-数学奥林匹克初中训练题_

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数学奥林匹克初中训练题(166)

中等数学
数蟹
中图分类号：Ｇ４２４．７９
藏渤删稼毽（１６６）
文献标识码：Ａ文章编号：１００５—６４１６（２０１３）０７— ００４０— ０４
第一试
一
线为 “ 好线” ．则共存在好线（）条．Ａ
２．Ｂ．
有一个相同的实根，方程
２＋＋口＝０和２＋ｃ＋ｂ＝０
也有一个相同的实根．求口、ｂ、ｃ的值．二、（２５分）如图４，已知点Ｐ在Ｌ＝ＹＡＢＣＤ的内部，且满足ＰＡＢ＝ＰＣＢ．设０１、０２、Ｄ，、Ｄ分别是
如图５，设ＡＢ中点为，联结ＣＭ．
由ＭＡ＝ＭＣ。
Ａ＝４０。．
（ｉ）当为实数时，其最小值为Ｏ，且
一
１）＝一一１）
成立；
知
ＣＭＤ
＝２×４０。＝８０。．
图５
Ｃ
（ｉｉ）当０＜＜５时，
△ 、△ Leabharlann ＢＣ、Ｄ由口２＋ｂ２＝１，ｂ２＋ｃ２＝２，口＋ｃ＝２
ｃ口ｃ，＝（ ± 譬， ± 譬， ± ）．
贝０ａｂ＋ｂｃ＋ｃ口
≥ ×
△ＰＣＤ、 △ ＰＤＡ的
譬＋譬 × （一）＋（一－：２６） × ２至
ｎ：
— — —
一
＋
＿
＿
３．已知点Ｄ在 △ ＡＢＣ的边Ａ上，Ａ

初一数学奥林匹克竞赛题(含答案).

5．第 n 项为
所以
≥0，即
6．设 p=30q＋r ，0≤r ＜30．因为 p 为质数，故 r ≠0，即 0＜ r ＜30．假设 r 为合数，由于 r ＜ 30，所以 r 的最小质约数只可能为 2，3，5．再由 p=30q＋r 知，当 r 的最小质约数为 2，3，5 时， p 不是质数，矛盾．所以， r 一定不是合数．
初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）
初一奥数题一 100 元，三年后负债 600 元．求每人每年收入多少？是多少？
甲多开支 S 的末四位数字的和
4．一个人以 3 千米 / 小时的速度上坡，以 6 千米 / 小时的速度下坡，行程 12 千米共用了 3 小时 20 分钟，试求上坡与下坡的路程． 5．求和： 6．证明：质数 p 除以 30 所得的余数一定不是合数．
y；若 3｜y，同理可得， 3｜x．
9．连结 AN，CN，如图 1－103 所示．因为 N是 BD的中点，所以
上述两式相加
另一方面， S△PCD=S△CND＋ S△ ＋ CNP S△ ． DNP
因此只需证明 S△ ＝ AND S△CNP＋ S△ ． DNP
由于 M，N 分别为 AC， BD的中点，所以 S =S -S △CNP △CPM △CMN =S△APM-S △AMN =S△ANP．
8．若两个整数 x，y 使 x2+xy+y2能被 9 整除，证明： x 和 y 能被 3 整除． 9．如图 1－95 所示．在四边形 ABCD中，对角线 AC，BD的中点为 M，N，MN的延长线与 AB边交于 P 点．求证：△ PCD的面积等于四边形 ABCD的面积的一半．解答：
所以
x=5000( 元) ．
解之得
故

初中数学奥赛练习题

数学奥林匹克初中训练题一、选择题1。

若正整数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足ax=b+c ，by=a+c ，cz=a+b,则乘积xyz 可能的取值个数为（ )。

(A ）2 (B)3 (C ）4 (D ）无数多2.如图,在△ABC 中,∠B 为直角，∠A 的平分线为AD ，边BC 上的中线为E ，且点D 、E 顺次分BC 成三段的比为1∶2∶3。

则sin ∠BAC=（）。

(A)12/13 (B ）4 3 /9 (C)2 6/5 （D ）432+ 3。

满足方程11610145=+-+++-+x x x x 的实数解x 的个数为( ）.（A ）1 (B)2 (C)4 （D ）无数多4.如图，在单位正方形ABCD 中，以边AB 为直径向形内作半圆，自点C 、D 分别作半圆的切线CE 、DF(E 、F 为切点）.则线段EF 的长为（）.(A)5/3 （B ）3/5 （C)3 /2 （D ）2/3二、填空题1。

设|a|〉1，化简（a+1-a 2）4+2(1-2a 2)（a+1-a 2)2+3的结果是 .2.a 1,a 2，…,a 10分别表示1,2，3，4,5,6,7，8，9,0这十个数码，由此作成两个五位数m=54321a a a a a ,n=109876a a a a a 0(m 〉n).则m —n 的最小值是 .3。

如图，在Rt △ABC 中,BC=3，AC=4,AB=5,其内切圆为⊙O 。

过OA 、OB 、OC 与⊙O 的交点M 、N 、K 分别作⊙O 的切线，与△ABC 的三边分别交于A 1、A 2、B 1、B 2、C 1、C 2.则六边形A 1A 2B 1B 2C 1C 2的面积是。

4。

若用6张1×2的纸片覆盖一张3×4的方格表，则不同的盖法有种.三、已知a i、b i(i=1，2,3）为实数,且a21—a22—a23与b21-b22—b23中至少有一个是正数.证明：关于x的一元二次方程x2+2（a1b1-a2b2—a3b3）x+(a21-a22-a23)(b21—b22-b23）=0①必有实根。

七年级数学奥林匹克竞赛题(一)解析

初中一年级奥赛训练题(一)及解析一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( C)A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是( D)A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是( C)A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( D) A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有( B)A．2个B．3个C．4个D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是( B)A．0个B．1个C．2个D．3个解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。

7．a代表有理数，那么a和－a的大小关系是( D)A．a大于－a B．a小于－aC．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( D)A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。

同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，D所加常数为1，因此选D．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( C) A．一样多B．多了C．少了D．多少都可能解析：设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为(1－10%)a=0.9a；第三天杯中水量为0.9a(1+10%)=0.9×1.1a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

