数值分析05内积空间

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数值分析(04)内积空间

T
数值分析
证 : (1)
( x , y ) xT Ay
i , j 1
xa
i i ij
n i , j 1
xa
i
ij
n
ij
yj
yj
i , j 1
xa
j
n
ji
yi
( 2)
( x z, y)
i , j 1xain源自ijyj T
i , j 1
z a
i
i , j 1 n
数值分析
成立, 则 , 必线性相关为若 , 线性无关则k R, .因 , 非零, 都有 k 0.从而( k , k ) 0 所以等号不成立盾. ,矛
数值分析
数值分析
在不同的空间中 , Cauchy Schwarz不等式有不同的表达形式 .
证明 : 任取实数k , 考虑内积 ( k , k ) ( , ) 2k ( , ) k 2 ( , ) 0 利用一元二次方程根的判别式, 有4( , )2 4( , )( , ) 0 所以有( , )2 ( , )( , ) 当 k ( k R, 非零), 显然定理中等号成立之, 如果等号 ;反
证明
设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r r 0
用 1 与上式作内积 ,得
(1 , 11 r r ) 1 (1 ,1 ) 0
由 1 0 (1 , 1 ) 1 0, 从而有1 0 .
2
同理可得2 r 0. 故1 , 2 ,, r 线性无关.

高等代数-内积空间

交基,则对任意 x∈V,有 x = (x, e1) e1 + (x, e2) e2 + … + (x, en) en .
• 引理:内积空间V中任意一组两两正交的非零
向量必线性无关.
标准正交基_2
• 定理:设V是内积空间, ξ１,ξ２,…,ξm是V中m
个线性无关的向量,则在V中存在两两正交的向量η1,η2, …,ηm,使得
的过渡矩阵,即(u1, u2, …, un)=(v1, v2, …, vn)T.则由
= . 于ij
(u ,u )
i
j
n s1
tis t
js
,故有T’T
I
• 定义:实n阶方阵T 称为正交矩阵, 如果T -1=T ’.
• 注1:设v1,v2,…,vn是n维欧氏空间的一组标准正交基, T是正交阵,且有(u1,u2,…,un)=(v1,v2,…,vn)T. 则u1, u2, …, un是V的标准正交基.
(2). (cφ)*=cφ*.
(3). (φψ) *= ψ*φ*.
(4). (φ *) *= φ.
正交算子_1
• 引理:设φ是维欧氏空间V到W的线性映射,则下列条件等价: (1). φ保持内积, (φ(x), φ(y) ) = (x, y). (2). φ保持范数, ||φ(x) ||=||x|| . (3). φ保持距离, d (φ(x), φ(y)) = d (x,y).
• 定义:设V,W是n维欧氏空间, : V W 是线性映射. 如果φ是线性空间同构且保持内积,即 (φ(x), φ(y) ) = (x, y), 则称φ是欧氏空间的同构,记 V W.
正交算子_2
• 引理:设V, W是n维欧氏空间, : V W 是线性映射,则

