2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)(2)

[悟一法]
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚
动时，圆周上一个定点的轨迹．
(2)在圆的摆线中，圆周上定点M的位置也可以由圆心角φ
唯一确定．
[通一类]
2．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上 点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．
π 解：xM＝r· θ－r· [(φ＋θ)－2] cos ＝r[θ－sin (φ＋θ)]， π yM＝r＋r· (φ＋θ－2) sin ＝r[1－cos (φ＋θ)]．
M的位置如图所示，∠ABM＝α.
AM 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 的长
相等，它们的长都等于 2α，从而
向量 MB ＝(2sin α，2cos α)，
BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
AM 绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐开线定义，弧 0 的长和线段 AM 的长相等，记 OA 和 x 轴正向所夹的角为 θ(以弧
度为单位)，则
AM |AM|＝ 0 ＝4θ
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角和向量知
识，得 OA ＝(4cos θ，4sin θ)，
[研一题] [例 1] 求半径为 4 的圆的渐开线的参数方程．
本题考查圆的渐开线的参数方程的求法，解答
[精讲详析]
本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字 母的取值代入即可．
以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量 OM 0 的方
向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点 M(x，y)，
5 2 4π －π＋2.
本课时考点是圆的渐开线或摆线的参数方程的应用，近几 年的高考题中还未出现过.2012 年惠州模拟以填空题的形式对 圆的摆线的参数方程的应用进行了考查，属低档题． [考题印证]
x＝t－sin t (2012· 惠州模拟)摆线 y＝1－cos t
(0≤t≤2π)与直线 y＝1 的交点的直角坐标为________．
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π π π π π 得 x＝cos 2＋2· 2＝0＋2＝2， sin π π π y＝sin 2－2· 2＝1. cos
π ∴A(2，1)． 将
x＝cos φ＋φsin φ， φ＝π，代入 y＝sin φ－φcos φ，
得 x＝cos π＋π·sin π＝－1，y＝sin π－πcos π＝π. ∴B(－1，π)． ∴|AB|＝ ＝ π 2＋12＋1－π2
由几何知识知∠MAB＝θ，
AM ＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得 OM ＝ OA ＋ AM
＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．
又 OM ＝(x，y)，
x＝4cos θ＋θsin θ， 因此有 y＝4sin θ－θcos θ，
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
[悟一法] 解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归
结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到 OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲线 的参数方程．
[读教材·填要点] 1．渐开线的概念及产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一 支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出 的曲线叫做圆的 渐开线 ，相应的定圆叫做渐开线的 基圆 ． 2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上 一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ．
[研一题] [例2] 求半径为2的圆的摆线的
参数方程．(如图所示，开始时定
点M在原点O处，取圆滚动时转过 的角度α，(以弧度为单位)为参数) [精讲详析] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答
本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数 据代入即可． 当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点
x＝r[θ－sin φ＋θ] 的参数方程为 y＝r[1－cos φ＋θ]
∴点 M
(θ 为参数)
[研一题] [例3] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴
相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置， 写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线
上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．
因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)．
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
[精讲详析] 本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解
答本题需要先分析题意，搞清M点的轨迹的形状，然后借助图 象求得最值．
轨迹曲线的参数方程为
x＝8t－sin t y＝81－cos t
(0≤t≤2π)
即 t＝π 时，即 x＝8π 时，y 有最大值 16. 曲线的对称轴为 x＝8π.
[命题立意]
本题主要考查摆线方程及其参数的几何意义．
[解析]
由题设得 1＝1－cos t，
π 3 解得 t1＝2，t2＝2π. π x1＝ －1， 2 对应交点的坐标为 y1＝1， 3 x2＝ π＋1， 2 y2＝1， π 3 交点为(2－1,1)，(2π＋1,1)． π 3 [答案] (2－1,1)，(2π＋1,1)
[悟一法] 摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角
函数的性质有类似的地方．
[通一类]
x＝cos φ＋φsin φ π 3． φ＝2、 时， 当 π 求出渐开线 上对应的点 A、 y＝sin φ－φcos φ
B，并求出 A、B 间的距离．
x＝cos φ＋φsin φ， π 解：将 φ＝2代入 y＝sin φ－φcos φ，
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数)
(1)圆的渐开线方程：
．
(2)摆线的参数方程：
x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
(φ 为参数)
．
[小问题·大思维]
1．渐开线方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？ 提示：字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时 绳子上的定点M相对于圆心的张角． 2．摆线的参数方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？ 提示：字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于 某一定点运动所张开的角度大小．
[通一类] 1．基圆直径为 10，求其渐开线的参数方程．
解： φ 为参数， 为基圆上点与原点的连线与 x 轴正方向的 取 φ 夹角． ∵直径为 10，∴半径 r＝5. 代入圆的渐开线的参数方程得：
x＝5cos φ＋φsin φ， y＝5sin φ－φcos φ，
这就是所求的圆的渐开线的参数方程.