初一数学奥林匹克竞赛题含答案

初一数学奥林匹克竞赛题含答案初一奥数题一甲多开支100元,三年后负债600元．求每人每年收入多少S的末四位数字的和是多少4．一个人以3千米/小时的速度上坡,以6千米/小时的速度下坡,行程12千米共用了3小时20分钟,试求上坡与下坡的路程．5．求和：6．证明：质数p除以30所得的余数一定不是合数．8．若两个整数x,y使x2+xy+y2能被9整除,证明：x和y能被3整除．9．如图1－95所示．在四边形ABCD中,对角线AC,BD的中点为M,N,MN的延长线与AB边交于P点．求证：△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半．解答：所以x=5000元．所以S的末四位数字的和为1＋9＋9＋5=24．3．因为a-b≥0,即a≥b．即当b≥a＞0或b≤a＜0时,等式成立．4．设上坡路程为x千米,下坡路程为y千米．依题意则有由②有2x+y=20, ③由①有y=12-x．将之代入③得 2x+12-x=20．所以x=8千米,于是y=4千米．5．第n项为所以6．设p=30q＋r,0≤r＜30．因为p为质数,故r≠0,即0＜r＜30．假设r为合数,由于r＜30,所以r的最小质约数只可能为2,3,5．再由p=30q＋r知,当r的最小质约数为2,3,5时,p不是质数,矛盾．所以,r一定不是合数．7．设由①式得2p-12q-1=mpq,即4-mpq+1=2p+q．可知m＜4．由①,m＞0,且为整数,所以m=1,2,3．下面分别研究p,q．1若m=1时,有解得p=1,q=1,与已知不符,舍去．2若m=2时,有因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的,故m=2时无解．3若m=3时,有解之得故 p＋q=8．8．因为x2+xy+y2=x-y2+3xy．由题设,9｜x2+xy＋y2,所以3｜x2＋xy＋y2,从而3｜x-y2．因为3是质数,故3｜x-y．进而9｜x-y2．由上式又可知,9｜3xy,故3｜xy．所以3｜x或3｜y．若3｜x,结合3x-y,便得3｜y；若3｜y,同理可得,3｜x．9．连结AN,CN,如图1－103所示．因为N是BD的中点,所以上述两式相加另一方面,S△PCD =S△CND＋S△CNP＋S△DNP．因此只需证明S△AND ＝S△CNP＋S△DNP．由于M,N分别为AC,BD的中点,所以S△CNP =S△CPM-S△CMN=S△APM-S△AMN=S△ANP．又S△DNP =S△BNP,所以S△CNP＋S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND．初一奥数题二1．已知3x2-x=1,求6x3+7x2-5x＋2000的值．2．某商店出售的一种商品,每天卖出100件,每件可获利4元,现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润,根据经验,这种商品每涨价1元,每天就少卖出10件．试问将每件商品提价多少元,才能获得最大利润最大利润是多少元3．如图1－96所示．已知CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1＋∠2=90°．求证：DA⊥AB．4．已知方程组的解应为一个学生解题时把c抄错了,因此得到的解为求a2＋b2＋c2的值．5．求方程｜xy｜-｜2x｜+｜y｜=4的整数解．6．王平买了年利率％的三年期和年利率为％的五年期国库券共35000元,若三年期国库券到期后,把本息再连续存两个一年期的定期储蓄,五年后与五年期国库券的本息总和为47761元,问王平买三年期与五年期国库券各多少一年期定期储蓄年利率为％7．对k,m的哪些值,方程组至少有一组解8．求不定方程3x＋4y＋13z=57的整数解．9．小王用5元钱买40个水果招待五位朋友．水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为20分、8分、3分．小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望解答：1．原式=2x3x2-x+33x2-x-2x+2000 =2x×1＋3×1-2x+2000=2003．2．原来每天可获利4×100元,若每件提价x元,则每件商品获利4＋x元,但每天卖出为100-10x件．如果设每天获利为y元,则y ＝4＋x100-10x=400＋100x-40x-10x2=-10x2-6x＋9＋90＋400=-10x-32＋490．所以当x=3时,y最大=490元,即每件提价3元,每天获利最大,为490元．3．因为CE平分∠BCD,DE平分∠ADC及∠1＋∠2=90°图1－104,所以∠ADC＋∠BCD=180°,所以AD∥BC．①又因为 AB⊥BC,②由①,② AB⊥AD．4．依题意有所以a2+b2+c2=34．5．｜x｜｜y｜-2｜x｜+｜y｜=4,即｜x｜｜y｜-2+｜y｜-2=2,所以｜x｜+1｜y｜-2=2．因为｜x｜＋1＞0,且x,y都是整数,所以所以有6．设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元,则因为y=35000-x,所以 x1＋×31＋2+35000-x1+×5=47761,所以＋=47761,所以 =994,所以 x=20000元,y=35000-20000=15000元．7．因为 k－1x＝m-4, ①m为一切实数时,方程组有唯一解．当k=1,m=4时,①的解为一切实数,所以方程组有无穷多组解．当k=1,m≠4时,①无解．所以,k≠1,m为任何实数,或k=1,m=4时,方程组至少有一组解．8．由题设方程得z＝3m-y．x=19-y-43m-y-m =19+3y-13m．原方程的通解为其中n,m取任意整数值．9．设苹果、梨子、杏子分别买了x,y,z个,则消去y,得12x-5z=180．它的解是x=90-5t,z=180-12t．代入原方程,得y=-230＋17t．故x=90-5t,y=-230+17t,z=180-12t．x=20,y=8,z=12．因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1＋2＋3+4＋5＋6=21＞20个．初一奥数题三1．解关于x的方程2．解方程其中a＋b＋c≠0．3．求8x3-6x2+4x-732x5-32的展开式中各项系数之和．4．液态农药一桶,倒出8升后用水灌满,再倒出混合溶液4升,再用水灌满,这时农药的浓度为72％,求桶的容量．5．满足=-2x的自然数x共有几个这里x表示不超过x的最大整数,例如=-6,3=3．6．设P是△ABC内一点．求：P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围．7．甲乙两人同时从东西两站相向步行,相会时,甲比乙多行24千米,甲经过9小时到东站,乙经过16小时到西站,求两站距离．8．黑板上写着三个数,任意擦去其中一个,将它改写成其他两数的和减1,这样继续下去,最后得到19,1997,1999,问原来的三个数能否是2,2,29．设有n个实数x1,x2,…,xn,其中每一个不是+1就是-1,且求证：n是4的倍数．解答：1．化简得6a-1x=3-6b+4ab,当a≠1时,2．将原方程变形为由此可解得x=a＋b+c．3．当x=1时,8-6+4-732-12=1．即所求展开式中各项系数之和为1．依题意得去分母、化简得7x2-300x+800=0,即7x-20x-40=0,5．若n为整数,有n＋x=n＋x,所以=-2x＋=-2x+．由已知=-2x,所以-2x=-2x+, 所以 =0．又因为x为自然数,所以0≤＜1,经试验,可知x可取1,2,3,4,共4个．