园有关的概念与性质

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圆的基本概念与性质

圆的基本概念与性质圆是几何学中的一个基本概念，在我们的日常生活中也经常出现。

对于圆的概念和性质，我们需要进行深入的探究。

本文将从圆的定义、圆的性质以及圆相关的计算方法等方面进行阐述。

一、圆的定义圆是由一个平面上的所有到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。

这个固定点称为圆心，用O表示；到圆心距离相等的点与圆心之间的距离称为半径，用r表示。

圆的边界称为圆周，圆周上的任意两点与圆心之间的距离都相等。

二、圆的性质1. 圆的直径与半径圆的直径是指通过圆心的一条线段，它的两个端点都在圆上。

直径的长度等于半径的两倍，即d=2r，其中d代表直径的长度。

2. 圆的周长圆的周长是圆周的长度，通常用C表示。

周长的计算公式为C=2πr，其中π是一个数学常数，取近似值3.14。

3. 圆的面积圆的面积是指圆所包围的区域的大小，通常用A表示。

面积的计算公式为A=πr²，即圆的面积等于半径的平方乘以π。

4. 圆的弧长圆的弧长是圆周上一部分的长度，通常用L表示。

弧长的计算公式为L=2πr，其中r是弧所对应的半径，即弧长等于弧所对应的圆心角的度数除以360度再乘以周长。

5. 圆的扇形面积圆的扇形是由一个圆心角和与其所对应的弧组成的图形，通常用S 表示。

扇形的面积计算公式为S=πr²θ/360°，其中θ是圆心角的度数，r 是半径。

6. 圆的切线与法线圆上的切线是与圆周只有一个交点的直线，切线的斜率等于半径的斜率。

圆上的法线是与切线垂直，并通过圆心的直线。

三、圆的应用圆在日常生活中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 圆形运动：物体在圆周上做匀速运动时，我们可以利用圆的性质来计算物体的位移、速度、加速度等。

2. 圆的建筑：许多建筑设计中都会使用圆形的建筑物，比如圆形剧场、圆形广场等，给人以艺术美感。

3. 圆的通信：在无线通信中，天线辐射出的信号范围就是一个圆形的区域，我们可以通过圆的性质来计算信号的传播距离与强度。

圆的有关概念及性质课件

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4. 圆周角、圆周角定理及其推论
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角
叫做圆周角. （2）①圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ②推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. ③推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. ④推论3：圆内接四边形的对角互补.
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中考考点精讲精练
考点1 垂径定理和弧、弦、圆心角的关系
考点精讲
【例1】（2014佛山）如图1-5-1-1，⊙O的直径为10 cm，弦AB=8 cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围. 思路点拨：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，
由垂径定理可知AE=BE=
AB，再根据勾股
考点演练 3. 如图1-5-1-5，AB是⊙O的直径， 34°，则∠AEO的度数是
A. 51° B. 56° C. 68°
∠COD= （ A ） D. 78°
4. 一条排水管的截面如图1-5-1-6所示，已知该排水管的半径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD的长为（ D ） A. 8 B. 6 C. 5
（ C ） D. 120°
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考点演练 4. 如图1-5-1-11，已知点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB= 80°，则∠ACB等于（ D ）
A. 80° B. 70° C. 60° D. 40°
5. 如图1-5-1-12，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD= 53°，则∠BCD为 A. 37° B. 47° C. 45° （ A ） D. 53° feixuejiaoyu
2. （2015深圳）如图1-5-1-9，AB为⊙O直径，已知∠DCB= 20°，则∠DBA为 A. 50° B. 20° C. 60° （ D ） D. 70°

