基本初等函数的导数公式及导数的运算法则PPT优秀课件2

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数学:1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)

数学:1.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》课件(新人教A版选修2—2)
' 3 3 '
'
2x 3
'
3
'
3x 2.
所以,函数 y x 2x 3的导数是 y 3x 2.
' 2
2
例3
日常生活中的饮用水 经过 净化的 . 随着水 , 所需净化费 .已知将 1吨水净 x % 时所需费
通常是
纯净度的提高 用不断增加 化到纯净度为 用 单位 : 元 为 cx 5284 100 x
可以看作函数
和u
0 . 05 x 1 的复合函数
y y u
' x
.由复合函数求导法则有
'
e
0 . 05 x 1
u '
0 .0 5 x 1
0 . 05 e
u
0 . 05 e
.
3 函数
y sin π x φ 可以看作函数 .
'
f x f 3. g x
'
'
x g x f x g x g x 2 g x
0 .
例2
根据基本初等函 的导数公式 数
3
和导数运算法则求函数 y x 2x , 3 的导数.
解 x
因为y x 2x 3
一般地 , 对于两个函数 变量 u , y 可以表示成
y f u 和 u g x , 如果通过 x 的函数 , 那么称这个函数为函 fun

数 y f u 和 u g x 的 复合函数 ( composite ction ), 记作 y f g x .

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
第三章 导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式. 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则. 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆.(重点)
2.应用四则运算法则求导.(重点)
3.利用导数研究函数性质.(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数,等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
两个函数的积的导数,等于第一个 函数的导数乘上第二个函数,加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案: 1± 7 3
4.求下列函数的导数: 1 (1)y=2x -x+ x;(2)y=2xtan x.
3
解析: (1) y′=(2x
3
1 1 2 )′-x′+ x ′=6x -1-x2.
(2)y′=(2xtan x)′=(2x)′tan x+2x(tan x)′ =2 ln 2tan x+2
1.基本初等函数的导数公式
(1)若f(x)=c,则f′(x)=0;
nxn-1 ; (2)若f(x)=xn(n∈Q*),则f′(x)=_____
(3)若f(x)=sinx,则f′(x)=_____ cosx ;
(4)若f(x)=cosx,则f′(x)=______; -sinx (5)若f(x)=ax,则f′(x)=_____( axlna a>0); (6)若f(x)=ex,则f′(x)=__ ex; (7)若f(x)=logax,则f′(x)= 1 (a>0且a≠1); (8)若f(x)=lnx,则f′(x)= 1 .

3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件

3.2.2基本初等函数的导数公式及倒数的运算法则 课件
[分析] (1)利用导数的几何意义和导数的运算法则,求 出切线的斜率,由点斜式写出切线的方程.(2)将切线方程与 曲线 C 的方程联立,看是否还有其他解即可.
[解] (1)y′=12x3-6x2-18x,y′|x=1=-12, 所以曲线过点(1,-4)的切线斜率为-12, 所以所求切线方程为 y+4=-12(x-1), 即 y=-12x+8.
=6x3-4x2+9x-6, ∴y′=18x2-8x+9.
(3)解法一:y′=(xx+-11)′ =x-1′x+1x+-1x2-1x+1′ =x+1x+-1x2-1=x+212. 解法二:∵y=xx-+11=x+x+1-1 2=1-x+2 1,
∴y′=(1-x+2 1)′=(-x+2 1)′ =-2′x+1x+-122x+1′=x+212.
(8)若 f(x)=lnx,则 f′(x)=___x_____.
2.导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′=__f′___x__±_g_′___x___________.
(2)[f(x)·g(x)]′=__f′___x__g__x_+___f_x__g_′___x_ __. f (x)g(x)-f (x)g(x)
[点拨] (2)是存在性问题,先假设存在,通过推理、计 算,看能否得出正确的结果,然后下结论,本题的难点在于 对式子的恒等变形.
练 3 在曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中,求斜率最 小的切线方程.
[解] y′=3x2+6x+6=3(x+1)2+3,∴当 x=-1 时, 切线的斜率最小,最小斜率为 3,此时,y=(-1)3+3×(- 1)2+6×(-1)-10=-14,切点为(-1,-14).∴切线方程 为 y+14=3(x+1),即 3x-y-11=0.