内积空间——精选推荐

内积空间第七章内积空间⼀、内容提要§7.1内积空间与简单性质1．定义(1). 内积空间设V 是实数域上的线性空间, ,V αβ?∈, V 上的内积是这样⼀个映射:(,)V V αβαβ×→×R a , 对,,V αβγ?∈和c ?∈R , 其有如下性质：1) (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαγβγ+=+; 3) (,)(,)c c αβαβ=;4) (,)0,αα≥ 且(,)0αα=当且仅当0α=.⼀个赋予上⾯内积的线性空间V 称为实内积空间. 有限维实内积空间称为Euclid 空间,简称为欧⽒空间.(2). 长度设V 是⼀个实内积空间, V α∈, 定义α的长度或范数为α=(3). 夹⾓设V 是欧⽒空间, 定义⾮零向量α、β的夹⾓的余弦为(,)cos αβθαβ=.(4). 正交设V 是欧⽒空间, ,V αβ∈, 若(,)0αβ=, 则称α与β正交或垂直.记为αβ⊥.2. 重要定理(1) (Cauchy-Schwarz 不等式)对空间V 中任意向量α,β, 有 (,)αβαβ≤.且当且仅当α与β线性相关时等号成⽴.(2) (三⾓不等式)对欧⽒空间V 中任意向量,αβ, 有αβαβ+≤+.§7.2 标准正交基1．定义（1）正交基设{}12,,,n αααL 是n 维内积空间V 的⼀组向量组, 如果集合中任意两个不同的向量都正交, 即,i j i j αα⊥≠, 则称这组向量组是V 的⼀组正交组.（2）标准正交基如果内积空间V 的⼀组基是正交的, 则称这组基为V 的正交基. 若正交基中每个向量的长度都等于1, 则称这组正交基为标准正交基.（3）正交补空间设W 是内积空间V 的⼦空间. 令 {}(,)0,WV w w W αα⊥=∈=?∈.容易验证W ⊥也是V 的⼦空间, 称为W 的正交补空间. 2．定理（1）内积空间中任意⼀组两两正交的⾮零向量组{}12,,,m αααL 必线性⽆关, 因此构成所⽣成⼦空间12(,,,)m L αααL 的⼀组基.（2）n 维欧⽒空间V 的每⼀个⼦空间W 都有唯⼀的正交补空间. (3) 设V 是n 维内积空间, W 是V 的任意⼀个⼦空间, 则有 1) V W W ⊥=⊕;2) W 的任意⼀组标准正交基均可扩张为V 的标准正交基.3. 标准正交基的求法利⽤Grame-Schmidt 正交化⽅法§7.3 正交变换与正交矩阵1．欧⽒空间同构设V 与W 都是实数域上的欧⽒空间, :V W ?→是线性映射, 如果对任意的,,V c αβ∈∈R , ?满⾜下列条件:(1) ()()();?αβ?α?β+=+ (2) ()();c c ?α?α=(3) ((),())(,),?α?βαβ=则我们称欧⽒空间V 与W 同构. 2. 欧⽒空间同构定理两个有限维欧⽒空间同构当且仅当它们的维数相同 3．正交变换欧⽒空间V 的线性变换?称为正交变换, 如果它保持向量的内积不变, 即对任意的向量V αβ∈、, 都有((),())(,)?α?βαβ=. 4. 正交矩阵(1) 定义设A 是n 阶⽅阵, TA 是A 的转置, 如果TTAA A A E ==, 则称A 为n 阶正交矩阵. (2) 性质1)若A 是正交矩阵, 则1TA A ?=也是正交矩阵. 2)若A 是正交矩阵, 则1A =±.3)正交矩阵的积仍是正交矩阵. 4) 标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵. 5. 定理设?是n 维欧⽒空间V 的⼀个线性变换, 则下列命题等价 (1) ?是正交变换.(2) ?把⼀组标准正交基变为⼀组标准正交基. (3) ?在任⼀组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.§7.4 实对称矩阵的标准型1．对称变换与对称矩阵(1)定义n R 上满⾜((),)(,())?αβα?β=的变换?称为对称变换.（2）性质1) 实对称矩阵的特征值都是实数.2) 设A 是对称矩阵, 则不同特征值对应的特征向量彼此正交. 2.正交对⾓化矩阵(1) 定义设A ⼀个矩阵, 如果存在⼀个正交矩阵P 和⼀个对⾓矩阵D , 使得1T P AP P AP D ?==, 则称A 为可正交对⾓化矩阵(2) 性质若A 是对称矩阵, 则A 是可正交对⾓化矩阵.§ 7.5 ⾣空间和⾣变换1．定义（1）复内积空间复数域上的线性空间V 上的内积是⼀个函数V V ×→C , 对每⼀对属于V 的向量α和β, 存在⼀个复数(,)αβ∈C 满⾜下⾯公理, 对任意,,V αβγ∈和c ∈C 有：1）(,)(,)αββα=2）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+ 3）(,)(,)c c αβαβ=4）(,)0,αα≥ 且(,)0αα=的充分必要条件是0α=.⼀个赋予上⾯内积的线性空间V 称为复内积空间. 有限维复内积空间称为⾣空间. (2) 正交设V 是⼀个⾣空间, 对于任意,V αβ∈,如果(,)0αβ=, 我们称α与β是正交的. (3) 标准正交基⾣空间V 的⼀组两两正交的基向量叫做V 的⼀个正交基. 如果⼀个正交基的每⼀个向量都是单位向量, 就称这个正交基是⼀个标准正交基.(4) ⾣矩阵⼀个n 阶复矩阵U 叫做⼀个⾣矩阵, 如果U 满⾜ HH UUU U E ==.(5) ⾣变换⾣空间V 的线性变换?称为⾣变换, 如果它保持向量的内积不变, 即对任意的向量V αβ∈、, 都有((),())(,)?α?βαβ=.(6) 对称变换⾣空间V 的线性变换?叫做⼀个对称变换, 如果对于任意V αβ∈、都有((),)(,())?αβα?β=.(7) Hermite 矩阵n 阶复矩阵H 叫做Hermite 矩阵, 如果H 满⾜ HH H =.2. 重要定理(1) 设V 是⼀个⾣空间, 对于任意,V αβ∈, 有(,)αβαβ≤?,当且仅当α与β线性相关时等号成⽴.(2) 设?是n 维欧⽒空间V 的⼀个线性变换, 则有下列命题等价1) ?是⾣变换.2) ?把⼀组标准正交基变为⼀组标准正交基. 3) ?在任⼀组标准正交基下的矩阵是⾣矩阵. (3) 设?是n 维⾣空间V 的⼀个对称变换,1) ?的特征值都是实数.2) ?的属于不同特征值的特征向量彼此正交. (4) 设H 是⼀个n 阶Hermite 矩阵, 则存在⼀个n 阶⾣矩阵U , 使得 1HU HU U HU D ?==是⼀个实对⾓矩阵.§ 7.6 正规矩阵1．正规矩阵(1) 正规矩阵设n nA ×∈C是矩阵, 若A 满⾜H HA A AA =, 则称A 为正规矩阵.(2) 伴随矩阵设?是有限维内积空间V 上的线性算⼦, 若存在V 上的算⼦*, 使得对任意,V αβ∈都有*((),)(,())?αβα?β=, 则称*?是?的伴随算⼦.(3) 正规算⼦设?是实有限维内积空间V 上的线性变换, *是其伴随, 若**=, 则称?是V 上的正规算⼦.2. 性质与定理(1) 若A 是实矩阵, 则对任意的正交矩阵P , TP AP 是实正规矩阵. 若A 是复正规矩阵, 则对任意的⾣矩阵U , HU AU 仍是复正规矩阵.(2) 设V 是n 维⾣空间, ?是V 上的线性算⼦, ⼜{}12,,n εεεL 是V 的标准正交基. 设?在这组基下的矩阵A 是⼀个上三⾓矩阵, 则?是正规算⼦当且仅当A 是对⾓矩阵.(3) 设V 是n 维⾣空间, ?是V 上的线性算⼦, 则存在V 的⼀组标准正交基, 使?在这组基下的矩阵为上三⾓矩阵.(4) 设?是n 维⾣空间V 上的正规算⼦, 则存在⼀组标准正交基{}12,,,n γγγL , 使得?在{}12,,,n γγγL 下的矩阵是对⾓矩阵, 且{}12,,,n γγγL 是?的n 个线性⽆关的特征向量.(5) ⼀个复矩阵相似于对⾓矩阵当且仅当它是⼀个正规矩阵. (6) 任⼀n 阶⾣矩阵相似于对⾓矩阵12n c c cO , 其中1(1,2,,)ic i n ==L⼆、训练题⼀、选择题1．如果235,213αβ=?=是使内积空间的两个向量, 则它们的内积为( )（a); 1 （b)-1; （c) 2; （d)-22. 设W 是n 维欧⽒空间V 的⼦空间, 则（）(a) W 的维数不⼩于n ; (b) W 的补空间不⼀定存在; (c) W ⾄少存在⼀个补空间; (d) W 存在唯⼀的补空间; 3．设,A B 是正交矩阵, 则（）(a)A B +是正交矩阵; (b) A B +不是正交矩阵; (c)AB 是正交矩阵; (d) kA 是正交矩阵 4．下列实矩阵没有特征值的是（）(a)实对称矩阵; (b)奇数阶实矩阵; (c)⼆阶⾮零反对称矩阵; (d)实上三⾓矩阵. 5. A 是正交阵，则（）（a）TA ⼀定不是正交阵；（b）TA ⼀定是正交阵; (c)1T A A ?≠；（d）TA 是对称矩阵. 6．下列命题正确的是（）（a）两个正交变换的线性组合仍是正交变换；（b）两个对称变换的线性组合仍是对称变换; (c) 对称变换将正交向量组变为正交向量组； (d）对称变换必是可逆变换.7. 下列关于矩阵相似的结论正确的是( ) （a）两个相似的实对称矩阵必相似；(b) 同阶正定阵必相似;(c) 特征值相同的同阶矩阵必相似； (d) 两个合同矩阵必相似.8. 设()1,2,2,0Tα=?, 则α的单位化向量是:(a) 1212,,,0333T ; (b) 122,,,0333T;(c) 121,,,0334T; (d)122,,,0333T.⼆、填空题1．设()1212,,,,(,,,)n n x x x y y y αβ==L L 是复内积空间中向量，则它们的标准内积(,)αβ=_____________.2．⼆次型2212121334f x x x x x x =+?+对应的对称矩阵为_____________. 3．实对称矩阵A 的特征多项式为2 56λλ?+, 它的正交相似标准型是 . 4．实对称矩阵是正定阵的充分必要条件是_____________. 5．已知0111101111011110A=, 则A 可以化为对⾓矩阵_____.三、计算、证明题 1．设()()(),2,1,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1321TTT===ααα求1）32132ααα?+；2）1α与2α的夹⾓以及3α与2α的夹⾓； 3）与321,,ααα都正交的单位向量。