圆的概念与性质

圆的概念与性质圆是几何学中最基本也是最重要的图形之一。

它具有独特的概念与性质，对于几何学研究和实际生活应用都具有重要的意义。

一、圆的概念圆可以通过平面上的一点（圆心）和与这个点距离相等的所有点构成，这个相等的距离称为圆的半径。

圆的边界称为圆周，圆周上的所有点到圆心的距离都相等。

二、圆的性质1. 圆心和半径：圆心是圆的核心位置，半径是从圆心到任意一个点的距离。

所有半径的长度都相等。

2. 直径：直径是通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。

直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍。

3. 弧长：弧长是圆上的一段弧对应的圆周长度。

弧长和圆的半径以及所对应的圆心角有关。

4. 弧度：弧度是弧长和半径之间的比值。

一个完整圆的弧长等于2π倍的半径。

角度和弧度之间的转换关系是180°=π弧度。

5. 扇形：扇形是由圆心、圆周上的两个点以及连接这两个点的弧段所构成的图形。

6. 弦：弦是连接圆周上的两个点的线段。

7. 切线：切线是与圆周只有一个交点的直线，切线与半径的夹角是直角。

8. 正切线：正切线是过圆上一点并且与该点的切线垂直相交的直线。

9. 圆的面积：圆的面积是指圆所包围的平面区域。

圆的面积公式是πr²，其中r为圆的半径。

三、圆的应用1. 圆在建筑设计中的应用：圆形的建筑物，例如圆形剧场、圆形体育馆等，不仅美观而且具有良好的音响效果和观看体验。

2. 圆在交通规划中的应用：交通圆环的设计可以提高交通效率，减少交通事故的发生。

3. 圆在制造业中的应用：例如车轮、电机转子等，圆形的设计可以提高工作效率和产品的稳定性。

4. 圆在数学研究中的应用：圆的概念和性质是数学研究中的基础，广泛应用于数学的各个分支，如几何学、代数学等。

总结：圆是几何学中的基本图形，具有独特的概念和性质。

圆的应用广泛存在于我们的生活中，不仅美观而且具有很多实际价值。

对于几何学的学习和实际应用，深入理解圆的概念和性质是非常重要的。

圆的概念和性质

圆的概念和性质圆是我们数学中重要的几何概念之一，广泛应用于各个领域。

无论是日常生活中的测量、建筑设计，还是工程技术、科学研究中的模型和计算，都离不开圆的概念和性质。

本文将从圆的定义、常见性质以及应用等方面进行详细的探讨。

一、圆的定义圆可以定义为平面上一组到一个定点的距离都相等的点的集合。

这个定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。

以圆心为中心、以半径为半径的线段称为圆的半径。

圆内的任意两点到圆心的距离都小于半径，而圆外的任意一点到圆心的距离都大于半径。

二、圆的性质1. 圆的直径圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段。

直径是圆中最长的线段，并且它的长度等于半径的两倍。

2. 圆的周长圆的周长是圆上一周的长度，也称为圆周。

圆周的长度可以通过圆的直径或者半径与圆周率之间的关系来计算。

根据定义，圆周的长度等于直径乘以π(圆周率)。

3. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点与圆心之间的连线围成的区域。

圆的面积也是通过圆的半径与圆周率之间的关系来计算。

根据定义，圆的面积等于半径平方乘以π。

4. 圆的切点两个圆相切时，它们有一个共同的切点。

切点是两个圆相切时，位于两个圆的切线上的点。

5. 圆的切线圆的切线是与圆只有一个公共点的直线。

圆的切线与半径垂直，并且切线的斜率等于半径与圆心连线的斜率的相反数。

三、圆的应用1. 圆在日常生活中的应用圆在日常生活中有很多应用，比如钟表中的表盘、轮胎的设计、圆桌的使用等。

同时，圆的性质也可以用来解决一些实际问题，比如判断一个物体是否能通过一个洞的尺寸、计算环形花坛的面积等。

2. 圆在几何图形中的应用圆在几何图形中也有广泛的应用。

例如，圆可以用来构造其他几何图形，比如正多边形、扇形、圆锥等。

同时，圆也可以与其他几何图形相交，形成复杂的图形结构。

3. 圆在科学与工程中的应用圆的概念和性质在科学与工程领域中也有重要的作用。

例如，在物理学中，圆的运动轨迹和碰撞规律可以用来描述天体运动、粒子动力学等现象。

圆的概念及性质知识点梳理

圆的概念及性质知识点梳理一、圆的基本概念 1. 圆的定义：圆是由平面上到一定点的距离相等的所有点组成的集合。

2. 圆的符号表示：以大写字母O表示圆心，小写字母r表示半径，圆可以表示为O(r)。

3. 圆的元素：圆心、半径、直径。

二、圆的性质 1. 对称性： a. 圆心对称：圆内任意一点都可以通过圆心的对称变换到另外一个点。

b. 直径对称：圆内任意一点都可以通过圆的直径对称变换到另外一个点。

2. 圆与直线的关系： a. 圆与直线的交点：一条直线与圆相交的点数可能为0、1、2个。

b. 切线：一条直线切圆的条件是直线与圆有且仅有一个交点。

c. 弦：一条直线与圆有两个交点，这两个交点与圆心连接形成的线段称为弦。

3.圆与角的关系： a. 圆心角：圆内的两条半径所对应的角称为圆心角，圆心角的度数等于弧度的两倍。

b. 弧度：弧长等于半径的弧对应的角的度数称为弧度。

c. 弧度制与度数制转换：弧度 = 度数× π / 180。

4. 圆与面积的关系： a. 圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A = πr^2。

b. 圆周长与面积的关系：半径一样的两个圆，周长较大的圆面积也较大。

5. 圆与体积的关系：a. 圆柱的体积公式：圆柱的体积等于底面积乘以高，即V = πr^2h。

b. 圆锥的体积公式：圆锥的体积等于底面积乘以高再除以3，即V = (1/3)πr^2h。

c. 球体的体积公式：球体的体积等于(4/3)πr^3。

三、圆的应用 1. 圆的几何应用： a. 轮胎：轮胎通常采用圆形设计，便于车辆转向和行驶。

b. 钟表：钟表上的指针转动的轨迹是一个圆弧。

2. 圆的物理应用： a.运动：物体在做圆周运动时，其运动轨迹是一个圆。

b. 电子：电子的轨道运动也是一个圆形的。

c. 光学：光学中的透镜和曲率半径有关，曲率半径越小，透镜越强。

3. 圆的数学应用： a. 数学公式：圆的周长和面积的计算公式是数学中的基本公式之一。

圆的定义及其性质

圆的定义及其性质圆是几何中重要的图形之一，被广泛应用于各个科学领域中。

本文将介绍圆的定义、圆的性质，以及圆相关的应用领域和实例。

一、圆的定义圆是一个平面内所有距离 equidistant（简称“等距”）于给定点的点的轨迹。

这个点被称作圆心，等距距离为圆的半径。

因此，圆的定义可表示为：圆是以圆心为中心，半径为 r 的所有点的集合。

二、圆的性质1.圆是所有直径相等的图形中，面积最大的。

2.在同一圆中，所有的弦都相等。

3.圆上每个点与圆心的距离相等。

4.一个圆的周长是2πr，其中 r 表示圆的半径。

5.较大的圆可被拆分为多个较小的圆组成，而小的圆则可以组合成较大的圆形。

6.圆内的所有角都是直角。

三、圆的应用1. 圆在建筑和工程中常用于计算圆形地基的尺寸和形状。

2. 圆形面积的计算可以在数学和物理中应用，例如，利用圆的面积计算管道的计算和城市建设中的土地分配。

3. 光学中有一个基本的圆形焦点概念，其中光源和接收器之间的距离被称为焦距。

4. 圆的范围也超出数学和物理学。

它常常在艺术中应用，被用于建立圆盘和圆弧的对称性，也是一些流行的图案和装置的构成元素。

四、圆的实例1. 直升机旋转的脸部估计(利用圆轨迹）。

2. 车辆编队目标跟踪(利用圆弧拟合）。

3. 地图中的航线和航空母舰轮廓。

4. 金属轮毂的制造和调整需要用到圆的概念。

结语：圆在我们日常生活中扮演着不可忽视的角色，并且在各种科学领域中广泛应用。

从上文介绍的内容中我们可以了解到圆的定义、性质和应用，以及了解到如何在实际应用中利用和应用圆形。

随着技术的不断创新和发展，圆的概念和应用也将变得更加重要和广泛。

圆的概念和性质

圆的概念和性质圆是我们生活中常见的几何形状之一，它具有独特的概念和性质。

在数学中，圆是指平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。

圆的性质有很多，下面我将为大家详细介绍。

1. 圆的直径和半径圆的直径是指通过圆心的一条线段，其两个端点都在圆上。

直径的长度是圆的重要属性，它等于圆的半径的两倍。

半径是从圆心到圆上任意一点的线段，半径的长度决定了圆的大小。

2. 圆的周长和面积圆的周长是指圆上一点到另一点所经过的弧长。