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优秀课件2

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优秀课件2

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
x gx () f () x gx () f()
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
fx () g () x f ()() x g x fx () g () x
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0; 公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ; 公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ; 公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ; 公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 ); 公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ; 1 公 式 7 .若 f ( x ) lo g a x , 则 f '( x ) ( a 0 , 且 a 1); x ln a 1 公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) ; x
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f f( x ) ( xgx ) () f( xgx ) () ( gx ( ) 0 ) 2 gx () gx ()
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (2)

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (2)

2.应用导数运算法则求函数的导数的原则 先化简再求导,即把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、 乘、除的运算,再考虑套用哪种运算法则,使计算简便.(关键 词:先化简再求导)
【典例训练】(建议教师以第3题为例重点讲解)
1.已知f(x)=(x2+1)2+(x+1)2+1,则f′(x)等于( )
(A)2x2+2x+4
利用导数运算法则求切线方程的注意点 (1)对曲线切线的再认识 直线与曲线相切并不一定只有一个公共点,或者说公共点不一 定是切点.当曲线是二次曲线,直线与其相切时,有且只有一 个公共点,反过来直线与二次曲线有且只有一个公共点时,直 线不一定是曲线的切线. 所以一定要分清是“在某点处的切 线”,还是“过某点的切线”.(关键词:公共点是否是切点)
由切线过点(1,1),得1-(2x0- x)03=(2-3 x)(012 -x0),
即(x0-1)2(2x0+1)=0,
∴x0=1或x0=
1 2
.
∴切线方程为x+y-2=0或5x-4y-1=0.
答案:x+y-2=0或5x-4y-1=0
2.设切线的斜率为k,则
k=f′(x)=2x2-4x+3=2(x-1)2+1.
(2)解题流程:
分层
∵log2(3x+1)是由log2u,u=3x+1复合而成的,
分别求导 相乘
变量回代
而(log2u)′=
1(3x, +1) ′=3,
u ln 2
∴y′=
yu
ux
3, u ln 2
∴y′=
3. (3x 1)ln 2
(3)y′=[a3xcos(2x+1)]′ =(a3x)′cos(2x+1)+a3x[cos(2x+1)]′ =a3xlna·(3x)′cos(2x+1)+a3x[-sin(2x+1)](2x+1)′ =3a3xlna·cos(2x+1)-2a3xsin(2x+1).

导数的基本公式与运算法则PPT优秀课件

导数的基本公式与运算法则PPT优秀课件

补充例题: 求下列函数的导数:
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1, 求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4), (5cos x) = 5(cos x),又(x4) = 4x3,(cos x) = - sin x, (ex) = ex, (1) = 0,
1 y ' sin( x 2 y 2 ) (2 x 2 yy ')
1 y ' 2 x sin( x 2 y 2 ) 2 y sin( x 2 y 2 ) y '
[1 2 y sin( x 2 y 2 )] y ' 1 2 x sin( x 2 y 2 )
练 习 : 求 下 列 函 数 的 导 数 ( 课 堂 练 习 ) ( 1 ) y ( 1 x 2 ) 3 ; ( 2 ) y c o s 3 x ; ( 3 ) y x 2 3 x 2 ; ( 4 ) l g c o s ( 3 2 x 2 )
解: (1) y ' 6x(1 x2)2
2.2.3 高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导,
所得到的一个新函数,称为函数 y = f(x) 的二阶导数,
记作 f (x) 或 y 或
d2y dx2 .
如对二阶导数再求导,则
称三阶导数,记作
f
(x)

d d
3y x3
.
四阶或四阶以上导
数记为 y(4),y(5),···,y(n) 或 d 4 y , ···,d n y ,
(4)y2x33xsinxe2
解:

1.2.2_基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt

1.2.2_基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt
• 开始学习复合函数求导时,要紧扣上述步 骤进行,待熟练后可简化步骤如下:
• y′=2(3x-2)·(3x-2)′=6(3x-2)=18x-12.
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• (6)y′ = 2cosx·(cosx)′ = - 2cosx·sinx = - sin2x
• [点评] 法则可简单叙述成:复合函数对 自变量的导数,等于已知函数对中间变量 的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
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求下列函数的导数:
(1)y=lnsinx2x;
(2)y=
x 1-x.
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PPT
• [例3] 某日中午12时整,甲船自A处以 16km/h的速度向正东行驶,乙船自A的正 北18km处以24km/h的速度向正南行驶,则 当日12时30分时两船之间的距离对时间的 瞬时变化率是________km/h.
=24sin2x(sinx)′=24sin2xcosx,
∴曲线在点 P6π,1处的切线的斜率
k=
=24sin26π·cos6π=3 3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y-1=3
3x-π6,即
6 3x-2y-
PPT
3π+2=0.
练习
一、选择题
1.y=12(ex+e-x)的导数是
A.12(ex-e-x)
[答案] -6 [解析] ∵f′(x)=2cos3x+4π·3x+4π′ =6cos3x+π4, ∴f′π4=6cos34π+π4=-6.
PPT
5.曲线 y=3 3x2+1在点(1,3 4)处的切线方程为 ________________.
[答案] x-3 2y+1=0
PPT
PPT
三、解答题 6.求下列函数的导数: (1)y=(1-3x)3; (2)y=ln1x; (3)y=sin2x1-2cos24x.

122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)PPT课件

122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)PPT课件
栏目 导引
第一章 导数及其应用
做一做
1.已知f(x)=xln x,则f′(x)=________.
解析:f′(x)=x′ln x+x(ln x)′=ln x+1.
答案:ln x+1
2.设y=-2exsin x,则y′=( )
A.-2excos x
B.-2ex(sin x+cos x)
C.2exsin x
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求导数
例1 求下列函数的导数: (1)y=3x2+xcos x; (2)y=lg x-x12; (3)y=(x2+3)(ex+ln x); (4)y=x2+tan x;
(5)y=s in4x+ cos 4x.
4
4
栏目 导引
第一章 导数及其应用
【解】 (1)y′=6x+cos x+x(cos x)′
D.-2exsin x
解析:选B.y′=-2[(ex)′sin x+ex(sin x)′]
=-2(exsin x+excos x)
=-2ex(sin x+cos x).
栏目 导引
第一章 导数及其应用
2.复合函数的求导法则 一般地,对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x),如果通过 变量 u,y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函数为 函数 y=f(u)和 u=g(x)的___复__合__函__数____,记作 y= f(g(x)). 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的 导数间的关系为 yx′=yu′·ux′,即 y 对 x 的导数等 于__y_对__u_的__导__数____与__u_对__x_的__∴
y′=
(x2)′+
s (
in

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt

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5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
; https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ;
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件新人教A版选修

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课件新人教A版选修
基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则(二)课件
新人教A版选修
•自主学习 新知突 破
1.能利用导数的四则运算法则求解导函数. 2.能利用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.
[问题2] 试求F(x)=f(x)+g(x)的导数.
[问题3] F(x)的导数与f(x),g(x)的导数有何关系? [提示3] F(x)的导数等于f(x),g(x)导数和.
求曲线的切线方程
已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程; (2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方 程及切点坐标.
[思路点拨]
利用导数的几何意义解决切线问 题的关键是判断已知点是否是切点.若已知点是切点,则该点 处的切线斜率就是该点处的导数;如果已知点不是切点,则应 • 先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
解析: (1)y′=(x2)′·ex+x2·(ex)′ =2x·ex+x2·ex =(2x+x2)·ex. (2)令u=2x,y=cos u, 则yx′=yu′·ux′=(cos u)′·(2x)′ =-2sin 2x.
复合函数的导数
写出下列各函数的中间变量,并 利用复合函数的求导法则,求出函数的导数.
1.已知函数f(x)=cos x+ln x,则f′(1)的值为( )
A.1- 1
B.1+sin 1
C.sin 1-1
D.-sin 1
答案: A
2.函数y=sin x·cos x的导数是( )
A.y′=cos2x+sin2x
B.y′=cos2x-sin2x
C.y′=2cos x·sin x
D.y′=cos x·sin x
复合函数的导数

《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.2.2课时)

《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.2.2课时)

新知探究
例7
x+3
求y = 2
在点x = 3处的导数.
x +3
2
1

(
x
3) ( x 3) 2 x
'
解:y
( x 2 3) 2
x2 6 x 3

( x 2 3) 2
9 18 3 24
1
y |x 3


2
(9 3)
144
6
'
新知探究
2.导数的运算法则
1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′
2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
f x f′
x g x - f x g′
x