内积空间基本概念

内积空间基本概念内积空间是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

本文将介绍内积空间的基本概念，包括内积的定义、内积空间的性质以及常见的内积空间。

一、内积的定义内积是定义在向量空间上的一种运算，用于度量向量之间的夹角和长度。

在内积空间中，向量的内积满足以下四个性质：1. 正定性：对于任意非零向量x，有(x, x) > 0，且只有当x=0时，有(x, x) = 0。

2. 对称性：对于任意向量x和y，有(x, y) = (y, x)。

3. 线性性：对于任意向量x、y和标量a，有(a*x, y) = a*(x, y)和(x+y, z) = (x, z) + (y, z)。

4. 共轭对称性：当内积空间为复数域时，对于任意向量x和y，有(x, y) = conj(y, x)，其中conj表示复共轭。

二、内积空间的性质在内积空间中，除了满足内积的定义性质外，还具有以下重要性质：1. 内积空间是一个实数或复数域上的向量空间。

它包含了一组向量以及定义在这组向量之间的内积运算。

2. 内积空间具有加法和数乘运算，满足向量空间的定义。

3. 内积空间中的向量可以进行正交和投影运算。

正交是指两个向量的内积为零，而投影则是将一个向量分解为另一个向量的线性组合，使得两向量正交。

4. 内积空间中的向量可以通过内积的概念定义长度和夹角。

长度定义为向量自身与自身的内积开方，夹角定义为向量之间的夹角的余弦值。

三、常见的内积空间1. 实数内积空间：在实数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。

常见的实数内积空间包括欧几里得空间和函数空间。

2. 复数内积空间：在复数域上定义内积运算，满足内积的定义及性质。

复数内积空间常用于量子力学和信号处理等领域。

3. 内积空间的子空间：内积空间中的子集也可以构成一个内积空间，称为内积空间的子空间。

子空间具有与内积空间相同的内积定义及性质。

四、总结内积空间是线性代数中的重要概念，它不仅能够度量向量的长度和夹角，还能够进行正交和投影运算，并在许多领域中发挥着重要作用。

内积空间——精选推荐

内积空间⼀向量空间与内积空间向量空间也称作线性空间，向量空间对向量线性组合封闭。

如果为向量空间 V 的⼀组基，则仍在向量空间 V 中。

在向量空间中，仅定义了数乘与向量加法运算。

在此基础上，定义内积运算，通过内积运算，可以求解向量长度，向量间⾓度等概念，这就定义了内积空间。

设向量为X, Y，X 长度定义为， X,Y 间⾓度定义为。

⼆内积定义在空间上，有如下⽮量和，在⼏何中，⽮量长度表⽰原点到其端点的距离，根据 Pythagorean 定理，有。

定义内积，则⽮量 X 长度等于，这样建⽴其内积与长度关系。

在复⽮量空间中，有如下⽮量和，定义内积。

如何理解复⽮量内积？⾸先，针对单个复数，有，使⽤共轭乘法可求解复数长度。

当两个不同复数共轭乘法时，，其结果仍然为⼀个复数，可分解为实数分类与虚数分量。

复⽮量内积就是对所得复数相加得到⼀个结果，最终结果⼀般包括实数分量与虚数分量部分，即⼀般结果为形式。

内积满⾜如下性质：1）正性：如果 v 为⾮零向量， <v, v> > 0，该性质对实⽮量与复⽮量均成⽴；2）共轭对称性：，针对复⽮量，该等式成⽴，针对实⽮量，共轭运算等于本⾝，则内积运算对称；3）均匀性：，针对复⽮量时 c 为复数，实⽮量时 c 为实数；4）线性：<u + v, w> = <u, w> + <v, w>, <u, v + w> = <u, v> + <u, w>, 针对复⽮量与实⽮量均成⽴。

三空间与空间⼀个信号可表⽰为 f(t) 的函数，在区间上，空间表⽰所有平⽅可积函数组成的空间，即函数 f(t) 可以存在⽆穷多个间断点，使⽤ Lebesgue 观点，即不考虑测度为零的集合时，在区间上的积分和有限。

在 N 维向量空间中，空间维度为 N，向量长度也为 N。

类⽐ N 维向量空间，空间是⽆限维的（即⽆限个 f(t) 满⾜以上条件），区间可以被⽆限细分，类似向量长度可以⽆限长。

内积空间的标准正交基

线性无关性的证明
线性无关性的证明可以通过构造一个行列式来证明，该行列式的值等于所有线性组合系数的乘积，如果该行列式的值为零，则说明存在一组不全为零的实数，使得线性组合等于零向量，从而证明了线性无关性。
03 标准正交基的构造方法
正交化过程
01
选取一组线性无关的向量作为初始基底。
02
通过正交化过程，将这组线性无关的向量转化为正交向量组。
内积空间的标准正交基
目录
• 引言 • 标准正交基的性质 • 标准正交基的构造方法 • 标准正交基的应用 • 标准正交基的例子
01 引言
什么是内积空间
交换律
01
x·y=y·x
分配律
02
z·(x+y)=z·x+z·y
非负性
03
x·y≥0
内积空间的标准正交基的定义
• 标准正交基是指由单位向量组成的向量组，这些单位向量两两正交，即它们的点积为0。对于一个内积空间，如果存在一组线性无关的向量，它们两两正交并且模长为1，那么这组向量就构成了该内积空间的标准正交基。
VS
描述
这n个基向量是正交的，即它们的内积都为 0。同时，它们的模都为1，即对于每一个基向量，其各分量平方和都等于1。
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正交性
两两正交
标准正交基中的向量两两正交，即对于任意两个不同的向量$e_i$和$e_j$，如果$i neq j$，则$e_i cdot e_j = 0$。
正交化过程
在构造标准正交基时，需要先选择一组线性无关的向量，然后通过正交化过程将它们转化为正交基。
基的唯一性
唯一性定理
对于同一个内积空间，如果存在两个不同的标准正交基，则这两个基之间可以通过一个可逆线性变换相互转化。

第二章-内积空间

设 1,2, ,n 为 V 的任意一组基，向量 , 在
此基下的坐标分别为
x ( x 1 ,x 2 ,,x n ) T ,y ( y 1 ,y 2 ,,y n ) T .
则内积
n
n
(,)( xii, yjj)
n i1n
j 1
xiyj(i,j)(由内积的双线性性 )
i1j1
(4 )定性： (x ,x )= 0 x .
据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义。
定义1 V 是实数域 R 上的线性空间。如果对 V中任意
两个向量、V 都存在所谓与的内积 (,)R，满足下面四个条件。称定义了内积的线
性空间 V 为实内积空间，简称欧氏空间。
(1)(,)(,); 、、 V
在欧氏空间内引入标准正交基后，欧氏空间内向量的内积运算就转化成了我们熟悉的向量空间内向量的内积运算。
一、标准正交基(Orthonormal Basis)
在 R 3 中，选取自然基 i , j , k ，则度量矩阵
(i,i) (i,j) (i,k) 100 G (j,i) (j,j) (j,k) 010 I
x 11 x 22 x ss ,故 (,)0.
s
s
ss
但是 (,)( x ii, x ii) (i,j)x ixj
i1
i1
i1j1
xHGxxH0. 出现矛盾。
证明：充分性。如果 1,2, ,s 线性相关，不妨 s t11 t22 ts 1s 1 ，则
(1 ,1 )
s1
(1 , s1 ) (1 , ti i )
i 1 j 1
则 R m n 是定义了内积 ( A , B ) 的内积空间。