圆的周长也被称为圆的周长，它等于圆的直径乘以π（圆周率，约等于3.14）或者等于圆的半径乘以2π。

圆的面积是指圆内部的所有点构成的区域的大小，它等于圆的半径的平方乘以π。

3. 圆的切线和弦圆上的切线是指与圆只有一个交点的直线。

切线与圆的切点处与半径垂直。

圆上的弦是指连接圆上两个点的线段，弦的长度可以小于、等于或大于圆的直径。

4. 圆的内切和外切圆的内切是指一个圆与另一个圆相切，并且两个圆的圆心在同一条直线上。

圆的外切是指一个圆与另一个圆相切，并且两个圆的圆心不在同一条直线上。

5. 圆的相似如果两个圆的半径之比相等，则这两个圆是相似的。

相似的圆具有相似的形状，但是大小不同。

6. 圆的划分圆可以被划分成多个扇形、弓形、弧和扇形等部分。

扇形是由圆心和圆上两个点构成的区域，弓形是由圆上一段弧和两个半径构成的区域，弧是圆上的一段弯曲的部分，扇形是由圆心、圆上两点和两个半径构成的区域。

通过对圆的概念和性质的了解，我们可以应用这些知识解决实际问题。

比如，我们可以利用圆的周长和面积计算出一个圆的大小，或者利用圆的切线和弦来解决与圆相关的几何问题。

此外，圆的相似性质也可以帮助我们在绘图或者设计中保持形状的一致性。

总结起来，圆是一个重要的几何形状，它具有独特的概念和性质。

通过对圆的认识和理解，我们可以更好地应用这些知识解决实际问题。

希望大家在学习数学的过程中能够深入了解圆的概念和性质，提高数学思维能力和解决问题的能力。

圆的概念及性质

圆的概念及性质一、圆的相关概念1.圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2.弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性1.旋转对称性（1）圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．（2）圆的旋转对称性⇒圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．2.轴对称性（1）圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．（2）圆的轴对称性⇒垂径定理．三、圆的性质定理1. 圆周角定理（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（2）推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．A （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．3. 垂径定理D（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论1：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3）推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．一、圆的相关概念及性质【例1】判断题：（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )【例2】如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（）A ．''AB A B = B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【例3】如图，AB 是O ⊙的直径，点C D 、在O ⊙上，110BOC ∠=︒，AD OC ∥，则A O D ∠=___________．【例4】如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHG FE DC B A【例5】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．【例6】如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．图1图2二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例7】如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（）A ．40︒B ．45︒ C ．50︒ D ．80︒【例8】如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是（）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒【例9】如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【例10】如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．PO BA【例11】已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒B.60︒C.75︒D.90︒ P【例12】如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．【例13】如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（） A ．10︒ B ．20︒ C ．30︒D ．40︒【例14】如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知60B ∠=︒，则CAO ∠的度数是（）A ．15︒B ．30︒C ．45︒D ．60︒【例15】如图，AB 是O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连接AC AD ，，若35CAB ∠=︒，则ADC ∠的度数为．【例16】如图，CD 为O ⊙的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（） A ．25︒ B ．40︒ C ．30︒ D ．50︒E【例17】如图，已知O 的弦AB CD ，相交于点E ，AC 的度数为60︒，BD 的度数为100︒，则AEC ∠等于（） A ．60° B ．100° C ．80° D ．130°C【例18】如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且O C D C O F E F ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．O PFEDC B A【例19】如图所示的半圆中，AD 是直径，且32AD AC ==，，则sin B 的值是________．DCA B【例20】如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【例21】如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218A B D E E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．E【例22】如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且AB OC =，求A ∠的度数．D【例23】如图，已知AB 为⊙O 的直径，20E ∠=︒，50DBC ∠=︒，则CBE ∠=______．【例24】如图，在O⊙中，AOB∠的度数为m，C是ACB上一点，D E、是AB上不同的两点(不与A B、两点重合)，则D E∠+∠的度数为____________．【例25】如图，AB是O 的直径，点C，D，E都在O上，若C D E==∠∠∠，求A B+∠∠．BA【例26】如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65︒．为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器台．【例27】如图所示，在ABC∆中，45C∠=︒，4AB=，则O⊙的半径为()B.4C. D.5CBA【例28】如图，ABC△的三个顶点都在O⊙上，302cmC AB∠=︒=，，则O⊙的半径为______cm．【例29】如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．【例30】已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角．