6．如图1－105所示．在△PBC中有BC＜PB＋PC, ①延长BP交AC于D．易证PB＋PC＜AB＋AC．②由①,② BC＜PB＋PC＜AB+AC, ③同理 AC＜PA＋PC＜AC＋BC, ④AB＜PA＋PB＜AC＋AB．⑤③＋④＋⑤得AB＋BC＋CA＜2PA＋PB＋PC＜2AB＋BC＋CA．所以7．设甲步行速度为x千米/小时,乙步行速度为y千米/小时,则所求距离为9x+16y千米．依题意得由①得16y2=9x2, ③由②得16y=24＋9x,将之代入③得即 24＋9x2=12x2．解之得于是所以两站距离为9×8＋16×6=168千米．8．答案是否定的．对于2,2,2,首先变为2,2,3,其中两个偶数,一个奇数．以后无论改变多少次,总是两个偶数,一个奇数数值可以改变,但奇偶性不变,所以,不可能变为19,1997,1999这三个奇数．;又因为所以,k是偶数,从而n是4的倍数．初一奥数题四1．已知a,b,c,d都是正数,并且a＋d＜a,c＋d＜b．求证：ac＋bd＜ab．2．已知甲种商品的原价是乙种商品原价的倍．因市场变化,乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍．调价后,甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2％,求乙种商品提价的百分数．3．在锐角三角形ABC中,三个内角都是质数．求三角形的三个内角．4．某工厂三年计划中,每年产量递增相同,若第三年比原计划多生产1000台,那么每年比上一年增长的百分数就相同,而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半,求原计划每年各生产多少台z=｜x+y｜+｜y+1｜+｜x-2y+4｜,求z的最大值与最小值．8．从1到500的自然数中,有多少个数出现1或59．从19,20,21,…,98这80个数中,选取两个不同的数,使它们的和为偶数的选法有多少种解答：1．由对称性,不妨设b≤a,则ac＋bd≤ac＋ad=ac＋d＜ab．2．设乙种商品原单价为x元,则甲种商品的原单价为元．设甲商品降价y％,则乙商品提价2y％．依题意有1-y％+x1＋2y％=＋x1＋2％,化简得所以y==10％,所以甲种商品降价10％,乙种商品提价20％．3．因为∠A+∠B＋∠C=180°,所以∠A,∠B,∠C中必有偶数．唯一的偶质数为2,所以∠C=2°．所以∠A+∠B=178°．由于需∠A,∠B为奇质数,这样的解不唯一,如4．设每年增产d千台,则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d,a,a＋d 依题意有解之得所以三年产量分别是4千台、6千台、8千台．不等式组：所以 x＞2；无解．6．设原式为S,则所以又＜因为所以 =．7．由｜x｜≤1,｜y｜≤1得 -1≤x≤1,-1≤y≤1．所以y＋1≥0,x-2y+4≥-1-2×1+4=1＞0．所以z=｜x+y｜+y+1+x-2y+4=｜x+y｜＋x-y＋5．1当x+y+≤0时,z=-x+y＋x-y+5=5-2y．由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7,所以这时,z的最小值为3、最大值为7．2当x+y＞0时,z=x＋y+x-y+5=2x+5．由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7,所以这时z的最小值为3、最大值为7．由1,2知,z的最小值为3,最大值为7．8．百位上数字只是1的数有100,101,…,199共100个数；十位上数字是1或5的其百位上不为1有2×3×10=60个．个位上出现1或5的其百位和十位上都不是1或5有2×3×8=48个．再加上500这个数,所以,满足题意的数共有100+60+48+1=209个．9．从19到98共计80个不同的整数,其中有40个奇数,40个偶数．第一个数可以任选,有80种选法．第一个数如果是偶数,第二个数只能在其他的39个偶数中选取,有39种选法．同理,第一个数如果是奇数,第二个数也有39种选法,但第一个数为a,第二个为b与第一个为b,第二个为a是同一种选法,所以总的选法应该折半,即共有种选法．初一奥数题五1．一项任务,若每天超额2件,可提前计划3天完工,若每天超额4件,可提前5天完工,试求工作的件数和原计划完工所用的时间．2．已知两列数2,5,8,11,14,17,…,2＋200-1×3,5,9,13,17,21,25,…,5＋200-1×4,它们都有200项,问这两列数中相同的项数有多少项3．求x3-3px＋2q能被x2＋2ax＋a2整除的条件．4．证明不等式5．若两个三角形有一个角对应相等．求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比．6．已知x-12除多项式x4＋ax3-3x2＋bx＋3所得的余式是x+1,试求a,b的值．7．今有长度分别为1,2,3,…,9的线段各一条,可用多少种不同方法,从中选用若干条,使它们能围成一个正方形8．平面上有10条直线,其中4条是互相平行的．问：这10条直线最多能把平面分成多少部分9．边长为整数,周长为15的三角形有多少个解答：1．设每天计划完成x件,计划完工用的时间为y天,则总件数为xy件．依题意得解之得总件数xy=8×15=120件,即计划用15天完工,工作的件数为120件．2．第一列数中第n项表示为2＋n-1×3,第二列数中第m项表示为5＋m-1×4．要使2＋n-1×3＝5+m-1×4．所以因为1≤n≤200,所以所以m=1,4,7,10,…,148共50项．3．x3-3px+2q被x2＋2ax＋a2除的余式为3a2-px＋2q＋a3,所以所求的条件应为4．令因为所以5．如图1-106a,b所示．△ABC与△FDE中,∠A=∠D．现将△DEF移至△ABC中,使∠A与∠D重合,DE=AE＇,DF=AF＇,连结F＇B．此时,△AE＇F＇的面积等于三角形DEF的面积．①×②得6．不妨设商式为x2+α·x＋β．由已知有x4＋ax3-3x2＋bx＋3=x-12x2+α·x＋β+x＋1=x2-2x＋1x2＋α· x＋β＋x＋1=x4+α-2x3+1-2α＋βx2＋1＋α-2βx＋β+1．比较等号两端同次项的系数,应该有只须解出所以a=1,b=0即为所求．7．因为所以正方形的边长≤11．下面按正方形边的长度分类枚举：1边长为11：9＋2=8+3=7＋4=6+5,可得1种选法．2边长为10：9＋1=8＋2=7＋3=6+4,可得1种选法．3边长为9：9=8+1=7+2=6+3=5+4,可得5种选法．4边长为8：8=7+1=6+2=5+3,可得1种选法．5边长为7：7=6+1=5＋2=4＋3,可得1种选法．6边长≤6时,无法选择．综上所述,共有1+1+5+1+1=9种选法组成正方形．8．先看6条不平行的直线,它们最多将平面分成2+2＋3+4+5＋6=22个部分．现在加入平行线．加入第1条平行线,它与前面的6条直线最多有6个交点,它被分成7段,每一段将原来的部分一分为二,故增加了7个部分．加入第2,第3和第4条平行线也是如此,即每加入一条平行线,最多增加7个部分．因此,这些直最多将平面分成22+7×4=50个部分．9．不妨设三角形的三边长a,b,c满足a≥b≥c．由b＋c＞a,a＋b＋c=15,a ≥b≥c可得,15=a＋b＋c＞2a,所以a≤7．又15=a+b＋c≤3a,故a≥5．于是a=5,6,7．当a=5时,b＋c=10,故b=c=5；当a=b时,b＋c=9．于是b=6,c=3,或b=5,c=4；当a=7时,b+c=8,于是b=7,c=1,或b=6,c=2,或b=5,c=3,或b=4,c=4．所以,满足题意的三角形共有7个．。