第二章内积空间

第二章内积空间在线性空间中，元素之间仅限于加法及数乘两种线性运算，但在三维欧氏空间中，也就是在向量代数中，向量的数量积(内积)是一个重要的概念，它是引入向量正交、长度和两向量夹角等概念的基础，为了使这些应用较广的概念能在抽象的线性空间中得到反映，有必要将这些概念加以扩广，建立线性空间的内积的概念，由此形成内积空间．§2.1 内积空间的概念一、内积空间的定义与基本性质定义1 设V 是数域F 上的线性空间，如果在V 上还定义了一种叫内积的运算：对于V 中任意向量,αβ都有F 中唯一的数x 与之对应，记为(,)x αβ=．并且这种内积运算还具有如下性质：对于任意的,,V αβγ∈及任意的k F ∈，有1)(,)(,)αββα= ； 2)(,)(,)k k αβαβ=； 3)(,,)(,)(,)αβγαγβγ=+； 4)当0α≠时，(,)0αα>．此时称V 为一个内积空间．例 1 对于复数域上的线性空间n C ，若规定向量12(,,,)α= T n a a a ，12(,,,)β= T n b b b 的内积为1122(,)αββα=+++= H n n a b a b a b ，则n C 是一个复数域上的内积空间．例 2 V 是[,]a b 区间上全体实连续函数对于函数加法与数乘所成的实数域上的线性空间．对于V 中元素(),()f x g x ，定义内积((),())()()baf xg x f x g x dx =⎰，则V 构成一个内积空间．例3 设A 是n 阶正定H-矩阵(()==H T A A A ，详见本章第三节)．对于复线性空间n C 中的任意向量,αβ，若规定内积为(,)H A αββα=，则n C 构成一个内积空间．1、内积的四条规定可推出如下性质：1º (,)(,)k k αβαβ=． 2º (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+． 3º (,)(,)k l kl αβαβ=．4º 11,(,)m mi i i i i i k k αβαβ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．5º 11,(,)αβαβ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑n nj j i j j j l l ．6º 1111,(,)αβαβ====⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑∑m n m ni i j j i j i j i j i j k l k l ．7º (,0)(0,)0αα==．定义2 对于内积空间V 中的向量α，定义它的长度为：α= (1) 关于向量的长度，有下面性质：8º k k αα= ． (k 为数k 的模)长度为1的向量称为单位向量，任何非零向量α都可以单位化，即令 0ααα=， (2) 则0α是α经单位化得到的单位向量．定理1 [Ｃauchy-Ｓchwarz 不等式]对于内积空间中任意向量,αβ有(,)αβαβ≤⋅． (3)并且，等号成立的充要条件是,αβ线性相关．证明略．9º (三角不等式)对任意向量,αβ，有αβαβ+≤+． (4)证 2(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαβαααββαββ+=++=+++222Re(,)ααββ=++ 222(,)ααββ≤++ 222ααββ≤+⋅+ 2()αβ=+．由此即知(4)成立．定义3 在内积空间中，如果两向量,αβ的内积为零，则称,αβ正交或垂直，记作αβ⊥(规定零向量与任何向量都是正交的)．10 º (勾股定理)对于内积空间中的向量,αβ，若αβ⊥，则有 222αβαβ+=+． (5)定义4 内积空间中两向量,αβ的距离定义为{,}d αβαβ=-． (6)二、标准正交基定义5 在内积空间中，由两两正交的一些非零向量组成的向量组称为一个正交向量组，简称正交组．易证正交向量组是线性无关的．定义 6 每个向量都是单位向量的正交组称为一个标准正交组或单位正交组．定义7 在内积空间中，由正交向量组组成的基称为正交基；由标准正交组组成的基称为标准正交基．n 维内积空间的n 个向量12,,...,εεεn 构成标准正交基的充要条件是0,(,)1,εεδ≠⎧==⎨=⎩i j ij i j i j 当时,当时.利用施密特[Ｓchmidt]标准正交化过程可以从一个已知线性无关向量组12,,...,αααm 出发，得到一个与之等价的标准正交组．实施过程又分为两大步．一是逐步正交化过程，一是单位化过程．逐步正交化：令11βα=，2121211(,)(,)αβββαββ=-+，[设212k ββα=+，为保证21(,)0ββ=，只需2111(,).](,)αβββ=-k ，313231231122(,)(,)(,)(,)αβαββββαββββ=--+，．．．，1111(,)(,)αβββαββ+++==-+∑ii j i j i j j j ，1,2,,1i m =- ，易知121,,,βββ+ i 与121,,,i ααα+ 等价，12,,,m ααα 与12,,m βββ 等价．单位化：令,1,2,,βεβ== ii ii m ，则12,,,m εεε 为与12,,,m ααα 等价的标准正交向量组．定理2 n 维内积空间必有标准正交基．(0)n >§2.2 欧氏空间定义１实数域上的内积空间称为欧几里得[Euclid]空间，简称欧氏空间．由于欧氏空间是实数域上的内积空间，因而内积的共轭对称性就成了对称性．一、度量矩阵设V 是n 维欧氏空间，12,,...,εεεn 是V 的一组基．对于V 中两个向量1122αεεε=+++ n n x x x ， 1122βεεε=+++ n n y y y ，由内积的性质，知11(,)(,)n ni j i j i j x y αβεε===∑∑．令 (,)ij i j a εε=， ,1,2,...,=i j n ．显然=ij ji a a ．于是111212122212⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭n n n n nn a a a a a a A a a a为一个实对称矩阵．向量,αβ内积可表示为(,)T x Ay αβ=．这里,x y 分别是,αβ的坐标．我们称A 为在基12,,...,εεεn 下的度量矩阵．定理１欧氏空间在任一组基下的度量矩阵都是正定矩阵．证设V 是n 维欧氏空间，12,,...,εεεn 是V 的一组基，A 是该基下的度量矩阵．为证明实对称矩阵A 正定，只须证明实二次型T x Ax 正定，设12(,,...,)=T n x x x x为任一非零实n 元数组．令1122αεεε=+++ n n x x x ，可见T x Ax 为正定二次型，从而知A 为正定矩阵．定理２ n 维欧氏空间V 的一组基为标准正交基的充要条件是在该基下的度量矩阵为单位矩阵．定理３欧氏空间两组标准正交基间的变换矩阵(过渡矩阵)必是正交矩阵．证 12,,...,εεεn 及12,,...,ηηηn 都是标准正交基，且有1212(,,...,)(,,...,)ηηηεεε=n n P ．若P 按列分块为12(,,...,)=n P p p p ，则i P 恰是i η在基12,,...,εεεn 之下的坐标，于是(,),,1,2,...,ηηδ===T i j i j ij p p i j n ．这说明P 是正交矩阵．定理４在欧氏空间中，若12,,...,εεεn 为标准正交基，P 为正交矩阵，且1212(,,...,)(,,...,)ηηηεεε=n n P ．则12,,...,ηηηn 也是标准正交基．证沿用定理5证明中的记法，则有(,)ηηδ==T i j i j ij p p ，,1,2,...,=i j n ．这说明12,,...,ηηηn 为一组标准正交基．定义２如果欧氏空间V 的非空子集1V 对于V 的已有运算也构成一个欧氏空间，则称1V 为V 的欧氏子空间．定义３设1V ，2V 是欧氏空间V 的两个子空间．如果对于1V 中任意向量α及2V 中任意向量β，都有(,)0αβ=，则称1V 与2V 是正交的子空间，记为12V V ⊥．定义４对于欧氏空间V 的子空间1V ，如果有V 的子空间2V ，使得12V V ⊥，并且12V V V +=，则称2V 是1V 的正交补空间，简称正交补，并记21V V ⊥=．由于12{0}V V ⋂=，故知1212V V V V V =+=⊕，即说互为正交补的两个子空间的和必是直和．例1 设12,,,n ααα 是n 维欧氏空间的正交基，1m n ≤<．若令112(,,...,)ααα=m V L ，212(,,...,)ααα++=m m n V L ，则1V 与2V 互为正交补．例 2 对于n 维欧氏空间V 的任一子空间1V ，必有正交补1V ⊥，使11⊥=⊕V V V ．证如果1V 是平凡子空间，结论显然成立．