自动化车床管理的数学建模问题

题目：自动化车床管理的数学建模问题

摘 要

本文讨论了自动化车床连续加工零件的工序定期检查和刀具更换的最优策略。我们根据原始数据利用EXCEL 软件进行统计分析，得出刀具正常工作时长的函数，建立了以期望损失费用为目标函数的数学模型。

问题一，我们假设所有的检查为等间距，以检查到的零件是否为次品来判定工序是否正常，若一直未出现故障则当加工到定期换刀时刻就换刀，利用概率论的相关知识，求出一个周期内的期望损失费用)(L E 和期望零件个数)(T E ，建立了以零件的期望损失费L 为目标函数的随机优化模型，求解得检查间隔310=t ，换刀间隔1248t =，每个零件的期望损失费用7.3693L =。

问题二，不管工序是否正常都有可能出现正品和次品，在问题一的基础上调整了检查间隔中的不合格品所带来的损失费用，同时加上了因误检停机而产生的费用，求出期望损失费用)(L E 和期望零件个数)(T E ，建立了以每个零件的期望损失费用L 为目标函数的随机优化模型，求解得出检查间040t =，换刀间隔1240t =，每个零件的期望损失费用10.779L =。

问题三，在问题二的基础上将工序正常工作的时间长由开始的近似等于刀具无故障工作的时间长，改进为刀具无故障工作时间长的95%，其它的故障近似服从均匀分布，求出一个周期内的期望损失费用)(L E 和零件个数)(T E ，建立了以每个零件的期望损失费用L 为目标的随机优化模型，求解得出检查间041t =，换刀间隔1246t =，期望损失费用7.9118L =。

关键词：自动化车床管理 检查间隔 换刀间隔

一、问题重述

一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占90%，其他故障仅占10%。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。现积累有150 次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附件表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。已知生产工序的费用参数如下：故障时产出的零件损失费用f=300 元/件；

进行检查的费用t=20 元/次；

发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=3000 元/次（包括刀具费）；

未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1200 元/次。

1）假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。

2）如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有1%为不合格品；而工序故障时产出的零件有25%为合格品，75%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。

3）在（2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。

附：150次刀具故障记录（完成的零件数）

311 460 975 463 708 666 398 771 532 474

538 740 651 458 407 420 467 207 457 337

759 488 509 486 539 218 715 509 647 565

314 613 530 578 599 319 574 647 730 481

597 589 628 132 316 601 484 440 372 477

497 591 243 587 172 668 865 362 678 382

389 673 749 836 468 384 548 643 563 526

749 487 417 649 570 214 527 308 553 743

747 619 656 525 372 607 620 726 379 605

280 586 763 851 653 492 528 607 590 590

779 576 651 249 560 723 927 449 644 325

619 734 320 599 754 433 521 971 175 582

549 549 375 802 256 557 529 678 567 656

627 502 708 531 503 452 677 524 539 212

309 573 673 398 408 592 447 463 415 594

二、问题分析

由题中信息可知，由于刀具损坏等原因会使工序出现故障, 工序出现故障完全是随

机的，即在生产任意一个零件时都有可能发生故障。

工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障, 如果检查过于频繁, 那么工序就会经常处于正常状态而少生产出不合格品, 然而, 这将使检查费用过高;检查间隔过长, 虽然可以减少检查费用, 但由于不能及时发现故障而可能导致大量不合格品出现, 必将提高每个零件的平均损失费用。

根据题目信息，刀具加工一定件数的零件后将定期更新刀具，从而我们可以通过确定最佳检查间隔和换刀间隔来减少损失。 2.1 对问题一的分析

根据题目要求，我们假定所有的检查都为等间隔检查，因为未发生故障时生产的零件都是合格品，所以当发现零件不合格时就认为工序发生了故障，从而停机检查并使其恢复正常。若一直未发生故障，则当加工到定期更换刀具时刻，不管是否发生了故障都进行换刀。计算平均费用可分为两种情况：（1）在换刀之前未发生故障，记平均损失费用为1L ，（2）在换刀之前发生了故障，记平均损失费用为n L 。然后以每个零件的期望损失费用为目标函数，运用MATLAB 等软件进行编程求解使其最小。 2.2 对问题二的分析

根据题目中所给的条件，我们还是假定所有的检查都为等间隔检查，因为未发生故障时次品率为1%，发生故障时的正品率为25%，所以不能单凭是否检查到次品来判定工序是否正常，在工序正常时有可能误判，这样就会产生误检停机费用，计算平均费用分为两种情况：（1）在换刀之前未发生故障，损失费用记为1p ，（2）在换刀之前发生了故障，损失费用记为2p ，然后以每个零件的期望损失费用为目标函数，运用MATLAB 软件等进行编程求解使其最小。

2.3 对问题三的分析

在实际情况下，在工序过程中，各个时间发生故障的概率是不同的，而第二问采取的等间隔检查就在一定程度上浪费了这个条件，而且在第二问中误检，漏检的概率比较大，因此我们针对这两点采取改进措施：非等距检查，连续检查法。

三、模型假设

(1)检查时间和换刀时间忽略不计； (2)所有的故障都为刀具故障； (3)刀具故障服从正态分布： (4)每次只抽查一个零件检查；