初二数学奥林匹克竞赛题及答案

初二数学奥林匹克竞赛题及答案1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。

（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD＝1，BC＝3，DC＝ 2 ，试判断△ DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△ PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N.（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN. ①求证：△ ABN≌ △ADN；②若∠ ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离；（2）如图25－2，若∠ ABC = 90 °，记点M运动所经过的路程为x （6≤x≤12）试问：x为何值时，△ ADN为等腰三角形.3、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，使OM＝ON，且OM⊥ ON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左转弯运动” ．正方形ABCD和点P，P 点关于 A 左转弯运动到P1，P1关于B左转弯运动到P2，P2 关于C左转弯运动到P3，P3 关于D左转弯运动到P4，P4关于A左转弯运动到P5，⋯⋯．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P1 的位置；（2）P 两点的坐标为（0，4）、（ 1 0三点的坐P由。

（3）以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A、A4、如图 1 和 2，在 20×20 的等 QAC 的面积为 y.(1) 如图 1，当 Rt △ABC 向下平移到 Rt △A 1B 1C 1 的位置时，请你在网格中画出 Rt △A 1B 1C 1关于直线 QN 成轴对称的图形；(2) 如图 2，在 Rt △ABC 向下平移的过程中，请你求出 y 与 x 的函数关系式，并说明当 x 分别取何值时， y 取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？ (3)在 Rt △ABC 向右平移的过程中，请你说明当 x 取何值时， y 取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①，△ ABC 中， AB=AC ，∠ B 、∠C 的平分线交于 O 点，过 O 点作 EF ∥BC 交 AB 、 AC 于 E 、F ．(1) 图中有几个等腰三角形 ?猜想： EF 与 BE 、CF 之间有怎样的关系，并说明理由．(2) 如图②，若 AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗 ?如果有，分别指出它们．在第 (1) 问中 EF 与 BE 、CF 间的关系还存在吗 ?(3) 如图③，若△ ABC 中∠ B 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于 O ，过 O 点作 OE ∥BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 F ．这时图中还有等腰三角形吗 ?EF 与 BE 、CF6、已知，如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°，AB=AC,D 为 AC 上一点，且 ∠ BDC=12°4 ，延长 BA 到点 E ，使 AE=AD,BD 的延长线交 CE 于点 F ，求∠ E 的度数。

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：互为相反数。

b，由此a、－2，满足2+(－2)=0令a=2，b=2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D33222解析：3是多项式，排除A+x之和为xx，x。

两个单项都是单项式．两个单项式x，x22223之和为2x3x是个单－之和为3xx是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2式x2x，与。

，因此选D项式，排除C3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：错误。

C最大的负整数是-1，故4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，13/ 1初中数学奥林匹克竞赛题及答案。

个．选C0共4－1，6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：。

，应选D、B、C，马上可以排除令a=0A8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

数学奥林匹克初中训练题(158)

（）１（） √ （）（）Ａ７Ｂ２５Ｃ５Ｄ４
４已知正整数ｍ、．ｎ可写成
０ｏ＋ｎ１ｘ７＋。＋８２ｘ７３ｘ７
分ＥＧ的面积为ＦＨ
图３
的形式，中，ｉ，，，）１至７的正其０（：０１２３为
圆弧Ｂ的中点，Ｃ点
、
（）ｏＹ＝１０４＋ｏ６０
ｊ＝２０ｏ２Ｘ５０ＭｘＹ ≤ ０１Ｘ５５．
（）０Ｙ＝１５＋ｏ２０２
Ｍ＝Ｙ０ｏ≤ １０５Ｘ１０．００７
在弧ＢＤ上，是Ｅ
舭
…ｄ。ｘ＝
．
第二试
一
由（＋ｙ）ｏ０知（＋０１１． ‰ ０ｙ， ‰ ｙ）２０２故０Ｙ＝，５３ｌＯ６２０２＋０２４，０，０，１．
（）０Ｙ＝２：０Ｙ＝１＝＝，１＋ｏ＝ｏ），矛盾．
．
— —
（６６（）０（）１（）１Ａ）０Ｂ６８Ｃ６０Ｄ６２
３在△ ＡＣ中，．Ｂ已知ＡＢ＝１，Ｃ＝，Ｃ２Ａ８Ｂ
５将从１３．到０的自然数分成两组，得使第一组中所有数的乘积Ａ能被第二组中所有
， ‘、
综上，的最大值为１０５×１０．０７０
将从1到30的自然数分成两组使得第一组中所有数的乘积a能被第二组中所有数的乘积b整除则告的最小值为
３６
中等数学

初中数学奥林匹克竞赛题word版含答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案奥数题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0B．a，b之一是0C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数答案：C解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。

2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式答案：D解析：x²，x3都是单项式．两个单项式x3，x²之和为x3+x²是多项式，排除A。

两个单项式x²，2x2之和为3x2是单项式，排除B。

两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。

3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数答案：C解析：最大的负整数是-1，故C错误。

4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0D．b＞0答案：D5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个B．3个C．4个D．无数个答案：C解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C。

6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。

7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－aB．a小于－aC．a大于－a或a小于－aD．a不一定大于－a答案：D解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。

8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A．乘以同一个数B．乘以同一个整式C．加上同一个代数式D．都加上1答案：D解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。

初二数学奥林匹克竞赛题及答案

初二数学奥林匹克竞赛题及答案1、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ＝EC ，EF ∥AB 交BC 于点F ，EF ＝EC ，连结DF 。