令1V 为非平凡子空间，12,,...,αααm 为1V 的一组基(此时1m n ≤<)．现将它扩充为V 的基12,,...,αααm ，1,...,αα+m n ，再用施密特正交化过程求出V 的一组正交基12,,...,βββm ，1,...,ββ+m n ．显然11212(,,...,)(,,...,)αααβββ==m m V L L由例１即知112(,,...,)βββ⊥++=m m n V L ，并且 11⊥=⊕V V V ．定义５设σ是欧氏空间V 上的线性变换，如果对于V 中任意向量,αβ都有((),())(,)σασβαβ=， (4)则称σ为一个正交变换．正交变换是欧氏空间中保持内积的线性变换．定理５设σ是欧氏空间V 上的线性变换，则如下几个条件等价： 1)σ是正交变换；2)σ把标准正交基化为标准正交基，即若12,,...,εεεn 是V 的一组标准正交基，则12(),(),...,()σεσεσεn 也必是V 的一组标准正交基；3)σ在标准正交基下的矩阵是正交矩阵；4)σ保持向量长度，即对中任意一个向量α，总有()σαα=．证采用循环证法．1)⇒2) 设12,,...,εεεn 是V 的一组标准正交基，则 (,)i j ij εεδ=， ,1,2,...,=i j n ．因σ为正交变换，便知((),())(,)i j i j ij σεσεεεδ==， ,1,2,...,=i j n ．故12(),(),...,()σεσεσεn 也是V 的标准正交基．2)⇒3) 设12,,...,εεεn 是V 的标准正交基．并设1212(,,...,)(,,...,)σεεεεεε=n n A ，即 1212((),(),...,())(,,...,)σεσεσεεεε=n n A ．由2)已知12(),(),...,()σεσεσεn 也是V 的标准正交基．按定理３，A 必是正交矩阵．3)⇒4) 设12,,...,εεεn 是V 的一组标准正交基，α是V 中向量，它在基12,,...,εεεn 下的坐标为x ，再设σ在基12,,...,εεεn 下的矩阵为A ．于是()σα在基12,,...,εεεn 下的坐标为Ax ．又因A 为正交矩阵，便有((),())()()(,)σασααα====T T T T Ax Ax x A Ax x x ，即知()σαα=．4)⇒1) 对任意向量,V αβ∈，由于σ保持长度不变，便有((),())(,)σασααα=， (5) ((),())(,)σβσβββ=， (6) ((),())(,)σαβσαβαβαβ++=++， (7) (7)式即((),())2((),())((),())σασασασβσβσβ++ (,)2(,)(,)αααβββ=++．利用(5)，(6)可得((),())(,)σασβαβ=．可见σ为正交变换．定义６设σ是欧氏空间V 的一个线性变换．如果对于V 中任意向量,αβ，总有((),)(,())σαβασβ=，则称σ是一个对称变换．定理６ n 维欧氏空间V 的线性变换σ是对称变换的充要条件为：σ在标准正交基下的矩阵是对称矩阵．证设12,,...,εεεn 是V 的一组标准正交基，σ在该基下的矩阵为()ij n n A a ⨯=．必要性：据设有11()σεεεε=++++ i i ji j ni n a a a ， 11()σεεεε=++++ j j ij j nj n a a a ，于是 ((),)σεε=ji i j a ，(,())εσε=ij i j a ．由σ为对称变换知((),)(,())σεεεσε=i j i j ， ,1,2,.=i j n ，便有 ji ij a a =， ,1,2,...,=i j n ．所以A 为对称矩阵．充分性：若A 为对称矩阵，即T A A =，对于V 中任意向量,αβ，设它们在基12,,...,εεεn 下的坐标分别为,x y ，则(),()σασβ在基12,,...,εεεn 下的坐标分别为,Ax Ay ．于是((),)()()(,())T T T T Ax y x A y x Ay σαβασβ====，因此σ为对称变换．定理７若σ是n 维欧氏空间V 上的对称变换，则必有V 的标准正交基，使σ在该基下的矩阵为对角矩阵．证任取V 的一组标准正交基12,,...,εεεn ，设σ在该基下的矩阵为A ，由定理６知A 为实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使112(,,...,)λλλ-=Λ=n Q AQ diag .令 1212(,,...,)(,,...,)ηηηεεε=n n Q ，由定理４知12,,...,ηηηn 是标准正交基．再由第一章第三节中的定理４可知σ在基12,,...,ηηηn 下的矩阵是对角矩阵Λ．§2.3 酉空间一、正规矩阵，酉矩阵Hermite 矩阵定义１对于复矩阵[]ij m n A a ⨯=，定义其共轭矩阵为[]ij m n A a ⨯=，其中ij a 是ij a 的共轭复数．当A 为实矩阵时，A A =．共轭矩阵具有如下性质：1°()=A A ；2°=kA k A ()∈k C ；3°A B A B +=+；4°AB A B =；5°()T T A A =；6°当A 为方阵时A A =；7°当A 可逆时，A 亦可逆，并且11()()A A --=．记矩阵A 的共轭转置矩阵为H A ，即()H T T A A A ==．易知，对于数k 及矩阵A 、B (只要运算可进行)，总有()H H A A =， ()H H kA =，()H H H A B A B +=+ ， ()H H H AB B A =．定义２如果方阵A 满足H A A =，则称A 为一个厄密特[Hermite]矩阵，简称H —矩阵．H —矩阵具有如下性质：1°若A 为H -矩阵，则||A 为实数；2°若A 为H -矩阵，k 为任意实数，则kA 仍为H -矩阵；3°若A 为H -矩阵，则*,,,T H A A A A (A 的伴随矩阵)都是H -矩阵，当A 可逆时，1A -也是H -矩阵；4°若,A B 均为n 阶H -矩阵，则A B +也是H -矩阵．证明如下：1°由()T A A A A ===，即得证．2°因k 为实数，则有k k =，于是()()T T T kA kA kA kA ===，得kA 为H -矩阵．3°当A 为H -矩阵时，由定义易证,,T H A A A 仍为H —矩阵．为证*A 为H -矩阵，只须证明：ij ji A A =[ij A 表示A 的(,)i j 元素的代数余子式]．注意到T A A =，则有()()T ij ji ji ji A A A A ===，上式中()T ji A 、()ji A 分别表示T A 与A 的(,)j i 元的代数余子式．定义３ n 阶复矩阵[]n n ij A a C ⨯=∈．若==H H A A AA E ，则称A 是一个酉矩阵或写为U -矩阵．U -矩阵都是可逆矩阵，实数域上的U -矩阵就是正交矩阵．对于n 阶复矩阵A ，下述四个条件等价：1)A 为U -矩阵； 2)T A A E =；3)1H A A -=；4)H AA E =．易证：U -矩阵具有如下性质：1°若A ，B 均为n 阶U -矩阵，则AB 亦然．2°若A 为U -矩阵，则1,,,T H A A A A -亦然．二、酉空间的定义及性质定义４复数域上的内积空间称为酉空间．定义５设V 是n 维酉空间，12,,...,εεεn 是V 的一组基，令(,)ij i j a εε=， ,1,2,...,=i j n ，则称n 阶矩阵[]ij A a =为在基12,,...,εεεn 下的度量矩阵．如果V 中向量,αβ的坐标分别为,x y ，则有(,)H y Ax αβ=．定理1 n 维酉空间在任一基下的度量矩阵都是正定的H -矩阵．定理2 n 维酉空间V 的一组基为标准正交基的充要条件是在该基下的度量矩阵为单位矩阵．定理3 n 维酉空间中的两组标准正交基间的变换矩阵(过渡矩阵)必是U —矩阵定理4 若12,,...,εεεn 为酉空间V 的标准正交基，Q 为U -矩阵，且1212(,,...,)(,,...,)ηηηεεε=n n Q则12,,...,ηηηn 也是V 的标准正交基．定理5 对于n 维酉空间V 的任一子空间1V ，必有正交补1V ⊥，使 11⊥=⊕V V V ．定义６设σ是酉空间V 上的线性变换．如果对于V 中任意向量,αβ，都有((),())(,)σασβαβ=，则称σ为一个酉变换．定理6 设σ是n 维酉空间的线性变换，则如下n 个条件等价：1)σ是酉变换；2)σ把标准正交基化为标准正交基；3)σ在标准正交基下的矩阵是U -矩阵；4)对任意α∈V ，有()σαα=．证明略．定义７设σ是酉空间V 的线性变换，且对V 中任意向量,αβ，总有((),)(,())σαβασβ=，则称σ为V 的一个Hermite 变换，简称H -变换或称酉对称变换．定理7 n 维酉空间V 的线性变换σ为H -变换的充要条件是σ在标准正交基下的矩阵为H -矩阵．定理8 设σ是n 维酉空间V 的H -变换，则必有V 的某组标准正交基，使σ在该基下的矩阵为对角矩阵．。