3.
g x 0

′=
2
g x
新知探究
名词解释
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数
为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为
y x′= y u′
u x′.
法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即
(u v) u v
新知探究
1.和(或差)的导数
(u v) u v
证明: y f ( x) u( x) v( x)
u ( x x) u ( x) v( x x) v( x)

人教a版数学【选修2-2】1.2.2《基本初等函数的导数公式(二)》ppt课件

人教a版数学【选修2-2】1.2.2《基本初等函数的导数公式(二)》ppt课件

3.写出下列复合函数的导数: (1)y=sin2x,y′=________. 1 (2)y=lnx,y′=________. (3)y= 1-3x,y′=________. (4)y=22x-1,y′=________. (5)y=e2x-ex+3,y′=________. (6)y=(lnx-1)(lnx+2),y′=________. 1 (7)y=cosx,y′=________.
(8)y′=2sinx(sinx)′=2sinxcosx=sin2x. (9)∵y=sin2x-2sinx+3,∴y′=sin2x-2cosx. x x x x x cos2′· x-cos2 -2sin2-cos2 (10)y′= = x2 x2 x x xsin2+2cos2 =- . 2 x2
1 3 (2)y′= · (6x+4)′= . 6x+4 3x+2 (3)y′=e2x+1· (2x+1)′=2e2x+1. 1 1 (4)y′= · (2x-1)′= . 2 2x-1 2x-1
π π π 3x- ′=3cos3x- . (5)y′=cos3x-4· 4 4
1 3 (3)y′= · (1-3x)′=- . 2 1-3x 2 1-3x (4)y′=22x-1ln2· (2x-1)′=22xln2. (5)y′=2e2x-ex. (6)∵y=ln2x+lnx-2, 1 2lnx+1 ∴y′=2lnx· (lnx)′+x= x . 1 sinx (7)y′=-cos2x· (cosx)′=cos2x.
u对x的导数
牛刀小试 x2+a2 1.(2013· 天津红桥区高二检测)函数y= x 的导数值为0 时,x等于( A.a C.-a [答案] B ) B.± a D.a2
2x2-x2+a2 x2-a2 [解析] y′= = x2 , x2 x2-a2 由y′=0得, x2 =0,∴x=± a.

导数公式大全(最具说服力的)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

导数公式大全(最具说服力的)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

(cot x) = - csc2x .
(sec x) = sec x tan x . (csc x) = - csc x cot x .
另外还有反三角函数旳导数公式:
(arcsin x) 1 , 1- x2
-1
(arccos x)
,
1- x2
(arctan
x)
1 1 x2
,
(arc
cot
x)
1
dx 4
dx n
f (x) 称为 f (x) 旳一阶导数.
而把
例3 求下列函数旳二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解:
(1) y ' cos x x(- sin x) cos x - x sin x
y" - sin x - (sin x x cos x) -2sin x - x cos x
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
u( x) - u2(x) .
乘法法则旳推广:
(uvw) ' u 'vw uv ' w uvw '
补充例题: 求下列函数旳导数:
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1, 求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4), (5cos x) = 5(cos x),又(x4) = 4x3,(cos x) = - sin x, (ex) = ex, (1) = 0,

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件

y′|x=π =-
2
π 2
,切点为
πห้องสมุดไป่ตู้,0

∴切线方程为y-0=-π2x-π2 ,
即2πx+4y-π2=0.
则直线l2的方程为
y-( x02+x0-2)=(2x0+1)(x-x0),
∵l1⊥l2,∴3(2x0+1)=-1,x0=-
2 3
.
∴直线l2的方程为y=-13x-292 .
y=3x-3, (2)解方程组y=-31x-292,
x=16, 得y=-52.
又直线 l1,l2 与 x 轴的交点分别为(1,0),-232,0.
4.法则3:uvxx′=u′xvxv-2xu xv′x
(v(x)≠0). exx′=__x_ex_x-_2_e_x_.
利用导数公式及运算法则求函数的导数 求下列函数的导数. (1)y=(2x-3)2 =________; (2)cos x-x2+2=________.
答案:(1)8x-12 (2)-sin x-2x
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基础梳理
1.若c为常数,则(cu) ′=cu′. (3x2)′=__6_x_____. 2.法则1:[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x). (x3+x2)′=_3_x_2_+__2_x_.
3.法则2:[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x). (xex)′=__ex_+__x_e_x_.
∴所求三角形面积为 S=12×-52×1+232=11225.
求过曲线上一点的切线
求曲线y=xcos
x在x=
π 2
处的切线方程.
分析:根据导数的几何意义可知,函数y=f(x)在x0处的导 数就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率.

