】B8、【答案】D9、【答案】AC10、【答案】AB11、【答案】ABD12、【答案】()(),13,-∞-⋃+∞13、【答案】3214、【答案】11321a ≤+≤15、【答案】（1）由题意得集合{}|2A x x =<，（2分）集合{}|04B x x =<<，（4分）则{}|02A B x x ⋂=<<（5分）（2）由（1）知(){}R |2A x x =≥ð，{}|04B x x =<<，（7分）所以(){}R 0A B x x ⋃=>ð.（9分）由（1）知，集合{}|04B x x =<<，又{}>3C x x a =-，B C ⋂=∅,所以3034a a -≤+≥且.（12分）所以1 3.a ≤≤（13分）16、【答案】（1）由题意知2-和1是方程20ax xb ++=的两个根且0a >，（1分）由根与系数的关系得12121ab a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩；（5分）（2）由1a =、2b =-，不等式可化为22210x x c -+-<，即()()110x c x c -+--<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则该不等式对应方程的实数根为1c +和1c -．（8分）当0c >时，11c c +>-，解得11-<<+c x c ，即不等式的解集为()1,1c c -+，（10分）当0c =时，11c c +=-，不等式的解集为空集，（12分）当0c <时，11c c +<-，解得11c x c +<<-，即不等式的解集为()1,1c c +-，（14分）综上：当0c >时，解集为()1,1c c -+，当0c =时，11c c +=-，不等式的解集为空集，当0c <时，11c c +<-，解得11c x c +<<-，即不等式的解集为()1,1c c +-．（15分）17、【答案】（1）当050x <<时221()503050L x x x x =---2102250x x =-+-（3分）当50x ≥8100()505140050L x x x x=--+-8100350x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（6分）故()212050,050,8100350,520,x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（7分）（2）当050x <<时，21()(202)150L x x =--+∴当20x =时，()L x 取得最大值(20)150L =（10分）当50x ≥时，8100()350350170L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭（当且仅当8100x x=即90x =时取到等号）（13分）170150>Q 90x ∴=时，()L x 取得最大值（14分）答：(1)年利润L （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式为()212050,050,8100350,520,x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)年产量为90万件时，该厂在这一工具的生产中所获利润最大．（15分）18、【答案】（1）设()f x ax =，由()11f =得1a =，所以()f x x =；设()2g x bx cx =+由()g 11=得1b c +=；又因为()()g x g x -=，所以()()22bx cx b x c x +=-+-，得0c =；所以()2g x x=（4分）（2）原不等式化为()()()2223110R k k x k x k --+++>∈当202k k 3--=时，解得32k =，或1k =-，①当1k =-时，不等式化为10>，1k ∴=-时，解集为R ；（5分）②当32k =时，不等式化为5102x +>，对任意实数x 不等式不成立；（7分）③当()()22223014230k k k k k ⎧-->⎪⎨∆=+---<⎪⎩时，可得()()3,1,213,1,7k k ∞∞∞∞⎧⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪∈--⋃+ ⎪⎪⎝⎭⎩，则k 的取值范围为()13,1,7k ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（10分）综上所述，实数k 的取值范围为(]13,17⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.（3）根据题意，得出解集(,)T r =+∞，[)1,1r ∈-，当202k k 3--=时，解得32k =，或1k =-，32k =时，不等式的解集为2,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，满足条件，1k =-时，10>恒成立，不满足条件，当2230k k -->时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是(,)r ∞+的形式，不满足条件，当2230k k --<时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是(,)r ∞+的形式，不满足条件，综上，存在满足条件的k 的值为32．（17分）19．【答案】（1）①集合0J ∈，不符合定义故J 不具有性质G ；②集合K 具有性质G ，对应集合()(){}1,3,3,1P =--，()(){}2,1,2,3Q =-；③集合L 不是整数集所以不具有性质G .