【例31】两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CD ⊥PG FEDCBA【例32】如图，O ⊙与P ⊙相交于B 、C 两点，BC 是P ⊙的直径，且把O ⊙分成度数比为12∶的两条弧，A 是BmC 上的动点(不是B 、C 重合)，连结AB 、AC 分别交P ⊙于D 、E 两点．（1）当ABC ∆是钝角三角形时，判断PDE ∆的形状．（2）当ABC ∆是直角三角形时，判断PDE ∆的形状．（3）当ABC ∆是锐角三角形时，判断PDE ∆的形状．这种情况加以证明．【例33】已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是．【例34】如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．【例35】如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD的长．【例10】圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D （如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．ABC D OS 1S 2【例36】已知，如图M N ，为O 中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O 于C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．PNMOFEDCBA【例37】如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB ⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．【例38】如图，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =．（1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．【例39】如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、． ⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．【例40】如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．P EC B AE DCBA【例41】在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E 分别在边BC 、AB上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求BDE ∆的面积．图 12HOFE DCBA2. 圆内接四边形【例42】已知：如图，面积为2的四边形ABCD 内接于O ⊙，对角线AC 经过圆心，若45BAD ∠=︒，CD AB 的长等于．【例43】如图，AB 为O 的直径，AC 交O 于E 点，BC 交O 于D 点，CD BD =，70C ∠=︒．现给出以下四个结论：①45A ∠=︒； ②AC AB =； ③AE BE =； ④22CE AB BD ⋅=．其中正确结论的序号是A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④BA【例44】已知AD 是O ⊙的直经，ABAC 、是弦，若2AD AB AC ===，A B C D ，，，四点构成的四边形的周长．图1【例45】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点P，AB BD=，且0.6PC=，求四边形ABCD的周长．C 【例46】如图，四边形ABCD为正方形，O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB AD，于点F E，．（1）求证：DE AF=（2）若O，1AB=，求AEED的值．【例47】如图，O⊙外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且1AP=，PB=PC的长．PD CBA【例48】圆内接四边形ABCD，AC BD⊥，AC交BD于E，EG CD⊥于G，交AB于F．求证：AF BF=．GEF A BC D【例49】圆内接矩形CEDF ，过D 作圆的切线AB ，分别与CE 、CF 的延长线相交于A 、B ，求证：33BF BC AE AC =．A3. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【例50】在同圆中，CD 的度数小于180︒，且2AB CD =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（）A ．AB CD > B ．AB CD =C ．AB CD < D ．无法确定【例51】如图所示在O ⊙中，2AB CD =，那么（）A.2AB CD >B.2A B C D <C.2AB CD =D.AB 与2CD 的大小关系不能确定【例52】已知AB AC 、是O ⊙的弦，AD 平分BAC ∠交O ⊙于D ，弦DE AB ∥交AC 于P ，求证：OP 平分APD ∠．【例53】如图，过O ⊙的直径AB 上两点M N ，，分别作弦CD EF ，，若CD EF AC BF =，∥．求证：⑴BEC ADF =；⑵AM BN =．【例54】已知点A 、B 、C 、D 顺次在O ⊙上，AB BD =，BM AC ⊥于点M ，求证：AM DC CM =+．d cb a【例55】在ABC ∆中，AC BC >，M 是它的外接圆上包含点C 的弧AB 的中点，AC 上的点X 使得MX AC ⊥，求证：AX XC CB =+．【例56】如图，ABC ∆是O ⊙的内接三角形，AC BC =，D 为O ⊙中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD 、是关于x 的方程()22123412904x m x m m --+-+=的两根．⑴ 求证：AE BD =；⑵若AC BC ⊥，求证：AD BD +．【例57】如图，四边形ABCD 内接于圆，AB AD =，且其对角线交于点E ，点F 在线段AC 上，使得BFC BAD ∠=∠．若2BAD DFC ∠=∠，求BEDE的值．图 4F EDC BA【例58】已知：如图，D 是Rt ABC ∆中直角边BC 上的一点，以BD 为直径的圆交斜边AB 于点E ，连结EC交此圆于点F ，BF 交AC 于点G ．求证：GF CA CF EA ⋅=⋅．【例59】如图，AB CD ，是O ⊙的两条弦，它们相交于点P ，连结AD BD 、，已知4AD BD ==，6PC =，求CD 的长．【例60】 AB 是半圆的直径，C 点在圆上，过点A 、B 分别作过C 点的切线的垂线AD 、BE ，D 、E 为垂足，求证：24DE AD DE =⋅．A【例61】已知A D 、是一段圆弧上的两点，且在直线l 的同侧，分别过这两点作l 的垂线，垂足为B C 、，E是BC 上一动点，连结AD AE DE 、、，且90AED ∠=︒． ⑴如图⑴，如果616AB BC ==，，且:1:3BE CE =，求AD 的长；⑵如图⑵，若点E 恰为这段圆弧的圆心，则线段AB BC CD 、、之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A D 、分别在直线l 两侧且AB CD ≠，而其余条件不变时，线段AB BC CD 、、之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．图(2)lE DCBA图(1)lEDC B A。

圆的基本概念与性质

圆的基本概念与性质圆是几何学中最基本的图形之一，它具有独特的形状和性质。

本文将对圆的基本概念和一些重要性质进行详细介绍。

一、圆的定义圆是由平面上距离一个固定点一定距离的所有点组成的集合。

这个固定点被称为圆心，而这个距离被称为半径。

二、圆的常用符号在几何学中，圆常用符号“O”表示圆心，用字母“r”表示半径。

因此，一个圆可以用符号“O(r)”表示。

三、圆的性质1. 圆的对称性由于圆的定义是以一个固定点为中心，所有距离这个点相等的点的集合，因此圆具有天然的对称性。

任意一条直径将圆分成两个等边的半圆，半圆上的所有点与圆心的距离相等。

2. 圆的直径、半径和弦在圆中，直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段；半径是从圆心到圆上的任意一点的线段，它等于圆的半径；弦是圆上连接两个点的线段，不经过圆心。