(1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形；(2)若AD＝1，BC ＝3，DC DCF 的形状；(3)在条件(2)下，射线BC 上是否存在一点P ，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N .（1）如图25－1，当点M 在AB 边上时，连接BN .①求证：△ABN ≌△ADN ；②若∠ABC = 60°，AM = 4，求点M 到AD 的距离；（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三角形.3、对于点O 、M ，点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ，使OM ＝ON ，且OM ⊥ON ，这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”．正方形ABCD 和点P ，P 点关于A 左转弯运动到P 1，P 1关于B 左转弯运动到P 2，P 2关于C 左转弯运动到P 3，P 3关于D 左转弯运动到P 4，P 4关于A 左转弯运动到P 5，……．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置；（2）连接P 1A 、P 1B ，判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系？并说明理由。

(3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A 、P 两点的坐标为（0，4）、（1，1），请你推断：P 4、P 2009、P 2010三点的坐标．4、如图1和2，在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中，Rt △ABC 从点A 与点M 重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC 边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C 与点P 重合时，Rt △ABC 停止移动.设运动时间为x 秒，△QAC 的面积为y .（1）如图1，当Rt △ABC 向下平移到Rt △A 1B 1C 1的位置时，请你在网PDCBAO NM图1图2格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函数关系式，并说明当x分别取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？5、如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．(1)图中有几个等腰三角形?猜想： EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们．在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO 交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由。

数学奥林匹克初中训练题(6)(含解答)

数学奥林匹克初中训练题(6)第一试一. 选择题:(每小题7分,共42分)1.若,a b 均为质数,且22003a b +=,则a b +的值为( )(A)1999 (B)2000 (C)2001 (D)20022.设0,1,a b c a b c >>>++=,,,b c a c a b M N P a b c+++===,则,,M N P 之间的关系是( )(A)M N P >> (B)N P M >>(C)P M N >> (D)M P N >>3.设ΔABC 的三边长为,,a b c 满足28,1252b c bc a a +==-+,则ΔABC 的周长是( )(A)10 (B)14 (C)16 (D)不能确定4.下面四个命题:①直角三角形的两边长为3,4,则第三边长为5;②=,③对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;④若四边形ABCD 中,AD ∥BC,且 AB+BC=AD+DC,则四边形ABCD 是平行四边形.其中正确的命题的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.一个四位数aabb 为平方数,则a b +的值为( )(A)11 (B)10 (C)9 (D)86.如果满足60,12,O ABC AC BC k ∠===的ΔABC 恰有一个,那么k 的取值范围是( )(A)k = (B)012k ≤ (C)12k ≥ (D)012k ≤或k =二. 填空题:(每小题7分,共28分)1.已知,,a b c 为实数,且多项式32x ax bx c +++能被234x x +-整除,则22a b c --的值是 .2.设正整数,,a b c 满足518,360ab bc ab ac +=-=,则abc 的最大值是 . 3,若abc =1,2003111x x x a ab b bc c ac ++=++++++,则x = .4.如图1,AB是半圆O的直径,四边形CDMN和DEFG都是正方形,其中C,D,E在AB 上,F,N在半圆上.若AB=10,则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是 .第二试一.(20分)若AD是ΔABC角平分线,I是线段AD上的点,且1902OBIC BAC ∠=+∠.求证:I是ΔABC的内心.二.(25分)用汽船拖载重量相等满载货物的小船若干只,在两港之间来回送货物.已知每次拖4只小船,一日能来回16次;每次拖7只小船,一日能来回10次.每日来回次数是拖小船只数的一次函数(一天中每次拖小船只数不变).问每日来回多少次,每次拖多少只小船,才能使运货问题达到最大?三.(25分)设,,a b c 是从1到9的互不相同的整数,求a b c abc++的最大的可能值.。