（4分）（2）由题意可知集合A 的元素构成有序数对(),i j a a ()*,N ,,i j i k j k ∈≤≤，共有2k 个，∵0A ∉，∴(),i i a a Q∉又∵a A ∈时，a A -∉，∴(),i j a a Q ∈时候，(),j i a a Q ∉，∴集合Q 的元素个数不超过21349402k k-=个，取{}1,2,,520A = ，则Q 中元素的个数为134940个，故Q 中元素的个数最多为134940.（10分）（3）1）当集合A 具有性质G 时，①对于(),a b P ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈+∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b a Q +∈，如果(),a b ，(),c d 是P 中的不同元素，那么a c =，b d =中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d +=+中至少有一个不成立，故(),a b b +和(),c d d +也是Q 中不同的元素，可见P 的元素个数不多于Q 的元素个数，即m n ≤，②对于(),a b Q ∈，根据定义可知：,,a A b A a b A ∈∈-∈，又因为集合A 具有性质G ，则(),a b b Q -∈，如果(),a b ，(),c d 是Q 中的不同元素，那么a c =，b d =中至少有一个不成立，于是b d =，a b c d -=-中至少有一个不成立，故(),a b b -和(),c d d -也是P 中不同的元素，可见Q 的元素个数不多于P 的元素个数，即m n ≤，由①②可知m n=2）集合{1,1,2,3}A =-，则{(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,1),(1,2),(2,1)}P =----，{(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(1,1),(3,1),(2,1)}Q =--，满足m n =，而集合A 不具有性质G ，所以集合A 具有性质G 是m n =的充分不必要条件.（17分）。
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南京市2018-2019学年度第一学期期末调研高一数学 2019．01注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第10题）、选择题（第11题~第14题）、解答题（第15题~第20题）三部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共10小题，每题5分，共50分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合A ＝{0，3}，B ＝{1，3}，则∁U (A ∪B )＝ ▲ ． 2．函数f (x )＝2x －4 的定义域为 ▲ ． 3．已知角α的终边经过点P (－5，12)，则sin αtan α的值为 ▲ ． 4．已知向量a ＝(4，－3)，b ＝(x ，6)，且a ∥b ，则实数x 的值为 ▲ ． 5．已知 x ＝log 612－log 63，则6x 的值为 ▲ ． 6．如图，在直角三角形ABC 中，AB ＝2，∠B ＝60°， AD ⊥BC ，垂足为D ，则 AB →·AD →的值为 ▲ ．7．将函数f (x )＝2sin2x 的图象向左平移 π6 个单位后，得到函数g (x ) 的图象，则g (0) 的值为▲ ．8．已知a ＞0且a ≠1，若函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x ，x ≤2，log a x ，x ＞2的值域为 [1，＋∞)，则a 的取值范围是 ▲ ．9．已知向量 OA → 与 OB → 满足 |OA →|＝2，|OB →|＝1．又 OM →＝t OA →，ON →＝(1－t )OB →， 且|MN →| 在t ＝27时取到最小值，则向量 OA → 与 OB →的夹角的值为 ▲ ．10．已知函数f (x )＝kx 2－x ，g (x )＝sin πx2．若使不等式f (x )＜g (x ) 成立的整数x 恰有1个，则实数k的取值范围是 ▲ ．二、选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 11．已知a ＝log 1.4 0.7，b ＝1.40.7，c ＝0.71.4，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a12．函数f (x )＝x sin x ，x ∈[－π，π]的大致图象是（ ）yyABCD（第6题图）A ．B ．C ．D ．13．在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，若AC →·AD →＝11，则AC →·AB →的值是（ ）A ．10B ．14C ．18D ．2214．已知函数f (x )＝2cos x (x ∈[0，π]) 的图象与函数g (x )＝3tan x 的图象交于A ，B 两点，则△OAB（O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．π4B ．3π4C ．π2D ．3π2三、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，向量c 满足a ·c ＝b ·c ＝5． （1）求向量c 的坐标； （2）求向量a 与c 的夹角θ．16．（本小题满分14分）已知α是第二象限角，且sin α＝255． （1）求tan α的值； （2）求sin(π＋α)＋cos(π－α)sin(π2－α)＋cos(π2＋α) 的值．17．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图所示． （1）求函数f (x ) 的解析式； （2）求函数f (x ) 的单调增区间；xπ －πyOxy Oπ－π（3）当x ∈[－π2，0] 时，求函数f (x ) 的值域．