高中三角函数习题解析

三角函数题解

1.（2003上海春，15）把曲线y cos x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2

π个单位，再沿y 轴向

下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）

A.（1－y ）sin x +2y －3=0

B.（y －1）sin x +2y －3=0

C.（y +1）sin x +2y +1=0

D.－(y +1)sin x +2y +1=0 1.答案：C

解析：将原方程整理为：y =

x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π

个单位

和1个单位，因此可得y =

)

2

cos(21

π

-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.

评述：本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理解，可直接化为：（y +1）cos （x －

2

π

）+2（y +1）－1=0，即得C 选项.

2.（2002春北京、安徽，5）若角α满足条件sin2α＜0，cos α－sin α＜0，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.答案：B

解析：sin2α＝2sin αcos α＜0 ∴sin αcos α＜0 即sin α与cos α异号，∴α在二、四象限， 又cos α－sin α＜0 ∴cos α＜sin α

由图4—5，满足题意的角α应在第二象限

3.（2002上海春，14）在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 3.答案：C

解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B

4.（2002京皖春文，9）函数y =2sin x 的单调增区间是（ ） A.［2k π－

2

π，2k π＋

2

π］（k ∈Z ）

B.［2k π＋

2

π

，2k π＋

23π］（k ∈Z ）

C.［2k π－π，2k π］（k ∈Z ）

图4—5

D.［2k π，2k π＋π］（k ∈Z ） 4.答案：A

解析：函数y =2x 为增函数，因此求函数y =2sin x 的单调增区间即求函数y =sin x 的单调增区间.

5.（2002全国文5，理4）在（0，2π）内，使sin x ＞cos x 成立的x 取值范围为（ ） A.

（

4π

，

2

π

）∪（π，

45π）

B.（

4

π，π）

C.（

4

π

，

4

5π

）

D.（

4π，π）∪（45π，2

3π

）

5.答案：C

解法一：作出在（0，2π）区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标4

π

和

4

5π，由图4—6可得C 答案.

图4—6 图4—7

解法二：在单位圆上作出一、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选C.（如图4—7）

6.（2002北京，11）已知f （x ）是定义在（0，3）上的函数，f （x ）的图象如图4—1所示，那么不等式f （x ）cos x ＜0的解集是（ ）

A.（0，1）∪（2，3）

B.（1，

2

π

）∪（

2

π，3）

C.（0，1）∪（

2

π，3） D.（0，1）∪（1，3）

图4—1

6.答案：C

解析：解不等式f （x ）cos x ＜0⎪⎩⎪

⎨⎧<<><⎪⎩⎪⎨⎧<<<>⇒300cos 0)(300cos 0)(x x x f x x x f 或

∴⎩⎨

⎧<<<<⎪⎩⎪

⎨⎧<<<<101

02

3

1x x x x 或ππ ∴0＜x ＜1或2π＜x ＜3 7.（2002北京理，3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2

π

，π）上为

减函数的是（ ）

A.y =cos 2x

B.y ＝2|sin x |

C.y ＝(3

1)

cos x

D.y =－cot x

7.答案：B

解析：A 项：y =cos 2x =22cos 1x +，x =π，但在区间（2

π

，π）上为增函数.

B 项：作其图象4—8，由图象可得T =π且在区间（2

π

，π）上

为减函数.

C 项：函数y =cos x 在(

2

π，π)区间上为减函数,数y =（

31）x 为减函数.因此y =（3

1）cos x 在（

2

π

，π）区间上为增函数.

D 项：函数y ＝－cot x 在区间（

2

π，π）上为增函数.

8.（2002上海，15）函数y =x +sin|x |，x ∈［－π，π］的大致图象是（ ）

8.答案：C

图4—8