时间序列回归
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第十五章 时间序列回归
本章我们讨论分析时间序列数据（检验序列相关性，估 计ARMA模型，使用分布滞后，非平稳时间序列的单位根检 验）的单方程回归方法。
1
§15.1 序列相关理论
时间序列回归中的一个普遍现象是：残差和它自己的滞后值相关。这种 序列相关性违背了回归理论的标准假设：不同时点的扰动项互不相关。与序 列相关相联系的主要问题有：
E(Yt ) ? ?
对所有的 t
Var (Yt ) ? ? 2
对所有的 t
E(Yt ? ? )(Yt?s ? ? ) ? ? s
对所有的 t 和 s
注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则Y t与Y t- s之间的协方差仅取决
于s ，即仅与观测值之间的间隔长度s有关，而与时期t 无关。一般所说的
“平稳性”含义就是上述的弱平稳定义。给定一个样本值为T 的时间序列可
7
§15.2.2 相关图和 Q-统计量
在方程工具栏选择 View/Residual Tests/correlogram-Q-statistics 。 EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的 Ljung-Box Q统计量。如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和 偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。
以看作是随机过程 Y t 的一个实现，仍记为Yt ? { y1, y2 ,?? , yT } 。 3
一般地，我们考虑如下形式：
yt ? xt?? ? ut
ut ? zt??1? ? ?t
xtΒιβλιοθήκη Baidu是在t时刻的解释变量向量；zt?1 是前期已知变量向量；? ,? 是参数向量； ut 是残差；?t 是残差的扰动项；zt?1 可能包含ut 的滞后值或?t 的滞后值。
检验的原假设是：至给定阶数，残差不具有序列相关。 EViews将给出两个统计量：F统计量和NR2（观测值个数乘
ut 是无条件残差,它是基于结构成分 (xt?, ? )的残差，但它不使用 zt?1 中包
含的信息。
?t 是一步预测误差，它是因变量真实值和以解释变量以及以前预测误
差为基础的预测值之差。
4
一、一阶自回归模型
最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)模型。定义如下：
yt ? xt?? ? ut
① 在线性估计中OLS不再是有效的；
② 使用OLS公式计算出的标准差不正确；
③ 如果在方程右边有滞后因变量，OLS估计是有偏的且不一致。
EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但首先必须排除虚假序
列相关。虚假序列相关是指模型的序列相关是由于省略了显著的解释变量而
引起的。例如，在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变量，
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§15.2.3 序列相关 LM 检验
选择View/Residual Tests/Serial correlation LM Test ，一般地 对高阶的，含有 ARMA误差项的情况执行 Breush-Godfrey LM （Lagrange multiplier，拉格朗日乘数检验）。在滞后定义对话 框，输入要检验序列的最高阶数。
ut ? ?ut?1 ? ?t
参数 ?是一阶序列相关系数，实际上，AR(1)模型是将以前观测值的残差
包含到现观测值的回归模型中。
二、高阶自回归模型
更为一般，带有p阶自回归的模型，AR(p)误差由下式给出：
yt ? xt?? ? ut
ut ? ? 1ut?1 ? ? 2ut? 2 ? ? ? ? put? p ? ?t
量，D-W值小于1.5的情况，说明存在强正一阶序列相关。参考Johnston and
DiNardo（1997版6.6.1章）关于D-W检验和统计量显著性的论述。
6
Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足： 1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。 2．回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不再有效。 3．仅仅检验原假设（无序列相关）与备选假设（一阶序列相关）。 其他两种检验序列相关方法：Q-统计量和Breush-Godfrey LM检验克 服了上述不足，应用于大多数场合。 例子：工作文件15_1\eq_cs
资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本在时间上的连续性，以及
对产出影响的连续性，必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，
要把显著的变量引入到解释变量中。
2
平稳性定义： 如果随机过程 Yt ? {?, y?1, y0 , y1, y2 ,?? , yT , yT?1,??} 的均值和方 差、自协方差都不取决于 t，则称 Y t 是协方差平稳的或弱平稳的：
D-W统计量用于检验一阶序列相关 ，还可估算回归模型邻近残差的线性
联系。D-W统计量是在下面定义中检验原假设: ? ? 0
ut ? ?ut?1 ? ?t
如果序列不相关， D-W值在2附近。如果存在正序列相关， D-W值将小于 2（最小为0），如果存在负序列相关，D-W值将在2 - 4之间。
正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个数据和较少的解释变
AR(p)的自相关将渐渐衰减至零，同时高于p阶的偏自相关也是零。
5
§15.2 检验序列相关
在使用估计方程进行统计推断（如假设检验和预测）之前，一般应检验 残差（序列相关的证据），EViews提供了几种方法来检验当前序列相关。
§15.2.1 Dubin-Waston 统计量
EViews将D-W统计量视为标准回归输出的一部分。
k 阶滞后的Q-统计量是原假设为序列没有k 阶自相关的统计量。计算
式如下
? ? ? QLB
?T T?2
k
r
2 j
j?1 T ?