数学竞赛资料-数学奥林匹克初中训练题（含答案）

数学奥林匹克初中训练题第一试一、选择题(每小题7分，共42分) 1.设z y x ++=+++6323，且x 、y 、z 为有理数.则xyz =(). (A)3／4 (B)5／6 (C)7／12(D)13／18 2.设二次函数f (x )=ax 2+ax +1的图像开口向下，且满足f (f (1))=f (3).则2a 的值为( ). (A)－3 (B)－5 (C)－7 (D)－9 3.方程|xy |+|x +y |=1的整数解的组数为(). (A)2 (B)4 (C)6(D)8 **、b 是方程x2+(m －5)x+7=0的两个根.则(a2+ma+7)(b2+mb+7)=( ). (A)365 (B)245 (C)210(D)175 5.如图，Rt △ABC 的斜边BC =4，∠ABC =30°，以AB 、AC 为直径分别作圆.则这两圆的公共部分面积为( ) (A)2332+π (B) 33265-π (C) 365-π(D) 332-π 6.从1，2，…，13中取出k 个不同的数，使这k 个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8.则k 的最大值为(). (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 二、填空题(每小题7分，共28分)1.若整系数一元二次方程x 2+(a +3)x +2a +3=0有一正根x 1和一负根x 2，且|x 1|<|x 2|，则a = .2.当x =2329-时，代数式x 4+5x 3－3x 2－8x +9的值是的值是. 3.给定两组数，A 组为:1，2，…，100;B 组为:12，22，…，1002.对于A 组中的数x ，若有B组中的数y ，使x +y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”.那么，A 组中这样的关联数有组中这样的关联数有个.4.已知△ABC 的三边长分别为的三边长分别为AB =2576a 2+，BC =62514a a 2++，AC =62514a -a 2+，其中a >7.则△ABC 的面积为面积为 .第二试一、(20分)解方程:(12x +5)2(6x －1)(x +1)=255.二、(25分)如图，四边形ABCD 中，∠ACB =∠ADB =90°，自对角线AC 、BD 的交点N 作NM ⊥AB 于点M ，线段AC 、MD 交于点E ，BD 、MC 交于点F ，P 是线段EF 上的任意一点证明:点P 到线段CD 的距离等于点P 到线段MC 、MD 的距离之和.三、(25分)矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，矩形玻璃台板碎裂成一些小玻璃片，每块碎片都是凸多边形，每块碎片都是凸多边形，每块碎片都是凸多边形，将其重新粘合成原将其重新粘合成原矩形后，有交结点30个，其中20个点在原矩形的周界上(包括原矩形的四个顶点)，其余10个点在矩形内部.在矩形的内部有45条粘缝(两个结点之间的线段算是一条粘缝，如图所示).试求该矩形台板所碎裂成的各种类型(指三角形、四边形、五边形等)的块数. 说明:若凸多边形的周界上有n 个点，就将其看成n 边形,例如,图中的多边形ABCDE 要看成五边形.数学奥林匹克初中训练题1参考答案参考答案第一试第一试1.A .两边平方得3+2 +3+6=x +y +z +2xy +2yz +2xz .根据有理数x 、y 、z 的对称性,可考虑方程组可考虑方程组 x +y +z =3,2xy =2,2yz =3,2xz = 6.解得x =1,y =1／2,z =3／2.此时,xyz =3/4.**.注意到f(1)=2a+1,f(3)=12a+1,f(f(1))=a(2a+1)2+a(2a+1)+1.由f(f(1))=f(3),得(2a +1)2+(2a +1)=12.所以,2a +1=3或－4.因a <0,故2a =－5. **.因x 、y 为整数,则|xy |、|x +y |为非负整数.于是,|xy |、|x +y |中一个为0,一个为1.分情形考虑得6组解. **.由ab =7,a 2+ma +7=5a ,b 2+mb +7=5b ,所以,(a 2+ma +7)(b 2+mb +7)=25ab =175. **.记两圆公共部分的面积为S .如图,易知S =S 扇形EAD +S 扇形F AD －S 四边形AEDF =5π／6－3 . **.将这13个数按照相邻两数的差为5或8排列于一个圆周上(如图5).若取出的数多于6个,则必有2个数在圆周上相邻.另一方面,可以取出适合条件的6个数(任取圆周上不相邻的6个数即可),因此,k 的最大值为6. 二、1.－2.因方程的两根不等,故Δ>0,即(a +3)2>4(2a +3).解得a >3或a <－1.又由题设条件知,方程的两根和与积皆负,即－(a +3)<0,2a +3<0.从而,a >－3,a <－3/2,即－3<a <－3/2.而a 为整数,则a =－2. 2. 32297-. x =2329-是方程x 2+3x －5=0的根, **.记x +y =a 2,y =b 2,则1≤b <a ≤100.而x =a 2－b 2=(a +b )(a －b )≤100,因a +b 、a －b 同奇偶,故a +b ≥(a －b )+2.(1)若a －b =1,则a +b 为奇数,且3≤a +b ≤99.于是,a +b 可取3,5,7,…,99,共49个值,这时,相应的x 也可取这49个值.(2)若a －b =2,则a +b 为偶数,且4≤a +b ≤50.于是,a +b 可取4,6,8,…,50,共24个值,这时,相应的x 可取8,12,16,…,100这24个值. 其他情况下所得的x 值均属于以上情形.若a －b =奇数,则a +b =奇数.而x =a 2－b 2≥a +b ≥3,归入(1).若a －b =偶数,则a +b =偶数.而x =(a －b )(a +b )为4的倍数,且a －b ≥2,a +b ≥4,故x ≥8,归入(2). 因此,这种x 共有49+24=73个. **.注意到AB 2=(2a )2+482,BC 2=(a +7)2+242,AC 2=(a －7)2+242.如图,以AB 为斜边,向△ABC 一侧作直角△ABD ,使BD =2a ,AD =48,∠ADB =90°=90°. . 在BD 上取点E ,使BE =a +7,ED =a －7,又取AD 的中点F ,作矩形EDFC 1.因BC 21=BE 2+EC 21=(a +7)2+242=BC 2,AC 21=C 1F 2+AF 2=(a －7)2+242=AC 2,故点C 与点C 1重合.而S △ABD =48a ,S △CBD =24a ,S △ACD =24(a －7),则S △ABC =S △ABD －S △CBD －S △ACD =168. 第二试第二试一、将原方程变形得(12x +5)2(12x －2)(12x +12)=660.令12x +5=t ,则t 2(t －7)(t +7)=660,即t 4－49t 2=660.解得t 2=60或t 2=－11(舍去). 由此得t =±=±2 15,2 15,即有12x +5=±+5=±2215.因此,原方程的根为x 1,2=1215 25- .二、如图,易知A 、B 、C 、D 四点共圆,B 、C 、N 、M 四点共圆,因此,∠ACD =∠ABD =∠MCN .故AC 平分∠DCM .同理,BD 平分∠CDM .如图,设PH ⊥MC 于点H ,PG ⊥MD 于点G ,PT ⊥CD 于点T ;过点P 作XY ∥MC ,交MD 于点X ,交AC 于点Y ;过点Y 作YZ ∥CD ,交MD 于点Z ,交PT 于点R ;再作YH 1⊥MC 于点H 1,YT 1⊥CD 于点T 1由平行线及角平分线的性质得PH =YH 1=YT 1=RT 为证PT =PG +PH ,只须证PR =PG 由平行线的比例性质得EP ／EF =EY ／EC =EZ ／ED .因此,ZP ∥DF .由于△XYZ 与△MCD 的对应边分别平行,且DF 平分∠MDC ,故ZP 是∠XZY 的平分线.从而,PR =PG .因此,所证结论成立.三、设全部碎片中,共有三角形a 3个,四边形a 4个,……,k 边形a k 个(a 3,a 4,…,a k 为非负整数).记这些多边形的内角和为S 角,于是,S 角=a 3×π+a 4×2π+…+a k (k －2)π.另一方面,矩形内部有10个结点,对于每个点,围绕它的多边形顶角和为2π,10个内结点共获得10×10×22π弧度;矩形边界上(不含4个顶点)共有16个结点,在每个这种结点处,各多边形的顶角在此汇合成一个平角,16个这种结点共获得16π弧度;而原矩形的4个顶点处,共获得多边形碎片的2π弧度.因此,S 角=20π+16π+2π=38π. 于是,a 3+2a 4+…+(k －2)a k =38.①记这些多边形的边数和为S 边.由于每个n 边形有n 条边,则S 边=3a 3+4a 4+…+ka k .另一方面,在矩形内部的45条粘缝,每条都是两个多边形的公共边,故都计算了两次;矩形周界上的20条线段各被计算了一次,因此,S 边=2×=2×45+20=110. 45+20=110. 于是,3a 3+4a 4+…+ka k =110.② ②－①得2(a 3+a 4+…+a k )=72.故a 3+a 4+…+a k =36.③ ①－③得a 4+2a 5+3a 6+…+(k －3)a k =2.因所有a i ∈N ,故a 6=a 7=…=a k =0,a 4+2a 5=2.所以,或者a 4=2,a 5=0;或者a 4=0,a 5=1.综上,本题的解共有两种情况,即全部碎片共36块,其中,或含有34个三角形,2个四边形;或含有35个三角形，1个五边形.。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷(预赛)(A卷)(含答案)

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷（预赛）（A卷）一、填空题：本题共8小题，每小题8分，共64分。