内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间

内积空间是希尔伯特空间的特例
完备的内积空间具有完备的几何结构，使得向量可以按照内积进行长度和角度的度量，并且存在一个完备的基底来表示空间中的任意向量。
内积空间是一个具有内积运算的线性空间，其满足正定性、对称性和线性等性质。希尔伯特空间是内积空间的特殊情况，它是一个完备的内积空间。
希尔伯特空间是内积空间的推广
Annual Work Summary Report
2021
2022
2023
目录
Байду номын сангаас
O1
引言
coOnte2nts
内积空间的基本性质
O3
希尔伯特空间的基本性质
O4
内积空间与希尔伯特空间的关系
O5
希尔伯特空间的几何解释
O6
希尔伯特空间的应用
#O1
引言
#2022
什么是内积空间
内积运算用于计算向量之间的角度和长度，是线性代数和泛函分析中的基本概念。内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运算，满足非负性、正交性、对称性和三角不等式等性质。
希尔伯特空间的例子
$L^2$空间
01
函数空间，其元素是平方可积函数，通常用于描述物理系统的
状态。
$L^2$空间的子空间
02
例如，$L^2(0,1)$的闭子空间，通常用于描述量子力学中的束
缚态。
有限维空间
03
例如，$R^n$（实数向量空间），其具有有限个维度。
#O4
内积空间与希尔伯特空间的关系
#2022
描述算子
在量子力学中，概率幅可以通过希尔伯特空间中的内积计算。
计算概率幅
在信号处理和图像处理中的应用

高等代数-内积空间

交基,则对任意 x∈V,有 x = (x, e1) e1 + (x, e2) e2 + … + (x, en) en .
• 引理:内积空间V中任意一组两两正交的非零
向量必线性无关.
标准正交基_2
• 定理:设V是内积空间, ξ１,ξ２,…,ξm是V中m
个线性无关的向量,则在V中存在两两正交的向量η1,η2, …,ηm,使得
• 注: φ*称为φ的伴随变换(伴随算子).
伴随算子_2
• 定理:设u1,u2,…,un是n维欧氏空间V的一组标准正交基,若V的线性变换φ在这组基下的矩阵为 A,则φ的伴随算子φ*在这组基下的矩阵为A’.
• 定理:设φ,ψ是n维欧氏空间V的两个线性变
换,c为常数,则
(1). (φ+ψ)*=φ*+ψ*.
• 定理:设Ｖ是n维内积空间, U是Ｖ的子空
间, 则
(1). V = U U⊥ ,
(2). U上任意一组标准正交基可扩为V 上的标准正交基.
正交矩阵_1
设u1, u2, …, un和v1, v2, …, vn是n维欧氏空间V的两
组标准正交基, T是从基v1, v2, …, vn到u1, u2, …, un
• 注1: {R上n维线性空间的内积} １：１{实正定矩阵}.
• 注2: 当ξ１,ξ２,…,ξn为正交基时,G为对角阵；
当ξ１,ξ２,…,ξn为标准正交基时,G为单位阵.
正交补空间
• 定义:设U是内积空间V的子空间,令
U⊥ ={v∈V| (v, u)=0,对任意u∈U}, 则U⊥是V的子空间, 称为U的正交补空间.
对称算子_3
• 定理:实对称矩阵的特征值是实对称矩阵正交相似的全系不变量。