j
r j 是 j 阶自相关系数，T是观测值的个数。
8
例子:
下面是这些检验程序应用的例子，考虑用普通最小二乘估计的简单消费 函数的结果：
9
浏览这些结果：系数在统计上是很显著的，并且拟合得很好。但是，如果 误差项是序列相关的，那么估计 OLS标准误差将是无效的，并且估计系数由于 在方程右端有滞后因变量会发生偏倚和不一致。在这种情况下D-W统计量作为 序列相关的检验是不合适的，因为在方程右端存在着一个滞后因变量。选择 View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下情况
本章我们讨论分析时间序列数据（检验序列相关性，估 计ARMA模型，使用分布滞后，非平稳时间序列的单位根检 验）的单方程回归方法。
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§15.1 序列相关理论
时间序列回归中的一个普遍现象是：残差和它自己的滞后值相关。这种 序列相关性违背了回归理论的标准假设：不同时点的扰动项互不相关。与序 列相关相联系的主要问题有：
E(Yt ) ? ?
对所有的 t
Var (Yt ) ? ? 2
对所有的 t
E(Yt ? ? )(Yt?s ? ? ) ? ? s
对所有的 t 和 s
注意，如果一个随机过程是弱平稳的，则Y t与Y t- s之间的协方差仅取决
于s ，即仅与观测值之间的间隔长度s有关，而与时期t 无关。一般所说的
“平稳性”含义就是上述的弱平稳定义。给定一个样本值为T 的时间序列可
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§15.2.2 相关图和 Q-统计量
在方程工具栏选择 View/Residual Tests/correlogram-Q-statistics 。 EViews将显示残差的自相关和偏自相关函数以及对应于高阶序列相关的 Ljung-Box Q统计量。如果残差不存在序列相关，在各阶滞后的自相关和 偏自相关值都接近于零。所有的Q-统计量不显著，并且有大的P值。
以看作是随机过程 Y t 的一个实现，仍记为Yt ? { y1, y2 ,?? , yT } 。 3
一般地，我们考虑如下形式：
yt ? xt?? ? ut
ut ? zt??1? ? ?t
xtΒιβλιοθήκη Baidu是在t时刻的解释变量向量；zt?1 是前期已知变量向量；? ,? 是参数向量； ut 是残差；?t 是残差的扰动项；zt?1 可能包含ut 的滞后值或?t 的滞后值。
检验的原假设是：至给定阶数，残差不具有序列相关。 EViews将给出两个统计量：F统计量和NR2（观测值个数乘
ut 是无条件残差,它是基于结构成分 (xt?, ? )的残差，但它不使用 zt?1 中包
含的信息。
?t 是一步预测误差，它是因变量真实值和以解释变量以及以前预测误
差为基础的预测值之差。
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一、一阶自回归模型
最简单且最常用的序列相关模型是一阶自回归AR(1)模型。定义如下：
yt ? xt?? ? ut
① 在线性估计中OLS不再是有效的；
② 使用OLS公式计算出的标准差不正确；
③ 如果在方程右边有滞后因变量，OLS估计是有偏的且不一致。
EViews提供了检测序列相关和估计方法的工具。但首先必须排除虚假序
列相关。虚假序列相关是指模型的序列相关是由于省略了显著的解释变量而
引起的。例如，在生产函数模型中，如果省略了资本这个重要的解释变量，
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§15.2.3 序列相关 LM 检验
