安农大数学建模期末考试复习资料.docx

1、设某种新产品要推向市场，t 时刻产品销售增长率与销售量X (t)成正比，设市场容量 为N,试确定产品销售增长曲线。

设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是

dr

一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率竺与X (t)成正比，同时，考虑到产品销售存

dr

dr

在一定的市场容量N,统计表明竺与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N=x(t)也成正比，

dr

于是有

d.x_ CN~k€kNt (1 + Ce 廊『

以及

矿 (l + C/町

dx

当x(t*) 0,即销量x(t)单调增加.当x(t*) dr

N d 2x N d 2x

辽时，乔S 当x(t*)<-^，乔 >。・即当销量达到最大需求量N 的-半时, 产品最为畅销，当销量不足N —半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐 渐减小.

国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(10

4

4)的曲线十分接

近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并 加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80% 时，应适时转产，可以达到最大的经济效益.

2、一个人为了积累养老金，他每月按时到银行存A 元，银行的年利率为「，且可以任意分 段按复利计算，试问此人在5年后共积累多少养老金？ 解：(1)设月利率为「按月按复利进行计算， 第一个月存款所得的复利终值为片二lOOd + C 60； 第二个月存款所得的复利终值为F 2 = 100(1 + r)59 ； 第三个月存款所得的复利终值为坊二100(1 +厂严;

dx t 、

——=kx (N 二x), dr

其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得

/、 N

x ⑴_1 + Ce -側

(10 (10 方程(10 4 3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10 由

3)

4)

4)也称为逻辑斯谛曲线.

0；当 x(t*)

第五年的最后一个月存款所得的复利终值为心二100（1+厂）。 五年后，养老金为

F 二坊+尸2+…+為

=100［（1 + 厂）6° + （1 + r ）59 +、、、、、、+（1 + r ）］ lOOKl + d^-lKl + O

60

r

3、某人随身携带了两盒火柴，分别放在两个衣袋里，每盒有n 根火柴。每次使用时，随机 地从英中一盒中取一根，试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布 规律。

我们不妨把使用一次火柴看作一次试验，每次试验的结果只有两个：取于甲盒（记为A ） 和取于乙盒（记为）由于使用时从任一盒中取，因此

假如甲盒已空而乙盒还剩根火柴，则在此之前一定已经取过2n-r 次，其中恰好有n 次取 于甲盒，有r 次取于乙盒，而第2n-r+l 次必然抓了甲盒，因此这种情况的概率为

1小n

<

n

(1

n - r

=右…

Z

假如乙盒已空而甲盒还剩r 根火柴，同样的道理可得概率为

P2

因此一盒火柴已经用完另一盒中还剩根的概率为

4、在某城市中有15万人具有本科以上学历，其中有1.5万人是教师，据调查，其中每年有 10%的教师从教师职业转为其他职业，又有1%的其他职业者转入教师职业，试预测10年后 这15万人中有多少人还在从事教师职业。（0.89,0=0.3118） 解：用0）表示第，年后做教师职业和其他职业的人数，则刘=住。用矩阵 人=0.90 001表示教师职业和其他职业间的转移，Q =0.90表示每年有90%的人原

0.10 0..99

11

来是教师现在还是教师；勺1=0・1°表示每年有10%的人从教师职业转为其他职业。

P = P1 + P 2= C 2n-r

n

⑴

州2 =0.01表示每年有1%其它职业的人转为教师；tz 22 = 0.99表示其它职业的人每年有99%

的人仍为其他职业。显然

1.485 _

13.515

即一年后从事教师职业和其他职业的人数人别为

1. 485万及13. 515万. 又 X ⑵二惑⑴=A 2X (0)，-= AX"" =

所以X (,0) = A ,0X (0).为计算A"先需把A 对角化。即找出和A 相似的矩阵。

=(A-0.9X2-0.99)-0.001

=才一1.89/1 + 0.891 — 0.001 =A 2 -1.89A +0.890

& =1,入=0.89,71,工人，故A 可对角化。

人=1代入(AE-A )x = 0.得其对应特征向量卩

入二0.89代入(AE -A )x = 0 •得其对应特征向量p 2 =

5、一家石油公司的炼油厂提供两种无铅汽油燃料：无铅高级汽油和无铅普通汽油。炼油厂 购买四种不同的石油原料，每种原料的化学成分分析、价格及购买上限见下表： 原料种类

含化学成分比例

价格(美元/ 加仑)

购买上限 (加

仑) A

B C 1 0.90 0.07 0.03 0.70

4000 2

0.70 0.20 0.10 0.50 6000

3 0」0 0.70 0.20 0.65 5000 4

0.60

0.30

0.10

0.85

5000

无铅高级汽油的售价是1.00美元/加仑，它应至少含有60%的A 成分，20%的B 成分，而不 能超

K

a ：

5

\AE-A\ =

2 — 0.9 -0.01 A-0.99

令 P =(A P 2) =

1 10

A = PhP 「', A 10

= PA 10

P ，而 P_ 二 -1 -1 -I -

_ 1 _

1 1

11 -10

1 _

ii 10 - 1

X (,()) = PA l0P~l X w =丄 ■ 1 1 ■ 「1 0 ~ _ 1

i _ _1.5_ _ 1.5425 ~ 11 10 -1 [o O.89,o J [10 -1 13.5

_13.4575_

0.89 '人为人的相似矩阵. 所以10年后.有1. 54万人当教师, 13.46万人从事其他职业。