3. 圆的周长和面积圆的周长定义为圆上的一条完整弧所对应的长度，可以用公式C =2πr来计算，其中C表示周长，r表示半径。

圆的面积定义为圆内所有点所组成的区域的大小，可以用公式A = πr²来计算，其中A表示面积，r表示半径。

4. 圆的切线和法线圆上的切线是与圆相切的直线，它只与圆在切点相交。

切线与半径构成的夹角为90度。

法线是与切线垂直的直线，它通过切点并与切线垂直相交。

5. 圆的弧度制和度数制圆的弧度制是一种用弧长比半径的面度来度量角度的方式。

一个圆的弧长等于半径的弧度数。

度数制是人们常见的度量角度的方式，一个圆被等分为360度，1度等于圆的1/360。

四、圆的相关定理和应用1. 圆上的三角形圆上的三角形是指三个顶点都在圆上的三角形。

它有很多特殊性质，如圆上的两条弧所对应的角相等，半径与割线所包围的弧所对应的角相等等。

2. 切线定理和切割定理切线定理指的是切线与半径的关系，即切线的平方等于切点处外切圆的半径与切点到圆心的距离之积。

切割定理指的是弦分割定理和切线分割定理，它们描述了切线和弦所分割的弧长和线段之间的关系。

新人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系-知识点归纳及中考典型题解析

人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系知识点归纳及中考典型例题解析一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=A3cm B．3cm C．3D．3【答案】D【解析】如图，连接OA，∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，∴CD是⊙O的直径，∵CD⊥AB，∴AE=BE，OE=3，OA=6，∴AE=2233OA OE-=，∴AB=2AE=63，故选D．典例3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A．2 cm B．3cmC．23cm D．25cm【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得OD=12OA=1cm，再根据勾股定理得：AD3，根据垂径定理得AB3．故选C．3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A．3 B．6 C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为A．50°B．20°C．30°D．25°【答案】D【解析】∠A=12BOC=12×50°=25°．故选D．典例5如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为A．103πB．109πC．59πD．518π6．如图，AB是⊙O的直径，=BC CD DE，∠COD=38°，则∠AEO的度数是A．52°B．57°C．66°D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA=90°，∵∠PBC=50°，∴∠ABC=40°．故选B．典例9如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC22AB AC-，而AD为中线，∴DC=2，∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=233r-（），∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯，∴67r =．故选B ．9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD <BC ，又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，圆心O 在BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是 A ．大于 B ．等于C ．小于D ．不能确定10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．求证：（1）DB DC =；（2）DE 为⊙O 的切线．1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A 、B 除外），∠AOD =136°，则∠C 的度数是A ．44°B ．22°C ．46°D ．36°3．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE =6，∠BAC ＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A ．41B ．34C ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，O 的直径8AB =，30CBD ∠=︒，则CD 的长为A ．2B ．3C ．4D ．36．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14 cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O的内接正十边形的一边，DE 的度数为__________．11．如图，半圆O 的直径是AB ，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，若∠DEF =60°，则tan ∠ABD =__________．12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．1．如图，在O 中，AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2．如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.84．如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA =PB B ．∠BPD =∠APDC ．AB ⊥PDD ．AB 平分PD5．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB 等于A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°8．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．10．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为__________．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．12．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为__________；②取AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2， ∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==， ∴22211π116π16rS S r ==，故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=，∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4，由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =，由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm ，根据题意可得：DO 2+BD 2=BO 2，则（x –2．3）2+851×12）2=x 2，解得x =3．变式训练答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN =223 2.4-=1.8（米），故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：100π210π1809⨯=，故选B ．6．【答案】B【解析】∵=BC CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°， ∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA =223 3.823.445+=<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．8．【答案】2【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =12•OB •AH =12•AB •OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥，又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =；（2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥，又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确；正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵∠AOD =136°，∴∠BOD =44°，∴∠C =22°，故选B ． 3．【答案】C【解析】如图，延长CA ，交⊙A 于点F ，考点冲关∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC=228CF BF-=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为5，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】C【解析】如图，作直径DE，连接CE，则∠DCE=90°，∵∠DBC=30°，∴∠DEC=∠DBC=30°，∵DE=AB=8，∴12DC DE==4，故选C．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ；同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴DE 的度数为84°．故答案为：84°．113【解析】∵OD ⊥AC ，∠DEF =60°， ∴∠D =30°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠D=30°，∴tan∠ABD=33，故答案为：33．12．【解析】（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，∵tan D=34OCCD=，OC=3，∴CD=4，∴OD=22OC CD+=5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sin D=35OC AEOD AD==，∴AE=245．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）如图1，连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∵∠DCA=∠B，∴∠DCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．∴222425AC=+=由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=2525=，∴AB=5．（3）2AC BC EC=+，如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．∵AB 是直径，∠DAB =45°， ∴∠AEB =90°，∴△AEB 是等腰直角三角形， ∴AE =BE ，又∵∠EAC =∠EBC ，∴△ECB ≌△EFA ，∴EF =EC ， ∵∠ACE =∠ABE =45°， ∴△FEC 是等腰直角三角形， ∴2FC EC =，∴2AC AF FC BC EC =+=．1．【答案】B【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 3．【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =--=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===，直通中考在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．4．【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ． 5．【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB =55°，∴∠AOB =110°， ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°．故选B ．6．【答案】B【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，且∠C =40°，∴∠ABC =50°，故选B ． 7．【答案】C【解析】∵∠AOC =126°，∴∠BOC =180°-∠AOC =54°，∵∠CDB =12∠BOC =27°．故选C ． 8．【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠．又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确，∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△， ∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ． 9．【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=．故答案为：1． 10．【答案】2【解析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E =∠A =30°，∠EBC =90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE =4，∴BC =12CE =2， ∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD =22BC =2，故答案为：2． 11．【解析】（1）∵AB =AC ，∴AB AC =，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ADB ，∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC ，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°-∠CAD，∴12∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=2∠CAD．（2）∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠BDC=2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC=45，设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB·DH=12BD·AE，∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==，∴BH2244 5BD DH-=，∴AH=AB-BH=10-446 55=，∴tan∠BAD=331162 DHAH==．12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵FHBF=sin∠ABD=sin45°2，∴22FDBF=BF2FD，∵AB=4，∴BD=4cos45°2，即BF+FD22+1）FD2，∴FD=2221=4-22，故答案为：4-22．②连接OH，EH，∵点H是AE的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB=12 AB，∴sin∠EAB=BEAB=12，∴∠EAB=30°．故答案为：30°．31。

高中-圆的有关概念和性质

高中数学-圆第一节圆的有关概念和性质一【知识梳理】1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．（3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角．3.正多边形和圆（1）通过等分圆画正多边形。

（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距；（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等于正n边形内角的一半，∠BOP=nn1802360 ，BP等于正多边形的边长的一半。