第2章内积空间

(a 1 , a 2 ) (a 2 , a 1 ) A T A 即 A 为实对称矩阵。 x T Ax (a , a ) 0 即 A 为实正定矩阵。
,a n 定理1 设A为n维欧氏空间V的基a1 ,a 2 , 的度量矩阵，则
(1)矩阵A为实对称正定矩阵；
(2) a , b V , a x1a1 + x2a2 + + xnan , b y1a1 + y2a2 + + ynan ,
内积的作用：研究高维空间中的几何问题内积的公理化定义要点
内积(a，b)是二元运算：V×V→ R (a，b)的公理性质 (a，b)是任何满足定义的运算。
欧氏空间的例子
例1. 线性空间 R n { ( x1 , x 2 , , x n ) T | x1 , x 2 , , x n R }
设 a 1， a 2， ,a n 是 n 维实内积空间 V 的一个基，
向量a 与b 在该基下的坐标为
x ( x1 , x 2 , , x n ) T , y ( x1 , x 2 , , x n ) T
a x 1a 1 + x 2 a 2 + + x n a n ,
n 例5 在实线性空间R n中，对于任意两个 n阶矩阵A，B，定义 n n T ( A, B ) tr ( AB ) aij bij
i 1 j 1
则 ( A, B 是内积，向量空间 )
8
是欧氏空间。 R nn
欧氏空间的性质
由定义知
(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ) (6) (a, kb ) = k(a, b )

内积空间

内积空间(2012-06-17 20:13:58)▼内积空间内积的几何解释在数学上，内积空间是增添了一个额外的结构的矢量空间。

这个额外的结构叫做内积或标量积。

这个增添的结构将一对矢量与一个纯量连接起来，允许我们严格地谈论矢量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论矢量的正交性。

内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。

关于内积空间的例子，请参看希尔伯特空间。

内积空间有时也叫做准希尔伯特空间(pre-Hilbert Space)，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。

在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数／不可数）的欧几里德空间。

定义下文中的数量域F是实数域或复数域。

域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是[[实数域]]时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：满足以下公理：•共轭对称；这个设定蕴含着对于所有, 因为.(共轭也写成加星号：，如同共轭转置。

)•对第一个元素是线性算子；由前两条可以得到：因此实际上是一个半双线性形式。

•非负性：(这样就定义了对于所有。

说明内积是从点积抽象而来。

)•非退化：从V到对偶空间V*的映射：是同构映射。

在有限维的矢量空间中，只需要验证它是单射。

当且仅当。

因此，内积空间是一个Hermitian形式。

V满足可加性：对所有的，，如果F是实数域R那么共轭对称性质就是对称性。

共轭双线性变成了一般的双线性。

备注。

多数数学家要求内积在第一个参数上是线性的而在第二个参数上是共轭线性的，本文接受这种约定。

很多物理学家接受相反的约定。

这种改变是非实质性的，但是相反的定义提供了与量子力学中的狄拉克符号更平滑的连接，现在也偶尔被数学家使用。

某些作者接受约定< , > 在第一个分量是线性的而< | > 在第二个分量上是线性的，尽管不普遍。

第二章-数值分析(04)内积空间

证明：以二阶矩阵为例证明 10 取x ee2 得x T Ax 11 22 0 0 x 1 , 得x T Ax a a 取 , 01
数值分析
数值分析
(2) A是正定阵, A 也是正定阵；（由i 0证明） (3) A R nn , 若A是非奇异的, 则AT A是n 阶实对称正定阵；
数值分析
成立, 则 , 必线性相关因为若 , 线性无关则k R, . , 非零, 都有 k 0.从而( k , k ) 0 所以等号不成立矛盾. ,
数值分析
数值分析
在不同的空间中Cauchy Schwarz不等式有 ,
证明
设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r r 0
用 1 与上式作内积得 ,
(1 , 11 r r ) 1 (1 , 1 ) 0
由 1 0 ( 1 , 1 ) 1
2
0, 从而有1 0 .
数值分析
数值分析
二、内积范数
由内积定义的范数称为内积范数： ( , )
(1) x R n , x
x, x
2 2 2 x1 x 2 x n ,
称 x 为 n 维向量 x 的内积范数 .
(2) x R n , A为n阶对称正定矩阵, x的A范数定义为 x
a b
n
ij ij
若 ( x ) 1, 则 b ( f , g ) f ( x ) g ( x )dx
a
数值分析
定义设[a , b]是有限或无限区间, ( x )是定义在[a , b]上的非负可积函数, 若其满足 (1) ( x )dx 0,

内积空间的基本概念

Hilbert 空间一内积空间的基本概念设H 是域K 上的线性空间，对任意H y ,x ∈，有一个中K 数),(y x 与之对应，使得对任意H z ,y ,x ∈；K ∈α满足1） 0)y ,x (≥；)y ,x (＝0，当且仅当 0x =； 2） )y ,x (＝___________)x ,y (；3） )y ,x ()y ,x (αα=；4）)z ,y x (+＝)z ,x (＋)z ,y (；称)(,是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。

定理1.1设H 是内积空间，则对任意H y x ∈,有：|)y ,x (|2)y ,y )(x ,x (≤。

设H 是内积空间，对任意H x ∈，命),(||||x x x =则||||⋅是H 上的一个范数。

例设H 是区间],[b a 上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意H y x ∈,，定义dt t y t x y x ba⎰=________)()(),(则与],[2b a L 类似，),(y x 是一个内积，由内积产生的范数为212)|)(|(||||⎰=badt t x x上一个内积介不是Hilbert 空间。

1.2 设H 是内积空间，则内积),(y x 是y x ,的连续函数，即时x x n→，y y n→，),(),(y x y x nn→。

定理1.3 设H 是内积空间，对任意H y x ∈,，有以下关系式成立，1）平行四边形法则：2||||y x +＋2||||y x -＝2)||||||(||22y x +；2）极化恒等式：),(y x ＝41（2||||y x +－2||||y x -＋2||||iy x i +－)||||2iy x i -定理1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。