选择View/Residual Tests/Serial correlation LM Test ，一般地 对高阶的，含有 ARMA误差项的情况执行 Breush-Godfrey LM （Lagrange multiplier，拉格朗日乘数检验）。在滞后定义对话 框，输入要检验序列的最高阶数。
ut ? ?ut?1 ? ?t
参数 ?是一阶序列相关系数，实际上，AR(1)模型是将以前观测值的残差
包含到现观测值的回归模型中。
二、高阶自回归模型
更为一般，带有p阶自回归的模型，AR(p)误差由下式给出：
yt ? xt?? ? ut
ut ? ? 1ut?1 ? ? 2ut? 2 ? ? ? ? put? p ? ?t
量，D-W值小于1.5的情况，说明存在强正一阶序列相关。参考Johnston and
DiNardo（1997版6.6.1章）关于D-W检验和统计量显著性的论述。
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Dubin-Waston统计量检验序列相关有三个主要不足： 1．D-W统计量的扰动项在原假设下依赖于数据矩阵X。 2．回归方程右边如果存在滞后因变量，D-W检验不再有效。 3．仅仅检验原假设（无序列相关）与备选假设（一阶序列相关）。 其他两种检验序列相关方法：Q-统计量和Breush-Godfrey LM检验克 服了上述不足，应用于大多数场合。 例子：工作文件15_1\eq_cs
资本对产出的影响就被归入随机误差项。由于资本在时间上的连续性，以及
对产出影响的连续性，必然导致随机误差项的序列相关。所以在这种情况下，
要把显著的变量引入到解释变量中。
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平稳性定义： 如果随机过程 Yt ? {?, y?1, y0 , y1, y2 ,?? , yT , yT?1,??} 的均值和方 差、自协方差都不取决于 t，则称 Y t 是协方差平稳的或弱平稳的：
D-W统计量用于检验一阶序列相关 ，还可估算回归模型邻近残差的线性
联系。D-W统计量是在下面定义中检验原假设: ? ? 0
ut ? ?ut?1 ? ?t
如果序列不相关， D-W值在2附近。如果存在正序列相关， D-W值将小于 2（最小为0），如果存在负序列相关，D-W值将在2 - 4之间。
正序列相关最为普遍，根据经验，对于有大于50个数据和较少的解释变
AR(p)的自相关将渐渐衰减至零，同时高于p阶的偏自相关也是零。
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§15.2 检验序列相关
在使用估计方程进行统计推断（如假设检验和预测）之前，一般应检验 残差（序列相关的证据），EViews提供了几种方法来检验当前序列相关。
§15.2.1 Dubin-Waston 统计量
EViews将D-W统计量视为标准回归输出的一部分。
k 阶滞后的Q-统计量是原假设为序列没有k 阶自相关的统计量。计算
式如下
? ? ? QLB
?T T?2
k
r
2 j
j?1 T ?
j
r j 是 j 阶自相关系数，T是观测值的个数。
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例子:
下面是这些检验程序应用的例子，考虑用普通最小二乘估计的简单消费 函数的结果：
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浏览这些结果：系数在统计上是很显著的，并且拟合得很好。但是，如果 误差项是序列相关的，那么估计 OLS标准误差将是无效的，并且估计系数由于 在方程右端有滞后因变量会发生偏倚和不一致。在这种情况下D-W统计量作为 序列相关的检验是不合适的，因为在方程右端存在着一个滞后因变量。选择 View/Residual test/Correlogram-Q-statistice会产生如下情况