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt课件

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则ppt课件
解1函y数 2x32可以看y作 u3和 函数
u2x3的复合 .由复函 合函数求数 导法则有
y'x yu' u'x u2'2x3' 4 u8 x1.2
2函y数 e0.0x5 1可以看 ye 作 u和 u函 数
0.0x5 1 的复.由合 复合函数函 求导法数 则有
y'x yu' u'x e u' 0 .0x 5 1 '
5. 若 fx ax,则 f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则 f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
例1 假设某国家在20 年期间的年通货膨胀 率为
5%,物价p单位 : 元与时间t单位 : 年有如下函数
1.2.2 基本初等函数的导数式公 及导数的运算法则
为了方便, 今后我们 可以直接 使用下面 的基本初 等函数的 导数公式 表.
基 本 初 等 函 数 的 导 数 公式
1. 若 fx c,则f 'x 0;
2. 若 fx xn n N ,则 f ' x nx n1 ;
3. 若 fx sinx,则 f 'x cos x; 4. 若 fx cos x,则f 'x sinx;
用 单位 : 元 为
c x 5284 80 x 100 .求净化到下纯度
100 x 时 , 所需净化费用的瞬时变 化率 :
1 90 % ; 2 98 % .
解 净化费用的瞬时变 就化 是率 净化费
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f(x)g (x)f(x)g (x)f(x)g (x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即: g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法 则(两个课时)教学要求和重难点
一、教学要求:
课时:能利用基本初等函数的导数公式和导数 运算法则求简单函数的导数。
课时:理解复合函数的定义,掌握复合函数的 求导公式。
1.2.2基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数公式
故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于S1,y2x,则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2,y2(x2)与, S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.② 因为两切线重合, 2x 1x 1 2 2(xx 2 22 42) x x2 1 0 2或 x x1 2 2 0. 若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
小结:
1、注意求导公式的结构 2、两个函数相除可转化为相乘有时更方 便一些
作业: P18 2、3、4、5
复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x), 如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称 这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数, 记作y=f(g(x)).
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点.
(2) s ( t ) t 3 1 t 2 3 2 t ,令 s 2 ( t ) 0 ,即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,
所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨
(2)因c为 '(9)8(1502098)8241321
所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨
例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= 1 t 4
-4t3+16t2.
4
(1)此物体什么时刻在始点?
(2)什么时刻它的速度为零?
例2.求函数y=x3-2x+3的导数.
2题再加两题: (5).y 1 ;(6).y x x.
x4
例4:求下列函数的导数:
(1 )
y

1 x

2 x2
;
(2)
y

x 1 x2
;
(3) y tan x;
(4) y (2 x2 3) 1 x2 ;
答案:
(1)
y
1 x2

例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高,所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用(单位:元)为
c(x)528(840x10)0 100x
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90% (2)98%
解:净化Байду номын сангаас用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
4 x3
;
(3)
y

1 cos2
; x
(2)
y

1 x2 (1 x2)2
;
(4) y 6x3 x; 1 x2
例1 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5%,
物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关

p(t)p0(15%t )
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的
c'(x)( 5284)' 100x
52'(8 14 0 (1 x0 ) 0 5x0 )2 28 (14 0 x0 )'
0(10( 10x)0 0 5x)22 8( 41)

5284 (100 x)2
(1)因c为 '(9)0(15029 08 )0 2 45.2 84
复合函数 y f (g(x))的导数和函数 y f (u),u g(x)的导数间的关系为 yx' yu'ux'
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
p0=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上
涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
解:根据基本初等函数导数公式表,有
p'(t)1.05t ln1.05
p '(1) 0 1 .01l5 01 n .0 5 0 .0(元 8 /年 )
因此,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的 速度上涨。
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