计算流体力学作业电子版

1. 已知有限体积法求解的通用控制方程为

()()()

u div div grad S t

ρφρφφ∂+=Γ+∂ 其中φ为通用变量，可代表u 、v 、w 、T 等求解变量。 （1）试说明通用控制方程中各项的物理意义；

（2）对于特定的方程，φ、Γ、S 具有特定的形式，对应于质量守恒方程、动量守恒方程、能量守恒方程、（多种化学组分的）组分质量守恒方程，试写出φ、Γ、S 的具体表达式。

解答：

（1） 方程中的各项（从左到右）分别是瞬态项、对流项、扩散项及源项。 （2）

2. 简述有限体积法建立离散方程时应遵守的四条基本原则。 解答：

1) 控制体积界面上的连续性原则

当一个面为相邻的两个控制体积所共有时，在这两个控制体积的离散方程中，通过该界面的通量（包括热通量、质量通量、动量通量）的表达式必须相同。即：通过某特定界面从一个控制体积所流出的热通量，必须等于通过该界面进入相邻控制体积的热通量，否则，总体平衡就得不到满足。

2) 正系数原则

中心节点系数aP 和相邻节点系数anb 必须恒为正值。该原则是求得合理解的重要保证。当违背这一原则，结果往往是得到物理上不真实的解。例如，如果相邻节点的系数为负值，就可能出现边界温度的增加引起的相邻节点温度降低。

3) 源项的负斜率线性化原则

源项斜率为负可以保证正系数原则。从式(C2)中看到，当相邻节点的系数皆为正值，但有源项Sp 的存在，中心节点系数aP 仍有可能为负。当我们规定Sp ≤0，便可以保证aP 为正值。

4) 系数aP 等于相邻节点系数之和原则

当源项为0时，我们发现中心节点系数等于相邻节点系数之和，而当有源项存在时也应该保证这一原则，如果不能满足这个条件，可以取SP 为0。

3．什么是对流质量流量F 、扩散传导量D 以及Pelclet 数Pe ，试用定义式表达之。 解答：

F 表示通过界面上单位面积的对流质量通量(convective mass flux)，简称对流质量流量；

D 表示界面的扩散传导性(量)(diffusion conductance)。定义表达式如下：

F u D x ρΓ=⎧⎪

⎨=⎪δ⎩

在此基础上，定义一维单元的Peclet 数Pe 如下：

/F u

Pe D x ρΓ==

δ

4．二维计算域中节点间距分别为x δ和y δ，控制体积P 的四个界面为e 、w 、n 、

5．Pelclet 数Pe 是如何定义的？试根据Pe 的取值范围分析一个流场的流动状况。

解答：

当Pe =0，对流-扩散演变为纯扩散问题，即流场中没有流动，只有扩散； 当Pe >0时，流体沿正 x 方向流动；

当Pe 数很大时，对流-扩散问题演变为纯对流问题； 当Pe <0时，流体沿负 x 方向流动。

6.什么是假扩散与人工粘性？如何消除或减弱数值计算中假扩散的影响？ 解答：

假扩散：对流-扩散方程中，一阶导数项(对流项)离散格式的截断误差，小于二阶而引起的较大的数值计算误差的现象称为假扩散(false diffusion)。因为低阶离散格式截差的首项包含二阶导数，在数值计算结果中，使扩散的作用被人为地放大了，相当于引入了人工粘性(artificial viscosity)或数值粘性(numerical viscosity)。

消除或减轻数值计算假扩散的方法：采用高阶格式(如二阶迎风格式，QUICK 格式)；采取自适应网格技术。

7.若动量方程和连续性方程分别为

()()

W P w P E e w w e e D D F F φφφφφφ---=-

=-w e F F

图1

扩散项采用中心差分格式进行离散，试推导二阶迎风格式的对流-扩散方程的离散方程。

解答：

1）*当流动沿正方向，即

>w u ，

>e u （

>w F ，

>e F ）时，有

WW W w φφφ5.05.1-=，W

P e φφφ5.05.1-=，此时离散方程(A5)变为

（2）*流动沿负方向，即

E P w φφφ5.05.1-=，EE E e φφφ5.05.1-=，此时离散方程(A5)变为

其中，当流动沿正方向

0>w F 及0>e F 时，1=α； 当流动沿负方向

.

8.一维稳态问题控制方程为d()d d d d d u S x x x ρφφΓ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

，其中广义变量φ（速度、温度、浓度等）在端点A 和B 的边界值为已知，如下图2所示。采用中心差分

格式，试推导控制方程的离散方程及其系数方程组。

图2

解答：

中心差分格式(Central differencing scheme)：界面物理量利用节点物理量通过线性

9.一维稳态问题的控制方程为d()d d d d d u S x x x ρφφΓ⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭

（1）

在分段线性插值基础上引入曲率修正（如下图所示）

C E

P e 812

-+=

φφφ

曲率修正C 为：

⎩⎨

⎧<+->+-=0,20,2u u C EE E P W P E φφφφφφ

试推导此控制方程（1）的QUICK 格式。

解答：

当流动沿正方向，即

>w u ，

>e u （

>w F ，

>e F ）时，有

*流动沿负方向，即