基本不等式完整版非常全面

4x 9
题型七：基本不等式的综合应用
1、已知 log 2 a log 2 b 1 ，求 3a 9b 的最小值
2、（ 2009 天津）已知 a, b 0 ，求 1 1 2 ab 的最小值；
ab
变式 1：（2010 四川）如果 a b 0 ，求关于 a,b 的表达
式 a2 1
1 的最小值；
ab a(a b)
4 的最小值； n
x2 7x 10
1、求函数 y
(x
x1
1) 的值域；
3、已知 x, y 0 ， x 2y 2xy 8 ，求 x 2 y 最小值；
变式 1：已知 a,b 0 ，满足 ab a b 3 ，求 ab 范围；
变式 2：（ 2010 山东） 已知 x, y 0 ， 1
1
1，
2x 2y 3
求 xy 最大值；（提示：通分或三角换元）
法一：
法二：
变式 1：已知 a,b 0,a 2b 2，求 t 1 1 的最小值； ab
变式 2：已知 x, y
2 0,
8
1 ，求 xy 的最小值；
xy
变式： 求函数 y x2 8 (x 1) 的值域； x1
2、 求函数 y
x 2 的最大值； （提示：换元法）
2x 5
变式： 求函数 y
x 1 的最大值；
之最小值为
，此时 y
（析： 2x 3y z 3 2x 3( y 1) z 0 ）
如果 n N ，求 n 的最大值；（参考： 4）
（提示：分离参数，换元法）
变式： 已知 a,b 0 满则 1 4 2 ，若 a b c 恒成立， ab
求 c 的取值范围； 题型九：利用柯西不等式求最值
1、二维柯西不等式
(a , b, c, d R , 当且仅当 a b ；即ad bc时等号成立 ) cd
变式 2：（2012 湖北武汉诊断）已知，当 a 0, a 1 时，
函数 y log a (x 1) 1 的图像恒过定点 A ，若点 A 在直 线 mx y n 0 上，求 4m 2n 的最小值；
变式 3：已知 x, y 0 ，且 1 1 9 ，求 x y 的最小值。 xy
变式 4：已知 x, y 0 ，且 1 9 4 ，求 x y 的最小值； xy
(1 a)(1 b)(1 c) 8abc
5、
6、已 知 a, b, c R ， 且 a b c 1 ， 求 证 ：
1
1
1
1
1
18
a
b
c
6、（ 2013 年新课 标 Ⅱ 卷数学 （理） 选 修 4— 5：不等式选 讲
设 a, b, c 均为正数 , 且 a b c 1, 证明 :
( Ⅰ） ab bc ca
4、求最值的条件： “一正，二定，三相等” 5、常用结论
（ 1）若 x 0 ，则 x 1 2 ( 当且仅当 x 1时取“ =”） x
（ 2）若 x 0 ，则 x 1 x
2 ( 当且仅当 x 1 时取“=”）
（ 3）若 ab 0，则 a b 2 ( 当且仅当 a b 时取“=”）
ba
（ 4）若 a, b
B．1
C． 9 4
D．3
（提示：代入换元 , 利用基本不等式以及函数求最值）
变式： 设 x, y, z 是正数，满足 x 2 y 3z 0，求 y2 的 xz
最小值；
题型八：利用基本不等式求参数范围
1、（ 2012 沈阳检测） 已知 x, y
0 ，且 ( x
1 y)(
a)
9
xy
恒成立，求正实数 a 的最小值；
变式 3：（ 2011 浙江） 已知 x, y 0 ， x2 y2 xy 1 ，
求 xy 最大值； 4 、（ 2013 年 山 东 （ 理 ）） 设 正 实 数 x, y, z 满 足
x2 3xy 4 y2 z 0 , 则 当 xy 取 得 最 大 值 z
时 , 2 1 2 的最大值为（
）
x yz
A． 0
若 a,b, c,d R ，则 (a2 b2 )( c2 d 2) (ac bd )2
2、二维形式的柯西不等式的变式 3、二维形式的柯西不等式的向量形式 4、三维柯西不等式
若 a1,a2 , a3, b1,b2, b3 R ，则有：
5、一般 n 维柯西不等式
设 a1,a2 , , an与 b1,b2 , , bn 是两组实数，则有 :
（4） y
x
1 (x
0)
x
题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）
4
1、已知 x 2 ，求函数 y 2x 4
的最小值；
2x 4
变式 1：已知 x 2 ，求函数 y 2x
4 的最小值；
2x 4
变式 2：已知 x 2 ，求函数 y 2x
4 的最大值；
2x 4
练习： 1、已知 x 5 ，求函数 y 4x 2 1 的最小值；
变式 ：若 0 x 4 ，求 y x(8 2x) 的最大值；
3、求函数 y
2x 1
1 5 2x(
x
5 )
的最大值；
2
2
（提示：平方，利用基本不等式）
变式： 求函数 y
4x 3
3 11 4x (
x
11 )
的最大值；
4
4
题型五：巧用“ 1”的代换求最值问题
1、已知 a, b 0, a 2b 1 ，求 t 1 1 的最小值； ab
2、已知 x y z 0 且 1
1