圆的有关概念及性质

圆得有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆得定义及性质:1、圆得定义:⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定得一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成得图形叫做圆,固定得端点叫线段OA叫做⑵描述性定义:圆就是到定点得距离等于得点得集合2、弦与弧:弦:连接圆上任意两点得叫做弦弧:圆上任意两点间得叫做弧,弧可分为、、三类3、圆得对称性:⑴轴对称性:圆就是轴对称图形,有条对称轴, 得直线都就是它得对称轴⑵中心对称性:圆就是中心对称图形,对称中心就是【提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆得半径决定圆得2、直径就是圆中得弦,弦不一定就是直径;3、圆不仅就是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来得图形重合】二、垂径定理及推论:1、垂径定理:垂直于弦得直径,并且平分弦所对得。

2、推论:平分弦( )得直径,并且平分弦所对得。

【提醒:1、垂径定理及其推论实质就是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对得优弧⑸平分弦所对得劣弧五个条件中得两个,那么可推出其余三个,注意解题过程中得灵活运用2、圆中常作得辅助线就是过圆心作弦得线(即弦心距)。

3、垂径定理常用作计算,在半径r、弦a、弦心d与弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

】三、圆心角、弧、弦之间得关系:1、圆心角定义:顶点在得角叫做圆心角2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应得其余各组量也分别【提醒:注意:该定理得前提条件就是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论:1、圆周角定义:顶点在并且两边都与圆得角叫圆周角2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对得圆周角都等于这条弧所对得圆心角得推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对得弧推论2、半圆(或直弦)所对得圆周角就是,900得圆周角所对得弦就是【提醒:1、在圆中,一条弦所对得圆心角只有一个,而它所对得圆周角有个,就是类,它们得关系就是,2、作直径所对得圆周角就是圆中常作得辅助线】五、圆内接四边形:定义:如果一个多边形得所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做。

圆的概念与性质

圆的概念与性质圆是几何学中一种基本的二维图形，被广泛应用于数学、物理和工程领域。

本文将从圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。

一、圆的定义圆是由平面上离给定点距离相等的所有点组成的集合。

给定平面上的一个点为圆心，以该点为中心，以一个确定的长度为半径做直线，与平面上的点交于一或两点，这一或两点离圆心的距离为半径长，称其为圆。

二、圆的基本性质1. 圆心和半径在圆中，圆心是一个关键概念。

圆心可用于确定圆的位置，并将圆分割为内部和外部两部分。

圆心对称性是圆的独特性质之一，即圆上的任意两点与圆心的距离相等。

2. 弧和弧长圆上的弧是由圆周上的两点所确定的一部分，它可以是一段弧或者是圆上的整个弧。

弧长是指弧所对应的圆周的长度。

可以通过已知的圆的半径和弧度来计算弧长。

3. 圆的直径和周长圆的直径是通过圆心的直线，其两个端点都在圆上。

直径的长度是圆周长度的两倍，即d=2r，其中d为直径，r为半径。

圆的周长是指圆周的长度，通常用C表示，其计算公式为C=2πr。

4. 圆的面积圆的面积是指圆内部的平面区域的大小，通常用A表示。

圆的面积的计算公式为A=πr^2，其中r为半径。

三、圆的应用圆具有许多实际应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 圆的几何应用在建筑、设计和工程领域，圆常常用于绘制弧线、圆形或圆弧结构，如建筑的圆顶、桥梁的拱形等。