1.若实数m>1满足log9(log8m)=2024，则log3(log2m)的值为______．2.设无穷等比数列{a n}的公比q满足0<|q|<1.若{a n}的各项和等于{a n}各项的平方和，则a2的取值范围是______．3.设实数a，b满足：集合A={x∈R|x2−10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b3}的交集为[4,9]，则a+b的值为______．4.在三棱锥P−ABC中，若PA⊥底面ABC，且棱AB，BP，BC，CP的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为______．5.一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b.若事件“a+b=7”发生的概率为17，则事件“a=b”发生的概率为______．6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2x)在区间[0,5)上的零点个数为25，则g(x)在区间[1,4)上的零点个数为______．7.设F1，F2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P(异于长轴端点)，记O为△PF1F2的外心，若PO⋅F1F2=2PF1⋅PF2，则Ω的离心率的最小值为______．8.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a,b,c)为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10<a<b<c的幸运数组(a,b,c)的个数为______．二、解答题：本题共3小题，共56分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

9.(本小题16分)在△ABC中，已知cosC=sinA+cosA2=sinB+cosB2，求cosC的值．10.(本小题20分)在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x2−y2=1的右顶点为A.将圆心在y轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P，圆心距为d，求d|PA|的所有可能的值．11.(本小题20分)设复数z，w满足z+w=2，求S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值．参考答案1.40492.[−14,0)∪(0,2)3.74.345.196.117. 648.5919.解：由题意知，sinA +cosA =sinB +cosB ，所以 2sin (A +π4)= 2sin (B +π4)，所以A +π4=B +π4或(A +π4)+(B +π4)=π，即A =B 或A +B =π2，当A =B 时，C =π−2A ，且A ∈(0,π2)，由cosC =sinA +cosA 2，知cos (π−2A)=sinA +cosA 2，即−2cos2A =sinA +cosA ，所以2(sin 2A−cos 2A)=sinA +cosA ，所以2(sinA +cosA)(sinA−cosA)=sinA +cosA ，因为A ∈(0,π2)，所以sinA +cosA ≠0，所以sinA−cosA =12，又sin 2A +cos 2A =1，所以(12+cosA )2+cos 2A =1，解得cosA =7−14或cosA =− 7−14(舍负)，所以cosC =−cos2A =1−2cos 2A =1−2×(7−14)2= 74；当A +B =π2时，C =π2，所以cosC =0，此时sinA +cosA = 2sin (A +π4)=0，而A ∈(0,π2)，所以A +π4∈(π4,3π4)，所以sin (A +π4)>0，与sin (A +π4)=0相矛盾，所以cosC =0不成立，综上，cosC = 74． 10.解：考虑以(0,y 0)为圆心的好圆Ω0：x 2+(y−y 0)2=r 20(r 0>0)．由Ω0与Γ的方程联立消去x ，得关于y 的二次方程2y 2−2y 0y +y 20+1−r 20=0．根据条件，该方程的判别式Δ=4y20−8(y20+1−r20)=0，因此y20=2r20−2．对于外切于点P的两个好圆Ω1，Ω2，显然P在y轴上．设P(0,ℎ)，Ω1，Ω2的半径分别为r1，r2，不妨设Ω1，Ω2的圆心分别为(0,ℎ+r1)，(0,ℎ−r2)，则有(ℎ+r1)2=2r21−2，(ℎ−r2)2=2r22−2，两式相减得2ℎ(r1+r2)=r21−r22，而r1+r2>0，故化简得ℎ=r1−r22，进而(r1−r22+r1)2=2r21−2，整理得r21−6r1r2+r22+8=0①，由于d=r1+r2，A(1,0)，|PA|2=ℎ2+1=(r1−r2)24+1，而①可等价地写为2(r1−r2)2+8=(r1+r2)2，即8|PA|2=d2，所以d|PA|=22．11.解：根据z+w=2，得w=2−z，可得|z2−2w|=|z2−2(2−z)|=|z2+2z−4|=|z+1+5|⋅|z+1−5|．|w2−2z|=|(2−z)2−2z|=|z2−6z+4|=|z−3+5|⋅|z−3−5|．以上两式的最右边各项分别是z到复平面中实轴上的点(−1−5,0)，(−1+5,0)，(3−5,0)，(3+5,0)的距离，将z=x+yi换成其实部x时，各个距离都不会增大，因此只需考虑函数f(x)=|x2+2x−4|+|x2−6x+4|在R上的最小值．由x2+2x−4=0的根为−1±5，x2−6x+4=0的根为3±5，且−1−5<3−5<−1+5<3+5，分以下几种情况讨论：①若x≤−1−5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在(−∞,−1−5]上的最小值为f(−1−5)=16+85；②若x∈(−1−5,3−5]，则f(x)=−8x+8，此时f(x)的最小值为f(3−5)=−16+85；③若x∈[3−5,−1+5]，则f(x)=−2x2+4x，此时f(x)的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=−16+85；④若x∈[−1+5,3+5]，则f(x)=8x−8，此时f(x)的最小值为f(−1+5)=−16+85；⑤若x≥3+5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在[3+5,+∞)的最小值为f(3+5)=16+85．综上所述，f(x)在R上的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=85−16．即S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值是85−16．。