二正交性，正交系 1 正交性设H 是内积空间，H y x ∈,，如果0),(=y x ，称x 与y 正交，记为y x⊥。

《内积空间》课件

混合积
混合积运算结果是一个标量，记作 $mathbf{a} cdot (mathbf{b} times mathbf{c})$。混合积可以用来判断三个向量的共面情况：若混合积为零，则三个向量共面。
05
内积空间中的正交与投影
正交的定义与性质
总结词
正交是内积空间中两个非零向量的特殊关系，具有方向无关性、正交性质和几何意义。
01 线性映射的定义
线性映射是从一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足加法、数乘等线性性质。
02 线性映射的性质
线性映射保持向量的加法、数乘等基本性质，即对于任意向量x、y和任意实数k，有 L(x+y)=L(x)+L(y)和L(kx)=kL(x)。
03 线性映射的例子
矩阵表示的线性变换、投影变换等都是线性映射的例子。
矩阵的范数
矩阵范数的定义
矩阵的范数是定义在矩阵上的一个非负实数，表示矩阵的“大小 ”或“强度”。常用的矩阵范数包括谱范数、Frobenius范数和无
穷范数等。
范数的性质
矩阵范数具有与向量范数类似的性质，如非负性、正齐性、三角不等式和归一化等。
范数的应用
矩阵范数在数值分析、线性代数、控制理论和机器学习等领域都有应用，如求解线性方程组、矩阵分解和特征值计算等。
在机器学习中的应用
特征提取
内积空间中的向量可以用来表示机器学习中的特征，通过计算特征向量之间的内积，可以得出特征之间的相似性和关联性，从而实现特征的提取和降维处理。
分类器设计
在机器学习中，分类器的设计往往需要用到内积空间中的向量表示，通过计算样本向量与分类器向量之间的内积，可以得出样本所
向量的加法与数乘
向量的加法

内积空间

(3) k , k , 或k , k , (4)
, 0
当且仅当
0 时等式成立
则称复数 ( , )为向量 , 的内积，定义了内积的复线性空间叫做酉空间。
酉空间内积的性质
对于酉空间的向量 , ,
, H

ab
i i
i
H T T n m 定义：设 A ( a ij ) C m n , 称 A A ( a ij ) C 为A的
共轭转置矩阵，其性质有：
A
H
A
H
_ T
( A B)
H
A
H
H
B
H
H
(A )
( AB )
H
A
B A
例6
设R2中的两个基为
1 1 0 1 1 , 2 , 1 , 2 0 1 1 2
,
j
按某种规定定义了内积，且 i
的内积为
( 1 , 1 ) 2 , ( 1 , 2 ) 3 , ( 2 , 1 ) 4 , ( 2 , 2 ) 7 ,
2
2 1
1
, a 22 ( x , x )
2 2

1
1
x dx
2
a 23 a 32 ( x , x )
2

1
1
x x dx 0 , a 33 ( x , x )
2

1
1
x dx
4
则
A
2 0 2 3
0 2 3 0
2 3 0 2 5

第4讲内积空间

§3 内积空间
一、内积空间的概念二、内积空间的性质三、标准正交基四、正交变换与对称变换五、Schur定理与正规矩阵
一、内积空间的定义
定义：设 V 是实数域 R 上的 n维线性空间，对于 V 中的任意两个向量 α , β 按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 α 与 β 的内积，记为 (α , β ) ，并且要求内积满足下列运算条件：
例
⎡3 0 8⎤ ⎢ 3 −1 6 ⎥ A= ⎢ ⎥ ⎢ −2 0 −5⎥ ⎣ ⎦
H
试求酉矩阵 U 使得 U
AU 为上三角矩阵.
定义: 设
A∈C
n ×n
, 如果
H
AA = A A
H
A 满足
那么称矩阵设
A 为一个正规矩阵.
, 如果同样满足
A∈ R
n ×n
AA = A A
H H
那么称矩阵
A 为一个实正规矩阵.
α α
总是单位向量，称此过程为单位化。
三、标准正交基
n
{ 定义：设 V 是 n 维酉空间， α i } 为其一组基，对于 V 中的任意两个向量
α = ∑ xiαi , β = ∑ y jα j
那么 α 与 β 的内积
n n i =1 j =1 i =1 j =1 n
(α , β ) = ( ∑ xiαi , ∑ yiα i ) =
+ nxn yn
( , ) 2 也是 R n 上的一个内积容易验证 n ，这样 R 又成为另外一个欧氏空间。
例在 nm 维线性空间 R n×m 中，规定
( A, B ) := Tr( AB )
T
容易验证这是 R 上的一个内积，这样 R 对于这个内积成为一个欧氏空间。例在线性空间 C[a , b] 中，规定

第二章内积空间

设 T 是内积空间 V L(P)的线性变换，如果
对任意的 x, y V ，满足 (Tx,Ty)(x,y)
则称线性变换 T 为的V 一个正交变换。
定理1 （正交变换的等价定义）
设 T 是n维欧氏空间 V 的一个线性变换，则下列
命题等价：
⑴ T 是正交变换。
⑵ T 保持向量长度不变，即对 x ，均V 有
为矩阵 A 的值域，求 R ( A ) 。
解： y R ( A ) ,y ( k 1 1 k 2 2 k n n )
y i i 1 ,2 , ,n
( y ,i) i T y 0i 1 ,2 , ,n
AT y
R (A )yA TyN (A T)
注：一般来说，称 N ( A T ) 为矩阵 A T 的零空间。
Tx。 x
⑶如果 e1,e2, 是,en的一V组标准正交基，则 Te1,Te2,也是,Te的n一组标V 准正交基。
⑷ T 在中V 任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
证明思路： ( 1 ) (2 ) ;( 1 ) ( 3 ) ;( 3 ) (4 )
(1) (2) T 是正交变换 x ,y V ,( T x ,T y ) ( x ,y ) 取 y x (T x ,T x ) (x ,x ) T x2x2 (2) (1)
是n维欧氏空间是其一组标准正交基则有定义容易验证该映射为同构映射且保持内积不变从而是另一n维欧氏空间是其一组标准正交基则有定义从而4正交变换定义1正交变换是内积空间的线性变换如果对任意的满足则称线性变换txty定理1正交变换的等价定义是n维欧氏空间的一个线性变换则下列命题等价
第二章内积空间
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第二章内积空间

② ( x, y z) ( x, y) ( x, z) x, y, z V
③ ( x, ) ( , x) 0
定理1 （Cauchy-Schwarz不等式）
设 V 是内积空间，x, y 是 V 中任意两个向量，则有：
( x, y)2 ( x, x)( y, y)
当且仅当 x, 线y 性相关时等号成立。
两种方法说明：交集为零空间；零元素表示唯一。
定义5（正交补空间）
设 V1 ,V是2内积空间的两V 个子空间，且满足
V1 V2 ,V ，V则1 称V2 是的正V交2 补空V间1 ，简称正交
补，记为
。
V2Байду номын сангаас V1
性质3 n维欧氏空间V 的任一子空间V1 都有唯一的正
交补。
证明: ①如果 V1 { }，则 V 是 V1 唯一的正交补。 ②如果 V1 { } ，在 V1 中选取一组正交基 e1, e2 , , ek
i 1, 2, , n;
n
n
nn
(ei, ej ) ( akiek , amjem )
akiamj (ek , em )
k 1
m 1
k 1 m1
n
0 i j
aki akj
k 1
1
; i j
i, j 1, 2,
,n
即 AT A E
注：正交矩阵的不同列对应元素乘积的和为零；类似地可以证明正交矩阵的不同行对应元素乘积的和为零。
(1,1) (1,2 ) (2 ,1) (2 ,2 )
(1,n ) (2 ,n ) 0
(n ,1) (n ,2 )
(n ,n )
n
证明：设 kii
i 1