圆形的地基也可以增强结构的稳定性。

2. 圆的运动学应用在物理学和工程中，圆用于描述旋转和循环运动。

例如，轮胎的旋转和车轮在行驶过程中的循环运动均可以使用圆来解释和计算。

3. 圆的几乎的普遍性圆是自然界中最常见的形状之一。

在生物学和天文学中，圆形的结构和形态被广泛观察。

例如，太阳、行星、水滴和许多生物体的细胞结构都具有圆形特征。

4. 圆的数学应用圆具有丰富的数学应用，与圆相关的数学概念如三角函数、圆周率等，都在数学研究和实际问题中发挥着重要的作用。

例如，三角函数中的正弦函数和余弦函数可以通过圆的投影和观察来定义和计算。

圆的基本概念与性质

圆的基本概念与性质圆是几何学中的基本图形之一，它具有独特的性质和特点。

本文将介绍圆的基本概念和性质，并以简明扼要的方式展示出来。

1. 圆的定义圆是由平面内到一个定点距离等于该定点到平面内所有点的距离的所有点组成的集合。

这个定点称为圆心，到圆心距离等于半径的线段称为半径，圆上的任一线段都等于半径的长度。

2. 圆的元素（1）圆心：圆心是圆的核心点，通常用大写字母O表示。

（2）半径：半径是从圆心到圆上任意一点的线段，通常用小写字母r表示。

（3）直径：直径是通过圆心并且两端点处于圆上的线段，直径的长度是半径的两倍，通常用小写字母d表示。

（4）弦：弦是圆上任意两点之间的线段。

（5）弧：弧是圆上两点之间的一段曲线。

3. 圆的性质（1）圆是由无数个点组成的闭合曲线。

（2）圆的直径是圆中最长的线段，且等于半径的两倍。

（3）圆的半径在圆上任一点都是垂直于切线的。

（4）圆上任意两条弦所对应的圆心角相等。

（5）切线与半径的夹角是直角。

（6）对于同一个圆，如果两条弧的夹角相等，则它们所对应的弦的长度也相等。

4. 圆的重要定理（1）圆的半径平分弦和弧。

（2）在圆上，两条弦和它们所夹的弧所对应的圆心角相等。

反之，两条弦所对应的圆心角相等，则它们所夹的弧也相等。

（3）在圆上，两条相等的弧所对应的圆心角也相等。

（4）在圆上，夹在同一弧上的两个圆心角互补（合为180度）。

（5）在圆内，夹在同一弧上的两个角互为补角（合为90度）。

总结圆作为几何学中基本的图形之一，具有许多重要的性质和定理。

通过对圆的基本概念的理解和对其性质的掌握，我们能更好地应用它们解决实际问题。

对于进一步学习几何学和进行相关研究，圆的基本概念与性质是必不可少的基础知识。

圆的基本概念与性质

圆的基本概念与性质圆是几何学中的重要概念，具有独特的性质。

本文将详细介绍圆的基本概念以及一些常见的性质，以帮助读者更好理解和掌握圆这一几何形状。

一、圆的定义圆是由平面内与一定点之间的距离都相等的所有点的集合构成的几何图形。

二、圆的要素1. 圆心：圆心是圆上所有点到该点的距离相等的点。

通常用字母O 表示圆心。

2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。

3. 直径：直径是通过圆心的一条线段，两个端点在圆上。

直径的长度是半径的两倍，即d=2r。

三、圆的性质1. 圆的周长：圆的周长是圆上一周的长度，通常用字母C表示。

由于圆上任意两点之间的距离都是一样的，所以圆的周长可由半径或直径表示。

周长公式为：C=2πr或C=πd。

2. 圆的面积：圆的面积是圆内部的所有点的集合。

用字母A表示。

根据圆的性质，圆的面积可由半径或直径表示。

面积公式为：A=πr²或A=π(d/2)²。

3. 圆的弧长：圆的弧是圆上两点之间的一段弧，圆弧长度即为弧长。

弧长与圆心角的大小有关，公式为：L=2πr × (θ/360°)，其中θ为圆心角的度数。

4. 圆的扇形面积：扇形是由圆心、圆上两点以及与圆心连线的弧所围成的图形。

扇形的面积是圆的一部分面积。

扇形面积与圆心角的大小有关，公式为：S=πr² × (θ/360°)。

5. 圆的切线：切线是与圆相切且仅切于圆上一个点的直线。

切线与半径垂直，相切点就是切线与圆的唯一公共点。

6. 圆的切点：切点是切线与圆相交的点。

由于切线仅与圆相交于一个点，所以切点也是圆上的唯一点。

7. 圆的弦：弦是圆上两点之间的线段。

弦的长度可以小于、等于或大于直径。

直径是弦的特殊情况，即直径是连接圆上任意两点的弦。

8. 圆与直线的关系：直线可以与圆有三种不同的关系：相离、相切和相交。

如果直线与圆没有相交点,则称直线与圆相离；如果直线只有一个切点,则称直线与圆相切；如果直线与圆有两个相交点,则称直线与圆相交。

圆的概念与性质

圆的概念与性质圆是几何学中常见的一个基本图形，有着丰富的性质和应用。

本文将为您介绍圆的概念、性质以及在实际生活中的应用。

一、圆的概念圆是由平面中与一个确定点距离相等的所有点组成的集合。

该确定点称为圆心，与圆心距离相等的距离称为半径。

以圆心为原点，以半径长度为半轴的线段构成的曲线称为圆的周长，用C表示。

圆的周长与直径的比值称为圆周率，用π表示，其值约为3.14159。

二、圆的性质1. 圆的内外点关系：圆内的任意点到圆心的距离小于半径，而圆外的任意点到圆心的距离大于半径。

2. 圆的直径与半径：直径是连接圆上两个点且经过圆心的线段，它的长度是半径的两倍。

3. 圆的切线与半径：切线是与圆仅有一个交点的直线，该交点与圆心连线垂直。

切线与半径的关系是垂直关系。

4. 圆的弦与半径：弦是圆上任意两点之间的线段，弦的中点与圆心连线垂直。

弦和半径的关系是垂直关系。

5. 圆的弧与扇形：圆的弧是两个端点在圆上的弧线，可以用弧长来表示。

扇形是由圆心、圆上的两个点以及所对应的圆心角组成的区域。

6. 圆的面积：圆的面积可以用半径或者直径来计算，其公式为πr²或者π(d/2)²，其中r为半径，d为直径。

三、圆的应用圆在生活中有着广泛的应用，以下列举几个常见的例子：1. 圆的运动轨迹：许多自然界中的运动都以圆形轨迹进行，比如行星绕太阳的轨道以及地球自转产生的地球日等。

2. 圆形建筑物：圆形的建筑物在设计上具有良好的稳定性和视觉效果，比如宫殿中的圆形大厅、圆形会议室等。

3. 轮胎和车轮：轮胎和车轮的形状往往为圆形，这是为了减少摩擦力，提高行驶的平稳性。

4. 交通信号灯：交通信号灯上的圆形灯表示停止，该形状的选择是因为圆形视觉上相对于其他形状更容易辨认和传达信息。

综上所述，圆作为几何学中的一个基本图形，具有独特的概念和性质。

了解圆的性质和应用能够帮助我们更好地理解几何学知识并应用于实际生活中。

无论是在设计、建筑还是科学研究领域，对圆的理解和运用都起着重要的作用。

圆的概念与性质

圆的概念与性质圆是初等几何学中的基本图形之一，它具有独特的几何性质和重要的应用价值。

本文将介绍圆的概念和性质，并探讨它在现实生活中的应用。

一、圆的概念圆是由平面上的一点到另一点距离不变的点集合。

其中，确定圆的两个点是圆心和圆上的任意一点，圆心到圆上任意一点的距离称为圆的半径。

用数学符号表示，圆可以写为O(A,r)，其中O表示圆心，A 表示圆上的一点，r表示圆的半径。

二、圆的性质1. 圆周与圆心之间的关系：圆周上的点与圆心的距离都相等，即圆周上的任意两点到圆心的距离相等。

2. 圆的直径和半径：圆的直径是通过圆心，并且两端点同时在圆周上的线段，直径的长度是半径的两倍。

即d = 2r。

3. 圆的周长和面积：圆的周长是指圆周的长度，记为C，可以通过公式C = 2πr计算得到。

其中，π是一个常数，约等于3.14159，它代表圆周率。

圆的面积是指圆内部的所有点的集合，记为S，可以通过公式S = πr²计算得到。

4. 弧、弦和扇形：圆周上的弧是由两个点确定的圆上的一段弧线，弧的长度与圆的周长成比例。

圆上两点间的线段称为弦，弦的长度小于或等于直径。

圆周上通过圆心的两条弦将圆分成了两个部分，每个部分叫做扇形。

扇形的面积由圆心角的大小决定。

5. 切线和切点：圆周上的一条直线称为圆的切线，切线与半径的夹角为90度，也就是说切线垂直于半径。

切点是切线与圆的交点，一个圆可能有多个切点。

三、圆的应用圆作为一种基本的几何形状，在现实生活中有许多应用，以下介绍几个常见的例子：1. 圆形建筑和雕塑：圆形的建筑和雕塑在城市的景观中非常常见，如圆形剧场、罗马竞技场等。