18．（本小题满分16分）某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定的加工费，总的加工费P （万元）与精加工的蔬菜量x （吨）有如下关系：P ＝⎩⎨⎧120x 2， 0≤x ≤8，3x ＋810，8＜x ≤14．设该农业合作社将x （吨）蔬菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总利润（扣除加工费）为y （万元）．（1）写出y 关于x 的函数表达式；（2）当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出最大利润．19．(本小题满分16分)如图，在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝5，cos ∠CAB ＝35，D 是边BC 上一点，且BD →＝2DC →．（1）设AD →＝x AB →＋y AC →，求实数x ，y 的值；（2）若点P 满足 BP → 与 AD → 共线，PA →⊥PC →，求|BP →||AD →|的值．C20．（本小题满分16分）给定区间I ，集合M 是满足下列性质的函数f (x ) 的集合：任意x ∈I ，f (x ＋1)＞2f (x )． （1）已知I ＝R ， f (x )＝3x ，求证：f (x )∈M ；（2）已知I ＝(0，1]， g (x )＝a ＋log 2x ．若g (x )∈M ，求实数a 的取值范围；（3）已知I ＝[－1，1]，h (x )＝－x 2＋ax ＋a －5 (a ∈R )，讨论函数h (x ) 与集合M 的关系．南京市2018-2019学年度第一学期期末调研高一数学参考答案 2019．01一、填空题（10小题，每题5分，共50分）1．{2，4} 2．[2，＋ ) 3．－513 4．－8 5．46．37． 38．(1，2] 9．π3 10．[12，2)二、选择题（4小题，每题5分，共20分）11．B 12．A 13．C 14．D 三、解答题（6小题，共90分） 15．（本小题满分14分） 解：（1）设c ＝(x ，y )．因为a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，a ·c ＝b ·c ＝5，所以 ⎩⎨⎧2x ＋y ＝5，x －2y ＝5， …………………… 4分解得 ⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1，所以c ＝(3，－1)． …………………… 7分（2）因为a ＝(2，1)，c ＝(3，－1)，所以|a |＝5，|c |＝10． …………………… 9分又a ·c ＝2×3＋1×(－1)＝5，所以cos θ＝a ·c |a ||c |＝5 5×10＝22， …………………… 11分又 θ∈[0，π]，所以θ＝π4． …………………… 14分注：（1）最后没有写成c ＝(3，－1)不扣分． （2）不写θ范围或θ范围写错，扣1分．16．（本小题满分14分）解：（1）因为α是第二象限角，且sin α＝255，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－(255)2＝－55， …………………… 4分所以tan α＝sin αcos α＝255－55＝－2． …………………… 7分（2）sin(π＋α)＋cos(π－α)sin(π2－α)＋cos(π2＋α) ＝－sin α－cos αcos α－sin α …………………… 11分＝－tan α－11－tan α ＝ tan α＋1 tan α－1 ＝(－2)＋1 (－2)－1 ＝13． …………………… 14分 注：（1）计算要能体现公式．如未能体现公式，直接写出cos α＝－55，扣1分； 如未能体现公式，直接写出tan α＝－2，扣1分；不写α角的范围，扣1分；（2）只看化简结果－sin α－cos αcos α－sin α或sin α＋cos αsin α－cos α，得4分；最后只看最终结果13，3分．17．（本小题满分14分）解：（1）由图象知，A ＝2，T ＝43×(11π12－π6)＝π，所以ω＝2πT ＝2，从而f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………… 2分又因为f (x )的图象经过点(π6，2)，所以2sin(π3＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1，从而 π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π6．又因为|φ|＜π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin(2x ＋π6)． …………………… 5分（2）令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－π3≤x ≤k π＋π6，所以函数f (x )的增区间为 [k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z ． …………………… 9分（3）令t ＝2x ＋π6．因为x ∈[－π2，0]，所以t ∈[－5π6，π6]，从而sin t ∈[－1，12]， …………………… 12分即2sin t ∈[－2，1]．所以当x ∈[－π2，0]时，函数f (x )的值域为[－2，1]． …………………… 14分注：（1）A ，ω各1分；φ算对得3分； （2）结果没有写成区间的扣1分；18．