高中数学抛物线练习(有答案)

1抛物线的定义：平面与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2

抛物线的图形和性质：

①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

⑤焦半径为半径的圆：以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F 、

准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样

的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。

3抛物线标准方程的四种形式：

4

抛物线

5一般情况归纳：

抛物线的定义：

例1：点M 与点F (－4，0)的距离比它到直线l ：x －6=0的距离4.2，求点M 的轨迹方程． 分析：点M 到点F 的距离与到直线x =4的距离恰好相等，符合抛物线定义．

例2：斜率为1的直线l 经过抛物线y 2

=4x 的焦点，与抛物线相交于点A 、B ，求线段A 、B 的长．

分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和．

解：如图8－3－1，y 2

=4x 的焦点为F (1，0)，则l 的方程为y =x －1．

由⎩⎨⎧+==1

42x y x y 消去y 得x 2－6x +1=0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) 则x 1+x 2=6． 又A 、B 两点到准线的距离为A '，B '，则

()()()8262112121=+=++=+++='+'x x x x B B A A

点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。

例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y 2

=10x ，求它的焦点坐标和准线方程；

(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程；

(3) 已知抛物线方程为y =－mx 2

(m >0)求它的焦点坐标和准线方程； (4) 求经过P (－4，－2)点的抛物线的标准方程；

分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P 值(注意p >0)．特别是(3)题，要先化为标准形式：y m x 12

-

=，则m

p 1

2=．(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解． 答案：(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛025

，F ，25-

=x ．(2) x 2=12y (3) ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-m F 410，，m y 41=

；(4) y 2=－x 或x 2

=－8y ． 例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点（－3，2）； （2）焦点在直线x －2y －4=0上

分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论

解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=－2px 或x 2=2py （p ＞0）， ∵过点（－3，2）， ∴4=－2p （－3）或9=2p ·2

∴p =

32或p =4

9 ∴所求的抛物线方程为y 2=－

34x 或x 2=29y ，前者的准线方程是x =31，后者的准线方程是y =－8

9 （2）令x =0得y =－2，令y =0得x =4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）

当焦点为（4，0

，

∴p=8，此时抛物线方程y2

x；

焦点为（0，－2，

∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y

∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y，

对应的准线方程分别是x=－4，y=2

常用结论

①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

②设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2

③设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)

例5：过抛物线y2=2px (p>0)的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=－4p2．分析：由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之积等于－1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系．又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程．从这几个关系式可以得到y1、y2的值．

证：由OA⊥OB

y1y2=－x1x2

而y1y2≠0．所以y1y2=－4p2．

弦的问题

例1 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OA⊥OB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；

(2)直线AB经过一个定点

(3)作OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程

解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2,

∴y12y22=4p2x1x2,

∵OA⊥OB, ∴x1x2+y1y2=0,

由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值)

(2)直线AB的斜率

∴直线AB的方程为y─y1

即y(y1

+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得直线AB过定点C(2p,0)

(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知

(i),

又AB⊥OM, 故两直线的斜率之积为─1, = ─1(ii)

由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x≠0)

解法2: 由OM⊥AB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点)立即可求出

例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M