八年级数学奥林匹克竞赛训练题1.因式分解ok

第一讲因式分解班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（）（A ）(2a ＋3)(2a －3)＝4a 2－9（B ）4m 2－9＝(2m ＋3)(2m －3)（C ）m 2－16＋3m ＝(m ＋4)(m －4)＋3m （D ）2x (y ＋z )－3(y ＋z )＝2xy ＋2xz －3y －3z2．下面各式的因式分解中，正确的是（）（A ）－7ab －14＋49aby ＝7ab (1－2x ＋7y )（B ）－3x m y n ＋x m ＋1y n －1＝－3x m y n －1(y ＋3x )（C ）6(a －b )2－2(b －a )＝2(a －b )(3a －3b ＋1) （D ）xy (x －y )－x (y －x )＝x (x －y )(y －1) 3．下面各式的因式分解中，正确的是（）（A ）1－8(a ＋b )3＝(1－2a ＋2b )(1＋2a ＋2b ＋4a 2＋4ab ＋b 2) （B ）(x 2＋y 2)2－4x 2y 2＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy ) （C ）8a －4a 2－4＝4(a －1)2（D ）a 2(x －y )＋b 2(y －x )＝(x －y )(a ＋b )(a －b ) 4．下面各式的因式分解中，正确的是（）（A ）ab －a ＋b ＋1＝(a －1)(b ＋1) （B ）4xy ＋1－4x 2－y 2＝(1＋2x －y )(1－2x －y ) （C ）3a －3b ＋3x －bx ＝(a －b )(3－x ) （D ）－4xy ＋1－4x 2－y 2＝(1＋2x ＋y )(1－2x －y )5．下列因式分解的变形中，正确的是（）（A ）x 2－(a ＋1)x ＋a 2＝(x －1)(x －a )（B ）m 2＋65m ＋61＝(2m ＋1)(3m ＋1)（C ）y 2＋(a 2＋b 2)·y ＋a 2b 2＝(y ＋a 2)(y ＋b 2)（D ）(x 2－3x )2－2(x 2－3x )－8＝(x －1)(x －2)(x ＋4)(x －1) 二、填空题1．在代数式：（1）4x 2－4x ＋1，（2）m 2＋mn ＋n 2，（3）64n 2＋1中是完全平方式的是__________． 2．若2x 2＋ax －9被2x －3除后余3，则商式是__________，且a ＝__________．3．在一个边长12.75平厘米的正方形内挖去一个边长为7.25厘米的正方形，则剩下的面积就是___________． 4．乘积(1－221)(1－231) (1)291)(1－2101)＝________________．5．已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数___________整除．三、解答题1．分解因式（1）x4＋2x2－3；（2）x4＋2x2＋9；（3）(1－a2)(1－b2)－4ab；（4）x2－xy＋2x－y－3；（5）a2＋(a＋1)2＋a2(a＋1)2；（6）(m＋n)3＋2mn(1－m－n)－1；（7）(a2＋a＋1)(a2＋a＋2)－12；（8）12x4－56x3＋89x2－56x＋12．2．已知三角形的三条边a，b，c适合等式：a3＋b3＋c3＝3abc，请确定三角形的形状．3．已知：三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个奇数．4．已知：2x－3和3x＋1是f(x)＝ax3＋bx2＋32x＋15的因式，求a，b的值．5．证明：（1）若n为整数，则(2n＋1)2－(2n－1)2一定是8的倍数；（2）若n为正整数时，n3－n的值必是6的倍数；（3）四个连续自然数的积加1必为一完全平方数．更多数学资料，请点击：/user/925/index.html（hnnylpzの初中数学教育）。

数学奥林匹克初中训练题(170)

（Ｄ）一４≤ｆ＜
８
一
、
选择题（每小题７分，共４２分）
１．比而
（）个．（Ａ）１
一
（Ｃ）３
小的正整数有
（Ｄ）４
６．如图１，在菱形ＡＢＣＤ中，设ＡＥＪ－ＢＣ于点，ｃ。ｓＢ＝４ＥＣ＝２，
３．小李和小张在一个圆形跑道上匀速跑步，
两人同时从同地出发，小李顺时针跑，每７２秒跑
一
５．已知关于的不等式组
圈，小张逆时针跑，每８０秒跑一圈．开始时，小
李手中有一接力棒，两人每次相会时，接力棒从一人手中传到另一人手中（交棒所耽误时间忽略不计）．接力棒再回到起点时最少需— — 秒．４．如图２，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ、ＢＤ交于
Ｄ
３
Ｙ＝２ｊ＝２
．
故比＝２小的正整数有２个．
２．Ａ．
证明：（１）Ｃ、Ｐ、Ｄ、Ｓ，Ｅ、Ｑ、Ｄ、Ｒ分别四点
共圆；
注意到，
，
（Ｂ）２
２．对正整数ｎ，记１ｘ２× …× ｎ＝ｎ！．若
Ｍ＝１１ ×２１ ×… ×１０１．
尸为边ＡＢ上的一个动
则Ｍ的正因数中共有完全立方数（（Ａ）４６８３．计算：
Ａ
．
）个．（Ｄ）６４８
，
（Ｂ）＿
一３
联结、ＳＭ．

初中数学奥林匹克竞赛题4套带详解.pptx

于点.F.又知BC=5.
/A
(1) 设△ABC的面积为S.若四边形AEFD的面积为-£ .求
2
5 ED长.
⑵ 若AC = -J2AP,且DF经过△ ABC的重心G,求E, F两
点的距离，
=. （25分）已知定理："若三个大于3的庙教貞，成二满足关系式2a-\-5b = c ,贝LI a +占+二
是整数点的倍数试问：上述定理中整数推的最大可能值是峯少T并证明你的结论.
fj£,(«+ ft + f):^yr 队&异曲乂故("+ A + c):
s o.Mifti. n + t+ r=o. 二.如图7. W •:健:浦.网抓
，'-,2,稀#；s丄况4 s乙 ix：f.
记 S jtn = Si •
■ y .1.
①
,啓 HI) _ CD 一厅=商71 =此.
TH '/si g HD+IX： Bf：于也
值与最小值. 二. （共狷分）如图5,在厶ABC中，ZA=60：J 0,
LH分别是它的外心，内心，垂心.试比较厶 ABC 的外接圆与厶IOH的外接圆的大小，证明你的论断.
x+y+z = 3 三. （共25分■）求方程组f 5 % 的所有
X3+/+Z3 = 3 整数解.
6
学海无涯
参考答案：2 没购铅宅、炼习本個球笔各I件分别元寸
4.已知二汶函数y=aX2（a>V）的圏象上两点A, B的橫坐标分别为-1,丄。是坐标原点,
如SAA0B是直角三角形，则AAOB的周长为____. 第二试
—.（20分）已知实数淳&二满足不等式园乏杓+二，冋乏Z+刘|, m |a+占|,求a+占+二

数学奥林匹克竞赛试卷初中

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，能被3整除的是（）A. 2B. 7C. 12D. 252. 一个等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，那么这个三角形的周长是（）A. 20cmB. 22cmC. 24cmD. 26cm3. 已知函数y=2x+1，若x=3，则y的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 在下列各组数中，有最大公约数4的是（）A. 16，24B. 12，18C. 20，28D. 15，215. 一个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，那么它的体积是（）A. 60cm³B. 72cm³C. 80cm³D. 90cm³6. 已知x²-5x+6=0，则x的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于原点的对称点是（）A. （-2，-3）B. （2，-3）C. （-2，3）D. （2，3）8. 下列各图中，是轴对称图形的是（）A.B.C.D.9. 下列各数中，有最小公倍数120的是（）A. 24，40B. 30，48C. 36，50D. 42，6010. 已知a²+b²=c²，则下列结论正确的是（）A. a、b、c都是正数B. a、b、c都是负数C. a、b、c都是整数D. a、b、c都是正整数二、填空题（每题5分，共50分）11. 若a+b=5，ab=6，则a²+b²的值为______。

12. 0.5+0.2+0.1+…+0.05+0.01+0.005+…+0.0005+0.0001的和为______。

13. 一个数的平方根是±2，那么这个数是______。

14. 下列各数中，是质数的是______。

15. 一个圆的半径增加了50%，那么这个圆的面积增加了______。

16. 若一个等边三角形的边长为a，那么它的周长是______。

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