圆形的外形能够给人以稳定和和谐的感觉。

2. 车轮和飞盘：车轮和飞盘都是圆形的，这是因为圆形对于旋转和滚动更加稳定和效果好。

车轮的直径也决定了车辆的速度和行驶稳定性。

3. 钟表和指南针：许多钟表面和指南针刻度都是圆形的，便于阅读时间和方向。

钟表的指针也是围绕圆盘转动。

初中数学：有关圆的概念及性质

初中数学：有关圆的概念及性质一、圆的基本概念及性质(1)圆的有关概念①圆:平面. 上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径.②弧:圆. 上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.③弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.(2)圆的有关性质①圆是轴对称图形:其对称轴是任意一条过圆心的直线:圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

②垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.③弧、弦、圆心角的关系:在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有-组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.推论:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角: 90”的圆周角所对的弦是直径.④三角形的内心和外心确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆.⑥:三角形的外心:三角形的三个顶点确定-一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的内心:和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.2.与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角:顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.(3)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的- -半.(4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形.圆内接四边形对角互补，它的一一个外角等于它相邻内角的对角.圆的性质1、圆是轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线。

2、垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并粗平分弦所对的弧。

垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并平分弦对的弧。

圆的概念与性质

圆的概念与性质圆是几何学中的重要概念之一，具有独特的性质和广泛的应用。

本文将从圆的定义、性质以及相关应用三个方面，对圆进行深入探讨。

一、圆的定义圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。

其中，距离恒定的两个点称为圆的中心和半径。

以此为基础，我们可以得出圆的一些重要定义和性质。

二、圆的性质1. 半径与直径的关系：直径是连接圆上两个点，并通过圆心的线段。

圆的直径是半径的两倍，即直径等于2倍半径。

2. 弧与弦的关系：弧是圆上的一段曲线，而弦是连接圆上两个点的线段。

对于相同的弧，弦越长，对应的圆心角就越大。

3. 弧度制：弧度制是一种用弧长来度量角度的单位制。

一圆周的弧度为2π，通常用符号“rad”表示。

4. 圆的面积：圆的面积由半径决定，可以通过公式A = πr²计算得到。

其中，π是一个常数，约等于3.14159。

5. 圆的周长：圆的周长也称为圆周，可以通过公式C = 2πr计算得到。

三、圆的应用圆作为几何学中的基础概念，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、工程等。

1. 数学应用：圆被广泛运用于解决几何问题，比如测量与计算圆的面积和周长，利用弧与弦的关系求解圆心角，以及在三角函数中的应用。

2. 物理应用：在物理学中，圆常用于描述物体的运动轨迹，如行星、卫星绕星球的轨道就是圆形或近似圆的。

此外，光的传播也符合圆的特性，如光的折射和反射。

3. 工程应用：圆形结构在工程设计中经常出现，比如建筑设计中的圆形柱、圆形桥梁等。

此外，在制造业中，如汽车制造和工业加工中，也需要利用圆的特性来完成各类工艺和设计。

总结：圆作为一个基本的几何概念，具有独特的定义和性质。

了解圆的概念和性质，有助于我们进一步理解几何学的其他相关知识，并将其应用于实际问题的解决。

无论是数学领域的计算，物理领域的运动描述，还是工程领域的设计应用，圆都扮演着重要的角色，为我们解决问题提供了有力的工具。

同时，深入理解圆的概念与性质，有助于我们更好地掌握几何学的基础知识，为未来的学习与应用打下坚实的基础。

1.圆的有关概念及性质资料

考点四垂径定理的应用例 4(2014· 南宁)在直径为 200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面 AB＝ 160 cm，则油的最大深度为( A．40 cm C．80 cm B．60 cm D．100 cm )
【点拨】如图，作OC⊥AB于点C，并延长与⊙O 交与点D，连接OA，
B. BC ＝ BD C．△BOC 是等边三角形 D．四边形 ODBC 是菱形
【点拨】垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧，由此可知 BC ＝ BD ，其他结论均错误．故选B. 【答案】 B
考点二圆心角、弧、弦之间的关系例 2(2014· 贵港)如图，AB 是⊙O 的直径， BC ＝ CD ＝ DE ，∠COD＝34° ，则 ∠AEO 的度数是( )
(2)如图，连接OC，∵OD＝OB，∴∠OBD＝ ∠ODB＝30° .由(1)，得∠OBC＝2∠OBD＝60° ，又 ∵OC＝OB，
∴△OCB为等边三角形．∴BC＝OC＝OD.
考点训练
2． △ABC 为⊙O 的内接三角形，若 ∠AOC＝160° ，
则∠ABC 的度数是( D )
A．80° C．100° B．160° D．80° 或 100°
第六章第1讲
圆
圆的有关概念及性质
考点一
圆的有关概念及性质
1．圆的概念
在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O
旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．．
2．圆上任意两点间的部分叫做弧；小于半圆的弧叫劣弧；大于半圆的弧叫优弧． 3．连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心
1 ∵AB＝160 cm，∴AC＝ AB＝80(cm)．在 Rt△OAC 2 中，OA＝100 cm，∴OC＝ OA2－AC2＝ 1002－802＝ 60(cm)．∴CD＝OD－OC＝100－60＝40(cm)．故选 A. 【答案】 A

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