n 恒成立，
xy yz xz
∴x
2， y 4，z
4
3
3
3
2、设 x, y, z R ， 2x y 2z 6 ，求 x2 y2 z2的最
小值 m ，并求此时 x, y, z 之值。 424
Ans ： m 4; ( x, y, z) ( , , ) 333
3、设 x, y, z R ，2x 3y z 3 ，求 x 2 ( y 1)2 z2
足 : x2 y2 z2 1 , x 2 y 3z
值；
14 , 求 x y z 的
6、求 2 sin
3 cos sin cos cos 的最大值与最
小值。（ Ans ： 最大值为 2 2 ，最小值为 2 2 ）
析：令 a (2sin ， 3 cos ， cos )， b (1，sin ，cos )
最小值为
时， ( x, y, z)
析： ( x 2 y 2 z) 2 (x2 y2 z2)[12 ( 2) 2 2 2] ∴ x 2y 2z 最小值为 6
此时 x y z
6
2
1
2 2 12 ( 2)2 2 2 3
（ 3）设 a1, a2, , an与 b1, b2, ,bn 是两组实数，则有
二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式
1、设 a, b 均为正数，证明不等式
: ab ≥ 2 11 ab
3、已知 a b c 1，求证： a 2 b2 c2 1 3
4、已 知 a, b, c R ， 且 a b c 1 ， 求 证 ：
基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
2 、 已 知 a, b, c 为 两 两 不 相 等 的 实 数 ， 求 证 ：
（ 1）若 a, b R ，则 a 2 b 2 2ab
a 2 b 2 c 2 ab bc ca
2
2
（ 2）若 a, b R ，则 ab a b
2
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
1
;(
Ⅱ） a 2
b2
c2
1.
3
b ca
7、（ 2013 年江苏卷（数学） 选 修 4— 5：不等式选 讲
已知 a b 0 ，求证 : 2a 3 b 3 2ab 2 a 2b
题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域
（1） y
3x 2
1 2x2
（ 2） y x(4 x)
（ 3） y x 1 ( x 0) x
R ，则 ab
a (
b )2
a2 b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
（ 5）若 a, b R* ，则 1
ab
11
ab 特别说明：以上不等式中，当且仅当
ab 2
2
2
ab
2
a b 时取“ =”
6、柯西不等式
（ 1）若 a, b, c, d
R
，则
(
2
a
22
b )( c
2
d)
2
(ac bd )
（ 2）若 a1, a2, a3, b1, b2 , b3 R ，则有：
变式 5：
（ 1）若 x, y
0 且 2x
y
1，求 1
1
的最小值；
xy
（ 2）若 a, b, x, y R 且 a b 1，求 x y 的最小值；
xy
变式 6：已知正项等比数列 an 满足： a7 a6 2a5 ，若
存在两项 am , an ，使得 am an 4a1 ，求 1 m
题型六：分离换元法求最值（了解）
题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值
1、设 x, y, z R ，若 x2 y2 z2 4，则 x 2y 2z 的
4、（ 2013 年湖南卷（理） ） 已知 a, b, c , a 2b 3c 6,
则 a2 4b2 9c2 的最小值是
(
Ans:12 )
5 、（ 2013 年 湖 北 卷 （ 理 ）） 设 x, y, z R , 且 满
若 a,b R * ，则 a b 2 ab
3、基本不等式的两个重要变形
（ 1）若 a, b R* ，则 a b ab 2
（ 2）若 a, b R* ，则 ab
2
ab 2
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；
当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中， 当且仅当 a b 时取“=”
4
4x 5
2、已知 x 5 ，求函数 y 4 x 2 1 的最大值；
4
4x 5
题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）
1、当
时，求 y x(8 2 x) 的最大值；
变式 1：当
时，求 y 4x(8 2x) 的最大值；
变式 2：设 0 x 3 ，求函数 y 4x(3 2x) 的最大值。 2
2、若 0 x 2 ，求 y x(6 3x) 的最大值；