（本小题满分16分）解：（1）由题意知，当0≤x ≤8时，y ＝0.6x ＋0.2(14―x )―120x 2＝―120x 2＋25x ＋145， …………………… 3分当8＜x ≤14时，y ＝0.6x ＋0.2(14―x )―3x ＋810＝110x ＋2， …………………… 5分即y ＝⎩⎨⎧―120x 2＋25x ＋145，0≤x ≤8， 110x ＋2， 8＜x ≤14． …………………… 7分（2）当0≤x ≤8时，y ＝―120x 2＋25x ＋145＝―120(x ―4)2＋185， 所以 当x ＝4时，y max ＝185． …………………… 10分 当8＜x ≤14时，y ＝110x ＋2，所以当x ＝14时，y max ＝175． …………………… 12分因为185＞175，所以当x ＝4时，y max ＝185． 答：当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为185万元．………………… 16分 注：（1）若无过程直接得到分段函数，且正确，不扣分； （2）按标准．19．（本小题满分16分）解：（1）因为 BD →＝2DC →，所以 AD →―AB →＝2(AC →―AD →)， 即AD →＝13AB →＋23AC →．又AD →＝x AB →＋y AC →，且AB →，AC →不共线，所以x ＝13，y ＝23． …………………… 4分（2）（方法一）因为BP →与AD →共线， 所以存在实数λ，使得BP →＝λAD →． …………………… 6分因为 AD →＝13AB →＋23AC →，所以BP →＝λ3AB →＋2λ3AC →，A BCDPx yO从而 PA →＝PB →＋BA →＝―λ3AB →―2λ3AC →―AB →＝―(λ3＋1)AB →―2λ3AC →，PC →＝PA →＋AC →＝―(λ3＋1)AB →＋(1―2λ3)AC →， …………………… 8分所以 PA →·PC →＝(λ3＋1)2AB →2＋(λ3＋1)(4λ3―1)AB →·AC →―2λ3(1―2λ3)AC →2．…………………… 10分因为AB ＝2，AC ＝5，cos ∠CAB ＝35，所以AB →2＝4，AC →2＝25，AB →·AC →＝2×5×35＝6，所以PA →·PC →＝(λ3＋1)2×4＋(λ3＋1)(4λ3―1)×6―2λ3(1―2λ3)×25＝1289λ2―8λ―2， …………………… 14分因为PA →⊥PC →， 所以PA →·PC →＝0，即1289λ2―8λ―2＝0，解得λ＝34或λ＝―316．因此|BP →||AD →| ＝|λ|＝34 或 316．…………………… 16分（方法二）如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ． 因为AB ＝2，AC ＝5，cos ∠CAB ＝35，所以A (0，0)，B (2，0)，C (3，4)． 又AD →＝13AB →＋23AC →，所以AD →＝13(2，0)＋23(3，4)＝(83，83)．…………………… 8分因为BP →与AD →共线，所以存在实数λ，使得BP →＝λAD →，即BP →＝(8λ3，8λ3)． …………………… 10分所以 AP →＝AB →＋BP →＝(2，0)＋(8λ3，8λ3)＝(8λ＋63，8λ3)，CP →＝AP →―AC →＝(8λ＋63，8λ3)―(3，4)＝(8λ―33，8λ―123)．…………………… 12分因为PA →⊥PC →，即AP →⊥CP →，所以AP →·CP →＝0，所以8λ―33×8λ＋63＋8λ―123×8λ3＝0，即64λ2―36λ―9＝0．………………… 14分解得 λ＝34或λ＝―316，因此|BP →||AD →| ＝|λ|＝34 或 316． …………………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）证明：因为f (x )＝3x ，所以f (x ＋1)―2f (x )＝3x +1―2×3x ＝3x ＞0，即f (x ＋1)＞2f (x )，所以f (x )∈M ．…………………… 2分（2）因为g (x )＝a ＋log 2x ，x ∈(0，1]，且g (x )∈M ，所以 当x ∈(0，1]时，g (x ＋1)＞2g (x )恒成立，即a ＋log 2(x ＋1)＞2a ＋2log 2x 恒成立， 所以a ＜log 2(x ＋1)―2log 2x ＝log 2(1x ＋1x 2)恒成立． …………………… 4分因为函数y ＝log 2(1x ＋1x 2) 在区间(0，1]上单调递减，所以当x ＝1时，y min ＝1．所以a ＜1． …………………… 7分（3）h (x )＝－x 2＋ax ＋a －5，x ∈(0，1]．若h (x )∈M ， 则当x ∈[―1，1]，h (x ＋1)＞2h (x )恒成立， 即－(x ＋1)2＋a (x ＋1)＋a －5＞－2x 2＋2ax ＋2a －10恒成立即x 2－(a ＋2)x ＋4＞0恒成立． …………………… 9分 记H (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋4，x ∈[―1，1]．① 当a ＋22≤―1，即a ≤―4时，H (x )min ＝H (―1)＝a ＋7＞0，即a ＞―7． 又因为a ≤―4，所以―7＜a ≤―4； …………………… 11分② 当－1＜a ＋22＜1，即－4＜a ＜0时，H (x )min ＝H (a ＋22)＝(2－a )(6＋a )4＞0，恒成立，所以 －4＜a ＜0； …………………… 12分 ③ 当a ＋22≥1，即a ≥0时，H (x )min ＝H (1)＝3－a ＞0，即a ＜3．又a≥0，所以0≤a＜3．综上所得－7＜a＜3．……………………14分所以当－7＜a＜3时，h (x)∈M；当a≤－7或a≥3时，h(x)/∈M．……………………16分注：（1）按标准；（2）得到a＋log2(x＋1)＞2a＋2log2x恒成立，得2分；（3）得到－(x＋1)2＋a(x＋1)＋a－5＞－2x2＋2ax＋2a－10恒成立，不得分，化简后得x2－(a＋2)x＋4＞0恒成立，得2分．。